3. Диаметр шара равен 4 m . Через конец диаметра проведена плоскость под углом 30° к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.
Контрольная работа № 4
Вариант 1
1. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при основании равен 60°. Найдите объем пирамиды.
2. В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2 a , а прилежащий угол равен 30°. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью ее основания угол в 45°. Найдите объем цилиндра.
Вариант 2
1. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 6 см и составляет с плоскостью основания угол в 60°. Найдите объем пирамиды.
2. В конус вписана пирамида. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2 a , а прилежащий угол равен 30°. Боковая грань пирамиды, проходящая через данный катет, составляет с плоскостью основания угол в 45°. Найдите объем конуса.
Контрольная работа № 5
Вариант 1
1. Диаметр шара равен высоте конуса, образующая которого составляет с плоскостью основания угол в 60°. Найдите отношение объемов конуса и шара.
2. Объем цилиндра равен 96 π см 3 , площадь его осевого сечения 48 см 2 . Найдите площадь сферы, описанной около цилиндра.
Вариант 2
1. В конус, осевое сечение которого есть правильный треугольник, вписан шар. Найдите отношение площади сферы к площади боковой поверхности конуса.
2. Диаметр шара равен высоте цилиндра, осевое сечение которого есть квадрат. Найдите отношение объемов цилиндра и шара
По вашим просьбам!
2. При сушке свежие грибы теряют 96% веса. Сколько свежих грибов нужно засушить, чтобы получилось 5 кг сушеных грибов? Из условия следует, что 5 кг составляют 100%-96%=4% первоначального веса. Первоначальный вес 100% больше, чем 4 % в 25 раз, следовательно, нужно и 5 кг умножить на 25 и получится 125 кг свежих грибов нужно было засушить. Можно было решать пропорцией, записав :
х кг — 100% ⇒ х=(5·100):4=125 (кг).
12. Решите уравнение: 1+cosx=sinx+sinx·cosx. Перенесем члены из правой части в левую и сгруппируем слагаемые:
(1+cosx)-(sinx+sinx·cosx)=0;
(1+cosx)-sinx(1+cosx)=0;
(1+cosx)(1-sinx)=0 ⇒ 1+cosx=0 или 1-sinx=0. Решаем каждое уравнение отдельно.
1) 1+cosx=0 ⇒ cosx=-1 ⇒ х=π+2πn, n∈Z.
2) 1-sinx=0 ⇒ sinx=1 ⇒ x=π/2+2πk, k∈Z.
14. Найдите значение производной f’(x) при
16. Вычислить интеграл:
17. В параллелограмме ABCD проведен отрезок СК из вершины острого угла С так, что отсекает на большей стороне ВА отрезок, равный меньшей стороне ВС и образует угол КСD, равный 20°. Найдите углы параллелограмма.
ΔВСК — равнобедренный по построению — по условию ВК=ВС, следовательно, углы при основании этого равнобедренного треугольника будут равны, т.е. ∠СКВ=∠ВСК=20°. Далее, ∠КСD=∠СКВ=20°, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей СК. Получается, что ∠КСD=∠ВСК, т.е. СК — биссектриса угла С, ∠С=40°, ∠В=180°-40°=140°. Углы параллелограмма, прилежащие к одной его стороне в сумме составляют 180°.
18. К двум, касающимся друг друга окружностям, проведена касательная, с расстоянием между точками касания 4 корень из 5 см. Найдите радиус большей окружности, если радиус меньшей равен 4 см. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
19. Даны векторы:
20. Исключите иррациональность в знаменателе дроби:
Приведем дроби к общему знаменателю и упростим получившееся выражение.
21. Выполнить действия:
22. Решите уравнение:
24. Апофема правильной треугольной пирамиды равна m и образует с плоскостью основания угол α. Найти объем пирамиды.
25. В ящике 10 красных шаров и 10 белых. Сколько шаров надо вынуть из ящика наугад, чтобы среди них были два шара одного цвета?
Заметим, что вероятности вынуть красный шар и белый шар, равны, так как равны количества этих шаров в ящике. Вытащим два шара. Какими они могут быть? 1) красный и красный; 2) красный и белый; 3) белый и белый. Достаем третий шар и в любом случае получаем два шара из трех одного цвета (а может и все три). Ответ: 3 шара надо вынуть, чтобы среди них были два шара одного цвета.
Удачи, успехов!
Определение 1 . Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, при этом вершина такой пирамиды проецируется в центр ее основания.
Определение 2 . Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.
Правильная усеченная пирамида
Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена – правильная.
Свойства правильной пирамиды
- боковые ребра равны
- апофемы равны
- боковые грани равны
- все боковые грани являются равные равнобедренными треугольниками
- в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу
- если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π, а каждый из них соответственно, где n - количество сторон многоугольника основания
- площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
Правильная пирамида
Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о пирамиде). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение . Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√" .
Задача
Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4см, а двугранный угол при основании равен 60 градусов. Найдите объем пирамиды.
Решение .
Поскольку пирамида правильная, учтем следующее:
- Высота пирамиды проецируется на центр основания
- Центр основания правильной пирамиды по условию задачи - равносторонний треугольник
- Центр равностороннего треугольника является одновременно центром вписанной и описанной окружности
- Высота пирамиды образует с плоскостью основания прямой угол
Объем пирамиды можно найти по формуле:
V = 1/3 Sh
Поскольку апофема правильной пирамиды образует вместе с высотой пирамиды прямоугольный треугольник, для нахождения высоты используем теорему синусов. Кроме того, примем во внимание:
- Первый катет рассматриваемого прямоугольного треугольника является высотой, второй катет - радиусом вписанной окружности (в правильном треугольнике центр одновременно является центром вписанной и описанной окружности), гипотенуза является апофемой пирамиды
- Третий угол прямоугольного треугольника равен 30 градусам (сумма углов треугольника - 180 градусов, угол 60 градусов дан по условию, второй угол - прямой по свойствам пирамиды, третий 180-90-60 = 30)
- синус 30 градусов равен 1/2
- синус 60 градусов равен корню из трех пополам
- синус 90 градусов равен 1
Согласно теореме синусов:
4 / sin(90) = h / sin (60) = r / sin(30)
4 = h / (√3 / 2) = 2r
откуда
r = 2
h = 2√3
В основании пирамиды лежит правильный треугольник, площадь которого можно найти по формуле:
S правильного треугольника = 3√3 r 2 .
S = 3√3 2 2 .
S = 12√3 .
Теперь найдем объем пирамиды:
V = 1/3 Sh
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V = 24 см 3 .
Ответ : 24 см 3 .
Задача
Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 24 и 14. найдите апофему пирамиды.
Решение .
Поскольку пирамида правильная, то в ее основании лежит правильный четырехугольник - квадрат. Кроме того, высота пирамиды проецируется в центр квадрата. Таким образом, катет прямоугольного треугольника, который образован апофемой пирамиды, высотой и отрезком, их соединяющим, равен половине длины основания правильной четырехугольной пирамиды.
Откуда по теореме Пифагора длина апофемы будет найдена из уравнения:
7 2 + 24 2 = x 2
x 2 = 625
x = 25
Ответ : 25 см
Похожая информация:
- II ЭТАП ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПРОБЛЕМ ПАЦИЕНТА, СВЯЗАННЫХ С ДЕФИЦИТОМ ЗНАНИЙ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОДЕРЖАНИЯ ОБУЧЕНИЯ