Чему равен объем треугольной призмы. Объем прямой призмы

Объём призмы. Решение задач

Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать.

Г.Галилей

Цель урока:

  • обучить решению задач на вычисление объема призм, обобщить и систематизировать имеющиеся у учащихся сведения о призме и ее элементах, формировать умения решать задачи повышенной сложности;
  • развивать логическое мышление, умение самостоятельно работать, навыки взаимоконтроля и самоконтроля, умение говорить и слушать;
  • выработать привычку к постоянной занятости, каким- либо полезным делом, воспитание отзывчивости, трудолюбия, аккуратности.

Тип урока: урок применения знаний, умений и навыков.

Оборудование: карточки контроля,медиапроектор, презентация “Урок. Объем Призмы”, компьютеры.

Ход урока

    1. ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ (8 мин)

      2. Обменяйтесь тетрадями, проверьте решение на слайдах и выставьте отметку (отметка 10 если составлена задача)

      Составьте по рисунку задачу и решите её. Ученик защищает составленную им задачу у доски. Рис 6 и рис 7.

      Глава 2,§3
      Задача.2. Длины всех ребер правильной треугольной призмы равны между собой. Вычислите объем призмы, если площадь ее поверхности равна cм 2 (рис8)


      Глава 2,§3
      Задача 5. Основание прямой призмы АВСА 1В 1С1 есть прямоугольный треугольник АВС (угол АВС=90°), АВ=4см. Вычислите объем призмы, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 2,5см, а высота призмы равна 10см. (рис 9).


      Глава2,§3
      Задача 29.Длина стороны основания правильной четырехугольной призмы равна 3см. Диагональ призмы образует с плоскостью боковой грани угол 30°. Вычислить объем призмы (рис 10).


    2. Совместная работа учителя с классом (2-3мин.).

      3. Цель: подведение итогов теоретической разминки (учащиеся проставляют оценки друг другу), изучение способов решения задач по теме.

    3. ФИЗКУЛЬТМИНУТКА (3 мин)
    4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ (10 мин)

      5. На данном этапе учитель организует фронтальную работу по повторению способов решения планиметрических задач, формул планиметрии. Класс делится на две группы, одни решают задачи, другие работают за компьютером. Затем меняются. Учащимся предлагается решить всем № 8 (устно), № 9 (устно). После делятся на группы и преступают к решению задач № 14, № 30, № 32.

      Глава 2, §3, страница 66-67

      Задача 8. Все ребра правильной треугольной призмы равны между собой. Найдите объём призмы, если площадь сечения плоскостью, проходящей через ребро нижнего основания и середину стороны верхнего основания, равна см (рис.11).


      Глава 2,§3, страница 66-67
      Задача 9. основание прямой призмы – квадрат, а ее боковые ребра в два раза больше стороны основания. Вычислите объем призмы, если радиус окружности, описанной около сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону основания и середину противолежащего бокового ребра, равен см. (рис.12)


      Глава 2,§3, страница 66-67
      Задача 14 .Основание прямой призмы – ромб, одна из диагоналей которого равна его стороне. Вычислите периметр сечения плоскостью проходящей через большую диагональ нижнего основания, если объем призмы равен и все боковые грани квадраты (рис.13).


      Глава 2,§3, страница 66-67
      Задача 30 .АВСА 1 В 1 С 1 –правильная треугольная призма, все ребра которой равны между собой, точка о середина ребра ВВ 1 . Вычислите радиус окружности, вписанной в сечение призмы плоскостью АОС, если объем призмы равен (рис.14).


      Глава 2,§3, страница 66-67
      Задача 32 .В правильной четырех угольной призме сумма площадей оснований равна площади боковой поверхности. Вычислите объем призмы, если диаметр окружности, описанной около сечения призмы плоскостью, проходящей через две вершины нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания, равен 6 см (рис15).


      В ходе решения задач ученики сопоставляют свои ответы с теми, что показывает учитель. Это образец решения задачи с подробными комментариями … Индивидуальная работа учителя с “сильными” учениками (10мин.).

    5. Самостоятельная работа учащихся над тестом за компьютером

      6. 1. Сторона основания правильной треугольной призмы равна , а высота-5. Найдите объем призмы.

      1) 152) 45 3) 104) 125) 18

      2. Выберите верное утверждение.

      1)Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

      2) Объем правильной треугольной призмы вычисляется по формулеV=0,25а 2 h -где а- сторона основания,h-высота призмы.

      3)Объем прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту.

      4)Объем правильной четырехугольной призмы вычисляется по формуле V=a 2 h-где а- сторона основания,h-высота призмы.

      5)Объем правильной шестиугольной призмы вычисляется по формуле V=1.5а 2 h, где а- сторона основания,h-высота призмы.

      3.Сторона основания правильной треугольной призмы равна . Через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания проведена плоскость, которая проходит под углом 45° к основанию. Найдите объем призмы.

      1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

      4. Основанием прямой призмы является ромб, сторона которого равна 13, а одна из диогоналей-24. Найдите объем призмы, если диагональ боковой грани равна 14.

Чему равен объем призмы и как его найти

Объём призмы - это произведение площади ее основания на высоту.

Однако нам известно, что у основания призмы может быть треугольник, квадрат или какой-либо другой многогранник.

Следовательно, для нахождения объема призмы, необходимо просто вычислить площадь основания призмы, а потом эту площадь умножить на ее высоту.

То есть, если у основания призмы треугольник, то значит вначале нужно найти площадь треугольника. Если же основанием призмы является квадрат или другой многоугольник, то значит вначале нужно искать площадь квадрата или же другого многоугольника.

Следует помнить, что высотой призмы является перпендикуляр, проведенный к основаниям призмы.

Что такое призма

А теперь давайте вспомним определение призмы.

Призма – это многоугольник, две грани (основания) которого, находятся в параллельных плоскостях, а все ребра, находящиеся вне этих граней параллельны.

Если говорить проще, то:

Призма – это любая геометрическая фигура, которая имеет два основания, равных между собой и плоские грани.

Название призмы зависит от формы ее основания. Когда основанием призмы является треугольник, то такую призму называют треугольной. Многогранной призмой называют геометрическую фигуру, основанием которой является многогранник. Также призма - это разновидность цилиндра.

Каких видов бывают призмы

Если мы посмотрим на рисунок вверху, то увидим, что призмы бывают прямыми, правильными и наклонными.

Задание

1. Какую призму называют правильной?
2. Почему она так называется?
3. Какое носит название призма, основаниями которой являются правильные многоугольники?
4. Что является высотой этой фигуры?
5. Как называют призму, ребра которой не являются перпендикулярными?
6. Дайте определение треугольной призме.
7. Может ли призма быть параллелепипедом?
8. Какая геометрическая фигура называется полуправильным многоугольником?

Из каких элементов состоит призма




Призма состоит из таких элементов, как нижнее и верхнее основание, боковые грани, ребра и вершины.

Оба основания призмы лежат в плоскостях и параллельны друг другу.
Боковые грани пирамиды – это параллелограммы.
Боковая поверхность пирамиды является суммой боковых граней.
Общие стороны боковых граней, есть не что иное, как боковые ребра данной фигуры.
Высотой пирамиды является отрезок, соединяющий плоскости оснований и перпендикулярен им.

Свойства призмы

Геометрическая фигура, как призма, обладает рядом свойств. Давайте более подробно рассмотрим эти свойства:

Во-первых, основаниями призмы называются равные многоугольники;
Во-вторых, у призмы боковые грани представлены в виде параллелограмма;
В-третьих, у этой геометрической фигуры ребра параллельны и равны;
В-четвертых, площадью полной поверхности призмы является:




А теперь рассмотрим теорему, которая предоставляет формулу, с помощью которой вычисляют площадь боковой поверхности и доказательство.




Задумывались ли вы над таким интересным фактом, что призмой может быть не только, геометрическое тело, но и другие окружающие нас предметы. Даже обычная снежинка в зависимости от температурного режима может превратиться в ледяную призму, приняв форму шестигранной фигуры.

А вот кристаллы кальцита обладают таким уникальным явлением, как распадаться на осколки и приобретать форму параллелепипеда. И что самое удивительное, на какие бы мелкие части не дробили кристаллы кальцита, результат всегда одинаковый, они превращаются в махонькие параллелепипеды.

Оказывается, призма получила популярность не только в математике, демонстрируя свое геометрическое тело, но и в области искусства, так как она является основой картин, созданных такими великими художниками, как П.Пикассо, Брак, Грисс и других.

Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.

Доказательство:

Сначала докажем теорему для треугольной прямой призмы (рис. 1), а затем - для произвольной прямой призмы (рис. 1).

Рис. 1. Треугольная прямая призма

Рис. 2. Произвольная призма

Рассмотрим прямую треугольную призму АВСА 1 В 1 С 1 с объемом V и высотой h. Проведем такую высоту треугольника АВС (отрезок ВD на рисунке 1), которая разделяет этот треугольник на два треугольника (по крайней мере, одна высота треугольника этому условию удовлетворяет). Плоскость ВВ 1 D разделяет данную призму на две призмы, основаниями которых являются прямоугольные треугольники ABD и ВDС. Поэтому объемы V 1 , и V 2 этих призм соответственно равны: и .

По свойству объемов V=V 1 + V 2 .

Таким образом:

Докажем теорему для произвольной прямой призмы с высотой h и площадью основания S.

Такую призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Например, на рисунке (см. рис. 2) изображена выпуклая пятиугольная призма, которая разбита на три прямые треугольные призмы. Выразим объем каждой треугольной призмы по формуле и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т. е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем исходной призмы равен произведению .

Задача 1. Найдите объем прямой призмы АВСА 1 В 1 С 1 если: угол ВАС = 120°, АВ = 5 см, АС = 3 см и наибольшая из площадей боковых граней S гр =35 см 2 .

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Решение: так как все боковые грани - прямоугольники с одинаковой высотой, наибольшая площадь будет там, где наибольшая длина ребра призмы у основания: треугольника ABC (см. рис. 3).

Наибольшая сторона треугольника лежит напротив наибольшего угла - . Значит, . Рассмотрим треугольник ABC. По теореме косинусов:

Зная высоту призмы, найдем ее объем. Площадь основания будет равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.

Задача 2. Найдите объем прямой призмы АВСА 1 В 1 С 1 , если: угол АВ 1 С = 60°, АВ 1 = 3 см, СВ 1 = 2 см и - прямой.

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Решение (см. рис. 4):

Рассмотрим . По теореме косинусов:

Пусть BB 1 =h, тогда ; . Запишем теорему Пифагора для треугольника ABC:

Зная высоту h, найдем стороны треугольника ABC, которые мы выразили в пункте 3: Мы нашли высоту призмы и стороны треугольника в основании. Найдем объем призмы:

Задача 3. Найдите объем правильной n-угольной призмы, у которой каждое ребро равно а, если n=6.

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Решение: объем призмы равен произведению площади основания на высоту. Высота по условию равна a, значит, нам не нужно рисовать пространственный чертеж. Нарисуем основание призмы (см. рис. 5).

Площадь шестиугольника равна шести площадям треугольника AOB. Треугольник AOB - равносторонний,

Найдем объем призмы:

Задача 4. Основанием прямой призмы АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 является параллелограмм. Через сторону основания DC=a, и противолежащую ей сторону другого основания проведено сечение, составляющее угол β с плоскостью основания. Площадь сечения равна Q. Найдите объем данной призмы.

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Построим сечение и угол β (см. рис. 6). Для этого проведем в параллелограмме высоту BL. Тогда отрезок B 1 L будет перпендикулярен CD по теореме о трех перпендикулярах. Таким образом, угол β равен углу . . Рассмотрим - прямоугольный, так как отрезок BB 1 перпендикулярен плоскости основания.

Найдем объем призмы по формуле:

Ответ:

Задача 5. В правильной треугольной призме АВСА 1 В 1 С 1 через сторону нижнего основания и противолежащую ей вершину верхнего основания проведено сечение, составляющее угол в 60° с плоскостью основания. Найдите объем призмы, если сторона основания AB=a.

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Нарисуем сечение и угол между сечением и основанием (см. рис. 7). Для этого проведем высоту AK перпендикулярно BC. Тогда по теореме о трех перпендикулярах отрезок A 1 K тоже перпендикулярен BC. Таким образом, . Рассмотрим - равносторонний, значит, . Чтобы найти объем нам нужна высота призмы. Поэтому рассмотрим .

.

Теперь найдем объем призмы:

Список литературы

  1. Геометрия: учеб. для 10-11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - М.: «Просвещение», 2008.
  2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7-11 кл. общеобразовательных учреждений /Б. Г. Зив, В. М. Мейлер - М.: «Просвещение», 2003-2008.
  3. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10-11 кл. /Е. М. Рабинович - Харьков: «Гимназия», 2003. - М.: «Илекса», 2003.
  4. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А. И. Ершова, В. В. Голобородько - М.: «Илекса», 2008.
  5. Математика. ЕГЭ - 2011. Тематические тренировочные задания./В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина - М.: «Эксмо», 2011.
  6. Математика. ЕГЭ - 2009 /Ф. Ф. Лысенко - Ростов-на-Дону: «Легион», 2008.
  1. Shkolo.ru ().
  2. Mathem.h1.ru ().
  3. Webmath.exponenta.ru ().

Домашнее задание

  1. П. 65. №663, 664. Учебник для 10-11кл., Л.С. Атанасян и др.,18 изд. - М.: Просвещение, 2009.