5. Параллельные прямые
Две прямые называются параллельными , если, находясь в одной плоскости, они не пересекаются.
Параллельность прямых обозначается знаком || (например AB||CD).
Теорема. Два перпендикуляра к одной и той же прямой параллельны.
Доказательство: Если бы перпендикуляры пересеклись в какой-нибудь точке, то тогда из этой точки на прямую были бы опущены два перпендикуляра, что невозможно.
Названия углов, получаемых при пересечении двух прямых третьей
Признаки параллельности.
Если при пересечении двух прямых третьей прямой:
какие-нибудь соответственные углы равны,
или какие-нибудь накрест лежащие углы равны,
или сумма двух каких-нибудь двух внутренних или двух внешних односторонних углов равна 180 градусов,
то две прямые параллельны.
Аксиома параллельных линий.
Через одну и ту же точку нельзя провести двух различных прямых, параллельных одной и той же прямой.Следствие 1. Если прямая пересекается с одной из параллельных прямых, то она пересекается и с другой.
Следствие 2. Две прямые, параллельные третьей - параллельны.
Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами.
Теорема. Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют два прямых.
Теорема. Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют два прямых.
Сумма углов треугольника и многоугольника.
Теорема. Сумма углов треугольника равна двум прямым.
Следствия
:1. Всякий внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов.
2. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то и третьи углы равны.
3. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна прямому углу.
Теорема. Сумма углов
n-угольника равна 180*(n-2) градусов.Теорема. Сумма внешних углов многоугольника равна четырём прямым.
2. Даны две прямые, пересекающиеся в точке С. Лежит ли с ними вместе в одной плоскости любая третья прямая, имеющая с каждой из данных прямых общую точку?
3.
4. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно 8 см. Отрезок прямой, длина которого 17 см, расположен между ними так, что его концы принадлежат плоскостям. Найдите проекцию этого отрезка на каждую из плоскостей.
5. Закончите фразу, чтобы получилось верное высказывание:
Г) не знаю
6. Прямые а и b перпендикулярны. Точки А и В принадлежат прямой а, точки С и D – прямой b. Лежат ли прямые АС и BD в одной плоскости?
7. В кубе ABCDA1B1C1D1 проведены диагонали граней АС и B1D1. каково их взаимное расположение?
8. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно m. Найдите расстояние между прямыми АВ и СС1.
А) 2m Б) 1/2m B) m Г) не знаю
9. Определите, верно ли утверждение:
А) да Б) нет В) не всегда Г) не знаю
10. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостями BCD и ВСС1В1.
А) 90° Б) 45° В) 0° Г) 60°
11. Существует ли призма, у которой только одна боковая грань перпендикулярна основанию?
А) да Б) нет В) не знаю
12. Может ли диагональ прямоугольного параллелепипеда быть меньше бокового ребра?
А) да Б) нет В) не знаю
13. Чему равна площадь боковой поверхности куба с ребром 10?
А) 40 Б) 400 В) 100 Г) 200
14. Чему равна площадь полной поверхности куба, если его диагональ равна d?
А) 2d2 Б) 6d2 B) 3d2 Г) 4d2
15. Сколько плоскостей симметрии имеет правильная четырёхугольная пирамида?
А) 2 Б) 3 В) 4 Г) 6
16. Что представляет собой осевое сечение любой правильной пирамиды?
А) равносторонний треугольник
Б) прямоугольник
В) трапеция
Г) равнобедренный треугольник
помогите пожалуйста решить тест1. Сколько общих прямых могут иметь две различные несовпадающие плоскости?
А) 1 Б) 2 В) бесконечное множество Г) ни одной Д) не знаю
2. Даны две прямые, пересекающиеся в точке С. Лежит ли с ними вместе в одной плоскости любая третья прямая, имеющая с каждой из данных прямых общую точку?
А) всегда да Б) всегда нет В) лежит, но не всегда Г) не знаю
3. Определите, верно ли утверждение:
Две плоскости параллельны, если они параллельны одной и той же прямой.
А) да Б) нет В) не знаю Г) не всегда
4. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно 8 см. Отрезок прямой, длина которого 17 см, расположен между ними так, что его концы принадлежат плоскостям. Найдите проекцию этого отрезка на каждую из плоскостей.
А) 15 см Б) 9 см В) 25 см Г) не знаю
5. Закончите фразу, чтобы получилось верное высказывание:
Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то она …
А) параллельна другой плоскости
Б) пересекается с другой плоскостью
В) перпендикулярна к другой плоскости
Г) не знаю
6. Прямые а и b перпендикулярны. Точки А и В принадлежат прямой а, точки С и D – прямой b. Лежат ли прямые АС и BD в одной плоскости?
А) да Б) нет В) не всегда Г) не знаю
7. В кубе ABCDA1B1C1D1 проведены диагонали граней АС и B1D1. каково их взаимное расположение?
А) пересекаются Б) скрещиваются В) параллельны Г) не знаю
8. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно m. Найдите расстояние между прямыми АВ и СС1.
А) 2m Б) B) m Г) не знаю
9. Определите, верно ли утверждение:
Если две прямые образуют равные углы с одной и той же плоскостью, то они параллельны.
А) да Б) нет В) не всегда Г) не знаю
10. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостями BCD и ВСС1В1.
А) 90 Б) 45 В) 0 Г) 60
11. Существует ли призма, у которой только одна боковая грань перпендикулярна основанию?
А) да Б) нет В) не знаю
12. Может ли диагональ прямоугольного параллелепипеда быть меньше бокового ребра?
А) да Б) нет В) не знаю
13. Чему равна площадь боковой поверхности куба с ребром 10?
А) 40 Б) 400 В) 100 Г) 200
14. Чему равна площадь полной поверхности куба, если его диагональ равна d?
А) 2d2 Б) 6d2 B) 3d2 Г) 4d2
15. Сколько плоскостей симметрии имеет правильная четырёхугольная пирамида?
А) 2 Б) 3 В) 4 Г) 6
16. Что представляет собой осевое сечение любой правильной пирамиды?
А) равносторонний треугольник
Б) прямоугольник
В) трапеция
Г) равнобедренный треугольник
точки, не лежащие на одной прямой?
2. Могут ли две различные плоскости иметь только две общие точки?
Прямые а и b пересекаются в точке М. Прямая с, не проходящая через точку М, пересекает прямые а и b . Лежат ли все эти три прямые в одной плоскости? Каково взаимное положение прямых: 1) A 1 D и MN ; 2) A 1 D и В 1С; 3) MN и А 1В1 (Рис. 1). Прямые а и b скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые а и b быть параллельными? Две прямые параллельны одной и той же плоскости. Можно ли утверждать, что эти прямые параллельны между собой? Если нет, то каково их взаимное положение? На рисунке 2 прямые тип параллельны. Точки А и В соответственно принадлежат прямым тип; b лежит в плоскости α, а\\ b . Каково взаимное положение прямых b и с? Даны четырехугольник ABCD и плоскость α. Его диагонали АС и BD параллельны плоскости α. Каково взаимное положение АВ и плоскости α? Плоскости α и β параллельны. Пересекающиеся в точке М прямые а и b пересекают плоскость α соответственно в точках В и А, а плоскость β - в точках Е и F Найдите отношение
10. Плоскость α проходит через диагональ основания параллелепипеда и середину одной из сторон верхнего основания. Определите вид сечения.
Пусть даны плоскость и не лежащая на ней точка:
Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости;
- конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра;
- расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость;
Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости;
- конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной;
Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
На рисунке из точки А проведены к плоскости перпендикуляр АВ и наклонная АС. Точка В - основание перпендикуляра, точка С - основание наклонной, ВС - проекция наклонной АС на плоскость .
Теорема о трех перпендикулярах:
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной , перпендикулярна ее проекции , то она перпендикулярна наклонной . И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной .
Две пересекающиеся плоскости, называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.
Пример № 1
Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.
Пусть А, В, С – точки касания сторон треугольника с окружностью, О – центр окружности и S – точка на перпендикуляре. Так как радиус ОА перпендикулярен стороне треугольника, то по теореме о трех перпендикулярах отрезок SА есть перпендикуляр к этой стороне, а его длина – расстояние от точки S до стороны треугольника. По теореме Пифагора SА= , где r – радиус вписанной окружности. Аналогично находим: 
, т.е. все расстояния от точки S до сторон треугольника равны.
Контрольные вопросы:
- Что такое перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость?
- Что такое проекция наклонной?
Практическая часть:
1. Даны прямая а и плоскость . Проведите через прямую а плоскость, перпендикулярную плоскости .
2. Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.
3. Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых на 20 см больше другой. Проекции наклонных равны 10 см и 30 см. Найдите наклонные.
4. Сторона квадрата равна 4 см. Точка, равноудаленная от всех вершин квадрата, находиться на расстоянии 6 см от точки пересечения его диагоналей. Найдите расстояние от этой точки до вершин квадрата.
5. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см. Разность проекций этих наклонных равна 9 см. Найдите проекции наклонных.
6. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 см и 33 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2:3.
8. Прямая а перпендикулярна плоскости АВС. MD = 13. АС = 15, ВС = 20. АС ВС, МD АВ. Найти MC.
9. Катеты прямоугольного треугольника ABC (С =90°) равны 4 см и 3 см. Точка М находится на расстоянии √6 см от плоскости треугольника ABC и на одинаковом расстоянии от всех его вершин. Найти расстояние от точки М до вершин треугольника.
Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.
Самостоятельная работа № 5.
Решение задач на подсчет числа размещений, перестановок.
Цель занятия: освоить методы решения задач на расчет количества выборок
Теоретическая часть:
Комбинаторика - часть математики, которая посвящена решению задач выбора и расположения элементов некоторого конечного множества в соответствии с заданными правилами, т.е. комбинаторика решает задачи выбора элементов из конечного множества и размещения этих элементов в каком-либо порядке.
Размещениями из n – элементов по m – элементов () называются комбинации, составленные из данных n – элементов по m – элементов, которые отличаются друг от друга либо самими элементами либо порядком элементов.
N(n-1)(n-2)…(n-m+1)
Пример № 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр от 1…9?
Перестановками из n – элементов называется число размещений из этих n – элементов по n – элементов.
N(n-1)(n-2)…1=n!
Пример № 2. Сколькими способами можно расставить 5 книг на полке?
Сочетаниями из n – элементов по m – элементов называются комбинации составленные из данных n – элементов по m – элементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.
Пример № 3. В группе 30 студентов. Для сдачи зачета их необходимо разбить на три группы. Сколькими способами это можно сделать?
Контрольные вопросы:
1. Обозначьте цели комбинаторики.
2. Что называется числом сочетаний из n элементов по m?
3. Что называется числом размещений из n элементов по m?
4. Что называется перестановкой из n элементов?
Практическая часть:
1. Сколькими способами можно в группе из 25 человек направить 4 студента на научно – практическую конференцию?
2. Десять студентов обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий?
3. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг из семи различных по цвету отрезов материи?
4. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было выполнять переводы с любого из пяти языков на любой из них?
5. Вычислите:
6. Вычислите:
7. Вычислите: 5! + 6!
8. Найдите число размещений из 10 элементов по 4.
9. Вычислите:
10. Тридцать студентов обменялись фотокарточками. Сколько всего было фотокарточек?
11. Сколькими способами можно из восьми кандидатов можно выбрать три лица на три должности?
12. Решите уравнение:
13. Вычислите значение выражения:
14. Вычислите значение выражения.