Что такое разложение на множители? Это способ превращения неудобного и сложного примера в простой и симпатичный.) Оч-ч-чень мощный приём! Встречается на каждом шагу и в элементарной математике, и в высшей.
Подобные превращения на математическом языке называются тождественными преобразованиями выражений. Кто не в теме - прогуляйтесь по ссылке. Там совсем немного, просто и полезно.) Смысл любого тождественного преобразования - это запись выражения в другом виде с сохранением его сути.
Смысл разложения на множители предельно прост и понятен. Прямо из самого названия. Можно забыть (или не знать), что такое множитель, но то, что это слово происходит от слова "умножить" сообразить-то можно?) Разложить на множители означает: представить выражение в виде умножения чего-то на чего-то. Да простят мне математика и русский язык...) И всё.
Например, надо разложить число 12. Можно смело записать:
Вот мы и представили число 12 в виде умножения 3 на 4. Прошу заметить, что циферки справа (3 и 4) совсем другие, чем слева (1 и 2). Но мы прекрасно понимаем, что 12 и 3·4 одно и то же. Суть числа 12 от преобразования не изменилась.
А можно разложить 12 по-другому? Легко!
12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........
Вариантов разложения - бесконечное количество.
Разложение чисел на множители - штука полезная. Очень помогает, например, при действиях с корнями. Но разложение на множители алгебраических выражений вещь не то, что полезная, она - необходимая! Чисто для примера:
Упростить:
Кто не умеете раскладывать выражение на множители, отдыхает в сторонке. Кто умеет - упрощает и получает:
Эффект потрясающий, правда?) Кстати, решение достаточно простое. Ниже сами увидите. Или, например, такое задание:
Решить уравнение:
х 5 - x 4 = 0
Решается в уме, между прочим. С помощью разложения на множители. Ниже мы решим этот пример. Ответ: x 1 = 0; x 2 = 1 .
Или, то же самое, но для старшеньких):
Решить уравнение:
На этих примерах я показал основное назначение разложения на множители: упрощение дробных выражений и решение некоторых типов уравнений. Рекомендую запомнить практическое правило:
Если перед нами страшное дробное выражение, можно попробовать разложить на множители числитель и знаменатель. Очень часто дробь сокращается и упрощается.
Если перед нами уравнение, где справа - ноль, а слева - не пойми что, можно попробовать разложить левую часть на множители. Иногда помогает).
Основные способы разложения на множители.
Вот они, самые популярные способы:
4. Разложение квадратного трёхчлена.
Эти способы надо запомнить. Именно в таком порядке. Сложные примеры проверяются на все возможные способы разложения. И лучше уж проверять по порядочку, чтобы не запутаться... Вот по порядочку и начнём.)
1. Вынесение общего множителя за скобки.
Простой и надёжный способ. От него плохо не бывает! Бывает либо хорошо, либо никак.) Поэтому он и стоит первым. Разбираемся.
Все знают (я верю!)) правило:
a(b+c) = ab+ac
Или, в более общем виде:
a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....
Все равенства работают как слева направо, так и наоборот, справа налево. Можно записать:
ab+ac = a(b+c)
ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)
Вот и вся суть вынесения общего множителя за скобки.
В левой части а - общий множитель для всех слагаемых. Умножается на всё, что есть). Справа это самое а находится уже за скобками.
Практическое применение способа рассмотрим на примерах. Сначала вариант простой, даже примитивный.) Но на этом варианте я отмечу (зелёным цветом) очень важные моменты для любого разложения на множители.
Разложить на множители:
ах+9х
Какой общий множитель сидит в обоих слагаемых? Икс, разумеется! Его и будем выносить за скобки. Делаем так. Сразу пишем икс за скобками:
ах+9х=х(
А в скобках пишем результат деления каждого слагаемого на этот самый икс. По порядочку:
Вот и всё. Конечно, так подробно расписывать не нужно, Это в уме делается. Но понимать, что к чему, желательно). Фиксируем в памяти:
Пишем общий множитель за скобками. В скобках записываем результаты деления всех слагаемых на этот самый общий множитель. По порядочку.
Вот мы и разложили выражение ах+9х на множители. Превратили его в умножение икса на (а+9). Замечу, что в исходном выражении тоже было умножение, даже два: а·х и 9·х. Но оно не было разложено на множители! Потому, что кроме умножения, в этом выражении было ещё и сложение, знак "+"! А в выражении х(а+9) кроме умножения ничего нет!
Как так!? - слышу возмущённый глас народа - А в скобках!?)
Да, внутри скобок есть сложение. Но фишка в том, что пока скобки не раскрыты, мы рассматриваем их как одну букву. И все действия со скобками делаем целиком, как с одной буквой. В этом смысле в выражении х(а+9) кроме умножения ничего нет. В этом вся суть разложения на множители.
Кстати, можно ли как-то проверить, всё ли правильно мы сделали? Запросто! Достаточно обратно умножить то, что вынесли (икс) на скобки и посмотреть - получилось ли исходное выражение? Если получилось, всё тип-топ!)
х(а+9)=ах+9х
Получилось.)
В этом примитивном примере проблем нет. Но если слагаемых несколько, да ещё с разными знаками... Короче, каждый третий ученик косячит). Посему:
При необходимости проверяем разложение на множители обратным умножением.
Разложить на множители:
3ах+9х
Ищем общий множитель. Ну, с иксом всё ясно, его можно вынести. А есть ли ещё общий множитель? Да! Это тройка. Можно же записать выражение вот так:
3ах+3·3х
Здесь сразу видно, что общий множителем будет 3х . Вот его и выносим:
3ах+3·3х=3х(а+3)
Разложили.
А что будет, если вынести только х? Да ничего особенного:
3ах+9х=х(3а+9)
Это тоже будет разложение на множители. Но в этом увлекательном процессе принято раскладывать всё до упора, пока есть возможность. Здесь в скобках есть возможность вынести тройку. Получится:
3ах+9х=х(3а+9)=3х(а+3)
То же самое, только с одним лишним действием.) Запоминаем:
При вынесении общего множителя за скобки, стараемся вынести максимальный общий множитель.
Продолжаем развлечение?)
Разложить на множители выражение:
3ах+9х-8а-24
Что будем выносить? Тройку, икс? Не-е-е... Нельзя. Напоминаю, выносить можно только общий множитель, который есть во всех слагаемых выражения. На то он и общий. Здесь такого множителя нету... Что, можно не раскладывать!? Ну да, обрадовались, как же... Знакомьтесь:
2. Группировка.
Собственно, группировку трудно назвать самостоятельным способом разложения на множители. Это, скорее, способ выкрутиться в сложном примере.) Надо сгруппировать слагаемые так, чтобы всё получилось. Это только на примере показать можно. Итак, перед нами выражение:
3ах+9х-8а-24
Видно, что какие-то общие буквы и числа имеются. Но... Общего множителя, чтобы был во всех слагаемых - нет. Не падаем духом и разбиваем выражение на кусочки. Группируем. Так, чтобы в каждом кусочке был общий множитель, было чего вынести. Как разбиваем? Да просто ставим скобки.
Напомню, что скобки можно ставить где угодно и как угодно. Лишь бы суть примера не менялась. Например, можно так:
3ах+9х-8а-24 =(3ах+9х)-(8а+24 )
Прошу обратить внимание на вторые скобки! Перед ними стоит знак минус, а 8а и 24 стали положительными! Если, для проверки, обратно раскрыть скобки, знаки поменяются, и мы получим исходное выражение. Т.е. суть выражения от скобок не изменилась.
Но если вы просто воткнули скобки, не учитывая смену знака, например, вот так:
3ах+9х-8а-24 =(3ах+9х)-(8а-24 )
это будет ошибкой. Справа - уже другое выражение. Раскройте скобки и всё станет видно. Дальше можно не решать, да...)
Но возвращаемся к разложению на множители. Смотрим на первые скобки (3ах+9х) и соображаем, можно ли чего вынести? Ну, этот пример мы выше решали, можно вынести 3х:
(3ах+9х)=3х(а+3)
Изучаем вторые скобки, там можно вынести восьмёрку:
(8а+24)=8(а+3)
Всё наше выражение получится:
(3ах+9х)-(8а+24)=3х(а+3)-8(а+3)
Разложили на множители? Нет. В результате разложения должно получиться только умножение, а у нас знак минус всё портит. Но... В обоих слагаемых есть общий множитель! Это (а+3) . Я не зря говорил, что скобки целиком - это, как бы, одна буква. Значит, эти скобки можно вынести за скобки. Да, именно так и звучит.)
Делаем, как было рассказано выше. Пишем общий множитель (а+3) , во вторых скобках записываем результаты деления слагаемых на (а+3) :
3х(а+3)-8(а+3)=(а+3)(3х-8)
Всё! Справа кроме умножения ничего нет! Значит, разложение на множители завершено успешно!) Вот оно:
3ах+9х-8а-24=(а+3)(3х-8)
Повторим кратенько суть группировки.
Если в выражении нет общего множителя для всех слагаемых, разбиваем выражение скобками так, чтобы внутри скобок общий множитель был. Выносим его и смотрим, что получилось. Если повезло, и в скобках остались совершенно одинаковые выражения, выносим эти скобки за скобки.
Добавлю, что группировка - процесс творческий). Не всегда с первого раза получается. Ничего страшного. Иногда приходится менять слагаемые местами, рассматривать разные варианты группировки, пока не найдётся удачный. Главное здесь - не падать духом!)
Примеры.
Сейчас, обогатившись знаниями, можно и хитрые примеры порешать.) Была в начале урока тройка таких...
Упростить:
В сущности, этот пример мы уже решили. Незаметно для себя.) Напоминаю: если нам дана страшная дробь, пробуем разложить числитель и знаменатель на множители. Других вариантов упрощения просто нет.
Ну, знаменатель здесь не раскладывается, а числитель... Числитель мы уже разложили по ходу урока! Вот так:
3ах+9х-8а-24=(а+3)(3х-8)
Пишем результат разложения в числитель дроби:
По правилу сокращения дробей (основное свойство дроби), мы можем разделить (одновременно!) числитель и знаменатель на одно и то же число, или выражение. Дробь от этого не меняется. Вот и делим числитель и знаменатель на выражение (3х-8) . И там и там получим единички. Окончательный результат упрощения:
Особо подчеркну: сокращение дроби возможно тогда и только тогда, когда в числителе и знаменателе кроме умножения выражений ничего нет. Именно потому превращение суммы (разности) в умножение так важно для упрощения. Конечно, если выражения разные, то и не сократится ничего. Бывет. Но разложение на множители даёт шанс. Этого шанса без разложения - просто нет.
Пример с уравнением:
Решить уравнение:
х 5 - x 4 = 0
Выносим общий множитель х 4 за скобки. Получаем:
х 4 (x-1)=0
Соображаем, что произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда какой-нибудь из них равен нулю. Если сомневаетесь, найдите мне парочку ненулевых чисел, которые при умножении ноль дадут.) Вот и пишем, сначала первый множитель:
При таком равенстве второй множитель нас не волнует. Любой может быть, всё равно в итоге ноль получится. А какое число в четвёртой степени ноль даст? Только ноль! И никакое другое... Стало быть:
С первым множителем разобрались, один корень нашли. Разбираемся со вторым множителем. Теперь нас не волнует уже первый множитель.):
Вот и нашли решение: x 1 = 0; x 2 = 1 . Любой из этих корней подходит к нашему уравнению.
Очень важное замечание. Обратите внимание, мы решали уравнение по кусочкам! Каждый множитель приравнивали к нулю, не обращая внимания на остальные множители. Кстати, если в подобном уравнении будет не два множителя, как у нас, а три, пять, сколько угодно - решать будем точно так же. По кусочкам. Например:
(х-1)(х+5)(х-3)(х+2)=0
Тот, кто раскроет скобки, перемножит всё, тот навсегда зависнет на этом уравнении.) Правильный ученик сразу увидит, что слева кроме умножения ничего нет, справа - ноль. И начнёт (в уме!) приравнивать к нулю все скобочки по порядочку. И получит (за 10 секунд!) верное решение: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.
Здорово, правда?) Такое элегантное решение возможно, если левая часть уравнения разложена на множители. Намёк понятен?)
Ну и, последний пример, для старшеньких):
Решить уравнение:
Чем-то он похож на предыдущий, не находите?) Конечно. Самое время вспомнить, что в алгебре седьмого класса под буквами могут скрываться и синусы, и логарифмы, и всё, что угодно! Разложение на множители работает во всей математике.
Выносим общий множитель lg 4 x за скобки. Получаем:
lg 4 x=0
Это один корень. Разбираемся со вторым множителем.
Вот и окончательный ответ: x 1 = 1; x 2 = 10 .
Надеюсь, вы осознали всю мощь разложения на множители в упрощении дробей и решении уравнений.)
В этом уроке мы познакомились с вынесением общего множителя и группировкой. Остаётся разобраться с формулами сокращённого умножения и квадратным трёхчленом.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
На данном уроке будут рассмотрены различные способы разложения знаменателя на множители при сложении и вычитании алгебраических дробей. Фактически, мы вспомним те методы, которые уже были изучены ранее. Это и вынесение общего множителя за скобки, и группировка слагаемых, и применение формул сокращённого умножения, а также выделение полного квадрата. Все эти методы применяются при сложении и вычитании алгебраических дробей с разными знаменателями. В рамках урока мы вспомним все вышеперечисленные правила, а также разберём примеры на применение этих правил.
Напомним, что алгебраической дробью называется выражение , где - многочлены. А многочлены можно и нужно уметь раскладывать на множители. Предположим, нам необходимо сложить или вычесть две алгебраические дроби: .
Каков алгоритм наших действий?
1. Сократить или упростить каждую из дробей.
2. Найти наименьший общий знаменатель двух дробей.
Эти действия требуют разложения на множители многочленов .
Рассмотрим несколько примеров на сокращение (упрощение) дробей.
Пример 1. Упростить: .
Решение:
Первое, что необходимо попытаться сделать при сокращении, - вынести общий множитель за скобки.
В нашем случае и в числителе, и в знаменателе есть множители, которые можно вынести за скобки.
.
Затем сократим общие множители числителя и знаменателя. Получим:
При этом учтём, что знаменатель дроби не может равняться . То есть: 
.
Ответ: .
Пример 2. Упростить: .
Решение:
По схеме решения предыдущего примера попытаемся вынести за скобки общий множитель. В числителе это сделать нельзя, а в знаменателе можно вынести за скобку .
Если не получается вынести общий множитель, нужно попробовать воспользоваться формулами сокращённого умножения. Действительно, в числителе стоит полный квадрат разности. Получаем:
.
Мы видим похожие скобки в числителе и знаменателе.
Однако они отличаются знаком.
Для этого воспользуемся равенством: . Отсюда получаем: . Получаем:
Ответ: .
Рассмотрим теперь пример, в котором необходимо упростить разность двух дробей.
Пример 3. Упростить: .
Решение:
Поскольку в знаменателе первой дроби стоит разность кубов, воспользуемся формулой сокращённой умножения. Получаем:
Ответ: .
Давайте вспомним: что же такое многочлен? - это сумма одночленов. А одночлен - это произведение степеней переменных и чисел.
Теперь перечислим и разберём примеры разложения многочленов на множители.
Способ 1. Вынесение общего множителя за скобки.
Пример 4. Разложить на множители: .
Пример 5. Разложить на множители: .
В последнем примере общий множитель - двучлен.
Способ 2. Группировка.
Пример 6. Разложить на множители: .
Решение:
Вынести общий множитель за скобки в этом примере не удаётся. В этом случае необходимо попробовать сгруппировать слагаемые, в которых есть общие множители.
В этом примере удобно сгруппировать одночлены, содержащие и . Получаем: . Мы видим, что выражения в скобках практически одинаковы с точностью до знака. Получаем: .
Ответ: .
Способ 3. Формулы сокращенного умножения.
Перечислим основные формулы сокращённого умножения:
1. - разность квадратов;
2. - квадрат суммы (разности);
3. - разность кубов (выражение во второй скобке называется неполным квадратом суммы);
Сумма кубов (выражение во второй скобке называется неполным квадратом разности).
Надо не только запомнить эти формулы, но и уметь находить и применять их в реальных задачах.
Пример 7. Разложить на множители: .
Пример 8. Разложить на множители: .
Решение:
Здесь напрашивается формула квадрата разности. Однако возникает вопрос: как применить эту формулу. Проще всего выделить квадраты, а затем уже найти удвоенное произведение. В данном примере: . То есть, в роли . Получаем: .
Ответ: .
Не стоит забывать, что в чистом виде данные методы применяются редко. Чаще используются комбинированные методы.
Способ 4. Выделение полного квадрата.
Рассмотрим применение данного метода на конкретном примере.
Пример 9. Разложить на множители: .
Решение:
Выделение полного квадрата обычно происходит по первым двум слагаемым. Действительно, квадрат первого - - у нас уже есть. Значит, второе слагаемое должно представлять собой удвоенное произведение первого выражения на второе. То есть: 
. Значит, если в роли из формулы квадрата разности выступает , то в роли должна выступать . Для применения этой формулы нам не хватает . Если чего-то не хватает, то можно добавить это выражение и вычесть, чтобы не менять значение выражения. Получаем.
Приведены наиболее эффективные методы разложения правильных рациональных дробей, составленных из многочленов, на простейшие. Рассмотрены характерные примеры разложения дробей.
Пусть у нас имеется правильная рациональная дробь многочленов от переменной x
:
,
где Р m (x)
и Q n (x)
- многочлены степеней m
и n
,
соответственно, m < n
.
Мы считаем, что нам известно разложение многочлена Q n (x)
на множители:
Q n (x)
= s (x-a)
n a (x-b)
n b ...
(x 2 +ex+f)
n e (x 2 +gx+k)
n g ...
.
См. подробнее: Методы разложения многочленов на множители >>>
Примеры разложения многочленов на множители >>>
Общий вид разложения рациональной дроби на простейшие
Общий вид разложения рациональной дроби на простейшие следующий:
.
Здесь A i , B i , E i , ...
- действительные числа (неопределенные коэффициенты), которые нужно определить.
Например,
.
Еще один пример:
.
Методы разложения рациональной дроби на простейшие
Сначала мы записываем разложение с неопределенными коэффициентами в общем виде. . Затем освобождаемся от знаменателей дробей, умножая уравнение на знаменатель исходной дроби Q n . В результате получаем уравнение, содержащее и слева и справа многочлены от переменной x . Это уравнение должно выполняться для всех значений x . Далее существует три основных метода определения неопределенных коэффициентов.
1)
Можно присвоить переменной x
определенные значения. Задавая несколько таких значений, мы получим систему уравнений, из которой можно определить неизвестные коэффициенты A i , B i , ...
.
2)
Поскольку полученное уравнение и с лева и справа содержит многочлены, то можно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной x
.
Из полученной системы можно определить неопределенные коэффициенты.
3)
Можно продифференцировать уравнение и присвоить переменной x
определенные значения.
На практике, удобно комбинировать эти методы. Разберем их применение на конкретных примерах.
Пример
Разложить правильную рациональную дробь на простейшие.
Решение
1.
Устанавливаем общий вид разложения.
(1.1)
,
где A, B, C, D, E
- коэффициенты, которые нужно определить.
2.
Избавимся от знаменателей дробей. Для этого умножим уравнение на знаменатель исходной дроби (x-1) 3 (x-2)(x-3)
.
В результате получаем уравнение:
(1.2)
.
3.
Подставим в (1.2)
x = 1
.
Тогда x - 1 = 0
.
Остается
.
Отсюда .
Подставим в (1.2)
x = 2
.
Тогда x - 2 = 0
.
Остается
.
Отсюда .
Подставим x = 3
.
Тогда x - 3 = 0
.
Остается
.
Отсюда .
4.
Осталось определить два коэффициента: B
и C
.
Это можно сделать тремя способами.
1) Подставить в формулу (1.2)
два определенных значения переменной x
.
В результате получим систему из двух уравнений, из которой можно определить коэффициенты B
и C
.
2) Открыть скобки и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x
.
3) Продифференцировать уравнение (1.2)
и присвоить переменной x
определенное значение.
В нашем случае, удобно применить третий способ. Возьмем производную от левой и правой частей уравнения (1.2)
и подставим x = 1
.
При этом замечаем, что члены, содержащие множители (x-1) 2
и (x-1) 3
дают нуль, поскольку, например,
, при x = 1
.
В произведениях вида (x-1)
g(x)
,
дифференцировать нужно только первый множитель, поскольку
.
При x = 1
второй член обращается в нуль.
Дифференцируем (1.2)
по x
и подставляем x = 1
:
;
;
;
3 = -3
A + 2
B
;
2
B = 3 + 3
A = 6
;
B = 3
.
Итак, мы нашли B = 3 . Остается найти коэффициент C . Поскольку при первом дифференцировании мы отбросили некоторые члены, то дифференцировать второй раз уже нельзя. Поэтому применим второй способ. Поскольку нам нужно получить одно уравнение, то нам не нужно находить все члены разложения уравнения (1.2) по степеням x . Мы выбираем самый легкий член разложения - x 4 .
Выпишем еще раз уравнение (1.2)
:
(1.2)
.
Раскрываем скобки и оставляем только члены вида x 4
.
.
Отсюда 0
= C + D + E
,
C = - D - E = 6 - 3/2 = 9/2
.
Сделаем проверку. Для этого определим C
первым способом. Подставим в (1.2)
x = 0
:
0 = 6
A - 6
B+ 6
C + 3
D + 2
E
;
;
. Все правильно.
Ответ
Определение коэффициента при старшей степени 1/(x-a)
В предыдущем примере мы сразу определили коэффициенты у дробей , , , присваивая, в уравнении (1.2) , переменной x значения x = 1 , x = 2 и x = 3 . В более общем случае, всегда можно сразу определить коэффициент при старшей степени дроби вида .
То есть если исходная дробь имеет вид:
,
то коэффициент при равен . Таким образом, разложение по степеням начинается с члена .
Поэтому в предыдущем примере мы сразу могли искать разложение в виде:
.
В некоторых простых случаях, можно сразу определить коэффициенты разложения. Например,
.
Пример с комплексными корнями знаменателя
Теперь разберем пример, в котором знаменатель имеет комплексные корни.
Пусть требуется разложить дробь на простейшие:
.
Решение
1.
Устанавливаем общий вид разложения:
.
Здесь A, B, C, D, E
- неопределенные коэффициенты (действительные числа), которые нужно определить.
2.
Освобождаемся от знаменателей дробей. Для этого умножаем уравнение на знаменатель исходной дроби :
(2.1)
.
3.
Заметим, что уравнение x 2 + 1 = 0
имеет комплексный корень x = i
,
где i
- комплексная единица, i 2 = -1
.
Подставим в (2.1)
, x = i
.
Тогда члены, содержащие множитель x 2 + 1
дают 0
.
В результате получаем:
;
.
Сравнивая левую и правую части, получаем систему уравнений:
-A + B = -1
,
A + B = -1
.
Складываем уравнения:
2
B = -2
,
B = -1
,
A = -B -1 = 1 - 1 = 0
.
Итак, мы нашли два коэффициента: А = 0
,
B = -1
.
4.
Заметим, что x + 1 = 0
при x = -1
.
Подставим в (2.1)
, x = -1
:
;
2 = 4
E
,
E = 1/2
.
5.
Далее удобно подставить в (2.1)
два значения переменной x
и получить два уравнения, из которых можно определить C
и D
.
Подставим в (2.1)
x = 0
:
0 =
B + D + E
,
D = -B - E = 1 - 1/2 = 1/2
.
6.
Подставим в (2.1)
x = 1
:
0 = 2(A + B) + 4(C + D) + 4
E
;
2(C + D) =
-A - B - 2
E = 0
;
C = -D = -1/2
.
Для закрепления материала будут рассмотрены несколько примеров и рассмотрена теория по разложению дробей на простейшие. Подробно рассмотрим метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений, изучим всевозможные комбинации.
Простые дроби имеют название элементарных дробей.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Дроби различают:
- A x - a ;
- A (x - a) n ;
- M x + N x 2 + p x + q ;
- M x + N (x 2 + p x + q) n .
A , M , N , a , p , q из которых являются числами, а дискриминант дробей 3 и 4 меньше нуля, то есть корней не имеет выражение.
При упрощении выражения быстрее выполняются вычислительные функции. Представление дробно-рациональной дроби как суммы простейших дробей аналогично. Для этого применяют ряды Лорана для того, чтобы разложить в степенные ряды или для поиска интегралов.
Например, если необходимо брать интеграл от дробно-рациональной функции вида ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x . После чего необходимо произвести разложение подынтегральной функции на простейшие дроби. Все это к формированию простых интегралов. Получаем, что
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 2 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = = 2 x + 3 ln x - 3 2 ∫ d (x 2 + 1) x 2 + 1 - 2 ∫ d x x 2 + 1 = = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan (x) + C
Пример 1
Произвести разложение дроби вида - 2 x + 3 x 3 + x .
Решение
Когда степень числителя многочлена меньше степени многочлена в знаменателе, имеет место разложение на простейшие дроби. Иначе применяется деление для выделения целой части, после чего производят разложение дробно-рациональной функции.
Применим деление углом. Получаем, что
Отсюда следует, что дробь примет вид
2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x
Значит, такое разложение приведет к тому, что результат будет равен - 2 x + 3 x 3 + x .
Алгоритм метода неопределенных коэффициентов
Для того, чтобы правильно произвести разложение, необходимо придерживаться нескольких пунктов:
- Произвести разложение на множители. можно применять вынесение за скобки, формулы сокращенного умножения, подбор корня. Имеющийся пример x 3 + x = x x 2 + 1 для упрощения выносят х за скобки.
- Разложение дроби на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами.
Рассмотрим на нескольких примерах:
Пример 2
Когда в знаменателе имеется выражение вида (x - a) (x - b) (x - c) (x - d) , количество множителей не имеет значения, дробь можно представить в виде дроби первого типа A x - a + B x - b + C x - c + D x - d , где a , b , c и d являются числами, A , B , C и D – неопределенными коэффициентами.
Пример 3
Когда знаменатель имеет выражение (x - a) 2 (x - b) 4 (x - c) 3 , количество множителей также не имеет значения, причем саму дробь необходимо привести ко второму или первому типу вида:
A 2 x - a 2 + A 1 x - a + B 4 x - b 4 + B 3 x - b 3 + B 2 x - b 2 + B 1 x - b + + C 3 x - c 3 + C 2 x - c 2 + C 1 x - c
где имеющиеся a , b , c являются числами, а A 1 , A 2 , B 1 , B 2 , B 3 , B 4 , C 1 , C 2 , C 3 - неопределенными коэффициентами. Какова степень многочлена, такое количество слагаемых имеем.
Пример 4
Когда знаменатель имеет вид типа x 2 + p x + q x 2 + r x + s , тогда количество квадратичных функций значения не имеет, а дробь принимает вид третьего типа P x + Q x 2 + p x + q + R x + S x 2 + r x + s ,где имеющиеся p , q , r и s являются числами, а P , Q , R и S – определенными коэффициентами.
Пример 5
Когда знаменатель имеет вид x 2 + p x + q 4 x 2 + r x + s 2 , количество множителей значения не имеет также, как и их степени, дробь представляется в виде третьего и четверного типов вида
P 4 x + Q 4 (x 2 + p x + q) 4 + P 3 x + Q 3 (x 2 + p x + q) 3 + P 2 x + Q 2 (x 2 + p x + q) 2 + P 1 x + Q 1 x 2 + p x + q + + R 2 x + S 2 (x 2 + r x + s) 2 + R 1 x + S 1 x 2 + r x + s
где имеющиеся p , q , r и s являются числами, а P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , R 1 , R 2 , S 1 , S 2 - неопределенными коэффициентами.
Пример 6
Когда имеется знаменатель вида (x - a) (x - b) 3 (x 2 + p x + q) (x 2 + r x + s) 2 , тогда дробь необходимо представить в виде четвертого типа
A x - a + B 3 x - b 3 + В 2 x - b 2 + В 1 x - b + + P x + Q x 2 + p x + q + R 2 x + S 2 x 2 + r x + s 2 + R 1 x + S 1 x 2 + r x + s
Рассмотрим на примере дроби. Когда дробь раскладывается в сумму третьим типом вида 2 x - 3 x 3 + x = 2 x - 3 x (x 2 + 1) = A x + B x + C x 2 + 1 , где A , B и C являются неопределенными коэффициентами.
Приведение полученной суммы простейших дробей при наличии неопределенного коэффициента к общему знаменателю, применяем метода группировки при одинаковых степенях х и получаем, что
2 x - 3 x 3 + x = 2 x - 3 x (x 2 + 1) = A x + B x + C x 2 + 1 = = A (x 2 + 1) + (B x + C) x x (x 2 + 1) = A x 2 + A + B x 2 + C x x (x 2 + 1) = = x 2 (A + B) + x C + A x (x 2 + 1)
Когда х отличен от 0 , тогда решение сводится к приравниванию двух многочленов. Получаем 2 x - 3 = x 2 (A + B) + x C + A . Многочлены считаются равными тогда, когда совпадают коэффициенты при одинаковых степенях.
- Приравнивание коэффициентов с одинаковыми степенями х. Получим, что система линейных уравнений при наличии определенных коэффициентов:
A + B = 0 C = 2 A = - 3 - Решение полученной системы при помощи любого способа для нахождения неопределенных коэффициентов: A + B = 0 C = 2 A = - 3 ⇔ A = - 3 B = 3 C = 2
- Производим запись ответа:
2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 - 2 x - 3 x 3 + x = 2 - 2 x - 3 x (x 2 + 1) = = 2 - A x + B x + C x 2 + 1 = 2 - - 3 x + 3 x + 2 x 2 + 1 = 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1
Необходимо постоянно выполнять проверки. Это способствует тому, что приведение к общему знаменателю получит вид
2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 = 2 x (x 2 + 1) - (3 x + 2) x x (x 2 + 1) = 2 x 3 + 3 x 3 + x
Методом неопределенных коэффициентов считают метод разложения дроби на другие простейшие.
Использование метода частных значений способствует представлению линейных множителей таким образом:
x - a x - b x - c x - d .
Пример 7
Произвести разложение дроби 2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x .
Решение
По условию имеем, что степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя, тогда деление выполнять не нужно. Необходимо перейти к разложению на множители. для начала необходимо выполнить вынесение х за скобки. Получим, что
x 3 - 5 x 2 + 6 x = x (x 2 - 5 x + 6)
Квадратный трехчлен x 2 - 5 x + 6 имеет корни, которые находим не по дискриминанту, а по теореме Виета. Получим:
x 1 + x 2 = 5 x 1 · x 2 = 6 ⇔ x 1 = 3 x 2 = 2
Запись трехчлена может быть в виде x 2 - 5 x + 6 = (x - 3) (x - 2) .
Тогда изменится знаменатель: x 2 - 5 x 2 + 6 x = x (x 2 - 5 x + 6) = x (x - 3) (x - 2)
Имея такой знаменатель, дробь раскладываем на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Выражение примет вид:
2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x = 2 x 2 - x - 7 x (x - 3) (x - 2) = A x + B x - 3 + C x - 2
Полученный результат необходимо приводить к общему знаменателю. Тогда получаем:
2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x = 2 x 2 - x - 7 x (x - 3) (x - 2) = A x + B x - 3 + C x - 2 = = A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3) x (x - 3) (x - 2)
После упрощения придем к неравенству вида
2 x 2 - x - 7 x (x - 3) (x - 2) = A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3) x (x - 3) (x - 2) ⇒ ⇒ 2 x 2 - x - 7 = A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3)
Теперь переходим к нахождению неопределенных коэффициентов. Нужно подставлять полученные значения в равенство для того, чтобы знаменатель обратился в ноль, то есть значения х = 0 , х = 2 и х = 3 .
Если х = 0 , получим:
2 · 0 2 - 0 - 7 = A (0 - 3) (0 - 2) + B · 0 · (0 - 2) + C · 0 · (0 - 3) - 7 = 6 A ⇒ A = - 7 6
Если x = 2 , тогда
2 · 2 2 - 2 - 7 = A (2 - 3) (2 - 2) + B · 2 · (2 - 2) + C · 2 · (2 - 3) - 1 = - 2 C ⇒ C = 1 2
Если x = 3 , тогда
2 · 3 2 - 3 - 7 = A (3 - 3) (3 - 2) + B · 3 · (3 - 2) + C · 3 · (3 - 3) 8 = 3 B ⇒ B = 8 3
Ответ: 2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x = A x + B x - 3 + C x - 2 = - 7 6 · 1 x + 8 3 · 1 x - 3 + 1 2 · 1 x - 2
Метод коэффициентов и метод частных значений отличаются только способом нахождения неизвестных. Данные методы могут быть совмещены для быстрого упрощения выражения.
Пример 8
Произвести разложение выражения x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 на простейшие дроби.
Решение
По условию имеем, что степень числителя многочлена меньше знаменателя, значит зазложение примет вид
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 = A x - 1 + B x + 1 + C (x - 3) 3 + C (x - 3) 2 + C x - 3
Производим приведение к общему знаменателю. Имеем, что
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 = A x - 1 + B x + 1 + C (x - 3) 3 + C (x - 3) 2 + C x - 3 = = A (x + 1) (x - 3) 3 + B (x - 1) (x - 3) 3 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 + + C 3 (x - 1) (x + 1) + C 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C 1 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3
Приравняем числители и получим, что
x 4 + 3 x 3 + 2 x + 11 = = A (x + 1) (x - 3) 3 + B (x - 1) (x - 3) 3 + + C 3 (x - 1) (x + 1) + C 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C 1 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 2
Из выше написанного понятно, что нули знаменателя – это х = 1 , х = - 1 и х = 3 . Тогда применим метод частных решений. Для этого подставим значения х. получим, что если х=1:
5 = - 16 A ⇒ A = 5 16
Если х = - 1
15 = 128 B ⇒ B = - 15 128
157 = 8 C 3 ⇒ C 3 = 157 8
Отсюда следует, что нужно найти значения C 1 и C 3 .
Поэтому подставим полученный значения в числитель, тогда
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 = = 5 16 (x + 1) (x - 3) 3 - 15 128 (x - 1) (x - 3) 3 + 157 8 (x - 1) (x + 1) + + C 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C 1 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 2
Раскроем скобки для того, чтобы привести подобные слагаемые с одинаковыми степенями. Придем к выражению вида
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 = x 4 25 128 + C 1 + x 3 - 85 64 + C 2 - 6 C 1 + + x 2 673 32 - 3 C 2 + 8 C 1 + x 405 64 - C 2 + 6 C 1 + 3 C 2 - 9 C 1 - 3997 128
Необходимо приравнять соответствующие коэффициенты с одинаковыми степенями, тогда сможем найти искомое значение C 1 и C 3 . Теперь необходимо решить систему:
25 128 + C 1 = 1 - 85 64 + C 2 - 6 C 1 = 3 673 32 - 3 C 2 + 8 C 1 = 0 405 64 - C 2 + 6 C 1 = 2 3 C 2 - 9 C 1 - 3997 128 = 11
Первое уравнение дает возможность найти C 1 = 103 128 , а второе C 2 = 3 + 85 64 + 6 C 1 = 3 + 85 64 + 6 · 103 128 = 293 32 .
Итог решения – это искомое разложение дроби на простейшие вида:
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 = A x - 1 + B x + 1 + C 3 x - 3 3 + C 2 x - 3 2 + C 1 x - 3 = = 5 16 1 x - 1 - 15 128 1 x + 1 + 157 8 · 1 x - 3 3 + 293 32 1 x - 3 2 + 103 128 1 x - 3
Примечание
При непосредственном применении метода неопределенных коэффициентов необходимо было бы решать все пять линейных уравнений, объединенных в систему. Такой метод упрощает поиск значения переменных и дальнейшее решение в совокупности. Иногда применяется несколько методов. Это необходимо для быстрого упрощения всего выражения и поиска результата.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Очень часто числитель и знаменатель дроби представляют собой алгебраические выражения, которые сначала нужно разложить на множители, а потом, обнаружив среди них одинаковые, разделить на них и числитель, и знаменатель, то есть сократить дробь. Заданиям разложить многочлен на множители посвящена целая глава учебника по алгебре в 7-м классе. Разложение на множители можно осуществить 3 способами , а также комбинацией этих способов.
1. Применение формул сокращенного умножения
Как известно, чтобы умножить многочлен на многочлен , нужно каждое слагаемое одного многочлена умножить на каждое слагаемое другого многочлена и полученные произведения сложить. Есть, как минимум, 7 (семь) часто встречающихся случаев умножения многочленов, которые вошли в понятие . Например,
Таблица 1. Разложение на множители 1-м способом
2. Вынесение общего множителя за скобку
Этот способ основан на применении распределительного закона умножения. Например,
Каждое слагаемое исходного выражения мы делим на множитель, который выносим, и получаем при этом выражение в скобках (то есть в скобках остаётся результат деления того, что было, на то, что выносим). Прежде всего нужно правильно определить множитель , который надо вынести за скобку.
Общим множителем может быть и многочлен в скобках:
При выполнении задания «разложите на множители» надо быть особенно внимательным со знаками при вынесении общего множителя за скобки. Чтобы поменять знак у каждого слагаемого в скобке (b — a) , вынесем за скобку общий множитель -1 , при этом каждое слагаемое в скобке разделится на -1: (b — a) = — (a — b) .
В том случае если выражение в скобках возводится в квадрат (или в любую чётную степень), то числа внутри скобок можно менять местами совершенно свободно, так как вынесенные за скобки минусы при умножении всё равно превратятся в плюс: (b — a) 2 = (a — b) 2 , (b — a) 4 = (a — b) 4 и так далее…
3. Способ группировки
Иногда общий множитель имеется не у всех слагаемых в выражении, а только у некоторых. Тогда можно попробовать сгруппировать слагаемые в скобки так, чтобы из каждой можно было какой-то множитель вынести. Способ группировки - это двойное вынесение общих множителей за скобки.
4. Использование сразу нескольких способов
Иногда нужно применить не один, а несколько способов разложения многочлена на множители сразу.
Это конспект по теме «Разложение на множители» . Выберите дальнейшие действия:
- Перейти к следующему конспекту: