Интерференция – это сложение колебаний. В результате интерференции в каких-то точках пространства происходит рост амплитуды колебаний, а в других – их уменьшение. Неизменная картина интерференции наблюдается только тогда, когда разность складываемых колебаний постоянна (они когерентны ). Очевидно, что когерентными могут быть колебания одинаковой частоты. Поэтому чаще всего изучают интерференцию монохроматических колебаний.
Дифракцией -- называют явления, связанные со свойством волн огибать препятствия,т.е отклоняться от прямолинейного распространения.
На рисунке справа показано, как меняют направление звуковые волны после прохождения через отверстие в стене. Согласно принципа Гюйгенса области 1-5 становятся вторичными источниками сферических звуковых волн. Видно, что вторичные источники в областях 1 и 5 приводят к огибанию волнами препятствий.
Вопрос 30.1
Стоячие волны. Уравнение стоячей волны.
Если в среде распространяется несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Волны накладываются друг на друга , не возмущая (не искажая друг друга ). Это и есть принцип суперпозиции волн.
Если две волны, приходящие в какую-либо точку пространства, обладают постоянной разностью фаз, такие волны называются когерентными. При сложении когерентных волн возникаетявление интерференции.
Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называетсястоячей волной . Практически стоячие волны возникают при отражении от преград.
Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях (начальная фаза ):
В выражении для фазы не входит координата, поэтому можно записать:
Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают.
Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженных волн. На границе, где происходит отражение волны, получается пучность, если среда, от которой происходит отражение, менее плотная (рис. 5.5, а ), и узел – если более плотная (рис. 5.5, б ).
Если рассматривать бегущую волну , то в направлении ее распространения переносится энергия колебательного движения. В случае же стоячей волны переноса энергии нет , т.к. падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях.
Вопрос 32
Звуковые волны.
Звуковыми (или акустическими ) волнами называются распространяющиеся в среде упругие волны, обладающие частотами в пределах 16-20000 Гц. Волны указанных частот, воздействуя на слуховой аппарат человека, вызывают ощущение звука. Волны с n < 16 Гц (инфразвуковые ) и n > 20 кГц (ультразвуковые ) органами слуха человека не воспринимаются.
Звуковые волны в газах и жидкостях могут быть только продольными, так как эти среды обладают упругостью лишь по отношению к деформациям сжатия (растяжения). В твердых телах звуковые волны могут быть как продольными, так и поперечными, так как твердые тела обладают упругостью по отношению к деформациям сжатия (растяжения) и сдвига.
Интенсивностью звука (или силой звука ) называется величина, определяемая средней по времени энергией, переносимой звуковой волной в единицу времени сквозь единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны:
Единица интенсивности звука в СИ -ватт на метр в квадрате (Вт/м 2).
Чувствительность человеческого уха различна для разных частот. Для того чтобы вызвать звуковое ощущение, волна должна обладать некоторой минимальной интенсивностью, но если эта интенсивность превышает определенный предел, то звук не слышен и вызывает только болевое ощущение. Таким образом, для каждой частоты колебаний существуют наименьшая(порог слышимости) и наибольшая(порог болевого ощущения) интенсивности звука, которые способны вызвать звуковое восприятие. На рис. 223 представлены зависимости порогов слышимости и болевого ощущения от частоты звука. Область, расположенная между этими двумя кривыми, являетсяобластью слышимости.
Если интенсивность звука является величиной, объективно характеризующей волновой процесс, то субъективной характеристикой звука, связанной с его интенсивностью, является громкость звука , зависящая от частоты. Согласно физиологическому закону Вебера - Фехнера, с ростом интенсивности звука громкость возрастает по логарифмическому закону. На этом основании вводят объективную оценку громкости звука по измеренному значению его интенсивности:
где I 0 - интенсивность звука на пороге слышимости, принимаемая для всех звуков равной 10 –12 Вт/м 2 . Величина L называетсяуровнем интенсивности звука и выражается в белах (в честь изобретателя телефона Белла). Обычно пользуются единицами, в 10 раз меньшими, - децибелами (дБ).
Физиологической характеристикой звука является уровень громкости , который выражается в фонах (фон). Громкость для звука в 1000 Гц (частота стандартного чистого тона) равна 1 фон, если его уровень интенсивности равен 1 дБ. Например, шум в вагоне метро при большой скорости соответствует »90 фон, а шепот на расстоянии 1м - »20 фон.
Реальный звук является наложением гармонических колебаний с большим набором частот, т. е. звук обладает акустическим спектром , который может быть сплошным (в некотором интервале присутствуют колебания всех частот) и линейчатым (присутствуют колебания отделенных друг от друга определенных частот).
Звук характеризуетсяпомимо громкости еще высотой и тембром.Высота звука - качество звука, определяемое человеком субъективно на слух и зависящее от частоты звука. С ростом частоты высота звука увеличивается, т. е. звук становится «выше». Характер акустического спектра и распределения энергии между определенными частотами определяет своеобразие звукового ощущения, называемоетембром звука. Так, различные певцы, берущие одну и ту же ноту, имеют различный акустический спектр, т. е. их голоса имеют различный тембр.
Источником звука может быть всякое тело, колеблющееся в упругой среде со звуковой частотой (например, в струнных инструментах источником звука является струна, соединенная с корпусом инструмента).
Совершая колебания, тело вызывает колебания прилегающих к нему частиц среды с такой же частотой. Состояние колебательного движения последовательно передается к все более удаленным от тела частицам среды, т. е. в среде распространяется волна с частотой колебаний, равной частоте ее источника, и с определенной скоростью, зависящей от плотности и упругих свойств среды. Скорость распространения звуковых волн в газах вычисляется по формуле
где R - молярная газовая постоянная, М - молярная масса, g=С р /С V - отношение молярных теплоемкостей газа при постоянных давлении и объеме, Т - термодинамическая температура. Из формулы (158.1) вытекает, что скорость звука в газе не зависит от давления р газа, но возрастает с повышением температуры. Чем больше молярная масса газа, тем меньше в нем скорость звука. Например, при T =273 К скорость звука в воздухе (M =29×10 –3 кг/моль)v =331 м/с, в водороде (M =2×10 –3 кг/моль) v =1260 м/с. Выражение (158.1) соответствует опытным данным.
При распространении звука в атмосфере необходимо учитывать целый ряд факторов: скорость и направление ветра, влажность воздуха, молекулярную структуру газовой среды, явления преломления и отражения звука на границе двух сред. Кроме того, любая реальная среда обладает вязкостью, поэтому наблюдается затухание звука, т. е. уменьшение его амплитуды и, следовательно, интенсивности звуковой волны по мере ее распространения. Затухание звука обусловлено в значительной мере его поглощением в среде, связанным с необратимым переходом звуковой энергии в другие формы энергии (в основном в тепловую).
Для акустики помещений большое значение имеет реверберация звука - процесс постепенного затухания звука в закрытых помещениях после выключения его источника. Если помещения пустые, то происходит медленное затухание звука и создается «гулкость» помещения. Если звуки затухают быстро (при применении звукопоглощающих материалов), то они воспринимаются приглушенными. Время реверберации - это время, в течение которого интенсивность звука в помещении ослабляется в миллион раз, а его уровень - на 60 дБ. Помещение обладает хорошей акустикой, если время реверберации составляет 0,5-1,5 с.
Вопрос 32.1
Высота звука
Помимо громкости звук характеризуется высотой. Высота звука определяется его частотой: чем больше частота колебаний в звуковой волне, тем выше звук. Колебаниям небольшой частоты соответствуют низкие звуки, колебаниям большой частоты - высокие звуки.
Так, например, шмель машет своими крылышками с меньшей частотой, чем комар: у шмеля она составляет 220 взмахов в секунду, а у комара - 500-600. Поэтому полет шмеля сопровождается низким звуком (жужжанием), а полет комара - высоким (писком).
Звуковую волну определенной частоты иначе называют музыкальным тоном, поэтому о высоте звука часто говорят как о высоте тона.
Основной тон с примесью нескольких колебаний других частот образует музыкальный звук. Например, звуки скрипки и пианино могут включать до 15-20 различных колебаний. От состава каждого сложного звука зависит его тембр.
Частота свободных колебаний струны зависит от ее размеров и натяжения. Поэтому, натягивая струны гитары с помощью колышков и прижимая их к грифу гитары в разных местах, мы меняем их собственную частоту, а следовательно, и высоту издаваемых ими звуков.
Характер восприятия звука во многом зависит от планировки помещения, в котором слушается речь или музыка. Объясняется это тем, что в закрытых помещениях слушатель воспринимает, кроме прямого звука, еще и слитный ряд быстро следующих друг за другом повторений, вызванных многократными отражениями звука от находящихся в помещении предметов, стен, потолка и пола.
Вопрос 32.2
Сила звука
Сила звука (относительная) - устаревший термин, описывающий величину, подобную интенсивности звука, но не идентичную ей. Примерно такую же ситуацию мы наблюдаем для силы света (единица - кандела) - величины, подобной силе излучения (единица - ватт на стерадиан).
Сила звука измеряется по относительной шкале от порогового значения, которому соответствует интенсивность звука 1 пВт/м² при частоте синусоидального сигнала 1 кГц извуковом давлении 20 мкПа. Сравните это определение с определением единицы силы света: «кандела равна силе света, испускаемого в заданном направлении монохроматическим источником, при частоте излучения 540 ТГц и силе излучения в этом направлении 1/683 Вт/ср».
В настоящее время термин «сила звука» вытеснен термином «уровень громкости звука»
Наблюдения за распространением волн на поверхности воды от двух или большего числа источников показывают, что волны проходят одна через другую, совершенно не влияя друг на друга. Точно так же не влияют друг на друга и звуковые волны. Когда играет оркестр, то звуки от каждого инструмента приходят к нам точно такими же, как если бы играл отдельно каждый инструмент.
Этот экспериментально установленный факт объясняется тем, что в пределах упругой деформации сжатие или растяжение тел вдоль одного направления не влияет на их упругие свойства при деформации по любым другим направлениям. Поэтому в каждой точке, которой достигают волны от разных источников, результат действия нескольких волн в любой момент времени равен сумме результатов действия каждой волны в отдельности. Эта закономерность называется принципом суперпозиции.
Интерференция волн.
Для более глубокого понимания содержания принципа суперпозиции проделаем следующий опыт.
В волновой ванне с помощью вибратора с двумя стержнями создадим два точечных источника волн с одинаковой частотой
колебаний. Наблюдения показывают, что в этом случае в волновой ванне возникает особая картина распространения волн. На водной поверхности выделяются полосы, где колебания отсутствуют (рис. 226).
Подобное явление можно обнаружить в опытах со звуковыми волнами. Установим два динамических громкоговорителя и подключим их к выходу одного звукового генератора. Перемещаясь на небольшие расстояния в классной комнате, на слух можно обнаружить, что в одних точках пространства звучание громкое, а в других - тихое. Звуковые волны от двух источников в одних точках пространства усиливают, а в других ослабляют друг друга (рис. 227).
Явление увеличения или уменьшения амплитуды результирующей волны при сложении двух или нескольких волн с одинаковыми периодами колебаний называется интерференцией волн.
Явление интерференции волн не противоречит принципу суперпозиции. В точках с нулевой амплитудой колебаний две встречающиеся волны не «гасят» друг друга, обе они без изменений распространяются далее.
Условия интерференционного минимума и максимума.
Амплитуда колебаний равна нулю в
тех точках пространства, в которые волны с одинаковыми амплитудой и частотой приходят со сдвигом по фазе колебаний на или на половину периода колебаний. При одинаковом законе колебаний двух источников волн различие на половину периода колебаний будет при условии, что разность расстояний от источников волн до этой точки равна половине длины волны:
или нечетному числу полуволн:
Разность называется разностью хода интерферирующих волн, а условие
называется условием интерференционного минимума.
Интерференционные максимумы наблюдаются в точках пространства, в которые волны приходят с одинаковой фазой колебаний. При одинаковом законе колебаний двух источников для выполнения этого условия разность хода должна равняться целому числу волн:
Когерентность.
Интерференция волн возможна только при выполнении условия когерентности. Слово «когерентность» означает согласованность. Когерентными называются колебания с одинаковой частотой и постоянной во времени разностью фаз.
Интерференция и закон сохранения энергии.
Куда исчезает энергия двух волн в местах интерференционных минимумов? Если рассматривать только одно место встречи двух волн, то на такой вопрос нельзя дать правильный ответ. Распространение волн не является совокупностью независимых процессов колебаний в отдельных точках пространства. Сущность волнового процесса заключается в передаче энергии колебаний от одной точки пространства к другой и т. д. При интерференции волн в местах интерференционных минимумов энергия результирующих колебаний действительно меньше суммы энергий двух интерферирующих волн. Зато в местах интерференционных максимумов энергия результирующих колебаний превышает сумму энергий интерферирующих волн ровно на столько, на сколько уменьшилась энергия в местах интерференционных минимумов. При интерференции волн энергия колебаний перераспределяется в пространстве, но при этом закон сохранения энергии строго выполняется.
Днфракцня волн.
Если уменьшать размеры отверстия в преграде на пути волны, то, чем меньше будут размеры отверстия, тем большие отклонения от прямолинейного направления распространения будут испытывать волны (рис. 228, а, б). Отклонение направления распространения волн от прямолинейного у границы преграды называется дифракцией волн.
Для наблюдения дифракции звуковых волн подключим громкоговорители к выходу звукового генератора и поставим на пути распространения звуковых волн экран из материала,
поглощающего звуковые волны. Передвигая за экраном микрофон, можно обнаружить, что звуковые волны регистрируются и за краем экрана. Изменяя частоту звуковых колебаний и тем самым длину звуковых вола, можно установить, что явление дифракции становится более заметным при увеличении длины волны.
Дифракция волн происходит при их встрече с преградой любой формы и любых размеров. Обычно при больших по сравнению с длиной волны размерах препятствия или отверстия в преграде дифракция волн мало заметна. Наиболее отчетливо дифракция проявляется при прохождении волн через отверстие с размерами порядка длины волны или при встрече с препятствиями таких же размеров. При достаточно больших расстояниях между источником волн, преградой и местом наблюдения волн, дифракционные явления могут иметь место и при больших размерах отверстия или преграды.
Принцип Гюйгенса - Френеля.
Качественное объяснение явления дифракции можно дать на основе принципа Гюйгенса. Однако принцип Гюйгенса не может объяснить всех особенностей распространения волн. Поставим на пути плоских волн в волновой ванне преграду с широким отверстием. Опыт показывает, что волны проходят через отверстие и распространяются по первоначальному направлению луча. В остальных направлениях волны от отверстия не распространяются. Это противоречит принципу Гюйгенса, согласно которому вторичные волны должны распространяться во все стороны от точек, которых достигла первичная волна.
Поставим на пути волн широкую преграду. Опыт показывает, что за преграду волны не распространяются, что опять противоречит принципу Гюйгенса. Для объяснения явлений, наблюдаемых при встрече волн с преградами, французский физик Огюстен Френель (1788-1827) в 1815 г. дополнил принцип Гюйгенса представлениями о когерентности вторичных волн и их интерференции. Отсутствие волн в стороне от направления луча первичной волиы за широким отверстием согласно принципу Гюйгенса - Френеля объясняется тем, что вторичные когерентные волны, испускаемые разными участками отверстия, интерферируют между собой. Волны отсутствуют в тех местах, в которых для вторичных волн от разных участков выполняются условия интерференционных минимумов.
Поляризация волн.
Явления интерференции и дифракции
наблюдаются как при распространении продольных, так и поперечных волн. Однако поперечные волны обладают одним свойством, которым не обладают продольные волны, - свойством поляризации.
Поляризованной волной называется такая поперечная волна, в которой колебания всех частиц происходят в одной плоскости. Плоскополяризованная волна в резиновом шнуре получается при колебаниях конца шнура в одной плоскости. Если же конец шнура колеблется в различных направлениях, то волна, распространяющаяся вдоль шнура, не поляризована.
Поляризацию этой волны можно осуществить, поставив на ее пути преграду с отверстием в виде узкой щели. Щель пропускает только колебания шнура, происходящие вдоль нее. Поэтому волна после прохождения щели становится поляризованной в плоскости щели (рис. 229). Если далее на пути плоскополяризованной волны поставить вторую щель параллельно первой, то волна свободно проходит через нее. Поворот второй щели по отношению к первой на 90° останавливает процесс распространения волны в шнуре.
Устройство, выделяющее из всех возможных колебания, происходящие в одной плоскости (первая щель), называется поляризатором. Устройство, позволяющее определить плоскость поляризации волны (вторая щель), называется анализатором.
Интерференция и дифракция волн. Эффект Доплера.
При одновременном распространении нескольких волн смещение частиц среды представляет собой векторную сумму смещений, которые имели бы место при распространении каждой волны в отдельности. Иначе говоря, волны просто накладываются одна на другую, не искажая друг друга. Этот экспериментальный факт был известен еще Леонардо да Винчи, который заметил, что круги волн на воде от разных источников проходят один сквозь другой и распространяются дальше, не претерпев никаких изменений. Утверждение о независимом распространении нескольких волн носит название принципа суперпозиции для волнового движения.Мы уже рассматривали распространение в одном направлении двух одинаково поляризованных монохроматических волн с близкими частотами. В результате наложения таких волн получается почти синусоидальная волна с периодически меняющейся в пространстве амплитудой. «Моментальная фотография» такой волны выглядит как следующие друг за другом группы волн, а вызываемое волной колебание в какой-либо фиксированной точке имеет характер биений.
Когерентные волны.
Особый интерес представляет случай сложения так называемых когерентных волн, волн от согласованных источников. Простейшим примером когерентных волн являются монохроматические волны одинаковой частоты с постоянной разностью фаз. Для истинно монохроматических волн требование постоянной разности фаз будет лишним, так как они являются бесконечно протяженными в пространстве и во времени и две такие волны одинаковой частоты всегда имеют постоянную разность фаз. Но реальные волновые процессы, даже близкие к монохроматическим, всегда имеют конечную протяженность. Для того чтобы такие квазимонохроматические волны, представляющие собой последовательности отрезков синусоидальных волн, были когерентными, требование постоянной разности фаз является обязательным. Строго говоря, понятие когерентности волн является более сложным, чем описано выше. Подробнее мы познакомимся с ним при изучении оптики.вызываемая этими волнами картина колебаний является стационарной, в каждой точке происходят колебания с не зависящейот времени амплитудой. Разумеется, в разных точках амплитуды колебаний будут различаться.Пусть, например, два когерентных источника, находящиеся на расстоянии друг от друга, создают сферические волны, интерференция которых наблюдается в точке (рис. 201). Рис. 201. К интерференции волн от двух точечных источников
Если расстояния от источников до точки наблюдения велики по сравнению с расстоянием между источниками, то амплитуды обеих волн в точке наблюдения будут практически одинаковыми. Одинаковыми будут и направления смещений точек среды, вызываемых этими волнами в месте наблюдения.Результат интерференции в точке будет зависеть от разности фаз между волнами, приходящими в эту точку. Если источники совершают колебания в одинаковой фазе, то разность фаз волн в точке зависит только от разности хода волн от источников до точки наблюдения. Если эта разность хода равна целому числу длин волн, то волны приходят в точку в фазе и, складываясь, дают колебание с удвоенной амплитудой. Если же разность хода равна нечетному числу полуволн, то волны приходят в точку Р в противофазе и «гасят» друг друга амплитуда результирующего колебания равна нулю. При промежуточных значениях разности хода амплитуда колебаний в точке наблюдения принимает определенное значение в промежутке между указанными предельными случаями. Каждая точка среды характеризуется определенным значением амплитуды колебаний, которое не меняется со временем. Распределение этих амплитуд в пространстве называется интерференция и он ной картин ой.Гашение колебаний в одних местах и усиление в других при интерференции волн не связаны, вообще говоря, с какими-либо превращениями энергии колебаний. В точках, где колебания от двух волн гасят друг друга, энергия волн отнюдь не превращается в другие виды, например в теплоту. Все сводится лишь к перераспределению потока энергии в пространстве, так что минимумы энергии колебаний в одних местах компенсируются максимумами в других в полном соответствии с законом сохранения энергии.Для наблюдения устойчивой интерференционной картины не обязательно иметь два независимых когерентных источника. Вторую, когерентную с исходной волну можно получить в результате отражения исходной волны от границы среды, в которой происходит распространение волн. В этом случае интерферируют падающая и отраженная волны.
Стоячая волна.
Если плоская монохроматическая волна падает по нормали на плоскую границу раздела двух сред, то в результате отражения от границы возникает также плоская волна, распространяющаяся в обратном направлении. Аналогичное явление происходит при отражении распространяющейся в струне волны от закрепленного или свободного конца струны. При равенстве амплитуд падающей и отраженной волн в результате интерференции образуется стоячая волна. В стоячей волне, как и вообще при интерференции волн, каждая точка среды совершает гармоническое колебание с некоторой амплитудой, которая, в отличие от случая бегущей волны, в разных точках среды имеет разные значения (рис. 202).
Точки, в которых амплитуда колебаний струны максимальна, называются пучностями стоячей волны. Точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю, называются узлами. Расстояние между соседними узлами равно половине длины бегущей волны. График зависимости амплитуды стоячей волны от показан на рис. 202. На этом же рисунке штриховой линией показано положение струны в некоторый момент времени.Колебания всех точек струны, лежащих между двумя любыми ближайшими узлами, происходят в одинаковой фазе. Колебания точек струны, лежащих по разные стороны узла, происходят в противофазе. Фазовые соотношения в стоячей волне хорошо видны из рис. 202. Совершенно аналогично рассматривается стоячая волна, возникающая при отражении от свободного конца струны.
Стоячая волна и маятник.
Находящиеся в узлах стоячей волны частицы струны вообще не движутся. Поэтому через узловые точки не происходит передачи энергии. Стоячая волна, по существу, уже не является волновым движением, хотя и получается в результате интерференции двух бегущих навстречу волн одинаковой амплитуды. То, что стоячая волна уже фактически не волна, а скорее просто колебания, можно увидеть и из энергетических соображений.В бегущей волне кинетическая и потенциальная энергии в каждой точке колеблются в одинаковой фазе. В стоячей волне, как видно, например, из рис. 202, колебания кинетической и потенциальной энергий сдвинуты по фазе так же, как и при колебаниях маятника в тот момент, когда все точки струны одновременно проходят через равновесное положение, кинетическая энергия струны максимальна, а потенциальная энергия равна нулю, ибо струна в этот момент не деформирована.Волновые поверхности. Наглядное представление о распространении монохроматических волн в упругой среде или на поверхности воды дает картина волновых поверхностей. Все точки среды, лежащие на одной волновой поверхности, имеют в данный момент одну и ту же фазу колебания. Другими словами, волновая поверхность это поверхность постоянной фазы.Уравнение волновой поверхности можно получить, приравнивая фазу в уравнении волны постоянной величине. Например, для плоской волны, описываемой уравнениемуравнение волновой поверхности получаем, приравнивая аргумент косинуса произвольной константе.Видно, что для фиксированного момента времени уравнение это уравнение плоскости, перпендикулярной оси. С течением времени эта плоскость перемещается со скоростью и вдоль оси параллельно самой себе.Для сферической волны, описываемой уравнениемповерхность постоянной фазы задастся уравнениемВолновая поверхность в этом случае это сфера, центр которой совпадает с центром волны, а радиус растет с постоянной скоростью.
Фронт волны.
Следует различать понятия волновой поверхности и фронта волны. Волновая поверхность введена для монохроматической, строго говоря, бесконечно протяженной волны, при распространении которой все точки среды совершают гармонические колебания. Разумеется, это понятие можно применить и к более общему случаю стационарного волнового процесса, при котором все точки среды совершают периодические (но не обязательно гармонические) колебания по закону произвольная периодическая функция своего аргумента. Волновые поверхности в этом случае имеют точно такой же вид, как и в монохроматической волне.Понятие фронта волны относится к нестационарному волновому процессу распространения возмущения. Пусть вся среда находится в покое и в некоторый момент времени включается источник колебаний, от которого в среде начинает распространяться возмущение. Фронт волны это поверхность, которая отделяет точки среды, пришедшие в движение, от тех точек, до которых возмущение еще не дошло. Очевидно, что в однородной изотропной среде фронт волны от плоского источника колебаний представляет собой плоскость, а фронт волны от точечного источника - сферу.При распространении волн в однородной среде нахождение волновых поверхностей не представляет труда. Но при наличии в среде неоднородностей, преград, границ раздела и нахождение волновых поверхностей усложняется.Принцип Гюйгенса. Простой прием построения волновых поверхностей был предложен Гюйгенсом. Принцип Гюйгенса позволяет находить волновую поверхность в некоторый момент времени, если известно ее положение в предшествующий момент. Для этого каждую точку волновой поверхности в момент времени следует рассматривать как источник вторичных волн (рис. 203). Волновая поверхность каждой вторичной волны спустя промежуток времени представляет собой в однородной среде сферу радиуса. Искомая волновая поверхность в момент времени это геометрическая огибающая волновых поверхностей вторичных волн. Принцип Гюйгенса можно применять и для нахождения фронта волны в случае нестационарного волнового процесса.
Рис. 203. Построение волновой поверхности по принципу Гюйгенса.В первоначальной формулировке Гюйгенса этот принцип представлял собой по существу лишь удобный рецепт для нахождения волновых поверхностей, ибо он не объяснял, например, то, почему положение волновой поверхности дает именно передняя огибающая вторичных волн и каков смысл задней огибающей поверхности, показанной на рис. 203 штриховой линией. Обоснование принципа Гюйгенса было дано Френелем на основе учета интерференции вторичных волн. С применением принципа Гюйгенса-Френеля мы встретимся при изучении оптики.Легко видеть, что в простых случаях распространения плоской или сферической волны в однородной среде принцип Гюйгенса приводит к правильным результатам плоская волна остается плоской, а сферическая сферической. Принцип Гюйгенса позволяет найти закон отражения и преломления плоской волны на бесконечной плоской границе раздела двух однородных сред.Волны в неоднородной среде. С помощью принципа Гюйгенса можно объяснить, почему происходит поворот волновой поверхности при распространении волн в неоднородной среде. Пусть, например, плотность среды р возрастает в направлении оси у(рис. 204)
таким образом, что скорость распространения волн и уменьшается вдоль у по линейному закону. Если в какой-то момент времени волновая поверхность представляет собой плоскость, то спустя малый промежуток времени, в момент, эта волновая поверхность, как видно из рис. 204, поворачивается и занимает новое положение. Спустя следующий малый промежуток времени она занимает положение.Описанные явления удобно наблюдать при распространении волн на поверхности и звуковых волн в воздухе. Преломление Рис. 204. Поворот волновой звука, вызванное неоднородностью поверхности в неоднородной среде атмосферного воздуха, приводит к ряду интересных явлений. Жители прибрежных поселков часто слышат голоса из лодок, находящихся очень далеко. Так бывает, когда температура воздуха наверху выше, чем на поверхности воды, внизу воздух имеет большую плотность. Это значит, что скорость звука внизу, у поверхности воды, меньше, чем вверху. Тогда звуковая волна, которая должна была бы под углом уходить вверх, преломляется в сторону воды и распространяется вдоль ее поверхности. Вдоль поверхности воды образуется своего рода волновод, по которому звук может распространяться на большие расстояния без заметного ослабления.Аналогичный узкий волновод может существовать и в океанских глубинах при определенном сочетании температур и солености слоев воды. В результате образуется тонкий слой, в котором скорость акустических волн меньше, чем в слоях выше или ниже его. Звуковая энергия в таком канале распространяется, по существу, в двух, а не в трех измерениях и поэтому может быть обнаружена на больших расстояниях от источника.
Дифракция волн.
Применение принципа Гюйгенса к распространению волн в среде при наличии преград позволяет качественно объяснить явление дифракции загибание волн в область геометрической тени. Рассмотрим, например, плоскую волну, падающую на плоскую стенку с прямыми краями (рис. 205). Для простоты будем считать, что падающий на стенку участок волны полностью поглощается, так что отраженной волны нет. На рис. 205 показаны построенные по принципу Гюйгенса волновые поверхности позади преграды. Видно, что волны действительно загибаются в область тени.Но принцип Гюйгенса ничего не говорит об амплитуде колебаний в волне за преградой. Ее можно найти, рассматривая интерференцию волн, приходящих в область геометрической тени. Распределение амплитуд колебаний позади преграды называется дифракционной картиной. Непосредственно за преградой амплитуда колебаний очень мала. Чем дальше от преграды, тем заметнее становится проникновение колебаний в область геометрической тени.Полный вид дифракционной картины позади преграды зависит от соотношения между длиной волны, размером преграды и расстоянием от преграды до точки наблюдения. Если длина волны больше размеров препятствия, то волна его почти не замечает. Если длина волны Я одного порядка с размером преграды, то дифракция проявляется даже на очень малом расстоянии и волны за преградой лишь чуть-чуть слабее, чем в свободном волновом поле с обеих сторон. Если, наконец, длина волны много меньше размеров препятствия, то дифракционную картину можно наблюдать только на большом расстоянии от преграды, величина которого зависит.
Рис. 205. Дифракция плоской волны.Волна от движущегося источника. Принцип Гюйгенса позволяет найти вид фронта волны для нестационарного волнового процесса, возникающего при движении источника колебаний в неподвижной среде. Здесь возможны два существенно различных случая: скорость источника меньше скорости распространения волн в среде и и, наоборот. Пусть источник начинает двигаться из точки О по прямой с постоянной скоростью у, постоянно возбуждая колебания. В первом случае, когда, вопрос о форме фронта волны и его положении решается очень просто фронт будет сферическим, а центр его совпадает с положением источника в начальный момент времени, так как след от всех последующих возмущений окажется внутри этой сферы (рис. 206).Действительно, будем рассматривать создаваемые движущимся источником возмущения через равные промежутки времени. Точки дают положения источника в момент времени. Каждая из этих точек может рассматриваться как центр сферической волны, испущенной источником в тот момент, когда он находится в этой точке. На рис. 206 изображены положения фронтов этих волн в момент времени, когда источник находится в точке. Так как, то фронт каждой последующей волны целиком лежит внутри фронта предыдущей.
Рис. 206. Волновые поверхности при движении источника со скоростью, меньшей скорости волнРис. 207. Волновые поверхности при движении источника со скоростью, равной скорости волиЕсли скорость источника равна скорости распространения волн в среде, то, как показано на рис. 207, фронты всех волн, испущенных в точках, соприкасаются в точке, где находится в данный момент источник. Если на фронте каждой волны возникает некоторое уплотнение среды, то непосредственно перед движущимсяисточником, где фронты всех волн соприкасаются, уплотнение может быть значительным.Конус Маха. Особенно интересен случай, когда скорость источника больше скорости распространения волн в среде. Источник опережает созданные им волны. Положение фронтов волн, испущенных в точках, для того момента времени, когда источник находится в точке, показано на рис. 208.
Огибающая этих фронтов представляет собой поверхность кругового конуса, ось которого совпадает с траекторией источника, вершина в каждый момент времени совпадает с источником, а угол между образующей и осью определяется, как ясно из рис. 208, соотношением.Такой фронт волны получил название конуса Маха. С такой формой фронта волны приходится сталкиваться во всех случаях движения тел со сверхзвуковой скоростью - снарядов, ракет, реактивных самолетов. В тех случаях, когда уплотнение среды на фронте волны значительно, фронт волны можно сфотографировать.
Рис. 209. Конус Маха и фронт звуковой волны при движении источника со скоростью, меньшей скорости волиНа рис. 209, сделанном по фотографии, показаны конус Маха пули, движущейся со сверхзвуковой скоростью, и фронт звуковой волны, созданной пулей при ее движении в стволе с дозвуковой скоростью. Снимок сделан в тот момент, когда пуля обгоняет фронт звуковой волны.Аналогом конуса Маха в оптике является черенковское излучение,возникающее при движении заряженных частиц в веществе со скоростью, превышающей скорость света в этой среде.
Эффект Доплера.
Из рис. 206 видно, что при движении источника монохроматических волн длина излучаемых по разным направлениям волн различна и отличается от длины волны, которую испускал бы неподвижный источник. Если считать промежуток времени равным периоду колебаний, то сферы на рис. 206 можно рассматривать как последовательные гребни или впадины волн, а расстояние между ними как длину волны, излучаемой в соответствующем направлении. Видно, что длина волны, излучаемой по направлению движения источника, уменьшается, а в противоположном направлении - увеличивается. Понять, как это происходит, помогает рис. 210 источник начинает очередной период излучения волны, находясь в точке,и, двигаясь в том же направлении, что и волна, заканчивает период, находясь в точке. В результате длина излученной волны оказывается меньше, чем, на величину.
Неподвижный приемник, регистрирующий эти волны, будет принимать колебания с частотой, отличной от частоты колебанийЭта формула справедлива как в случае приближения источника к неподвижному приемнику, так и в случае удаления. При приближении скорость источника берется с положительным знаком, при удалении с отрицательным.Если источник движется с дозвуковой скоростью, то при приближении частота принимаемого звука выше, а при удалении ниже, чем при неподвижном источнике. Такое изменение высоты звука легко заметить, слушая звук гудка проносящегося мимо поезда или автомобиля. Если скорость приближения источника звука к приемнику стремится к скорости звука, то согласно длина волны стремится к нулю, а частота к бесконечности.Если и больше и, то сначала мимо приемника промчится источник и только потом придут созданные им при приближении звуковые волны. Эти волны будут приходить в обратной последовательности по сравнению с тем, как они излучались волны, излученные раньше, придут позже. В этом смысл отрицательного значения частоты, получаемого из формулы.Изменение частоты колебаний, регистрируемых приемником, происходит и в том случае, когда источник волн неподвижен в среде, а движется приемник. Если, например, приемник приближается к источнику со скоростью, то его скорость относительно гребней волнравна. Поэтому регистрируемая им частота колебаний равнаЭта формула справедлива и при удалении приемника от неподвижного источника, только скорость упр нужно взять с отрицательным знаком. Если приемник удаляется от источника со сверхзвуковой скоростью, то он догоняет ранее испущенные волны и регистрирует их в обратной последовательности.Явление изменения частоты принимаемых волн при движении источника или приемника относительно среды называется эффектом Доплера.
Акустические волны.
Для человеческого уха спектр слышимых звуков простирается от. Но эти пределы доступны только очень молодым людям. С возрастом чувствительность к верхней области спектра утрачивается. Воспринимаемый на слух диапазон значительно больше того сравнительно узкого диапазона частот, в котором заключены звуки человеческой речи.Некоторые существа могут производить и слышать звуки далеко за пределами воспринимаемого человеком диапазона частот. Летучиемыши и дельфины используют ультразвук (частота которого лежит выше верхней границы слышимых звуков) как своего рода «радар» (или «сонар») для эхолокации, для определения положения предметов. Ультразвук широко применяется в технике.Акустические колебания с частотами ниже нижней границы слышимых звуков называются инфразвуком. Они, как правило, вызывают у людей неприятные, тревожные ощущения.
В каких пределах может изменяться амплитуда при сложении двух монохроматических волн одинаковой частоты в зависимости от разности их фаз?
Опишите вид интерференционной картины, создаваемой двумя когерентными точечными источниками.
Почему плохо слышно, когда человек кричит против ветра? Конечно, встречный ветер уменьшает скорость звука, но ведь это уменьшение очень незначительно и само по себе не может объяснить наблюдаемого эффекта: скорость звука в воздухе около 340 м/с, а скорость ветра обычно не превышает 10-15 м/с. Для объяснения эффекта нужно принять во внимание, что вблизи земли скорость ветра меньше, чем наверху.
Как явления интерференции согласуются с законом сохранения энергии? Почему в тех случаях, когда длина волны много меньше размеров преграды, дифракционную картину можно наблюдать только на очень больших расстояниях от преграды?
В каком случае сдвиг частоты звуковых колебаний в эффекте Доплера проявляется сильнее: при движении источника звука или при движении приемника с такой же скоростью?
Применимы ли формулы для сдвига частоты при эффекте Доплера в случае движения источника или приемника звука со сверхзвуковой скоростью?
Приведите известные вам примеры применения ультразвука в технике.
Под интерференцией света понимают такое сложение световых волн, в результате которого образуется устойчивая картина их усиления и ослабления. Для получения интерференции света необходимо выполнение определенных условий.
Дифракцией света называют явление отклонения света от прямолинейного распространения в среде с резкими неоднородностями. Возможность наблюдения дифракции зависит от соотношения длины волны и размеров не-однородностей. Различают с некоторой степенью условности дифракцию сферических волн (дифракция Френеля) и дифракцию плоскопараллельных волн (дифракция Фраунгофера). Описание дифракционной картины возможно с учетом интерференции вторичных волн.
В главе рассматривается голография как метод, основанный на интерференции и дифракции.
24.1. КОГЕРЕНТНЫЕ ИСТОЧНИКИ СВЕТА. УСЛОВИЯ ДЛЯ НАИБОЛЬШЕГО УСИЛЕНИЯ И ОСЛАБЛЕНИЯ ВОЛН
Сложение волн, распространяющихся в среде, определяется сложением соответствующих колебаний. Наиболее простой случай сложения электромагнитных волн наблюдается, когда их частоты одинаковы и направления электрических векторов совпадают. В этом случае амплитуду результирующей волны можно найти по формуле (7.20), которую для напряженности электрического поля запишем в виде:
В зависимости от типа источников света результат сложения волн может быть принципиально различным.
Сначала рассмотрим сложение волн, идущих от обычных источников света (лампа, пламя, Солнце и т.п.). Каждый такой источник представляет совокупность огромного количества излучающих атомов. От-
дельный атом излучает электромагнитную волну приблизительно в течение 10 -8 с, причем излучение есть событие случайное, поэтому и разность фаз Δ φ в формуле (24.1) принимает случайные значения. При этом среднее по излучениям всех атомов значение cos Δ φ равно нулю. Вместо (24.1) получаем усредненное равенство для тех точек пространства, где складываются две волны, идущие от двух обычных источников света:
Так как интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды, то из (24.2) имеем условие сложения интенсивностей / 1 и / 2 волн:
I = /1+ /2 . (24.3)
Это означает, что для интенсивностей излучений, исходящих от двух (или более) обычных световых источников, выполняется достаточно простое правило сложения: интенсивность суммарного излучения равна сумме интенсивностей слагаемых волн. Это наблюдается в повседневной практике: освещенность от двух ламп равна сумме освещенностей, создаваемых каждой лампой в отдельности.
Если Δ φ остается неизменной, наблюдается интерференция света. Интенсивность результирующей волны принимает в разных точках пространства значения от минимального до некоторого максимального.
Интерференция света возникает от согласованных, когерентных источников, которые обеспечивают постоянную во времени разность фаз Δ φ слагаемых волн в различных точках. Волны, отвечающие этому условию, называют когерентными.
Интерференция могла бы быть осуществлена от двух синусоидальных волн одинаковой частоты, однако практически создать такие световые волны невозможно, поэтому когерентные волны получают, расщепляя световую волну, идущую от источника.
Такой способ применяется в методе Юнга. На пути сферической волны, идущей от источника S, устанавливается непрозрачная преграда с двумя щелями (рис. 24.1). Точки волновой поверхности, дошедшей до преграды, становятся центрами когерентных вторичных волн, поэтому щели можно рассматривать как когерентные источники. На экране Э наблюдается интерференция.
Другой метод заключается в получении мнимого изображения S" источника S (рис. 24.2) с помощью специального однослойного зеркала
(зеркало Ллойда). Источники S и S" являются когерентными. Они создают условия для интерференции волн. На рисунке показаны два интерферирующих луча, попадающие в точку А экрана Э.
Так как время τ излучения отдельного атома ограничено, то разность хода δ лучей 1 и 2 при интерференции не может быть слишком большой, в противном случае в точке А встретятся разные, некогерентные волны. Наибольшее значение δ для интерференции определяется через скорость света и время излучения атома:
δ = с τ = 3 ? 108 . 10-8 = 3 м. (24.4)
Расчет интерференционной картины можно сделать, используя формулу (24.1), если известна разность фаз интерферирующих волн и их амплитуды.
Практический интерес представляют частные случаи: наибольшее усиление волн - максимум интенсивности (max), наибольшее ослабление - минимум интенсивности (min).
Отметим, что условия максимумов и мини-
мумов интенсивностей удобнее выражать не через разность фаз, а через разность хода, так как пути, проходимые когерентными волнами при интерференции, обычно известны. Покажем это на примере интерференции плоских волн I, II, векторы Дкоторых перпендикулярны плоскости чертежа (рис. 24.3).
Колебания вектора И этих волн в некоторой точке В, удаленной на расстояния х 1 и х 2
соответственно от каждого источника, происходят по гармоническому закону Рис. 24.3
24.2. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА В ТОНКИХ ПЛАСТИНКАХ (ПЛЕНКАХ). ПРОСВЕТЛЕНИЕ ОПТИКИ
Образование когерентных волн и интерференции происходит также при попадании света на тонкую прозрачную пластинку или пленку. Пучок света падает на плоскопараллельную пластинку (рис. 24.4). Луч 1 из этого пучка попадает в точку а, частично отражается (луч 2), частично преломляется (луч am). Преломленный луч испытывает отражение на нижней границе пластинки в точке м. Отраженный луч, преломившись в точке в, выходит в первую среду (луч 3). Лучи 2 и 3 образованы от одного луча, поэтому они когерентны и будут интерферировать. Найдем оптическую разность хода лучей 2 и 3. Для этого из точки в проведем нормаль вс к лучам. От прямой вс до встречи лучей их оптическая разность хода не изменится, линза или глаз не внесут дополнительной разности фаз.
До расхождения в точке а эти лучи в совокупности с другими, не показанными на рис. 24.4, формировали луч 1 и поэтому, естественно, имели одинаковую фазу. Луч 3 прошел расстояние \ам\ + |МВ| в пластинке с показателем преломления п, луч 2 - расстояние \АС| в воздухе, поэтому их оптическая разность хода:
Рис. 24.4
1 Для циклических процессов не имеет значения, уменьшается или увеличивается фаза на π, поэтому равноценно было бы говорить не о потере, а о приобретении полволны, однако такая терминология не употребляется.
Из (24.22) видно, что в проходящем свете интерферируют волны с существенно различными амплитудами, поэтому максимумы и минимумы мало отличаются друг от друга и интерференция слабо заметна.
Проанализируем зависимости (24.17) и (24.18). Если на тонкую плоскопараллельную пластинку под некоторым углом падает параллельный пучок монохроматического излучения, то, согласно этим формулам, пластинка в отраженном свете выглядит яркой или темной.
При освещении пластинки белым светом условия максимума и минимума выполняются для отдельных длин волн, пластинка станет окрашенной, причем цвета в отраженном и проходящем свете будут дополнять друг друга до белого.
В реальных условиях падающий пучок не является строго параллельным и не имеет одного определенного угла падения i. Такой небольшой разброс i при значительной толщине пластины l может приводить к существенному различию левых частей в формулах (24.17) и (24.18) и условия максимума и минимума не будут выдержаны для всех лучей пучка света. Это одно из соображений, поясняющих, почему интерференция может наблюдаться лишь в тонких пластинах и пленках.
При падении монохроматического света на пластинку переменной толщины каждому значению l соответствует свое условие интерференции, поэтому пластинка пересечена светлыми и темными линиями (полосами) - линиями равной толщины. Так, в клине это система параллельных линий (рис. 24.6), в воздушном промежутке между линзой и пластинкой - кольца (кольца Ньютона).
При освещении пластинки переменной толщины белым светом получаются разноцветные пятна и линии: окрашенные мыльные пленки,
Рис. 24.6
пленки нефти и масла на поверхности воды, переливчатые цвета крыльев некоторых насекомых и птиц. В этих случаях не обязательна полная прозрачность пленок.
Особый практический интерес имеет интерференция в тонких пленках в связи с созданием устройств, уменьшающих долю световой энергии, отраженной оптическими системами, и увеличива-
ющих, следовательно, энергию, поступающую к регистрирующим системам - фотопластинке, глазу и т.п. С этой целью поверхности оптических систем покрывают тонким слоем оксидов металлов так, чтобы для некоторой средней для данной области спектра длины волны был минимум интерференции в отраженном свете. В результате возрастет доля прошедшего света. Покрытие оптических поверхностей специальными пленками называют просветлением оптики, а сами оптические изделия с такими покрытиями - просветленной оптикой.
Если на стеклянную поверхность нанести ряд специально подобранных слоев, то можно создать отражательный светофильтр, который вследствие интерференции будет пропускать или отражать определенный интервал длин волн.
24.3. ИНТЕРФЕРОМЕТРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ. ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННОМ МИКРОСКОПЕ
Интерференцию света используют в специальных приборах - интерферометрах - для измерения с высокой степенью точности длин волн, небольших расстояний, показателей преломления веществ и определения качества оптических поверхностей.
На рис. 24.7 изображена принципиальная схема интерферометра Майкельсона, который относится к группе двухлучевых, так как световая волна в нем раздваивается 1 и обе ее части, пройдя разный путь, интерферируют.
Луч 1 монохроматического света от источника S падает под углом 45° на плоскопараллельную стеклянную пластинку А, задняя поверхность которой полупрозрачна, так как покрыта очень тонким слоем серебра. В точке О этот луч расщепляется на два луча 2 и 3, интенсивность которых приблизительно одинакова. Луч 2 доходит до зеркала I, отражается, преломляется в пластине А и частично выходит из пластины - луч 2". Луч 3 из точки О идет к зеркалу II, отражается, возвращается к пластине А, где частично отражается, - луч 3" . Лучи 2" и 3" , попадающие в глаз наблюдателя, когерентны, их интерференция может быть зарегистрирована.
Обычно зеркала I и II располагают так, что лучи 2 и 3 от расхождения до встречи проходят пути одинаковой длины. Чтобы и оптическую
1 Строго говоря, вследствие многократных отражений может образоваться более чем два луча, однако их интенсивности незначительны.
1 Вследствие разных углов падения лучей из S на пластину А или нестрогой перпендикулярности зеркал I и11 интерференционная картина практически всегда представлена полосами (полосы равного наклона или равной толщины соответственно). Этот вопрос подробно не рассматривается.
Как видно, интерференционный рефрактометр (интерферометр, приспособленный для измерения показателя преломления) способен фиксировать изменения показателя преломления в шестом знаке после запятой.
Интерферешщонньгй рефрактометр применяют, в частности, с санитарно-гигиеническими целями для определения содержания вредных газов.
С помощью интерферометра Майкельсон доказал независимость скорости света от движения Земли, что явилось одним из опытных фактов, послуживших созданию специальной теории относительности.
Сочетание двухлучевого интерферометра и микроскопа, получившее название интерференционного микроскопа, используют в биологии для измерения показателя преломления, концентрации сухого вещества и толщины прозрачных микрообъектов.
Принципиальная схема интерференционного микроскопа показана на рис. 24.8. Луч света, как и в интерферометре, в точке А раздваивается, один луч проходит через прозрачный микрообъект М, а другой - вне его. В точке Д лучи соединяются и интерферируют, по результату интерференции судят об измеряемом параметре.
24.4. ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА-ФРЕНЕЛЯ
Расчет и объяснение дифракции света можно приближенно сделать, используя принцип Гюйгенса-Френеля.
Согласно Гюйгенсу, каждая точка волновой поверхности, которой достигла в данный момент волна, является центром элементарных вторичных волн, их внешняя огибающая будет волновой поверхностью в последующий момент времени (рис. 24.9; S 1 и S 2 - волновые поверхности соответственно в моменты t 1 и t 2 ; t 2 > t 1).
Френель дополнил это положение Гюйгенса, введя представление о когерентности вторичных волн и их интерференции.
В таком обобщенном виде эти идеи получили название принципа Гюйгенса-Френеля.
Для того чтобы определить результат дифракции в некоторой точке пространства, следует рассчитать, согласно принципу Гюйгенса-
Рис. 24.9
Френеля, интерференцию вторичных волн, попавших в эту точку от волновой поверхности. Для волновой поверхности произвольной формы такой расчет достаточно сложен, но в отдельных случаях (сферическая или плоская волновая поверхность, симметричное расположение точки относительно волновой поверхности и непрозрачной преграды) вычисления сравнительно просты. Волновую поверхность при этом разбивают на отдельные участки (зоны Френеля), расположенные определенным образом, что упрощает математические операции.
24.5. ДИФРАКЦИЯ НА ЩЕЛИ В ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛУЧАХ
На узкую длинную щель, расположенную в плоской непрозрачной преграде MN, нормально падает плоскопараллельный пучок монохроматического света (рис. 24.10; \AB | = а - ширина щели; L - собирающая линза, в фокальной плоскости которой расположен экран Э для наблюдения дифракционной картины).
Если бы не было дифракции, то световые лучи, пройдя через щель, сфокусировались бы в точке О, лежащей на главной оптической оси линзы. Дифракция света на щели существенно изменяет явление.
Будем считать, что все лучи пучка света исходят от одного удаленного источника 1 и, следовательно, когерентны. АВ есть часть волновой поверхности, каждая точка которой является центром вторичных волн, распространяющихся за щелью по всевозможным направлениям. Изобразить все эти вторичные волны невозможно, поэтому на рис. 24.10 показаны только вторичные волны, распространяющиеся под углом α к направлению падающего пучка и нормали решетки. Линза соберет эти волны в точке О" экрана, где и будет наблюдаться их интерференция. (Положение точки О" получают как пересечение с фокальной плоскостью побочной оси СО "линзы, проведенной под углом α.)
Чтобы узнать результат интерференции вторичных волн, проделаем следующие построения. Проведем перпендикуляр AD к направлению
1 Практически точечный источник можно расположить в фокусе линзы, не показанной на рис. 24.10, Так что от линзы будет распространяться параллельный пучок когерентных волн.
Рис. 24.10
пучка вторичных волн. Пути всех вторичных волн от AD до О" будут тау-тохронными, линза не внесет добавочной разности фаз между ними, поэтому та разность хода, которая образовалась у вторичных волн к AD, будет сохранена и в точке О".
Разобьем BD на отрезки, равные λ /2. В случае, показанном на рис. 24.10, получено три таких отрезка: \ВВ 2 \ = \В 2 В 1 \ = \B 1 D \ = λ /2. Проведя из точек В 2 и В 1 прямые, параллельные AD, разделим АВ на равные зоны Френеля: \ АА 1 \ = | АА 2 | = |А 2 В \. Любой вторичной волне, идущей от какой-либо точки одной зоны Френеля, можно найти в соседних зонах соответствующие вторичные волны такие, что разность хода между ними будет λ /2.
Например, вторичная волна, идущая от точки А 2 в выбранном направлении, проходит до точки О"расстояние на λ /2 больше, чем волна, идущая от точки А 1 , и т.д. Следовательно, вторичные волны, идущие от двух соседних зон Френеля, погасят друг друга, так как различаются по фазе на π.
Число зон, укладывающихся в щели, зависит от длины волны λ и угла α. Если щель АВ разбить при построении на нечетное число зон Френеля, a BD - на нечетное число отрезков, равных λ /2, то в точке О" наблюдается максимум интенсивности света:
Направление, соответствующее углу α = 0, также отвечает максимуму, так как все вторичные волны придут в О в одинаковой фазе.
Если щель АВ разбить на четное число зон Френеля, то наблюдается минимум интенсивности света:
Рис. 24.11
Таким образом, на экране э получится система светлых (максимум) и темных (минимум) полос, центрам которых соответствуют условия (24.26) или (24.27), симметрично расположенных влево и вправо от центральной (α = 0), наиболее яркой, полосы. Интенсивность i остальных максимумов убывает по мере удаления от центрального максимума (рис. 24.11).
Если щель освещать белым светом, то на экране э [см. (24.26), (24.27)] образуется система цветных полос, лишь центральный максимум будет сохранять цвет падающего света, так как при α = 0 усиливаются все длины волн света.
Дифракция света, как и интерференция, связана с перераспределением энергии электромагнитных волн в пространстве. В этом смысле щель в непрозрачном экране является не просто системой, ограничивающей приложение светового потока, но перераспределителем этого потока в пространстве.
Чтобы понять влияние соотношения между шириной щели и длиной волны на возможность наблюдения дифракционной картины, рассмотрим некоторые частные случаи:
24.6. ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЕТКА. ДИФРАКЦИОННЫЙ СПЕКТР
Дифракционная решетка - оптическое устройство, представляющее собой совокупность большого числа параллельных, обычно равноотстоящих друг от друга щелей.
Дифракционную решетку можно получить нанесением непрозрачных царапин (штрихов) на стеклянную пластину. Непроцарапанные места - щели - будут пропускать свет; штрихи, соответствующие промежутку между щелями, рассеивают и не пропускают света. Сечение такой дифракционной решетки (а) и ее условное обозначение (б) показаны на
рис. 24.12.
Расстояние между центрами соседних щелей называют постоянной или периодом дифракционной решетки:
где а - ширина щели; b - ширина промежутка между щелями.
Если на решетку падает пучок когерентных волн, то вторичные волны, идущие по всем возможным направлениям, будут интерферировать, формируя дифракционную картину.
Пусть на решетку нормально падает плоскопараллельный пучок когерентных волн (рис. 24.13). Выберем некоторое направление вторичных волн под углом α относительно нормали к решетке. Лучи, идущие от крайних точек двух соседних щелей, имеют разность хода δ = \А"В"\. Такая же разность хода будет для вторичных волн, идущих от соответственно расположенных пар точек соседних щелей. Если эта разность хода кратна целому числу длин волн, то при интерференции возникнут главные максимумы, для которых выполняется условие
где k = 0, 1, 2 - порядок главных максимумов. Они расположены симметрично относительно центрального (k = 0, α = 0). Равенство (24.29) является основной формулой дифракционной решетки.
Между главными максимумами образуются минимумы (добавочные), число которых зависит от числа всех щелей решетки. Выведем условие для добавочных минимумов. Пусть разность хода вторичных волн, идущих под углом α от соответственных точек соседних щелей, равна λ/N, т.е.:
где N - число щелей дифракционной решетки. Этой разности хода δ [см. (24.9)] отвечает разность фаз Δφ = 2π /N.
Если считать, что вторичная волна от первой щели имеет в момент сложения с другими волнами нулевую фазу, то фаза волны от второй щели равна 2π/Ν, от третьей - 4π/Ν, от четвертой - 6π/Ν и т.д. Результат сложения этих волн с учетом фазового различия удобно получить с помощью векторной диаграммы: сумма N одинаковых векторов напряженности электрического (или магнитного) поля, угол между любыми соседними из которых есть 2π/Ν, равна нулю. Это означает, что условие (24.30) соответствует минимуму. При разности хода вторичных волн от соседних щелей δ = 2(λ/Ν) или разности фаз Δφ = 2(2π/Ν) будет также получен минимум интерференции вторичных волн, идущих от всех щелей, и т.д.
В качестве иллюстрации на рис. 24.14 изображена векторная диаграмма, соответствующая дифракционной решетке, состоящей из шести щелей: Е 1 , Е 2 и т.д. - векторы напряженности электрической составляющей электромагнитных волн от первой, второй и т.д. щеле й.
Возникающие при интерференции пять добавочных минимумов (сумма векторов равна нулю) наблюдаются при разности фаз волн, приходящих от соседних щелей, в 60° (а), 120° (б), 180° (в), 240° (г) и 300° (д).
Так, можно убедиться, что между центральным и каждым первым главным максимумами имеется Ν - 1 добавочных минимумов, удовлетворяющих условию:
Рис. 24.15
При падении на дифракционную решетку белого или иного немонохроматического света каждый главный максимум, кроме центрального, окажется разложенным в спектр [см. (24.29)]. В этом случае k указывает порядок спектра.
24.7. ОСНОВЫ РЕНТГЕНОСТРУКТУРНОГО АНАЛИЗА
Основная формула (24.29) дифракционной решетки может быть использована не только для определения длины волны, но и для решения обратной задачи - нахождения постоянной дифракционной решетки по известной длине волны. Такая скромная применительно к обычной дифракционной решетке задача подводит к практически важному вопросу - измерению параметров кристаллической решетки посредством дифракции рентгеновских лучей, что является содержанием рентгено-структурного анализа.
Пусть совмещены две дифракционные решетки, штрихи которых перпендикулярны. Для решеток выполняются условия главных максимумов:
Углы α 1 и α 2 отсчитываются во взаимно перпендикулярных направлениях. В этом случае на экране появится система пятен, каждому из которых соответствует пара значений k 1 и k 2 или α 1 и α 2 . Таким образом, и здесь можно найти с 1 и с 2 по положению дифракционных пятен.
Естественной объемной периодической структурой являются кристаллы, крупные молекулы и т.п. Вторичные волны в кристалле возникают в результате взаимодействия первичных лучей с электронами атомов.
Для отчетливого наблюдения дифракционной картины должно выполняться определенное соотношение между длиной волны и параметром периодической структуры (см. 24.5). Оптимальным условиям соответствует примерно одинаковый порядок этих величин. Учитывая, что расстояние между рассеивающими центрами (атомами) в кристалле (~10 -10 м) приблизительно равно длине волны рентгеновского излуче-
На рис. 24.19 пунктиром показаны две соседние кристаллографические плоскости. Взаимодействие рентгеновского излучения с атомами и возникновение вторич-
ных волн можно рассматривать упрощенным методом как отражение от плоскостей.
Пусть на кристалл под углом скольжения θ падают рентгеновские лучи 1 и 2; 1" и 2" - отраженные (вторичные) лучи, СЕ и CF - перпендикуляры к падающим и отраженным лучам соответственно. Разность хода отраженных лучей 1" и 2":
где l - межплоскостное расстояние.
Максимумы интерференции при отражении возникают в случае, когда разность хода равна целому числу длин волн:
Это формула Вульфа-Брэггов.
При падении монохроматического рентгеновского излучения на кристалл под разными углами наибольшее отражение (максимум) будет для углов, отвечающих условию (24.42). При наблюдении под определенным углом скольжения пучка рентгеновского излучения со сплошным спектром максимум дифракций будет выполняться для длин волн, удовлетворяющих условию Вульфа-Брэггов.
П. Дебаем и П. Шеррером был предложен метод рентгенострук-турного анализа, основанный на дифракции монохроматических рентгеновских лучей в поликристаллических телах (обычно спрессованные порошки). Среди множества кристаллитов всегда найдутся такие, для которых одинаковы /, θ и к, причем эти величины соответствуют формуле Вульфа-Брэггов. Ораженный луч 2 (максимум) составит угол 2 θ с па-
дающим рентгеновским лучом L (рис. 24.20, а). Так как условие (24.42) одинаково для многих кристаллов, по-разному ориентированных, то дифрагированные рентгеновские лучи образуют в пространстве конус, вершина которого лежит в исследуемом объекте, а угол раствора равен 4θ (рис. 24.20, б). Другой совокупности величин l, θ и к, удовлетворяющих условию (24.42), будет соответствовать дру-
гой конус. На фотопленке рентгеновские лучи образуют рентгенограмму (дебаеграмму) в виде окружностей (рис. 24.21) или дуг.
Дифракцию рентгеновских лучей наблюдают также при рассеянии их аморфными твердыми телами, жидкостями и газами. В этом случае на рентгенограмме получаются широкие и размытые кольца.
В настоящее время широко применяют рентгеноструктурный анализ биологических молекул и систем: на рис. 24.22 показаны рентгенограммы белков. Этим методом Дж. Уотсон и Ф. Крик установили структуру ДНК и были удостоены Нобелевской премии (1962). Использование дифракции рентгеновских лучей от кристаллов для исследования их спектрального состава относится к области рентгеновской спектроскопии.
24.8. ПОНЯТИЕ О ГОЛОГРАФИИ И ЕЕ ВОЗМОЖНОМ ПРИМЕНЕНИИ В МЕДИЦИНЕ
Голография 1 - метод записи и восстановления изображения, основанный на интерференции и дифракции волн.
Идея голографии была впервые высказана Д. Габором в 1948 г., однако ее практическое использование оказалось возможно после появления лазеров.
1 Голография (грен.) - метод полной записи.
Изложение голографии уместно начать сравнением с фотографией. При фотографировании на фотопленке фиксируется интенсивность световых волн, отраженных предметом. Изображение в этом случае является совокупностью темных и светлых точек. Фазы рассеиваемых волн не регистрируются, и, таким образом, пропадает значительная часть информации о предмете.
Голография позволяет фиксировать и воспроизводить более полные сведения об объекте с учетом амплитуд и фаз волн, рассеянных предметом. Регистрация фазы возможна вследствие интерференции волн. С этой целью на светофиксирующую поверхность посылают две когерентные волны: опорную, идущую непосредственно от источника света или зеркал, которые используют как вспомогательные устройства, и сигнальную, которая появляется при рассеянии (отражении) части опорной волны предметом и содержит соответствующую информацию о нем.
Интерференционную картину, образованную сложением сигнальной и опорной волн и зафиксированную на светочувствительной пластинке, называют голограммой. Для восстановления изображения голограмму освещают той же опорной волной.
Покажем на некоторых примерах, как получается голограмма и восстанавливается изображение.
Голограмма плоской волны
В этом случае на голограмме фиксируется плоская сигнальная волна /, попадающая под углом α 1 на фотопластинку ф (рис. 24.23).
Опорная волна II падает нормально, поэтому во всех точках фотопластинки одновременно ее фаза одинакова. Фазы сигнальной волны вследствие ее наклонного падения различны в разных точках светочувствительного слоя. Из этого следует, что разность фаз между лучами опорной и сигнальной волн зависит от места встречи этих лучей на фотопластинке и, согласно условиям максимумов и минимумов интерференции, полученная голограмма будет состоять из темных и светлых полос.
Пусть ав (рис. 24.23, б) соответствует расстоянию между центрами ближайших темных или светлых интерференционных полос. Это означает, что фазы точек а и в в сигнальной волне отличаются на 2π. Построив нормаль ас к ее лучам (фронт волны), нетрудно видеть, что фазы точек а и с одинаковы. Различие фаз точек в и с на 2π означает, что \ВС\ = λ. Из прямоугольного аавс имеем
Итак, в этом примере голограмма подобна дифракционной решетке, так как на светочувствительной поверхности зарегистрированы области усиленных (максимум) и ослабленных (минимум) колебаний, расстояние ав между которыми определяется по формуле (24.43).
Так как сигнальная волна образуется при отражении части опорной от предмета, то понятно, что в данном случае предметом является плоское зеркало или призма, т.е. такие устройства, которые преобразуют плоскую опорную волну в плоскую сигнальную (технические подробности на рис. 24.23, a не показаны).
Направив на голограмму опорную волну i (рис. 24.24), осуществим дифракцию (см. 24.6). Согласно (24.29), первые главные максимумы (k = 1) соответствуют направлениям
Из (24.46) видно, что направление волны i" (рис. 24.24), дифрагированной под углом a 1 , соответствует сигнальной: так восстанавливают волну, отраженную (рассеянную) предметом. Волна i"" и волны остальных главных максимумов (на рисунке не показаны) также воспроизводят информацию, зафиксированную в голограмме.
Голограмма точки
Одна часть опорной волны II попадает на точечный объект А (рис. 24.25, а) и рассеивается от нее в виде сферической сигнальной волны I, другая часть плоским зеркалом З направляется на фотопластинку Ф, где эти волны интерферируют. Источником излучения является лазер Л. На рис. 24.25, б схематически изображена полученная голограмма.
Хотя в данном примере сигнальная волна является сферической, можно с некоторым приближением применить формулу (24.45) и заметить, что по мере увеличения угла α 1 (см. рис. 24.23, а) уменьшается расстояние АВ между соседними полосами. Нижние дуги на голограмме (рис. 24.25, б) расположены более тесно.
Если вырезать из голограммы узкую полоску, показанную пунктирными линиями на рис. 24.25, б, то она будет подобна узкой дифракционной решетке, постоянная которой уменьшается в направлении оси X. На такой решетке отклонение вторичных волн, соответствующих первому главному максимуму, возрастает по мере увеличения координаты х щели [см. (24.41)]: с становится меньше, | sina| - больше.
Таким образом, при восстановлении изображения плоской опорной волной дифрагированные волны уже не будут плоскими. На рис. 24.26 показаны волна I", формирующая мнимое изображение А" точки А, и волна создающая действительное изображение А".
Так как рассеянные предметом волны попадают совместно с опорной волной во все точки голограммы, то все ее участки содержат информацию о предмете, и для восстановления изображения не обязательно использовать полностью всю голограмму. Следует, однако, заметить,
что восстановленное изображение тем хуже, чем меньшую часть голограммы для этого применяют. Из рис. 24.26 видно, что мнимое и действительное изображения образуются и в том случае, если восстановление осуществляют, например, нижней половиной голограммы (штриховые линии), однако изображение при этом формируется меньшим количеством лучей.
Любой предмет является совокупностью точек, поэтому рассуждения, приведенные для одной точки, могут быть обобщены и на голографию любого предмета. Голографические изображения объемны, и их зрительное восприятие ничем не отличается от восприятия соответствующих предметов 1: ясное видение разных точек изображения осуществляется посредством адаптации глаза (см. 26.4); при изменении точки зрения изменяется перспектива, одни детали изображения могут заслонять другие.
При восстановлении изображения можно изменить длину опорной волны. Так, например, голограмму, образованную невидимыми электромагнитными волнами (ультрафиолетовыми, инфракрасными и рентгеновскими), можно восстановить видимым светом. Так как условия отражения и поглощения электромагнитных волн телами зависят, в частности, от длины волны, то эта особенность голографии позволяет использовать ее как метод внутривидения, или интроскопии 2 .
Особо интересные и важные перспективы открываются в связи с ультразвуковой голографией. Получив голограмму в ультразвуковых механических волнах, можно восстановить ее видимым светом. Ультразвуковая голография в перспективе может быть использована в медицине для рассматривания внутренних органов человека с диагностической целью, определения пола внутриутробного ребенка и т.д. Учитывая большую информативность этого метода и существенно меньший вред ультразвука по сравнению с рентгеновским излучением, можно ожи-
1 Некоторое отличие обусловлено одноцветностью изображения, которое неизбежно при записи и восстановлении монохроматической волной.
2 Intro (лат.) - внутри и skopeo (лат.) - смотрю. Визуальное наблюдение объектов, явлений и процессов в оптически непрозрачных телах и средах, а также в условиях плохой видимости.
дать, что в будущем ультразвуковая голографическая интроскопия заменит традиционную рентгенодиагностику.
Еще одно медико-биологическое приложение голографии связано с голографическим микроскопом. Его устройство основано на том, что изображение предмета получается увеличенным, если голограмму, записанную с плоской опорной волной, осветить расходящейся сферической волной.
В развитие голографии внес вклад советский физик, лауреат Ленинской премии Ю.Н. Денисюк, разработавший метод цветной голографии.
Разглядывая сияющее голографическое изображение, большинство из нас вряд ли вспоминает физические термины «дифракция»
и «интерференция световых волн»
.
Но именно благодаря изучению этих понятий появилась возможность создавать голограммы.
Что такое дифракция света?
Слово «дифракция» образовано от латинского «diffractus» , что означает в дословном переводе «огибание волнами препятствия» . Как известно, имеет волновую природу, и его лучи подчиняются волновым законам. Дифракцией в физике называют оптические явления, возникающие, когда световые волны распространяются в оптически неоднородной среде с непрозрачными включениями.
Волновая природа света определяет его поведение при огибании препятствий. Если препятствие во много раз больше длины световой волны, свет не огибает его, образуя зону тени. Но в случаях, когда размеры препятствий соразмерны с длиной волны, возникает явление дифракции. В принципе, любое отклонение от геометрических оптических законов можно отнести к дифракции.
Интерференция волн
Если мы установим перед источником света непрозрачный экран и проделаем в нём точечное отверстие, то проникающие через эту точку лучи света на следующем экране, расположенном параллельно первому, отобразятся в виде концентрических колец с чередованием светлых и тёмных окружностей. Это явление в физике называют дифракцией Френеля, по имени учёного, который впервые обнаружил его и описал.
Изменив форму отверстия и сделав его щелеобразным, мы получим на втором экране другую картину. Световые лучи расположатся в виде ряда светлых и тёмных полосок, как на магазинном штрих-коде. Дифракцию света на щелеобразном отверстии впервые описал немецкий физик Фраунгофер, именем которого она называется до сих пор.
Объяснить разложение световой волны на светлые и тёмные участки учёные смогли при помощи понятия интерференции. Несколько источников волновых колебаний, если частоты их колебаний когерентны (одинаковы либо кратны друг другу), могут усиливать излучение друг друга, но могут и ослаблять, в зависимости от совпадения фаз колебаний. При огибании препятствий и возникновении вторичных волн вступает в действие их интерференция. На участках, где фазы волн совпадают, наблюдается повышенная освещённость (яркие светлые полоски либо окружности), а там, где не совпадают – освещённость снижена (тёмные участки).
Дифракционная решётка
Если взять прозрачную пластинку и нанести на неё ряд параллельных непрозрачных чёрточек на одинаковом расстоянии друг от друга, то мы получим дифракционную решётку. При пропускании через неё плоского светового фронта образуется дифракция на непрозрачных штрихах. Вторичные волны, взаимно ослабляясь и усиливаясь, образуют дифракционные минимумы и максимумы, что легко обнаружить на экране, поставленном за решёткой.
При этом происходит не только отклонение световых лучей, но и разложение белого света на цветовые спектральные составляющие. В природе нужная для маскировки окраска крыльев бабочек, оперения птиц, змеиной чешуи часто образуется благодаря использованию дифракционных и интерференционных оптических явлений, а не из-за пигментов.
Голограммы
Принцип голограммы был изобретён в 1947 году физиком Д. Габором, который впоследствии получил за его изобретение Нобелевскую премию. Трёхмерное, т.е. объёмное изображение объекта можно снять и записать, а затем воспроизвести, если использовать лазерные лучи. Одна из световых волн называется опорной и испускается источником, а вторая – объектной и отражается от записываемого объекта.
На фотопластинке либо другом материале, предназначенном для записи, фиксируется сочетание светлых и тёмных полос и пятен, которые отображают интерференцию электромагнитных волн в этой зоне пространства. Если на фотопластинку направляют свет с длиной волны, соответствующей характеристикам опорной волны, то происходит его преобразование в световую волну, по характеристикам близкую к объектной. Таким образом, в световом потоке получается объёмное изображение зафиксированного объекта.
Сегодня неподвижные голограммы можно записывать и воспроизводить даже в домашних условиях. Для этого нужен лазерный луч, фотопластина и каркас, который надёжно удерживает в неподвижности эти приспособления, а также объект записи. Для домашней голограммы отлично подойдёт луч лазерной указки со снятой фокусирующей линзой.