В сечении конической поверхности плоскостью получаются кривые второго порядка - окружность, эллипс, парабола и гипербола. В частом случае при определенном расположении секущей плоскости и когда она проходит через вершину конуса (S∈γ), окружность и эллипс вырождаются в точку или в сечении попадает одна или две образующих конуса.

Дает - окружность, когда секущая плоскость перпендикулярна к его оси и пересекает все образующие поверхности.

Дает - эллипс, когда секущая плоскость не перпендикулярна к его оси и пересекает все образующие поверхности.

Построим эллиптическое ω плоскостью α , занимающей общее положение.

Решение задачи на сечение прямого кругового конуса плоскостью значительно упрощается, если секущая плоскость занимает проецирующее положение.

Способом перемены плоскостей проекций переведем плоскость α из общего положения в частное - фронтально-проецирующее. На фронтальной плоскости проекций V 1 построим след плоскости α и проекцию поверхности конуса ω плоскостью дает эллипс, так как секущая плоскость пересекает все образующие конуса. Эллипс проецируется на плоскости проекций в виде кривой второго порядка.
На следе плоскости α V берем произвольную точку 3" замеряем ее удаление от плоскости проекций H и откладываем его по линии связи уже на плоскости V 1 , получая точку 3" 1 . Через нее и пройдет след αV 1 . Линия сечения конуса ω - точки A" 1 , E" 1 совпадает здесь со следом плоскости. Далее построим вспомогательную секущию плоскость γ3, проведя на фронтальной плоскости проекций V 1 ее след γ 3V 1 . Вспомогательная плоскость пересекаясь с конической поверхностью ω даст окружность, а пересекаясь с плоскостью α даст горизонтальную прямую h3. В свою очередь прямая пересекаясь с окружностью дает искомые точки C`и K` пересечения плоскости α c конической поверхностью ω . Фронтальные проекции искомых точек C" и K" построим как точки принадлежащие секущей плоскости α .

Для нахождения точки E(E`, E") линии сечения, проводим через вершину конуса горизонтально-проецирующую плоскость γ 2 H , которая пересечет плоскость α по прямой 1-2(1`-2`, 1"-2") . Пересечение 1"-2" с линией связи дает точку E" - наивысшую точку линии сечения.

Для нахождения точки указывающей границы видимости фронтальной проекции линии сечения, проводим через вершину конуса горизонтально-проецирующую плоскость γ 5 H и находим горизонтальную проекцию F` искомой точки. Также, плоскость γ 5 H пересечет плоскость α по фронтали f(f`, f") . Пересечение f" с линией связи дает точку F" . Соединяем полученные на горизонтальной проекции точки плавной кривой, отметив на ней крайнюю левую точку G - одну из характерных точек линии пересечения.
Затем, строим проекции G на фронтальных плоскостях проекций V1 и V. Все построенные точки линии сечения на фронтальной плоскости проекций V соединяем плавной линией.

Дает - параболу, когда секущая плоскость параллельна одной образующей конуса.

При построении проекций кривых - конических сечений необходимо помнить о теореме: ортогональная проекция плоского сечения конуса вращения на плоскость, перпендикулярную к его оси, есть кривая второго порядка и имеет одним из своих фокусов ортогональную проекцию на эту плоскость вершины конуса.

Рассмотрим построение проекций сечения, когда секущая плоскость α параллельна одной образующей конуса (SD) .

В сечении получится парабола с вершиной в точке A(A`, A") . Согласно теореме вершина конуса S проецируется в фокус S` . По известному =R S` определяем положение директрисы параболы. В последующем точки кривой строятся по уравнению p=R .

Построение проекций сечения, когда секущая плоскость α параллельна одной образующей конуса, может быть выполнено:

С помощью вспомогательных горизонтально-проецирующих плоскостей проходящих через вершину конуса γ 1 H и γ 2 H .

Сначала определятся фронтальные проекции точек F", G" - на пересечении образующих S"1", S"2" и следа секущей плоскости α V . На пересечении линий связи с γ 1 H и γ 2 H определяться F`, G` .

Аналогично могут быть определены и другие точки линии сечения, например D", E" и D`, E` .

С помощью вспомогательных фронтально-проецирующих плоскостей ⊥ оси конуса γ 3 V и γ 4 V .

Проекциями сечения вспомогательных плоскостей и конуса на плоскость H , будут окружности. Линиями пересечения вспомогательных плоскостей с секущей плоскостью α будут фронтально- проецирующие прямые.

Дает - гиперболу, когда секущая плоскость параллельна двум образующим конуса.

Муниципальное Образовательное Учреждение

Средняя Общеобразовательная школа №4

Конические сечения

Выполнил

Спиридонов Антон

ученик 11 А класса

Проверил

Коробейникова А. Т.

Тобольск – 2006 г.

Введение

Понятие конических сечений

Виды конических сечений

Исследование

Построение конических сечений

Аналитический подход

Применение

Приложение

Список литературы

Введение.

Цель: изучить конические сечения.

Задачи: научиться различать виды конических сечений, строить кинические сечения и применять аналитический подход.

Конические сечения впервые предложил использовать древнегреческий геометр Менехм, живший в IV веке до нашей эры, при решении задачи об удвоении куба. Эту задачу связывают со следующей легендой.

Однажды на острове Делосе вспыхнула эпидемия чумы. Жители острова обратились к оракулу, который сказал, что для прекращения эпидемии надо увеличить вдвое золотой жертвенник, который имел форму куба и находился в храме Аполлона в Афинах. Островитяне изготовили новый жертвенник, ребра которого были вдвое больше ребер прежнего. Однако чума не прекратилась. Разгневанные жители услышали от оракула, что неверно поняли его предписание - удвоить было надо не ребра куба, а его объём, то есть увеличить ребра куба в раз. В терминах геометрической алгебры, которой пользовались греческие математики, задача означала: по данному отрезку а найти такие отрезки х и y такие, что а: х = х: y = y: 2a. Тогда длина отрезка х будет равна .

Приведенную пропорцию можно рассматривать как систему уравнений:

Но x 2 =ay и y 2 =2ax - это уравнения парабол. Поэтому для решения задачи следует отыскать точки их пересечения. Если же учесть, что из системы можно получить и уравнение гиперболы xy=2a 2 , то эту же задачу возможно решить нахождением точек пересечения параболы с гиперболой.

Для получения конических сечений Менехм пересекал конус - остроугольный, прямоугольный или тупоугольный - плоскостью, перпендикулярной одной из образующих. Для остроугольного конуса сечение плоскостью, перпендикулярной к его образующей, имеет форму эллипса. Тупоугольный конус при этом дает гиперболу, а прямоугольный – параболу.

Отсюда произошли и названия кривых, которые были введены Аполлонием Пергским, жившим в III веке до нашей эры: эллипс (έλλείψίς), что означает изъян, недостаток (угла конуса до прямого); гипербола (ύπέρβωλη) - преувеличение, перевес (угла конуса над прямым); парабола (παραβολη) - приближение, равенство (угла конуса прямому углу). Позже греки заметили, что все три кривые можно получить на одном конусе, изменяя наклон секущей плоскости. При этом следует брать конус, состоящий из двух полостей и мыслить, что они простираются в бесконечность (Рис. 1).

Если провести сечение кругового конуса, перпендикулярное его оси, а потом поворачивать секущую плоскость, оставляя одну точку её пересечения с конусом неподвижной, то увидим, как окружность будет сначала вытягиваться, превратившись в эллипс. Затем вторая вершина эллипса уйдет в бесконечность, и вместо эллипса получится парабола, а потом плоскость пресечет и вторую полость конуса и получится гипербола.

Понятие конических сечений.

Конические сечения - этоплоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину. С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка. За исключением вырожденных случаев, рассматриваемых в последнем разделе, коническими сечениями являются эллипсы, гиперболы или параболы (Рис. 2).

При вращении прямоугольного треугольника около одного из катетов, гипотенуза с ее продолжениями описывает коническую поверхность, называемую поверхностью прямого кругового конуса, которая может быть рассматриваема как непрерывный ряд прямых, проходящих через вершину и называемых образующими, причем все образующие опираются на одну и ту же окружность, называемую производящей. Каждая из образующих представляет собой гипотенузу вращающегося треугольника (в известном его положении), продолженную в обе стороны до бесконечности. Таким образом, каждая образующая простирается по обе стороны от вершины, вследствие чего и поверхность имеет две полости: они сходятся в одну точку в общей вершине. Если такую поверхность пересечь плоскостью, то в сечении получится кривая, которая и называется коническим сечением. Она может быть трех типов:

1) если плоскость пересекает коническую поверхность по всем образующим, то рассекается только одна полость и в сечении получается замкнутая кривая, называемая эллипсом;

2) если секущая плоскость пересекает обе полости, то получается кривая, имеющая две ветви и называемая гиперболой;

3) если секущая плоскость параллельна одной из образующих, то получается парабола.

Если секущая плоскость параллельна производящей окружности, то получается окружность, которая может быть рассматриваема как частный случай эллипса. Секущая плоскость может пересекать коническую поверхность только в одной вершине, тогда в сечении получается точка, как частный случай эллипса.

Если плоскостью, проходящей через вершину, пересекаются обе полости, то в сечении получается пара пересекающихся прямых, рассматриваемая как частный случай гиперболы.

Если вершина бесконечно удалена, то коническая поверхность обращается в цилиндрическую, и сечение ее плоскостью, параллельной образующим, дает пару параллельных прямых как частный случай параболы. Конические сечения выражаются уравнениями 2-го порядка, общий вид которых

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

и называются кривыми 2-го порядка.

Виды конических сечений.

Конические сечения могут быть трёх типов:

1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; линия пересечения есть замкнутая овальная кривая - эллипс; окружность как частный случай эллипса получается, когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса.

2) Секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая - парабола, целиком лежащая на одной полости.

3) Секущая плоскость пересекает обе полости конуса; линия пересечения - гипербола - состоит из двух одинаковых незамкнутых, простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), лежащих на обеих полостях конуса.

Исследование.

В тех случаях, когда конические сечение имеет центр симметрии (центр), т. е. является эллипсом или гиперболой, его уравнение может быть приведено (путём перенесения начала координат в центр) к виду:

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Дальнейшие исследования таких (называемых центральными) конические сечения показывают, что их уравнения могут быть приведены к ещё более простому виду:

Ах 2 + Ву 2 = С,

если за направления осей координат выбрать главные направления - направления главных осей (осей симметрии) конических сечений. Если А и В имеют одинаковые знаки (совпадающие со знаком С), то уравнение определяет эллипс; если А и В разного знака, то - гиперболу.

Уравнение параболы привести к виду (Ах 2 + Ву 2 = С) нельзя. При надлежащем выборе осей координат (одна ось координат - единственная ось симметрии параболы, другая - перпендикулярная к ней прямая, проходящая через вершину параболы) её уравнение можно привести к виду:

ПОСТРОЕНИЕ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ.

Изучая конические сечения как пересечения плоскостей и конусов, древнегреческие математики рассматривали их и как траектории точек на плоскости. Было установлено, что эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна; параболу – как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой; гиперболу – как геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек постоянна.

Эти определения конических сечений как плоских кривых подсказывают и способ их построения с помощью натянутой нити.

Эллипс. Если концы нити заданной длины закреплены в точках F 1 и F 2 (рис. 3), то кривая, описываемая острием карандаша, скользящим по туго натянутой нити, имеет форму эллипса. Точки F 1 и F 2 называются фокусами эллипса, а отрезки V 1 V 2 и v 1 v 2 между точками пересечения эллипса с осями координат – большой и малыми осями. Если точки F 1 и F 2 совпадают, то эллипс превращается в окружность (Рис. 3).

Гипербола. При построении гиперболы точка P, острие карандаша, фиксируется на нити, которая свободно скользит по шпенькам, установленным в точках F 1 и F 2 , как показано на рисунке 4, а, расстояния подобраны так, что отрезок PF 2 превосходит по длине отрезок PF 1 на фиксированную величину, меньшую расстояния F 1 F 2 . При этом один конец нити проходит под шпеньком F 1, и оба конца нити проходят поверх шпенька F 2 . (Острие карандаша не должно скользить по нити, поэтому его нужно закрепить, сделав на нити маленькую петлю и продев в нее острие.) Одну ветвь гиперболы (PV 1 Q) мы вычерчиваем, следя за тем, чтобы нить оставалась все время натянутой, и, потягивая оба конца нити вниз за точку F 2 , а когда точка P окажется ниже отрезка F 1 F 2 , придерживая нить за оба конца и осторожно отпуская ее. Вторую ветвь гиперболы мы вычерчиваем, предварительно поменяв шпеньки F 1 и F 2 (Рис. 4).

Ветви гиперболы приближаются к двум прямым, которые пересекаются между ветвями. Эти прямые, называемые асимптотами гиперболы, строятся, как показано на рисунке 4,б. Угловые

коэффициенты этих прямых равны где – отрезок биссектрисы угла между асимптотами, перпендикулярной отрезку F 2 F 1 ; отрезок v 1 v 2 называется сопряженной осью гиперболы, а отрезок V 1 V 2 – ее поперечной осью. Таким образом, асимптоты являются диагоналями прямоугольника со сторонами, проходящими через четыре точки v 1 , v 2 , V 1 , V 2 параллельно осям. Чтобы построить этот прямоугольник, необходимо указать местоположение точек v 1 и v 2 . Они находятся на одинаковом расстоянии, равном

от точки пересечения осей O. Эта формула предполагает построение прямоугольного треугольника с катетами Ov 1 и V 2 O и гипотенузой F 2 O.

Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола называется равнобочной. Две гиперболы, имеющие общие асимптоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями, называются взаимно сопряженными.

Парабола. Фокусы эллипса и гиперболы были известны еще Аполлонию, но фокус параболы, по-видимому, впервые установил Папп (вторая пол. III в.), определивший эту кривую как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой, которая называется директрисой. Построение параболы с помощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским (VI в.) (Рис. 5).

Расположим линейку так, чтобы ее край совпал с директрисой, и приложим к этому краю катет AC чертежного треугольника ABC. Закрепим один конец нити длиной AB в вершине B треугольника, а другой – в фокусе параболы F. Натянув острием карандаша нить, прижмем острие в переменной точке P к свободному катету AB чертежного треугольника. По мере того, как треугольник будет перемещаться вдоль линейки, точка P будет описывать дугу параболы с фокусом F и директрисой, так как общая длина нити равна AB, отрезок нити прилегает к свободному катету треугольника, и поэтому оставшийся отрезок нити PF должен быть равен оставшейся части катета AB, то есть PA. Точка пересечения V параболы с осью называется вершиной параболы, прямая, проходящая через F и V, – осью параболы. Если через фокус провести прямую, перпендикулярную оси, то отрезок этой прямой, отсекаемый параболой, называется фокальным параметром. Для эллипса и гиперболы фокальный параметр определяется аналогично.

АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД

Алгебраическая классификация. В алгебраических терминах конические сечения можно определить как плоские кривые, координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяют уравнению второй степени. Иначе говоря, уравнение всех конических сечений можно записать в общем, виде как

где не все коэффициенты A, B и C равны нулю. С помощью параллельного переноса и поворота осей уравнение (1) можно привести к виду

ax 2 + by 2 + c = 0

Первое уравнение получается из уравнения (1) при B 2 > AC, второе – при B 2 = AC. Конические сечения, уравнения которых приводятся к первому виду, называются центральными. Конические сечения, заданные уравнениями второго вида с q > 0, называются нецентральными. В рамках этих двух категорий существуют девять различных типов конических сечений в зависимости от знаков коэффициентов.

1) Если коэффициенты a, b и c имеют один и тот же знак, то не существует вещественных точек, координаты которых удовлетворяли бы уравнению. Такое коническое сечение называется мнимым эллипсом (или мнимой окружностью, если a = b).

2) Если a и b имеют один знак, а c – противоположный, то коническое сечение – эллипс; при a = b – окружность.

3) Если a и b имеют разные знаки, то коническое сечение – гипербола.

4) Если a и b имеют разные знаки и c = 0, то коническое сечение состоит из двух пересекающихся прямых.

5) Если a и b имеют один знак и c = 0, то существует только одна действительная точка на кривой, удовлетворяющая уравнению, и коническое сечение – две мнимые пересекающиеся прямые. В этом случае также говорят о стянутом в точку эллипсе или, если a = b, стянутой в точку окружности.

6) Если либо a, либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют разные знаки, то коническое сечение состоит из двух параллельных прямых.

7) Если либо a, либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют один знак, то не существует ни одной действительной точки, удовлетворяющей уравнению. В этом случае говорят, что коническое сечение состоит из двух мнимых параллельных прямых.

8) Если c = 0, и либо a, либо b также равно нулю, то коническое сечение состоит из двух действительных совпадающих прямых. (Уравнение не определяет никакого конического сечения при a = b = 0, поскольку в этом случае исходное уравнение (1) не второй степени.)

9) Уравнения второго типа определяют параболы, если p и q отличны от нуля. Если p > 0, а q = 0, мы получаем кривую из п. 8. Если же p = 0, то уравнение не определяет никакого конического сечения, поскольку исходное уравнение (1) не второй степени.

Применение

Конические сечения часто встречаются в природе и технике. Например, орбиты планет, обращающихся вокруг Солнца, имеют форму эллипсов. Окружность представляет собой частный случай эллипса, у которого большая ось равна малой. Параболическое зеркало обладает тем свойством, что все падающие лучи, параллельные его оси, сходятся в одной точке (фокусе). Это используется в большинстве телескопов-рефлекторов, где применяются параболические зеркала, а также в антеннах радаров и специальных микрофонах с параболическими отражателями. От источника света, помещенного в фокусе параболического отражателя, исходит пучок параллельных лучей. Поэтому в мощных прожекторах и автомобильных фарах используются параболические зеркала. Гипербола является графиком многих важных физических соотношений, например, закона Бойля (связывающего давление и объем идеального газа) и закона Ома, задающего электрический ток как функцию сопротивления при постоянном напряжении

Приложение

Список литературы.

1. Алексеев. Теорема Абеля в задачах и решениях. 2001

2. Базылев В. Т., Дуничев К. И., Иваницкая В. П.. Учебное пособие для студентов 1 курса физико-математических факультетов педагогических институтах. Москва «просвещение» 1974

3. Верещагин Н.К., А.Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. 1999

4. Гельфанд И.М.. Лекции по линейной алгебре. 1998.

5. Гладкий А.В.. Введение в современную логику. 2001

6. М.Э.Казарян. Курс дифференциальной геометрии (2001-2002).

7. Прасолов В.В.. Геометрия Лобачевского 2004

8. Прасолов В.В.. Задачи по планиметрии 2001

9. Шейнман О.К.. Основы теории представлений. 2004

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ГОРОДА МОСКВЫ

«КОЛЛЕДЖ ПОЛИЦИИ»

Реферат по дисциплине Математика

На тему: «Конические сечения и их применения в технике»

Выполнила

Курсант 15 взвода

Алексеева А.И

Преподаватель

Зайцева О.Н.

Москва

2016

Содержание:

Введение

1. Понятие конических сечений……………………………………………5

2. Виды конических сечений……………………………………….............7

3. Исследование……………………………………………………………..8

4. Свойства конических сечений…. ……………………………………….9

5. Построение конических сечений……………………………………….10

6. Аналитических подход…………………………………………………14

7. Приминение……………………………………………………………….16

8. Поперек конуса…………………………………………………………..17

Список использованной литературы

Введение

Конические сечения впервые предложил использовать древнегреческий геометр Менехм, живший в IV веке до нашей эры, при решении задачи об удвоении куба. Эту задачу связывают со следующей легендой.

Однажды на острове Делосе вспыхнула эпидемия чумы. Жители острова обратились к оракулу, который сказал, что для прекращения эпидемии надо увеличить вдвое золотой жертвенник, который имел форму куба и находился в храме Аполлона в Афинах. Островитяне изготовили новый жертвенник, ребра которого были вдвое больше ребер прежнего. Однако чума не прекратилась. Разгневанные жители услышали от оракула, что неверно поняли его предписание - удвоить было надо не ребра куба, а его объём, то есть увеличить ребра куба в раз.

Для получения конических сечений Менехм пересекал конус - остроугольный, прямоугольный или тупоугольный - плоскостью, перпендикулярной одной из образующих. Для остроугольного конуса сечение плоскостью, перпендикулярной к его образующей, имеет форму эллипса. Тупоугольный конус при этом дает гиперболу, а прямоугольный – параболу.

Отсюда произошли и названия кривых, которые были введены Аполлонием Пергским, жившим в III веке до нашей эры: эллипс, что означает изъян, недостаток (угла конуса до прямого); гипербола - преувеличение, перевес (угла конуса над прямым); парабола - приближение, равенство (угла конуса прямому углу). Позже греки заметили, что все три кривые можно получить на одном конусе, изменяя наклон секущей плоскости. При этом следует брать конус, состоящий из двух полостей и мыслить, что они простираются в бесконечность (рис.1)

Если провести сечение кругового конуса, перпендикулярное его оси, а потом поворачивать секущую плоскость, оставляя одну точку её пересечения с конусом неподвижной, то увидим, как окружность будет сначала вытягиваться, превратившись в эллипс. Затем вторая вершина эллипса уйдет в бесконечность, и вместо эллипса получится парабола, а потом плоскость пресечет и вторую полость конуса и получится гипербола.

Долгое время конические сечения не находили применения, пока ими всерьёз не заинтересовались астрономы и физики. Выяснилось, что эти линии встречаются в природе (пример тому - траектории небесных тел) и графически описывают многие физические процессы (здесь лидирует гипербола: вспомним хотя бы закон Ома и закон Бойля-Мариотта), не говоря уже об их применении в механике и оптике. На практике, чаще всего в технике и строительстве, приходится иметь дело с эллипсом и параболой.

Рис.1

эпюр

Понятие конических сечений

Конические сечения - это плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину. С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка. За исключением вырожденных случаев, рассматриваемых в последнем разделе, коническими сечениями являются эллипсы, гиперболы или параболы (Рис. 2).

Рис.2

При вращении прямоугольного треугольника около одного из катетов, гипотенуза с ее продолжениями описывает коническую поверхность, называемую поверхностью прямого кругового конуса, которая может быть рассматриваема как непрерывный ряд прямых, проходящих через вершину и называемых образующими, причем все образующие опираются на одну и ту же окружность, называемую производящей. Каждая из образующих представляет собой гипотенузу вращающегося треугольника (в известном его положении), продолженную в обе стороны до бесконечности. Таким образом, каждая образующая простирается по обе стороны от вершины, вследствие чего и поверхность имеет две полости: они сходятся в одну точку в общей вершине. Если такую поверхность пересечь плоскостью, то в сечении получится кривая, которая и называется коническим сечением. Она может быть трех типов:

1) если плоскость пересекает коническую поверхность по всем образующим, то рассекается только одна полость и в сечении получается замкнутая кривая, называемая эллипсом;

2) если секущая плоскость пересекает обе полости, то получается кривая, имеющая две ветви и называемая гиперболой;

3) если секущая плоскость параллельна одной из образующих, то получается парабола.

Если секущая плоскость параллельна производящей окружности, то получается окружность, которая может быть рассматриваема как частный случай эллипса. Секущая плоскость может пересекать коническую поверхность только в одной вершине, тогда в сечении получается точка, как частный случай эллипса.

Если плоскостью, проходящей через вершину, пересекаются обе плоскости, то в сечении получается пара пересекающихся прямых, рассматриваемая как частный случай гиперболы.

Если вершина бесконечно удалена, то коническая поверхность обращается в цилиндрическую, и сечение ее плоскостью, параллельной образующим, дает пару параллельных прямых как частный случай параболы. Конические сечения выражаются уравнениями 2-го порядка, общий вид которых

Ax 2 + Вху + C + Dx + Ey + F = 0 и называются кривыми 2-го порядка.
(коническое сечение)

Виды конических сечений .

Конические сечения могут быть трёх типов:

1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; линия пересечения есть замкнутая овальная кривая - эллипс; окружность как частный случай эллипса получается, когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса.

2) Секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая - парабола, целиком лежащая на одной полости.

3) Секущая плоскость пересекает обе полости конуса; линия пересечения - гипербола - состоит из двух одинаковых незамкнутых, простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), лежащих на обеих полостях конуса.

(рис.1) парабола (рис.2) эллипс (рис.3) гипербола

Исследование

В тех случаях, когда конические сечение имеет центр симметрии (центр), т. е. является эллипсом или гиперболой, его уравнение может быть приведено (путём перенесения начала координат в центр) к виду:

a 11 x 2 +2xy + a 22 y 2 = a 33 .

Дальнейшие исследования таких (называемых центральными) конические сечения показывают, что их уравнения могут быть приведены к ещё более простому виду:

Ах 2 + Ву 2 = С,

если за направления осей координат выбрать главные направления - направления главных осей (осей симметрии) конических сечений. Если А и В имеют одинаковые знаки (совпадающие со знаком С), то уравнение определяет эллипс; если А и В разного знака, то - гиперболу.

Уравнение параболы привести к виду (Ах 2 + Ву 2 = С) нельзя. При надлежащем выборе осей координат (одна ось координат - единственная ось симметрии параболы, другая - перпендикулярная к ней прямая, проходящая через вершину параболы) её уравнение можно привести к виду:

y 2 = 2рх.

СВОЙСТВА КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

Определения Паппа. Установление фокуса параболы навело Паппа на мысль дать альтернативное определение конических сечений в целом. Пусть F - заданная точка (фокус), а L - заданная прямая (директриса), не проходящая через F, и DF и DL - расстояния от подвижной точки P до фокуса F и директрисы L соответственно. Тогда, как показал Папп, конические сечения определяются как геометрические места точек P, для которых отношение DF:DL является неотрицательной постоянной. Это отношение называется эксцентриситетом e конического сечения. При e < 1 коническое сечение - эллипс; при e > 1 - гипербола; при e = 1 - парабола. Если F лежит на L, то геометрические места имеют вид прямых (действительных или мнимых), которые являются вырожденными коническими сечениями. Бросающаяся в глаза симметрия эллипса и гиперболы говорит о том, что у каждой из этих кривых есть по две директрисы и по два фокуса, и это обстоятельство навело Кеплера в 1604 на мысль, что и у параболы существует второй фокус и вторая директриса - бесконечно удаленные точка и прямая. Точно также и окружность можно рассматривать как эллипс, фокусы которого совпадают с центром, а директрисы находятся в бесконечности. Эксцентриситет e в этом случае равен нулю.

Свойства. Свойства конических сечений поистине неисчерпаемы, и любое из них можно принять за определяющее. Важное место в Математическом собрании Паппа, Геометрии Декарта (1637) и Началах Ньютона (1687) занимает задача о геометрическом месте точек относительно четырех прямых. Если на плоскости заданы четыре прямые L 1 , L 2 , L 3 и L4 (две из которых могут совпадать) и точка P такова, что произведение расстояний от P до L 1 и L 2 пропорционально произведению расстояний от P до L 3 и L 4 , то геометрическое место точек P является коническим сечением.

ПОСТРОЕНИЕ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

Изучая конические сечения как пересечения плоскостей и конусов, древнегреческие математики рассматривали их и как траектории точек на плоскости. Было установлено, что эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна; параболу – как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой; гиперболу – как геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек постоянна.

Эти определения конических сечений как плоских кривых подсказывают и способ их построения с помощью натянутой нити.

Эллипс. Если концы нити заданной длины закреплены в точках F 1 и F 2 (рис. 3), то кривая, описываемая острием карандаша, скользящим по туго натянутой нити, имеет форму эллипса. Точки F 1 и F2 называются фокусами эллипса, а отрезки V 1 V 2 и v 1 v 2 между точками пересечения эллипса с осями координат – большой и малыми осями. Если точки F 1 и F 2 совпадают, то эллипс превращается в окружность (Рис. 3).

рис.3

Гипербола. При построении гиперболы точка P, острие карандаша, фиксируется на нити, которая свободно скользит по шпенькам, установленным в точках F 1 и F 2 , как показано на рисунке 4, а, расстояния подобраны так, что отрезок PF 2 превосходит по длине отрезок PF 1 на фиксированную величину, меньшую расстояния F 1 F 2 . При этом один конец нити проходит под шпеньком F 1 , и оба конца нити проходят поверх шпенька F 2 . (Острие карандаша не должно скользить по нити, поэтому его нужно закрепить, сделав на нити маленькую петлю и продев в нее острие.) Одну ветвь гиперболы (PV 1 Q) мы вычерчиваем, следя за тем, чтобы нить оставалась все время натянутой, и, потягивая оба конца нити вниз за точку F 2 , а когда точка P окажется ниже отрезка F 1 F 2 , придерживая нить за оба конца и осторожно отпуская ее. Вторую ветвь гиперболы мы вычерчиваем, предварительно поменяв шпеньки F 1 и F 2 (Рис. 4).

рис.4

Ветви гиперболы приближаются к двум прямым, которые пересекаются между ветвями. Эти прямые, называемые асимптотами гиперболы. Угловые коэффициенты этих прямых равны где – отрезок биссектрисы угла между асимптотами, перпендикулярной отрезку F 2 F 1 ; отрезок v 1 v 2 называется сопряженной осью гиперболы, а отрезок V 1 V 2 – ее поперечной осью. Таким образом, асимптоты являются диагоналями прямоугольника со сторонами, проходящими через четыре точки v 1 , v 2 , V 1 , V 2 параллельно осям. Чтобы построить этот прямоугольник, необходимо указать местоположение точек v 1 и v 2 . Они находятся на одинаковом расстоянии, равном от точки пересечения осей O. Эта формула предполагает построение прямоугольного треугольника с катетами Ov 1 и V 2 O и гипотенузой F 2 O.

Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола называется равнобочной. Две гиперболы, имеющие общие асимптоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями, называются взаимно сопряженными.

Парабола. Фокусы эллипса и гиперболы были известны еще Аполлонию, но фокус параболы, по-видимому, впервые установил Папп (вторая пол. III в.), определивший эту кривую как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой, которая называется директрисой. Построение параболы с помощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским (VI в.) (Рис. 5).

Рис.5

АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД

Алгебраическая классификация. В алгебраических терминах конические сечения можно определить как плоские кривые, координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяют уравнению второй степени. Иначе говоря, уравнение всех конических сечений можно записать в общем, виде как где не все коэффициенты A, B и C равны нулю. С помощью параллельного переноса и поворота осей уравнение (1) можно привести к виду

ax 2 + by 2 + c = 0

или

px 2 + q y = 0.

Первое уравнение получается из уравнения (1) при B2 > AC, второе - при B 2 = AC. Конические сечения, уравнения которых приводятся к первому виду, называются центральными. Конические сечения, заданные уравнениями второго вида с q > 0, называются нецентральными. В рамках этих двух категорий существуют девять различных типов конических сечений в зависимости от знаков коэффициентов.

1) Если коэффициенты a, b и c имеют один и тот же знак, то не существует вещественных точек, координаты которых удовлетворяли бы уравнению. Такое коническое сечение называется мнимым эллипсом (или мнимой окружностью, если a = b).

2) Если a и b имеют один знак, а c - противоположный, то коническое сечение - эллипс; при a = b - окружность.

3) Если a и b имеют разные знаки, то коническое сечение - гипербола.

4) Если a и b имеют разные знаки и c = 0, то коническое сечение состоит из двух пересекающихся прямых.

5) Если a и b имеют один знак и c = 0, то существует только одна действительная точка на кривой, удовлетворяющая уравнению, и коническое сечение - две мнимые пересекающиеся прямые. В этом случае также говорят о стянутом в точку эллипсе или, если a = b, стянутой в точку окружности.

6) Если либо a, либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют разные знаки, то коническое сечение состоит из двух параллельных прямых.

7) Если либо a, либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют один знак, то не существует ни одной действительной точки, удовлетворяющей уравнению. В этом случае говорят, что коническое сечение состоит из двух мнимых параллельных прямых.

8) Если c = 0, и либо a, либо b также равно нулю, то коническое сечение состоит из двух действительных совпадающих прямых. (Уравнение не определяет никакого конического сечения при a = b = 0, поскольку в этом случае исходное уравнение (1) не второй степени.)

9) Уравнения второго типа определяют параболы, если p и q отличны от нуля. Если p > 0, а q = 0, мы получаем кривую из п. 8. Если же p = 0, то уравнение не определяет никакого конического сечения, поскольку исходное уравнение (1) не второй степени.

Приминение

Конические сечения часто встречаются в природе и технике. Например, орбиты планет, обращающихся вокруг Солнца, имеют форму эллипсов. Окружность представляет собой частный случай эллипса, у которого большая ось равна малой. Параболическое зеркало обладает тем свойством, что все падающие лучи, параллельные его оси, сходятся в одной точке (фокусе). Это используется в большинстве телескопов-рефлекторов, где применяются параболические зеркала, а также в антеннах радаров и специальных микрофонах с параболическими отражателями. От источника света, помещенного в фокусе параболического отражателя, исходит пучок параллельных лучей. Поэтому в мощных прожекторах и автомобильных фарах используются параболические зеркала. Гипербола является графиком многих важных физических соотношений, например, закона Бойля (связывающего давление и объем идеального газа) и закона Ома, задающего электрический ток как функцию сопротивления при постоянном напряжении.

Все тела Солнечной системы движутся вокруг Солнца по эллипсам. Небесные тела, попадающие в Солнечную систему из других звездных систем, движутся вокруг Солнца по гиперболической орбите и, если на их движение не оказывают существенного влияния планеты Солнечной системы, покидают се по этой же орбите. По эллипсам движутся вокруг Земли ее искусственные спутники и естественный спутник – Луна, а космические корабли, запущенные к другим планетам, движутся по окончании работы двигателей по параболам или гиперболам (в зависимости от скорости) до тех пор, пока притяжение других планет или Солнца не станет сравнимо с земным притяжением (рис. 3).

Поперёк конуса

Эллипс и его частный случай - окружность, параболу и гиперболу легко получить экспериментально. На роль конуса вполне подойдёт, например, вафельный рожок для мороженого. Мысленно проводим одну его образующую и разрезаем рожок под разными углами к ней. Задача - сделать всего четыре попытки и получить на срезах все возможные конические сечения. Ещё проще провести опыт с карманным фонариком: в зависимости от его положения в пространстве конус света даст на стене комнаты пятна разной формы. Граница каждого пятна - одно из конических сечений. Поворачивая фонарик в вертикальной плоскости, вы увидите, как одна кривая сменяет другую: окружность вытягивается в эллипс, затем он превращается в параболу, а она, в свою очередь, в гиперболу.

Математик решает ту же задачу теоретически, сравнивая два угла: α - между осью конуса и образующей и β - между секущей плоскостью и осью конуса. И вот результат: при α < β в сечении получится эллипс или окружность, при α = β - парабола, а при α > β - ветвь гиперболы. Если считать образующие прямыми, а не отрезками, то есть рассмотреть неограниченную симметричную фигуру из двух конусов с общей вершиной, станет понятно, что эллипс - замкнутая кривая, парабола состоит из одной бесконечной ветви, а гипербола - из двух.

Простейшее коническое сечение - окружность - можно начертить, воспользовавшись ниткой и гвоздиком. Достаточно привязать один конец нитки к гвоздику, воткнутому в бумагу, а другой - к карандашу и натянуть. Сделав полный оборот, карандаш очертит окружность. А можно воспользоваться циркулем: меняя его раствор, легко нарисовать целое семейство окружностей.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Верещагин Н.К., А.Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. 1999

2. Прасолов В.В.. Геометрия Лобачевского 2004

4. Прасолов В.В.. Геометрия Лобачевского 2004

Муниципальное Образовательное Учреждение

Средняя Общеобразовательная школа №4

Выполнил

Спиридонов Антон

ученик 11 А класса

Проверил

Коробейникова А. Т.

Тобольск - 2006 г.

Введение

Понятие конических сечений

Виды конических сечений

Исследование

Построение конических сечений

Аналитический подход

Применение

Приложение

Список литературы

Введение.

Цель: изучить конические сечения.

Задачи: научиться различать виды конических сечений, строить кинические сечения и применять аналитический подход.

Конические сечения впервые предложил использовать древнегреческий геометр Менехм, живший в IV веке до нашей эры, при решении задачи об удвоении куба. Эту задачу связывают со следующей легендой.

Однажды на острове Делосе вспыхнула эпидемия чумы. Жители острова обратились к оракулу, который сказал, что для прекращения эпидемии надо увеличить вдвое золотой жертвенник, который имел форму куба и находился в храме Аполлона в Афинах. Островитяне изготовили новый жертвенник, ребра которого были вдвое больше ребер прежнего. Однако чума не прекратилась. Разгневанные жители услышали от оракула, что неверно поняли его предписание - удвоить было надо не ребра куба, а его объём, то есть увеличить ребра куба в раз. В терминах геометрической алгебры, которой пользовались греческие математики, задача означала: по данному отрезку а найти такие отрезки х и y такие, что а: х = х: y = y: 2a. Тогда длина отрезка х будет равна.

Приведенную пропорцию можно рассматривать как систему уравнений:

Но x 2 =ay и y 2 =2ax - это уравнения парабол. Поэтому для решения задачи следует отыскать точки их пересечения. Если же учесть, что из системы можно получить и уравнение гиперболы xy=2a 2 , то эту же задачу возможно решить нахождением точек пересечения параболы с гиперболой.

Для получения конических сечений Менехм пересекал конус - остроугольный, прямоугольный или тупоугольный - плоскостью, перпендикулярной одной из образующих. Для остроугольного конуса сечение плоскостью, перпендикулярной к его образующей, имеет форму эллипса. Тупоугольный конус при этом дает гиперболу, а прямоугольный - параболу.

Отсюда произошли и названия кривых, которые были введены Аполлонием Пергским, жившим в III веке до нашей эры: эллипс (έλλείψίς), что означает изъян, недостаток (угла конуса до прямого); гипербола (ύπέρβωλη) - преувеличение, перевес (угла конуса над прямым); парабола (παραβολη) - приближение, равенство (угла конуса прямому углу). Позже греки заметили, что все три кривые можно получить на одном конусе, изменяя наклон секущей плоскости. При этом следует брать конус, состоящий из двух полостей и мыслить, что они простираются в бесконечность (Рис. 1).

и называются кривыми 2-го порядка.

Виды конических сечений.

Конические сечения могут быть трёх типов:

1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; линия пересечения есть замкнутая овальная кривая - эллипс; окружность как частный случай эллипса получается, когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса.

2) Секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая - парабола, целиком лежащая на одной полости.

3) Секущая плоскость пересекает обе полости конуса; линия пересечения - гипербола - состоит из двух одинаковых незамкнутых, простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), лежащих на обеих полостях конуса.

Исследование.

В тех случаях, когда конические сечение имеет центр симметрии (центр), т. е. является эллипсом или гиперболой, его уравнение может быть приведено (путём перенесения начала координат в центр) к виду:

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Дальнейшие исследования таких (называемых центральными) конические сечения показывают, что их уравнения могут быть приведены к ещё более простому виду:

Ах 2 + Ву 2 = С,

если за направления осей координат выбрать главные направления - направления главных осей (осей симметрии) конических сечений. Если А и В имеют одинаковые знаки (совпадающие со знаком С), то уравнение определяет эллипс; если А и В разного знака, то - гиперболу.

Уравнение параболы привести к виду (Ах 2 + Ву 2 = С) нельзя. При надлежащем выборе осей координат (одна ось координат - единственная ось симметрии параболы, другая - перпендикулярная к ней прямая, проходящая через вершину параболы) её уравнение можно привести к виду:

ПОСТРОЕНИЕ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ.

Изучая конические сечения как пересечения плоскостей и конусов, древнегреческие математики рассматривали их и как траектории точек на плоскости. Было установлено, что эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна; параболу - как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой; гиперболу - как геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек постоянна.

Эти определения конических сечений как плоских кривых подсказывают и способ их построения с помощью натянутой нити.

Эллипс. Если концы нити заданной длины закреплены в точках F 1 и F 2 (рис. 3), то кривая, описываемая острием карандаша, скользящим по туго натянутой нити, имеет форму эллипса. Точки F 1 и F 2 называются фокусами эллипса, а отрезки V 1 V 2 и v 1 v 2 между точками пересечения эллипса с осями координат - большой и малыми осями. Если точки F 1 и F 2 совпадают, то эллипс превращается в окружность (Рис. 3).

Гипербола. При построении гиперболы точка P , острие карандаша, фиксируется на нити, которая свободно скользит по шпенькам, установленным в точках F 1 и F 2 , как показано на рисунке 4, а, расстояния подобраны так, что отрезок PF 2 превосходит по длине отрезок PF 1 на фиксированную величину, меньшую расстояния F 1 F 2 . При этом один конец нити проходит под шпеньком F 1, и оба конца нити проходят поверх шпенька F 2 . (Острие карандаша не должно скользить по нити, поэтому его нужно закрепить, сделав на нити маленькую петлю и продев в нее острие.) Одну ветвь гиперболы (PV 1 Q ) мы вычерчиваем, следя за тем, чтобы нить оставалась все время натянутой, и, потягивая оба конца нити вниз за точку F 2 , а когда точка P окажется ниже отрезка F 1 F 2 , придерживая нить за оба конца и осторожно отпуская ее. Вторую ветвь гиперболы мы вычерчиваем, предварительно поменяв шпеньки F 1 и F 2 (Рис. 4).

Ветви гиперболы приближаются к двум прямым, которые пересекаются между ветвями. Эти прямые, называемые асимптотами гиперболы , строятся, как показано на рисунке 4,б. Угловые

коэффициенты этих прямых равны где - отрезок биссектрисы угла между асимптотами, перпендикулярной отрезку F 2 F 1 ; отрезок v 1 v 2 называется сопряженной осью гиперболы, а отрезок V 1 V 2 - ее поперечной осью. Таким образом, асимптоты являются диагоналями прямоугольника со сторонами, проходящими через четыре точки v 1 , v 2 , V 1 , V 2 параллельно осям. Чтобы построить этот прямоугольник, необходимо указать местоположение точек v 1 и v 2 . Они находятся на одинаковом расстоянии, равном

от точки пересечения осей O . Эта формула предполагает построение прямоугольного треугольника с катетами Ov 1 и V 2 O и гипотенузой F 2 O .

Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола называется равнобочной . Две гиперболы, имеющие общие асимптоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями, называются взаимно сопряженными .

Парабола. Фокусы эллипса и гиперболы были известны еще Аполлонию, но фокус параболы , по-видимому, впервые установил Папп (вторая пол. III в.), определивший эту кривую как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой, которая называется директрисой . Построение параболы с помощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским (VI в.) (Рис. 5).

Расположим линейку так, чтобы ее край совпал с директрисой, и приложим к этому краю катет AC чертежного треугольника ABC . Закрепим один конец нити длиной AB в вершине B треугольника, а другой - в фокусе параболы F . Натянув острием карандаша нить, прижмем острие в переменной точке P к свободному катету AB чертежного треугольника. По мере того, как треугольник будет перемещаться вдоль линейки, точка P будет описывать дугу параболы с фокусом F и директрисой, так как общая длина нити равна AB , отрезок нити прилегает к свободному катету треугольника, и поэтому оставшийся отрезок нити PF должен быть равен оставшейся части катета AB , то есть PA . Точка пересечения V параболы с осью называется вершиной параболы , прямая, проходящая через F и V , - осью параболы . Если через фокус провести прямую, перпендикулярную оси, то отрезок этой прямой, отсекаемый параболой, называется фокальным параметром . Для эллипса и гиперболы фокальный параметр определяется аналогично.

АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД

Алгебраическая классификация. В алгебраических терминах конические сечения можно определить как плоские кривые, координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяют уравнению второй степени. Иначе говоря, уравнение всех конических сечений можно записать в общем, виде как

где не все коэффициенты A, B и C равны нулю. С помощью параллельного переноса и поворота осей уравнение (1) можно привести к виду

ax 2 + by 2 + c = 0

Первое уравнение получается из уравнения (1) при B 2 > AC, второе - при B 2 = AC. Конические сечения, уравнения которых приводятся к первому виду, называются центральными. Конические сечения, заданные уравнениями второго вида с q > 0, называются нецентральными. В рамках этих двух категорий существуют девять различных типов конических сечений в зависимости от знаков коэффициентов.

1) Если коэффициенты a, b и c имеют один и тот же знак, то не существует вещественных точек, координаты которых удовлетворяли бы уравнению. Такое коническое сечение называется мнимым эллипсом (или мнимой окружностью, если a = b).

2) Если a и b имеют один знак, а c - противоположный, то коническое сечение - эллипс; при a = b - окружность.

3) Если a и b имеют разные знаки, то коническое сечение - гипербола.

4) Если a и b имеют разные знаки и c = 0, то коническое сечение состоит из двух пересекающихся прямых.

5) Если a и b имеют один знак и c = 0, то существует только одна действительная точка на кривой, удовлетворяющая уравнению, и коническое сечение - две мнимые пересекающиеся прямые. В этом случае также говорят о стянутом в точку эллипсе или, если a = b, стянутой в точку окружности.

6) Если либо a, либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют разные знаки, то коническое сечение состоит из двух параллельных прямых.

7) Если либо a, либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют один знак, то не существует ни одной действительной точки, удовлетворяющей уравнению. В этом случае говорят, что коническое сечение состоит из двух мнимых параллельных прямых.

8) Если c = 0, и либо a, либо b также равно нулю, то коническое сечение состоит из двух действительных совпадающих прямых. (Уравнение не определяет никакого конического сечения при a = b = 0, поскольку в этом случае исходное уравнение (1) не второй степени.)

9) Уравнения второго типа определяют параболы, если p и q отличны от нуля. Если p > 0, а q = 0, мы получаем кривую из п. 8. Если же p = 0, то уравнение не определяет никакого конического сечения, поскольку исходное уравнение (1) не второй степени.

Применение

Конические сечения часто встречаются в природе и технике. Например, орбиты планет, обращающихся вокруг Солнца, имеют форму эллипсов. Окружность представляет собой частный случай эллипса, у которого большая ось равна малой. Параболическое зеркало обладает тем свойством, что все падающие лучи, параллельные его оси, сходятся в одной точке (фокусе). Это используется в большинстве телескопов-рефлекторов, где применяются параболические зеркала, а также в антеннах радаров и специальных микрофонах с параболическими отражателями. От источника света, помещенного в фокусе параболического отражателя, исходит пучок параллельных лучей. Поэтому в мощных прожекторах и автомобильных фарах используются параболические зеркала. Гипербола является графиком многих важных физических соотношений, например, закона Бойля (связывающего давление и объем идеального газа) и закона Ома, задающего электрический ток как функцию сопротивления при постоянном напряжении

Приложение

Список литературы.

1. Алексеев. Теорема Абеля в задачах и решениях. 2001

2. Базылев В. Т., Дуничев К. И., Иваницкая В. П.. Учебное пособие для студентов 1 курса физико-математических факультетов педагогических институтах. Москва «просвещение» 1974

3. Верещагин Н.К., А.Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. 1999

4. Гельфанд И.М.. Лекции по линейной алгебре. 1998.

5. Гладкий А.В.. Введение в современную логику. 2001

6. М.Э.Казарян. Курс дифференциальной геометрии (2001-2002).

7. Прасолов В.В.. Геометрия Лобачевского 2004

8. Прасолов В.В.. Задачи по планиметрии 2001

9. Шейнман О.К.. Основы теории представлений. 2004

(см.) (направляющая которой - окружность) плоскостями, не проходящими через ее вершину.
Если секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих конической поверхности, то коническое сечение есть эллипс, в частности круг (рис. 107). Если секущая плоскость параллельна только одной из образующих конической поверхности, то коническое сечение есть парабола (рис. 108). Если секущая плоскость параллельна двум образующим конической поверхности, то коническое сечение есть гипербола (рис. 109).
В случае эллипса и параболы секущая плоскость пересекает только одну полость конической поверхности, а в случае гиперболы секущая плоскость пересекает обе полости конической поверхности.
Коническое сечение иначе называют кривыми 2-го порядка. Конические сечения исследовались уже математиками древней Греции (например, Менехм в IV в. до н. э. решал задачу об (см.) с помощью конических сечений). Наиболее полное исследование конических сечений было проведено Аполлонием Пергским (III в. до н. э.).

Конические сечения находят применение в технике, например в эллиптических зубчатых колесах, в прожекторных установках (параболические зеркала) и т. д. Планеты солнечной системы движутся по эллипсам, кометы движутся по параболам и гиперболам.
Исследование конических сечений с помощью сфер, вписанных в коническую поверхность, было проведено бельгийским геометром Ж.. Данделеном (XIX в.).

Уравнение конического сечения в полярных координатах имеет вид:

где r - фокальный радиус-вектор (рис. 110, F- правый фокус конического сечения);

р - фокальный параметр;
е - эксцентриситет;
φ - полярный угол.

Если е 1, то это уравнение определяет (см.); при этом для угла φ, изменяющегося от φ 0 до 2π - φ 0 (где 2 φ 0 - угол между асимптотами tg φ 0 =b/a), получим правую ветвь гиперболы, а для углов φ, изменяющихся от - φ 0 до φ 0 , получим левую ветвь гиперболы.

Название конических сечений (эллипс, парабола и гипербола) объясняется у древних геометров их методом решения задач, сводящихся к решению линейных или квадратных уравнений, - методом приложения площадей, или параболическим методом, который также называют методом геометрической алгебры.

Пусть АВ = 2а- диаметр эллипса (рис. 111), АЕ=2р, СF - перпендикуляр к АВ; тогда квадрат, построенный на СD, будет равен площади прямоугольника (АF):

Положив АС=х, СВ=2а - х, СD=у, получим:

Аналогично для гиперболы будем иметь:

В случае эллипса в формуле стоит знак минус, т. е. площадь прямоугольника (СЕ) используется с недостатком (греч. ελλειψιζ- недостаток). В случае гиперболы в формуле стоит знак плюс, т. е. площадь прямоугольника (СЕ) используется с избытком (греч. υπερβολη - превышение, избыток).
Если имеет место простое равенство площади квадрата и площади прямоугольника (СЕ) (в формуле нет ни минуса, ни плюса - ни избытка, ни недостатка), т. е. у² = 2pх, то кривая (коническое сечение) называется параболой (παραβολη - приложение площадей, приравнивание).

Министерство образования РФ

Калужский государственный педагогический университет

Им. К.Э. Циолковского

«Конические сечения»

1. Работы Аполлония

2. «Конические сечения» Аполлония.

2.1 Вывод уравнения кривой для сечения прямоугольного конуса вращения

2.2 Вывод уравнения для параболы

2.3 Вывод уравнения для эллипса и гиперболы

2.4 Инвариантность конических сечений

2.5 Дальнейшее исследование конических сечений в трудах Аполлония

2.6 Дальнейшее развитие теории конических сечений

3. Заключение

4. Список литературы

Работы Аполлония

Аполлоний родился в Пергах в Малой Азии. Расцвет его деятельности падает примерно на 210г. до н.э. В это время он жил в Александрии, куда переехал еще юношей и где учился под руководством математиков школы Евклида. Аполлоний прославился как геометр и астроном. Умер он около 170г. до н. э.

В математике Аполлоний более всего известен своими «Коническими сечениями», в которых он дал полное изложение теории, причем развил аналитические и проективные методы. Аполлоний написал трактат «О вставках», посвященный классификации задач которые решаются с помощью вставок. Такие задачи могут оказаться разрешимыми циркулем и линейкой (плоские задачи), с помощью конических сечений (телесные задачи) и с помощью других кривых (линейные). Выявление того, к какому классу относится та или иная задача, могло означать начало их алгебраической классификации. Интерес Аполлония к алгебраическим проблемам проявился и в другой его работе – «О неупорядоченных иррациональностях», в которой он продолжал классификацию Евклида.

Чисто геометрическими работами Аполлония являются: работа «О спиральных линиях», в которой он рассматривает спирали на поверхности цилиндра, «О касании», где разбирается знаменитая задача Аполлония: «Даны три вещи, каждая из которых может быть точкой, прямой или окружностью; требуется провести окружность, которая проходила бы через каждую из данных точек и касалась бы каждой из данных прямых или окружностей».

Из сочинений «О плоских геометрических местах» можно заключить, что Аполлоний рассмотрел преобразование плоскости на себя, которые переводят прямые и окружности в прямые и окружности. Частным случаем этих преобразований являются преобразования подобия и инверсии некоторой точки.

Некоторые труды Аполлония были утрачены и не дошли до наших дней.

«Конические сечения» Аполлония

«Конические сечения» состоят из восьми книг. Первые четыре, в которых, по словам автора, излагаются элементы теории, дошли до нас по-гречески, следующие три – в арабском переводе Сабита ибн Корры, последняя – восьмая книга - утеряна. Имеется реконструкция ее текста, принадлежащая английскому астроному Э. Галлею (XVIII в.).

Кривые второго порядка были впервые рассмотрены в связи с задачей удвоения куба, Менехм представил их как плоские сечения прямоугольного, тупоугольного и остроугольного конусов вращения. Такое стереометрическое представление гарантировало существование и непрерывность рассматриваемых кривых. Затем Менехм переходил к выводу основного планиметрического свойства сечения, которое древние называли симптомом (уравнение кривой).

Вывод уравнения кривой для сечения прямоугольного конуса вращения

Пусть OAB – сечение этого конуса плоскостью, проходящей через ось OL, и пусть PLK – след плоскости, перпендикулярной к образующей этого конуса (рис. 1). Тогда KM 2 = AK KB, так как AMB – полукруг. Но AK=PP′=√2LP 2 , а KB=√2KP 2 , поэтому KM 2 =2LP KP.

Рис. 1

Обозначим KM через y, KP – через p, тогда получим

Это уравнение, или симптом, кривой, которое записывается с помощью буквенной символики, а древние записывали в словесно – геометрической форме: квадрат на полухорде KM в каждой точке равен прямоугольнику PKSR, построенному на отрезке PK оси до вершины (x) и на постоянном отрезке PR (рис. 2).

Рис. 2

Аналогично выводилось уравнение для сечений остроугольного и тупоугольного конусов, т.е. эллипса и гиперболы:

= и =, (2)

где 2a – большая ось эллипса или действительная ось гиперболы,

а р –постоянная.

В случае, когда р=а, уравнения (2) принимают вид

y 2 =x(2a-x) и y 2 =x(2a+x) (3)

первое из которых является уравнением окружности радиуса а, а второе – уравнением равносторонней гиперболы. Эллипс и гипербола (2) могут быть получены из окружности и гиперболы (3) сжатием к оси абсцисс в отношении √p/a.

Аполлоний прежде всего дает более общее определение. Во – первых, он берет произвольный круговой конус; во – вторых, рассматривает обе его полости (что дает ему возможность изучать обе ветки гиперболы); наконец, он проводит сечение плоскостью расположенной под любым углом к образующей.

На привычном языке аналитической геометрии, можно сказать, что до Аполлония конические сечения рассматривались по отношению к прямоугольной системе координат, причем одна из осей совпадала с главным диаметром, а вторая проходила перпендикулярно к ней через вершину кривой; Аполлоний же относил кривые к любому диаметру касательной проведенной в одном из его концов, т.е. к некоторой косоугольной системе координат.

После стереометрического определения Аполлоний также дает вывод симптомов – уравнений кривых. При этом он классифицирует полученные кривые по виду определяющего их уравнения, т.е. в основу кладется точка зрения, свойственная аналитической геометрии.

Вывод уравнения для параболы

Пусть BAC – сечение кругового конус плоскостью, проходящей через ось (рис. 3), и пусть проведена плоскость GHD так, что DE перпендикулярна BC, а GH параллельна AB (GH можно было выбрать параллельной AC). Найдем уравнение кривой DGE, полученной в сечении.

Рис. 3

Пусть К – произвольная точка этой кривой. Проведем KL параллельно DE и MN параллельно BC. Плоскость проходящая через KL и MN, будет параллельна плоскости основания и, как это ранее доказал Аполлоний, будет пересекать конус по кругу. Поэтому KL 2 =ML LN.

Отрезок GL есть переменное расстояние проекции точки Д от вершины, члены постоянны. Аполлоний выбирает такой отрезок GF, что

Тогда KL 2 =GF LG. Это и есть симптом – уравнение сечения.

Если обозначить KL=y, LG=x, GF=2p, то мы получим уравнение в привычной форме: y 2 =2px.

У Аполлония уравнение записывается также словесно – гречески: если GH – один из диаметров параболы, а KL – полухорда, сопряженная с этим диаметром, то Аполлоний откладывает GR = 2р перпендикулярно к GH. Тогда утверждается, что в каждой точке квадрат, построенный на LK (рис. 4), должен равняться прямоугольнику GRSL, т.е. GL GR.

Название «парабола» происходит от названия Аполлония παραβολή (приложение), так как задача о построении точки этой кривой сводится к задаче о приложении (до Аполлония параболу называли сечением прямоугольного конуса вращения).

Рис. 4

Вывод уравнения для эллипса и гиперболы

Аналогично Аполлоний получает уравнение эллипса и гиперболы.

Так, для эллипса доказывается, что LK 2 = пл. GLL′G′ (рис. 5), где GH=2a – некоторый диаметр эллипса, LK – полухорда, сопряженная с ним, GR=2p – постоянная, причем GR перпендикулярна GH. Чтобы перейти к более привычной форме записи, заметим, что

Рис. 5

Таким образом, задача о построении точек эллипса сводится к задаче о приложении с недостатком («эллиптическая задача»), чем и объясняется название «эллипс» (έλλειψις – недостаток). Это название было введено Аполлонием, до него эллипс называли сечением остроугольного конуса вращения.

Аналогично для гиперболы (рис. 6) получается уравнение

LK 2 = пл. GLL′G′, т.е. , или.

Следовательно, задача о построении точек гиперболы сводится к задаче о приложении с избытком («гиперболическая задача»), чем и объясняется название «гипербола» (ύπερβολή – избыток). Это название также было введено Аполлонием, до него гиперболу называли сечением тупоугольного конуса вращения.

Построенный отрезок GR=2p, откладываемый перпендикулярно диаметру GH, Аполлоний назвал «прямой стороной».

Рис. 6

В настоящее время величину p именуют параметром канонического сечения (в случае эллипса и гиперболы с полуосями a и b p=b 2 /a, и коэффициент сжатия √p/a, преобразующего окружность или равностороннюю гиперболу в данный эллипс или гиперболу, равен b/a).

Классификация конических сечений у Аполлония была по существу, алгебраической.

Инвариантность конических сечений

Аполлоний прекрасно понимал (и это сближало его с геометрами Нового времени), что такая классификация законна только в том случае, если вид уравнения не изменяется при отнесении кривой к другому ее диаметру и сопряженным с ним хордам.

В первой книге он исследует данный вопрос. Для этого необходимо было определить направление хорд, сопряженных с любым диаметром. При стереометрическом определении сопряженные направления получаются автоматически. Однако для решения задачи, поставленной Аполлонием, нужно определение, независимое от стереометрии. Аполлоний и делает это: он доказывает, что прямая проведенная через точку A канонического сечения параллельно направлению хорд, сопряженных с диаметром, проходящим через A, есть касательная. После этого он строит касательную к параболе, эллипсу, кругу и гиперболе.

Пусть P – некоторая точка на параболе и АА′ – один из диаметров (рис. 7). Аполлоний доказывает, что касательная PR отсечет от продолжения диаметра отрезок AR=AQ, если PL – хорда, сопряженная с AA′. Для гиперболы, эллипса и круга он получает соотношение (рис. 8, для эллипса)

Рис . 7

RA:RA′=QA:QA′.

Аполлоний преобразует затем уравнение эллипса и гиперболы так, что начало координат оказывается в центре кривой, а уравнение параболы так, что начало координат совмещается с вершиной этой кривой.

Таким образом, здесь осями координат служат два сопряженных диаметра. После этого он показывает, что вид уравнения не изменяется, если в качестве новых осей взять любой из диаметров кривой и касательную, проведенную в одном из его концов.

Рис. 8

В первой книги Аполлоний рассматривает множество систем координат, зависящее от одного параметра, так как эти системы координат определяются одной точкой кривой – концом диаметра, и доказывает инвариантность уравнений эллипса, гиперболы и параболы относительно преобразований соответствующих систем координат.

В конце первой книги Аполлоний показывает, что можно выбрать диаметр, который будет перпендикулярен к сопряженным с ним хордам. Тогда рассматриваемую кривую можно представить как сечение любого тупоугольного, либо остроугольного, либо прямоугольного конусов вращения плоскостью, перпендикулярной к образующей. Этим устанавливается тождество кривых, введенных Аполлонием, с каноническими сечениями, которые рассматривались до него.

Основная идея первой книги состоит в том, чтобы за основу классификации кривых принять свойства их алгебраических уравнений, и именно те которые остаются инвариантными при допустимых преобразованиях координат. Только в XIX в. Эта мысль понята до конца, когда Клейн в «Эрлангенской программе» установил новый взгляд на геометрию, как науку об инвариантах определенных групп преобразований плоскости или пространства.

Дальнейшее исследование конических сечений в трудах Аполлония

В последующих трех книгах Аполлоний развивает теорию конических сечений: выясняет основные свойства сопряженных диаметров асимптот, получает уравнение гиперболы относительно асимптот (xy=const) и устанавливает основные свойства фокусов эллипса и гиперболы. Здесь же впервые появляются полюсы и поляры относительно конических сечений: если из точки можно провести две касательные к коническому сечению, то прямая соединяющая точки касания, называется полярой данной точки, а точка полюсом этой прямой. Если передвигать полюс по прямой, пересекающей сечение, то поляра будет вращаться вокруг полюса этой прямой, если же передвигать полюс по прямой, не пересекающей сечение, то поляра тоже будет вращаться вокруг некоторой точки, причем в этом случае точку вокруг которой вращается поляра, и прямую, по которой движется полюс, также называют полюсом и полярой. В четвертой книге Аполлоний рассматривает вопрос о числе точек пересечения двух конических сечений.

В пятой книге Аполлоний определяет все нормали к коническому сечению (перпендикуляры к касательной, восстановленные в точке касания). В шестой книге изучаются подобные конические сечения.

В седьмой книге содержатся знаменитые теоремы Аполлония:

a) сумма квадратов на сопряженных диаметрах эллипса равна сумме квадратов на главных осях;

b) разность квадратов на двух сопряженных диаметрах гиперболы равна разности квадратов на главных осях;

c) параллелограмм, построенный на двух сопряженных диаметрах эллипса или гиперболы, имеет постоянную площадь.

Дальнейшее развитие теории конических сечений

В древности методы исследования кривых созданные Аполлонием, не получили развития, хотя до начала V в. н.э. его труды изучались и комментировались. Что касается самих конических сечений, то они были применены еще Архимедом для решения и исследования кубического уравнения. Для тех же целей применяли конические сечения позднейшие античные геометры и ученые стран ислама.

В математическом естествознании долгое время не получили ни какого применения, если не считать изучение отражения света от параболических зеркал. Только в XVII в. наступило возрождение идей Аполлония: Ферма и Декарт перевели его метод на язык новой алгебры, основав аналитическую геометрию, а Ньютон, применил эти методы для описания и исследования кривых третьего порядка. Но еще раньше теория конических сечений получила самое широкое применение в механике земных и небесных тел: Кеплер установил, что планеты нашей солнечной системы движутся по эллипсам, в одном из фокусов которой находится Солнце; Галилей показал, что брошенный камень летит в пустоте по параболе. Наконец, в 80-х годах XVII в. Ньютон создал свои «Математические начала натуральной философии», непосредственно опираясь на труды Аполлония.

Заключение

Конические сечения Аполлонием являются примером математической теории, созданной задолго до того как она оказалась необходимой. По этому поводу А. Эйнштейн писал: «К восхищению перед этим замечательным человеком (речь идет о Кеплере) еще одно чувство восхищения и благоговения, но относящееся не к человеку, а к загадочной гармонии природы, которые соответствуют простейшим законам. Наряду с прямой и окружностью среди них были эллипс и гипербола. Последние мы видим реализованными в орбитах небесных тел, во всяком случае, с хорошим приближением».

Список литературы:

1. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. Даан – Дальмедико А., Пейффер Ж. Пер. с франц. – М.: Мир, 1986.

2. История математики с древних времен до начала XIX столетия. Юшкевич А.П. – М.: Наука, 1970.

Посетил новооткрывшуюся «Старую книгу» на 2-й Советской. Впечатления весьма благоприятные: магазин универсальный, много художественной литературы, неплохой выбор технической и научной. Поскольку процесс обустройства еще не завершен, техническая литература выставлена пока не вся (обещано значительное пополнение в ближайшие дни) и находится в некотором беспорядке. Обхождение с покупателями «самое галантерейное», приглашают заходить еще и просят рассказывать о новом магазине знакомым.
Последнюю просьбу выполняю:

Естественно, без приобретенной книги уйти было просто невозможно:

Л. Карпинский, профессор университета в Мичигане, Г. Бенедикт, профессор университета в Техасе, Дж. Кальгун, профессор университета в Техасе
Единая математика
Авторизованный перевод с английского с примечаниями и изменениями проф. Д. А. Крыжановского
Научно-Технической Секцией Государственного Ученого Совета допущено в качестве пособия для техникумов и ВТУЗ’ов; рекомендовано, как пособие для преподавателей
М.-Л.: Государственное издательство, 1926. XVI, 596 с.
(Руководства и пособия для техникумов и втузов)

Из предисловия переводчика:

Среди почти необозримой учебной математической литературы разных стран коллективный труд трех американских профессоров „Единая Математика“ выделяется как оригинальным выбором материала, так и, особенно, приемами его обработки и изложения. Основная тенденция авторов, - связать весь излагаемый материал, путем органического переплетения отдельных его частей, в одно целое, - вполне гармонирует с принципами нашей школы. Если математика, как предмет школьного обучения, должна быть тесно связана с изучением природы и общества и с запросами жизни, то в ней не может иметь места схоластическое деление на изолированные, самодовлеющие дисциплины и главы. Физика, техника, экономика не приноравливают своих задач к тем рубрикам, на какие обычно подразделяются сборники математических задач. Поэтому, чем раньше ученик научится комбинировать приемы и результаты различных отделов математики, тем лучше. А для этого вернейшим путем является введение этого метода комбинирования в самый процесс изучения математики.

Другая отличительная черта книги, органически связанная с отмеченной выше общей ее тенденцией, - крайнее богатство и разнообразие прикладного материала (взятого из физики, астрономии, техники, артиллерийского дела, биологии, статистики, коммерческой арифметики и т. д.) как в тексте, так и в задачах, - также как нельзя более соответствует потребностям нашей школы. Этот материал разбросан щедрою рукою по всем главам и, в частности, целиком заполняет главы XXII, XXVI („колебательное движение“) и XXVII („законы органического роста“). В этой последней (XXVII) главе обращает на себя особенное внимание новизною темы „кривая заживления ран“ - результат госпитальных наблюдений во время последней войны. Благодаря этому обилию примеров и задач „Единая Математика“ может явиться полезным пособием и для тех учебных заведений, в которых теория проходится по другим руководствам.
К несомненным достоинствам „Единой Математики“ следует отнести также и многочисленные, интересно составленные „исторические примечания“.

Предисловие профессора Л. Карпинского к русскому переводу:

Центральная идея „Единой Математики“ заключается не столько в том, чтобы отклониться от традиционной математики, нашего великого наследия прошлого, сколько в том, чтобы показать, какую жизненную, реальную роль играет математика в современном мире. Знать, что парабола обладает такими-то и такими-то чудесными геометрическими свойствами,- этого было достаточно для греков. Современному же студенту необходимо показать поразительную связь с элементарными алгебраическими уравнениями, а особенно с полетом снаряда, с различными типами мостовых сооружений, с формой концертных зал и даже с автомобильными прожекторами. Практические применения не менее чудесны, чем чисто теоретические.
Современный мир нуждается в умственной работе не менее древнего мира, но он требует, чтобы разум находился в контакте с действительностью. В математике это может быть осуществлено с сохранением многого из достижений прошлого.

Чтение такой книги доставляет немалое удовольствие. Многие примеры, приведенные в ней, имеют уже едва ли не историческую ценность. Более того, некоторые разделы, без знания которых восемьдесят - девяносто лет назад математика и инженера было невозможно представить, сейчас практически угасли, и открытие их для себя крайне интересно. Некоторые замечания воспринимаются с грустной улыбкой, особенно при мысли о нынешних студентах.

В последние годы широкое распространение счетных машин, выполняющих умножения и деления с пятнадцатью и даже двадцатью знаками, отчасти вытеснило логарифмические таблицы в конторах больших страховых обществ, а также, до некоторой степени, в обсерваториях.

ИЗ ГЛАВЫ VII: ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

§ 10. Происхождение функций тангенс и котангенс. - В наблюдательной астрономии важную роль играет угол наклонения к горизонту солнца и других небесных тел. Отношение длины тени, отбрасываемой каким-нибудь вертикально стоящим предметом, к длине самого предмета дает котангенс угла наклонения солнца. Эта функция угла появилась раньше тангенса в сочинениях арабского астронома Аль-Баттани (Al-Battani), в X веке после Р. Хр., и была названа тенью, а позднее прямою тенью или второю тенью. Функция же тангенс, представляющая отношение длины тени, отбрасываемой на вертикальную стену стержнем, перпендикулярным к стене, к длине самого стержня, была названа позже первою тенью. Арабы принимали длину стержня равною 12 единицам.

ИЗ ГЛАВЫ XIX: ПАРАБОЛА

§ 1. Определение. - Мы определили эллипс (гл. XVIII, § 3), как место точки, которая движется таким образом, что ее расстояние от неподвижной точки, фокуса, находится в постоянном отношении, меньшем чем 1, к ее расстоянию от неподвижной прямой, директрисы. Если это постоянное отношение равно 1, то кривая, описываемая движущейся точкой, называется параболой. Если же это отношение, будучи постоянным, превосходит 1, то кривая называется гиперболой.

Условием: , при, определяется эллипс.
Условием: определяется парабола.
Условием: , при, определяется гипербола.

[С. 345–346.]

ИЗ ГЛАВЫ XXI: КАСАТЕЛЬНЫЕ И НОРМАЛИ К КРИВЫМ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§ 2. Уравнение второй степени общего вида изображает коническое сечение. - Если дан прямой круговой конус, то можно показать, пользуясь геометрическими методами евклидовой геометрии, чтосечениеповерхностиконуса любой плоскостью представляет собою одну из названных выше кривых; например, плоскость параллельная основанию конуса дает в сечении круг, либо круг-точку (круг нулевого радиуса), если она проходит через вершину.
Под конусом мы здесь понимаем всю коническую поверхность, образуемую образующими конуса, беспредельно продолженными в обе стороны от точки их пересечения.
Плоскость, параллельная только одному какому-нибудь производящему элементу (образующей конуса), пересекает конус по параболе, либо по двум совпадающим прямым, если секущая плоскость в одно и то же время проходит через одну из образующих и касается кругового основания конуса.
Плоскость, пересекающая на конечном расстоянии все образующие конуса, дает в сечении эллипс; последний обращается в эллипс-точку, когда плоскость проходит через вершину конуса.
Плоскость, параллельная одновременно двум каким-либо образующим конуса, сечет последний по гиперболе, если же плоскость проходит через вершину, то гипербола вырождается в пару прямых.

§ 3. Историческое примечание о конических сечениях. - Основные свойства конических сечений были открыты греческими математиками почти за две тысячи лет до изобретения аналитической геометрии французскими математиками семнадцатого века Декартом и Ферма. О конических сечениях был написан трактат Евклидом (ок. 320 г. до нашей эры), но его решительно превзошел написанный столетием позднее трактат Аполлония Пергамского (ок. 250 г. до нашей эры); этот последний трактат содержал большинство из изучаемых нами основных свойств.
Свойства параболы, непосредственно связанные с фокусом и директрисой, не входят в написанные Аполлонием восемь книг (глав) о конических сечениях; он не пользовался директрисой также и в случае центральных сечений (т. е. кривых, имеющих центр симметрии - эллипса и гиперболы). Эти понятия ввел в свои Математические Сборники Папп из Александрии (ок. 300 г. нашей эры), едва ли не последний из сколько-нибудь значительных греческих математиков.
Древне-греческие математики интересовались этими кривыми с чисто геометрической точки зрения. Они не знали, что пути планет представляют конические сечения; им не было также известно ни одно практическое применение этих кривых. Однако, лишь благодаря тому, что греческие геометры изучили свойства этих кривых, Иоган Кеплер и Исаак Ньютон могли установить законы движения планет во вселенной, в которой мы живем. Упомянутые ученые, а также Николай Коперник, восстановивший гелиоцентрическую теорию мира, были глубокими знатоками чистой геометрии греков; их новые теории были построены непосредственно на основе этой чистой геометрии.

[С. 374–376.]

ИЗ ГЛАВЫ XXII: ПРИМЕНЕНИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

§ 1. Общие замечания. - Многочисленные применения конических сечений - круга, эллипса, параболы и гиперболы - были уже отчасти указаны в задачах, сопровождавших исследование каждой из этих кривых. Столь обширные и разнообразные полезные приложения этих кривых связаны, главным образом, с их тангенциальными свойствами и другими геометрическими особенностями. То обстоятельство, что простые геометрические свойства принадлежат как раз кривым, которые выражаются алгебраическими уравнениями с двумя переменными первой и второй степени, указывает, повидимому, на существование известной гармонии в мире алгебры и геометрии.

§ 2. Законы вселенной. - В 1529 году польский астроном и математик Коперник (1473 - 1543) вновь открыл и установил тот факт, известный уже древним грекам, что солнце представляет центр вселенной, в которой мы живем; он полагал, что планеты движутся вокруг солнца по круговым орбитам.
Приблизительно через столетие после этого, великий немецкий астроном Кеплер (1571 - 1630) установил следующие законы вселенной:
1. Орбиты планет представляют собою эллипсы, в одном из фокусов которых находится солнце.
2. Радиус-вектор, соединяющий солнце с движущейся планетой, описывает равные площади в равные промежутки времени (для каждой планеты в отдельности).
3. Квадрат времени полного обращения каждой планеты пропорционален кубу ее среднего расстояния от солнца, т. е.
,
где и - периоды обращения двух планет, a и - диаметры их орбит.
Кеплер мог сделать свои открытия только благодаря работе всех его предшественников, в особенности греческих математиков, выполнивших столь полное исследование свойств конических сечений, а также датчанина Тихо Браге (1546 - 1601), тщательные наблюдения которого доставили необходимые фактические данные о движении планет.
Ньютон (1642 - 1727) завершил работу по приведению в систему законов движения в окружающем нас мире, показав, что взаимное притяжение любых двух тел обратно пропорционально квадрату расстояния между ними и прямо пропорционально их массам. Далее, Ньютон показал, что это допущение приводит к эллиптическому движению в случае солнца и какой-нибудь планеты.
Пути комет, появляющихся только один раз в пределах солнечной системы, представляют, как известно, параболы или, пожалуй, гиперболы, эксцентриситет которых близок к 1.

[С. 391–392.]

§ 6. Применение конических сечений в архитектуре и мостостроении. - Так называемое „Золотое сечение“ несомненно представляет хорошую иллюстрацию существования тесной связи между красотою формы и числовыми соотношениями.

По единодушному признанию компетентных в этом деле людей, размеры прямоугольника являются наиболее удовлетворительными с художественной точки зрения, в том случае, когда длинная сторона прямоугольника относится к короткой приблизительно так, как короткая относится к разности обеих сторон. Другими словами, если дано основание прямоугольника, то желательную - в смысле наибольшей красоты формы - высоту найдем, применяя „золотое сечение“, т. е. разделяя данный отрезок в крайнем и среднем отношении. Так, например, при основании равном 40, высота определяется из уравнения:
;
это приводит к квадратному уравнению относительно. Замечательно, что, отрезая от полученного прямоугольника квадрат, построенный на короткой стороне прямоугольника, получаем прямоугольник, подобный первоначальному; подобный же прямоугольник получится, если к первоначальному прибавить квадрат, построенный на длинной стороне первоначального прямоугольника.
Мы уже встречали раньше примеры связи, повидимому, существующей между простотою формы и простотою соответствующего алгебраического уравнения. Так, прямая изображается простейшим алгебраическим уравнением с двумя переменными, а именно уравнением первой степени; окружность, - простейшая в конструктивном отношении кривая, - изображается квадратным уравнением особенно простого типа; всем другим типам квадратного уравнения с двумя переменными соответствуют только три дальнейших класса кривых, а именно эллипсы, параболы и гиперболы. Чувство художественного удовлетворения, доставляемого нам формою этих кривых второго порядка - конических сечений, подтверждается тем широким применением, какое эти формы находят как у старых, так и у новых художников.
При построении арок найдено, что красота геометрической формы самым тесным образом связана с простотою соответствующего алгебраического уравнения. Парабола и эллипс находят широкое применение в арочных сооружениях не только по причине красоты их формы, но также вследствие их чисто механической приспособленности к напряжениям и деформациям, вызываемым весом этих сооружений. Один признанный знаток * в деле сооружения мостов говорит, что „арки должны представлять совершенные кривые“, предупреждая против употребления так называемых „ложных“ эллипсов.

Тот факт, что во многих из самых грандиозных мостов в мире так часто встречаются правильные эллипсы и параболы, показывает, каким широким признанием пользуется теория, приписывающая красоту форм эллиптическим и параболическим аркам.
У гигантского моста Хел-Гэйт (Hell-Gate - Адские Ворота) в Нью-Йорке главная арка представляет геометрически правильную параболу (см. задачу 11, гл. XIX, § 11). У Лондонского моста основную часть сооружения составляют пять эллиптических арок. Даже гипербола, хотя и очень редко, находит применение в конструкции мостов. Следует заметить, что - отчасти по причине большей легкости вычерчивания - гораздо большим распространением пользуются круговые (полуциркульные) арки, а также приближения к эллипсу или параболе, построенные при помощи нескольких дуг круга с различными центрами.
В применении параболической дуги при постройке мостов и кровельных перекрытий можно различать не менее четырех различных типов. Первый тип представляют висячие (цепные) мосты с тросами, провисающими по кривой параболической формы. Ко второму типу относим тот случай, когда вершина параболической арки находится под проезжей частью. У мостов третьего типа параболическая арка пересекает проезжую часть. Наконец, сооружения, у которых параболическая арка целиком расположена над путем, как в случае перекрытий, принадлежат к четвертому типу.
Эллиптические, реже параболические, дуги обыкновенно применяются при проектировании больших театральных и других зал.
Параболическими и чисто эллиптическими арками также пользуются, хотя и не столь часто как круговыми и подковообразными, при проектировании водостоков. Иногда находят применение даже полные геометрически правильные эллипсы (см. ниже задача 6).

1. Решите квадратное уравнение последнего параграфа и проверьте решение, построив кривую.
2. Чему равна ширина прямоугольника, высота которого равна 40, если эта высота получается в результате „золотого сечения“ ширины соответствующею наиболее красивой форме прямоугольника?
3. Мост в городе Питсбурге, в Америке, имеет параболическую арку, с пролетом в 108 метров и подъемом в 13,5 метра. Начертите эту параболу. Предполагая, что вертикальные стойки разделены панелями длиною в 6 метров и поднимаются на 4,5 метра выше вершины арки, найдите, чему равны их длины.
4. Меньшие арки, ведущие к самому мосту, описанному в предыдущей задаче, имеют, повидимому, эллиптическую форму. Пролеты их составляют 8,4 метра, а высоты самих арок около 2,4 метра. Начертите их.
5. В одном водостоке параболический свод имеет в ширину 1,8 метра, в высоту 1,2 метра. Постройте десять точек этого свода.
6. Одна из клоак в Чикаго, построенная в 1910 году, представляет в сечении вертикальный эллипс, с размерами 3,6 × 4,2 метра. Начертите форму этого сечения.
7. Начертите эллиптическую и параболическую арки, с пролетом в 30 метров и высотой в 9 метров каждая. Сравните их между собою.
8. Постройте, пользуясь масштабом, параболическую дугу висячего моста Уилльамсборг (рис. 153), с пролетом в 488 метров и стрелкою в 55 метров. Составьте ее уравнение в простейшей форме, выбрав подходящим образом оси. Чему равна длина четырех стоек, от троса до касательной в вершине параболы?

* G. H. Tyrrell , Artistic Bridge Design , Chicago, 1912.

[С. 399–403.]

ИЗ ГЛАВЫ XXVI: КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

В большинстве случаев оказывается удобным наносить время полного цикла на обыкновенную клетчатку в виде целого числа единиц, при чем величина единицы зависит от величины периода. В случае вращения с периодом в одну минуту - единицу оси абсцисс можно принять за 10 секунд, а такую же единицу оси ординат за длину радиуса. Получаемая при этом кривая очень мало отличается от синусоиды с равными единицами длины на обеих осях координат. Самая высокая и самая низкая точки приходятся на абсциссы 15 и 45. Моменты: 0, 5, 7,5, 10, 15, 20 и 30 секунд соответствуют углам 0, 30°, 45°, 60°, 90°, 120° и 180°.

Физики и инженеры обыкновенно для вычерчивания часто встречающихся синусоидальных кривых пользуются следующими чисто графическим приемом. Сперва чертят окружность с центром в начале координат, диаметр который равен желательной амплитуде. Углы между осями делят пополам и затем вновь и вновь пополам (столько раз, сколько это бывает желательно). На горизонтальной оси откладывают отрезок подходящей длины для изображения полного цикла и делят его на столько же (обыкновенно 16) равных частей, на сколько окружность разделяется осями и проведенными биссектрисами.

[С. 466–467.]

ИЗ ГЛАВЫ XXVII: ЗАКОНЫ РОСТА

§ 5. Кривая хода заживления раны. - В тесной связи с формулами, выражающими закон органического роста, и закон „органического убывания“, находится недавно открытый закон, который связывает, - как алгебрически в виде уравнения, так и графически в виде кривой, - площадь поверхности раны с выраженным в днях временем, протекшим с момента, когда рана стала стерильной или асептичной. Когда достигнуто асептическое состояние, благодаря обмываниям и промываниям антисептическими растворами, то на основании двух наблюдений, производимых обыкновенно через 4 дня одно после другого, вычисляют так называемый „личный индекс“; этот индекс, вместе с двумя измерениями площади раны, дает врачу возможность определить нормальный ход уменьшения поверхности раны для данного лица. Контуры раны тщательно зарисовывают на прозрачной бумаге и затем измеряют ее площадь при помощи математического прибора, называемого планиметром.

Время наблюдения, выраженное в днях, откладывают по оси абсцисс, а площадь раны - в виде ординат. После каждого наблюдения и вычисления площади наносят полученную таким образом точку в той же системе осей, в которой построена идеальная или профетическая кривая (кривая предсказаний). Две таких идеальных кривых, а также действительно наблюденные кривые изображены на наших диаграммах.
Если наблюденная площадь оказывается заметно больше площади, определяемой по идеальной кривой, то это служит указанием того, что в ране еще имеется инфекция. Такой случай представлен на второй диаграмме. Часто наблюдается следующее крайне поразительное и еще необъясненное явление: если поверхность раны заживляется гораздо быстрее, чем показывает идеальная кривая, то развиваются побочные (вторичные) язвы, которые возвращают кривую к нормальному виду . К этому типу относится наша первая диаграмма.

Этим применением математики к медицине мы в значительной степени обязаны д-ру Каррелю (Alexis Carrel) в Рокфеллеровском Исследовательском Медицинском Институте. Он заметил, что чем больше поверхность раны, тем скорее она излечивается, и что скорость излечения, повидимому, пропорциональна площади раны. Но коэффициент этой пропорциональности не одинаков для всех значений площади раны, в противном случае имело бы место уравнение вида
,
где означает площадь раны в тот момент, когда она становится стерильной и когда начинаются наблюдения, заносимые на диаграмму.
В действительности (для вычерчивания идеальных кривых) применяют следующие формулы, предложенные д-ром Леконтом дю Нуйи (Нуйи, показали, что существует нормальная величина коэффициента, зависящая от возраста индивида и от размеров раны, и что личный индекс, определяемый по двум наблюдениям, несомненно обнаруживает факты, имеющие отношение к общему состоянию здоровья индивида *.

[С. 486–489.]

Муниципальное Образовательное Учреждение

Средняя Общеобразовательная школа №4

Конические сечения

Выполнил

Спиридонов Антон

ученик 11 А класса

Проверил

Коробейникова А. Т.

Тобольск – 2006 г.

Введение

Понятие конических сечений

Виды конических сечений

Исследование

Построение конических сечений

Аналитический подход

Применение

Приложение

Список литературы

Введение.

Цель: изучить конические сечения.

Задачи: научиться различать виды конических сечений, строить кинические сечения и применять аналитический подход.

Конические сечения впервые предложил использовать древнегреческий геометр Менехм, живший в IV веке до нашей эры, при решении задачи об удвоении куба. Эту задачу связывают со следующей легендой.

Однажды на острове Делосе вспыхнула эпидемия чумы. Жители острова обратились к оракулу, который сказал, что для прекращения эпидемии надо увеличить вдвое золотой жертвенник, который имел форму куба и находился в храме Аполлона в Афинах. Островитяне изготовили новый жертвенник, ребра которого были вдвое больше ребер прежнего. Однако чума не прекратилась. Разгневанные жители услышали от оракула, что неверно поняли его предписание - удвоить было надо не ребра куба, а его объём, то есть увеличить ребра куба в раз. В терминах геометрической алгебры, которой пользовались греческие математики, задача означала: по данному отрезку а найти такие отрезки х и y такие, что а: х = х: y = y: 2a. Тогда длина отрезка х будет равна.

Приведенную пропорцию можно рассматривать как систему уравнений:

Но x 2 =ay и y 2 =2ax - это уравнения парабол. Поэтому для решения задачи следует отыскать точки их пересечения. Если же учесть, что из системы можно получить и уравнение гиперболы xy=2a 2 , то эту же задачу возможно решить нахождением точек пересечения параболы с гиперболой.

Для получения конических сечений Менехм пересекал конус - остроугольный, прямоугольный или тупоугольный - плоскостью, перпендикулярной одной из образующих. Для остроугольного конуса сечение плоскостью, перпендикулярной к его образующей, имеет форму эллипса. Тупоугольный конус при этом дает гиперболу, а прямоугольный – параболу.

Отсюда произошли и названия кривых, которые были введены Аполлонием Пергским, жившим в III веке до нашей эры: эллипс (έλλείψίς), что означает изъян, недостаток (угла конуса до прямого); гипербола (ύπέρβωλη) - преувеличение, перевес (угла конуса над прямым); парабола (παραβολη) - приближение, равенство (угла конуса прямому углу). Позже греки заметили, что все три кривые можно получить на одном конусе, изменяя наклон секущей плоскости. При этом следует брать конус, состоящий из двух полостей и мыслить, что они простираются в бесконечность (Рис. 1).

Если провести сечение кругового конуса, перпендикулярное его оси, а потом поворачивать секущую плоскость, оставляя одну точку её пересечения с конусом неподвижной, то увидим, как окружность будет сначала вытягиваться, превратившись в эллипс. Затем вторая вершина эллипса уйдет в бесконечность, и вместо эллипса получится парабола, а потом плоскость пресечет и вторую полость конуса и получится гипербола.

Понятие конических сечений.

Конические сечения - это плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину. С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка. За исключением вырожденных случаев, рассматриваемых в последнем разделе, коническими сечениями являются эллипсы, гиперболы или параболы (Рис. 2).

При вращении прямоугольного треугольника около одного из катетов, гипотенуза с ее продолжениями описывает коническую поверхность, называемую поверхностью прямого кругового конуса, которая может быть рассматриваема как непрерывный ряд прямых, проходящих через вершину и называемых образующими, причем все образующие опираются на одну и ту же окружность, называемую производящей. Каждая из образующих представляет собой вращающегося треугольника (в известном его положении), продолженную в обе стороны до бесконечности. Таким образом, каждая образующая простирается по обе стороны от вершины, вследствие чего и поверхность имеет две полости: они сходятся в одну точку в общей вершине. Если такую поверхность пересечь плоскостью, то в сечении получится кривая, которая и называется коническим сечением. Она может быть трех типов:

1) если плоскость пересекает коническую поверхность по всем образующим, то рассекается только одна полость и в сечении получается замкнутая кривая, называемая эллипсом;

2) если секущая плоскость пересекает обе полости, то получается кривая, имеющая две ветви и называемая гиперболой;

3) если секущая плоскость параллельна одной из образующих, то получается парабола.

Если секущая плоскость параллельна производящей окружности, то получается окружность, которая может быть рассматриваема как частный случай эллипса. Секущая плоскость может пересекать коническую поверхность только в одной вершине, тогда в сечении получается точка, как частный случай эллипса.

Если плоскостью, проходящей через вершину, пересекаются обе полости, то в сечении получается пара пересекающихся прямых, рассматриваемая как частный случай.

Если вершина бесконечно удалена, то коническая поверхность обращается в цилиндрическую, и сечение ее плоскостью, параллельной образующим, дает пару параллельных прямых как частный случай. Конические сечения выражаются уравнениями 2-го порядка, общий вид которых

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

и называются кривыми 2-го порядка.

Виды конических сечений.

Конические сечения могут быть трёх типов:

1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; линия пересечения есть замкнутая овальная кривая - ; окружность как частный случай эллипса получается, когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса.

2) Секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая - парабола, целиком лежащая на одной полости.

3) Секущая плоскость пересекает обе полости конуса; линия пересечения - гипербола - состоит из двух одинаковых незамкнутых, простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), лежащих на обеих полостях конуса.

Исследование.

В тех случаях, когда конические сечение имеет центр симметрии (центр), т. е. является эллипсом или гиперболой, его уравнение может быть приведено (путём перенесения начала координат в центр) к виду:

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Дальнейшие исследования таких (называемых центральными) конические сечения показывают, что их уравнения могут быть приведены к ещё более простому виду:

Ах 2 + Ву 2 = С,

если за направления осей координат выбрать главные направления - направления главных осей (осей симметрии) конических сечений. Если А и В имеют одинаковые знаки (совпадающие со знаком С), то уравнение определяет эллипс; если А и В разного знака, то - гиперболу.

Уравнение параболы привести к виду (Ах 2 + Ву 2 = С) нельзя. При надлежащем выборе осей координат (одна ось координат - единственная ось симметрии параболы, другая - перпендикулярная к ней прямая, проходящая через вершину параболы) её уравнение можно привести к виду:

ПОСТРОЕНИЕ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ.

Изучая конические сечения как пересечения плоскостей и конусов, древнегреческие математики рассматривали их и как траектории точек на плоскости. Было установлено, что эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна; параболу – как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой; гиперболу – как геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек постоянна.

Эти определения конических сечений как плоских кривых подсказывают и способ их построения с помощью натянутой нити.

Эллипс. Если концы нити заданной длины закреплены в точках F 1 и F 2 (рис. 3), то кривая, описываемая острием карандаша, скользящим по туго натянутой нити, имеет форму эллипса. Точки F 1 и F 2 называются фокусами эллипса, а отрезки V 1 V 2 и v 1 v 2 между точками пересечения эллипса с осями координат – большой и малыми осями. Если точки F 1 и F 2 совпадают, то эллипс превращается в окружность (Рис. 3).

Гипербола. При построении гиперболы точка P, острие карандаша, фиксируется на нити, которая свободно скользит по шпенькам, установленным в точках F 1 и F 2 , как показано на рисунке 4, а, расстояния подобраны так, что отрезок PF 2 превосходит по длине отрезок PF 1 на фиксированную величину, меньшую расстояния F 1 F 2 . При этом один конец нити проходит под шпеньком F 1, и оба конца нити проходят поверх шпенька F 2 . (Острие карандаша не должно скользить по нити, поэтому его нужно закрепить, сделав на нити маленькую петлю и продев в нее острие.) Одну ветвь гиперболы (PV 1 Q) мы вычерчиваем, следя за тем, чтобы нить оставалась все время натянутой, и, потягивая оба конца нити вниз за точку F 2 , а когда точка P окажется ниже отрезка F 1 F 2 , придерживая нить за оба конца и осторожно отпуская ее. Вторую ветвь гиперболы мы вычерчиваем, предварительно поменяв шпеньки F 1 и F 2 (Рис. 4).

Ветви гиперболы приближаются к двум прямым, которые пересекаются между ветвями. Эти прямые, называемые асимптотами гиперболы, строятся, как показано на рисунке 4,б. Угловые

коэффициенты этих прямых равны где – отрезок биссектрисы угла между асимптотами, перпендикулярной отрезку F 2 F 1 ; отрезок v 1 v 2 называется сопряженной осью гиперболы, а отрезок V 1 V 2 – ее поперечной осью. Таким образом, асимптоты являются диагоналями прямоугольника со сторонами, проходящими через четыре точки v 1 , v 2 , V 1 , V 2 параллельно осям. Чтобы построить этот прямоугольник, необходимо указать местоположение точек v 1 и v 2 . Они находятся на одинаковом расстоянии, равном

от точки пересечения осей O. Эта формула предполагает построение прямоугольного треугольника с катетами Ov 1 и V 2 O и гипотенузой F 2 O.

Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола называется равнобочной. Две гиперболы, имеющие общие асимптоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями, называются взаимно сопряженными.

Парабола. Фокусы эллипса и гиперболы были известны еще Аполлонию, но фокус параболы, по-видимому, впервые установил Папп (вторая пол. III в.), определивший эту кривую как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой, которая называется директрисой. Построение параболы с помощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским (VI в.) (Рис. 5).

Расположим линейку так, чтобы ее край совпал с директрисой, и приложим к этому краю катет AC чертежного треугольника ABC. Закрепим один конец нити длиной AB в вершине B треугольника, а другой – в фокусе параболы F. Натянув острием карандаша нить, прижмем острие в переменной точке P к свободному катету AB чертежного треугольника. По мере того, как треугольник будет перемещаться вдоль линейки, точка P будет описывать дугу параболы с фокусом F и директрисой, так как общая длина нити равна AB, отрезок нити прилегает к свободному катету треугольника, и поэтому оставшийся отрезок нити PF должен быть равен оставшейся части катета AB, то есть PA. Точка пересечения V параболы с осью называется вершиной параболы, прямая, проходящая через F и V, – осью параболы. Если через фокус провести прямую, перпендикулярную оси, то отрезок этой прямой, отсекаемый параболой, называется фокальным параметром. Для эллипса и гиперболы фокальный параметр определяется аналогично.

АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД

Алгебраическая классификация. В алгебраических терминах конические сечения можно определить как плоские кривые, координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяют уравнению второй степени. Иначе говоря, уравнение всех конических сечений можно записать в общем, виде как

где не все коэффициенты A, B и C равны нулю. С помощью параллельного переноса и поворота осей уравнение (1) можно привести к виду

ax 2 + by 2 + c = 0

Первое уравнение получается из уравнения (1) при B 2 > AC, второе – при B 2 = AC. Конические сечения, уравнения которых приводятся к первому виду, называются центральными. Конические сечения, заданные уравнениями второго вида с q > 0, называются нецентральными. В рамках этих двух категорий существуют девять различных типов конических сечений в зависимости от знаков коэффициентов.

1) Если коэффициенты a, b и c имеют один и тот же знак, то не существует вещественных точек, координаты которых удовлетворяли бы уравнению. Такое коническое сечение называется мнимым эллипсом (или мнимой окружностью, если a = b).

2) Если a и b имеют один знак, а c – противоположный, то коническое сечение – эллипс; при a = b – окружность.

3) Если a и b имеют разные знаки, то коническое сечение – гипербола.

4) Если a и b имеют разные знаки и c = 0, то коническое сечение состоит из двух пересекающихся прямых.

5) Если a и b имеют один знак и c = 0, то существует только одна действительная точка на кривой, удовлетворяющая уравнению, и коническое сечение – две мнимые пересекающиеся прямые. В этом случае также говорят о стянутом в точку эллипсе или, если a = b, стянутой в точку окружности.

6) Если либо a, либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют разные знаки, то коническое сечение состоит из двух параллельных прямых.

7) Если либо a, либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют один знак, то не существует ни одной действительной точки, удовлетворяющей уравнению. В этом случае говорят, что коническое сечение состоит из двух мнимых параллельных прямых.

8) Если c = 0, и либо a, либо b также равно нулю, то коническое сечение состоит из двух действительных совпадающих прямых. (Уравнение не определяет никакого конического сечения при a = b = 0, поскольку в этом случае исходное уравнение (1) не второй степени.)

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ

- плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину. С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка. За исключением вырожденных случаев, коническими сечениями являются эллипсы, гиперболы или параболы.

Конические сечения часто встречаются в природе и технике. Например, орбиты планет, обращающихся вокруг Солнца, имеют форму эллипсов. Окружность представляет собой частный случай эллипса, у которого большая ось равна малой. Параболическое зеркало обладает тем свойством, что все падающие лучи, параллельные его оси, сходятся в одной точке (фокусе). Это используется в большинстве телескопов-рефлекторов, где применяются параболические зеркала, а также в антеннах радаров и специальных микрофонах с параболическими отражателями. От источника света, помещенного в фокусе параболического отражателя, исходит пучок параллельных лучей. Поэтому в мощных прожекторах и автомобильных фарах используются параболические зеркала. Гипербола является графиком многих важных физических соотношений, например, закона Бойля (связывающего давление и объем идеального газа) и закона Ома, задающего электрический ток как функцию сопротивления при постоянном напряжении.

Открывателем конических сечений предположительно считается Менехм (4 в. до н. э.), ученик Платона и учитель Александра Македонского. Менехм использовал параболу и равнобочную гиперболу для решения задачи об удвоении куба. Трактаты о конических сечениях, написанные Аристеем и Евклидом в конце 4 в. до н.э., были утеряны, но материалы из них вошли в знаменитые Конические сечения Аполлония Пергского (ок. 260-170 до н.э.), которые сохранились до нашего времени. Аполлоний отказался от требования перпендикулярности секущей плоскости образующей конуса и, варьируя угол ее наклона, получил все конические сечения из одного кругового конуса, прямого или наклонного. Аполлонию мы обязаны и современными названиями кривых - эллипс, парабола и гипербола. В своих построениях Аполлоний использовал двухполостной круговой конус, поэтому впервые стало ясно, что гипербола - кривая с двумя ветвями. Со времен Аполлония конические сечения делятся на три типа в зависимости от наклона секущей плоскости к образующей конуса. Эллипс образуется, когда секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; парабола - когда секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; гипербола - когда секущая плоскость пересекает обе полости конуса.

Изучая конические сечения как пересечения плоскостей и конусов, древнегреческие математики рассматривали их и как траектории точек на плоскости. Было установлено, что эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна; параболу - как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой; гиперболу - как геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек постоянна. Эти определения конических сечений как плоских кривых подсказывают и способ их построения с помощью натянутой нити.

Фокусы эллипса и гиперболы были известны еще Аполлонию, но фокус параболы, по-видимому, впервые установил Папп (2-я пол. 3 в.), определивший эту кривую как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой, которая называется директрисой. Построение параболы с помощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским (6 в.).

Установление фокуса параболы навело Паппа на мысль дать альтернативное определение конических сечений в целом. Пусть F - заданная точка (фокус), а L - заданная прямая (директриса), не проходящая через F, и DF и DL - расстояния от подвижной точки P до фокуса F и директрисы L соответственно. Тогда, как показал Папп, конические сечения определяются как геометрические места точек P, для которых отношение DF/DL является неотрицательной постоянной. Это отношение называется эксцентриситетом e конического сечения. При e < 1 коническое сечение - эллипс; при e > 1 - гипербола; при e = 1 - парабола. Если F лежит на L, то геометрические места имеют вид прямых (действительных или мнимых), которые являются вырожденными коническими сечениями. Бросающаяся в глаза симметрия эллипса и гиперболы говорит о том, что у каждой из этих кривых есть по две директрисы и по два фокуса, и это обстоятельство навело Кеплера в 1604 на мысль, что и у параболы существует второй фокус и вторая директриса - бесконечно удаленные точка и прямая. Точно также и окружность можно рассматривать как эллипс, фокусы которого совпадают с центром, а директрисы находятся в бесконечности. Эксцентриситет e в этом случае равен нулю.

ЛИТЕРАТУРА
Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. М., 1959 Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М., 1968