Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения. Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f (t ). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.

Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник (рис. 2.1.1).

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными . Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными .

Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания , которые описываются уравнением

x = x m cos (ωt + φ 0).

Здесь x - смещение тела от положения равновесия, x m - амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия, ω - циклическая или круговая частота колебаний, t - время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ 0 называется фазой гармонического процесса. При t = 0 φ = φ 0 , поэтому φ 0 называют начальной фазой . Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T . Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний :

Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты - герц (Гц). Частота колебаний f связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

На рис. 2.1.2 изображены положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить экспериментально при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение ). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Рис. 2.1.3 иллюстрирует изменения, которые происходят на графике гармонического процесса, если изменяются либо амплитуда колебаний x m , либо период T (или частота f ), либо начальная фаза φ 0 .

При колебательном движении тела вдоль прямой линии (ось OX ) вектор скорости направлен всегда вдоль этой прямой. Скорость υ = υx движения тела определяется выражением

В математике процедура нахождения предела отношения при Δt → 0 называется вычислением производной функции x (t ) по времени t и обозначается как или как x" (t ) или, наконец, как . Для гармонического закона движения Вычисление производной приводит к следующему результату:

Появление слагаемого + π / 2 в аргументе косинуса означает изменение начальной фазы. Максимальные по модулю значения скорости υ = ωx m достигаются в те моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (x = 0). Аналогичным образом определяется ускорение a = a x тела при гармонических колебаниях:

следовательно, ускорение a равно производной функции υ (t ) по времени t , или второй производной функции x (t ). Вычисления дают:

Знак минус в этом выражении означает, что ускорение a (t ) всегда имеет знак, противоположный знаку смещения x (t ), и, следовательно, по второму закону Ньютона сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания, направлена всегда в сторону положения равновесия (x = 0).

Одно и то же тело может одновременно участвовать в двух и более движениях. Простым примером является движение шарика, брошенного под углом к горизонту. Можно считать, что шарик участвует в двух независимых взаимно перпендикулярных движениях: равномерном по горизонтали и равнопеременном по вертикали. Одно и то же тело (материальная точка) может участвовать в двух (и более) движениях колебательного типа.

Под сложением колебаний понимают определение закона результирующего колебания, если колебательная система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах. Различают два предельных случая – сложение колебаний одного направления и сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

2.1. Сложение гармонических колебаний одного направления

1. Сложение двух колебаний одного направления (сонаправленных колебаний)

можно провести с помощью метода векторных диаграмм (Рисунок 9) вместо сложения двух уравнений.

На Рисунке 2.1 показаны векторы амплитуд А 1 (t) и А 2 (t) складываемых колебаний в произвольный момент времени t, когда фазы этих колебаний соответственно равны и . Сложение колебаний сводится к определению . Воспользуемся тем фактом, что на векторной диаграмме сумма проекций складываемых векторов равна проекции векторной суммы этих векторов.

Результирующему колебанию соответствует на векторной диаграмме вектор амплитуды и фаза .

Рисунок 2.1 – Сложение сонаправленных колебаний.

Величина вектора А (t) может быть найдена по теореме косинусов:

Фаза результирующего колебания задается формулой:

.

Если частоты складываемых колебаний ω 1 и ω 2 не равны, то и фаза φ(t), и амплитуда А (t) результирующего колебания будут изменяться с течением времени. Складываемые колебания называются некогерентными в этом случае.

2. Два гармонических колебания x 1 и x 2 называются когерентными , если разность их фаз не зависит от времени:

Но так как , то для выполнения условия когерентности двух этих колебаний должны быть равны их циклические частоты .

Амплитуда результирующего колебания, полученного при сложении сонаправленных колебаний с равными частотами (когерентных колебаний) равна:

Начальную фазу результирующего колебания легко найти, если спроектировать векторы А 1 и А 2 на координатные оси ОХ и ОУ (см. Рисунок 9):

.

Итак, результирующее колебание, полученное при сложении двух гармонических сонаправленных колебаний с равными частотами, также является гармоническим колебанием .

3. Исследуем зависимость амплитуды результирующего колебания от разности начальных фаз складываемых колебаний.

Если , где n – любое целое неотрицательное число

(n = 0, 1, 2…), то минимальной . Складываемые колебания в момент сложения находились в противофазе . При результирующая амплитуда равна нулю .

Если , то , т.е. результирующая амплитуда будет максимальной . В момент сложения складываемые колебания находились в одной фазе , т.е. были синфазны . Если амплитуды складываемых колебаний одинаковы , то .

4. Сложение сонаправленных колебаний с неравными, но близкими частотами .

Частоты складываемых колебаний не равны , но разность частот много меньше и ω 1 , и ω 2 . Условие близости складываемых частот записывается соотношениями .

Примером сложения сонаправленных колебаний с близкими частотами является движение горизонтального пружинного маятника, жесткость пружин которого немного различна k 1 и k 2 .

Пусть амплитуды складываемых колебаний одинаковы, а начальные фазы равны нулю . Тогда уравнения складываемых колебаний имеют вид:

, .

Результирующее колебание описывается уравнением:

Получившееся уравнение колебаний зависит от произведения двух гармонических функций: одна – с частотой , другая – с частотой , где ω близка к частотам складываемых колебаний (ω 1 или ω 2). Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое колебание с изменяющейся по гармоническому закону амплитудой. Такой колебательный процесс называется биениями . Строго говоря, результирующее колебание в общем случае не является гармоническим колебанием.

Абсолютное значение косинуса взято потому, что амплитуда – величина положительная. Характер зависимости х рез. при биениях показан на Рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 – Зависимость смещения от времени при биениях.

Амплитуда биений медленно меняется с частотой . Абсолютное значение косинуса повторяется, если его аргумент изменяется на π, значит и значение результирующей амплитуды повторится через промежуток времени τ б, называемый периодом биений (см. Рисунок 12). Величину периода биений можно определить из следующего соотношения:

Величина - период биений.

Величина есть период результирующего колебания (Рисунок 2.4).

2.2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

1. Модель, на которой можно продемонстрировать сложение взаимно перпендикулярных колебаний, представлена на Рисунке 2.3. Маятник (материальная точка массой m) может совершать колебания по осям ОХ и ОУ под действием двух сил упругости, направленных взаимно перпендикулярно.

Рисунок 2.3

Складываемые колебания имеют вид:

Частоты колебаний определяются как , , где , -коэффициенты жесткости пружин.

2. Рассмотрим случай сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами , что соответствует условию (одинаковые пружины). Тогда уравнения складываемых колебаний примут вид:

Когда точка участвует одновременно в двух движениях, ее траектория может быть различной и достаточно сложной. Уравнение траектории результирующего колебаний на плоскости ОХУ при сложении двух взаимно перпендикулярных с равными частотами можно определить, исключив из исходных уравнений для х и y время t:

Вид траектории определяется разностью начальных фаз складываемых колебаний, которые зависят от начальных условий (см. § 1.1.2). Рассмотрим возможные варианты.

а) Если , где n = 0, 1, 2…, т.е. складываемые колебания синфазные, то уравнение траектории примет вид:

(Рисунок 2.3 а).

Рисунок 2.3.а	Рисунок 2.3 б

б) Если (n = 0, 1, 2 …), т.е. складываемые колебаний находятся в противофазе, то уравнение траектории записывается так:

(Рисунок 2.3б).

В обоих случаях (а, б) результирующее движение точки будет колебание по прямой, проходящей через точку О. Частота результирующего колебания равна частоте складываемых колебаний ω 0 , амплитуда определяется соотношением.

а) Тело участвует в двух гармонических колебаниях с одинаковыми круговыми частотами w , но с различными амплитудами и начальными фазами .

Уравнение этих колебаний запишутся следующим образом:

х 1 = а 1 cos(wt + j 1)

x 2 = a 2 cos(wt + j 2),

гдех 1 и х 2 - смещения; а 1 и а 2 - амплитуды; w - круговая частота обоих колебаний; j 1 и j 2 - начальные фазы колебаний.

Выполним сложение этих колебаний при помощи векторной диаграммы. Представим оба колебания векторами амплитуд. Для этого от произвольной точки О, лежащей на оси х , отложим два вектора 1 и 2 соответственно под углами j 1 и j 2 к этой оси (рис.2).

Проекции этих векторов на ось х будут равны смещениям х 1 и х 2 согласно выражению (2). При вращении обоих векторов против часовой стрелки с угловой скоростью w проекции их концов на ось х будут совершать гармонические колебания. Так как оба вектора вращаются с одинаковой угловой скоростью w , то угол между ними j=j 1 -j 2 остается постоянным. Сложив оба вектора 1 и 2 по правилу параллелограмма, получим результирующий вектор . Как видно из рис.2, проекция этого вектора на осьх равна сумме проекций слагаемых векторов х=х 1 +х 2 . С другой стороны: х=а·cos(wt+j о).

Следовательно, вектор вращается с той же угловой скоростью, что и векторы 1 и 2 и совершает гармоническое колебание, происходящее вдоль той же прямой, что и слагаемые колебания, и с частотой, равной частоте исходных колебаний. Здесь j о - начальная фаза результирующего колебания.

Как видно из рис.2, для определения амплитуды результирующего колебания можно использовать теорему косинусов, согласно которой имеем:

а 2 = а 1 2 + а 2 2 - 2а 1 а 2 ·cos

а = а 1 2 + а 2 2 + 2а 1 а 2 ·cos(j 2 - j 1) (3)

Из выражения (3) видно, что амплитуда результирующего колебания зависит от разности начальных фаз (j 2 - j 1 ) слагаемых колебаний. Если начальные фазы равны (j 2 =j 1 ), то из формулы (3) видно, что амплитуда а равна суммеа 1 иа 2 . Если разность фаз (j 2 - j 1 ) равна ±180 о (т.е. оба колебания находятся в противофазе), то амплитуда результирующего колебания равна абсолютному значению разности амплитуд слагаемых колебаний: а = |а 1 - а 2 | .

б) Тело участвует в двух колебаниях с одинаковыми амплитудами, начальными фазами, равными нулю, и различными частотами .

Уравнения для этих колебаний будут иметь вид:

х 1 = а·sinw 1 t,

x 2 = a·sinw 2 t.

При этом предполагается, что w 1 мало отличается по величине от w 2 . Сложив эти выражения, получим:

х=х 1 +х 2 =2а·cos [(w 1 -w 2)/2 ]t+sin [(w 1 +w 2)/2 ]t=

=2а cos [(w 1 -w 2)/2 ]t sin wt (4)

Результирующее движение представляет собой сложное колебание, называемое биениями (рис.3) Так как величина w 1 -w 2 мала по сравнению с величиной w 1 +w 2 , то это движение можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой, равной полусумме частот складываемых колебаний w=(w 1 +w 2)/2 , и переменной амплитудой.

Из (4) следует, что амплитуда результирующего колебания меняется по периодическому закону косинуса. Полный цикл изменения значений функции косинуса происходит при изменении аргумента на 360 0 , при этом функция проходит значения от +1 до -1. Состояние системы, совершающей биения в моменты времени, соответствующие указанным значениям функции косинуса в формуле (4), ничем не отличаются. Другими словами, циклы биений происходят с периодичностью, соответствующей изменению аргумента косинуса в формуле (4) на 180 0 . Таким образом, период Т а изменения амплитуды при биениях (период биений) определяется из условия:

Т а = 2p/(w 1 - w 2).

Учитывая, что w=2pn, получим:

Т а = 2 p /2 p (n 1 - n 2) = 1/(n 1 - n 2) . (5)

Частота изменения амплитуды результирующего колебания равна разности частот складываемых колебаний:

n=1/Т а =n 1 -n 2 .

Сложение гармонических колебаний одного направления.

Биения

Рассмотрим колебательную систему с одной степенью свободы, состояние которой определяется зависимостью некоторой величины от времени. Пусть колебание в этой системе представляет собой сумму двух гармонических колебаний с одинаковой частотой , но различными амплитудами и начальными фазами, т. е.

Так как "смещение" колебательной системы от положения равновесия происходит вдоль одного единственного "направления" , то в этом случае говорят о сложении гармонических колебаний одного направления. На векторной диаграмме складываемые колебания изобразятся в виде двух векторов и , повернутых относительно друг друга на угол (рис. 6.1). Так как частоты складываемых колебаний одинаковы, то их взаимное положение будет оставаться неизменным в любой момент времени, и результирующее колебание будет изображаться вектором, равным сумме векторов и . Складывая векторы по правилу параллелограмма и используя теорему косинусов, получим

. (6.3)

Таким образом, при сложении двух гармонических колебаний одного направления с одинаковыми частотами получается гармоническое колебание той же частоты, амплитуда и начальная фаза которого определяются выражениями (6.2), (6.3).

Два гармонических колебания, которые совершаются с одинаковой частотой и имеют постоянную разность фаз, называются когерентными . Следовательно, при сложении когерентных колебаний получается гармоническое колебание той же частоты, амплитуда и начальная фаза которого определяются амплитудами и начальными фазами складываемых колебаний.

Если складываемые колебания имеют разные частоты и , но одинаковые амплитуды , то, используя известное из тригонометрии выражение для суммы косинусов двух углов, получим

Из полученного выражения видно, что результирующее колебание не является гармоническим.

Пусть частоты складываемых колебаний близки друг к другу так, что и . Этот случай называется биением двух частот.

Обозначив , и , можно записать

. (6.5)

Из выражения (6.5) следует, что результирующее колебание можно представить как гармоническое колебание с некоторой средней частотой , амплитуда которого медленно (с частотой ) меняется во времени. Время называется периодом биений , а – частотой биений . График биений изображен на рисунке 6.2. Биения возникают при одновременном звучании двух камертонов одинаковой тональности. Их можно наблюдать с помощью осциллографа при сложении гармонических колебаний двух генераторов, настроенных на одну частоту. В обоих случаях частоты источников колебаний будут немного различаться, в результате чего возникнут биения.

Так как колебания происходят с разными частотами, то разность фаз складываемых колебаний изменяется во времени, следовательно, колебания не являются когерентными. Изменение во времени амплитуды результирующих колебаний является характерным следствием некогерентности складываемых колебаний .

Сложение колебаний очень часто наблюдается в электрических цепях и, в частности, в радиотехнических устройствах связи. В одних случаях это делается целенаправленно, чтобы получить сигнал с заданными параметрами. Так, например, в гетеродинном приемнике принимаемый сигнал складывается (смешивается) с сигналом гетеродина, чтобы в результате последующей обработки получить колебание промежуточной частоты. В других случаях сложение колебаний происходит самопроизвольно, когда на вход устройства кроме полезного сигнала поступает какая-либо помеха. По сути, все многообразие формы электрических сигналов представляет собой результат сложения двух или большего числа гармонических колебаний.

Сложение колебаний

Сложение двух гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами и частотами

Рассмотрим пример звуковых волн, когда два источника создают волны с одинаковой амплитудами A и частотами?. На расстоянии от источников установим чувствительную мембрану. Когда волна «пройдёт» расстояние от источника до мембраны, мембрана придёт в колебательное движение. Воздействие каждой из волн на мембрану можно описать следующими соотношениями, воспользовавшись колебательными функциями:

x1(t) = A cos(?t + ?1),

x2(t) = A cos(?t + ?2).

x(t) = x1 (t) + x2 (t) = A (1.27)

Выражение, которое находится в скобках, можно записать иначе, воспользовавшись тригонометрической функцией суммы косинусов:

Для того чтобы упростить функцию (1.28), введём новые величины A0 и?0, удовлетворяющие условию:

A0 = ?0 = (1.29)

Подставим в функцию (1.28) выражения (1.29), получим

Таким образом, сумма гармонических колебаний с одинаковыми частотами? есть гармоническое колебание той же частоты?. При этом амплитуда суммарного колебания A0 и начальная фаза?0 определяются соотношениями (1.29).

Сложение двух гармонических колебаний с одинаковой частотой, но разными амплитудой и начальной фазой

Теперь рассмотрим такую же ситуацию, изменив в функции (1.26) амплитуды колебаний. У функции x1 (t) заменим амплитуду A на A1, а у функции x2 (t) А на A2. Тогда функции (1.26) запишутся в следующем виде

x1 (t) = A1 cos(?t + ?1), x2 (t) = A2 cos (?t + ?2); (1.31)

Найдем сумму гармонических функций (1.31)

x= x1 (t) + x2 (t) = A1 cos(?t + ?1) + A2 cos (?t + ?2) (1.32)

Выражение (1.32) можно записать иначе, воспользовавшись тригонометрической функцией косинуса суммы:

x(t) = (A1cos(?1) + A2cos(?2)) cos(?t) - (A1sin(?1) + A2sin(?2)) sin(?t) (1.33)

Для того чтобы упростить функцию (1.33) введём новые величины A0 и?0, удовлетворяющие условию:

Возведём каждое уравнение системы (1.34) в квадрат и сложим полученные уравнения. Тогда мы получим следующее соотношение для числа A0:

Рассмотрим выражение (1.35). Докажем, что величина под корнем не может быть отрицательной. Так как cos(?1 - ?2) ? -1, значит, это единственная величина, которая может повлиять на знак числа под корнем (A12 > 0, A22 > 0 и 2A1A2 > 0 (из определения амплитуды)). Рассмотрим критический случай (косинус равен минус единице). Под корнем оказывается формула квадрата разности, что является величиной всегда положительной. Если мы начнём постепенно увеличивать косинус, то слагаемое, содержащее косинус тоже начнёт расти, тогда величина, стоящая под корнем не изменит свой знак.

Теперь рассчитаем соотношение для величины?0, разделив второе уравнение системы (1.34) на первое и вычислив арктангенс:

А теперь подставим в функцию (1.33) значения из системы (1.34)

x = A0(cos(?0) cos?t - sin(?0) sin?t) (1.37)

Преобразуя выражение, стоящее в скобках по формуле косинуса суммы, мы получим:

x(t) = A0 cos(?t + ?0) (1.38)

И опять получилось, что сумма двух гармонических функций вида (1.31) является также гармонической функцией того же вида. Точнее говоря, сложение двух гармонических колебаний с одинаковыми частотами? представляет собой также гармоническое колебание с той же частотой?. При этом амплитуда результирующего колебания определяется соотношением (1.35), а начальная фаза - соотношением (1.36).