Làm thế nào sự bất bình đẳng được giải quyết. Giải bất đẳng thức tuyến tính

Chú ý!
Có thêm
tài liệu trong Mục Đặc biệt 555.
Dành cho những người rất "không..."
Và đối với những người “rất nhiều…”)

Chuyện gì đã xảy ra vậy "bất đẳng thức bậc hai"? Không có câu hỏi!) Nếu bạn lấy bất kì phương trình bậc hai và thay dấu vào đó "=" (bằng) với bất kỳ dấu bất đẳng thức nào ( > ≥ < ≤ ≠ ), ta thu được bất đẳng thức bậc hai. Ví dụ:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Ừm, bạn hiểu mà...)

Không phải vô cớ mà tôi liên kết các phương trình và bất đẳng thức ở đây. Vấn đề là bước đầu tiên trong việc giải quyết bất kì bất đẳng thức bậc hai - giải phương trình từ đó tìm ra bất đẳng thức này. Vì lý do này - không có khả năng quyết định phương trình bậc hai tự động dẫn tới sự thất bại hoàn toàn về bất đẳng thức. Gợi ý có rõ ràng không?) Nếu có, hãy xem cách giải bất kỳ phương trình bậc hai nào. Mọi thứ đều được mô tả chi tiết ở đó. Và trong bài học này chúng ta sẽ giải quyết các bất đẳng thức.

Bất đẳng thức sẵn sàng giải có dạng: trái - tam thức bậc hai rìu 2 +bx+c, ở bên phải - không. Dấu bất đẳng thức có thể là bất cứ thứ gì. Hai ví dụ đầu tiên ở đây đã sẵn sàng để đưa ra quyết định. Ví dụ thứ ba vẫn cần được chuẩn bị.

Nếu bạn thích trang web này...

Nhân tiện, tôi có thêm một vài trang web thú vị dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)

Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.

Ví dụ: bất đẳng thức là biểu thức \(x>5\).

Các loại bất đẳng thức:

Nếu \(a\) và \(b\) là số hoặc , thì bất đẳng thức được gọi số. Thực ra nó chỉ là so sánh hai con số. Những bất bình đẳng như vậy được chia thành Trung thành Và không chung thủy.

Ví dụ:
\(-5<2\) - верное bất đẳng thức số, bởi vì \(-5\) thực sự nhỏ hơn \(2\);

\(17+3\geq 115\) là một bất đẳng thức số không chính xác, vì \(17+3=20\) và \(20\) nhỏ hơn \(115\) (và không lớn hơn hoặc bằng) .

Nếu \(a\) và \(b\) là các biểu thức chứa một biến thì chúng ta có bất đẳng thức với biến. Những bất đẳng thức như vậy được chia thành các loại tùy theo nội dung:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Chỉ thay đổi theo lũy thừa đầu tiên
\(3x^2-x+5>0\)				Có một biến ở lũy thừa thứ hai (bình phương), nhưng không có lũy thừa nào cao hơn (thứ ba, thứ tư, v.v.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... và như thế.

Giải pháp cho sự bất bình đẳng là gì?

Nếu bạn thay thế một số thay vì một biến vào một bất đẳng thức, nó sẽ trở thành một số.

Nếu một giá trị cho trước của x biến bất đẳng thức ban đầu thành bất đẳng thức số thực thì nó được gọi là giải pháp cho sự bất bình đẳng. Nếu không thì giá trị này không phải là giải pháp. Và để giải quyết bất đẳng thức– bạn cần tìm tất cả các giải pháp của nó (hoặc chứng minh rằng không có giải pháp nào).

Ví dụ, nếu chúng ta thay số \(7\) vào bất đẳng thức tuyến tính \(x+6>10\), chúng ta sẽ thu được bất đẳng thức số đúng: \(13>10\). Và nếu chúng ta thay thế \(2\), sẽ có bất đẳng thức số sai \(8>10\). Nghĩa là, \(7\) là nghiệm của bất đẳng thức ban đầu, nhưng \(2\) thì không.

Tuy nhiên, bất đẳng thức \(x+6>10\) có nghiệm khác. Thật vậy, chúng ta sẽ nhận được các bất đẳng thức số chính xác khi thay thế \(5\), \(12\), và \(138\)... Và làm thế nào chúng ta có thể tìm thấy tất cả phương pháp khả thi? Đối với điều này họ sử dụng. Đối với trường hợp của chúng tôi, chúng tôi có:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Đó là, bất kỳ số nào lớn hơn bốn sẽ phù hợp với chúng tôi. Bây giờ bạn cần phải viết ra câu trả lời. Lời giải của các bất đẳng thức thường được viết bằng số, đánh dấu thêm trên trục số bằng cách tô bóng. Đối với trường hợp của chúng tôi, chúng tôi có:

Trả lời: \(x\in(4;+\infty)\)

Dấu của bất đẳng thức thay đổi khi nào?

Có một cái bẫy lớn về sự bất bình đẳng mà học sinh rất “thích” mắc phải:

Khi nhân (hoặc chia) một bất đẳng thức với một số âm, nó sẽ bị đảo ngược (“nhiều hơn” với “nhỏ hơn”, “nhiều hơn hoặc bằng” với “nhỏ hơn hoặc bằng”, v.v.)

Tại sao chuyện này đang xảy ra? Để hiểu điều này, chúng ta hãy xem xét các phép biến đổi của bất đẳng thức số \(3>1\). Đúng là ba thật nhiều hơn một. Trước tiên hãy thử nhân nó với bất kỳ số dương, ví dụ: hai:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Như chúng ta có thể thấy, sau khi nhân, bất đẳng thức vẫn đúng. Và cho dù chúng ta nhân với số dương nào đi nữa, chúng ta sẽ luôn nhận được sự bất bình đẳng thực sự. Bây giờ hãy thử nhân với một số âm, ví dụ: trừ ba:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Kết quả là một bất đẳng thức sai, vì âm chín nhỏ hơn âm ba! Nghĩa là, để bất đẳng thức trở thành đúng (và do đó, phép biến đổi phép nhân thành số âm là “hợp pháp”), bạn cần đảo ngược dấu so sánh, như sau: \(−9<− 3\).
Với phép chia nó sẽ diễn ra theo cách tương tự, bạn có thể tự kiểm tra.

Quy tắc được viết ở trên áp dụng cho tất cả các loại bất đẳng thức, không chỉ bất đẳng thức số.

Ví dụ: Giải bất đẳng thức \(2(x+1)-1<7+8x\)
Giải pháp:

\(2x+2-1<7+8x\)	Hãy di chuyển \(8x\) sang trái, \(2\) và \(-1\) sang phải, không quên thay đổi dấu
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Hãy chia cả hai vế của bất đẳng thức cho \(-6\), không quên đổi từ “ít hơn” thành “nhiều hơn”
	Hãy đánh dấu một khoảng số trên trục. Bất bình đẳng nên chúng ta tự “rút” giá trị \(-1\) ra và không coi đó là đáp án
	Hãy viết câu trả lời dưới dạng một khoảng thời gian

Trả lời: \(x\in(-1;\infty)\)

Bất bình đẳng và khuyết tật

Bất đẳng thức, giống như các phương trình, có thể có các hạn chế đối với , tức là đối với các giá trị của x. Theo đó, những giá trị không được chấp nhận theo DZ phải được loại trừ khỏi phạm vi giải pháp.

Ví dụ: Giải bất đẳng thức \(\sqrt(x+1)<3\)

Giải pháp: Rõ ràng là để vế trái nhỏ hơn \(3\), biểu thức căn phải nhỏ hơn \(9\) (xét cho cùng, từ \(9\) chỉ \(3\)). Chúng tôi nhận được:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Tất cả? Bất kỳ giá trị nào của x nhỏ hơn \(8\) sẽ phù hợp với chúng ta? KHÔNG! Bởi vì, ví dụ, nếu chúng ta lấy giá trị \(-5\) có vẻ phù hợp với yêu cầu, thì nó sẽ không phải là nghiệm của bất đẳng thức ban đầu, vì nó sẽ dẫn chúng ta đến việc tính căn của một số âm.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Do đó, chúng ta cũng phải tính đến các hạn chế đối với giá trị của X - không thể có số âm dưới gốc. Vì vậy, chúng ta có yêu cầu thứ hai đối với x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Và để x là nghiệm cuối cùng, nó phải thỏa mãn cả hai yêu cầu cùng một lúc: nó phải nhỏ hơn \(8\) (để là nghiệm) và lớn hơn \(-1\) (về nguyên tắc được chấp nhận). Vẽ đồ thị trên trục số ta có đáp án cuối cùng:

Trả lời: \(\left[-1;8\right)\)

Việc so sánh đại lượng và đại lượng khi giải các bài toán thực tế đã là cần thiết từ xa xưa. Đồng thời, các từ như nhiều hơn và ít hơn, cao hơn và thấp hơn, nhẹ hơn và nặng hơn, êm hơn và to hơn, rẻ hơn và đắt hơn, v.v. xuất hiện, biểu thị kết quả so sánh các đại lượng đồng nhất.

Các khái niệm nhiều hơn và ít hơn nảy sinh liên quan đến việc đếm các đồ vật, đo lường và so sánh số lượng. Ví dụ, các nhà toán học Hy Lạp cổ đại biết rằng cạnh của bất kỳ tam giác nào cũng nhỏ hơn tổng của hai cạnh còn lại và cạnh lớn hơn của tam giác nằm đối diện với góc lớn hơn. Archimedes, trong khi tính chu vi, đã xác định rằng chu vi của bất kỳ hình tròn nào đều bằng ba lần đường kính với phần dư nhỏ hơn một phần bảy đường kính nhưng lớn hơn mười bảy mươi lần đường kính.

Viết một cách tượng trưng mối quan hệ giữa các số và số lượng bằng cách sử dụng các dấu > và b. Bản ghi trong đó hai số được kết nối bằng một trong các dấu: > (lớn hơn), Bạn cũng gặp phải sự bất đẳng thức về số ở các lớp thấp hơn. Bạn biết rằng bất đẳng thức có thể đúng hoặc có thể sai. Ví dụ: \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) là một bất đẳng thức số đúng, 0,23 > 0,235 là một bất đẳng thức số không chính xác.

Các bất đẳng thức liên quan đến ẩn số có thể đúng với một số giá trị của ẩn số và sai đối với những giá trị khác. Ví dụ: bất đẳng thức 2x+1>5 đúng với x = 3, nhưng sai với x = -3. Đối với bất đẳng thức có một ẩn số, bạn có thể đặt nhiệm vụ: giải bất đẳng thức. Trong thực tế, các bài toán giải bất phương trình được đặt ra và giải không kém các bài toán giải phương trình. Ví dụ, nhiều vấn đề kinh tế bắt nguồn từ việc nghiên cứu và giải các hệ bất đẳng thức tuyến tính. Trong nhiều ngành toán học, bất đẳng thức còn phổ biến hơn phương trình.

Một số bất đẳng thức đóng vai trò là phương tiện phụ trợ duy nhất để chứng minh hoặc bác bỏ sự tồn tại của một đối tượng nhất định, ví dụ, nghiệm của một phương trình.

Bất đẳng thức số

Bạn có thể so sánh số nguyên và phân số thập phân. Biết quy tắc so sánh các phân số thông thường có cùng mẫu số nhưng khác tử số; có cùng tử số nhưng khác mẫu số. Ở đây bạn sẽ học cách so sánh hai số bất kỳ bằng cách tìm dấu hiệu của sự khác biệt của chúng.

So sánh số được sử dụng rộng rãi trong thực tế. Ví dụ, một nhà kinh tế so sánh các chỉ số theo kế hoạch với các chỉ số thực tế, một bác sĩ so sánh nhiệt độ của bệnh nhân với nhiệt độ bình thường, một người thợ quay so sánh kích thước của một bộ phận được gia công với tiêu chuẩn. Trong tất cả các trường hợp như vậy, một số con số được so sánh. Kết quả của việc so sánh các số là phát sinh các bất đẳng thức về số.

Sự định nghĩa. Số a lớn hơn số b nếu hiệu a-b là dương. Số a nhỏ hơn số b nếu hiệu a-b âm.

Nếu a lớn hơn b thì viết: a > b; nếu a nhỏ hơn b thì viết: a Do đó, bất đẳng thức a > b có nghĩa là hiệu a - b là dương, tức là. a - b > 0. Bất đẳng thức a Với hai số a và b bất kỳ từ ba quan hệ sau a > b, a = b, a Để so sánh các số a và b có nghĩa là tìm ra dấu nào >, = hoặc Định lý. Nếu a > b và b > c thì a > c.

Định lý. Nếu bạn cộng cùng một số vào cả hai vế của bất đẳng thức thì dấu của bất đẳng thức sẽ không thay đổi.
Kết quả. Bất kỳ số hạng nào cũng có thể được chuyển từ phần này sang phần khác của bất đẳng thức bằng cách thay đổi dấu của số hạng này thành phần ngược lại.

Định lý. Nếu nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương thì dấu của bất đẳng thức không đổi. Nếu nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm thì dấu của bất đẳng thức sẽ đổi ngược lại.
Kết quả. Nếu chia cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số dương thì dấu của bất đẳng thức không đổi. Nếu chia cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số âm thì dấu của bất đẳng thức sẽ đổi ngược lại.

Bạn có biết rằng đẳng thức số Bạn có thể cộng và nhân số hạng theo số hạng. Tiếp theo, bạn sẽ học cách thực hiện các hành động tương tự với bất đẳng thức. Khả năng cộng và nhân các bất đẳng thức theo số hạng thường được sử dụng trong thực tế. Những hành động này giúp giải quyết vấn đề đánh giá và so sánh ý nghĩa của các biểu thức.

Khi quyết định Các nhiệm vụ khác nhau Thường thì bạn phải cộng hoặc nhân vế trái và vế phải của bất đẳng thức theo số hạng. Đồng thời, đôi khi người ta nói rằng sự bất bình đẳng cộng lại hoặc nhân lên. Ví dụ: nếu một khách du lịch đi bộ hơn 20 km vào ngày đầu tiên và hơn 25 km vào ngày thứ hai, thì chúng ta có thể nói rằng trong hai ngày anh ta đã đi bộ hơn 45 km. Tương tự, nếu chiều dài của hình chữ nhật nhỏ hơn 13 cm và chiều rộng nhỏ hơn 5 cm thì có thể nói diện tích của hình chữ nhật này nhỏ hơn 65 cm2.

Khi xem xét các ví dụ này, những điều sau đây đã được sử dụng: các định lý về phép cộng và nhân của bất đẳng thức:

Định lý. Khi cộng các bất đẳng thức cùng dấu, thu được bất đẳng thức cùng dấu: nếu a > b và c > d thì a + c > b + d.

Định lý. Khi nhân các bất đẳng thức cùng dấu, có vế trái và vế phải đều dương, thu được bất đẳng thức cùng dấu: nếu a > b, c > d và a, b, c, d là các số dương thì ac > bd.

Bất đẳng thức có dấu > (lớn hơn) và 1/2, 3/4 b, c Cùng với dấu bất đẳng thức chặt chẽ> và Tương tự như vậy, bất đẳng thức \(a \geq b \) có nghĩa là số a lớn hơn hoặc bằng b, tức là a không nhỏ hơn b.

Bất đẳng thức chứa dấu \(\geq \) hoặc dấu \(\leq \) được gọi là không nghiêm ngặt. Ví dụ: \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) không phải là những bất đẳng thức nghiêm ngặt.

Mọi tính chất của bất đẳng thức chặt chẽ cũng đúng cho bất đẳng thức không chặt chẽ. Hơn nữa, nếu đối với các bất đẳng thức nghiêm ngặt thì các dấu > được coi là ngược nhau và bạn biết rằng để giải chuỗi bài toán ứng dụng bạn phải tạo một mô hình toán học ở dạng phương trình hoặc hệ phương trình. Tiếp theo, bạn sẽ biết rằng các mô hình toán học để giải nhiều bài toán là các bất đẳng thức với ẩn số. Chúng tôi sẽ giới thiệu khái niệm giải bất đẳng thức và chỉ ra cách kiểm tra xem số đã cho giải một bất đẳng thức cụ thể.

Bất đẳng thức về hình thức
\(ax > b, \quad ax trong đó a và b là số đã cho, và x chưa biết, được gọi là bất đẳng thức tuyến tính với một ẩn số.

Sự định nghĩa. Lời giải của bất đẳng thức với một ẩn số là giá trị của ẩn số mà tại đó bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức số thực sự. Giải bất đẳng thức có nghĩa là tìm tất cả các nghiệm của nó hoặc chứng minh rằng không có nghiệm nào cả.

Bạn đã giải các phương trình bằng cách rút gọn chúng thành các phương trình đơn giản nhất. Tương tự, khi giải các bất đẳng thức, người ta cố gắng quy chúng bằng cách sử dụng các tính chất về dạng bất đẳng thức đơn giản.

Giải bất đẳng thức bậc hai bằng một biến

Bất đẳng thức về hình thức
\(ax^2+bx+c >0 \) và \(ax^2+bx+c trong đó x là một biến, a, b và c là một số số và \(a \neq 0 \), được gọi bất đẳng thức bậc hai với một biến.

Giải pháp cho sự bất bình đẳng
\(ax^2+bx+c >0 \) hoặc \(ax^2+bx+c có thể được coi là tìm các khoảng trong đó hàm \(y= ax^2+bx+c \) nhận giá trị dương hoặc âm các giá trị Để làm điều này, chỉ cần phân tích xem đồ thị của hàm \(y= ax^2+bx+c\) nằm trong mặt phẳng tọa độ như thế nào là đủ: trong đó các nhánh của parabol được hướng - lên hay xuống, cho dù parabol cắt trục x và nếu cắt thì tại điểm nào.

Thuật toán giải bất đẳng thức bậc hai một biến:
1) tìm người phân biệt tam thức bậc hai\(ax^2+bx+c\) và tìm hiểu xem tam thức có nghiệm hay không;
2) nếu tam thức có nghiệm, đánh dấu chúng trên trục x và thông qua các điểm đã đánh dấu vẽ một sơ đồ parabol, các nhánh của nó hướng lên trên đối với a > 0 hoặc hướng xuống dưới đối với a 0 hoặc ở dưới cùng đối với a 3) tìm các khoảng trên trục x mà các parabol điểm nằm phía trên trục x (nếu chúng giải được bất đẳng thức \(ax^2+bx+c >0\)) hoặc bên dưới trục x (nếu chúng giải được phương trình bất bình đẳng
\(ax^2+bx+c Giải bất đẳng thức bằng phương pháp khoảng

Hãy xem xét chức năng
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Miền của hàm này là tập hợp tất cả các số. Các số 0 của hàm là các số -2, 3, 5. Chúng chia miền định nghĩa của hàm thành các khoảng \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) và \( (5; +\infty)\)

Chúng ta hãy tìm hiểu những dấu hiệu của chức năng này trong mỗi khoảng được chỉ định.

Biểu thức (x + 2)(x - 3)(x - 5) là tích của ba thừa số. Dấu hiệu của từng yếu tố này trong các khoảng được xem xét được chỉ ra trong bảng:

Nói chung, hãy để hàm được đưa ra bởi công thức
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
trong đó x là biến và x 1, x 2, ..., x n là các số không bằng nhau. Các số x 1 , x 2 , ..., x n là các số 0 của hàm số. Trong mỗi khoảng mà miền định nghĩa được chia cho các số 0 của hàm, dấu của hàm được giữ nguyên và khi đi qua 0, dấu của nó sẽ thay đổi.

Tính chất này được dùng để giải bất đẳng thức có dạng
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) trong đó x 1, x 2, ..., x n là các số không bằng nhau

Phương pháp được xem xét giải bất phương trình được gọi là phương pháp khoảng.

Hãy để chúng tôi đưa ra ví dụ về việc giải bất đẳng thức bằng phương pháp khoảng.

Giải bất đẳng thức:

\(x(0.5-x)(x+4) Rõ ràng, các số 0 của hàm f(x) = x(0.5-x)(x+4) là các điểm \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Chúng ta vẽ các số 0 của hàm trên trục số và tính dấu trên mỗi khoảng:

Chúng tôi chọn những khoảng mà tại đó hàm nhỏ hơn hoặc bằng 0 và viết ra câu trả lời.

Trả lời:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Duy trì sự riêng tư của bạn là quan trọng đối với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng xem lại các biện pháp bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để nhận dạng hoặc liên hệ với một người cụ thể.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Dưới đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng ta thu thập thông tin cá nhân gì:

• Khi bạn gửi yêu cầu trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ của bạn E-mail vân vân.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

• Được chúng tôi sưu tầm thông tin cá nhân cho phép chúng tôi liên lạc với bạn và thông báo cho bạn về ưu đãi độc đáo, chương trình khuyến mãi và các sự kiện khác và các sự kiện sắp tới.
• Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi các thông báo và liên lạc quan trọng.
• Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ như kiểm toán, phân tích dữ liệu và nghiên cứu khác nhauđể cải thiện các dịch vụ chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất liên quan đến dịch vụ của chúng tôi.
• Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc chương trình khuyến mãi tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Ngoại lệ:

• Trong trường hợp cần thiết, theo quy định của pháp luật, thủ tục tố tụng, V sự thử nghiệm và/hoặc dựa trên yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ cơ quan chính phủ trên lãnh thổ Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các mục đích quan trọng khác.
• Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho bên thứ ba kế thừa hiện hành.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm và lạm dụng cũng như truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty

Để đảm bảo thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các tiêu chuẩn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các biện pháp bảo mật.

Bất bình đẳng và hệ thống bất bình đẳng là một trong những chủ đề được đề cập trong Trung học phổ thông trong đại số. Về mức độ khó, nó không phải là khó nhất vì nó có các quy tắc đơn giản (sẽ nói thêm về chúng sau). Theo quy luật, học sinh học cách giải hệ bất phương trình khá dễ dàng. Điều này cũng là do giáo viên chỉ đơn giản là “huấn luyện” học sinh của mình về chủ đề này. Và họ không thể không làm điều này, bởi vì nó sẽ được nghiên cứu trong tương lai bằng cách sử dụng các phương pháp khác đại lượng toán học, và cũng được kiểm tra trong OGE và Kỳ thi Thống nhất. TRONG sách giáo khoa trường học Chủ đề về bất bình đẳng và hệ thống bất bình đẳng được trình bày rất chi tiết, vì vậy nếu bạn định nghiên cứu về nó, tốt nhất bạn nên sử dụng chúng. Bài viết này chỉ kể lại vật liệu lớn, và có thể có một số thiếu sót.

Khái niệm hệ bất đẳng thức

Nếu bạn chuyển sang ngôn ngữ khoa học, thì ta có thể định nghĩa khái niệm “hệ bất đẳng thức”. Đây là một mô hình toán học thể hiện một số bất đẳng thức. Mô hình này tất nhiên cần có lời giải và đây sẽ là đáp án chung cho tất cả các bất đẳng thức của hệ được đề xuất trong bài (thông thường nó được viết như thế này, ví dụ: “Giải hệ bất phương trình 4 x + 1 > 2 và 30 - x > 6... "). Tuy nhiên, trước khi chuyển sang các loại và phương pháp giải pháp, bạn cần hiểu một điều khác.

Hệ bất đẳng thức và hệ phương trình

Trong quá trình học tập chủ đề mới rất thường xảy ra hiểu lầm. Một mặt, mọi thứ đều rõ ràng và bạn muốn bắt đầu giải quyết nhiệm vụ càng sớm càng tốt, nhưng mặt khác, một số khoảnh khắc vẫn nằm trong “bóng tối” và chưa được hiểu rõ. Ngoài ra, một số yếu tố của kiến ​​thức đã thu được có thể được đan xen với những kiến ​​thức mới. Chính vì sự “chồng chéo” này nên thường xuyên xảy ra lỗi.

Do đó, trước khi bắt đầu phân tích chủ đề của mình, chúng ta nên nhớ sự khác biệt giữa các phương trình, bất đẳng thức và hệ thống của chúng. Để làm điều này, chúng ta cần làm rõ một lần nữa dữ liệu đại diện cho điều gì. khái niệm toán học. Một phương trình luôn là một đẳng thức và nó luôn bằng một cái gì đó (trong toán học từ này được biểu thị bằng dấu "="). Bất bình đẳng là một mô hình trong đó một giá trị lớn hơn hoặc nhỏ hơn giá trị khác hoặc chứa tuyên bố rằng chúng không giống nhau. Vì vậy, trong trường hợp đầu tiên, việc nói về sự bình đẳng là thích hợp, và trong trường hợp thứ hai, cho dù ngay từ cái tên có vẻ rõ ràng đến mức nào, về sự bất bình đẳng của dữ liệu ban đầu. Các hệ phương trình và bất phương trình thực tế không khác nhau và cách giải chúng cũng giống nhau. Sự khác biệt duy nhất là trong trường hợp đầu tiên, bất đẳng thức được sử dụng và trong bất đẳng thức thứ hai được sử dụng.

Các loại bất bình đẳng

Có hai loại bất đẳng thức: số và bất đẳng thức chưa biết. Loại đầu tiên biểu thị các giá trị (số) được cung cấp không bằng nhau, ví dụ: 8 > 10. Loại thứ hai là các bất đẳng thức chứa một biến không xác định (ký hiệu bằng một số chữ cái bảng chữ cái Latinh, thường xuyên nhất là X). Biến này cần được tìm thấy. Tùy thuộc vào số lượng, mô hình toán học phân biệt giữa các bất đẳng thức với một (chúng tạo thành hệ bất đẳng thức với một biến) hoặc một số biến (chúng tạo thành hệ bất đẳng thức với nhiều biến).

Hai loại cuối cùng, theo mức độ xây dựng và mức độ phức tạp của giải pháp, được chia thành đơn giản và phức tạp. Những bất đẳng thức đơn giản còn được gọi là bất đẳng thức tuyến tính. Họ lần lượt được chia thành nghiêm ngặt và không nghiêm ngặt. Những người nghiêm ngặt “nói” rằng một đại lượng nhất thiết phải ít hơn hoặc nhiều hơn, vì vậy đây là thể tinh khiết sự bất bình đẳng. Có thể đưa ra một số ví dụ: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, v.v. Những ví dụ không nghiêm ngặt cũng bao gồm đẳng thức. Nghĩa là, một giá trị có thể lớn hơn hoặc bằng một giá trị khác (dấu “ ≥”) hoặc nhỏ hơn hoặc bằng giá trị khác (dấu “ ”). Ngay cả trong các bất đẳng thức tuyến tính, biến không ở gốc, bình phương hoặc chia hết cho bất cứ thứ gì, đó là lý do tại sao chúng được gọi là “đơn giản”. Những cái phức tạp liên quan đến các biến chưa biết yêu cầu thực hiện để tìm. hơn Các hoạt động toán học. Chúng thường nằm trong hình vuông, khối lập phương hoặc dưới gốc, chúng có thể là mô đun, logarit, phân số, v.v. Nhưng vì nhiệm vụ của chúng ta là cần hiểu nghiệm của hệ bất phương trình, nên chúng ta sẽ nói về hệ bất phương trình tuyến tính . Tuy nhiên, trước đó cần nói vài lời về đặc tính của chúng.

Tính chất của bất đẳng thức

Tính chất của bất đẳng thức bao gồm:

1. Dấu bất đẳng thức bị đảo ngược nếu một phép toán được sử dụng để thay đổi thứ tự của các cạnh (ví dụ: nếu t 1 ≤ t 2 thì t 2 ≥ t 1).
2. Cả hai vế của bất đẳng thức đều cho phép bạn cộng cùng một số với chính nó (ví dụ: nếu t 1 ≤ t 2 thì t 1 + số ≤ t 2 + số).
3. Hai hoặc nhiều bất đẳng thức cùng dấu cho phép cộng vế trái và vế phải của chúng (ví dụ: nếu t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4 thì t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. Cả hai phần của bất đẳng thức có thể được nhân hoặc chia cho cùng một số dương (ví dụ: nếu t 1 ≤ t 2 và một số ≤ 0 thì số · t 1 ≥ số · t 2).
5. Hai hoặc nhiều bất đẳng thức có thành viên tích cực và dấu cùng hướng cho phép nhân với nhau (ví dụ: nếu t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 thì t 1 t 3 ≤ t 2 t 4).
6. Cả hai phần của bất đẳng thức đều cho phép nhân hoặc chia cho cùng một số âm, nhưng trong trường hợp này dấu của bất đẳng thức thay đổi (ví dụ: nếu t 1 ≤ t 2 và một số ≤ 0, thì số · t 1 ≥ số · t 2).
7. Mọi bất đẳng thức đều có tính chất bắc cầu (ví dụ, nếu t 1 ≤ t 2 và t 2 ≤ t 3 thì t 1 ≤ t 3).

Bây giờ, sau khi nghiên cứu các nguyên tắc cơ bản của lý thuyết liên quan đến bất đẳng thức, chúng ta có thể tiến hành xem xét trực tiếp các quy tắc để giải hệ thống của chúng.

Giải các hệ bất đẳng thức. Thông tin chung. Các giải pháp

Như đã đề cập ở trên, nghiệm là các giá trị của biến phù hợp với mọi bất đẳng thức của hệ đã cho. Giải quyết hệ bất đẳng thức là việc thực hiện Các hoạt động toán học, cuối cùng dẫn đến giải pháp cho toàn bộ hệ thống hoặc chứng minh rằng nó không có giải pháp. Trong trường hợp này, biến được cho là tham chiếu đến sản phẩm nào bộ số(viết như thế này: chữ cái biểu thị một biến∈ (ký “thuộc về”) ø (ký “tập rỗng”), ví dụ x ∈ ø (đọc: “Biến “x” thuộc về bộ trống"). Có một số cách giải hệ bất phương trình: đồ thị, đại số, thay thế. Điều đáng chú ý là chúng nằm trong số đó mô hình toán học, có một số biến chưa biết. Trong trường hợp chỉ có một thì phương pháp khoảng là phù hợp.

Phương pháp đồ họa

Cho phép bạn giải hệ bất phương trình với một số đại lượng chưa biết (từ hai trở lên). Nhờ phương pháp này mà hệ bất phương trình tuyến tính có thể được giải khá dễ dàng và nhanh chóng nên là phương pháp phổ biến nhất. Điều này được giải thích là do việc vẽ đồ thị làm giảm số lượng thao tác toán học. Sẽ đặc biệt dễ chịu khi tạm dừng bút một chút, cầm bút chì bằng thước kẻ và bắt đầu các hành động tiếp theo với sự giúp đỡ của họ khi nhiều công việc đã được hoàn thành và bạn muốn có một chút đa dạng. Tuy nhiên phương pháp này một số người không thích điều đó vì họ phải rời bỏ nhiệm vụ và chuyển đổi công việc của mình hoạt động tinh thần dùng để vẽ. Tuy nhiên, đây là một phương pháp rất hiệu quả.

Để giải hệ bất phương trình bằng cách sử dụng phương pháp đồ họa, cần phải chuyển tất cả các số hạng của từng bất đẳng thức sang bên trái. Các dấu sẽ bị đảo ngược, số 0 phải được viết ở bên phải, khi đó mỗi bất đẳng thức cần được viết riêng. Kết quả là, các hàm sẽ thu được từ các bất đẳng thức. Sau đó, bạn có thể lấy bút chì và thước kẻ ra: bây giờ bạn cần vẽ đồ thị của từng hàm thu được. Toàn bộ tập hợp các số nằm trong khoảng giao nhau của chúng sẽ là nghiệm của hệ bất phương trình.

cách đại số

Cho phép bạn giải hệ bất phương trình với hai biến chưa biết. Ngoài ra, sự bất bình đẳng phải có có cùng dấu hiệu bất đẳng thức (tức là chúng chỉ được chứa dấu “lớn hơn” hoặc chỉ dấu “nhỏ hơn”, v.v.). Mặc dù có những hạn chế nhưng phương pháp này cũng phức tạp hơn. Nó được áp dụng trong hai giai đoạn.

Việc đầu tiên liên quan đến các hành động để loại bỏ một trong các biến chưa biết. Trước tiên, bạn cần chọn nó, sau đó kiểm tra sự hiện diện của các số ở phía trước biến này. Nếu chúng không có ở đó (khi đó biến sẽ trông giống như một chữ cái), thì chúng ta không thay đổi gì cả, nếu có (loại của biến sẽ là 5y hoặc 12y), thì cần phải thực hiện chắc chắn rằng trong mỗi bất đẳng thức, số đứng trước biến được chọn là như nhau. Để làm điều này, bạn cần nhân từng số hạng của bất đẳng thức với số nhân chung, ví dụ: nếu 3y được viết trong bất đẳng thức thứ nhất và 5y trong bất đẳng thức thứ hai, thì cần nhân tất cả các số hạng của bất đẳng thức thứ nhất với 5 và bất đẳng thức thứ hai với 3. Kết quả lần lượt là 15y và 15y.

Giai đoạn thứ hai của giải pháp. Cần chuyển vế trái của mỗi bất đẳng thức sang vế phải của chúng, đổi dấu của mỗi số hạng sang ngược lại và viết số 0 ở bên phải. Sau đó đến phần thú vị: loại bỏ biến đã chọn (còn được gọi là “rút gọn”) trong khi cộng các bất đẳng thức. Điều này dẫn đến bất đẳng thức với một biến cần được giải. Sau đó, bạn nên làm điều tương tự, chỉ với một biến chưa xác định khác. Kết quả thu được sẽ là lời giải của hệ thống.

Phương pháp thay thế

Cho phép bạn giải hệ bất phương trình nếu có thể đưa ra một biến mới. Thông thường, phương pháp này được sử dụng khi biến chưa biết trong một số hạng của bất đẳng thức được nâng lên lũy thừa thứ tư và trong số hạng kia nó bình phương. Vì vậy, phương pháp này nhằm mục đích giảm mức độ bất bình đẳng trong hệ thống. Bất đẳng thức mẫu x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 được giải theo cách này. Một biến mới được giới thiệu, ví dụ t. Họ viết: “Cho t = x 2”, sau đó mô hình được viết lại dưới dạng mới. Trong trường hợp của chúng ta, chúng ta nhận được t 2 - t - 1 0. Bất đẳng thức này cần được giải bằng phương pháp khoảng (sẽ nói thêm về điều đó sau), sau đó quay lại biến X, sau đó thực hiện tương tự với bất đẳng thức kia. Các câu trả lời nhận được sẽ là lời giải của hệ thống.

Phương pháp ngắt quãng

Đây là cách đơn giản nhất để giải hệ bất phương trình, đồng thời có tính phổ biến và phổ biến. Nó được sử dụng trong các trường trung học và thậm chí ở các trường trung học. Bản chất của nó nằm ở chỗ học sinh tìm kiếm các khoảng bất đẳng thức trên trục số được vẽ trong vở (đây không phải là đồ thị mà chỉ là một đường thẳng có số thông thường). Khi các khoảng bất đẳng thức giao nhau, giải pháp của hệ thống sẽ được tìm thấy. Để sử dụng phương pháp khoảng thời gian, bạn cần làm theo các bước sau:

1. Tất cả các số hạng của mỗi bất đẳng thức được chuyển sang vế trái với dấu đổi ngược lại (số 0 được viết ở bên phải).
2. Các bất đẳng thức được viết riêng biệt và nghiệm của từng bất đẳng thức được xác định.
3. Tìm giao điểm của các bất đẳng thức trên trục số. Tất cả các số nằm ở các nút giao thông này sẽ là giải pháp.

Tôi nên sử dụng phương pháp nào?

Rõ ràng là cách có vẻ dễ dàng và thuận tiện nhất, nhưng có những trường hợp nhiệm vụ yêu cầu một phương pháp nhất định. Thông thường họ nói rằng bạn cần giải bằng cách sử dụng biểu đồ hoặc phương pháp khoảng. Phương pháp đại số và phép thế được sử dụng cực kỳ hiếm hoặc hoàn toàn không được sử dụng vì chúng khá phức tạp và khó hiểu, hơn nữa, chúng được sử dụng nhiều hơn để giải hệ phương trình hơn là bất đẳng thức, vì vậy bạn nên dùng đến việc vẽ đồ thị và khoảng. Chúng mang lại sự rõ ràng, không thể không góp phần thực hiện các phép toán một cách hiệu quả và nhanh chóng.

Nếu có điều gì đó không ổn

Khi nghiên cứu một chủ đề cụ thể trong đại số, một cách tự nhiên, các vấn đề có thể nảy sinh trong việc hiểu nó. Và điều này là bình thường, bởi vì bộ não của chúng ta được thiết kế theo cách mà nó không thể hiểu được những tài liệu phức tạp trong một lần. Thông thường, bạn cần đọc lại một đoạn văn, nhờ giáo viên giúp đỡ hoặc luyện tập giải một vấn đề. nhiệm vụ điển hình. Trong trường hợp của chúng ta, chẳng hạn, chúng trông như thế này: “Giải hệ bất phương trình 3 x + 1 ≥ 0 và 2 x - 1 > 3.” Vì vậy, mong muốn cá nhân, sự giúp đỡ từ người ngoài và thực hành sẽ giúp hiểu được bất kỳ chủ đề phức tạp nào.

Người giải quyết?

Sách giải cũng rất phù hợp, nhưng không phải để chép bài tập về nhà mà để tự học. Trong đó, bạn có thể tìm thấy các hệ bất đẳng thức có lời giải, xem chúng (dưới dạng mẫu), cố gắng hiểu chính xác cách tác giả của giải pháp giải quyết nhiệm vụ và sau đó cố gắng tự mình thực hiện điều tương tự.

kết luận

Đại số là một trong những môn môn học phức tạpỞ trường. Vâng, bạn có thể làm gì? Toán học luôn là như vậy: đối với một số người thì dễ, nhưng đối với những người khác thì lại khó. Nhưng trong mọi trường hợp, cần nhớ rằng chương trình giáo dục phổ thông Nó được xây dựng theo cách mà bất kỳ học sinh nào cũng có thể xử lý được. Ngoài ra, người ta phải ghi nhớ số lượng trợ lý khổng lồ. Một số trong số họ đã được đề cập ở trên.