Sự định nghĩa
Các biểu thức có dạng 2 x 2 + 3 x + 5 được gọi là tam thức bậc hai. TRONG trường hợp chung tam thức bình phương là một biểu thức có dạng a x 2 + b x + c, trong đó a, b, c a, b, c - số tùy ý, và a ≠ 0.
Xét tam thức bậc hai x 2 - 4 x + 5. Hãy viết nó dưới dạng này: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Hãy cộng 2 2 vào biểu thức này và trừ 2 2, chúng ta được: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. Lưu ý rằng x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, vì vậy x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Sự biến đổi mà chúng tôi thực hiện được gọi là "phân bổ hình vuông đầy đủ từ một tam thức bình phương".
Xác định bình phương hoàn hảo từ tam thức bậc hai 9 x 2 + 3 x + 1.
Lưu ý rằng 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Khi đó `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Cộng và trừ `(1/2)^2` vào biểu thức thu được, chúng ta nhận được
`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.
Chúng ta sẽ chỉ ra cách sử dụng phương pháp tách một hình vuông hoàn hảo khỏi một tam thức bình phương để phân tích một tam thức bình phương thành nhân tử.
Phân tích nhân tử của tam thức bậc hai 4 x 2 - 12 x + 5.
Chúng ta chọn một hình vuông hoàn hảo từ một tam thức bậc hai: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Bây giờ ta áp dụng công thức a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , ta được: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1 ) .
Phân tích nhân tử của tam thức bậc hai - 9 x 2 + 12 x + 5.
9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Bây giờ chúng ta nhận thấy rằng 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.
Chúng ta thêm số hạng 2 2 vào biểu thức 9 x 2 - 12 x, chúng ta nhận được:
3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .
Áp dụng công thức tính hiệu bình phương ta có:
9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .
Phân tích nhân tử của tam thức bậc hai 3 x 2 - 14 x - 5 .
Chúng ta không thể biểu diễn biểu thức 3 x 2 dưới dạng bình phương của một biểu thức nào đó, vì chúng ta chưa học điều này ở trường. Bạn sẽ tìm hiểu điều này sau và trong Nhiệm vụ số 4 chúng ta sẽ nghiên cứu căn bậc hai. Hãy chỉ ra cách bạn có thể phân tích một tam thức bậc hai đã cho:
`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`
`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`
`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.
Chúng tôi sẽ chỉ cho bạn cách sử dụng phương pháp bình phương hoàn hảo để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của tam thức bậc hai.
Xét tam thức bậc hai x 2 - x + 3. Chọn một hình vuông hoàn chỉnh:
`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Lưu ý rằng khi `x=1/2` giá trị của tam thức bậc hai là `11/4` và khi `x!=1/2` giá trị của `11/4` được thêm vào số dương, vì vậy chúng ta nhận được một số lớn hơn `11/4`. Như vậy, giá trị nhỏ nhất tam thức bậc hai là `11/4` và nó có được khi `x=1/2`.
Tìm giá trị lớn nhất của tam thức bậc hai - 16 2 + 8 x + 6.
Chúng ta chọn một hình vuông hoàn hảo từ một tam thức bậc hai: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .
Khi `x=1/4` giá trị của tam thức bậc hai là 7 và khi `x!=1/4` một số dương bị trừ khỏi số 7, nghĩa là chúng ta nhận được một số nhỏ hơn 7. Vậy số 7 là giá trị cao nhất tam thức bậc hai, và nó thu được khi `x=1/4`.
Phân tích tử số và mẫu số của phân số `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` và rút gọn phân số.
Lưu ý rằng mẫu số của phân số x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. Hãy phân tích tử số của phân số bằng phương pháp tách một bình phương hoàn chỉnh khỏi một tam thức bình phương. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .
Phân số này dẫn đến dạng `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` sau khi giảm đi (x - 3) chúng ta nhận được `(x+5)/(x-3)`.
Phân tích đa thức x 4 - 13 x 2 + 36.
Chúng ta hãy áp dụng phương pháp cô lập một hình vuông hoàn chỉnh cho đa thức này. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`
Như tôi đã lưu ý, trong phép tính tích phân không có công thức thuận tiện để tích phân một phân số. Và do đó, có một xu hướng đáng buồn: phân số càng phức tạp thì càng khó tìm được tích phân của nó. Về vấn đề này, bạn phải sử dụng nhiều thủ thuật khác nhau mà bây giờ tôi sẽ kể cho bạn nghe. Những độc giả đã chuẩn bị sẵn sàng có thể tận dụng ngay mục lục:
- Phương pháp cộng dấu vi phân cho phân số đơn giản
Phương pháp chuyển đổi tử số nhân tạo
Ví dụ 1
Nhân tiện, tích phân đang xét cũng có thể được giải bằng cách đổi phương thức biến, ký hiệu là , nhưng việc viết lời giải sẽ lâu hơn nhiều.
Ví dụ 2
Tìm thấy tích phân không xác định. Thực hiện kiểm tra.
Đây là một ví dụ cho quyết định độc lập. Cần lưu ý rằng phương pháp thay thế biến sẽ không còn hoạt động ở đây nữa.
Chú ý, quan trọng! Ví dụ số 1, 2 là điển hình và xảy ra thường xuyên. Đặc biệt, những tích phân như vậy thường phát sinh trong quá trình giải các tích phân khác, đặc biệt là khi lấy tích phân các hàm vô tỷ (gốc).
Kỹ thuật được xem xét cũng hoạt động trong trường hợp nếu bậc cao nhất của tử số lớn hơn bằng cấp cao mẫu số.
Ví dụ 3
Tìm tích phân không xác định. Thực hiện kiểm tra.
Chúng ta bắt đầu chọn tử số.
Thuật toán chọn tử số giống như sau:
1) Trong tử số tôi cần sắp xếp , nhưng có . Phải làm gì? Tôi đặt nó trong ngoặc và nhân với: .
2) Bây giờ tôi thử mở các dấu ngoặc này, điều gì xảy ra? . Hmm... thế thì tốt hơn, nhưng ban đầu không có hai số nào trong tử số. Phải làm gì? Bạn cần nhân với:
3) Tôi mở ngoặc lại: . Và đây là thành công đầu tiên! Hóa ra vừa phải! Nhưng vấn đề là một thuật ngữ bổ sung đã xuất hiện. Phải làm gì? Để ngăn biểu thức thay đổi, tôi phải thêm biểu thức tương tự vào công trình của mình: 
. Cuộc sống đã trở nên dễ dàng hơn. Có thể sắp xếp lại tử số được không?
4) Có thể. Hãy thử: 
. Mở ngoặc của số hạng thứ hai: 
. Xin lỗi, nhưng ở bước trước tôi thực sự đã có , không phải . Phải làm gì? Bạn cần nhân số hạng thứ hai với: 
5) Một lần nữa, để kiểm tra, tôi mở ngoặc ở số hạng thứ hai: 
. Bây giờ thì bình thường: bắt nguồn từ cách xây dựng cuối cùng của điểm 3! Nhưng lại có một chữ “nhưng” nhỏ, một thuật ngữ bổ sung đã xuất hiện, nghĩa là tôi phải thêm vào biểu thức của mình: 
Nếu mọi thứ được thực hiện chính xác thì khi mở tất cả các dấu ngoặc, chúng ta sẽ nhận được tử số ban đầu của số nguyên. Chúng tôi kiểm tra:
Mui xe.
Như vậy: 
Sẵn sàng. Trong học kỳ trước, tôi đã sử dụng phương pháp gộp một hàm dưới một vi phân.
Nếu chúng ta tìm được đạo hàm của câu trả lời và rút gọn biểu thức thành mẫu số chung, thì chúng ta sẽ nhận được chính xác hàm tích phân ban đầu. Phương pháp phân tách thành tổng được xem xét không gì khác hơn là hành động đảo ngượcđể quy một biểu thức về mẫu số chung.
Thuật toán chọn tử số trong ví dụ tương tự Tốt hơn là làm điều đó ở dạng dự thảo. Với một số kỹ năng, nó sẽ hoạt động về mặt tinh thần. Tôi nhớ một trường hợp phá kỷ lục khi tôi đang thực hiện phép chọn lũy thừa thứ 11 và việc khai triển tử số chiếm gần hai dòng của Verd.
Ví dụ 4
Tìm tích phân không xác định. Thực hiện kiểm tra.
Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết.
Phương pháp cộng dấu vi phân cho phân số đơn giản
Hãy chuyển sang xem xét loại tiếp theo phân số.
, , , (các hệ số và không bằng 0).
Trên thực tế, một số trường hợp arcsine và arctangent đã được đề cập trong bài. Phương pháp đổi biến trong tích phân không xác định. Những ví dụ như vậy được giải bằng cách gộp hàm dưới dấu vi phân và tích phân sâu hơn bằng cách sử dụng bảng. Đây là nhiều hơn nữa ví dụ điển hình với logarit dài và cao:
Ví dụ 5
Ví dụ 6
Ở đây nên lấy một bảng tích phân và xem những công thức và Làm sao sự biến đổi diễn ra. Xin lưu ý như thế nào và tại sao Các hình vuông trong các ví dụ này được đánh dấu. Cụ thể, trong Ví dụ 6 trước tiên chúng ta cần biểu diễn mẫu số dưới dạng 
, sau đó đưa nó về dưới dấu vi phân. Và tất cả điều này cần phải được thực hiện để sử dụng tiêu chuẩn công thức dạng bảng 
.
Tại sao phải xem, hãy thử tự mình giải các ví dụ số 7 và 8, đặc biệt vì chúng khá ngắn:
Ví dụ 7
Ví dụ 8
Tìm tích phân không xác định:
Nếu bạn cũng có thể kiểm tra được những ví dụ này thì thật đáng tôn trọng - kỹ năng phân biệt của bạn rất xuất sắc.
Phương pháp lựa chọn hình vuông đầy đủ
Tích phân có dạng 
(các hệ số và không bằng 0) được giải phương pháp trích xuất bình phương hoàn chỉnh, đã xuất hiện trong bài học Các phép biến đổi hình học của đồ thị.
Trên thực tế, những tích phân như vậy rút gọn thành một trong bốn tích phân bảng mà chúng ta vừa xét. Và điều này đạt được bằng cách sử dụng các công thức nhân viết tắt quen thuộc:
Các công thức được áp dụng chính xác theo hướng này, nghĩa là ý tưởng của phương pháp là sắp xếp một cách giả tạo các biểu thức theo mẫu số, sau đó chuyển đổi chúng thành một trong hai mẫu số.
Ví dụ 9
Tìm tích phân không xác định
Cái này ví dụ đơn giản nhất, trong đó với số hạng – hệ số đơn vị(và không phải một số số hoặc dấu trừ).
Hãy nhìn vào mẫu số, ở đây toàn bộ vấn đề rõ ràng là do ngẫu nhiên. Hãy bắt đầu chuyển đổi mẫu số:
Rõ ràng, bạn cần cộng 4. Và để biểu thức không thay đổi, hãy trừ bốn như vậy:
Bây giờ bạn có thể áp dụng công thức:
Sau khi chuyển đổi hoàn tất LUÔN LUÔN nên thực hiện đột quỵ ngược: , mọi thứ đều ổn, không có lỗi gì.
Thiết kế cuối cùng của ví dụ được đề cập sẽ trông giống như thế này: 
Sẵn sàng. Tóm tắt "miễn phí" hàm phức tạp dưới dấu vi phân: , về nguyên tắc, có thể bỏ qua
Ví dụ 10
Tìm tích phân không xác định:
Đây là ví dụ để các bạn tự giải, đáp án ở cuối bài
Ví dụ 11
Tìm tích phân không xác định:
Phải làm gì khi có điểm trừ phía trước? Trong trường hợp này, chúng ta cần bỏ dấu trừ ra khỏi ngoặc và sắp xếp các số hạng theo thứ tự chúng ta cần: . Không thay đổi(“hai” trong trong trường hợp này) đừng chạm vào!
Bây giờ chúng tôi thêm một trong dấu ngoặc đơn. Phân tích biểu thức, chúng tôi đi đến kết luận rằng chúng tôi cần thêm một biểu thức bên ngoài dấu ngoặc:
Ở đây chúng ta có được công thức, áp dụng:
LUÔN LUÔN Chúng tôi kiểm tra dự thảo:
, đó là những gì cần phải được kiểm tra.
Ví dụ rõ ràng trông giống như thế này: 
Làm cho nhiệm vụ trở nên khó khăn hơn
Ví dụ 12
Tìm tích phân không xác định: 
Ở đây thuật ngữ này không còn là hệ số đơn vị nữa mà là “năm”.
(1) Nếu có hằng số tại thì ta bỏ ngay nó ra khỏi ngoặc.
(2) Nói chung, tốt hơn hết là di chuyển hằng số này ra ngoài tích phân để nó không gây cản trở.
(3) Rõ ràng, mọi thứ sẽ tuân theo công thức. Chúng ta cần hiểu thuật ngữ đó là lấy “hai”
(4) Vâng, . Điều này có nghĩa là chúng ta cộng vào biểu thức và trừ đi cùng một phân số.
(5) Bây giờ hãy chọn một hình vuông hoàn chỉnh. Trong trường hợp tổng quát, chúng ta cũng cần tính , nhưng ở đây chúng ta có công thức tính logarit dài 
, và việc thực hiện hành động đó chẳng ích gì; tại sao sẽ trở nên rõ ràng bên dưới.
(6) Thật ra ta có thể áp dụng công thức 
, chỉ thay vì “X” chúng ta có , điều này không phủ nhận tính đúng đắn của tích phân bảng. Nói đúng ra, một bước đã bị bỏ lỡ - trước khi lấy tích phân, hàm số lẽ ra phải được gộp dưới dấu vi phân: 
, nhưng, như tôi đã lưu ý nhiều lần, điều này thường bị bỏ qua.
(7) Trong câu trả lời ở phần gốc, nên mở rộng tất cả các dấu ngoặc trở lại:
Khó? Đây không phải là phần khó nhất của phép tính tích phân. Mặc dù vậy, các ví dụ đang được xem xét không quá phức tạp vì chúng đòi hỏi kỹ thuật tính toán tốt.
Ví dụ 13
Tìm tích phân không xác định:
Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Đáp án có ở cuối bài học.
Có các tích phân có gốc ở mẫu số, khi sử dụng phép thay thế sẽ được rút gọn thành tích phân thuộc loại đang xem xét; tích phân phức, nhưng nó được thiết kế dành cho những học sinh có sự chuẩn bị kỹ lưỡng.
Cộng tử số dưới dấu vi phân
Cái này phần cuối cùng Tuy nhiên, bài học tích phân loại này xảy ra khá thường xuyên! Nếu bạn mệt mỏi, có lẽ ngày mai nên đọc sách thì tốt hơn? ;)
Các tích phân mà chúng ta sẽ xem xét tương tự như các tích phân của đoạn trước, chúng có dạng: hoặc 
(các hệ số , và không bằng 0).
Tức là trong tử số ta có hàm tuyến tính. Làm thế nào để giải quyết tích phân như vậy?
Máy tính trực tuyến.
Bình phương một nhị thức và phân tích nó tam thức bậc hai.
Cái này chương trình toán phân biệt nhị thức vuông với tam thức vuông, tức là thực hiện một sự chuyển đổi như: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) và phân tích một tam thức bậc hai thành nhân tử: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)
Những thứ kia. vấn đề nằm ở việc tìm các số \(p, q\) và \(n, m\)
Chương trình không chỉ đưa ra đáp án của bài toán mà còn hiển thị quá trình giải.
Chương trình này có thể hữu ích cho học sinh trung học trường trung họcđể chuẩn bị cho kiểm tra và các kỳ thi, khi kiểm tra kiến thức trước Kỳ thi Thống nhất, để phụ huynh kiểm soát cách giải nhiều bài toán, đại số. Hoặc có thể việc thuê gia sư hoặc mua sách giáo khoa mới là quá tốn kém? Hay bạn chỉ muốn hoàn thành nó càng nhanh càng tốt? bài tập về nhà
trong toán học hay đại số? Trong trường hợp này, bạn cũng có thể sử dụng các chương trình của chúng tôi với các giải pháp chi tiết. Bằng cách này, bạn có thể tiến hành đào tạo và/hoặc đào tạo riêng cho mình. em trai
hoặc chị em, trong khi trình độ học vấn trong lĩnh vực vấn đề đang được giải quyết ngày càng tăng.
Nếu bạn không quen với các quy tắc nhập tam thức bậc hai, chúng tôi khuyên bạn nên tự làm quen với chúng.
Quy tắc nhập đa thức bậc hai
Bất kỳ chữ cái Latinh nào cũng có thể hoạt động như một biến.
Ví dụ: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), v.v.
Các số có thể được nhập dưới dạng số nguyên hoặc phân số. Hơn thế nữa, số phân số
có thể được nhập không chỉ dưới dạng số thập phân mà còn dưới dạng phân số thông thường.
Quy tắc nhập phân số thập phân. Ở dạng thập phân phần phân số
có thể được phân tách khỏi tổng thể bằng dấu chấm hoặc dấu phẩy. Ví dụ: bạn có thể nhập số thập phân
như thế này: 2,5x - 3,5x^2
Quy tắc nhập phân số thông thường.
Chỉ một số nguyên mới có thể đóng vai trò là tử số, mẫu số và phần nguyên của một phân số.
Mẫu số không thể âm. Khi vào phân số /
Tử số được phân cách với mẫu số bằng dấu chia: &
Toàn bộ phần được phân tách khỏi phân số bằng dấu và:
Đầu vào: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Kết quả: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\) Khi nhập một biểu thức bạn có thể sử dụng dấu ngoặc đơn
. Trong trường hợp này, khi giải, biểu thức được giới thiệu trước tiên được đơn giản hóa.
Ví dụ: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2) Ví dụ
giải pháp chi tiết Cô lập bình phương của một nhị thức. $$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Trả lời: $$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Nhân tố hóa.
$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ $$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$
Người ta phát hiện ra rằng một số tập lệnh cần thiết để giải quyết vấn đề này đã không được tải và chương trình có thể không hoạt động.
Bạn có thể đã bật AdBlock.
Trong trường hợp này, hãy tắt nó và làm mới trang.
Để giải pháp xuất hiện, bạn cần bật JavaScript.
Dưới đây là hướng dẫn về cách bật JavaScript trong trình duyệt của bạn.
Bởi vì Có rất nhiều người sẵn sàng giải quyết vấn đề, yêu cầu của bạn đã được xếp hàng đợi.
Trong vài giây, giải pháp sẽ xuất hiện bên dưới.
Vui lòng chờ giây...
Nếu bạn nhận thấy một lỗi trong giải pháp, thì bạn có thể viết về điều này trong Biểu mẫu phản hồi.
Đừng quên cho biết nhiệm vụ nào bạn quyết định cái gì nhập vào các trường.
Trò chơi, câu đố, trình giả lập của chúng tôi:
Một chút lý thuyết.
Tách bình phương của một nhị thức khỏi một tam thức bình phương
Nếu tam thức bậc hai ax 2 +bx+c được biểu diễn dưới dạng a(x+p) 2 +q, trong đó p và q là số thực, sau đó họ nói điều đó từ tam thức bình phương, bình phương của nhị thức được tô đậm.
Từ tam thức 2x 2 +12x+14 chúng ta rút ra bình phương của nhị thức.
\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)
Để làm điều này, hãy tưởng tượng 6x là tích của 2*3*x, sau đó cộng và trừ 3 2. Chúng tôi nhận được:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$
Cái đó. Chúng tôi trích xuất nhị thức vuông từ tam thức vuông, và cho thấy rằng:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$
Phân tích thành nhân tử của tam thức bậc hai
Nếu tam thức bình phương ax 2 +bx+c được biểu diễn dưới dạng a(x+n)(x+m), trong đó n và m là số thực thì phép toán được cho là đã được thực hiện phân tích nhân tử của tam thức bậc hai.
Hãy để chúng tôi chỉ ra một ví dụ về cách chuyển đổi này được thực hiện.
Hãy phân tích tam thức bậc hai 2x 2 +4x-6.
Chúng ta hãy lấy hệ số a ra khỏi ngoặc, tức là 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)
Hãy biến đổi biểu thức trong ngoặc.
Để làm điều này, hãy tưởng tượng 2x là hiệu 3x-1x và -3 là -1*3. Chúng tôi nhận được:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$
Cái đó. Chúng tôi phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử, và cho thấy rằng:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$
Lưu ý rằng việc phân tích thành thừa số một tam thức bậc hai chỉ có thể thực hiện được khi: phương trình bậc hai, tương ứng với tam thức này có nghiệm.
Những thứ kia. trong trường hợp của chúng ta, có thể phân tích tam thức 2x 2 +4x-6 nếu phương trình bậc hai 2x 2 +4x-6 =0 có nghiệm. Trong quá trình nhân tử hóa, chúng ta đã chứng minh được rằng phương trình 2x 2 + 4x-6 = 0 có hai nghiệm 1 và -3, bởi vì với những giá trị này, phương trình 2(x-1)(x+3)=0 trở thành một đẳng thức thực sự.
Trong bài học này, chúng ta sẽ nhớ lại tất cả các phương pháp phân tích nhân tử của đa thức đã nghiên cứu trước đây và xem xét các ví dụ về ứng dụng của chúng, ngoài ra, chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp mới- phương pháp xác định một hình vuông hoàn chỉnh và học cách áp dụng nó để giải các bài toán khác nhau.
Chủ thể:Phân tích đa thức thành nhân tử
Bài học:Phân tích đa thức. Phương pháp chọn một hình vuông hoàn chỉnh. Kết hợp các phương pháp
Chúng ta hãy nhớ lại các phương pháp cơ bản để phân tích một đa thức đã được nghiên cứu trước đó:
Phương pháp đưa một thừa số chung ra khỏi ngoặc, tức là một thừa số có mặt trong mọi số hạng của đa thức. Hãy xem một ví dụ:
Hãy nhớ lại rằng đơn thức là tích của lũy thừa và số. Trong ví dụ của chúng tôi, cả hai thuật ngữ đều có một số yếu tố chung, giống hệt nhau.
Vậy hãy lấy nó ra số nhân chung ngoài dấu ngoặc:
;
Hãy để chúng tôi nhắc bạn rằng bằng cách nhân hệ số được lấy ra bằng dấu ngoặc đơn, bạn có thể kiểm tra tính chính xác của hệ số được lấy ra.
Phương pháp phân nhóm. Không phải lúc nào cũng có thể rút ra thừa số chung của một đa thức. Trong trường hợp này, bạn cần chia các thành viên của nó thành các nhóm sao cho trong mỗi nhóm bạn có thể lấy ra một thừa số chung và cố gắng chia nhỏ nó ra sao cho sau khi lấy ra các thừa số trong các nhóm, một thừa số chung sẽ xuất hiện trong toàn bộ biểu thức và bạn có thể tiếp tục phân tách. Hãy xem một ví dụ:
Hãy nhóm số hạng đầu tiên với số hạng thứ tư, số hạng thứ hai với số hạng thứ năm và số hạng thứ ba với số hạng thứ sáu:
Hãy loại bỏ các yếu tố chung trong các nhóm:
Biểu thức bây giờ có một yếu tố chung. Hãy lấy nó ra:
Ứng dụng công thức nhân rút gọn. Hãy xem một ví dụ:
;
Hãy viết biểu thức một cách chi tiết:
Rõ ràng, chúng ta có trước mắt công thức tính hiệu bình phương, vì nó là tổng bình phương của hai biểu thức và tích kép của chúng bị trừ đi. Hãy sử dụng công thức:
Hôm nay chúng ta sẽ học một phương pháp khác - phương pháp chọn một hình vuông hoàn chỉnh. Nó dựa trên các công thức bình phương của tổng và bình phương của hiệu. Hãy nhắc nhở họ:
Công thức tính bình phương của tổng (chênh lệch);
Điểm đặc biệt của các công thức này là chúng chứa bình phương của hai biểu thức và tích kép của chúng. Hãy xem một ví dụ:
Hãy viết biểu thức:
Vì vậy, biểu thức đầu tiên là , và biểu thức thứ hai là .
Để tạo một công thức tính bình phương của một tổng hoặc hiệu, hai lần tích các biểu thức là không đủ. Nó cần được cộng và trừ:
Hãy hoàn thành bình phương của tổng:
Hãy biến đổi biểu thức kết quả:
Hãy áp dụng công thức tính hiệu bình phương, nhớ lại rằng hiệu bình phương của hai biểu thức là tích của và tổng của hiệu chúng:
Vì thế, phương pháp này trước hết bao gồm ở chỗ cần xác định các biểu thức a và b nằm trong hình vuông, tức là xác định xem biểu thức nào nằm trong hình vuông. trong ví dụ này. Sau đó, bạn cần kiểm tra sự hiện diện của tích nhân đôi và nếu không có thì cộng và trừ nó, điều này sẽ không làm thay đổi ý nghĩa của ví dụ, nhưng đa thức có thể được phân tích thành nhân tử bằng cách sử dụng các công thức bình phương của tổng hoặc hiệu và hiệu của các bình phương, nếu có thể.
Hãy chuyển sang giải các ví dụ.
Ví dụ 1 - phân tích nhân tử:
Hãy tìm các biểu thức bình phương:
Hãy để chúng tôi viết ra sản phẩm kép của họ sẽ là gì:
Hãy cộng và trừ gấp đôi sản phẩm:
Hãy hoàn thành bình phương của tổng và cho kết quả tương tự:
Hãy viết nó bằng cách sử dụng công thức hiệu của bình phương:
Ví dụ 2 - giải phương trình:
;
Ở bên trái của phương trình là một tam thức. Bạn cần phải tính nó thành các yếu tố. Chúng tôi sử dụng công thức chênh lệch bình phương:
Ta có bình phương của biểu thức thứ nhất và tích kép, thiếu bình phương của biểu thức thứ hai, hãy cộng và trừ nó:
Hãy gấp một hình vuông hoàn chỉnh và đưa ra các số hạng tương tự:
Hãy áp dụng công thức hiệu bình phương:
Vì vậy chúng ta có phương trình 
Chúng ta biết rằng tích bằng 0 chỉ khi có ít nhất một trong các thừa số bằng 0. Hãy tạo các phương trình sau dựa trên điều này:
Hãy giải phương trình đầu tiên:
Hãy giải phương trình thứ hai:
Trả lời: hoặc
;
Chúng ta tiến hành tương tự như ví dụ trước - chọn bình phương của hiệu.