Biểu diễn hình học của định nghĩa số phức. Biểu diễn hình học của số phức

Biểu diễn hình học của số phức. Dạng lượng giác số phức.

2015-06-04

Trục thực và trục ảo
Đối số số phức
Đối số chính số phức
Dạng lượng giác của số phức

Việc xác định một số phức $z = a+bi$ tương đương với việc xác định hai số thực $a,b$ - phần thực và phần ảo của số phức này. Nhưng một cặp số có thứ tự $(a,b)$ được mô tả theo kiểu Descartes hệ thống hình chữ nhật tọa độ bởi một điểm có tọa độ $(a, b)$. Do đó, điểm này có thể đóng vai trò là ảnh của số phức $z$: giữa số phức và điểm mặt phẳng tọa độ sự tương ứng một-một được thiết lập.

Khi sử dụng mặt phẳng tọa độ để biểu diễn các số phức, trục $Ox$ thường được gọi là trục thực (vì phần thực của số được lấy là hoành độ của điểm) và trục $Oy$ là trục ảo (vì phần ảo của số được coi là tọa độ của điểm).

Số phức $z$ biểu diễn bởi điểm $M(a,b)$ được gọi là số phức của điểm này. Đồng thời số thựcđược biểu thị bằng các điểm nằm trên trục ảo và tất cả các số thuần ảo $bi$ (với $a = 0$) được biểu thị bằng các điểm nằm trên trục ảo. Số 0 được biểu thị bằng điểm O.

Hình 1
Trong hình. 1, ảnh của các số $z_(1) = 2 + 3i, z_(2)=1 =1,z_(3) = 4i, z_(4) = -4 + i, z_(5) = -2, z_( 6) = - 3 – 2i, z_(7) = -5i, z_(8) = 2 – 3i$.

Hai số liên hợp phức được biểu diễn bằng các điểm đối xứng qua trục $Ox$ (các điểm $z_(1)$ và $z_(8)$ trong Hình 1).

Cơm. 2
Thường gắn liền với một số phức $z$ không chỉ là điểm $M$ đại diện cho số này, mà còn là vectơ $\vec(OM)$ dẫn từ $O$ đến $M$; Việc biểu diễn số $z$ dưới dạng vectơ là thuận tiện xét theo quan điểm giải thích hình học của hoạt động cộng và trừ các số phức. Trong hình. 2, và chứng tỏ rằng vectơ biểu thị tổng các số phức $z_(1), z_(2)$ được lấy dưới dạng đường chéo của hình bình hành được xây dựng trên các vectơ $\vec(OM_(1)), \vec (OM_(2)) $ đại diện cho các điều khoản. Quy tắc cộng vectơ này được gọi là quy tắc hình bình hành (ví dụ, để cộng lực hoặc vận tốc trong một khóa học vật lý). Phép trừ có thể được rút gọn thành phép cộng với vectơ đối diện(Hình 2, b).

Cơm. 3
Như đã biết, vị trí của một điểm trên mặt phẳng cũng có thể được xác định bởi tọa độ cực $r, \phi$ của nó. Do đó, số phức - phần phụ của một điểm - cũng sẽ được xác định bằng cách chỉ định $r$ và $\phi$. Từ hình. 3 rõ ràng rằng $r = OM = \sqrt(x^(2) + y^(2))$ đồng thời là mô đun của số phức $z$: bán kính cực của điểm biểu thị số $z$, bằng mô đun con số này.

Góc cực của một điểm $M$ được gọi là đối số của số $z$ biểu diễn bởi điểm này.

Đối số của một số phức (như góc cực của một điểm) không được xác định duy nhất; nếu $\phi_(0)$ là một trong các giá trị của nó thì tất cả các giá trị của nó được biểu thị bằng công thức
$\phi = \phi_(0) + 2k \pi (k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$

Tất cả các giá trị của đối số được ký hiệu chung bằng ký hiệu $Arg \: z$.

Vì vậy, mọi số phức đều có thể liên kết với một cặp số thực: môđun và đối số số đã cho và đối số được xác định một cách mơ hồ. Ngược lại, với mô-đun $|z| = r$ và đối số $\phi$ tương ứng số ít$z$ có mô-đun và đối số đã cho. Thuộc tính đặc biệt có số 0: mô đun của nó bằng 0, đối số không được gán bất kỳ ý nghĩa cụ thể nào.

Để đạt được sự rõ ràng trong định nghĩa đối số của số phức, người ta có thể đồng ý gọi một trong các giá trị của đối số là giá trị chính. Nó được biểu thị bằng ký hiệu $arg \: z$. Thông thường, giá trị chính của đối số được chọn là giá trị thỏa mãn các bất đẳng thức
$0 \leq arg \: z (trong các trường hợp khác, bất đẳng thức $- \pi

Chúng ta cũng chú ý đến giá trị của đối số của số thực và số ảo thuần túy:
$arg \: a = \begin(case) 0, & \text(if) a>0, \\
\pi, & \text(if) a $arg \: bi = \begin(cases) \frac(\pi)(2), & \text(if) b > 0, \\
\frac(3 \pi)(2), & \text(if) b

Phần thực và phần ảo của số phức (như tọa độ Descartesđiểm) được thể hiện thông qua mô đun và đối số của nó ( tọa độ cựcđiểm) theo công thức:
$a = r \cos \phi, b = r \sin \phi$, (1)
và số phức có thể được viết dưới dạng lượng giác sau:
$z = r(\cos \phi \phi + i \sin \phi)$ (2)
(chúng ta sẽ gọi việc viết một số ở dạng $z = a + bi$ là một bản ghi ở dạng đại số).

Điều kiện cho sự bằng nhau của hai số cho dưới dạng lượng giác như sau: hai số $z_(1)$ và $z_(2)$ bằng nhau khi và chỉ khi mô đun của chúng bằng nhau và các đối số bằng nhau hoặc khác nhau bởi một số nguyên các khoảng thời gian $2 \pi $.

Việc chuyển từ viết số ở dạng đại số sang viết số ở dạng lượng giác và ngược lại được thực hiện theo công thức (4):
$r = \sqrt(a^(2) + b^(2)), \cos \phi = \frac(a)(r)= \frac(a)(\sqrt(a^(2) + b^ (2)), \sin \phi = \frac(b)(r) = \frac(b)(\sqrt(a^(2) + b^(2))), tg \phi = \frac( b )(a)$ (3)
và công thức (1). Khi xác định một đối số (giá trị chính của nó), bạn có thể sử dụng giá trị của một trong các hàm lượng giác$\cos \phi$ hoặc $\sin \phi$ và tính đến dấu của giây.

Ví dụ. Viết các số sau dưới dạng lượng giác:
a)$6 + 6i$; b) $3i$; c) $-10$.
Giải: a) Ta có
$r = \sqrt(6^(2) + (-6)^(2)) = 6 \sqrt(2)$,
$\cos \phi = \frac(6)(6 \sqrt(2)) = \frac(1)(\sqrt(2)) = \frac(\sqrt(2))(2)$,
$\sin \phi = - \frac(6)(6 \sqrt(2)) = - \frac(1)(\sqrt(2)) = - \frac(\sqrt(2))(2)$,
từ đó $\phi = \frac(7 \pi)(4)$, và do đó,
$6-6i = 6 \sqrt(2) \left (\cos \frac(7 \pi)(4) + i \sin \frac(7 \pi)(4) \right)$;
b) $r = 3, \cos \phi = 0, \sin \phi = 1, \phi = \pi /2$;
$3i = 3 \left (\cos \frac(\pi)(2) + i \sin \frac(\pi)(2) \right)$
c) $r = 10, \cos \phi = -1, \sin \phi = 0, \phi = \pi$;
$-10 = 10 (\cos \pi + i \sin \pi)$

Số phức, biểu diễn của chúng trên mặt phẳng. các phép toán đại số trên số phức. Ghép nối phức tạp. Môđun và đối số của số phức. đại số và dạng lượng giác số phức. Căn nguyên của số phức. hàm số mũ lập luận phức tạp. Công thức Euler. Hình thức trình diễn số phức.

Khi nghiên cứu một trong những phương pháp tích hợp cơ bản: tích hợp phân số hợp lý– để thực hiện các chứng minh chặt chẽ, cần xét các đa thức trong miền phức. Vì vậy, trước tiên chúng ta hãy nghiên cứu một số tính chất của số phức và các phép tính trên chúng.

Định nghĩa 7.1. Số phức z là một cặp số thực có thứ tự (a,b): z = (a,b) (thuật ngữ “có thứ tự” có nghĩa là khi viết một số phức thì thứ tự của các số a và b là quan trọng: (a ,b)≠(b,a )). Trong trường hợp này, số thứ nhất a được gọi là phần thực của số phức z và được ký hiệu là a = Re z, còn số thứ hai b được gọi là phần ảo của z: b = Im z.

Định nghĩa 7.2. Hai số phức z 1 = (a 1 , b 1) và z 2 = (a 2 , b 2) bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng bằng nhau, nghĩa là a 1 = a 2 , b 1 = b 2 .

Các phép toán trên số phức.

1. Số lượng số phức z 1 =(a 1 , b 1) Và z 2 =(a 2 , b 2 z =(một,b) sao cho a = a 1 + a 2, b = b 1 + b 2. Tính chất của phép cộng: a) z 1 + z 2 = z 2 + z 1; b) z 1 +(z 2 + z 3) = (z 1 + z 2) + z 3; c) tồn tại số phức 0 = (0,0): z + 0 =z với mọi số phức z.

2. công việc số phức z 1 =(a 1 , b 1) Và z 2 =(a 2 , b 2) được gọi là số phức z =(một,b) sao cho a = a 1 a 2 – b 1 b 2, b = a 1 b 2 + a 2 b 1. Tính chất của phép nhân: a) z 1 z 2 = z 2 z 1; b) z 1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z 3, V) ( z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

Bình luận. Tập con của tập hợp số phức là tập hợp các số thực, được định nghĩa là số phức có dạng ( MỘT, 0). Có thể thấy rằng định nghĩa các phép toán trên số phức bảo toàn các quy luật đã biết cho các phép toán tương ứng trên số thực. Ngoài ra, số thực 1 = (1,0) vẫn giữ nguyên tính chất khi nhân với số phức bất kỳ: 1∙ z = z.

Định nghĩa 7.3. Số phức (0, b) được gọi là hoàn toàn là tưởng tượng. Đặc biệt, số (0,1) được gọi là đơn vị tưởng tượng và được ký hiệu bằng ký hiệu Tôi.

Tính chất của đơn vị tưởng tượng:

1) tôi∙i=tôi² = -1; 2) số thuần ảo (0, b) có thể được biểu diễn dưới dạng tích của một số thực ( b, 0) và Tôi: (b, 0) = b∙i.

Do đó, mọi số phức z = (a,b) đều có thể biểu diễn dưới dạng: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.

Định nghĩa 7.4. Ký hiệu có dạng z = a + ib được gọi là dạng đại số viết số phức.

Bình luận. Ký hiệu đại số của số phức cho phép bạn thực hiện các phép tính trên chúng theo quy tắc bình thườngđại số.

Định nghĩa 7.5. Số phức được gọi là số phức liên hợp của z = a + ib.

3. Phép trừ số phức được định nghĩa là phép toán nghịch đảo của phép cộng: z =(một,b) được gọi là hiệu của số phức z 1 =(a 1 , b 1) Và z 2 =(a 2 , b 2), Nếu như a = a 1 – a 2, b = b 1 – b 2.

4. Phân công số phức được định nghĩa là phép toán, nghịch đảo của phép nhân: con số z = a + ib gọi là thương của phép chia z 1 = a 1 + ib 1 Và z 2 = a 2 + ib 2(z 2 ≠ 0), nếu z 1 = z∙z 2 . Do đó, phần thực và phần ảo của thương có thể tìm được bằng cách giải hệ phương trình: a 2 a – b 2 b = a 1, b 2 a + a 2 b = b 1.

Giải thích hình học của số phức.

số phức z =(một,b) có thể được biểu diễn dưới dạng một điểm trên mặt phẳng có tọa độ ( một,b) hoặc một vectơ có gốc tại gốc và kết thúc tại điểm ( một,b).

Trong trường hợp này, mô đun của vectơ kết quả được gọi là mô-đun số phức và góc hình thành bởi một vectơ với hướng dương của trục x, - lý lẽ những con số. Xem xét rằng a = ρ vì φ, b = ρ tội lỗi φ, Ở đâu ρ = |z| - mô-đun z, và φ = arg z là đối số của nó, bạn có thể có một dạng viết số phức khác:

Định nghĩa 7.6. Loại ghi âm

z = ρ(vì φ + tôi tội lỗi φ ) (7.1)

gọi điện dạng lượng giác viết số phức.

Đổi lại, môđun và đối số của một số phức có thể được biểu diễn thông qua MỘT Và b: . Do đó, đối số của một số phức không được xác định duy nhất mà có thể là một số hạng là bội số của 2π.

Dễ dàng kiểm chứng được phép cộng số phức có tương ứng với phép cộng vectơ hay không. Hãy xem xét cách giải thích hình học của phép nhân. Hãy để sau đó

Do đó, mô đun tích của hai số phức là tương đương với sản phẩm mô-đun của chúng và đối số là tổng của các đối số của chúng. Theo đó, khi chia, mô đun của thương bằng tỷ lệ mô-đun của số bị chia và số chia, và đối số là hiệu của các đối số của chúng.

Một trường hợp đặc biệt của phép nhân là lũy thừa:

- Công thức Moivre.

Sử dụng các quan hệ thu được, chúng tôi liệt kê các tính chất chính của số liên hợp phức:

số phức

Khái niệm cơ bản

Dữ liệu ban đầu về con số có từ thời đồ đá - Paleomelitic. Đó là “một”, “ít” và “nhiều”. Chúng được ghi lại dưới dạng vết khía, nút thắt, v.v. Sự phát triển của quá trình lao động và sự xuất hiện của tài sản buộc con người phải phát minh ra các con số và tên của chúng. Người đầu tiên xuất hiện số tự nhiên N, thu được bằng cách đếm các mục. Sau đó, cùng với nhu cầu đếm, con người còn có nhu cầu đo chiều dài, diện tích, thể tích, thời gian và các đại lượng khác, trong đó họ phải tính đến các phần của thước đo được sử dụng. Đây là cách phân số ra đời. Sự biện minh chính thức cho các khái niệm về phân số và số âmđược thực hiện vào thế kỷ 19. Tập hợp số nguyên Z– là các số tự nhiên, số tự nhiên có dấu trừ và bằng 0. Toàn bộ và số phân số hình thành một bộ số hữu tỉ Q, nhưng hóa ra nó cũng không đủ để nghiên cứu sự thay đổi liên tục biến. Genesis một lần nữa cho thấy sự không hoàn hảo của toán học: không thể giải được phương trình có dạng X 2 = 3, đó là lý do xuất hiện số vô tỷ TÔI. Hợp của tập hợp số hữu tỉ Q Và số vô tỉ TÔI– tập hợp số thực (hoặc thực) R. Kết quả là trục số đã được điền: mỗi số thực tương ứng với một điểm trên đó. Nhưng trên nhiều R không có cách nào để giải phương trình dạng X 2 = – MỘT 2. Do đó, lại nảy sinh nhu cầu mở rộng khái niệm về số. Đây là cách số phức xuất hiện vào năm 1545. Người tạo ra chúng, J. Cardano, gọi chúng là “hoàn toàn tiêu cực”. Cái tên “tưởng tượng” được người Pháp R. Descartes giới thiệu vào năm 1637, năm 1777 Euler đề xuất sử dụng chữ cái đầu tiên số Pháp Tôiđể biểu thị đơn vị tưởng tượng. Biểu tượng này được sử dụng phổ biến nhờ K. Gauss.

Trong thế kỷ 17 và 18, cuộc thảo luận về bản chất số học của các ảo ảnh và cách giải thích hình học của chúng vẫn tiếp tục. Người Đan Mạch G. Wessel, người Pháp J. Argan và người Đức K. Gauss đã độc lập đề xuất biểu diễn số phức dưới dạng một điểm trên mặt phẳng tọa độ. Sau đó, hóa ra việc biểu diễn một số không phải bằng chính điểm đó mà bằng một vectơ đi từ gốc đến điểm này thậm chí còn thuận tiện hơn.

Chỉ đến cuối thế kỷ 18 và đầu thế kỷ 19, số phức mới có vị trí xứng đáng trong phân tích toán học. Công dụng đầu tiên của chúng là trên lý thuyết phương trình vi phân và trong lý thuyết thủy động lực học.

Định nghĩa 1.số phứcđược gọi là một biểu thức có dạng , trong đó x Và y là số thực và Tôi– đơn vị ảo, .

Hai số phức và bình đẳng nếu và chỉ nếu , .

Nếu , thì số đó được gọi hoàn toàn là tưởng tượng; nếu , thì số đó là số thực, điều này có nghĩa là tập hợp R VỚI, Ở đâu VỚI- tập hợp số phức

liên hợp cho số phức được gọi là số phức.

Biểu diễn hình học của số phức.

Mọi số phức đều có thể biểu diễn bằng một điểm M(x, y) máy bay Oxy. Cặp số thực còn biểu thị tọa độ của vectơ bán kính , tức là giữa tập vectơ trên mặt phẳng và tập số phức có thể thiết lập được mối tương ứng một-một: .

Định nghĩa 2.Phần thực X.

Chỉ định: x= Lại z(từ tiếng Latin Realis).

Định nghĩa 3.Phần ảo số phức là số thực y.

Chỉ định: y= tôi z(từ tiếng Latin Imaginarius).

Nốt Rê zđược đặt trên trục ( Ồ), Tôi zđược đặt trên trục ( Ồ), thì vectơ tương ứng với số phức là vectơ bán kính của điểm M(x, y), (hoặc M(Nốt Rê z, Tôi z)) (Hình 1).

Định nghĩa 4. Một mặt phẳng có các điểm liên kết với một tập hợp số phức được gọi là mặt phẳng phức tạp. Trục hoành được gọi là trục thực, vì nó chứa số thực. Trục tọa độ được gọi là trục ảo, nó chứa các số phức hoàn toàn là tưởng tượng. Tập hợp số phức được ký hiệu VỚI.

Định nghĩa 5.mô-đun số phức z = (x, y) được gọi là độ dài của vectơ: , tức là .

Định nghĩa 6.Lý lẽ số phức là góc giữa chiều dương của trục ( Ồ) và vectơ: .

Lưu ý 3. Nếu điểm z nằm trên trục thực hoặc trục ảo thì bạn có thể tìm trực tiếp.

Số phức và
điều phối
máy bay

Mô hình hình học của tập R số thực là trục số. Mọi số thực đều tương ứng với một điểm

TRÊN
trục số và bất kỳ điểm nào trên trục số
chỉ có một trận đấu
số thật!

Bằng cách thêm một chiều nữa vào trục số tương ứng với tập hợp tất cả các số thực - dòng chứa tập hợp số thuần túy

Bằng cách cộng vào trục số tương ứng với tập hợp
của tất cả các số thực có thêm một chiều nữa -
một đường thẳng chứa tập hợp các số ảo –
chúng ta có được một mặt phẳng tọa độ trong đó mỗi
số phức a+bi có thể liên kết với nhau
điểm (a; b) của mặt phẳng tọa độ.
i=0+1i tương ứng với điểm (0;1)
2+3i ứng với điểm (2;3)
-i-4 tương ứng với điểm (-4;-1)
5=5+1i tương ứng với nỗi buồn (5;0)

Ý nghĩa hình học của phép chia động từ

! Hoạt động giao phối là trục
sự đối xứng qua trục hoành.
!! Liên hợp với nhau
số phức cách đều nhau
nguồn gốc.
!!! Các vectơ mô tả
số liên hợp, nghiêng với trục
bụng dưới cùng một góc, Nhưng
nằm theo các mặt khác nhau từ
trục này.

Hình ảnh số thực

Hình ảnh số phức

đại số
đường
hình ảnh:
số phức
a+bi được miêu tả
điểm mặt phẳng
có tọa độ
(a;b)

Ví dụ minh họa số phức trên mặt phẳng tọa độ

(Chúng tôi quan tâm
số phức
z=x+yi , trong đó
x=-4. Đây là phương trình
trực tiếp,
trục song song
thứ tự)
Tại
X= - 4
Có hiệu lực
một phần là -4
0
X

Vẽ trên mặt phẳng tọa độ tập hợp các số phức thỏa mãn:

Phần ảo
thậm chí là
rõ ràng
tự nhiên
con số
(Chúng tôi quan tâm
số phức
z=x+yi, trong đó
y=2,4,6,8.
Hình ảnh hình học
bao gồm bốn
thẳng, song song
trục x)
Tại
8
6
4
2
0
X

Có các dạng số phức sau: đại số(x+iy), lượng giác(r(cos+isin )), biểu thị(tôi lại ).

Mọi số phức z=x+iy đều có thể được biểu diễn trên Máy bay XOU dưới dạng một điểm A(x,y).

Mặt phẳng biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng biến phức z (ta đặt ký hiệu z trên mặt phẳng).

Trục OX là trục thực, tức là nó chứa số thực. OU là trục ảo chứa các số ảo.

x+iy- Dạng đại số của số phức.

Chúng ta hãy rút ra dạng lượng giác của cách viết số phức.

Chúng tôi thay thế các giá trị thu được vào dạng ban đầu: , tức là.

r(cos+isin) - Dạng lượng giác của cách viết số phức.

Dạng hàm mũ của cách viết số phức tuân theo công thức Euler:
,Sau đó

z= nốt Rê Tôi - Dạng hàm mũ của số phức.

Các phép toán trên số phức.

1. phép cộng. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);

2 . phép trừ. z 1 -z 2 =(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);

3. phép nhân. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);

4 . phân công. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=

Hai số phức chỉ khác nhau về dấu của đơn vị ảo, tức là z=x+iy (z=x-iy) được gọi là liên hợp.

Công việc.

z1=r(cos +isin ); z2=r(cos +isin ).

Tích z1*z2 của số phức được tìm thấy: , tức là mô đun của tích bằng tích của các mô đun và đối số của tích bằng tổng các đối số của các thừa số.

;
;

Riêng tư.

Nếu số phức được đưa ra dưới dạng lượng giác.

Nếu số phức được đưa ra dưới dạng hàm mũ.

lũy thừa.

1. Số phức đã cho trong đại số hình thức.

z=x+iy, thì z n được tìm thấy bởi Công thức nhị thức Newton:

- số cách kết hợp n phần tử của m (số cách lấy n phần tử từ m).

;
.

n!=1*2*…*n; 0!=1;

Áp dụng cho số phức

Trong biểu thức kết quả, bạn cần thay thế lũy thừa i bằng giá trị của chúng: i 0 =1 Từ đây đến trường hợp chung

chúng tôi nhận được: tôi 4k = 1

tôi 1 = tôi tôi 4k+1 = tôi

tôi 2 =-1 tôi 4k+2 =-1

tôi 3 =-i tôi 4k+3 =-i.

Ví dụ

tôi 31 = tôi 28 tôi 3 =-i

2. tôi 1063 = tôi 1062 tôi=tôi hình thức.

lượng giác +isin z=r(cos

- ), Cái đó.

Công thức Moivre

3. Ở đây n có thể là “+” hoặc “-” (số nguyên). Nếu cho số phức vào biểu thị

hình thức:

Chiết xuất rễ.
.

Xét phương trình:
.

Nghiệm của nó sẽ là căn bậc n của số phức z: Căn bậc n của số phức z có đúng n nghiệm (giá trị). Gốc của ngày hiện tại

bậc thứ n chỉ có một giải pháp. Trong những cái phức tạp có n giải pháp. tôi 1063 = tôi 1062 tôi=tôi Nếu cho số phức vào

lượng giác +isin hình thức:

), thì căn bậc n của z được tìm thấy theo công thức:

, trong đó k=0,1…n-1.

Hàng. Dãy số.

Cho biến a nhận tuần tự các giá trị a 1, a 2, a 3,…, an n. Một tập hợp các số được đánh số lại như vậy được gọi là một dãy. Nó là vô tận. Dãy số là biểu thức a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…=