Tìm tọa độ của vectơ là điều kiện khá phổ biến cho nhiều bài toán trong toán học. Khả năng tìm tọa độ vector sẽ giúp bạn trong nhiều việc khác nhiệm vụ phức tạp với chủ đề tương tự. Trong bài này chúng ta sẽ xem xét công thức tìm tọa độ vectơ và một số bài toán.
Tìm tọa độ của vectơ trong mặt phẳng
Máy bay là gì? Một mặt phẳng được coi là một không gian hai chiều, một không gian có hai chiều (chiều x và chiều y). Ví dụ, giấy phẳng. Bề mặt của bàn phẳng. Mọi hình không thể tích (hình vuông, hình tam giác, hình thang) cũng là một mặt phẳng. Như vậy, nếu trong đề bài cần tìm tọa độ của một vectơ nằm trên một mặt phẳng thì chúng ta nhớ ngay về x và y. Bạn có thể tìm tọa độ của một vectơ như vậy theo cách sau: Tọa độ vector AB = (xB - xA; yB - xA). Từ công thức rõ ràng là từ tọa độ điểm cuối bạn cần trừ tọa độ của điểm bắt đầu.
Ví dụ:
- Vector CD có tọa độ ban đầu (5; 6) và cuối cùng (7; 8).
- Tìm tọa độ của chính vectơ đó.
- Sử dụng công thức trên, ta có biểu thức sau: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
- Như vậy tọa độ của vectơ CD = (2; 2).
- Theo đó, tọa độ x bằng hai, tọa độ y cũng bằng hai.
Tìm tọa độ của một vectơ trong không gian
Không gian là gì? Không gian đã là một chiều ba chiều, trong đó có 3 tọa độ: x, y, z. Nếu bạn cần tìm một vectơ nằm trong không gian, công thức thực tế không thay đổi. Chỉ có một tọa độ được thêm vào. Để tìm một vectơ, bạn cần trừ tọa độ đầu khỏi tọa độ cuối. AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)
Ví dụ:
- Vector DF có số đầu (2; 3; 1) và số cuối (1; 5; 2).
- Áp dụng công thức trên, ta có: Tọa độ vectơ DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
- Hãy nhớ rằng, giá trị tọa độ có thể âm, không có vấn đề gì.
Làm thế nào để tìm tọa độ vector trực tuyến?
Nếu vì lý do nào đó bạn không muốn tự mình tìm tọa độ, bạn có thể sử dụng máy tính trực tuyến. Để bắt đầu, hãy chọn kích thước vectơ. Kích thước của một vectơ chịu trách nhiệm về kích thước của nó. Thứ nguyên 3 có nghĩa là vectơ nằm trong không gian, thứ nguyên 2 có nghĩa là nó nằm trên mặt phẳng. Tiếp theo, chèn tọa độ của các điểm vào các trường thích hợp và chương trình sẽ xác định cho bạn tọa độ của vectơ. Mọi thứ đều rất đơn giản.
Bằng cách nhấp vào nút, trang sẽ tự động cuộn xuống và cung cấp cho bạn câu trả lời đúng cùng với các bước giải.
Nên học tập tốt chủ đề này, bởi vì khái niệm vectơ không chỉ có trong toán học mà còn có trong vật lý. Sinh viên khoa Công nghệ thông tin Họ cũng nghiên cứu chủ đề về vectơ, nhưng ở mức độ phức tạp hơn.
Nếu cho trước hai điểm của mặt phẳng thì vectơ có tọa độ như sau:
Nếu cho trước hai điểm trong không gian thì vectơ có tọa độ như sau:
Đó là, từ tọa độ điểm cuối của vectơ bạn cần trừ tọa độ tương ứng phần đầu của vectơ.
Bài tập:Đối với các điểm giống nhau, hãy viết công thức tìm tọa độ của vectơ. Công thức ở cuối bài học.
ví dụ 1
Cho hai điểm của mặt phẳng và . Tìm tọa độ vectơ
Giải pháp: theo công thức tương ứng:
Ngoài ra, mục sau có thể được sử dụng:
Những người có thẩm mỹ sẽ quyết định theo cách này:
Cá nhân tôi đã quen với phiên bản đầu tiên của bản ghi âm.
Trả lời:
Theo điều kiện, không cần thiết phải xây dựng bản vẽ (điển hình cho các nhiệm vụ hình học giải tích), nhưng để làm rõ một số điểm cho các bạn ngu, mình sẽ không lười quá:
Bạn chắc chắn cần phải hiểu sự khác biệt giữa tọa độ điểm và tọa độ vectơ:
tọa độ điểm– đây là các tọa độ thông thường trong hệ tọa độ hình chữ nhật. Đặt điểm vào mặt phẳng tọa độ Tôi nghĩ mọi người đều có thể làm được từ lớp 5 đến lớp 6. Mỗi điểm đều có một vị trí nghiêm ngặt trên mặt phẳng và chúng không thể di chuyển đi bất cứ đâu.
Tọa độ của vectơ là sự mở rộng của nó về mặt cơ sở, trong trong trường hợp này. Bất kỳ vectơ nào đều miễn phí, vì vậy nếu cần, chúng ta có thể dễ dàng di chuyển nó ra khỏi một số điểm khác trong mặt phẳng. Điều thú vị là đối với vectơ bạn không cần phải xây dựng trục, hệ thống hình chữ nhật tọa độ, bạn chỉ cần một cơ sở, trong trường hợp này là cơ sở trực giao của mặt phẳng.
Các bản ghi tọa độ điểm và tọa độ của vectơ có vẻ giống nhau: và ý nghĩa tọa độ tuyệt đối khác biệt, và bạn nên nhận thức rõ về sự khác biệt này. Tất nhiên, sự khác biệt này cũng áp dụng cho không gian.
Thưa quý vị, hãy lấp đầy bàn tay của chúng tôi:
Ví dụ 2
a) Điểm và được cho. Tìm vectơ và .
b) Điểm và được cho. Tìm vectơ và .
c) Điểm và được cho. Tìm vectơ và .
d) Điểm được cho. Tìm vectơ.
Có lẽ thế là đủ. Đây là những ví dụ cho quyết định độc lập, hãy cố gắng đừng bỏ bê chúng, nó sẽ được đền đáp ;-). Không cần phải vẽ bản vẽ. Lời giải và đáp án cuối bài.
Điều quan trọng khi giải các bài toán hình học giải tích là gì?Điều quan trọng là phải CỰC KỲ CẨN THẬN để tránh mắc phải sai lầm bậc thầy “hai cộng hai bằng 0”. Có sai sót ở đâu thì xin lỗi ngay nhé =))
Làm thế nào để tìm thấy độ dài của một đoạn?
Độ dài, như đã lưu ý, được biểu thị bằng dấu mô đun.
Nếu cho hai điểm của mặt phẳng và , thì độ dài của đoạn thẳng có thể được tính bằng công thức
Nếu có hai điểm trong không gian và cho trước thì độ dài của đoạn đó có thể được tính bằng công thức
Ghi chú: Các công thức sẽ vẫn đúng nếu tọa độ tương ứng được hoán đổi: Và , nhưng tùy chọn đầu tiên chuẩn hơn
Ví dụ 3
Giải pháp: theo công thức tương ứng:
Trả lời:
Để rõ ràng, tôi sẽ vẽ 
Đoạn đường - đây không phải là một vectơ và tất nhiên là bạn không thể di chuyển nó đi bất cứ đâu. Ngoài ra nếu vẽ theo tỷ lệ: 1 đơn vị. = 1 cm (hai ô vở), thì có thể kiểm tra câu trả lời thu được bằng thước thông thường bằng cách đo trực tiếp độ dài của đoạn.
Vâng, giải pháp thì ngắn gọn, nhưng còn có một vài giải pháp nữa trong đó điểm quan trọng mà tôi muốn làm rõ:
Đầu tiên, trong câu trả lời chúng ta đặt thứ nguyên: “đơn vị”. Điều kiện không cho biết đó là CÁI GÌ, milimét, centimet, mét hoặc kilômét. Do đó, giải pháp đúng về mặt toán học sẽ là công thức tổng quát: “đơn vị” - viết tắt là “đơn vị”.
Thứ hai, hãy lặp lại tài liệu học tập, điều này không chỉ hữu ích cho vấn đề đang được xem xét:
chú ý đến quan trọng kỹ thuật kỹ thuật – loại bỏ số nhân từ dưới gốc. Kết quả của các phép tính, chúng ta có một kết quả và phong cách toán học tốt liên quan đến việc loại bỏ hệ số khỏi gốc (nếu có thể). Chi tiết hơn, quá trình này trông như thế này: . Tất nhiên, để lại câu trả lời như cũ không phải là một sai lầm - nhưng chắc chắn đó sẽ là một thiếu sót và là một lập luận có sức nặng đối với việc giáo viên ngụy biện.
Dưới đây là những trường hợp phổ biến khác: 
Thường có đủ ở gốc con số lớn, Ví dụ . Phải làm gì trong những trường hợp như vậy? Sử dụng máy tính, chúng tôi kiểm tra xem số đó có chia hết cho 4 hay không: . Vâng, nó đã được chia hoàn toàn, do đó: 
. Hoặc có thể số đó lại có thể chia cho 4? . Như vậy: 
. Chữ số cuối cùng của số là số lẻ nên việc chia cho 4 lần thứ ba hiển nhiên sẽ không được. Hãy thử chia cho chín: . Kết quả là:
Sẵn sàng.
Phần kết luận: nếu dưới gốc, chúng ta nhận được một số không thể trích ra toàn bộ, thì chúng ta sẽ cố gắng loại bỏ hệ số đó khỏi gốc - bằng máy tính, chúng ta kiểm tra xem số đó có chia hết cho: 4, 9, 16, 25, 36, 49, v.v.
Trong quá trình quyết định Các nhiệm vụ khác nhau gốc rễ là phổ biến, hãy luôn cố gắng rút ra các yếu tố từ gốc rễ để tránh bị điểm thấp và những rắc rối không đáng có khi hoàn thiện lời giải dựa trên nhận xét của giáo viên.
Chúng ta cũng hãy lặp lại căn bậc hai và các lũy thừa khác:
Quy tắc cho các hành động có mức độ trong nhìn chung Có thể được tìm thấy trong sách giáo khoa trường học về đại số, nhưng tôi nghĩ từ các ví dụ đã cho mọi thứ hoặc hầu hết mọi thứ đều đã rõ ràng.
Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập với một phân đoạn trong không gian:
Ví dụ 4
Điểm và được đưa ra. Tìm độ dài của đoạn này.
Đáp án và đáp án ở cuối bài.
Làm thế nào để tìm độ dài của một vectơ?
Nếu cho trước một vectơ phẳng thì độ dài của nó được tính theo công thức.
Nếu cho trước một vectơ không gian thì độ dài của nó được tính theo công thức 
.
Những công thức này (cũng như công thức tính độ dài của một đoạn) có thể dễ dàng suy ra bằng định lý Pythagore nổi tiếng.
Ví dụ 5
Điểm và được đưa ra. Tìm độ dài của vectơ.
Tôi lấy điểm tương tự như trong Ví dụ 3.
Giải pháp:Đầu tiên, hãy tìm vectơ:
Sử dụng công thức, chúng tôi tính toán độ dài của vectơ:
Trả lời:
Đừng quên chỉ ra thứ nguyên – “đơn vị”! Nhân tiện, có phải luôn luôn cần phải tính một giá trị gần đúng (theo trong ví dụ này 8.94), nếu điều này không được yêu cầu trong điều kiện? Theo quan điểm của tôi, nó sẽ không thừa; việc thiếu một giá trị gần đúng sẽ dẫn đến việc tìm hiểu kỹ càng. Nên làm tròn đến 2-3 chữ số thập phân.
Hãy vẽ một bản vẽ cho nhiệm vụ:
Sự khác biệt cơ bản so với Ví dụ 3 là gì? Sự khác biệt là ở đây chúng ta đang nói về một vectơ chứ không phải một đoạn. Vector có thể di chuyển đến bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng.
Điểm giống nhau giữa Ví dụ 3 và Ví dụ 5 là gì? Rõ ràng về mặt hình học là độ dài của đoạn thẳng bằng độ dài của vectơ. Rõ ràng là độ dài vectơ sẽ bằng nhau. Kết quả là: 
.
b) Cho các vectơ , , và . Tìm độ dài của chúng.
Lời giải và đáp án cuối bài.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ bắt đầu thảo luận về một “cây đũa thần” cho phép bạn biến nhiều bài toán hình học thành số học đơn giản. “Cây gậy” này có thể giúp cuộc sống của bạn dễ dàng hơn rất nhiều, đặc biệt khi bạn cảm thấy không chắc chắn về việc xây dựng hình không gian, phần, v.v. Tất cả điều này đòi hỏi một trí tưởng tượng và kỹ năng thực tế nhất định. Phương pháp mà chúng tôi sẽ bắt đầu xem xét ở đây sẽ cho phép bạn gần như hoàn toàn trừu tượng khỏi bất kỳ loại công trình hình học và lý luận. Phương pháp này được gọi là "phương pháp tọa độ". Trong bài này chúng ta sẽ xem xét các câu hỏi sau:
- Mặt phẳng tọa độ
- Điểm và vectơ trên mặt phẳng
- Xây dựng một vectơ từ hai điểm
- Độ dài vectơ (khoảng cách giữa hai điểm)
- Tọa độ giữa của đoạn
- Tích vô hướng của vectơ
- Góc giữa hai vectơ
Tôi nghĩ bạn đã đoán được tại sao phương thức tọa độ lại được gọi như vậy rồi? Đúng vậy, nó có tên đó vì nó không hoạt động với đối tượng hình học, và với họ đặc điểm số(tọa độ). Và bản thân phép biến đổi, cho phép chúng ta chuyển từ hình học sang đại số, bao gồm việc giới thiệu một hệ tọa độ. Nếu hình ban đầu phẳng thì tọa độ là hai chiều, còn nếu hình ban đầu là ba chiều thì tọa độ là ba chiều. Trong bài này chúng ta chỉ xét trường hợp hai chiều. Và mục tiêu chính của bài viết là hướng dẫn các bạn cách sử dụng một số kỹ thuật cơ bản phương pháp tọa độ (đôi khi chúng tỏ ra hữu ích khi giải các bài toán về phép đo mặt phẳng trong Phần B của Kỳ thi Thống nhất). Hai phần tiếp theo về chủ đề này được dành để thảo luận về các phương pháp giải bài toán C2 (bài toán lập thể).
Sẽ hợp lý ở đâu khi bắt đầu thảo luận về phương pháp tọa độ? Có lẽ là từ khái niệm hệ tọa độ. Hãy nhớ lại lần đầu tiên bạn gặp cô ấy. Đối với tôi, dường như ở lớp 7, khi bạn học về sự tồn tại hàm tuyến tính, Ví dụ. Hãy để tôi nhắc bạn rằng bạn đã xây dựng nó từng điểm một. Bạn có nhớ? Bạn đã chọn số tùy ý, thay thế nó vào công thức và tính toán theo cách này. Ví dụ: nếu, thì, nếu, thì, v.v. Cuối cùng bạn đã nhận được gì? Và bạn đã nhận được điểm có tọa độ: và. Tiếp theo, bạn vẽ một “chữ thập” (hệ tọa độ), chọn thang đo trên đó (bạn sẽ có bao nhiêu ô dưới dạng một đoạn đơn vị) và đánh dấu các điểm bạn thu được trên đó, sau đó bạn nối chúng bằng một đường thẳng; đường thẳng là đồ thị của hàm số.
Ở đây có một số điểm cần được giải thích chi tiết hơn cho bạn:
1. Bạn chọn một đoạn duy nhất vì lý do thuận tiện, sao cho mọi thứ đều đẹp và gọn trong bản vẽ.
2. Chấp nhận trục đi từ trái sang phải, trục đi từ dưới lên trên
3. Chúng cắt nhau vuông góc và giao điểm của chúng được gọi là gốc tọa độ. Nó được chỉ định bởi một lá thư.
4. Khi viết tọa độ của một điểm, ví dụ, bên trái trong ngoặc đơn là tọa độ của điểm dọc theo trục và bên phải, dọc theo trục. Đặc biệt, nó đơn giản có nghĩa là tại thời điểm
5. Để thiết lập bất kỳ điểm nào trên trục tọa độ, bạn cần cho biết tọa độ của nó (2 số)
6. Với bất kỳ điểm nào nằm trên trục,
7. Với mọi điểm nằm trên trục,
8. Trục được gọi là trục x
9. Trục được gọi là trục y
Bây giờ hãy cùng làm điều đó với bạn bước tiếp theo: Hãy đánh dấu hai điểm. Hãy kết nối hai điểm này với một đoạn. Và chúng ta sẽ đặt mũi tên như thể chúng ta đang vẽ một đoạn từ điểm này sang điểm khác: nghĩa là chúng ta sẽ làm cho đoạn của mình được định hướng!
Bạn có nhớ một đoạn định hướng khác được gọi là gì không? Đúng vậy, nó được gọi là vector!
Vì vậy, nếu chúng ta kết nối dấu chấm với dấu chấm, và điểm đầu sẽ là điểm A, và điểm cuối sẽ là điểm B, thì chúng ta nhận được một vectơ. Bạn cũng đã làm công việc này vào năm lớp 8, nhớ không?
Hóa ra các vectơ, giống như các điểm, có thể được biểu thị bằng hai số: những số này được gọi là tọa độ vectơ. Câu hỏi: Theo bạn, chỉ cần biết tọa độ điểm đầu và điểm cuối của một vectơ là đủ để tìm tọa độ của nó phải không? Hóa ra là có! Và việc này được thực hiện rất đơn giản:
Do đó, vì trong một vectơ, điểm là điểm đầu và điểm là điểm cuối nên vectơ có tọa độ sau:
Ví dụ: nếu thì tọa độ của vectơ
Bây giờ hãy làm ngược lại, tìm tọa độ của vectơ. Chúng ta cần thay đổi điều gì cho điều này? Có, bạn cần hoán đổi phần đầu và phần cuối: bây giờ phần đầu của vectơ sẽ ở điểm và phần cuối sẽ ở điểm. Sau đó:
Hãy nhìn kỹ, sự khác biệt giữa vectơ và là gì? Sự khác biệt duy nhất của chúng là các dấu hiệu trong tọa độ. Họ là những đối lập. Thực tế này thường được viết như thế này:
Đôi khi, nếu không nói rõ điểm nào là đầu và điểm nào là điểm cuối của vectơ thì vectơ được ký hiệu bằng nhiều hơn hai bằng chữ in hoa và một chữ thường, ví dụ: , v.v.
Bây giờ một chút luyện tập và tìm tọa độ của các vectơ sau:
Bài kiểm tra:
Bây giờ hãy giải một bài toán khó hơn một chút:
Một vectơ có điểm bắt đầu tại một điểm có co-or-di-na-you. Tìm các điểm abs-cis-su.
Tất cả đều khá tầm thường: Gọi là tọa độ của điểm. Sau đó
Tôi đã biên soạn hệ thống dựa trên định nghĩa tọa độ vectơ là gì. Khi đó điểm có tọa độ. Chúng tôi quan tâm đến abscissa. Sau đó
Trả lời:
Bạn có thể làm gì khác với vectơ? Vâng, hầu hết mọi thứ đều giống như với số thông thường(ngoại trừ việc bạn không thể chia, nhưng bạn có thể nhân theo hai cách, một trong số đó chúng ta sẽ thảo luận ở đây sau)
- Các vectơ có thể được thêm vào nhau
- Các vectơ có thể được trừ khỏi nhau
- Các vectơ có thể được nhân (hoặc chia) với một số khác 0 tùy ý
- Các vectơ có thể nhân với nhau
Tất cả các hoạt động này có một biểu diễn hình học rất rõ ràng. Ví dụ: quy tắc tam giác (hoặc hình bình hành) để cộng và trừ:
Một vectơ giãn ra, co lại hoặc đổi hướng khi nhân hoặc chia cho một số:
Tuy nhiên, ở đây chúng ta sẽ quan tâm đến câu hỏi điều gì xảy ra với tọa độ.
1. Khi cộng (trừ) hai vectơ, ta cộng (trừ) từng phần tử tọa độ của chúng. Đó là:
2. Khi nhân (chia) một vectơ với một số, tất cả tọa độ của nó đều được nhân (chia) với số này:
Ví dụ:
· Tìm số lượng co-or-di-nat thế kỷ-to-ra.
Trước tiên chúng ta hãy tìm tọa độ của từng vectơ. Cả hai đều có cùng một nguồn gốc - điểm gốc. Kết thúc của họ là khác nhau. Sau đó, . Bây giờ hãy tính tọa độ của vectơ Khi đó tổng tọa độ của vectơ thu được bằng nhau.
Trả lời:
Bây giờ hãy tự mình giải quyết vấn đề sau:
· Tìm tổng tọa độ vectơ
Chung ta kiểm tra:
Bây giờ chúng ta xét bài toán sau: chúng ta có hai điểm trên mặt phẳng tọa độ. Làm thế nào để tìm thấy khoảng cách giữa chúng? Hãy để điểm đầu tiên, và điểm thứ hai. Hãy để chúng tôi biểu thị khoảng cách giữa chúng bằng. Chúng ta hãy thực hiện bản vẽ sau cho rõ ràng:
Những gì tôi đã làm? Trước hết, tôi kết nối dấu chấm và, một cũng đã vẽ một đường thẳng từ điểm, song song với trục, và từ điểm tôi vẽ một đường thẳng song song với trục. Chúng có giao nhau tại một điểm, tạo thành một hình đáng chú ý không? Có gì đặc biệt ở cô ấy? Vâng, bạn và tôi biết hầu hết mọi thứ về tam giác vuông. Vâng, chắc chắn là định lý Pythagore. Đoạn cần thiết là cạnh huyền của tam giác này và các đoạn là chân. Tọa độ của điểm là gì? Có, chúng rất dễ tìm thấy từ hình ảnh: Vì các đoạn song song với các trục và tương ứng, độ dài của chúng rất dễ tìm: nếu chúng ta biểu thị độ dài của các đoạn tương ứng bằng, thì
Bây giờ chúng ta hãy sử dụng định lý Pythagore. Chúng ta biết chiều dài của chân, chúng ta sẽ tìm thấy cạnh huyền:
Do đó, khoảng cách giữa hai điểm là gốc của tổng bình phương chênh lệch so với tọa độ. Hoặc - khoảng cách giữa hai điểm là độ dài đoạn nối chúng. Dễ dàng nhận thấy khoảng cách giữa các điểm không phụ thuộc vào hướng. Sau đó:
Từ đây chúng ta rút ra ba kết luận:
Hãy luyện tập một chút về cách tính khoảng cách giữa hai điểm:
Ví dụ: nếu thì khoảng cách giữa và bằng
Hoặc chúng ta đi cách khác: tìm tọa độ của vectơ
Và tìm độ dài của vectơ:
Như bạn có thể thấy, đó là điều tương tự!
Bây giờ hãy tự mình thực hành một chút:
Nhiệm vụ: tìm khoảng cách giữa các điểm được chỉ định:
Chung ta kiểm tra:
Dưới đây là một vài vấn đề khác khi sử dụng cùng một công thức, mặc dù chúng nghe có vẻ hơi khác một chút:
1. Tìm bình phương chiều dài của mí mắt.
2. Tìm bình phương chiều dài mí mắt
Tôi nghĩ bạn đã giải quyết chúng mà không gặp khó khăn gì? Chung ta kiểm tra:
1. Và đây là để chú ý) Chúng ta đã tìm thấy tọa độ của các vectơ trước đó: . Khi đó vectơ có tọa độ. Bình phương chiều dài của nó sẽ bằng:
2. Tìm tọa độ của vectơ
Khi đó bình phương độ dài của nó là
Không có gì phức tạp phải không? Số học đơn giản, không có gì hơn.
Các vấn đề sau đây không thể được phân loại một cách rõ ràng; chúng thiên về sự uyên bác nói chung và khả năng vẽ những bức tranh đơn giản.
1. Tìm sin của góc ở góc so với vết cắt, nối điểm với trục hoành.
Và
Chúng ta sẽ tiếp tục như thế nào đây? Chúng ta cần tìm sin của góc giữa và trục. Chúng ta có thể tìm sin ở đâu? Đúng vậy, trong tam giác vuông. Vậy chúng ta cần phải làm gì? Hãy xây dựng hình tam giác này!
Vì tọa độ của điểm là và nên đoạn thẳng bằng và đoạn thẳng. Chúng ta cần tìm sin của góc. Hãy để tôi nhắc bạn rằng sin là một tỷ lệ chân đối diệnđến cạnh huyền thì
Chúng ta còn lại gì để làm? Tìm cạnh huyền. Bạn có thể thực hiện việc này theo hai cách: sử dụng định lý Pythagore (đã biết hai chân!) hoặc sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm (trên thực tế, điều này tương tự như phương pháp đầu tiên!). Tôi sẽ đi theo cách thứ hai:
Trả lời:
Nhiệm vụ tiếp theo sẽ có vẻ dễ dàng hơn với bạn. Cô ấy đang ở tọa độ của điểm.
Nhiệm vụ 2. Từ điểm per-pen-di-ku-lyar được hạ xuống trục ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.
Hãy vẽ một bức tranh:
Đáy của đường vuông góc là điểm tại đó nó cắt trục x (trục), đối với tôi đây là một điểm. Hình vẽ cho thấy nó có tọa độ: . Chúng tôi quan tâm đến abscissa - nghĩa là thành phần “x”. Cô ấy bình đẳng.
Trả lời: .
Nhiệm vụ 3. Trong điều kiện nhiệm vụ trước đó tính tổng khoảng cách từ điểm đó đến các trục tọa độ.
Nhiệm vụ nói chung là cơ bản nếu bạn biết khoảng cách từ một điểm đến các trục là bao nhiêu. Bạn biết? Tôi hy vọng, nhưng tôi vẫn sẽ nhắc nhở bạn:
Vì vậy, trong bản vẽ của tôi ở trên, tôi đã vẽ một đường vuông góc như vậy chưa? Nó nằm trên trục nào? Đến trục. Và chiều dài của nó là bao nhiêu? Cô ấy bình đẳng. Bây giờ hãy tự vẽ một đường vuông góc với trục và tìm độ dài của nó. Sẽ bình đẳng phải không? Khi đó tổng của chúng bằng nhau.
Trả lời: .
Nhiệm vụ 4. Trong điều kiện của bài 2, hãy tìm tọa độ của điểm điểm đối xứng so với trục abscissa.
Tôi nghĩ bằng trực giác, bạn đã hiểu rõ đối xứng là gì? Nhiều đồ vật có nó: nhiều tòa nhà, bàn, máy bay, nhiều hình học không gian: quả bóng, hình trụ, hình vuông, hình thoi, v.v. Nói một cách đại khái, tính đối xứng có thể được hiểu như sau: một hình gồm có hai (hoặc nhiều) nửa giống hệt nhau. Sự đối xứng này được gọi là đối xứng trục. Vậy trục là gì? Đây chính xác là đường mà hình vẽ có thể được "cắt" thành hai nửa bằng nhau (trong bức tranh này trục đối xứng là thẳng):
Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại nhiệm vụ của chúng ta. Chúng ta biết rằng chúng ta đang tìm một điểm đối xứng qua trục. Khi đó trục này là trục đối xứng. Điều này có nghĩa là chúng ta cần đánh dấu một điểm sao cho trục cắt đoạn đó thành hai phần bằng nhau. Hãy cố gắng tự mình đánh dấu một điểm như vậy. Bây giờ so sánh với giải pháp của tôi:
Nó có diễn ra theo cách tương tự với bạn không? Khỏe! Chúng ta quan tâm đến tọa độ của điểm tìm thấy. Nó bằng nhau
Trả lời:
Bây giờ hãy cho tôi biết, sau khi suy nghĩ trong vài giây, trục hoành của một điểm đối xứng với điểm A so với tọa độ sẽ như thế nào? Câu trả lời của bạn là gì? Câu trả lời chính xác: .
TRONG trường hợp chung quy tắc có thể được viết như thế này:
Một điểm đối xứng với một điểm so với trục hoành có tọa độ:
Một điểm đối xứng với một điểm so với trục hoành có tọa độ:
Chà, bây giờ nó hoàn toàn đáng sợ nhiệm vụ: tìm tọa độ của một điểm đối xứng với điểm đó so với gốc tọa độ. Trước tiên bạn hãy tự suy nghĩ và sau đó nhìn vào bức vẽ của tôi!
Trả lời:
Hiện nay bài toán hình bình hành:
Nhiệm vụ 5: Các điểm xuất hiện ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Tìm or-di-trên-điểm đó.
Bạn có thể giải quyết vấn đề này bằng hai cách: logic và phương pháp tọa độ. Trước tiên, tôi sẽ sử dụng phương pháp tọa độ, sau đó tôi sẽ cho bạn biết cách giải theo cách khác.
Rõ ràng là trục hoành của điểm bằng nhau. (nằm trên đường vuông góc kẻ từ điểm đó đến trục hoành). Chúng ta cần tìm tọa độ. Hãy lợi dụng thực tế là hình của chúng ta là hình bình hành, điều này có nghĩa là như vậy. Hãy tìm độ dài của đoạn bằng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm:
Chúng ta hạ thấp đường vuông góc nối điểm với trục. Tôi sẽ biểu thị điểm giao nhau bằng một chữ cái.
Độ dài của đoạn bằng nhau. (hãy tự tìm ra vấn đề mà chúng ta đã thảo luận ở điểm này), sau đó chúng ta sẽ tìm độ dài của đoạn bằng định lý Pythagore:
Độ dài của một đoạn trùng khớp chính xác với tọa độ của nó.
Trả lời: .
Một giải pháp khác (tôi sẽ chỉ đưa ra một hình ảnh minh họa nó)
Tiến độ giải quyết:
1. Ứng xử
2. Tìm tọa độ điểm và độ dài
3. Chứng minh điều đó.
Một cái khác vấn đề về độ dài đoạn:
Các điểm xuất hiện trên đỉnh của hình tam giác. Tìm độ dài đường trung tuyến của nó, song song.
Bạn có nhớ nó là gì không đường giữa Tam giác? Sau đó, nhiệm vụ này là cơ bản đối với bạn. Nếu bạn không nhớ thì tôi nhắc bạn: đường trung bình của tam giác là đường nối các trung điểm cạnh đối diện. Nó song song với đáy và bằng một nửa đáy.
Cơ sở là một phân khúc. Chúng tôi đã phải tìm độ dài của nó sớm hơn, nó bằng nhau. Khi đó chiều dài của đường giữa lớn bằng một nửa và bằng nhau.
Trả lời: .
Nhận xét: vấn đề này có thể được giải quyết theo cách khác mà chúng ta sẽ đề cập sau.
Trong lúc chờ đợi, đây là một số bài toán dành cho bạn, hãy thực hành chúng. Chúng rất đơn giản nhưng giúp bạn sử dụng phương pháp tọa độ tốt hơn!
1. Điểm là đỉnh cao của tra-pe-tions. Tìm độ dài đường trung tuyến của nó.
2. Điểm và ngoại hình ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Tìm or-di-trên-điểm đó.
3. Tìm độ dài từ vết cắt, nối điểm và
4. Tìm diện tích phía sau hình màu trên mặt phẳng tọa độ.
5. Một đường tròn có tâm na-cha-le ko-or-di-nat đi qua một điểm. Tìm cô ấy ra-di-us.
6. Tìm-di-te ra-di-us của hình tròn, mô tả-san-noy về góc vuông-no-ka, đỉnh của vật gì đó có co-hoặc -di-na-bạn thật là có trách nhiệm
Các giải pháp:
1. Biết rằng đường trung bình của hình thang bằng nửa tổng hai đáy của nó. Cơ sở bằng nhau và cơ sở. Sau đó
Trả lời:
2. Cách dễ nhất để giải bài toán này là lưu ý rằng (quy tắc hình bình hành). Tính tọa độ vectơ không khó: . Khi thêm vectơ, tọa độ sẽ được thêm vào. Thế thì nó có tọa độ. Điểm cũng có các tọa độ này, vì gốc của vectơ là điểm có tọa độ. Chúng tôi quan tâm đến sắc lệnh. Cô ấy bình đẳng.
Trả lời:
3. Ta thực hiện ngay theo công thức tính khoảng cách giữa hai điểm:
Trả lời:
4. Nhìn vào bức tranh và cho tôi biết vùng tô bóng được “kẹp” vào giữa hai hình nào? Nó được kẹp giữa hai hình vuông. Khi đó diện tích của hình mong muốn bằng diện tích của hình vuông lớn trừ đi diện tích của hình nhỏ. Bên hinh vuông nhỏ là đoạn nối các điểm và có độ dài là
Khi đó diện tích hình vuông nhỏ là
Ta làm tương tự với một hình vuông lớn: cạnh của nó là đoạn thẳng nối các điểm và có độ dài bằng
Khi đó diện tích hình vuông lớn là
Chúng tôi tìm diện tích của hình mong muốn bằng công thức:
Trả lời:
5. Nếu một đường tròn có gốc là tâm và đi qua một điểm thì bán kính của nó sẽ bằng bằng chiều dài phân khúc (hãy vẽ và bạn sẽ hiểu tại sao điều này lại hiển nhiên). Hãy tìm độ dài của đoạn này:
Trả lời:
6. Đã biết bán kính của hình tròn ngoại tiếp một hình chữ nhật bằng một nửa các đường chéo của nó. Hãy tìm chiều dài của một trong hai đường chéo bất kỳ (xét cho cùng, trong hình chữ nhật, chúng bằng nhau!)
Trả lời:
Chà, bạn đã đương đầu được với mọi thứ chưa? Không quá khó để tìm ra nó phải không? Chỉ có một quy tắc ở đây - có thể tạo một bức tranh trực quan và chỉ cần “đọc” tất cả dữ liệu từ nó.
Chúng tôi còn lại rất ít. Thực sự có hai điểm nữa mà tôi muốn thảo luận.
Hãy thử giải quyết vấn đề đơn giản này. Hãy để hai điểm và được đưa ra. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Giải pháp cho vấn đề này như sau: đặt điểm ở giữa mong muốn thì nó có tọa độ:
Đó là: tọa độ của phần giữa của đoạn = giá trị trung bình số học của tọa độ tương ứng của các đầu của đoạn.
Quy tắc này rất đơn giản và thường không gây khó khăn cho học sinh. Hãy xem nó có vấn đề gì và nó được sử dụng như thế nào:
1. Tìm-di-te hay-di-na-tu se-re-di-ny từ-cắt, nối-điểm và
2. Những điểm dường như đứng đầu thế giới. Find-di-te hay-di-na-tu điểm per-re-se-che-niya của dia-go-na-ley của mình.
3. Tìm-di-te abs-cis-su tâm của hình tròn, mô tả-san-noy về hình chữ nhật-no-ka, phần trên của cái gì đó có co-hoặc-di-na-bạn vậy-có trách nhiệm-nhưng.
Các giải pháp:
1. Vấn đề đầu tiên đơn giản là một vấn đề kinh điển. Chúng tôi tiến hành ngay để xác định phần giữa của đoạn. Nó có tọa độ. Thứ tự là bằng nhau.
Trả lời:
2. Dễ dàng nhận thấy tứ giác này là hình bình hành (thậm chí là hình thoi!). Bạn có thể tự chứng minh điều này bằng cách tính độ dài các cạnh và so sánh chúng với nhau. Em biết gì về hình bình hành? Các đường chéo của nó được chia làm đôi bởi điểm giao nhau! Vâng! Vậy điểm giao nhau của các đường chéo là gì? Đây là điểm giữa của bất kỳ đường chéo nào! Tôi sẽ chọn đường chéo nói riêng. Khi đó điểm có tọa độ. Tọa độ của điểm bằng.
Trả lời:
3. Tâm của hình tròn ngoại tiếp hình chữ nhật trùng với tâm nào? Nó trùng với điểm giao nhau của các đường chéo của nó. Bạn biết gì về các đường chéo của hình chữ nhật? Chúng bằng nhau và giao điểm chia chúng làm đôi. Nhiệm vụ đã được giảm xuống nhiệm vụ trước đó. Hãy lấy đường chéo làm ví dụ. Khi đó nếu là tâm của đường tròn ngoại tiếp thì là điểm giữa. Tôi đang tìm tọa độ: Trục hoành bằng nhau.
Trả lời:
Bây giờ các bạn tự luyện tập một chút nhé, mình sẽ chỉ đưa ra đáp án từng vấn đề để các bạn tự kiểm tra.
1. Tìm-di-te ra-di-us của hình tròn, mô tả-san-noy về ba góc-no-ka, đỉnh của vật gì đó có co-or-di -no thưa ông
2. Tìm-di-te hoặc-di-trên-tâm đó của đường tròn, mô tả-san-noy về tam giác-no-ka, các đỉnh của tam giác đó có tọa độ
3. Đường tròn có tâm tại một điểm tiếp xúc với trục ab-ciss là đường tròn như thế nào?
4. Tìm-di-those hoặc-di-on-that điểm đặt lại trục và from-cut, connect-the-point và
Câu trả lời:
Mọi thứ có thành công không? Tôi thực sự hy vọng vào nó! Bây giờ - lần đẩy cuối cùng. Bây giờ hãy đặc biệt cẩn thận. Tài liệu mà tôi sẽ giải thích bây giờ không chỉ liên quan trực tiếp đến nhiệm vụ đơn giảnđến phương pháp tọa độ ở phần B, nhưng cũng được tìm thấy ở mọi nơi trong bài toán C2.
Lời hứa nào tôi chưa giữ? Hãy nhớ những phép toán nào trên vectơ mà tôi đã hứa sẽ giới thiệu và những phép toán nào cuối cùng tôi đã giới thiệu? Bạn có chắc là tôi không quên điều gì không? Quên! Tôi quên giải thích ý nghĩa của phép nhân vector.
Có hai cách để nhân một vectơ với một vectơ. Tùy thuộc vào phương pháp đã chọn, chúng ta sẽ nhận được các đối tượng có tính chất khác nhau:
Sản phẩm chéo được thực hiện khá khéo léo. Chúng ta sẽ thảo luận về cách thực hiện và lý do cần thiết trong bài viết tiếp theo. Và trong phần này chúng ta sẽ tập trung vào tích vô hướng.
Có hai cách cho phép chúng ta tính toán:
Như bạn đoán, kết quả sẽ giống nhau! Vì vậy, trước tiên hãy xem xét phương pháp đầu tiên:
Chấm sản phẩm qua tọa độ
Tìm: - ký hiệu được chấp nhận chung cho tích vô hướng
Công thức tính toán như sau:
Đó là tích vô hướng= tổng tích các tọa độ vectơ!
Ví dụ:
Tìm-di-te
Giải pháp:
Hãy tìm tọa độ của từng vectơ:
Chúng tôi tính tích vô hướng bằng công thức:
Trả lời:
Hãy xem, hoàn toàn không có gì phức tạp!
Chà, bây giờ hãy tự mình thử:
· Tìm một nghiệm vô hướng của nhiều thế kỷ và
Bạn đã quản lý được chưa? Có lẽ bạn nhận thấy một đánh bắt nhỏ? Hãy kiểm tra:
Tọa độ vector như trong nhiệm vụ trước đó! Trả lời: .
Ngoài tọa độ, còn có một cách khác để tính tích vô hướng, đó là thông qua độ dài của vectơ và cosin của góc giữa chúng:
Biểu thị góc giữa các vectơ và.
Nghĩa là, tích vô hướng bằng tích độ dài của các vectơ và cosin của góc giữa chúng.
Tại sao chúng ta cần công thức thứ hai này, nếu chúng ta có công thức thứ nhất, đơn giản hơn nhiều, ít nhất là không có cosin trong đó. Và nó cần thiết để từ công thức thứ nhất và thứ hai, bạn và tôi có thể suy ra cách tìm góc giữa các vectơ!
Hãy nhớ công thức tính độ dài của vectơ!
Sau đó, nếu tôi thay thế dữ liệu này vào công thức tích vô hướng, tôi nhận được:
Nhưng theo cách khác:
Vậy bạn và tôi đã nhận được gì? Bây giờ chúng ta đã có công thức tính góc giữa hai vectơ! Đôi khi nó cũng được viết như thế này cho ngắn gọn:
Tức là thuật toán tính góc giữa các vectơ như sau:
- Tính tích vô hướng thông qua tọa độ
- Tìm độ dài của các vectơ và nhân chúng
- Chia kết quả của điểm 1 cho kết quả của điểm 2
Hãy thực hành với các ví dụ:
1. Tìm góc giữa mí mắt và. Đưa ra câu trả lời bằng grad-du-sah.
2. Trong điều kiện của bài toán trước, hãy tìm cosin giữa các vectơ
Hãy làm điều này: Tôi sẽ giúp bạn giải quyết vấn đề đầu tiên và cố gắng tự giải quyết vấn đề thứ hai! Đồng ý? Vậy thì hãy bắt đầu!
1. Những vectơ này là bạn cũ của chúng ta. Chúng tôi đã tính tích vô hướng của họ và nó bằng nhau. Tọa độ của chúng là: , . Sau đó, chúng tôi tìm thấy độ dài của chúng:
Sau đó, chúng ta tìm cosin giữa các vectơ:
Cosin của góc là gì? Đây là góc.
Trả lời:
Bây giờ hãy tự mình giải quyết vấn đề thứ hai rồi so sánh! Tôi sẽ chỉ đưa ra một giải pháp rất ngắn gọn:
2. có tọa độ, có tọa độ.
Gọi là góc giữa các vectơ và sau đó
Trả lời:
Cần lưu ý các bài toán trực tiếp trên vectơ và phương pháp tọa độ ở phần B Bài thi khá hiếm. Tuy nhiên, phần lớn các bài toán C2 có thể được giải dễ dàng bằng cách đưa ra hệ tọa độ. Vì vậy, bạn có thể coi bài viết này là nền tảng, trên cơ sở đó chúng ta sẽ tạo ra những công trình khá thông minh mà chúng ta sẽ cần để giải quyết các vấn đề phức tạp.