Багаточлен називається сума одночленів, тобто творів цифр і змінних. Працювати з ним зручніше, оскільки найчастіше перетворення висловлювання на многочлен дозволяє значно спростити його.
Інструкція
Розкрийте всі дужки виразу. Для цього скористайтеся формулами, наприклад (а+b)^2=a^2+2ab+b^2. Якщо ви не знаєте формул або їх важко застосувати до цього виразу, розкривайте дужки послідовно. Для цього помножуйте перший член першого виразу на кожен другий другий вираз, потім другий член першого виразу на кожен член другого і т.д. В результаті всі елементи обох дужок будуть перемножені між собою.
Якщо перед вами три вирази в дужках, спершу перемножте перші два, залишаючи третій вираз не зворушеним. Спростивши результат, який у результаті перетворення перших дужок, перемножте його з третім виразом.
Уважно слідкуйте за дотриманням знаків перед множниками-одночленами. Якщо ви перемножуєте два члени з одним знаком (наприклад, обидва позитивні або обидва негативні), одночлен буде зі знаком «+». Якщо один член має перед собою «-», не забудьте перенести його на твір.
Наведіть усі одночлени до стандартного вигляду. Тобто переставте місцями множники всередині та спростіть. Наприклад, вираз 2х*(3,5х) дорівнюватиме (2*3,5)*х*х=7х^2.
Коли всі одночлени будуть стандартизовані, спробуйте спростити багаточлен. Для цього згрупуйте члени, які мають однакову частину зі змінними, наприклад, (2х+5х-6х)+(1-2). Спростивши вираз, ви отримаєте х-1.
Зверніть увагу на наявність параметрів у виразі. Іноді спрощення багаточлена необхідно робити так, ніби параметр є числом.
Щоб перетворити на багаточлен вираз, що містить корінь, виведіть під ним такий вираз, який буде зведений у квадрат. Наприклад, скористайтеся формулою a^2+2ab+b^2 =(а+b)^2, потім заберіть знак кореня разом із парним ступенем. Якщо позбутися знака кореня неможливо, перетворити вираз у багаточлен стандартного вигляду не вдасться.
"Удосконалення обчислювальних навичок" - Склад числа. Повторення дій. множення. Додавання. Правила розкриття дужок. Додавання негативних чисел. Віднімання. Додавання звичайних дробів. Додавання чисел з різними знаками. Вдосконалення обчислювальних навичок. Віднімання однозначного числа. Опорна схема. Дія у стовпчик. Множення одночлена на багаточлен.
"Різниця квадратів чисел" - Зведіть у квадрат. Формула скороченого множення. Різниця квадратів двох виразів. Робота з таблицею. Різниця квадратів. Геометричний змістформули Як можна прочитати формулу? Виконайте множення. Чи впливає порядок запису дужок на результат. Формула (a+b)(a-b)=a2-b2. Твір різниці двох виразів та його суми.
«Умноження многочлена на многочлен» - Правило множення многочлена на многочлен. Гра «Відкрий картинку». Відкрий картинку. Кожен член першого багаточлена по черзі множити за кожен член другого многочлена. Розглянемо твір найпростіших багаточленів, саме двочленів. В одного многочлена m членів, а в іншого n членів. План уроку.
«Розкладання многочлена на множники» - Попереднє перетворення. Провести класифікацію даних багаточленів за способом розкладання множників. Винесення загального множника за дужки. Застосування формул скороченого множення. Метод виділення повного квадрата. Тестор. Відповіді: Схема уроку: Конфуцій. Формули скороченого множення. Спосіб угруповання.
«Перетворення цілого вираження на многочлен» - Які з виразів є цілими: Прикладами цілих виразів є такі вирази: Цілі уроку: Вправляти учнів у приведенні подібних доданків. Багаточлени і, зокрема, одночлени є цілими виразами. Розвивати обчислювальні навички учнів. Ввести поняття цілого виразу. Перетворення цілих виразів.
«Урок Формули скороченого множення» - Мета уроку: Повторити та узагальнити практичні навички та вміння на тему «Формули скороченого множення». Тема уроку: ФОРМУЛИ СКОРОЧЕНОГО ПОМНОЖЕННЯ. Підготуватися до майбутньої контрольної роботи. Завдання: Сторони першого квадрата на 1 см більше сторіндругого квадрата, а площа першого квадрата на 9см2 більше площідругий квадрат.
Всього у темі 24 презентації
Серед різних виразів, що розглядаються в алгебрі, важливе місце займають суми одночленів. Наведемо приклади таких виразів:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Суму одночленів називають багаточленом. Доданки в многочлен називають членами многочлена. Одночлени також відносять до многочленів, вважаючи одночлен, що складається з одного члена.
Наприклад, багаточлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можна спростити.
Представимо всі складові у вигляді одночленів стандартного вигляду:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Наведемо в отриманому багаточлені такі члени:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Вийшов багаточлен, усі члени якого є одночленами стандартного виду, причому серед них немає подібних. Такі багаточлени називають багаточленами стандартного вигляду.
За ступінь багаточленастандартного виду приймають найбільший із ступенів його членів. Так, двочлен \(12a^2b - 7b \) має третій ступінь, а тричлен \(2b^2 -7b + 6 \) - другий.
Зазвичай члени многочленів стандартного виду, що містять одну змінну, мають у своєму розпорядженні в порядку зменшення показників її ступеня. Наприклад:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Суму кількох багаточленів можна перетворити (спростити) на багаточлен стандартного виду.
Іноді члени багаточлена потрібно розбити на групи, укладаючи кожну групу на дужки. Оскільки укладання в дужки - це перетворення, зворотне розкриття дужок, то легко сформулювати правила розкриття дужок:
Якщо перед дужками ставиться знак «+», то члени, які укладаються у дужки, записуються з тими самими знаками.
Якщо перед дужками ставиться знак "-", то члени, що укладаються в дужки, записуються з протилежними знаками.
Перетворення (спрощення) твору одночлена та багаточлена
За допомогою розподільної властивостімноження можна перетворити (спростити) на багаточлен твір одночлена та багаточлена. Наприклад:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Твір одночлена та багаточлена тотожно дорівнює сумі творів цього одночлена та кожного з членів багаточлена.
Цей результат зазвичай формулюють як правила.
Щоб помножити одночлен на багаточлен, треба помножити цей одночлен кожен із членів многочлена.
Ми вже не раз використовували це правило для множення на суму.
Добуток багаточленів. Перетворення (спрощення) твору двох багаточленів
Взагалі, добуток двох багаточленів тотожно дорівнює сумі добутку кожного члена одного багаточлена і кожного члена іншого.
Зазвичай користуються наступним правилом.
Щоб помножити багаточлен на багаточлен, треба кожен член одного помножити на кожен член іншого і скласти отримані твори.
Формули скороченого множення. Квадрати суми, різниці та різниця квадратів
З деякими виразами в алгебраїчних перетворенняхдоводиться мати справу частіше, ніж із іншими. Мабуть, найчастіше зустрічаються вирази \((a + b)^2, \;(a - b)^2 \) і \(a^2 - b^2 \), тобто квадрат суми, квадрат різниці і різницю квадратів. Ви помітили, що назви зазначених виразів як би не закінчені, наприклад, \((a + b)^2 \) - це, звичайно, не просто квадрат суми, а квадрат суми а і b. Однак квадрат суми а і b зустрічається не так часто, як правило, замість букв а і b в ньому виявляються різні, іноді досить складні вирази.
Вирази \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) неважко перетворити (спростити) на багаточлени стандартного виду, власне, ви вже зустрічалися з таким завданням при множенні багаточленів:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Отримані тотожності корисно запам'ятати та застосовувати без проміжних викладок. Допомагають цьому короткі словесні формулювання.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суми дорівнює сумі квадратів та подвоєного добутку.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - Квадрат різниці дорівнює сумі квадратів без подвоєного добутку.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - Різниця квадратів дорівнює добутку різниці на суму.
Ці три тотожності дозволяють у перетвореннях замінювати свої ліві частини правими і назад - праві частини лівими. Найважче при цьому - побачити відповідні вирази та зрозуміти, чим у них замінені змінні а та b. Розглянемо кілька прикладів використання формул скороченого множення.
Багаточлен називається сума одночленів, тобто творів цифр і змінних. Працювати з ним зручніше, оскільки частіше кожного реформування висловлювання на многочлен дозволяє значно спростити його.
Інструкція
1. Розкрийте всі дужки виразу. Для цього скористайтесь формулами, скажімо, (а+b)^2=a^2+2ab+b^2. Якщо ви не знаєте формул або їх складно застосувати до цього виразу, розкривайте дужки ступінчасто. Для цього множте 1-й член першого виразу на весь член другого виразу, після цього 2-й член першого виразу на весь другий член і т.д. У результаті всі елементи обох дужок будуть перемножені між собою.
2. Якщо перед вами три вирази в дужках, спочатку перемножте перші дві, залишаючи третій вираз не зворушеним. Спростивши результат, що у результаті реформування перших дужок, перемножте його з третім виразом.
3. Спостерігайте за дотриманням знаків перед множниками-одночленами. Якщо ви перемножуєте два члени з одним знаком (скажімо, обидва правильні або обидва негативні), одночлен буде зі знаком «+». Якщо один член має перед собою «-», не забудьте перенести його на твір.
4. Наведіть усі одночлени до стандартного вигляду. Тобто переставте місцями множники всередині та спростіть. Скажімо, вираз 2х*(3,5х) дорівнюватиме (2*3,5)*х*х=7х^2.
5. Коли всі одночлени будуть стандартизовані, спробуйте спростити багаточлен. Для цього згрупуйте члени, які мають ідентичну частину зі змінними, скажімо, (2х+5х-6х)+(1-2). Спростивши вираз, ви отримаєте х-1.
6. Зверніть увагу на наявність параметрів у виразі. Зрідка полегшення многочлена потрібно виготовляти так, наче параметр є числом.
7. Щоб перетворити на многочлен вираз, що містить корінь, виведіть під ним такий вираз, який буде зведений у квадрат. Скажімо, скористайтеся формулою a^2+2ab+b^2 =(а+b)^2, після чого заберіть знак кореня разом із парним ступенем. Якщо позбутися знака кореня неможливо, перетворити вираз у многочлен стандартного вигляду не вдасться.
Короткість, як кажуть, сестра дару. Кожному хочеться блиснути задарма, але його сестра – штука важка. Феноменальні думки чомусь самі собою одягаються в складнопідрядні пропозиціїз більшістю дієпричетних циклів. Втім у ваших силах спростити свої пропозиції і зробити їх виразними та доступними кожним.
Інструкція
1. Щоб полегшити адресату (чи слухач чи читач) життя, постарайтеся замінювати причетні і дієпричетні цикли короткими підрядними пропозиціями, тільки якщо вищевказаних циклів занадто багато в одному реченні. "Кіт, що прийшов додому, щойно з'їв мишу, голосно муркочучи, пестився до власника, намагаючись зазирнути йому в очі, вірячи випросити рибу, принесену з магазину" - таке не піде. Розбийте подібну конструкцію на кілька частин, не поспішайте і не намагайтеся сказати все одним реченням, і буде вам щастя.
2. Якщо ви задумали талановитий вислів, але в ньому виявилося дуже багато додаткових пропозицій(тим більше з одним союзом), то краще розбити висловлювання на кілька окремих пропозицій або опустити якийсь елемент. "Ми вирішили, що він розповість Марині Василівні, що Катя скаже Віті, що ..." - Можна продовжувати безмежно. Своєчасно зупиніться і згадайте про ту людину, хто це читатиме або вислуховуватиме.
3. Втім, підводні камені криються не тільки в структурі пропозиції. Зверніть увагу на лексику. Іншомовні слова, довгі терміни, слова, почерпнуті з художньої літератури 19 століття – все це лише ускладнить сприйняття. Потрібно уточнити собі, якій аудиторії ви складаєте текст: технарі, фінально, усвідомлюють і важкі терміни, і специфічні слова; але якщо ви ті самі слова запропонуєте вчительці літератури, навряд чи вона вас зрозуміє.
4. Дар – велика річ. Якщо ви геніальні (а людей без здібностей не буває), перед вами відкривається безліч доріг. Але дар полягає не в труднощі, а простоті, як не дивно. Будьте простіше, і ваші дари будуть виразні та доступні кожному.
Відео на тему
Навіть найважче рівняння перестає виглядати лякаючим, якщо привести його до вигляду, з яким ви вже стикалися. Особливо простим методом, Той, що рятує у будь-якій обстановки, є приведення багаточленів до стандартного вигляду. Це початкова точка, з якої можна рухатися далі до рішення.
Вам знадобиться
- аркуш паперу
- кольорові ручки
Інструкція
1. Запам'ятайте стандартну форму многочлена, щоб знати, що ви повинні отримати в результаті. Важливість має навіть порядок запису: першими повинні стояти члени більшим ступенем. Крім того, прийнято спочатку записувати незнайомі, позначені літерами, що стоять на початку алфавіту.
2. Запишіть початковий багаточлен і приступайте до пошуку подібних доданків. Це члени цього рівняння, що мають ідентичну буквену частину або (і) цифрову. Для більшої наочності наголошуйте виявлені пари. Зверніть увагу, що подібність не означає ідентичність, - головне, щоб один член пари містив у собі другий. Так, подібними будуть члени ху, хy2z і хуz - вони мають загальну частину у вигляді твору х і у. Це ж стосується і статечних виразів.
3. Позначайте різні подібні члени по-різному. Для цього класніше підкреслюйте одинарними, подвійними та потрійними лініями, використовуйте колір та інші форми ліній.
4. Виявивши всі подібні члени, починайте їх комбінування. Для цього у виявлених парах винесіть подібні члени за дужки. Не забувайте, що в стандартній форміу многочлена немає подібних членів.
5. Перевірте, чи не залишилося у вас ідентичних елементів запису. У ряді випадків у вас можуть знову з'явитися подібні члени. Повторіть операцію з їх комбінуванням.
6. Прослідкуйте за виконанням другого дані, потрібного для запису многочлена у стандартній формі: весь його учасник має бути зображений у вигляді одночлена у стандартному вигляді: на першому місці – числовий множник, на другому – змінна або змінні, що йдуть у вже зазначеному порядку. При цьому пріоритет має буквена послідовність, що задається алфавітом. Зниження ступенів враховується у другу чергу. Так, стандартним виглядомодночлена є запис 7xy2, у той час як y27x, x7y2, y2x7, 7y2x, xy27 не відповідають вимогам.
Відео на тему
Математична наука осягає різні конструкції, Послідовність чисел, відносин між ними, складання рівнянь та їх вирішення. Це формальна мова, Яким можна чітко описати наближені до ідеальних характеристики справжніх об'єктів, осяганих інших областях науки. Однією з таких конструкцій є багаточлен.
Інструкція
1. Багаточлен чи поліном (від грецьк. «полі» – багато і лат. «номен» – ім'я) – клас елементарних функційкласичної алгебри та алгебраїчної геометрії. Це функція однієї змінної, яка має вигляд F(x) = c_0 + c_1*x + … + c_n*x^n, де c_i – фіксовані показники, x – змінна.
2. Багаточлени використовують у багатьох розділах, зокрема розгляді нуля, негативних і комплексних чисел, теорії груп, кілець, вузлів, множин тощо. Застосування поліноміальних обчислень значно полегшує вираження властивостей різних об'єктів.
3. Основні визначення многочлена: Кожне доданок полінома називається одночленом чи мономом. Многочлен, що з 2-х одночленів, називають двочленом чи біномом. Коефіцієнти полінома - матеріальні або комплексні числа. Якщо старший показник дорівнює 1 то багаточлен називають унітарним (наведеним). Ступені змінної у кожному одночлені – цілі невід'ємні числа, максимальний ступіньвизначає ступінь многочлена, яке повним ступенем називається ціле число, рівну сумівсіх ступенів. Одночлен, відповідний нульового ступеня, називається вільним членом. Багаточлен, всі одночлени якого мають ідентичну повний ступінь, називається однорідним.
4. Деякі часто використовувані багаточлени названі на прізвище вченого, який їх визначив, а також описав функції, які вони задають. Скажімо, Біном Ньютона - це формула для розкладання полінома 2-х змінних на окремі складові для обчислення ступенів. Це знамениті з шкільної програмизаписи квадратів суми та різниці (a + b)^2 – a^2 + 2*a*b + b^2, (a – b)^2 = a^2 – 2*a*b + b^2 та різниця квадратів (a 2 - b 2) = (a - b) * (a + b).
5. Якщо допустити у записі многочлена негативні ступеня, то вийде многочлен чи ряд Лорана; многочлен Чебишева застосовується теоретично наближень; багаточлен Ерміта – теоретично ймовірностей; Лагранжа – для чисельного інтегруваннята інтерполяції; Тейлора – при апроксимації функції тощо.
Зверніть увагу!
Біном Ньютона часто згадують у книгах («Майстер і Маргарита») та фільмах («Сталкер»), коли герої вирішують математичні завдання. Цей термінна слуху, тому вважається найвідомішим багаточленом.
Реформування висловів найчастіше проводиться з метою їх полегшення. Для цього застосовуються особливі співвідношення, а також правила скорочення та приведення подібних.
Вам знадобиться
- - Дії з дробами;
- - Формули скороченого множення;
- - Калькулятор.
Інструкція
1. Найпростішим реформуванням є приведення подібних. Якщо є кілька доданків, які є одночленами з ідентичними співмножниками, показник при них можна скласти, з урахуванням знаків, що стоять перед цими показниками. Скажімо, вираз 2 n-4n+6n-n=3 n.
2. Якщо ж ідентичні співмножники мають різні ступені, подібним чином звести подібні не припустимо. Групуйте лише ті показники, які мають при собі співмножники з ідентичними ступенями. Скажімо, спростіть вираз 4 k?-6 k+5 k?-5 k?+k-2 k?=3 k?-k?-5 k.
3. Якщо є така можливість, використовуйте формули скороченого множення. До особливо відомим відносяться куб і квадрат суми або різниці двох чисел. Вони є окремий випадокбінома Ньютона. До формул скороченого множення також відносять різницю квадратів 2-х чисел. Скажімо, щоб визначити значення виразу 625-1150+529=(25-23)?=4. Або 1296-576 = (36 +24) (36-24) = 720.
4. Коли необхідно перетворити вираз, яке являє собою природний дріб, виділіть із чисельника та знаменника все загальний множникі скоротите на нього чисельник та знаменник. Скажімо, скоротите дріб 3 (a+b)/(12 (a?-b?)). Для цього перетворіть її на вигляд 3 (a+b)/(3 4 (a-b) (a+b)). Скоротіть це виразна 3 (a+b), отримайте 1/(4(a-b)).
5. Перетворюючи тригонометричні вирази, використовуйте вестиме тригонометричні тотожності. До них відноситься основна тотожність sin?(x)+cos?(x)=1, а також формули тангенсу та його співвідношення з котангенсом sin(x)/cos(x)=tg(x), 1/ tg(x)= ctg(x). Формули суми різниці аргументів, і навіть кратного аргументу. Скажімо, перетворіть вираз(cos?(x)-sin?(x)) cos?(x) tg(x)= cos(2x) cos?(x) sin(x)/cos(x)= cos(2x) cos(x) sin(x)= cos(2x) cos(x) sin(x) 2/2= cos(2x) sin(2x)/2=cos(2x) sin(2x) 2/4= sin(4x)/4 . Таке виразрозрахувати набагато легше.
Процедура реформування формул використовується у будь-якій науці, що використовує формальну мову математики. Формули складаються із особливих символів, пов'язаних між собою за певними правилами.
Вам знадобиться
- Знання правил математичних тотожних реформ, таблиця математичних тотожностей.
Інструкція
1. Досліджуйте вираз на наявність дробів. Чисельник і знаменник дробу можна помножити чи розділити одне й те саме вираз, позбувшись знаменника. У разі реформування рівняння, перевірте, чи немає у знаменниках змінних. Якщо є - додайте умову, що вираз знаменника не дорівнює нулю. З цього дані виділіть неприпустимі значеннязмінних, тобто обмеження у сфері визначення.
2. Застосуйте правила дій зі ступенями для ідентичних підстав. У результаті зменшиться кількість доданків.
3. Перенесіть доданки, що містять змінну, в одну частину рівняння, які не містять – в іншу. До будь-якої частини рівняння використовуйте математичні тотожності для полегшення.
4. Згрупуйте однорідні доданки. Для цього винесіть загальну змінну за дужки, усередині яких запишіть суму показників з урахуванням символів. Ступінь тієї ж самої змінної розглядається як інша змінна.
5. Перевірте, чи немає у формулі зразків тотожних реформ багаточленів. Скажімо, чи немає в правій чи лівій частині формули різниці квадратів, суми кубів, квадрата різниці, квадрата суми та ін. Якщо є, то замість виявленого зразка підставте його спрощений аналог і знову спробуйте провести угруповання доданків.
6. У разі реформування тригонометричних рівнянь, нерівностей або легко виразів виявіть у них зразки тригонометричних тотожностейі застосуйте спосіб заміни частини виразу тотожним спрощеним виразом. Таке реформування дозволяє позбутися зайвих синусів чи косинусів.
7. Для реформування кутів у всі загальному виглядіабо у радіанній формі скористайтеся формулами приведення. Пізніше реформування обчисліть значення подвійного кутаабо половинного кутав залежності від числа пі.
ВІДДІЛЕННЯ IV.
РОЗКЛАДАННЯ ВИРАЗІВ НА ПРОСТІ МНОЖИКИ.
§ 1.Перетворення многочленів на твір за допомогою формул скороченого множення та поділу.
Якщо всі члени многочлена містять загальний множник, можна розділити весь многочлен цей множник і позначити множення тієї ж множника на отримане многочленное приватне. Від цього даний виразне змінить свого кількісного значення, але набуде форми твору. Наприклад, двочлен аb+ас можна уявити у вигляді а (b+с ).
Таке перетворення форми називається винесенням загального множника за дужки. Виробляючи цю дію, слід дбати виносити.за дужку все, що можна, так щоб у членах приватного, що укладається в дужки, не залишалося більше жодного спільного множника.
Іноді під час винесення за дужку надають загальному миожителю знак мінус. У такому разі члени приватного в дужках пишуться зі знаками, протилежними до тих, які мали перед собою члени. даного багаточлена. Негативний знакзагального множника відноситься при цьому до всього твору. напр., двочлен - аb+ас може бути представлений у вигляді (- а )(b-с ), а натомість пишуть - а (b-с ), причому мінус відноситься вже не до одного множника а але до всього твору.
Коли члени багаточлону не мають спільного множника, то іноді вдалим угрупованням членів у кілька груп, що містять по кілька членів у кожній грусші, знаходять у цих групах загальний і до того ж багаточленний множник. Нерідко для такого угруповання виявляється достатнім укласти кількох членів у дужки зі знаком +, або зі знаком -.
Напр., маючи тричленний вираз а (b +з )+b+с ми укладаємо два останні члени в дужки з плюсом і знаходимо вираз а (b +з )+(b+с ), яке можна розглядати як двочлен і яке перетворюється на добуток ( а +1 )(b+с ).
Подібно до цього у виразі а (b-с )-b+с укладаємо два останні члени в дужки з мінусом, чому вираз набуде вигляду а (b-с )-(b-с ), а потім перетворюється на твір ( а - 1 )(b-с ).
У більшості випадків, що зустрічаються на практиці, потрібно для відкриття загального багаточленного множника не тільки з'єднати члени даного багаточлена до груп, але ще винести в цих групах спільний одночленний множник, різний для кожної. групи. При вдалому виборі груп і за обов'язкової умови виносити за дужку все, що можна, загальний множник всього багаточлена легко виявляється.
Напр., маючи багаточлен а 3 +а 2 b +2аb 2 +2b 3 , з'єднуємо перші два члени в одну групу і останні два в іншу і виносимо в першій групі за дужки а 2 і на другий 2b 2 ; отримаємо а 2 (а+b )+ 2b 2 (а+b ) або ( а+b )(а 2 +2b 2 ). Того ж результату можна досягти, виносячи в першому і третьому членах множник а , а в другому та четвертому множник b .
Подібно до цього, з'єднуючи в багаточлені 3а 3 - 3а 2 b-аb 2 +b 3 перший член з третім і другий з четвертим і виносячи в першій групі множник а , а в другому множник- b, отриманні а (3а 2 -b 2 )-b (3а 2 -b 2 ) або ( а-b )(3а 2 -b 2 ). Той же результат виявився б при винесенні з двох двох членів за дужки 3а 2 , а з останніх двох -b 2 .
Потрібно зауважити, що подібні перетворення відрізняються великою різноманітністю, особливо при поєднанні їх з іншими алгебраїчними діями. Тому не можна дати для цих перетворень загальних і цілком визначених правил; навик у них набувається лише ґрунтовною та методичною вправою.
Іноді, перш ніж групувати члени мкогочлена для винесення в ньому багаточленного множника, потрібно розкласти деякі з членів алгебраїчну сумунових членів, подібних до розкладається. У такому випадку частини розкладених членів відносяться при угрупованні до різним групам. Застосуємо спосіб розкладання до перетворення тричленних виразів.
Щоб перетворити тричлен х 2 +5х+6 , Розкладаємо член 5 х у суму членів 2 х і 3 х . Таким чином отримаємо:
х 2 +5х+6 = х 2 +2х+ 3 х +6 = х (х +2 )+3 (х +2 )==(х +2 )(х +3 ).
Для перетворення тричлена х 2 +2х -15 , Розкладаємо член + 2х у суму членів + 5х і - 3х Знайдемо:
х 2 +2х -15 = х 2 +5х - 3х -15 = х (х +5 )-3 (х +5 )==(х -3 )(х +5 ).
Існує загальне правило, що вказує, коли можливе перетворення тричленів подібного виду на твір, і як робити таке перетворення. Для виведення та усвідомлення цього правила потрібно лише розкласти чотири види тричлена. х 2 ± ( а+b )х +аb і х 2 ± ( а-b )х -аb , Взявши кожен з них окремо і почавши перетворення з розкриття дужок. Тоді виявиться, що на твір перетворюються ті тричлени, у яких перший коефіцієнт при х 2 є одиниця, другий коефіцієнт при х будь-який, а третій коефіцієнт або член, що не містить х є алгебраїчне твір тих самих кількостей, на алгебраїчну суму яких розкладається другий коефіцієнт. Так, у тричлені х 2 +5х+6 коефіцієнт 5 є сума чисел 3 і 2 , а 6 є твір тих чисел, в тричлені х 2 +2х -15 коефіцієнт - 2 є сума кількостей - 5 та + 3 , а - 15 є твір тих же кількостей. Щоб зробити перетворення тричлена, коли воно возіожно, потрібно за знаками і числовими величинами третього і другого коефіцієнта підшукати спосіб розкладання третього коефіцієнта у провадження двох кількостей, а другого в суму тих же кількостей. Розглянемо приклади:
Нехай, напр., дано тричлі х 2 -11х+24 . Оскільки коефіцієнт 24 Позитивний, то шукані виробники його повинні мати однакові знаки. Судячи з того, що другий коефіцієнт - 11 від'ємний, бачимо, що ці виробники коефіцієнта 24 або складові коефіцієнта - 11 обидва від'ємні. Нарешті, розкладаючи 24 на два негативних множникаі порівнюючи суму їх з - 11 , переконаємося в тому, що для перетворення тричлену в твор потрібно розкласти середній член - 11 х на члени - 3 х і - 8 х.
Покладемо ще, що дано тричлен х 2 - 7х-30 . Тут коефіцієнт - 30 негативний; тому виробники його мають різні знаки. Коефіцієнт -7 негативний; отже, при складанні його додаванням бере перевіс негативний доданок, що має таким чином велику числову величину. Тому член - 7х потрібно розкласти на члени - 10х і +3х.
У твір перетворюються також нерідко тричлени, у яких перший коефіцієнт не є одиниця. Для таких перетворень не вказуватимемо тепер загального правила, Висновок якого вимагає більш складних міркувань.
Розвиваючи вище розглянутий спосіб перетворення тричленів на твір, можна розкладати багаточлени вищих ступеніву тих випадках, коли вони представляють твори найпростіших двочленів першого ступеня. Для спрощення подібних перетворень корисно з'ясувати наступне зауваження: припустимо, що якийсь багаточлен містить множником деякий двочлен х + а . Так як двочлен цей, при заміні х через - а , звертається в нуль, то багаточлен, що містить х+а множником, повинен також звертатися в нуль при цій заміні. Подібно до цього якщо багаточлен містить множником двочлен х-а , що обертається в нуль при заміні х через а, то і сам многочлен звертається в нуль при тій же заміні. Справедливий і зворотний висновок: якщо багаточлен, що містить різні ступені х , звертається в нуль при заміні х через - а або через а , то він напевно ділиться в першому випадку на х+а , а у другому на х-а , тому що звернення многочлена в нуль при одній із зазначених підстановок може бути пояснено тільки тим, що до складу багаточлена входить двочленний множник. Вищезазначені зауваження дають простий засіб для відкриття в многочлені двочленного множника, а потім цей множник може бути винесений за дужки за допомогою розкладання середніх членів багаточлена в суми алгебри.
Візьмемо, наприклад, багаточлен х 3 +6х 2 +11х+6 . Він звертається в нуль при заміні х через - 1 і тому ділиться на х +1. Знаючи цей множник наперед, ми полегшуємо собі розкладання членів у суми тим, що певно підбираємо до кожного члена, починаючи з вищого, частина наступного члена так, щоб пара групованих членів містила множником х +1 . Тому перетворення ведеться наступним чином:
х
3
+6х 2 +11х+6
= х
3
+х
2
+5х
2
+5х+6х+6
= х
2
(х
+1
)+ 5х
(х
+1
)+ 6
(х
+1
)= (х
+1
)(х
2
+5х
+6
) =
= (х
+1
)(х
+2
)(х
+3
)
І при цьому помічаємо, що багаточлен х 3 -4х 2 -11х+30 звертається в нуль при заміні х через 2 і отже ділиться на х- 2 . Тому виконуємо перетворення так:
х
3
-4х 2 -11х+30
= х
3
-2х 2 -2х
2
+4х-15х+30
= х
2
(х
-2
) -2х(х-2)-15
(х
-2
)=
=(х
-2
)(х
2
-2х
-15
)=(х
-2
)(х
+3
)(х
-5
).
Початковий підбір множника полегшується тим, що багаточлен потрібно підставляти тільки кількості, числова величинаяких входить множником до останнього члена багаточлена. Це виявляється при розгляді багаточлена, що виражає загальний виглядтвори ( х +а )(х +b )(х +c ). Останній член цього багаточлена є abc.
