Що таке синус, косинус, тангенс, котангенс кута допоможе зрозуміти прямокутний трикутник.
Як називаються сторони прямокутного трикутника? Все вірно, гіпотенуза і катети: гіпотенуза - це сторона, яка лежить навпроти прямого кута (у нашому прикладі це сторона (AC)); катети - це дві сторони, що залишилися \(AB \) і \(BC \) (ті, що прилягають до прямому куту), причому, якщо розглядати катети щодо кута \(BC \), то катет \(AB \) - це прилеглий катет, а катет \(BC \) - протилежний. Отже, тепер дамо відповідь на запитання: що таке синус, косинус, тангенс і котангенс кута?
Синус кута- Це ставлення протилежного (далекого) катета до гіпотенузи.
У нашому трикутнику:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Косинус кута- Це ставлення прилеглого (близького) катета до гіпотенузи.
У нашому трикутнику:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Тангенс кута- Це ставлення протилежного (далекого) катета до прилеглого (близького).
У нашому трикутнику:
\[ tg\beta = dfrac(BC)(AB) \]
Котангенс кута- Це ставлення прилеглого (близького) катета до протилежного (дальнього).
У нашому трикутнику:
\[ ctg\beta = dfrac(AB)(BC) \]
Ці визначення необхідні запам'ятати! Щоб було простіше запам'ятати який катет на що ділити, необхідно чітко усвідомити, що в тангенсеі котангенсісидять тільки катети, а гіпотенуза з'являється тільки в синусіі косинус. А далі можна придумати ланцюжок асоціацій. Наприклад, ось таку:
Косинус→торкатися→доторкнутися→прилежний;
Котангенс→торкатися→доторкнутися→прилежний.
Насамперед, необхідно запам'ятати, що синус, косинус, тангенс і котангенс як відносини сторін трикутника не залежить від довжин цих сторін (при одному вугіллі). Не віриш? Тоді переконайся, подивившись на малюнок:
Розглянемо, наприклад, косинус кута (beta). За визначенням, із трикутника \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), але ми можемо обчислити косинус кута \(\beta \) і з трикутника \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Бачиш, довжини у сторін різні, а значення косинуса одного кута одне й те саме. Таким чином, значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу залежать виключно від величини кута.
Якщо розібрався у визначеннях, то вперед закріплюйте їх!
Для трикутника \(ABC \), зображеного нижче на малюнку, знайдемо \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg \ \ alpha = \ dfrac (4) (3) \ \ ctg \ \ alpha = \ dfrac (3) (4) = 0,75 \ end (array) \)
Ну що, вловив? Тоді пробуй сам: порахуй те саме для кута (beta).
Відповіді: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Одиничне (тригонометричне) коло
Розбираючись у поняттях градуса і радіана, ми розглядали коло з радіусом, рівним (1). Таке коло називається одиничною. Вона дуже знадобиться щодо тригонометрії. Тому зупинимося на ній трохи докладніше.
Як можна помітити, дане коло побудовано в декартовій системікоординат. Радіус кола дорівнює одиниці, при цьому центр кола лежить на початку координат, початкове положеннярадіус-вектора зафіксовано вздовж позитивного напрямку осі (x) (у нашому прикладі, це радіус (AB)).
Кожній точці кола відповідають два числа: координата по осі (x) і координата по осі (y). А що це за числа-координати? І взагалі, яке відношення вони мають до цієї теми? Для цього треба згадати розглянутий прямокутний трикутник. На малюнку, наведеному вище, можна помітити цілих два прямокутні трикутники. Розглянемо трикутник (ACG). Він прямокутний, оскільки \(CG\) є перпендикуляром до осі \(x\).
Чому дорівнює \(\cos\\alpha\) із трикутника \(ACG\)? Все вірно \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Крім того, нам відомо, що \(AC \) - це радіус одиничного кола, а значить, \(AC=1 \) . Підставимо це значення на нашу формулу для косинуса. Ось що виходить:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
А чому дорівнює \(\sin \ \alpha\) з трикутника \(ACG\)? Ну звичайно, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Підставимо значення радіусу \(AC \) в цю формулу і отримаємо:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Так, а можеш сказати, які координати має точка (C), що належить колу? Ну що, аж ніяк? А якщо збагнути, що \(\cos\alpha\) і \(\sin\alpha\) - це просто числа? Який координаті відповідає \(\cos\alpha\)? Ну, звичайно, координаті (x)! А якій координаті відповідає \(\sin\alpha\)? Все правильно, координаті \ (y \)! Таким чином, точка \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
А чому тоді рівні \(tg \alpha\) і \(ctg \alpha\)? Все вірно, скористаємося відповідними визначеннями тангенсу та котангенсу і отримаємо, що \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), а \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
А що, якщо кут буде більшим? Ось, наприклад, як у цьому рисунку:
Що ж змінилося у цьому прикладі? Давай розбиратись. Для цього знову звернемося до прямокутного трикутника. Розглянемо прямокутний трикутник \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : кут (як прилеглий до кута \(\beta \) ). Чому дорівнює значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу для кута \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Все вірно, дотримуємося відповідних визначень тригонометричних функцій:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)
Ну от, як бачиш, значення синуса кута так само відповідає координаті \ (y \) ; значення косинуса кута - координаті (x); а значення тангенсу та котангенсу відповідним співвідношенням. Таким чином, ці співвідношення можна застосовувати до будь-яких поворотів радіус-вектора.
Вже згадувалося, що початкове положення радіус-вектора - вздовж позитивного напрямку осі (x). Досі ми обертали цей вектор проти годинникової стрілки, а що буде, якщо повернути його за годинниковою стрілкою? Нічого екстраординарного, вийде так само кут певної величини, але він буде негативним. Таким чином, при обертанні радіус-вектора проти годинникової стрілки виходять позитивні кути, а при обертанні за годинниковою стрілкою - негативні.
Отже, ми знаємо, що цілий оборот радіус-вектора по колу складає \(360()^\circ \) або \(2\pi \). А чи можна повернути радіус-вектор на \(390()^\circ \) або на \(-1140()^\circ \) ? Ну звісно, можна! В першому випадку, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), таким чином, радіус-вектор зробить один повний оборот і зупиниться в положенні \(30()^\circ \) або \(\dfrac(\pi)(6) \) .
У другому випадку, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), тобто радіус-вектор здійснить три повних оборотуі зупиниться в положенні \(-60()^\circ \) або \(-\dfrac(\pi)(3) \).
Таким чином, з наведених прикладів можемо зробити висновок, що кути, що відрізняються на \(360()^\circ \cdot m \) або \(2\pi \cdot m \) (де \(m \) - будь-яке ціле число ), відповідають тому самому положенню радіус-вектора.
Нижче малюнку зображений кут \(\beta =-60()^\circ \) . Це ж зображення відповідає куту \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)і т.д. Цей список можна продовжити до безкінечності. Усі ці кути можна записати загальною формулою \(\beta +360()^\circ \cdot m \)або \(\beta +2\pi \cdot m \) (де \(m \) – будь-яке ціле число)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Тепер, знаючи визначення основних тригонометричних функцій та використовуючи одиничне коло, спробуй відповісти, чому рівні значення:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =? \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Ось тобі на допомогу одиничне коло:
Виникли проблеми? Тоді давай розбиратись. Отже, ми знаємо, що:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array) \)
Звідси ми визначаємо координати точок, що відповідають певним заходам кута. Ну що ж, почнемо по порядку: кутку в \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)відповідає точка з координатами \(\left(0;1 \right) \) , отже:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \);
\(\cos 90()^\circ =x=0 \);
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- не існує;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Далі, дотримуючись тієї ж логіки, з'ясовуємо, що кутам у \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )відповідають точки з координатами \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \right) \)відповідно. Знаючи це, легко визначити значення тригонометричних функцій у відповідних точках. Спочатку спробуй сам, а потім звіряйся з відповідями.
Відповіді:
\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- не існує
\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- не існує
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \ 360()^\circ =1 \)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- не існує
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- не існує
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Таким чином, ми можемо скласти таку табличку:
Немає потреби пам'ятати всі ці значення. Достатньо пам'ятати відповідність координат точок на одиничному колі та значень тригонометричних функцій:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\text(Треба запам'ятати або вміти виводити!! \) !}
А ось значення тригонометричних функцій кутів в і \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \), наведених нижче у таблиці, необхідно запам'ятати:
Не треба лякатися, зараз покажемо один із прикладів досить простого запам'ятовування відповідних значень:
Для користування цим методом життєво необхідно запам'ятати значення синуса для всіх трьох заходів кута ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), а також значення тангенса кута \(30()^\circ \) . Знаючи ці \ (4 \) значення, досить просто відновити всю таблицю цілком - значення косинуса переносяться відповідно до стрілок, тобто:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(array) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \)знаючи це можна відновити значення для \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Чисельник "\(1 \)" буде відповідати \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , а знаменник "\(\sqrt(\text(3)) \)" відповідає \(\text (tg) \ 60 () ^ \ circ \ \) . Значення котангенсу переносяться відповідно до стрілок, вказаних на малюнку. Якщо це усвідомити та запам'ятати схему зі стрілочками, то буде достатньо пам'ятати всього \(4\) значення з таблиці.
Координати точки на колі
А чи можна знайти точку (її координати) на колі, знаючи координати центру кола, його радіус та кут повороту? Ну, звісно, можна! Давай виведемо загальну формулудля знаходження координат точки. Ось, наприклад, перед нами таке коло:
Нам дано, що точка \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- Центр кола. Радіус кола дорівнює \ (1,5 \). Необхідно знайти координати точки \(P \), отриманої поворотом точки \(O \) на \(\delta \) градусів.
Як видно з малюнка, координаті (x) точки (P) відповідає довжина відрізка (TP = UQ = UK + KQ). Довжина відрізка \ (UK \) відповідає координаті \ (x \) центру кола, тобто дорівнює \ (3 \). Довжину відрізка (KQ) можна виразити, використовуючи визначення косинуса:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Тоді маємо, що для точки \(P \) координата \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
За тією ж логікою знаходимо значення координати для точки \(P \) . Таким чином,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Отже, у загальному виглядікоординати точок визначаються за формулами:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), де
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - координати центру кола,
\ (r \) - радіус кола,
\(\delta \) - Кут повороту радіуса вектора.
Як можна помітити, для одиничного кола, що розглядається нами, ці формули значно скорочуються, так як координати центру дорівнюють нулю, а радіус дорівнює одиниці:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
У вашому браузері вимкнено Javascript.Щоб розрахувати, необхідно дозволити елементи ActiveX!
Вивчення тригонометрії ми розпочнемо з прямокутного трикутника. Визначимо, що таке синус та косинус, а також тангенс та котангенс гострого кута. Це є основи тригонометрії.
Нагадаємо, що прямий кут- це кут, що дорівнює 90 градусів. Іншими словами, половина розгорнутого кута.
Гострий кут- менше 90 градусів.
Тупий кут- більший за 90 градусів. Стосовно такого кута «тупий» - не образа, а математичний термін:-)
Намалюємо прямокутний трикутник. Прямий кут зазвичай позначається. Звернімо увагу, що сторона, що лежить навпроти кута, позначається тією ж літерою, лише маленькою. Так, сторона, що лежить навпроти кута A, позначається .
Кут позначається відповідною грецькою літерою.
Гіпотенузапрямокутного трикутника - це сторона, що лежить навпроти прямого кута.
Катети- Сторони, що лежать навпроти гострих кутів.
Катет, що лежить навпроти кута, називається протилежним(По відношенню до кута). Інший катет, який лежить на одній із сторін кута, називається прилеглим.
Сінусгострого кута в прямокутному трикутнику- це відношення протилежного катетадо гіпотенузи:
Косінусгострого кута у прямокутному трикутнику - відношення прилеглого катетадо гіпотенузи:
Тангенсгострого кута в прямокутному трикутнику - відношення протилежного катета до прилеглого:
Інше (рівносильне) визначення: тангенсом гострого кута називається відношення синуса кута до його косинусу:
Котангенсгострого кута в прямокутному трикутнику - відношення прилеглого катета до протилежного (або, що те саме, відношення косинуса до синуса):
Зверніть увагу на основні співвідношення для синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, які наведені нижче. Вони стануть у нагоді нам при вирішенні завдань.
Давайте доведемо деякі з них.
Добре, ми дали визначення та записали формули. А навіщо потрібні синус, косинус, тангенс і котангенс?
Ми знаємо, що сума кутів будь-якого трикутника дорівнює.
Знаємо співвідношення між сторонамипрямокутний трикутник. Це теорема Піфагора: .
Виходить, знаючи два кути в трикутнику, можна знайти третій. Знаючи дві сторони прямокутного трикутника, можна знайти третю. Значить, для кутів – своє співвідношення, для сторін – своє. А що робити, якщо у прямокутному трикутнику відомий один кут (крім прямого) та одна сторона, а знайти треба інші сторони?
З цим і зіткнулися люди в минулому, складаючи карти місцевості та зоряного неба. Адже не завжди можна безпосередньо виміряти усі сторони трикутника.
Синус, косинус та тангенс - їх ще називають тригонометричними функціями кута- дають співвідношення між сторонамиі кутамитрикутник. Знаючи кут, можна знайти всі його тригонометричні функції за спеціальними таблицями. А знаючи синуси, косинуси та тангенси кутів трикутника та одну з його сторін, можна знайти інші.
Ми також намалюємо таблицю значень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу для «хороших» кутів від до .
Зверніть увагу на два червоні прочерки в таблиці. При відповідних значеннях кутів тангенс та котангенс не існують.
Розберемо кілька завдань із тригонометрії з Банку завдань ФІПД.
1. У трикутнику кут дорівнює . Знайдіть .
Завдання вирішується за чотири секунди.
Оскільки , .
2 . У трикутнику кут дорівнює , , . Знайдіть .
Знайдемо за теоремою Піфагора.
Завдання вирішено.
Часто в задачах зустрічаються трикутники з кутами або з кутами і . Основні співвідношення для них запам'ятовуйте напам'ять!
Для трикутника з кутами і катет, що лежить навпроти кута, дорівнює половині гіпотенузи.
Трикутник з кутами і рівнобедрений. У ньому гіпотенуза в раз більше катета.
Ми розглянули завдання розв'язання прямокутних трикутників - тобто перебування невідомих сторін чи кутів. Але це не все! У варіантах ЄДІз математики безліч завдань, де фігурує синус, косинус, тангенс чи котангенс зовнішнього кута трикутника. Про це – у наступній статті.
Лекція: Синус, косинус, тангенс, котангенс довільного кута
Синус, косинус довільного кута
Щоб зрозуміти, що таке тригонометричні функції, звернемося до кола з одиничним радіусом. Це коломає центр на початку координат на координатної площини. Для визначення заданих функційбудемо використовувати радіус-вектор ВР, який починається в центрі кола, а точка Рє точкою кола. Даний радіус-вектор утворює кут альфа з віссю ОХ. Так як коло має радіус, рівний одиниці, то ОР = R = 1.
Якщо з точки Ропустити перпендикуляр на вісь ОХ, то отримаємо прямокутний трикутник з гіпотенузою, що дорівнює одиниці.
Якщо радіус-вектор рухається за годинниковою стрілкою, то цей напрямокназивається негативним, якщо він рухається проти руху годинникової стрілки - позитивним.
Синусом кута ВР, є ордината точки Рвектор на колі.
Тобто для отримання значення синуса даного кутаальфа необхідно визначитися з координатою Уна площині.
Як дане значеннябуло отримано? Так як ми знаємо, що синус довільного кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до гіпотенузи, отримаємо, що
А оскільки R = 1, то sin(α) = y 0 .
У одиничному колі значення ординати може бути менше -1 і більше 1, отже,
Синус приймає позитивне значенняу першій та другій чверті одиничного кола, а у третій та четвертій - негативне.
Косинусом кутаданого кола, утвореного радіусом-вектором ВР, є абсциса точки Рвектор на колі.
Тобто для отримання значення косинуса даного кута альфа необхідно визначитися з координатою Хна площині.
Косинус довільного кута у прямокутному трикутнику - це відношення прилеглого катета до гіпотенузи, отримаємо, що
А оскільки R = 1, то cos(α) = x 0 .
У одиничному колі значення абсциси може бути менше -1 і більше 1, отже,
Косинус набуває позитивного значення в першій і четвертій чверті одиничного кола, а в другій і в третій - негативне.
Тангенсомдовільного кутавважається ставлення синуса до косінус.
Якщо розглядати прямокутний трикутник, це відношення протилежного катета до прилеглого. Якщо ж мова йдепро одиничне коло, це ставлення ординати до абсцисі.
Судячи з даних відносин, можна зрозуміти, що тангенс не може існувати, якщо значення абсциси дорівнює нулю, тобто при куті 90 градусів. Всі інші значення може приймати тангенс.
Тангенс має позитивне значення у першій та третій чверті одиничного кола, а у другій та четвертій є негативним.
Синус є однією з основних тригонометричних функцій, застосування якої не обмежене лише геометрією. Таблиці обчислення тригонометричних функцій, як і інженерні калькулятори, не завжди під рукою, а обчислення синуса часом потрібне для вирішення різних завдань. Взагалі, обчислення синуса допоможе закріпити креслярські навички та знання тригонометричних тотожностей.
Ігри з лінійкою та олівцем
Просте завдання: як знайти синус кута, намальованого на папері? Для вирішення знадобиться звичайна лінійка, трикутник (або циркуль) та олівець. Найпростішим способом обчислити синус кута можна розділивши дальній катет трикутника з прямим кутом на довгу сторону - гіпотенузу. Таким чином, спочатку потрібно доповнити гострий кут до фігури прямокутного трикутника, прокресливши перпендикулярну до одного з променів лінію на довільній відстані від вершини кута. Потрібно дотримати кут саме 90 °, для чого нам і знадобиться канцелярський трикутник.
Використання циркуля трохи точніше, але займе більше часу. На одному з променів потрібно відзначити 2 крапки на деякій відстані, налаштувати на циркулі радіус, приблизно рівний відстаніміж точками, і прокреслити півкола з центрами в цих точках до отримання перетинів цих ліній. Поєднавши точки перетину наших кіл між собою, ми отримаємо строгий перпендикуляр до променя нашого кута, залишається лише продовжити лінію до перетину з іншим променем.
В отриманому трикутнику потрібно лінійкою виміряти бік навпроти кута і довгу бік одному з променів. Відношення першого виміру до другого і буде шуканою величиною синуса гострого кута.
Знайти синус для кута більше 90°
Для тупого кутаЗавдання не набагато складніше. Потрібно прокреслити промінь з вершини в протилежний бікза допомогою лінійки для утворення прямої з одним з променів кута, що цікавить нас. З отриманим гострим кутомслід надходити як описано вище, синуси суміжних кутів, Що утворюють разом розгорнутий кут 180 °, рівні.
Обчислення синуса за іншими тригонометричними функціями
Також обчислення синуса можливе, якщо відомі значення інших тригонометричних функцій кута або хоч би довжини сторін трикутника. У цьому нам допоможуть тригонометричні тотожності. Розберемо найпоширеніші приклади.
Як знаходити синус при відомому косинус кута? Перше тригонометричне тотожність, що виходить з теореми Піфагора, свідчить, що сума квадратів синуса і косинуса одного і того ж кута дорівнює одиниці.
Як знаходити синус за відомого тангенсу кута? Тангенс отримують розподілом далекого катета на ближній або поділом синуса на косинус. Таким чином, синусом буде твір косинуса на тангенс, а квадрат синусу буде квадрат цього твору. Замінюємо косинус у квадраті на різницю між одиницею та квадратним синусом згідно з першим тригонометричній тотожностіі шляхом нехитрих маніпуляцій наводимо рівняння до обчислення квадратного синуса через тангенс, відповідно для обчислення синуса доведеться витягти корінь з отриманого результату.
Як знаходити синус за відомого котангенсу кута? Значення котангенсу можна обчислити, розділивши довжину ближнього від кута катета на довжину далекого, а також поділивши косинус на синус, тобто котангенс - функція, зворотна тангенсущодо числа 1. Для розрахунку синуса можна обчислити тангенс за формулою tg α = 1 / ctg α та скористатися формулою у другому варіанті. Також можна вивести пряму формулу за аналогією з тангенсом, яка виглядатиме наступним чином.
Як знаходити синус по трьох сторонах трикутника
Існує формула для знаходження довжини невідомої сторонибудь-якого трикутника, не тільки прямокутного, по двох відомим сторонамз використанням тригонометричної функції косинуса протилежного кута. Виглядає вона так.
Я думаю, ви заслуговуєте більше, ніж це. Ось мій ключ до тригонометрії:
- Намалюйте купол, стіну та стелю
- Тригонометричні функції - це не що інше, як відсоткове відношенняцих трьох форм.
Метафора для синуса та косинуса: купол
Замість того, щоб просто дивитися на самі трикутники, уявіть їх у дії, знайшовши якийсь приватний прикладз життя.
Уявіть, ніби ви перебуваєте посередині бані і хочете підвісити екран для кінопроектора. Ви вказуєте пальцем на купол під деяким кутом "x", і до цієї точки повинен бути підвішений екран.
Кут, на який ви вказуєте, визначає:
- синус(x) = sin(x) = висота екрана (від підлоги до точки кріплення на куполі)
- косинус(x) = cos(x) = відстань від вас до екрана (по підлозі)
- гіпотенуза, відстань від вас до верхівки екрана, завжди однакова, і радіусу купола
Бажаєте, щоб екран був максимально великий? Повісьте його над собою.
Бажаєте, щоб екран висів на максимальній відстані від вас? Вішайте його прямо перпендикулярно. У екрані буде нульова висота в цьому положенні, і він висітиме найбільш віддалено, як ви і просили.
Висота і відстань від екрану обернено пропорційні: чим ближче висить екран, тим його висота буде більшою.
Синус та косинус - це відсотки
Ніхто в роки мого навчання, на жаль, не пояснив мені, що тригонометричні функції синус та косинус – це не що інше, як відсотки. Їх значення варіюються від +100% до 0 і -100%, або від позитивного максимуму до нуля і до негативного максимуму.
Скажімо, я сплатив податок 14 рублів. Ви не знаєте, наскільки багато. Але якщо сказати, що я заплатив 95% як податок, ви зрозумієте, що мене просто обдерли, як липку.
Абсолютна висота ні про що не каже. Але якщо значення синуса становить 0.95, я розумію, що телевізор висить майже на верхівці вашого купола. Незабаром він досягне максимальної висотипо центру бані, а потім почне знову знижуватися.
Як ми можемо визначити цей відсоток? Дуже просто: поділіть поточне значення висоти екрану на максимально можливе (радіус бані, який також називають гіпотенузою).
Ось чомунам кажуть, що "Косінус = протилежний катет / гіпотенуза". Це все для того, щоб отримати відсоток! Найкраще визначити синус як “відсоток поточної висоти максимально можливої”. (Синус стає негативним, якщо ваш кут вказує "під землю". Косинус стає негативним, якщо кут вказує на точку купола позаду вас).
Спростимо розрахунки, припустивши, що ми знаходимося в центрі одиничного кола (радіус = 1). Ми можемо пропустити поділ і просто взяти синус, що дорівнює висоті.
Кожне коло, по суті, є одиничним, збільшеним або зменшеним у масштабі до потрібного розміру. Тому визначте зв'язки одиничного кола та застосуйте результати до вашого конкретного розміру кола.
Поекспериментуйте: візьміть будь-який кут і подивіться, яке відсоткове співвідношення висоти до ширини він відображає:
Графік зростання значення синуса – не просто пряма лінія. Перші 45 градусів покривають 70% висоти, а останні 10 градусів (з 80 ° до 90 °) покривають лише 2%.
Так вам стане зрозумілішим: якщо йти по колу, при 0° ви піднімаєтесь майже вертикально, але в міру підходу до верхівки купола, висота змінюється дедалі менше.
Тангенс та секанс. Стіна
Одного разу сусід збудував стіну прямо впритулдо вашого куполу. Плакали ваш вигляд з вікна та гарна ціна для перепродажу!
Але чи можна виграти якось у цій ситуації?
Звісно так. А якщо ми повісимо кіноекран прямо на сусідську стіну? Ви націлюєтеся на кут (х) і отримуєте:
- тангенс(x) = tan(x) = висота екрану на стіні
- відстань від вас до стіни: 1 (це радіус вашого бані, стіна нікуди не рухається від вас, вірно?)
- секанс(x) = sec(x) = “довжина сходів” від вас, що стоїть у центрі купола, до верхівки підвішеного екрану
Давайте уточнимо пару моментів щодо тангенсу, або висоти екрану.
- він починається на 0 і може підніматися нескінченно високо. Ви можете розтягувати екран все вище та вище на стіні, щоб отримати просто нескінченне полотно для перегляду улюбленого фільму! (На такий величезний, звичайно, доведеться пристойно витратитися).
- тангенс – це просто збільшена версія синуса! І доки приріст синуса сповільнюється у міру просування до верхівки купола, тангенс продовжує зростати!
Секансу теж є чим похвалитися:
- секанс починається з 1 (сходи лежить на підлозі, від вас до стіни) і починає підніматися звідти
- Секанс завжди довший за тангенс. Нахилені сходи, за допомогою яких ви вішаєте свій екран, повинні бути довшими, ніж сам екран, вірно? (При нереальних розмірах, коли екран дуже довгий, і сходи потрібно ставити практично вертикально, їх розміри майже однакові. Але навіть тоді секанс буде трохи довше).
Пам'ятайте, значення є відсотками. Якщо ви вирішили повісити екран під кутом 50 градусів, tan(50) = 1.19. Ваш екран на 19% більше, ніж відстань до стіни (радіус бані).
(Введіть x=0 та перевірте свою інтуїцію - tan(0) = 0, а sec(0) = 1.)
Котангенс та косеканс. Стеля
Неймовірно, але ваш сусід тепер вирішив звести перекриття над вашим куполом. (Що з ним таке? Він, мабуть, не хоче, щоб ви за ним підглядали, поки він розгулює по двору голяка…)
Ну що ж, настав час збудувати вихід на дах і поговорити з сусідом. Ви вибираєте кут нахилу, і починаєте будівництво:
- вертикальна відстань між виходом на даху та підлогою завжди дорівнює 1 (радіусу купола)
- котангенс(x) = cot(x) = відстань між верхівкою бані та місцем виходу
- косеканс(x) = csc(x) = довжина вашого шляху на дах
Тангенс та секанс описує стіну, а КОтангенс та КОсеканс описує перекриття.
Наші інтуїтивні висновки цього разу схожі на попередні:
- Якщо ви візьмете кут, що дорівнює 0°, ваш вихід на дах триватиме нескінченно, оскільки ніколи не досягне перекриття. Проблема.
- найкоротший "трап" на дах вийде, якщо будувати його під кутом 90 градусів до підлоги. Котангенс дорівнюватиме 0 (ми взагалі не пересуваємося вздовж даху, виходимо строго перпендикулярно), а косеканс дорівнює 1 (“довжина трапу” буде мінімальною).
Візуалізуйте зв'язки
Якщо всі три випадки намалювати в комбінації купол-стіна-перекриття, вийде таке:
Ну треба ж, це все той самий трикутник, збільшений у розмірі, щоб дістати до стіни і до перекриття. У нас є вертикальні сторони (синус, тангенс), горизонтальні сторони (косинус, котангенс) та “гіпотенузи” (секанс, косеканс). (За стрілками ви можете бачити, доки доходить кожен елемент. Косеканс – це повна відстань від вас до даху).
Трохи чаклунства. Усі трикутники об'єднують одні й ті самі рівності:
З теореми Піфагора (a 2 + b 2 = c 2) бачимо, як пов'язані сторони кожного трикутника. Крім того, співвідношення типу "висота до ширини" повинні бути однаковими для всіх трикутників. (Просто відступіть від самого великого трикутникадо меншого. Так, розмір змінився, але пропорції сторін залишаться незмінними).
Знаючи, який бік у кожному трикутнику дорівнює 1 (радіусу купола), ми легко обчислимо, що “sin/cos = tan/1”.
Я завжди намагався запам'ятати ці факти шляхом простої візуалізації. На картинці ти чітко бачиш ці залежності і розумієш, звідки вони беруться. Цей прийом набагато краще заучуваннясухі формули.
Не варто забувати про інші кути
Тсс ... Не потрібно зациклюватися на одному графіку, думаючи, що тангенс завжди менше 1. Якщо збільшити кут, можна дійти до стелі, не досягнувши стіни:
Зв'язки Піфагора завжди працюють, але відносні розміриможуть бути різними.
(Ви, напевно, помітили, що співвідношення синус і косинус завжди найменші, тому що вони укладені всередині купола).
Підсумуємо: що нам потрібно запам'ятати?
Для більшості з нас, я сказав би, що цього буде достатньо:
- тригонометрія пояснює анатомію математичних об'єктів, таких як кола та інтервали, що повторюються.
- аналогія купол/стіна/дах показує зв'язок між різними тригонометричними функціями
- результатом тригонометричних функцій є відсотки, які ми застосовуємо до сценарію.
Вам не потрібно запам'ятовувати формули типу 1 2 + cot 2 = csc 2 . Вони годяться хіба що для дурних тестів, У яких знання факту видається за його розуміння. Витратьте хвилинку, щоб намалювати півколо у вигляді купола, стіну та дах, підпишіть елементи, і всі формули самі напросяться вам на папір.
Додаток: зворотні функції
Будь-яка тригонометрична функціявикористовує як вхідний параметр кут і повертає результат у вигляді відсотка. sin(30) = 0.5. Це означає, що кут 30 градусів займає 50% від максимальної висоти.
Зворотна тригонометрична функція записується як sin-1 або arcsin (“арксинус”). Також часто пишуть asin у різних мовахпрограмування.
Якщо наша висота складає 25% від висоти бані, який наш кут?
У нашій табличці пропорцій можна знайти співвідношення, де секанс ділиться на 1. Наприклад, секанс на 1 (гіпотенуза до горизонталі) дорівнює 1 поділити на косинус:
Допустимо, наш секанс дорівнює 3.5, тобто. 350% від радіусу одиничного кола. Якому куту нахилу до стіни це значення відповідає?
Додаток: Кілька прикладів
Приклад: Знайти синус кута x.
Нудна задача. Давайте ускладнимо банальне “знайти синус” до “Яка висота у відсотках від максимуму (гіпотенузи)?”.
По-перше, зауважте, що трикутник повернутий. В цьому немає нічого страшного. Також у трикутника є висота, вона на малюнку вказана зеленим.
А чому дорівнює гіпотенуза? За теоремою Піфагора, ми знаємо, що:
3 2 + 4 2 = гіпотенуза 2 25 = гіпотенуза 2 5 = гіпотенуза
Добре! Синус - це відсоток висоти від найдовшої сторони трикутника або гіпотенузи. У прикладі синус дорівнює 3/5 чи 0.60.
Звичайно, ми можемо йти кількома шляхами. Тепер ми знаємо, що синус дорівнює 0.60, і ми можемо просто знайти арксинус:
Asin (0.6) = 36.9
А ось ще один підхід. Зауважте, що трикутник стоїть "віч-на-віч до стіни", так що замість синуса ми можемо використовувати тангенс. Висота дорівнює 3, відстань стіні - 4, отже тангенс дорівнює ¾ чи 75%. Ми можемо використовувати арктангенс, щоб із відсоткового значення повернутися назад у кут:
Tan = 3/4 = 0.75 atan (0.75) = 36.9 Приклад: А чи ви допливете до берега?
Ви у човні, і у вас є достатньо палива, щоб пропливти 2 км. Зараз ви знаходитесь в 0.25 км. від берега. Під яким максимальним кутом до берега ви можете доплисти так, щоб вистачило палива? Додаток до умови завдання: у нас є лише таблиця значень арккосинусов.
Що ми маємо? Берегову лініюможна уявити як "стіну" у нашому знаменитому трикутнику, а "довжину сходів", приставленої до стіни - максимально можливою переборною відстанню на човні до берега (2 км). Вимальовується секанс.
Спочатку потрібно перейти на відсотки. У нас є 2 / 0.25 = 8, тобто ми можемо пропливти відстань, в 8 разів більшу за пряму дистанцію до берега (або до стіни).
Виникає питання "Чому дорівнює секанс 8?". Але ми не можемо дати на нього відповіді, тому що у нас є тільки арккосинуси.
Ми використовуємо наші раніше виведені залежності, щоб прив'язати секанс до косінусу: “sec/1 = 1/cos”
Секанс 8 дорівнює косінусу⅛. Кут, косинус якого ⅛ дорівнює acos(1/8) = 82.8. І це найбільший кут, який ми можемо собі дозволити на човні із зазначеною кількістю пального.
Непогано, правда? Без аналогії з куполом-стіною-стелею, я б заплутався в купі формул та обчислень. Візуалізація завдання сильно спрощує пошук рішення, до того ж цікаво побачити, яка тригонометрична функція в результаті допоможе.
При вирішенні кожного завдання думайте так: мене цікавить купол (sin/cos), стіна (tan/sec) чи стеля (cot/csc)?
І тригонометрія стане набагато приємніше. Легких вам обчислень!