Зворотні тригонометричні функціїмають широке застосування у математичному аналізі. Однак у більшості старшокласників завдання, пов'язані з цим видом функцій, викликають значні труднощі. Здебільшого це з тим, що у багатьох підручниках і навчальних посібниках завданням такого виду приділяється занадто мало уваги. І якщо із завданнями на обчислення значень зворотних тригонометричних функцій учні хоч якось справляються, то рівняння та нерівності, що містять такі функції, здебільшого ставлять хлопців у глухий кут. Насправді, в цьому немає нічого дивного, адже практично в жодному підручнику не пояснюється методика розв'язання найпростіших рівнянь і нерівностей, що містять зворотні тригонометричні функції.
Розглянемо кілька рівнянь і нерівностей, що містять зворотні тригонометричні функції, і розв'яжемо їх з докладним поясненням.
приклад 1.
Вирішити рівняння: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.
Рішення.
Виразимо з рівняння зворотну тригонометричну функцію, отримаємо:
arccos (2x + 3) = 5π/6. Тепер скористаємося визначенням арккосинусу.
Арккосинусом деякого числа a, що належить відрізку від -1 до 1, є такий кут y з відрізка від 0 до π, що його косинус і дорівнює числу x. Тому можна записати так:
2x + 3 = cos 5?/6.
Розпишемо праву частину отриманого рівняння за формулою приведення:
2x + 3 = cos (π - π / 6).
2x + 3 = -cos π/6;
2x + 3 = -√3/2;
2x = -3 - √3/2.
Наведемо праву частину до спільного знаменника.
2x = -(6 + √3)/2;
x = -(6 + √3)/4.
Відповідь: -(6 + √3) / 4 .
приклад 2.
Розв'язати рівняння: cos (arccos (4x - 9)) = x 2 - 5x + 5.
Рішення.
Оскільки cos (arcсos x) = x при x належить [-1; 1], то дане рівняння рівносильне системі:
(4x - 9 = x 2 - 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1).
Вирішимо рівняння, що входить до системи.
4x - 9 = x 2 - 5x + 5.
Воно квадратне, тому отримаємо, що
x 2 - 9x + 14 = 0;
D = 81 - 4 · 14 = 25;
x 1 = (9 + 5) / 2 = 7;
x 2 = (9 - 5) / 2 = 2.
Вирішимо подвійну нерівність, що входить до системи.
1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Додамо до всіх частин 9, матимемо:
8 ≤ 4x ≤ 10. Розділимо кожне число на 4, отримаємо:
2 ≤ x ≤ 2,5.
Тепер поєднаємо отримані відповіді. Легко бачити, що корінь x = 7 не відповідає відповіді нерівності. Тому єдиним розв'язком рівняння буде x = 2.
Відповідь: 2.
приклад 3.
Розв'язати рівняння: tg (arctg (0,5 – x)) = x 2 – 4x + 2,5.
Рішення.
Так як tg (arctg x) = x при всіх дійсних числах, то дане рівняння дорівнює рівнянню:
0,5 - x = x 2 - 4x + 2,5.
Розв'яжемо отримане квадратне рівняння за допомогою дискримінанта, попередньо привівши його у стандартний вигляд.
x 2 - 3x + 2 = 0;
D = 9 - 4 · 2 = 1;
x 1 = (3 + 1) / 2 = 2;
x 2 = (3 - 1) / 2 = 1.
Відповідь: 1; 2.
приклад 4.
Розв'язати рівняння: arcctg (2x – 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).
Рішення.
Оскільки arcctg f(x) = arcctg g(x) і тоді, коли f(x) = g(x), то 
2x - 1 = x 2 / 2 + x / 2. Вирішимо отримане квадратне рівняння:
4x - 2 = x 2 + x;
x 2 - 3x + 2 = 0.
За теоремою Вієта отримаємо, що
x = 1 чи x = 2.
Відповідь: 1; 2.
Приклад 5.
Розв'язати рівняння: arcsin (2x – 15) = arcsin (x 2 – 6x – 8).
Рішення.
Оскільки рівняння виду arcsin f(x) = arcsin g(x) рівносильне системі
(f(x) = g(x),
(f(x) € [-1; 1],
то вихідне рівняння рівносильне системі:
(2x - 15 = x 2 - 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1).
Вирішимо отриману систему:
(x 2 - 8x + 7 = 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16).
З першого рівняння за теоремою Вієта маємо, що x = 1 або x = 7. Вирішуючи другу нерівність системи, отримуємо, що 7 ≤ x ≤ 8. Тому в остаточну відповідь підходить тільки корінь x = 7.
Відповідь: 7.
Приклад 6.
Розв'язати рівняння: (arccos x) 2 – 6 arccos x + 8 = 0.
Рішення.
Нехай arccos x = t, тоді t належить відрізку і рівняння набуває вигляду:
t 2 – 6t + 8 = 0. Розв'яжемо отримане квадратне рівняння за теоремою Вієта, отримаємо, що t = 2 або t = 4.
Оскільки t = 4 не належить відрізку , отримаємо, що t = 2, тобто. arccos x = 2, отже x = cos 2.
Відповідь: cos 2.
Приклад 7.
Розв'язати рівняння: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.
Рішення.
Скористаємося рівністю arcsin x + arccos x = π/2 і запишемо рівняння у вигляді
(arcsin x) 2 + (π/2 - arcsin x) 2 = 5π 2 /36.
Нехай arcsin x = t, тоді t належить відрізку [-π/2; π/2] і рівняння набуває вигляду:
t 2 + (π/2 - t) 2 = 5π 2 /36.
Вирішимо отримане рівняння:
t 2 + π 2 /4 - πt + t 2 = 5π 2 /36;
2t 2 – πt + 9π 2 /36 – 5π 2 /36 = 0;
2t 2 - πt + 4π 2 / 36 = 0;
2t 2 – πt + π 2 /9 = 0. Помножимо кожен доданок на 9, щоб позбутися дробів у рівнянні, отримаємо:
18t 2 - 9πt + π 2 = 0.
Знайдемо дискримінант і вирішимо отримане рівняння:
D = (-9π) 2 - 4 · 18 · π 2 = 9π 2 .
t = (9π - 3π) / 2 · 18 або t = (9π + 3π) / 2 · 18;
t = 6π/36 або t = 12π/36.
Після скорочення маємо:
t = π/6 або t = π/3. Тоді
arcsin x = π/6 або arcsin x = π/3.
Таким чином, x = sin π/6 або x = sin π/3. Тобто x = 1/2 чи x =√3/2.
Відповідь: 1/2; √3/2.
Приклад 8.
Знайти значення виразу 5nx 0 де n – кількість коренів, а x 0 – негативний корінь рівняння 2 arcsin x = - π – (x + 1) 2 .
Рішення.
Оскільки -π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2, то -π ≤ 2 arcsin x ≤ π. Крім того, (x + 1) 2 ≥ 0 при всіх дійсних x,
тоді -(x + 1) 2 ≤ 0 та -π - (x + 1) 2 ≤ -π.
Отже, рівняння може рішення, якщо обидві його частини одночасно рівні –π , тобто. рівняння рівносильне системі:
(2 arcsin x = -π,
(-π - (x + 1) 2 = -π.
Розв'яжемо отриману систему рівнянь:
(arcsin x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.
З другого рівняння маємо, що x = -1, відповідно n = 1, тоді 5nx 0 = 5 · 1 · (-1) = -5.
Відповідь: -5.
Як показує практика, вміння вирішувати рівняння із зворотними тригонометричними функціями є необхідною умовою успішного складання іспитів. Саме тому тренування у вирішенні таких завдань просто необхідне і є обов'язковим при підготовці до ЄДІ.
Залишились питання? Не знаєте, як розв'язувати рівняння?
Щоб отримати допомогу репетитора – .
Перший урок – безкоштовно!
blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Уроки 32-33. Зворотні тригонометричні функції
09.07.2015 5917 0Ціль: розглянути зворотні тригонометричні функції, їх використання для запису розв'язків тригонометричних рівнянь.
I. Повідомлення теми та мети уроків
ІІ. Вивчення нового матеріалу
1. Зворотні тригонометричні функції
Розгляд цієї теми почнемо з такого прикладу.
Приклад 1
Розв'яжемо рівняння: a) sin x = 1/2; б) sin x = а.
а) На осі ординат відкладемо значення 1/2 і збудуємо кути x 1 та х2, для яких sin x = 1/2. При цьому х1 + х2 = π, звідки х2 = π - x 1 . За таблицею значень тригонометричних функцій знайдемо величину х1 = π/6 тоді
Врахуємо періодичність функції синуса та запишемо розв'язання даного рівняння:
де k ∈ Z.
б) Очевидно, що алгоритм розв'язання рівняння sin х = а такий самий, як і в попередньому пункті. Зрозуміло, тепер осі ординат відкладається величина а. Виникає необхідність якось позначити кут х1. Умовились такий кут позначати символом arcsin а. Тоді рішення даного рівняння можна записати у виглядіЦі дві формули можна поєднати в одну:при цьому 
Аналогічним чином вводяться та інші зворотні тригонометричні функції.
Дуже часто буває необхідно визначити величину кута за відомим значенням його тригонометричної функції. Така задача є багатозначною - існує безліч кутів, тригонометричні функції яких рівні одному й тому ж значенню. Тому, з монотонності тригонометричних функцій, для однозначного визначення кутів вводять такі зворотні тригонометричні функції.
Арксинус числа a (arcsin , синус якого дорівнює а, тобто.
Арккосинус числа a (arccos а) - такий кут з проміжку , косинус якого дорівнює а, тобто.
Арктангенс числа a (arctg а) - такий кут а з проміжкутангенс якого дорівнює а, тобто.
tg а = а.
Арккотангенс числа a (arcctg а) - такий кут з проміжку (0; π), котангенс якого дорівнює а, тобто. ctg а = а.
Приклад 2
Знайдемо:
Враховуючи визначення зворотних тригонометричних функцій отримаємо:
Приклад 3
Обчислимо 
Нехай кут а = arcsin 3/5, тоді за визначенням sin a = 3/5 та . Отже, треба знайти cos а. Використовуючи основне тригонометричне тотожність, отримаємо:
Враховано, що cos a ≥ 0. Отже, 
Властивості функції | Функція |
|||
у = arcsin х | у = arccos х | у = arctg х | у = arcctg х |
|
Область визначення | х ∈ [-1; 1] | х ∈ [-1; 1] | х ∈ (-∞; +∞) | х ∈ (-∞ +∞) |
Область значень | y ∈ [-π/2; π /2 ] | y ∈ | y ∈ (-π/2 ; π /2 ) | y ∈ (0; π) |
Парність | Непарна | Ні парна, ні непарна | Непарна | Ні парна, ні непарна |
Нулі функції (y = 0) | При х = 0 | При х = 1 | При х = 0 | у ≠ 0 |
Проміжки знакостійності | у > 0 при х ∈ (0; 1], у< 0 при х ∈ [-1; 0) | у > 0 при х ∈ [-1; 1) | у > 0 при х ∈ (0; +∞), у< 0 при х ∈ (-∞; 0) | у > 0 при x ∈ (-∞; +∞) |
Монотонність | Зростає | Убуває | Зростає | Убуває |
Зв'язок із тригонометричною функцією | sin у = х | cos у = х | tg у = х | ctg у = х |
Графік | ||||
Наведемо ще ряд типових прикладів, пов'язаних із визначеннями та основними властивостями зворотних тригонометричних функцій.
Приклад 4
Знайдемо область визначення функції
Для того щоб функція була визначена, необхідно виконання нерівності
яка еквівалентна системі нерівностей
Рішенням першої нерівності є проміжок х∈
(-∞; +∞), другого -Цей проміжок і є рішенням системи нерівностей, а отже, і областю визначення функції
Приклад 5
Знайдемо область зміни функції
Розглянемо поведінку функції z = 2х – х2 (див. малюнок).
Видно, що z ∈ (-∞; 1]. Враховуючи, що аргумент z функції арккотангенса змінюється у зазначених межах, з даних таблиці отримаємо, що
Таким чином, область зміни
Приклад 6
Доведемо, що функція у = arctg х непарна. Нехай
Тоді tg а = -х або х = - tg а = tg (-a), причому 
Отже, - a = arctg х або а = - arctg х. Таким чином, бачимо, щот. е. у(х) - функція непарна.
Приклад 7
Виразимо через усі зворотні тригонометричні функції
Нехай 
Очевидно, що 
Тоді так як
Введемо кут 
Оскільки 
то 
Аналогічно тому 
і 
Отже,
Приклад 8
Побудуємо графік функції у = cos (arcsin x).
Позначимо а = arcsin x тоді 
Врахуємо, що х = sin а та у = cos а, тобто x 2 + у2 = 1, та обмеження на х (х∈
[-1; 1]) і у (у ≥ 0). Тоді графіком функції у = cos (arcsin х) є півколо.
Приклад 9
Побудуємо графік функції у = arccos (cos x).
Так як функція cos х змінюється на відрізку [-1; 1], то функція у визначена по всій числовій осі і змінюється на відрізку . Маємо на увазі, що у = arccos (cos x ) = х на відрізку; функція у є парною та періодичною з періодом 2π. Враховуючи, що ці властивості мають функцію cos x , Тепер легко побудувати графік.
Зазначимо деякі корисні рівності:
Приклад 10
Знайдемо найменше та найбільше значення функціїПозначимо 
тоді 
Отримаємо функцію 
Ця функція має мінімум у точці z = π/4, і він дорівнює 
Найбільше значення функції досягається у точці z = -π/2, і воно одно 
Таким чином, і
Приклад 11
Розв'яжемо рівняння
Врахуємо, що 
Тоді рівняння має вигляд:
або 
звідки За визначенням арктангенсу отримаємо:
2. Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь
Аналогічно прикладу 1 можна отримати рішення найпростіших тригонометричних рівнянь.
Рівняння | Рішення |
tgx = а | |
ctg х = а |
Приклад 12
Розв'яжемо рівняння 
Так як функція синус непарна, то запишемо рівняння у вигляді
Розв'язки цього рівняння:
звідки знаходимо 
Приклад 13
Розв'яжемо рівняння 
За наведеною формулою запишемо рішення рівняння:
і знайдемо 
Зауважимо, що у окремих випадках (а = 0; ±1) під час вирішення рівнянь sin х = а та cos х = а простіше та зручніше використовувати не загальні формули, а записувати рішення на підставі одиничного кола:
для рівняння sin х = 1 рішення
для рівняння sin х = 0 рішення х = π k;
для рівняння sin х = -1 рішення 
для рівняння cos х = 1 рішення х = 2π k;
для рівняння cos х = 0 рішення
для рівняння cos х = -1 рішення 
Приклад 14
Розв'яжемо рівняння 
Так як у даному прикладі є окремий випадок рівняння, то за відповідною формулою запишемо рішення:
звідки знайдемо 
ІІІ. Контрольні питання (фронтальне опитування)
1. Дайте визначення та перерахуйте основні властивості зворотних тригонометричних функцій.
2. Наведіть графіки зворотних тригонометричних функцій.
3. Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь.
IV. Завдання під час уроків
§ 15, № 3 (а, б); 4 (в, г); 7(а); 8(а); 12 (б); 13 (а); 15 (в); 16 (а); 18 (а, б); 19 (в); 21;
§ 16, № 4 (а, б); 7(а); 8 (б); 16 (а, б); 18 (а); 19 (в, г);
§ 17, № 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 7 (в, г); 9 (б); 10 (а, в).
V. Завдання додому
§ 15, № 3 (в, г); 4 (а, б); 7 (в); 8 (б); 12 (а); 13 (б); 15 (г); 16 (б); 18 (в, г); 19 (г); 22;
§ 16, № 4 (в, г); 7 (б); 8(а); 16 (в, г); 18 (б); 19 (а, б);
§ 17, № 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 7 (а, б); 9 (г); 10 (б, г).
VI. Творчі завдання
1. Знайдіть область визначення функції:
Відповіді:
2. Знайдіть область значень функції:
Відповіді:
3. Побудуйте графік функції:
VII. Підбиття підсумків уроків
Дано визначення зворотних тригонометричних функцій та їх графіки. А також формули, що пов'язують зворотні тригонометричні функції, формули сум та різниць.
Визначення зворотних тригонометричних функцій
Оскільки тригонометричні функції періодичні, то зворотні до них функції однозначні. Так, рівняння y = sin xпри заданому , має нескінченно багато коренів. Справді, через періодичність синуса, якщо x такий корінь, то й x + 2πn(де n ціле) теж буде коренем рівняння. Таким чином, зворотні тригонометричні функції багатозначні. Щоб з ними було простіше працювати, запроваджують поняття їхніх головних значень. Розглянемо, наприклад, синус: y = sin x. Якщо обмежити аргумент x інтервалом, то на ньому функція y = sin xмонотонно зростає. Тому вона має однозначну зворотну функцію, яку називають арксинусом: x = arcsin y.
Якщо особливо не обумовлено, то під зворотними тригонометричними функціями мають на увазі головні значення, які визначаються такими визначеннями.
Арксинус ( y = arcsin x) - це функція, зворотна до синусу ( x = sin y
Арккосинус ( y = arccos x) - це функція, зворотна до косинусу ( x = cos y), що має область визначення та безліч значень .
Арктангенс ( y = arctg x) - це функція, зворотна до тангенсу ( x = tg y), що має область визначення та безліч значень .
Арккотангенс ( y = arcctg x) - це функція, зворотна до котангенсу ( x = ctg y), що має область визначення та безліч значень .
Графіки зворотних тригонометричних функцій
Графіки зворотних тригонометричних функцій виходять із графіків тригонометричних функцій дзеркальним відображенням щодо прямої y = x. розділи Синус, косинус, Тангенс, котангенс.
y = arcsin x
y = arccos x
y = arctg x
y = arcctg x
Основні формули
Тут слід особливо звернути увагу до інтервали, котрим справедливі формули.
arcsin(sin x) = xпри
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = xпри
cos(arccos x) = x
arctg(tg x) = xпри
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = xпри
ctg(arcctg x) = x
Формули, що зв'язують зворотні тригонометричні функції
Формули суми та різниці
при або
при і
при і
при або
при і
при і
при
при
при
при
Функції sin, cos, tg і ctg завжди супроводжуються арксинусом, арккосинусом, арктангенсом та арккотангенсом. Одне є наслідком іншого, а пари функцій однаково важливі до роботи з тригонометричними висловлюваннями.
Розглянемо малюнок одиничного кола, у якому графічно відображено значень тригонометричних функцій.
Якщо обчислити arcs OA, arcos OC, arctg DE і arcctg MK, всі вони дорівнюють значенню кута α. Формули, наведені нижче, відображають взаємозв'язок основних тригонометричних функцій та відповідних їм арків.
Щоб більше зрозуміти властивості арксинусу, необхідно розглянути його функцію. Графік має вигляд асиметричної кривої, що проходить через центр координат.
Властивості арксинусу:
Якщо зіставити графіки sinі arcsinУ двох тригонометричних функцій можна знайти загальні закономірності.
Арккосінус
Arccos числа а - це значення кута α, косинус якого дорівнює а.
Крива y = arcos xдзеркально відображає графік arcsin x, з тією різницею, що проходить через точку π/2 на осі OY.
Розглянемо функцію арккосинусу докладніше:
- Функція визначена на відрізку [-1; 1].
- ОДЗ для arccos -.
- Графік цілком розташований у І та ІІ чвертях, а сама функція не є ні парною, ні непарною.
- Y = 0 за x = 1.
- Крива зменшується на всій своїй протяжності. Деякі властивості арккосинусу збігаються з функцією косинуса.
Деякі властивості арккосинусу збігаються з функцією косинуса.
Можливо, школярам видасться зайвим таке «докладне» вивчення «арків». Однак, в іншому випадку, деякі елементарні типові завдання ЄДІ можуть ввести учнів у глухий кут.
Завдання 1.Вкажіть функції, зображені на малюнку.
Відповідь:рис. 1 - 4, рис.2 - 1.
У цьому прикладі акцент зроблений на дрібницях. Зазвичай учні дуже неуважно ставляться до побудови графіків та зовнішнього вигляду функцій. Справді, навіщо запам'ятовувати вигляд кривої, якщо її можна побудувати за розрахунковими точками. Не варто забувати, що в умовах тесту час, витрачений на малюнок для простого завдання, буде потрібний для більш складних завдань.
Арктангенс
Arctgчисла a – це значення кута α, що його тангенс дорівнює а.
Якщо розглянути графік арктангенсу, можна виділити такі характеристики:
- Графік нескінченний та визначений на проміжку (- ∞; + ∞).
- Арктангенс непарна функція, отже, arctg (-x) = arctg x.
- Y = 0 за x = 0.
- Крива зростає по всій області визначення.
Наведемо короткий порівняльний аналіз tg x та arctg x у вигляді таблиці.
Арккотангенс
Arcctg числа a — приймає таке значення з інтервалу (0; π), що його котангенс дорівнює а.
Властивості функції арккотангенсу:
- Інтервал визначення функції – нескінченність.
- Область допустимих значень – проміжок (0; π).
- F(x) не є ні парною, ні непарною.
- На всьому своєму протязі графік функції зменшується.
Порівняти ctg x і arctg x дуже просто, потрібно лише зробити два малюнки та описати поведінку кривих.
Завдання 2.Співвіднести графік та форму запису функції.
Якщо міркувати логічно, з графіків видно, що обидві функції зростають. Отже, обидва малюнки відображають певну функцію arctg. З властивостей арктангенса відомо, що y = 0 при x = 0,
Відповідь:рис. 1 - 1, рис. 2 – 4.
Тригонометричні тотожності arcsin, arcos, arctg та arcctg
Раніше нами вже було виявлено взаємозв'язок між арками та основними функціями тригонометрії. Ця залежність може бути виражена рядом формул, що дозволяють виразити, наприклад, синус аргументу, через його арксинус, арккосинус або навпаки. Знання подібних тотожностей буває корисним під час вирішення конкретних прикладів.
Також існують співвідношення для arctg та arcctg:
Ще одна корисна пара формул, що встановлює значення для суми значень arcsin і arcos, а також arcctg і arcctg одного і того ж кута.
Приклади розв'язання задач
Завдання тригонометрії можна умовно поділити на чотири групи: обчислити числове значення конкретного виразу, побудувати графік цієї функції, знайти її область визначення або ОДЗ і виконати аналітичні перетворення для вирішення прикладу.
При вирішенні першого типу завдань необхідно дотримуватись наступного плану дій:
Працюючи з графіками функцій головне – це знання їхніх властивостей та зовнішнього вигляду кривої. Для розв'язання тригонометричних рівнянь та нерівностей необхідні таблиці тотожностей. Що більше формул пам'ятає школяр, то простіше знайти відповідь завдання.
Допустимо в ЄДІ необхідно знайти відповідь для рівняння типу:
Якщо правильно перетворити вираз і привести до потрібного вигляду, вирішити його дуже просто і швидко. Для початку перенесемо arcsin x в праву частину рівності.
Якщо згадати формулу arcsin (sin α) = α, то можна звести пошук відповідей до вирішення системи із двох рівнянь:
Обмеження на модель x виникло, знов-таки з властивостей arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0 частина системи являє собою квадратне рівняння з корінням x1 = 1 і x2 = - 1/a. При a = 0, x дорівнюватиме 1.