Що таке коло вписане в багатокутник.

Головна

Для трикутника завжди можливі і вписане коло та описане коло.

Для чотирикутника коло можна вписати тільки у тому випадку, якщо суми його протилежних сторін однакові. З усіх паралелограмів тільки в ромб і квадрат можна вписати коло. Її центр лежить на перетині діагоналей. Навколо чотирикутника коло можна описати лише якщо сумапротилежних кутів

дорівнює 180 °. З усіх паралелограмів лише біля прямокутника та квадрата можна описати коло. Її центр лежить на перетині діагоналей.

Навколо трапеції можна описати коло або в трапецію можна вписати коло якщо трапеція рівнобока.

Центр описаного кола

Теорема. Центр описаного біля трикутника кола є точкою перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника.

Центр описаного біля багатокутника кола є точкою перетину серединних перпендикулярів до сторін цього багатокутника.

Центр Вписане колоВизначення . Вписана вопуклий багатокутник

коло - це коло, що стосується всіх сторін цього багатокутника (тобто кожна зі сторін багатокутника є для кола дотичним).

Центр вписаного кола лежить усередині багатокутника.

Багатокутник, в який вписано коло, називається описаним.У опуклий багатокутник можна вписати коло, якщо бісектриси всіх йоговнутрішніх кутів

перетинаються в одній точці.Центр вписаного в багатокутник кола

- Точка перетину його бісектрис.

Центр вписаного кола рівновіддалений від сторін багатокутника. Відстань від центру до будь-якої сторони дорівнює радіусу вписаного кола За властивістю дотичних, проведених з однієї точки, будь-яка вершина описаного багатокутника рівновіддалена від точок торкання, що лежать на сторонах, що виходять з цієї вершини.

У будь-який трикутник можна вписати коло. Центр вписаного в трикутник кола називається інцентром. У опуклий чотирикутник можна вписати коло тоді і лише тоді, коли суми довжин йогопротилежних сторін

рівні. Зокрема, в трапецію можна вписати коло, якщо сума її підстав дорівнює сумі бічних сторін. правильного багатокутникаможна також описати коло. Центр вписаного та описаного кіл лежать у центрі правильного багатокутника.

Для будь-якого описаного багатокутника радіус вписаного кола може бути знайдений за формулою

Де S – площа багатокутника, p – його напівпериметр.

Правильний n-кутник - формули

Формули довжини сторони правильного n-кутника

1. Формула сторони правильного n-кутника через радіус вписаного кола:

2. Формула сторони правильного n-кутника через радіус описаного кола:

Формула радіуса вписаного кола правильного n-кутника

Формула радіуса вписаного кола n-кутника через довжину сторони:

4. Формула радіусу описаного кола правильного трикутникачерез довжину сторони:

6. Формула площі правильного трикутника через радіус вписаного кола: S = r 2 3√3

7. Формула площі правильного трикутника через радіус описаного кола:

4. Формула радіуса описаного кола правильного чотирикутника через довжину сторони:

2. Формула сторони правильного шестикутникачерез радіус описаного кола: a = R

3. Формула радіуса вписаного кола правильного шестикутника через довжину сторони:

6. Формула площі правильного шестикутника через радіус вписаного кола: S = r 2 2√3

7. Формула площі правильного шестикутника через радіус описаного кола:

S =	R 2 3√3

8. Кут між сторонами правильного шестикутника: α = 120°

Значення числа(вимовляється «пі») - математична константа, рівна відношенню

довжини кола до довжини її діаметра, воно виражається нескінченним десятковим дробом.

Позначається буквою грецького алфавіту пі. Чому дорівнює число пі?У простих випадкахвистачає знати перші 3 знаки (3,14).

53. Знайдемо довжину дуги кола радіуса R, що відповідає центральному куту в n°

Центральний кут, що спирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола, називається кутом 1 радіан.

Градусна міра кута в 1 радіан дорівнює:

Так як дуга завдовжки π R (напівколо), стягує центральний куту 180 ° , то дуга довжиною R, стягує кут π разів менший, тобто.

І навпаки

Так як π = 3,14, то 1 рад = 57,3 °

Якщо кут містить aрадіан, то його градусний західдорівнює

І навпаки

Зазвичай, при позначенні міри кута в радіанах найменування «рад» опускають.

Наприклад, 360° = 2π радий, пишуть 360° = 2π

У таблиці вказані найчастіше зустрічаються кути в градусній та радіанній мірі.

Розповідає Дмитро Шилов, юрист незалежної аналітичної агенції «Інвесткафе»:

Шлюбний договір – порівняно новий інститутсучасного вітчизняного права, який був створений з прийняттям та набранням чинності з 01 березня 1996 року Сімейного кодексу Російської Федерації. Однією з основних причин його появи стала необхідність регулювати майнові відносини подружжя у рамках відносин приватної власності- вони, до речі, тільки-но зароджувалися в середині 90-х років минулого століття. Відповідно, держава надала громадянам, які перебувають у шлюбі, можливість регулювати свої майнові відносини – на основі договору.

Минуло понад п'ятнадцять років, як інститут шлюбного договору регулюється нормами сімейного права. Тим не менш, у багатьох росіян залишилося дуже не позитивне ставленнядо можливості укладання шлюбного договору. Пов'язано це, як правило, з відсутністю точних знаньта розуміння такого роду договірних відносин подружжя, а також з національними звичаями, засадами та поглядами, що склалися за багато років і навіть покоління. Для деяких подружжя, наприклад, пропозиція іншого подружжя укласти шлюбний договір означає, як мінімум, недовіру. Плюс, внутрішньосімейні майнові відносини - це суто особиста справа кожної сім'ї, і кожна сім'я має право сама вирішувати - як регулювати ці відносини в період шлюбу.

Правила гри

Отже, що таке шлюбний договір? Шлюбним договором визнається угода осіб, які одружуються (майбутнього подружжя), чи угоду подружжя, що визначає майнові правничий та обов'язки подружжя у шлюбі і (чи) у разі розірвання. Одночасно хочу особливо відзначити те, що шлюбний договір регулює лише правничий та обов'язки, пов'язані з майновими відносинами подружжя. І не може обмежувати правоздатність або дієздатність подружжя, їх право на звернення до суду за захистом своїх прав, не може регулювати особисті немайнові відносини між подружжям, права та обов'язки подружжя щодо дітей, не може передбачати положення, що обмежують право непрацездатного подружжя на отримання змісту , містити інші умови, які ставлять одного з подружжя у вкрай несприятливе становище або суперечать основним засадам сімейного законодавства.

за загальному правилушлюбний договір укладається в письмовій форміта підлягає нотаріальному посвідченню. У інакшетакий договір вважатиметься не укладеним і не привабливим для сторін, які його підписали, будь-яких правових наслідків. Шлюбний договір діє у період шлюбу, зареєстрованого відповідно до правил сімейного законодавства. Причому його можна укласти подружжю як у період шлюбу, і до одруження. Відповідно, укласти шлюбний договір на період т.зв. «громадянського шлюбу» неможливо.

Переваги

Шлюбним договором подружжя має право змінити встановлений закономрежим спільної власності, суть якого полягає в тому, що набуте подружжям у період шлюбу майно є їхньою спільною власністю (без визначення часток), і розпорядження таким майном здійснюється ТІЛЬКИ за взаємною згодою подружжя. Причому шлюбним договором можна встановити режим спільної, пайовий або т.зв. «роздільної» власності як на все майно подружжя, так і на його окремі види, або майно кожного з подружжя. Шлюбний договір може бути укладений як щодо наявного, так і щодо майбутнього (придбаного після укладання шлюбного договору) майна подружжя. Наприклад, можна як розділити наявну в подружжя нерухомість, а й визначити їх правничий та обов'язки з її взаємному змісту, і навіть методи участі у доходах одне одного, порядок несення кожним їх сімейних витрат; визначити майно, яке буде передано кожному з подружжя у разі розірвання шлюбу, а також включити до шлюбного договору будь-які інші положення щодо майнових відносин подружжя.

Шлюбний договір може бути змінений або розірваний у будь-який час за згодою подружжя. Угода про зміну або розірвання шлюбного договору відбувається у тій формі, як і сам шлюбний договір (тобто. у письмовій формах з обов'язковим посвідченням такої угоди нотаріусом). Також закон передбачає можливість на вимогу одного з подружжя судовому порядкузмінити чи розірвати шлюбний договір. Крім того, дія шлюбного договору припиняється з моменту припинення шлюбу, за винятком тих зобов'язань, які передбачені шлюбним договором на період після припинення шлюбу.

За родом своїм практичної діяльностія часто стикаюся з ситуаціями, що стосуються поділу майна подружжя. Такі ситуації, як правило, виникають при розірванні шлюбу і, відповідно поділ майна - психологічно складний для колишнього подружжя процес. Безперечно, загальновідомий слоган «З милим рай у курені» має певною мірою свою актуальність, але, на мою думку, регулює саме особисті немайнові взаємини подружжя. Я також є прихильником думки, що ухвалення рішення про укладання шлюбного договору - процес суто індивідуальний і що таке рішення має прийматися лише подружжям і без будь-якого втручання ззовні. Крім, звичайно, держави, яка регулює на законодавчому рівні правила цієї «гри».

До речі

На Заході практика шлюбних договорів набагато поширеніша, ніж у нас, тим більше якщо йдеться про багатих і знаменитих. Причому у разі останніх зміст«подружньої угоди» часто стає надбанням громадськості, і в результаті весь світ дізнається досить пікантні подробиці сімейного життядеяких зірок.

Наприклад, актор та режисер Бен Аффлек, одружуючись на співачки Дженніфер Лопес, письмово зобов'язався виконувати свій подружній обов'язокне менше ніж 4 рази на тиждень. Крім того, один із пунктів шлюбного контракту встановлював «штраф» за зраду в розмірі мільйона доларів на користь ошуканого чоловіка. Невідомо, хто саме наполіг на цій умові, проте Аффлек завжди був у голлівудській тусовці відомим ловеласом.

Ще один не зовсім простий договір уклали актриса Ніколь Кідман та рок-музикант Кіт Урбан. Виходячи заміж за Урбана, Ніколь взяла з нього обіцянку розсудливість і забути спосіб життя рок-зірки; а як гарантія в шлюбному контракті з'явився пункт, згідно з яким Урбан ніколи не вживатиме кокаїн. Якщо він дотримуватиметься цієї умови, за кожен рік сімейного життя він отримуватиме «зарплату» у розмірі 640 тисяч доларів. Якщо ж зірветься – не отримає нічого.

А ось приклад невдалого шлюбного договору - це контракт між моделлю Клаудією Шиффер та бізнесменом Тімом Джеффі, який у результаті став причиною їхнього розставання. Якраз напередодні весілля Тім витратив 60 тисяч доларів із кишені своєї майбутньої дружини, тому в контракті вона вказала, що він може витрачати лише самостійно заробітні гроші. Ображений Тім назвав Шиффер надто меркантильною і розірвав заручини.

«Описане коло»ми бачили, що навколо будь-якого трикутника можна описати коло. Тобто, для кожного трикутника знайдеться таке коло, що всі три вершини трикутника сидять на ньому. Ось так:

Питання: а чи можна те саме сказати про чотирикутник? Чи правда, що завжди знайдеться коло, на якому «сидітимуть» усі чотири вершини чотирикутника?

Ось виявляється, що це НЕПРАВДА! НЕ ЗАВЖДИ чотирикутник можна вписати в коло. Є дуже важлива умова:

На нашому малюнку:

Подивися, кути і лежать один навпроти одного, отже, вони протилежні. А що ж тоді з кутами та? Вони начебто теж протилежні? Чи можна замість кутів і взяти кути?

Звичайно можна! Головне, щоб у чотирикутника знайшлися якісь два протилежні кути, сума яких буде. Два кути, що залишилися, тоді самі собою теж дадуть у сумі. Не віриш? Давай переконаємось. Дивись:

Нехай. Чи пам'ятаєш ти, чому дорівнює сума всіх чотирьох кутів будь-якого чотирикутника? Звичайно, . Тобто – завжди! . Але → .

Чари прямо!

Так що запам'ятай міцно-міцно:

Якщо чотирикутник вписаний у коло, то сума будь-яких двох його протилежних кутів дорівнює

і навпаки:

Якщо чотирикутник має два протилежні кути, сума яких дорівнює, то такий чотирикутник вписаний.

Доводити все це ми не будемо (якщо цікаво, заглядай у наступні рівні теорії). Але подивимося, до чого призводить цей чудовий факт про те, що вписаний чотирикутник сума протилежних кутів дорівнює.

Ось, наприклад, спадає на думку питання, а чи можна описати коло навколо паралелограма? Спробуємо спершу «методом тику».

Ось якось не виходить.

Тепер застосуємо знання:

Припустимо, що нам якось вдалося посадити на паралелограм коло. Тоді неодмінно має бути: тобто.

А тепер згадаємо властивості паралелограма:

у кожного паралелограма протилежні кути рівні.

У нас вийшло, що

А що ж кути та? Ну, те саме звичайно.

Вписаний → →

Паралелограм→ →

Приголомшливо, правда?

Вийшло, що й паралелограм вписаний у коло, всі його кути рівні, тобто це прямокутник!

І ще при цьому - центр кола збігається з точкою перетину діагоналей цього прямокутника. Це, так би мовити, як бонус додається.

Ну, отже, з'ясували, що паралелограм, вписаний у коло - прямокутник.

А тепер поговоримо про трапецію. Що буде, якщо трапецію вписати в коло?А виявляється, буде рівнобедрена трапеція . Чому?

Ось нехай трапеція вписана в коло. Тоді знову, але через паралельність прямих і.

Отже, маємо: → → трапеція рівнобока.

Навіть простіше, ніж із прямокутником, правда? Але запам'ятати треба твердо - знадобитися:

Давай ще раз перерахуємо самі основні твердження, що стосуються чотирикутника, вписаного в коло:

Чотирьохкутник вписаний у коло тоді і лише тоді, коли сума двох його протилежних кутів дорівнює
Паралелограм, вписаний у коло - обов'язково прямокутникі центр кола збігається з точкою перетину діагоналей
Трапеція, вписана в коло – рівнобока.

Вписаний чотирикутник. Середній рівень

Відомо, що для будь-якого трикутника існує описане коло (це ми доводили в темі «Описане коло»). Що ж можна сказати про чотирикутник? Ось, виявляється, що НЕ ВСЯКИЙ чотирикутник можна вписати в коло, а є така теорема:

Чотирьохкутник вписаний у коло тоді і лише тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює.

На нашому малюнку -

Давай спробуємо зрозуміти чому так? Іншими словами, ми зараз доведемо цю теорему. Але як доводити, треба зрозуміти, як влаштовано саме твердження. Ти помітив у твердженні слова «тоді й тільки тоді»? Такі слова означають, що шкідливі математики впихнули два твердження в одне.

Розшифровуємо:

"Тоді" означає: Якщо чотирикутник вписаний в коло, то сума будь-яких двох його протилежних кутів дорівнює.
"Тільки тоді" означає: Якщо у чотирикутника знайдуться два протилежні кути, сума яких дорівнює, то такий чотирикутник можна вписати в коло.

Прямо як у Аліси: «думаю, що говорю» і «говорю, що думаю».

А тепер розуміємось, чому ж вірно і 1, і 2?

Спершу 1.

Нехай чотирикутник вписаний у коло. Відзначимо її центр і проведемо радіуси та. Що ж вийде? Чи пам'ятаєш ти, що вписаний кут вдвічі менший за відповідний центральний? Якщо пам'ятаєш – зараз застосуємо, а якщо не дуже – заглянь у тему «Кількість. Вписаний кут».

Вписаний

Але подивися: .

Виходить, що якщо - вписаний, то

Ну, і ясно, що теж у сумі складає. (Потрібно так само розглянути і).

Тепер і "навпаки", тобто 2.

Нехай виявилося так, що у чотирикутника сума якихось двох протилежних кутів дорівнює. Скажімо, нехай

Ми поки що не знаємо, чи можемо описати навколо нього коло. Але ми точно знаємо, що навколо трикутника ми гарантовано коло описати можемо. Так і зробимо це.

Якщо точка не «сіла» на коло, то вона неминуче виявилася чи зовні, чи всередині.

Розглянемо обидва випадки.

Нехай спочатку точка – зовні. Тоді відрізок перетинає коло в якійсь точці. З'єднаємо в. Вийшов вписаний (!) чотирикутник.

Про нього вже знаємо, що його протилежних кутів дорівнює, тобто, а за умовою в нас.

Виходить, що мало б бути так, що.

Але це ніяк не може бути, оскільки - зовнішній кутдля і означає, .

А всередині? Виконаємо схожі дії. Нехай крапка всередині.

Тоді продовження відрізка перетинає коло у точці. Знову - вписаний чотирикутник, а за умовою має виконуватися, але - зовнішній кут і значить, тобто знову ніяк не може бути так, що.

Тобто точка не може виявитися ні зовні, ні всередині кола - значить, вона на кола!

Довели всю теорему!

Тепер подивимося, які ж добрі наслідки дає ця теорема.

Наслідок 1

Паралелограм, вписаний у коло, може лише прямокутником.

Давай зрозуміємо, чому так. Нехай паралелограм вписаний у коло. Тоді має виконуватися.

Але з властивостей паралелограма ми знаємо що.

І те саме, природно, щодо кутів і.

Ось і вийшов прямокутник - всі кути.

Але, крім того, є ще додатковий приємний факт: центр кола, описаного біля прямокутника, збігається з точкою перетину діагоналей.

Давай зрозуміємо, чому. Сподіваюся, ти добре пам'ятаєш, що кут, що спирається на діаметр - прямий.

Діаметр,

Діаметр

отже, - центр. От і все.

Наслідок 2

Трапеція, вписана в коло - рівностегна.

Нехай трапеція вписана в коло. Тоді.

І також.

Чи ми все обговорили? Не зовсім. Насправді є ще один, секретний спосіб, як дізнаватися вписаний чотирикутник. Ми цей спосіб сформулюємо не дуже суворо (але зрозуміло), а доведемо лише на останньому рівні теорії.

Якщо в чотирикутнику можна спостерігати таку картинку, як тут на малюнку (тут кути, що «дивляться» на бік з точок і рівні), то такий чотирикутник - вписаний.

Це дуже важливий малюнок – у завданнях часто буває легше знайти рівні кути, ніж сума кутів і.

Незважаючи на досконалу відсутність суворості у нашому формулюванні, вона вірна, і більше того, завжди приймається перевіряючими ЄДІ. Ти маєш писати приблизно так:

"- вписаний" - і все буде чудово!

Не забувай цей важлива ознака- Запам'ятай картинку, і, можливо, вона тобі вчасно впаде в очі при вирішенні завдання.

Вписаний чотирикутник. Короткий опис та основні формули

Якщо чотирикутник вписаний у коло, то сума будь-яких двох його протилежних кутів дорівнює

і навпаки:

Якщо чотирикутник має два протилежні кути, сума яких дорівнює, то такий чотирикутник вписаний.

Чотирьохкутник вписаний у коло тоді й лише тоді, коли сума двох його протилежних кутів дорівнює.

Паралелограм, вписаний у коло- Обов'язково прямокутник , і центр кола збігається з точкою перетину діагоналей.

Трапеція, вписана в коло - рівнобока.

ВПИСАТИ

1. когось. Записати, внести, включити до списку (офіц.).

2. що. Приписати між близько написаного. Вписати пропущені слова.

3. що. Викреслити одну фігуру всередині іншої так, щоб вона була вписаною (2 знач., мат.). Вписати трикутник у коло.

Тлумачний словник Ушакова.

Д.М. Ушаків.:

1935-1940.

Антоніми Дивитись що таке "ВПИСАТИ" в інших словниках:

Записати, внести, занести. Ant. викреслити Словник російських синонімів. вписати вставити, внести, занести див. також записати Словник синонімів російської мови. Практичний довідник М: Російська мова. З. Є. Александрова … Словник синонімів

ВПИСАТИ, ішу, ішеш; ісанний; совер. 1. кого (що) у що. Написавши, внести, включити куди зв. Ст цитату в текст. В. прізвище до списку. Ст славну сторінку в історію (перен.; висока.). 2. що. В математиці: накреслити одну фігуру всередині іншої з ...Тлумачний словник Ожегова вписати- що у що. Вписати пропущене слово у текст. Хто, за хвилину гніву, не вимагав від них [ станційних доглядачів

ВПИСАТИ, ішу, ішеш; ісанний; совер. 1. кого (що) у що. Написавши, внести, включити куди зв. Ст цитату в текст. В. прізвище до списку. Ст славну сторінку в історію (перен.; висока.). 2. що. В математиці: накреслити одну фігуру всередині іншої з ...] фатальної книги, щоб вписати в цю свою марну скаргу ... (Пушкін) … Словник управління

ВПИСАТИ, ішу, ішеш; ісанний; совер. 1. кого (що) у що. Написавши, внести, включити куди зв. Ст цитату в текст. В. прізвище до списку. Ст славну сторінку в історію (перен.; висока.). 2. що. В математиці: накреслити одну фігуру всередині іншої з ...- ВПИСАТИ, аю, аешь; несов. (Рад. ВПИСАТИ, впишу, впишеш). 1. кого куди. Пускати переночувати; надавати нічліг. 2. кому, куди. Бити, вдаряти. Хука йому в гризло (в обличчя) впиши... Словник російського арго

- пишу/, пи/шеш; впи/санний; сан, а, про; св. див. тж. вписувати, вписуватися, вписування що 1) Вставити що л. додатково вже написаний текст; зробити вставку, приписку між або біля написаного, надрукованого … Словник багатьох виразів I сов. перех. див. вписувати I II рад. перех. див. вписувати II Тлумачний словник Єфремової. Т. Ф. Єфремова. 2000 …Сучасний

тлумачний словник

російської мови Єфремової Словник антонімів

ВПИСАТИ, ішу, ішеш; ісанний; совер. 1. кого (що) у що. Написавши, внести, включити куди зв. Ст цитату в текст. В. прізвище до списку. Ст славну сторінку в історію (перен.; висока.). 2. що. В математиці: накреслити одну фігуру всередині іншої з ...- (I)‚ впишу/(сь)‚ впи/шеш(ся)‚ блазень(ся) … Орфографічний словникросійської мови

Книги

Мій особистий щоденник М'ятний (з конвертами та подарунковою наклейкою) . Смешбук – це місце для вільної творчості! Тут немає правил та умов – роби все, що хочеться. Розливай клей, розкидай намистини, сухе листя, красиві стрічки, гудзики, малюй,…
Повний контроль. Щоденник-планувальник , Іцхак Пінтосевич. Цей щоденник-планувальник – унікальна розробка автора бестселерів щодо розвитку особистості Іцхака Пінтосевича. Допомагає правильно розподілити свій час, позначити цілі та досягти їх…

Визначення

Окружність \(S\) вписана в кут \(\alpha\) , якщо \(S\) стосується сторін кута \(\alpha\) .

Окружність (S) вписана в багатокутник (P), якщо (S) стосується всіх сторін (P).

У цьому випадку багатокутник (P) називається описаним біля кола.

Теорема

Центр вписаної в кут кола лежить на його бісектрисі.

Доведення

Нехай \(O\) - центр деякого кола, вписаного в кут \(BAC\). Нехай \(B"\) - точка дотику кола і \(AB\) , а \(C"\) - точка дотику кола і \(AC\) , тоді \(OB"\) і \(OC"\) – радіуси, проведені в точки дотику, отже, \(OC"\perp AC\) , \(OB"\perp AB\) , \(OC" = OB"\) .

Отже, трикутники \(AC"O\) та \(AB"O\) - прямокутні трикутники, У яких рівні катети та загальна гіпотенуза, отже, вони рівні, звідки \(\angle CAO = \angle BAO\) , Що і потрібно довести.

Теорема

У будь-який трикутник можна вписати єдине коло, причому центр цього вписаного кола є точка перетину бісектрис трикутника.

Доведення

Проведемо бісектриси кутів (angle A) і (angle B). Нехай вони перетнулися в точці \ (O \).

Т.к. \(O\) лежить на бісектрисі \(\angle A\) , то відстані від точки \(O\) до сторін кута рівні: \(ON=OP\) .

Т.к. \(O\) також лежить на бісектрисі \(\angle B\), то \(ON=OK\). Отже, \(OP=OK\) , отже, точка \(O\) рівновіддалена від сторін кута \(\angle C\) , отже, лежить з його бісектрисі, тобто. \(CO\) - бісектриса \(\angle C\) .

Таким чином, точки \(N, K, P\) рівновіддалені від точки \(O\), тобто лежать на одному колі. За визначенням це і є вписане в трикутник коло.

Ця коло єдина, т.к. якщо припустити, що існує інша вписана в \(\triangle ABC\) коло, то вона матиме той же центр і той же радіус, тобто збігатися з першим колом.

Таким чином, принагідно була доведена наступна теорема:

Слідство

Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.

Теорема про площу описаного трикутника

Якщо \(a,b,c\) - сторони трикутника, а \(r\) - радіус вписаного в нього кола, то площа трикутника \ де \(p=\dfrac(a+b+c)2\) - напівпериметр трикутник.

Доведення

\(S_(\triangle ABC)=S_(\triangle AOC)+S_(\triangle AOB)+S_(\triangle BOC)=\frac12OP\cdot AC+\frac12 ON\cdot AB+\frac12 OK\cdot BC\).

Але \(ON=OK=OP=r\) – радіуси вписаного кола, отже,

Слідство

Якщо в багатокутник вписано коло і \(r\) – його радіус, то площа багатокутника дорівнює добутку напівпериметра багатокутника на (r\) : \

Теорема

У опуклий чотирикутник можна вписати коло тоді й лише тоді, коли суми його протилежних сторін дорівнюють.

Доведення

Необхідність.Доведемо, що якщо в (ABCD) вписано коло, то (AB + CD = BC + AD).

Нехай \(M,N,K,P\) – точки торкання кола та сторін чотирикутника. Тоді \(AM, AP\) – відрізки дотичних до кола, проведені з однієї точки, отже \(AM=AP=a\) . Аналогічно, \(BM=BN=b, \CN=CK=c, \DK=DP=d\).

Тоді: (AB+CD=a+b+c+d=BC+AD) .

Достатність.Доведемо, що й суми протилежних сторін чотирикутника рівні, то нього можна вписати окружність.

Проведемо бісектриси кутів \(\angle A\) і \(\angle B\), нехай вони перетнуться в точці \(O\). Тоді точка \(O\) рівновіддалена від сторін цих кутів, тобто від \(AB, BC, AD\). Впишемо коло в \(\angle A\) і \(\angle B\) з центром у точці \(O\) . Доведемо, що це коло стосуватиметься і сторони (CD).

Припустимо, що це негаразд. Тоді \(CD\) або є січною, або не має загальних точокз колом. Розглянемо другий випадок (перший доводитиметься аналогічно).

Проведемо дотичну пряму (C"D"parallel CD) (як показано на малюнку). Тоді \(ABC"D"\) – описаний чотирикутник, отже, \(AB+C"D"=BC"+AD"\) .

Т.к. \(BC"=BC-CC", \ AD"=AD-DD"\) , то:

Отримали, що у чотирикутнику \(C"CDD"\) сума трьох сторін дорівнює четвертій, що неможливо*. Отже, припущення помилкове, отже, \(CD\) стосується кола.

Зауваження*.Доведемо, що в опуклому чотирикутникунеспроможна сторона дорівнювати сумі трьох інших.

Т.к. в будь-якому трикутнику сума двох сторін завжди більша за третю, то \(a+x>d\) і \(b+c>x\) . Складаючи дані нерівності, отримаємо: (a+x+b+c>d+x \Rightarrow a+b+c>d\). Отже, сума будь-яких трьох сторін завжди більша за четверту сторону.

Теореми

1. Якщо паралелограм вписано коло, він – ромб (рис. 1).

2. Якщо прямокутник вписано коло, він – квадрат (рис. 2).

Вірні та зворотні твердження: у будь-який ромб і квадрат можна вписати коло, і до того ж лише одну.

Доведення

1) Розглянемо паралелограм (ABCD), в який вписано коло. Тоді (AB+CD=BC+AD) . Але в паралелограмі протилежні сторонирівні, тобто. \(AB=CD, \BC=AD\) . Отже, \(2AB=2BC\), отже, \(AB=BC=CD=AD\) , тобто. це ромб.

Зворотне твердження очевидне, причому центр цього кола лежить на перетині діагоналей ромба.

2) Розглянемо прямокутник (QWER). Т.к. прямокутник є паралелограмом, то згідно з першим пунктом (QW = WE = ER = RQ), тобто. це ромб. Але т.к. всі кути в нього прямі, це квадрат.

Зворотне твердження очевидне, причому центр цього кола лежить на перетині діагоналей квадрата.