Кульовим сегментомназивається частина кулі, що відсікається від нього площиною. Коло, що вийшло в перерізі, називається основою сегмента. Відрізок, що з'єднує центр основи сегмента з точкою поверхні кулі, перпендикулярний до основи, називається заввишки кульового сегмента (рис. 41). Поверхня сферичної частини кульового сегмента називається сферичним сегментом .
Для кульового сегмента вірні формули:
де R- Радіус кулі;
r– радіус основи кульового сегмента;
h- Висота сегмента;
S- Площа сферичної частини кульового сегмента (площа сферичного сегмента);
S повний- площа повної поверхнікульового сегмента;
V- Обсяг кульового сегмента.
Кульовий шар та сферичний пояс
Кульовим шаромназивається частина кулі, укладена між двома паралельними січними площинами. Кола, що вийшли у перерізі, називаються підставами шару. Відстань між січними площинами називається заввишки шару (рис. 42). Поверхня сферичної частини шарового шару називається сферичним поясом .
Куля, кульовий сегмент і шаровий шар можна розглядати як геометричні тіла обертання. При обертанні півкола навколо осі, що містить діаметр півкола виходить куля, відповідно при обертанні частин кола виходять частини кулі: кульовий сегмент і шаровий шар.
 |
Для шарового шару вірні формули:
де R- Радіус кулі;
R 1 , R 2– радіуси основ;
h- Висота;
S 1 , S 2- Площі підстав;
S– площа сферичної частини шарового шару (площа сферичного пояса);
S повний- Площа повної поверхні;
V- Обсяг кульового шару.
Кульовий сектор
Кульовим секторомназивається геометричне тіло, отримане при обертанні кругового сектора (з кутом менше) навколо осі, що містить один з бічних радіусів. Доповнення такого тіла до кулі також називається кульовим сектором . Таким чином, кульовий сектор складається з кульового сегмента і конуса, або кульового сегмента без конуса (рис. 43а, 43б).
 |
Мал. 43а. Мал. 43б.
Для кульового сектора вірні формули:
де R- Радіус кулі;
r– радіус основи сегмента;
h- Висота кульового сегмента;
S- Площа поверхні кульового сектора;
V- Обсяг кульового сектора.
приклад 1.Радіус кулі розділили на три рівні частини. Через точки поділу провели два перерізи перпендикулярні радіусу. Знайти площу сферичного пояса, якщо радіус кулі дорівнює 15см.
Рішення.Зробимо рисунок (рис. 44).
Для того, щоб обчислити площу сферичного пояса, треба знати радіус кулі та висоту. Радіус кулі відомий, а висоту знайдемо, знаючи, що радіус розділений на три рівні частини:
Тоді площа
Відповідь:
приклад 2.Куля перетнута двома паралельними площинами, що проходять перпендикулярно діаметру та по різні сторонивід центру кулі. Площі сферичних сегментів дорівнюють 42p см 2 і 70p см 2 . Знайти радіус кулі, якщо відстань між площинами 6 див.
Рішення.Розглянемо два сферичні сегменти з площами: де R –радіус кулі (сфери), h, H –висоти сегментів. Отримаємо рівняння: і маємо два рівняння із трьома невідомими. Складемо ще одне рівняння. Діаметр кулі дорівнює Вирішивши систему, знайдемо радіус кулі.
Û 
Þ 
¢. Значить, Загальна хорда перерізів
З DАОС(ОА -радіус) 
Отже Отже 
Порівнюючи обсяги сектора та кулі, отримуємо, що V c:V ш =1:4.
Спочатку зауважимо, що співвідношення (5), доведене у лемі п. 17.2, має значно велику спільність. Розглянемо деяку сферу радіусу R та на ній фігуру F (рис. 17.15). Назвемо кульовим сектором з основою F фігуру, утворену радіусами, проведеними у всі точки фігури
Окремі випадки кульових сегментів вже було розглянуто у п. 16.5. Узагальненням леми п. 17.2 є таке:
Лемма. Площа S області на сфері радіуса R та обсяг кульового сектора, основою якого служить дана область, пов'язані формулою
Нехай на сфері дана фігура F і нехай Q - кульовий сектор з основою F. Опишемо навколо кулі багатогранник і виріжемо з нього "сектор" пірамідою з вершиною в центрі кулі, що містить кульовий сектор Q. Якщо - площа поверхні, вирізаної з поверхні багатогранника, a - Обсяг, те, як і в лемі п. 17.2, . Тому межі, коли отримуємо формулу (13).
Знаючи формулу (13), можна знайти площі деяких частин сфери.
Сферичним сегментом назвемо частину сфери, відтяту від неї будь-якою площиною (рис. 17.16 а). Сферичним поясом назвемо частину сфери, що лежить між двома паралельними площинами (рис. 17.16 б). Висотою сферичного пояса називається відстань між цими площинами. На сферичний сегмент можна дивитися як на окремий випадоксферичного пояса, коли одна
із сіючих площин стала дотичною. Зрозуміло, висота сферичного сегмента - це висота відповідного йому кульового сегмента.
Відповідно до (13) і результатів п. 16.5 для площі сферичного сегмента D та обсягу V відповідного йому кульового сектора Q має місце рівність:
З цієї рівності отримуємо, що
де Н – висота сегмента
Переконайтеся, що така сама формула справедлива і для площі сферичного пояса, оскільки пояс є різницею двох сегментів.
Для кульового сегмента вірні формули:
де R- Радіус кулі;
r– радіус основи кульового сегмента;
h- Висота сегмента;
S- Площа сферичної частини кульового сегмента (площа сферичного сегмента);
S повний- Площа повної поверхні кульового сегмента;
V- Обсяг кульового сегмента.
Кульовий шар та сферичний пояс
Кульовим шаромназивається частина кулі, укладена між двома паралельними січними площинами. Кола, що вийшли у перерізі, називаються підставами шару. Відстань між січними площинами називається заввишки шару (рис. 42). Поверхня сферичної частини шарового шару називається сферичним поясом .
Куля, кульовий сегмент і шаровий шар можна розглядати як геометричні тіла обертання. При обертанні півкола навколо осі, що містить діаметр півкола виходить куля, відповідно при обертанні частин кола виходять частини кулі: кульовий сегмент і шаровий шар.
 |
Для шарового шару вірні формули:
де R- Радіус кулі;
R 1 , R 2– радіуси основ;
h- Висота;
S 1 , S 2- Площі підстав;
S– площа сферичної частини шарового шару (площа сферичного пояса);
S повний- Площа повної поверхні;
V- Обсяг кульового шару.
Кульовий сектор
Кульовим секторомназивається геометричне тіло, отримане при обертанні кругового сектора (з кутом менше) навколо осі, що містить один з бічних радіусів. Доповнення такого тіла до кулі також називається кульовим сектором . Таким чином, кульовий сектор складається з кульового сегмента і конуса, або кульового сегмента без конуса (рис. 43а, 43б).
 |
Мал. 43а. Мал. 43б.
Для кульового сектора вірні формули:
де R- Радіус кулі;
r– радіус основи сегмента;
h- Висота кульового сегмента;
S- Площа поверхні кульового сектора;
V- Обсяг кульового сектора.
приклад 1.Радіус кулі розділили на три рівні частини. Через точки поділу провели два перерізи перпендикулярні до радіусу. Знайти площу сферичного пояса, якщо радіус кулі дорівнює 15см.
Рішення.Зробимо рисунок (рис. 44).
Для того, щоб обчислити площу сферичного пояса, треба знати радіус кулі та висоту. Радіус кулі відомий, а висоту знайдемо, знаючи, що радіус розділений на три рівні частини:
Тоді площа
Відповідь:
приклад 2.Куля перетнута двома паралельними площинами, що проходять перпендикулярно діаметру і по різні боки від центру кулі. Площі сферичних сегментів дорівнюють 42p см 2 і 70p см 2 . Знайти радіус кулі, якщо відстань між площинами 6 див.
Рішення.Розглянемо два сферичні сегменти з площами: де R –радіус кулі (сфери), h, H –висоти сегментів. Отримаємо рівняння: і маємо два рівняння із трьома невідомими. Складемо ще одне рівняння. Діаметр кулі дорівнює Вирішивши систему, знайдемо радіус кулі.
Û Þ Û
За умовою завдання підходить значення
Відповідь: 7 див.
приклад 3.Перетин кулі площиною, перпендикулярної його діаметру, ділить діаметр щодо 1:2. У скільки разів площа перерізу менше площіповерхні кулі?
Рішення. Зробимо рисунок (рис. 45).
Розглянемо діаметральний переріз кулі: AD- Діаметр, O- Центр, OE=R- Радіус кулі, BE– радіус перерізу перпендикулярного діаметру кулі,
Висловимо BEчерез R: 
З DOBEвисловимо BEчерез R:
Площа перерізу площа поверхні кулі Отримуємо відношення. Значить, S 1менше S 2у 4,5 рази.
Відповідь:у 4,5 рази.
приклад 4.У кулі, радіус якої 13 см, проведено два взаємно перпендикулярних перерізівна відстані 4 см та 12 см від центру. Знайти довжину їхньої загальної хорди.
Рішення.Зробимо рисунок (рис. 46).
Перерізи перпендикулярні, т.к. OO 2– відстань та OO 1 –відстань. Таким чином, і , OC– діагональ прямокутника OO 2 CO 1і дорівнює АОВ
1.3. Знайдіть висоту кульового сегмента, якщо радіус його основи 15см, а радіус кулі 25см.
1.4. Куля, радіус якої 15 см, перетнута площиною на відстані 9 см від центру. Знайдіть площу сферичної частини кульового сегмента.
1.5. Знайдіть площу сфери, діаметр якої дорівнює діагоналі куба з ребром рівним 2 см.
1.6. Визначте, у скільки разів обсяг Землі більший за обсяг Місяця. (Діаметр Землі слід прийняти за 13 тис. км, діаметр Місяця – 3,5 тис. км.)
1.7. Об'єм стінок порожньої кулі дорівнює 876p см 3 , а товщина стінок – 3 см. Знайдіть радіуси зовнішньої та внутрішньої поверхонькулі.
1.8. Знайдіть об'єм кульового сектора, якщо радіус кулі 10 см, а радіус основи відповідного кульового сегмента 6 см.
1.9. Об'єм однієї кулі в 8 разів більший за об'єм іншої кулі. Визначте, у скільки разів площа поверхні першої кулі більше площіповерхні другої.
II рівень
2.1. Сторони трикутника, що дорівнюють 5 см, 5 см і 6 см, стосуються кулі, радіус якої 2,5 см. Знайдіть відстань від центру кулі до площини трикутника.
2.2. На поверхні кулі дано три точки. Відстань між ними 7 см. Радіус кулі дорівнює 7 см. Знайдіть відстань від центру кулі до площини через три точки.
2.3. Радіуси основ шарового шару дорівнюють 63 см і 39 см, його висота 36 см. Знайдіть радіус кулі.
2.4. Дана куля радіуса 12 см. Через одну точку його поверхні проведено дві площини: перша – дотична до кулі, друга – під кутом 60° до радіуса, проведеного в точку торкання. Знайдіть площу перерізу.
2.5. Визначте, яку площу має частина поверхні кулі, яка видна спостерігачеві, що знаходиться на відстані 10 м від нього, якщо радіус повітряної кулідорівнює 15 м-коду.
2.6. Куля перетнута двома площинами, що проходять через оду точку поверхні кулі і утворюють кут 60°. Радіус кулі дорівнює 4 см. Знайдіть площі поверхонь сегментів, що відсікаються, якщо кола їх основ мають рівні радіуси.
2.7. Куля стосується граней двогранного кута 120°. Відстань від центру кулі до ребра кута дорівнює 10 см. Знайдіть площу поверхні кулі.
2.8. З кулі вирізали шаровий шар, товщина якого 9 см, площі основ 400p см 2 і 49p см 2 . Знайдіть обсяги кульових сегментів, що залишилися.
2.9. Діаметр кулі розділений на чотири рівні частини і через точки поділу проведені площини, що січуть, перпендикулярні діаметру. Знайдіть обсяги отриманих частин кулі, якщо її радіус дорівнює R.
2.10. У кулі радіуса R просвердлено циліндричний отвір. Вісь циліндра проходить через центр кулі, діаметр отвору дорівнює радіусукулі. Знайдіть об'єм частини кулі, що залишилася.
3.1. Площини двох перерізів кулі взаємно перпендикулярні. Одна з цих площин проходить через центр, інша віддалена від нього на 12. Загальна хорда перерізів дорівнює 18. Знайдіть суму площ цих перерізів.
3.2. Радіус кулі 15 м. Поза кулею дана точка А на відстані 10м від поверхні. Знайдіть радіус такого кола на поверхні кулі, всі точки якої відстоять від А на 20 м.
3.3. З точки, взятої на поверхні кулі, проведено три рівні хорди, Кут між кожною парою яких дорівнює a. Знайдіть довжину хорди, якщо радіус кулі R.
3.4. Дві кулі внутрішньо торкаються в точці А, АВ – діаметр більшої з куль, ВС – дотична до меншого з них. Знайдіть радіуси куль, якщо ВС = 20 см, а різниця площ поверхонь куль дорівнює 700p см 2 .
3.5. Обчисліть об'єм кулі, радіус якої дорівнює ребру октаедра, що має поверхню площею 10 .
3.6. Круговий сектор з кутом 60° та радіусом R обертається біля одного з бічних радіусів. Знайдіть об'єм отриманого тіла обертання.
Інструкція
Кульовий сегмент можна розглядати як тіло, утворене в результаті обертання кругового сегмента навколо діаметра, який перпендикулярний його хорді. Висота кульового сегмента – відрізок, який з'єднує полюс кулі з центральною точкоюоснови цього сегмента.
Площа поверхні кульового сегмента S = 2πRh, у якій R – радіус кола, а h – висота кульового сегмента. Для кульового сегмента також розраховується об'єм. Його знайдіть за формулою: V = πh2(R – 1/3h), де R – радіус кола, а h – висота кульового сегмента.
Усі плоскі перерізи кулі утворюють кола. Найбільший розташований у перерізі, який проходить через центральну частинукулі: він називається великим колом. Радіус цього кола дорівнює радіусу кулі.
Площина, яка проходить через центр кулі, називають діаметральною. Перетин кулі діаметральною площиною утворює велике коло, а переріз сфери – велике коло.
Через дві точки сферичної поверхні, які розташовані на кінцях діаметра, можна провести величезну кількість. великих кіл. Приклад цього – Земля: через полюси планети можна провести незліченну кількість меридіанів.
Частина кулі, яка укладена між двома січними паралельними площинами, називається шаровим шаром. Кола паралельних перерізів– основи шару, а відстань між ними – висота.
Поділ кола на рівні частини зазвичай використовується для побудови правильних багатокутників. В принципі, можна ділити колона частини за допомогою транспортира, але іноді це незручно та неточно.
Інструкція
Щоб поділити колона шість частин, проробіть те саме для іншої осьової. Тоді вийде шість точок на колі.
Розподіл кола на чотири частини – тривіальне завдання. Чотири точки на перетині двох перпендикулярних осьових та кола ділитимуть цю колона чотири рівні частини. Щоб поділити колона 8 частин, треба розділити дугу, що відповідає 1/4 кола навпіл. Потім розвести циркуль на відстань, позначений червоним на малюнку, і відкласти цю відстань від отриманих чотирьох точок.
Щоб поділити колона п'ять рівних частин, для початку розділіть радіус на осьовий лініїнавпіл. У цю точку встановіть голку циркуля, а грифель відведіть до перетину перпендикулярного радіусу осьової і кола. На малюнку ця відстань показана червоною. Відкладайте цю відстань на колі, починаючи з осьової, а потім переносячи циркуль в точку перетину, що вийшла.
Повторіть всі ці дії дзеркально, щоб розбити колона 10 однакових частин.
Відео на тему
Джерела:
- як розділити коло на 8 частин
В силу певних причиніноді потрібно розділити колона рівні частини, але не завжди є необхідні навички та вміння, щоб це здійснити. Адже зробити це можна різними способами, Кожен з яких по-своєму практичний і зручний.
Вам знадобиться
- Папір, лінійка, транспортир, олівець, ножиці.
Інструкція
Можна піти найбільш простим шляхомтобто зробити копію потрібної фігури, вирізати її і потім шляхом згинання розділити на необхідна кількістьсегментів. Однак потрібно враховувати, що таким чином складаючи колонавпіл, його можна розділити на 2 частини . Склавши фігуру ще раз, отримаємо 4 частини. Продовжуючи складати колов результаті буде 8, а потім 16 частин. Потім можна докласти вирізаний колодо основного і відзначити в місцях заломів сегменти на основній потрібній фігурі.
Однак при розподілі колоа у такий спосіб не виходить 3, 5, 7, 9 або 11 частин. У таких випадках доведеться скористатися транспортиром. Якщо немає можливості визначити середину колоа, то знову спочатку потрібно обвести фігуру, вирізати її і скласти у два, а потім у чотири рази. Перпендикулярні лінії на перетині дадуть точку, що показує середину. Від неї потрібно проводити всі позначки.
Весь колоскладає 360 °, отже, можна порахувати градуси будь-якої кількості частин. Наприклад, потрібно зробити 5 сегментів. Для цього 360 ° розділіть на 5 частин – виходить 72 °. Тобто кожен сегмент становитиме 72°. Поставте транспортир, що охоплює 180° на середину та відміряйте 72°. Проведіть лінію від центральної серединної точки до відміреного градуса, потім виконайте те саме ще 3 рази. У результаті вийде 5 рівних частин колоа.