МОУ «Середня загальноосвітня школа№ 23»
міста Вологди
секція: природно - наукова
проектно-дослідницька робота
ВИДИ СИМЕТРІЇ
Виконала роботу учениця 8 «а» класу
Кренева Маргарита
Керівник: учитель математики вищої
2014
Структура проекту:
1. Введення.
2. Цілі та завдання проекту.
3. Види симетрії:
3.1. Центральна симетрія;
3.2. Осьова симетрія;
3.3. Дзеркальна симетрія (симетрія щодо площини);
3.4. Поворотна симетрія;
3.5. Переносна симетрія.
4. Висновки.
Симетрія є тією ідеєю, за допомогою якої людина протягом століть намагалася осягнути і створити порядок, красу та досконалість.
Г. Вейль
Вступ.
Тему моєї роботи було обрано після вивчення розділу «Осіва та центральна симетрія» в курсі «Геометрія 8 класу». Мене дуже зацікавила ця тема. Я захотіла дізнатися: які види симетрії існують, чим вони відрізняються один від одного, якими є принципи побудови симетричних фігур у кожному з видів.
Мета роботи : Знайомство з різними видами симетрії
Завдання:
Вивчити літературу з цього питання.
Узагальнити та систематизувати вивчений матеріал.
Підготувати презентацію.
У давнину слово «СИММЕТРІЯ» вживалося у значенні «гармонія», «краса». У перекладі з грецької це слово означає «пропорційність, однаковість у розташуванні частин чогось по протилежним сторонамвід точки, прямої чи площині.
Існують дві групи симетрій.
До першої групи належить симетрія положень, форм, структур. Це симетрія, яку можна безпосередньо бачити. Вона може бути названа геометричною симетрією.
Друга група характеризує симетрію фізичних явищта законів природи. Ця симетрія лежить у самій основі природничо картинисвіту: її можна назвати фізичною симетрією.
Я зупинюся на вивченнігеометричної симетрії .
У свою чергу, геометричній симетрії існує також кілька видів: центральна, осьова, дзеркальна (симетрія щодо площини) радіальна (або поворотна), переносна та інші. Я розгляну сьогодні 5 видів симетрії.
Центральна симетрія
Дві точки А та А 1 називаються симетричними щодо точки О, якщо вони лежать на прямій, що проходить через т і знаходяться по різні сторонивід неї однаковій відстані. Точка О називається центром симетрії.
Фігура називається симетричною щодо точкиПро якщо для кожної точки фігури симетрична їй точка щодо точкиПро також належить цій фігурі. КрапкаПро називається центром симетрії фігури, кажуть, що фігура має центральну симетрію.
Прикладами фігур, що мають центральну симетрію, є коло і паралелограм.
Фігури, зображені на слайді симетричні, щодо певної точки
2. Осьова симетрія
Дві точкиX і Y називаються симетричними щодо прямоїt , якщо ця пряма проходить через середину відрізка ХУ і перпендикулярна до нього. Також слід сказати, що кожна точка прямаt вважається симетричною сама собі.
Прямаt - Вісь симетрії.
Фігура називається симетричною щодо прямоїt, якщо для кожної точки фігури симетрична їй точка щодо прямоїt також належить цій фігурі.
Прямаtназивається віссю симетрії фігури, кажуть, що фігура має осьову симетрію.
Осьовий симетрією мають нерозгорнутий кут, рівнобедрений і рівносторонній трикутникі прямокутник і ромб,літери (дивися презентацію).
Дзеркальна симетрія (симетрія щодо площини)
Дві точки Р 1 і Р називаються симетричними щодо площини, а якщо вони лежать на прямій, перпендикулярній площиніа, і знаходяться від неї на однаковій відстані
Дзеркальна симетрія добре знайома кожній людині. Вона пов'язує будь-який предмет і його відображення у плоске дзеркало. Кажуть, що одна фігура є дзеркально симетричною іншою.
На площині фігурою з безліччю осей симетрії було коло. У просторі безліч площин симетрії має кулю.
Але якщо коло є єдиним у своєму роді, то у тривимірному світі є цілий рядтіл, що володіють нескінченним безліччю площин симетрії: прямий циліндр з колом у підставі, конус з круговою основою, куля.
Легко встановити, що кожна симетрична плоска фігура може бути за допомогою дзеркала поєднана сама з собою. Варто здивування, що такі складні фігури, Як п'ятикутна зірка або рівносторонній п'ятикутник, теж симетричні. Як це випливає з осей, вони відрізняються саме високою симетрією. І навпаки: не так просто зрозуміти, чому така, начебто, правильна фігураяк косокутний паралелограм, несиметрична.
4. П поворотна симетрія (або радіальна симетрія)
Поворотна симетрія - це симетрія, що зберігається у формі предметапри повороті навколо деякої осі на кут, що дорівнює 360°/n(або кратний цій величині), деn= 2, 3, 4, … Вказану вісь називають поворотною віссюn-го порядку.
Прип=2 усі точки фігури повертаються на кут 180 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) Навколо осі, у своїй форма фігури зберігається, тобто. Кожна точка фігури перетворюється на точку тієї ж фігури(фігура перетворюється в себе). Вісь називають віссю другого порядку.
На малюнку 2 показано вісь третього порядку, малюнку 3 – 4 порядку, малюнку 4 - 5-го порядку.
Предмет може мати більше однієї поворотної осі: рис.1 – 3осі повороту, рис.2 –4 осі, рис 3 – 5 осей, рис. 4 – тільки 1 вісь
Всім відомі літери «І» і «Ф» мають поворотну симетрію. Якщо повернути літеру «І» на 180° навколо осі, перпендикулярної до площини літери і проходить через її центр, то літера поєднається сама з собою. Іншими словами, буква «І» симетрична щодо повороту на 180°, 180°= 360°: 2,n=2 , отже вона має симетрію другого порядку.
Зауважимо, що поворотну симетрію другого порядку має також буква «Ф».
Крім того літера і має центр симетрії, а літера Ф вісь симетрії
Повернемося до прикладів із життя: склянка, конусоподібний фунт з морозивом, шматочок дроту, труба.
Якщо ми уважніше придивимося до цих тіл, то зауважимо, що всі вони так чи інакше складаються з кола через нескінченна безлічосей симетрії якого проходить безліч площин симетрії. Більшість таких тіл (їх називають тілами обертання) мають, звичайно, і центр симетрії (центр кола), через який проходить щонайменше одна поворотна вісь симетрії.
Виразно видно, наприклад, вісь біля конуса фунтика з морозивом. Вона проходить від середини кола (стирчить із морозива!) до гострого кінця конуса-фунтика. Сукупність елементів симетрії якогось тіла ми сприймаємо як свого роду міру симетрії. Куля, безперечно, щодо симетрії є неперевершеним втіленням досконалості, ідеалом. Стародавні греки сприймали його як найбільш досконале тіло, а коло, природно, як найбільш досконалу плоску постать.
Для опису симетрії конкретного об'єкта треба зазначити всі поворотні осі та його порядок, і навіть всі площини симетрії.
Розглянемо, наприклад, геометричне тіло, що складається з двох однакових правильних чотирикутних пірамід.
Воно має одну поворотну вісь 4-го порядку (вісь АВ), чотири поворотні осі 2-го порядку (осі РЄ,DF, MP, NQ), п'ять площин симетрії (площиниCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).
5 . Переносна симетрія
Ще одним видом симетрії єпереносна з імметрія.
Про таку симетрію говорять тоді, коли при перенесенні фігури вздовж прямої на якусь відстань «а» або відстань, кратну цій величині, вона поєднується сама з собою Пряма, вздовж якої проводиться перенесення, називається віссю перенесення, а відстань «а» - елементарним перенесенням, періодом чи кроком симетрії.
а
Рисунок, що періодично повторюється, на довгій стрічці називається бордюром. Насправді бордюри зустрічаються у різних видах (настінний розпис, чавунне лиття, гіпсові барельєфи чи кераміка). Бордюри застосовують маляри та художники при оформленні кімнати. Для виконання цих орнаментів виготовляють трафарет. Пересуваємо трафарет, перевертаючи чи не перевертаючи його, обводимо контур, повторюючи малюнок, і виходить орнамент (наглядна демонстрація).
Бордюр легко побудувати за допомогою трафарету (вихідного елемента), зрушуючи або перевертаючи його та повторюючи малюнок. На малюнку зображені трафарети п'яти видів:а ) несиметричний;б, в ) мають одну вісь симетрії: горизонтальну або вертикальну;г ) центрально-симетричний;д ) має дві осі симетрії: вертикальну та горизонтальну.
Для побудови бордюрів використовують такі перетворення:
а
) паралельне перенесення;б
) симетрію щодо вертикальної осі;в
) центральну симетрію;г
) симетрію щодо горизонтальної осі.
Аналогічно можна збудувати розетки. Для цього коло поділяють наn рівних секторів, в одному з них виконують зразок малюнка і потім послідовно повторюють останній в інших частинах кола, повертаючи малюнок щоразу на кут 360°/n .
Наочним прикладом застосування осьової та переносної симетрії може бути паркан, зображений на фотографії.
Висновок: Таким чином, існують різні видисиметрії, симетричні точки у кожному з цих видів симетрії будуються за певними законами. У житті ми всюди зустрічаємося тим чи іншим видом симетрії, а часто у предметів, які оточують нас, можна відзначити відразу кілька видів симетрії. Це створює порядок, красу і досконалість у навколишньому світі.
ЛІТЕРАТУРА:
Довідник з елементарної математики. М.Я. Вигодський. - Видавництво "Наука". - Москва 1971р. - 416стор.
Сучасний словник іноземних слів. - М: Російська мова, 1993г.
Історія математики у школіIX - Xкласи. Г.І. Глейзер. – Видавництво «Освіта». - Москва 1983р. - 351стор.
Наочна геометрія 5-6 класи. І.Ф. Шаригін, Л.М. Єрганжієва. - Видавництво "Дрофа", Москва 2005р. - 189стор.
Енциклопедія для дітей Біологія С. Ісмаїлова. - Видавництво "Аванта +". - Москва 1997р. - 704стор.
Урманцев Ю.А. Симетрія природи та природа симетрії - М.: Думка arxitekt / arhkomp2. htm, , ru.wikipedia.org/wiki/
Нехай g – фіксована пряма (рис. 191). Візьмемо довільну точку X та опустимо перпендикуляр АХ на пряму g. На продовженні перпендикуляра за точку А відкладемо відрізок АХ", рівний відрізкуАХ. Точка X" називається симетричною точкою X щодо прямої g.
Якщо точка X лежить на прямій g, то симетрична їй точка є сама точка X. Очевидно, що точка, симетрична точці Х є точка X.
Перетворення фігури F у фігуру F", при якому кожна її точка X переходить у точку X", симетричну щодо даної прямої g, називається перетворенням симетрії щодо прямої g. При цьому фігури F і F називаються симетричними щодо прямої g (рис. 192).
Якщо перетворення симетрії щодо прямої g переводить фігуру F у собі, то ця фігура називається симетричною щодо прямої g, а пряма g називається віссю симетрії фігури.
Наприклад, прямі, що проходять через точку перетину діагоналей прямокутника паралельно його сторонам, є осями симетрії прямокутника (рис. 193). Прямі, у яких лежать діагоналі ромба, є його осями симетрії (рис. 194).
Теорема 9.3. Перетворення симетрії щодо прямої є рухом.
Доведення. Приймемо цю пряму за вісь у декартової системикоординат (рис. 195). Нехай довільна точка А (х; у) фігури F перетворюється на точку А "(х"; у") фігури F". З визначення симетрії щодо прямої випливає, що у точок А та А "рівні ординати, а абсциси відрізняються тільки знаком:
х" = -х.
Візьмемо дві довільні точкиА(х 1 ; y 1) і В (х 2 ; y 2)- Вони перейдуть у точки А "(- х 1 , y 1) і В" (-x 2 ; y 2).
AB 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
A"B" 2 =(-x 2 + x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 .
Звідси видно, що АВ = А "В". А це означає, що перетворення симетрії щодо прямої є рухом. Теорему доведено.
симетрія архітектурний фасад споруда
Симетрія - поняття, яке відбиває існуючий у природі порядок, пропорційність і пропорційність між елементами будь-якої системи чи об'єкта природи, упорядкованість, рівновагу системи, стійкість, тобто. якийсь елемент гармонії.
Пройшли тисячоліття, як людство під час своєї суспільно-виробничої діяльності усвідомило необхідність висловити у певних поняттях встановлені їм передусім у природі дві тенденції: наявність суворої впорядкованості, пропорційності, рівноваги та його порушення. Люди давно звернули увагу на правильність форми кристалів, геометричну строгість будови бджолиних стільників, послідовність і повторюваність розташування гілок і листя на деревах, пелюсток, квітів, насіння рослин та відобразили цю впорядкованість у своїй. практичної діяльності, мислення та мистецтво.
Симетрією мають об'єкти та явища живої природи. Вона не тільки тішить око і надихає поетів усіх часів і народів, а дозволяє живим організмам краще пристосуватися до довкілля і просто вижити.
У живій природі більшість живих організмів виявляє різні види симетрій (форми, подоби, відносного розташування). Причому організми різної анатомічної будови можуть мати той самий тип зовнішньої симетрії.
Принцип симетрії - стверджує, що й простір однорідно, перенесення системи як цілого у просторі не змінює властивостей системи. Якщо всі напрями у просторі рівнозначні, то принцип симетрії дозволяє поворот системи як у просторі. Принцип симетрії дотримується, якщо змінити початок часу. Відповідно до принципу, можна зробити перехід в іншу систему відліку, що рухається щодо даної системи з постійною швидкістю. Неживий світ дуже симетричний. Нерідко порушення симетрії в квантової фізики елементарних частинок- Це прояв ще глибшої симетрії. Асиметрія є структуроутворюючим і принципом життя. У живих клітинах функціонально-значущі біомолекули асиметричні: білки складаються з лівообертаючих амінокислот (L-форма) нуклеїнові кислотимістять у своєму складі, крім гетероциклічних основ, правообертальні вуглеводи - цукру (Д-форма), крім того сама ДНК - основа спадковості є правою подвійною спіраллю.
Принципи симетрії лежать в основі теорії відносності, квантової механіки, фізики твердого тіла, атомної та ядерної фізики, фізики елементарних частинок Ці принципи найяскравіше виражаються у властивостях інваріантності законів природи. Йдеться при цьому не тільки про фізичні закони, Але й інші, наприклад, біологічні. Прикладом біологічного закону збереження може бути закон наслідування. В основі його лежить інваріантність біологічних властивостейпо відношенню до переходу від одного покоління до іншого. Цілком очевидно, що без законів збереження (фізичних, біологічних та інших) наш світ просто не міг би існувати.
Таким чином, симетрія виражає збереження чогось за якихось змін або збереження чогось, незважаючи на зміну. Симетрія передбачає незмінність як самого об'єкта, а й будь-яких його властивостей стосовно перетворенням, виконаним над об'єктом. Незмінність тих чи інших об'єктів може спостерігатися стосовно різноманітних операцій - до поворотів, переносів, взаємної заміни частин, відображень тощо.
Розглянемо види симетрії з математики:
- * центральна (щодо точки)
- * осьова (щодо прямої)
- * дзеркальна (щодо площини)
- 1. Центральна симетрія (додаток 1)
Фігура називається симетричною щодо точки Про, якщо для кожної точки фігури симетрична їй точка щодо точки Про також належить цій фігурі. Точка О називається центром симетрії фігури.
Вперше поняття центру симетрії зустрічається у XVI ст. В одній з теорем Клавіуса, що говорить: «якщо паралелепіпед розсікається площиною, що проходить через центр, він розбивається навпіл і, навпаки, якщо паралелепіпед розтинається навпіл, то площина проходить через центр». Лежандр, який вперше ввів у елементарну геометріюелементи вчення про симетрію, показує, що у прямого паралелепіпедає 3 площини симетрії, перпендикулярні до ребрів, а куб 9 площин симетрії, з яких 3 перпендикулярні до ребер, а інші 6 проходять через діагоналі граней.
Прикладами фігур, що мають центральну симетрію, є коло і паралелограм.
У алгебрі щодо чётних і непарних функцій розглядаються їх графіки. Графік парної функції під час побудови симетричний щодо осі ординат, а графік непарної функції - щодо початку координат, тобто. точки О. Значить, не парна функціямає центральну симетрію, а парна функція - осьовий.
2. Осьова симетрія (додаток 2)
Фігура називається симетричною щодо прямої а, якщо для кожної точки фігури симетрична їй точка щодо прямої а також належить цій фігурі. Пряма а називається віссю симетрії фігури. Кажуть також, що фігура має осьову симетрію.
У більш вузькому значеннівіссю симетрії називають вісь симетрії другого порядку і говорять про «осьову симетрію», яку можна визначити так: фігура (або тіло) має осьову симетрію щодо деякої осі, якщо кожній її точці Е відповідає така точка F, що належить цій же фігурі, що відрізок EF перпендикулярний до осі, перетинає її й у точці перетину ділиться навпіл.
Наведу приклади фігур, що мають осьову симетрію. У нерозгорнутого кута одна вісь симетрії - пряма, де розташована бісектриса кута. Рівнобедрений (але не рівносторонній) трикутник має також одну вісь симетрії, а рівносторонній трикутник - три осі симетрії. Прямокутник і ромб, які є квадратами, мають дві осі симетрії, а квадрат- чотири осі симетрії. У кола їх нескінченно багато - будь-яка пряма, що проходить через її центр, є віссю симетрії.
Є фігури, які не мають жодної осі симетрії. До таких фігур відносяться паралелограм, відмінний від прямокутника, різнобічний трикутник.
3. Дзеркальна симетрія (додаток 3)
Дзеркальною симетрією (симетрією щодо площини) називається таке відображення простору він, у якому будь-яка точка М перетворюється на симетричну їй щодо цієї площині точку М1.
Дзеркальна симетрія добре знайома кожній людині із повсякденного спостереження. Як показує сама назва, дзеркальна симетрія пов'язує будь-який предмет та його відображення у плоскому дзеркалі. Кажуть, що одна фігура (або тіло) є дзеркально симетричною іншою, якщо разом вони утворюють дзеркально симетричну фігуру (або тіло).
Гравцям у більярд давно знайома дія відображення. Їхні «дзеркала» - це борти ігрового поля, а роль променя світла виконують траєкторії куль. Вдарившись об борт біля кута, куля котиться до сторони, розташованої під прямим кутом, і, відбившись від неї, рухається паралельно напряму першого удару.
Слід зазначити, що дві симетричні фігуриабо дві симетричні частини однієї фігури при всій їх схожості, рівності обсягів і площ поверхонь, загальному випадку, Нерівні, тобто. їх не можна поєднати один з одним. Це різні фігури, їх не можна замінити одна одною, наприклад, права рукавичка, черевики і т.д. не годяться для лівої руки, ноги. Предмети можуть мати одну, дві, три тощо. площини симетрії. Наприклад, пряма піраміда, основою якої є рівнобедрений трикутник, симетрична щодо однієї площини Р. Призма з такою самою основою має дві площини симетрії. У правильної шестикутної призмиїх сім. Тіла обертання: куля, тор, циліндр, конус і т.д. мають нескінченна кількістьплощини симетрії.
Стародавні греки вважали, що Всесвіт симетричний просто тому, що симетрія прекрасна. Виходячи з міркувань симетрії, вони висловили низку припущень. Так, Піфагор (5 століття до н.е.), вважаючи сферу найбільш симетричною та досконалою формою, робив висновок про сферичність Землі та її рух по сфері. При цьому він вважав, що Земля рухається сферою якогось «центрального вогню». Навколо того ж «вогню», згідно з Піфагором, мали звертатися відомі на той час шість планет, а також Місяць, Сонце, зірки.
З давніх часів людина виробила уявлення про красу. Красиві всі творіння природи. По-своєму прекрасні люди, чудові тварини та рослини. Тішить погляд видовище дорогоцінного каменю або кристала солі, складно не милуватися сніжинкою або метеликом. Але чому так відбувається? Нам здається правильним і завершеним вид об'єктів, права та ліва половина яких виглядає однаково, як у дзеркальному відображенні.
Мабуть, першими про суть краси замислювалися люди мистецтва. Стародавні скульптори, що вивчали будову людського тілаще в V столітті до н.е. стали застосовувати поняття «симетрія». Це слово має грецьке походженняі означає гармонійність, пропорційність та схожість розташування складових частин. Платон стверджував, що прекрасним може лише те, що симетрично і пропорційно.
У геометрії та математиці розглядаються три види симетрії: осьова симетрія (щодо прямої), центральна (щодо точки) та дзеркальна (щодо площини).
Якщо кожна з точок об'єкта має в межах нього точне відображення щодо його центру - має місце центральна симетрія. Її прикладом є такі геометричні тіла, як циліндр, куля, правильна призмаі т.д.
Осьова симетрія точок щодо прямої передбачає, що ця пряма перетинає середину відрізка, що з'єднує точки, і перпендикулярна йому. Приклади бісектрису нерозгорнутого кута рівнобедреного трикутникабудь-яка пряма, проведена через центр кола, і т.д. Якщо властива осьова симетрія, визначення дзеркальних точок можна наочно уявити, просто перегнувши її по осі і склавши рівні половинки «віч-на-віч». Шукані точки при цьому зіткнуться.
При дзеркальної симетріїточки об'єкта розташовані однаково щодо площини, що проходить через центр.
Природа мудра і раціональна, тому майже всі її витвори мають гармонійну будову. Це стосується і живих істот, і неживих об'єктів. Для будови більшості форм життя характерний один із трьох видів симетрії: двостороння, променева або куляста.
Найчастіше осьова може спостерігатися у рослин, що розвиваються перпендикулярно поверхні ґрунту. У цьому випадку симетричність є результатом повороту ідентичних елементів навколо загальної осі, що знаходиться в центрі. Кут та частота їх розташування можуть бути різними. Прикладом є дерева: ялина, клен та інші. У деяких тварин осьова симетрія теж трапляється, але це буває рідше. Звичайно, природі рідко притаманна математична точність, але схожість елементів організму все одно вражає.
Біологами найчастіше розглядається не осьова симетрія, а двостороння (білатеральна). Її прикладом можуть бути крила метелика або бабки, листя рослин, пелюстки квітів тощо. У кожному випадку права і ліва частини живого об'єкта рівні і є дзеркальним відображенням один одного.
Куляста симетрія характерна для плодів багатьох рослин, для деяких риб, молюсків та вірусів. А прикладами променевої симетрії є деякі види черв'яків, голкошкірі.
В очах людини несиметричність найчастіше асоціюється з неправильністю чи неповноцінністю. Тому здебільшого творінь людських рук простежується симетричність і гармонія.
Визначення. Симетрія (означає "пропорційність") - властивість геометричних об'єктів поєднуватися з собою при певних перетвореннях. Під симетрієюрозуміють будь-яку правильність у внутрішній будовітіла чи фігури.
Симетрія щодо точки- Це центральна симетрія (рис. 23 нижче), а симетрія щодо прямої- це осьова симетрія (рис. 24 нижче).
Симетрія щодо точкипередбачає, що по обидві сторони від точки на однакових відстанях знаходиться щось, наприклад, інші точки або геометричне місцеточок (прямі лінії, криві лінії, геометричні фігури).
Якщо з'єднати прямі симетричні точки (точки геометричної фігури) через точку симетрії, то симетричні точки лежатимуть на кінцях прямий, а точка симетрії буде її серединою. Якщо закріпити точку симетрії та обертати пряму, то симетричні точки опишуть криві, кожна точка яких теж буде симетрична точці іншої кривої лінії.
Симетрія щодо прямої(осі симетрії) передбачає, що по перпендикуляру, проведеному через кожну точку осі симетрії, однаково від неї розташовані дві симетричні точки. Щодо осі симетрії (прямий) можуть розташовуватися ті самі геометричні фігури, що й щодо точки симетрії.
Прикладом може бути лист зошита, який зігнутий навпіл, якщо з лінії згину провести пряму лінію (вісь симетрії). Кожна точка однієї половини листа матиме симетричну точку на другій половині листа, якщо вони розташовані на однаковій відстані від лінії згину перпендикулярі до осі.
Лінія осьової симетрії, як малюнку 24, вертикальна, і горизонтальні краю листа перпендикулярні їй. Т. е. вісь симетрії служить перпендикуляром до середин горизонтальних прямих, що обмежують лист. Симетричні точки (R і F, C і D) розташовані на однаковій відстані від осьової прямої - перпендикуляра до прямих, що з'єднують ці точки. Отже, всі точки перпендикуляра (осі симетрії), проведеного через середину відрізка, віддалені від його кінців; або будь-яка точка перпендикуляра (осі симетрії) до середини відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка.
6.7.3. Осьова симетрія
Крапки Аі А 1симетричні щодо прямої m, тому що пряма m перпендикулярна до відрізку АА 1та проходить через його середину.
m- Вісь симетрії.
Прямокутник ABCDмає дві осі симетрії: прямі mі l.
Якщо креслення перегнути по прямій mабо по прямій l,то обидві частини креслення співпадуть.
Квадрат ABCDмає чотири осі симетрії: прямі m, l, kі s.
Якщо квадрат перегнути за якоюсь із прямих: m, l, kабо s, то обидві частини квадрата співпадуть.
Окружність із центром у точці Про і радіусом ОА має незліченну кількість осей симетрії. Це прямі: m, m 1, m 2, m 3 .
Завдання. Побудувати точку А 1 , симетричну точкуА(-4; 2) щодо осі Ох.
Побудувати точку А 2 симетричну точці А(-4; 2) щодо осі Оy.
Точка А 1 (-4; -2) симетрична точці А(-4; 2) щодо осі Ох, так як вісь Ох перпендикулярна до відрізку АА 1 і проходить через його середину.
У точок, симетричних щодо осі Ох абсциси збігаються, а ординати є протилежними числами.
Точка А 2 (4; -2) симетрична точці А(-4; 2) щодо осі Оy, так як вісь Оу перпендикулярна до відрізку АА 2 і проходить через його середину.
У точок, симетричних щодо осі Оу ординати збігаються, а абсциси є протилежними числами.
www.mathematics-repetition.com
wiki.eduVdom.com
Інструменти користувача
Інструменти сайту
Бічна панель
Геометрія:
Контакти
Центральна та осьова симетрії
Центральна симетрія
Дві точки А та А 1 називаються симетричними щодо точки О, якщо О – середина відрізка АА 1 (рис.1). Точка О вважається симетричною самої собі.
приклад центральної симетрії
Фігура називається симетричною щодо точки Про, якщо для кожної точки фігури симетрична їй точка щодо точки Про також належить цій фігурі. Точка О називається центром симетрії фігури.
Кажуть також, що фігура має центральну симетрію.
Прикладами фігур, що мають центральну симетрію, є коло і паралелограм (рис.2).
Осьова симетрія
Центром симетрії кола є центр кола, а центром симетрії паралелограма – точка перетину його діагоналей. Пряма також має центральну симетрію, проте на відміну від кола і паралелограма, які мають лише один центр симетрії (точка О на рис.2), у прямій їх нескінченно багато - будь-яка точка прямий є її центром симетрії.
Дві точки А та А 1 називаються симетричними щодо прямої а, якщо ця пряма проходить через середину відрізка АА 1 та перпендикулярна до нього (рис.3). Кожна точка пряма вважається симетричною самої собі.
Фігура називається симетричною щодо прямої а, якщо для кожної точки фігури симетрична їй точка щодо прямої а також належить цій фігурі.
Пряма а називається віссю симетрії фігури.
Приклади таких фігур та їх осі симетрії зображені малюнку 4.
Зауважимо, що у кола будь-яка пряма, що проходить через її центр, є віссю симетрії.
Порівняння симетрій
Центральна та осьова симетрії
Скільки всього осей симетрії має фігура, зображена малюнку?
wiki.eduvdom.com
Урок «Осьова та центральна симетрія» Короткий опис документа:Симетрія – достатньо
цікава тема у геометрії, оскільки саме це поняття часто зустрічається у процесі життєдіяльності людини а й у природі.Перша частина відео-презентації «Осіва та центральна симетрія» дає визначення симетричності двох точок щодо прямої на площині. Умовою їхньої симетричності є можливість проведення через них відрізка, через середину якого проходитиме задана пряма.
Обов'язковою умовою такою симетричністю є перпендикулярність відрізка та прямий.Наступна частина відео-уроку дає
Після отримання початкових понять про симетрію, учням пропонується більше складне визначенняфігури, симетричної щодо прямої. Визначення пропонується як текстового правила, і навіть паралельно супроводжується промовою диктора за кадром. Завершує цю частину приклади симетричних і симетричних фігур, щодо прямої. Цікаво, що існують геометричні фігури, що мають кілька осей симетрії – всі вони представлені у вигляді креслень, де осі виділені окремим кольором. Полегшити розуміння пропонованого матеріалу можна у такий спосіб – предмет чи фігура є симетричною, якщо вона точно збігається при складанні двох половин щодо своєї осі.
Крім осьової симетрії існує симетрія щодо однієї точки. Саме цьому поняттю присвячена наступна частинавідеопрезентації. Спочатку дається визначення симетричності двох точок щодо третьої, потім надається приклад у вигляді малюнку, де показано симетричну і не симетричну пару точок. Завершує цю частину уроку приклади геометричних фігур, які мають або відсутній цент симетрії.
У висновку уроку учням пропонується ознайомитися з найбільш яскравими прикладамисиметрії, які можна зустріти у навколишньому світі. Розуміння та вміння будувати симетричні постаті просто необхідні у житті людей, які займаються самими різними професіями. За своєю суттю симетрія – основа всієї людської цивілізації, тому що 9 з 10 предметів, що оточують людину, мають той чи інший тип симетрії. Без симетрії було б неможливе зведення багатьох великих архітектурних споруд, не вдалося б досягти вражаючих потужностей у промисловості тощо. У природі симетрія також дуже поширене явище, і якщо в неживих предметівїї зустріти практично неможливо, то живий світ буквально кишить нею - практично вся флора і фауна, за рідкісним винятком, має осьову або центральну симетрію.
Звичайна шкільна програмарозробляється з таким обліком, щоб її міг зрозуміти будь-який учень, допущений до заняття. Відео-презентація у кілька разів полегшує цей процес, оскільки одночасно впливає на кілька центрів освоєння інформації, надає матеріал у кількох кольорах, тим самим змушуючи учнів концентрувати увагу учнів на найважливішому під час уроку. На відміну від звичайного способу навчання у школах, коли не кожен вчитель має можливість чи бажання відповідати учням на уточнюючі питання, відео-урок легко можна перемотати на необхідне місце, щоб наново прослухати диктора та прочитати потрібну інформаціюще раз, аж до її повного розуміння. Враховуючи простоту подачі матеріалу, відео-презентацію можна використовувати не лише під час шкільних занять, але і в домашніх умовах, як самостійного способунавчання.
urokimatematiki.ru
Презентація «Руху. Осьова симетрія»
Документи в архіві:
Назва документу 8.
Опис презентації з окремих слайдів:
Центральна симетрія – один із прикладів руху
Осьова симетрія з віссю а - відображення простору на себе, при якому будь-яка точка К переходить в симетричну їй точку К1 щодо осі а
1) Оxyz - прямокутна системакоординат Оz - вісь симетрії 2) М(x; y; z) та M1(x1; y1; z1), симетричні щодо осі Оz Формули будуть вірні і у разі, якщо точка М ⊂ Оz Осьова симетрія є рухом Z X Y М(x; y; z) M1(x1; y1; z1) O
Довести: Задача 1 при осьовій симетрії пряма, що утворює з віссю симетрії кут φ, відображається на пряму, так само утворює з віссю симетрії кут Рішення: при осьової симетрії пряма, що утворює з віссю симетрії кут φ, відображається на пряму, так само віссю симетрії кут φ A F E N m l a φ φ
Дано: 2) ΔABD - прямокутний, за теоремою Піфагора: 1) DD1 ⏊ (A1C1D1), 3) ΔBDD2 - прямокутний, за теоремою Піфагора: Завдання 2 Знайти: BD2 Рішення:
wiki.eduvdom.com
Презентація «Руху. Осьова симетрія» представляє наочний матеріалпояснення на шкільному уроці математики основних положень цієї теми. У цій презентації осьова симетрія сприймається як ще один вид руху. У ході презентації учням нагадується вивчене поняття центральної симетрії, дається визначення осьової симетрії, доводиться положення про те, що осьова симетрія є рухом, а також описується вирішення двох завдань, у яких необхідно оперувати поняттям осьової симетрії.
Осьова симетрія є рухом, тому її подання на дошці викликає складності. Більш чіткі зрозумілі побудови можна зробити за допомогою електронних засобів. Завдяки цьому побудови добре видно з будь-якої парти у класі. На малюнках можна виділити кольором деталі побудови, акцентувати увагу на особливостях операції. З тією ж метою застосовуються анімаційні ефекти. За допомогою інструментів презентації вчителю легко досягти цілей навчання, тому презентація застосовується для підвищення ефективності уроку.
Демонстрація починається з нагадування учням про вивчений вид руху – центральну симетрію. Прикладом застосування операція є симетричне відображення намальованої груші. На площині відзначається точка, щодо якої кожна точка зображення перетворюється на симетричну. Таким чином, відображене зображення перевернуто. При цьому всі відстані між точками об'єкта зберігаються за центральної симетрії.
На другому слайді вводиться поняття осьової симетрії. На малюнку зображено трикутник, кожна його вершина перетворюється на симетричну вершину трикутника щодо деякої осі. У рамці виділено визначення осьової симетрії. Зазначається, що з ним кожна точка об'єкта перетворюється на симетричну.
Далі в прямокутній координатній системі розглядається осьова симетрія, властивості координат об'єкта, відображеного за допомогою осьової симетрії, також доводиться, що при цьому відображенні зберігаються відстані, що є ознакою руху. Праворуч на слайді зображується прямокутна система координат Оxyz. За вісь симетрії приймається вісь Оz. У просторі зазначено точку М, при відповідному відображенні переходить у М 1 . На малюнку видно, що за осьової симетрії точка зберігає свою аплікату.
Зазначається, що середнє арифметичне абсцис та ординат даного відображення при осьовій симетрії дорівнює нулю, тобто (x+ x 1)/2=0; (y+ y 1)/2=0. Інакше це свідчить, що x = -x 1; y=-y 1; z = z 1 . Правило зберігається і у разі, якщо точка М відзначена на осі Оz.
Для розгляду, чи зберігаються відстані між точками при осьової симетрії, описується операція на точками А і В. Відображаючись щодо осі Оz, точки, що описуються, переходять в А1 і В1. Щоб визначити відстань між точками, скористаємося формулою, де відстань обчислюється за координатами. Зазначається, що АВ=√(x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2), а для відображених точок А 1 В 1 =√(-x 2 +x 1) 2 + (-y 2 + y 1) 2 + (z 2 -z 1) 2). Враховуючи властивості зведення квадрат, можна відзначити, що АВ = А 1 В 1 . Це свідчить, що відстані зберігаються між точками – головна ознакаруху. Отже, осьова симетрія є рухом.
На слайді 5 розглядається рішення задачі 1. У ній необхідно довести твердження, що пряма, що проходить під кутом φ до осі симетрії, утворює з нею такий самий кут φ. До завдання дається зображення, на якому накреслено вісь симетрії, а також пряма m, що утворює з віссю симетрії кут φ, та щодо осі її відображення – пряма l. Доказ затвердження починається з побудови додаткових точок. Зазначається, що пряма m перетинає вісь симетрії в А. Якщо відзначити на цій прямій точку F≠A і опустити від неї перпендикуляр на вісь симетрії, отримаємо перетин перпендикуляра з віссю симетрії в точці Е. При осьовій симетрії відрізок FE переходить в відрізок FE. В результаті такої побудови отримали прямокутні трикутники AEF і AEN. Ці трикутники рівні, тому що АЕ є у них загальним катетом, а FE = NE рівні за побудовою. Відповідно, кут ∠EAN=∠EAF. З цього випливає, що пряма відображена також утворює з віссю симетрії кут φ. Завдання вирішено.
На останньому слайді розглядається рішення задачі 2, в якій необхідно дано куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 зі стороною а. Відомо, що після симетрії щодо осі, що містить ребро B 1 D 1 точка D переходить в D 1 . Завдання потрібно знайти BD 2 . До завдання робиться побудова. На малюнку зображено куб, яким видно, що віссю симетрії є діагональ грані куба B 1 D 1 . Відрізок, що утворюється під час руху точки D, перпендикулярний площині грані, якій належить вісь симетрії. Оскільки під час руху зберігаються відстані між точками, то DD 1 = D 1 D 2 =а, тобто відстань DD 2 =2а. З прямокутного трикутникаΔABD за теоремою Піфагора випливає, що BD=√(AB 2 +AD 2)=а√2. З прямокутного трикутника ΔВDD 2 слідує за теоремою Піфагора BD 2 =√(DD 2 2 +ВD 2)=а√6. Завдання вирішено.
Презентація «Руху. Осьова симетрія» використовується для підвищення ефективності шкільного урокуматематики. Також цей метод наочності допоможе вчителю, який здійснює дистанційне навчання. Матеріал може бути запропонований для самостійного розгляду учнями, які досить добре засвоїли тему уроку.
Чому дружина пішла і не подає на розлучення Практичний форум про справжнє кохання Дружина подає на розлучення. Допоможіть! Дружина подає на розлучення. Допоможіть!