Bir açının sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantı nedir, dik üçgeni anlamanıza yardımcı olacaktır.
Dik üçgenin kenarlarına ne denir? Aynen öyle, hipotenüs ve bacaklar: hipotenüs dik açının karşısındaki kenardır (örneğimizde bu \(AC\) kenarıdır); bacaklar kalan iki taraf \(AB\) ve \(BC\)'dir (bitişik olanlar) dik açı) ve eğer bacakları \(BC\) açısına göre düşünürsek, o zaman \(AB\) bacağı bitişik bacaktır ve \(BC\) bacağı da bunun tersidir. Şimdi şu soruyu cevaplayalım: Bir açının sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantı nedir?
Açının sinüsü– bu, karşı (uzak) bacağın hipotenüse oranıdır.
Üçgenimizde:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Açının kosinüsü– bu, bitişik (yakın) bacağın hipotenüse oranıdır.
Üçgenimizde:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Açının tanjantı– bu, karşı (uzak) tarafın bitişik (yakın) tarafa oranıdır.
Üçgenimizde:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Açının kotanjantı– bu, bitişik (yakın) bacağın karşıt (uzak) bacağına oranıdır.
Üçgenimizde:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Bu tanımlar gerekli Unutma! Hangi bacağın neye bölüneceğini hatırlamayı kolaylaştırmak için bunu açıkça anlamalısınız. teğet Ve kotanjant yalnızca bacaklar oturur ve hipotenüs yalnızca sinüs Ve kosinüs. Ve sonra bir çağrışımlar zinciri oluşturabilirsiniz. Örneğin, bu:
Kosinüs→dokunma→dokunma→bitişik;
Kotanjant → dokunma → dokunma → bitişik.
Her şeyden önce, bir üçgenin kenarlarının oranları bu kenarların uzunluklarına (aynı açıda) bağlı olmadığından sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın olduğunu hatırlamanız gerekir. Bana inanmıyor musun? Daha sonra resme bakarak emin olun:
Örneğin \(\beta \) açısının kosinüsünü düşünün. Tanım gereği, bir \(ABC\) üçgeninden: \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \) ancak \(\beta \) açısının kosinüsünü \(AHI \) üçgeninden hesaplayabiliriz: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Görüyorsunuz, kenarların uzunlukları farklı ama bir açının kosinüsünün değeri aynı. Dolayısıyla sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant değerleri yalnızca açının büyüklüğüne bağlıdır.
Tanımları anlıyorsanız, devam edin ve bunları pekiştirin!
Aşağıdaki şekilde gösterilen \(ABC \) üçgeni için şunu buluruz: \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)
Peki, anladın mı? O halde kendiniz deneyin: \(\beta \) açısı için de aynısını hesaplayın.
Cevaplar: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Birim (trigonometrik) daire
Derece ve radyan kavramlarını anlayarak yarıçapı \(1\)'e eşit olan bir daire düşündük. Böyle bir daireye denir Bekar. Trigonometri çalışırken çok faydalı olacaktır. Bu nedenle biraz daha detaylı bakalım.
Gördüğünüz gibi bu daire şu şekilde inşa edilmiştir: Kartezyen sistem koordinatlar Çemberin yarıçapı bire eşittir ve çemberin merkezi orijindedir, başlangıç pozisyonu Yarıçap vektörü \(x\) ekseninin pozitif yönü boyunca sabitlenmiştir (örneğimizde bu, \(AB\) yarıçapıdır).
Çember üzerindeki her nokta iki sayıya karşılık gelir: \(x\) ekseni boyunca koordinat ve \(y\) ekseni boyunca koordinat. Nedir bu koordinat numaraları? Ve genel olarak, bunların elimizdeki konuyla ne ilgisi var? Bunu yapmak için, dikkate alınan dik üçgeni hatırlamamız gerekir. Yukarıdaki şekilde iki tam dik üçgeni görüyorsunuz. \(ACG\) üçgenini düşünün. \(CG\), \(x\) eksenine dik olduğundan dikdörtgendir.
\(ACG \) üçgeninden \(\cos \ \alpha \) nedir? Bu doğru \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Ayrıca \(AC\)'nin birim çemberin yarıçapı olduğunu biliyoruz, yani \(AC=1\) . Bu değeri kosinüs formülümüzde yerine koyalım. İşte olanlar:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
\(ACG \) üçgeninden \(\sin \ \alpha \) neye eşittir? Tabii ki \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! \(AC\) yarıçapının değerini bu formülde değiştirin ve şunu elde edin:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Peki çembere ait \(C\) noktasının koordinatlarının ne olduğunu söyleyebilir misiniz? Peki, mümkün değil mi? Peki ya \(\cos \ \alpha \) ve \(\sin \alpha \)'nin yalnızca sayı olduğunu fark ederseniz? \(\cos \alpha \) hangi koordinata karşılık gelir? Tabii ki koordinat \(x\)! Peki \(\sin \alpha \) hangi koordinata karşılık gelir? Doğru, \(y\) koordinatı! Yani asıl nokta \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
O halde \(tg \alpha \) ve \(ctg \alpha \) neye eşittir? Aynen öyle, hadi teğet ve kotanjantın karşılık gelen tanımlarını kullanalım ve şunu elde edelim \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Ya açı daha büyükse? Örneğin bu resimdeki gibi:
Bu örnekte ne değişti? Hadi çözelim. Bunu yapmak için tekrar dik üçgene dönelim. Bir dik üçgen düşünün \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : açı (açıya komşu olarak \(\beta \) ). Bir açı için sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın değeri nedir? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Doğru, trigonometrik fonksiyonların ilgili tanımlarına uyuyoruz:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)
Gördüğünüz gibi açının sinüs değeri hala \(y\) koordinatına karşılık geliyor; açının kosinüsünün değeri – koordinatı \(x\) ; ve karşılık gelen oranlara teğet ve kotanjant değerleri. Dolayısıyla bu ilişkiler yarıçap vektörünün herhangi bir dönüşüne uygulanır.
Yarıçap vektörünün başlangıç konumunun \(x\) ekseninin pozitif yönü boyunca olduğundan daha önce bahsedilmişti. Şu ana kadar bu vektörü saat yönünün tersine döndürdük ama saat yönünde döndürürsek ne olur? Olağanüstü bir şey yok, aynı zamanda belli bir değerde bir açı elde edeceksiniz, ancak yalnızca negatif olacaktır. Böylece, yarıçap vektörünü saat yönünün tersine döndürdüğümüzde, şunu elde ederiz: pozitif açılar, ve saat yönünde döndürüldüğünde – negatif.
Yani, yarıçap vektörünün daire etrafındaki tüm devriminin \(360()^\circ \) veya \(2\pi \) olduğunu biliyoruz. Yarıçap vektörünü \(390()^\circ \) veya \(-1140()^\circ \) kadar döndürmek mümkün mü? Tabii ki yapabilirsin! İlk durumda, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \) dolayısıyla yarıçap vektörü bir tam dönüş yapacak ve \(30()^\circ \) veya \(\dfrac(\pi )(6) \) konumunda duracaktır.
İkinci durumda, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \) yani yarıçap vektörü üç yapar tam devrimler ve \(-60()^\circ \) veya \(-\dfrac(\pi )(3) \) konumunda duracaktır.
Dolayısıyla, yukarıdaki örneklerden, \(360()^\circ \cdot m \) veya \(2\pi \cdot m \) (burada \(m \) herhangi bir tam sayıdır) kadar farklı olan açıların olduğu sonucuna varabiliriz. yarıçap vektörünün aynı konumuna karşılık gelir.
Aşağıdaki şekil \(\beta =-60()^\circ \) açısını göstermektedir. Aynı görüntü köşeye karşılık gelir \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) vesaire. Bu listeye süresiz olarak devam edilebilir. Bütün bu açılar genel formülle yazılabilir. \(\beta +360()^\circ \cdot m\) veya \(\beta +2\pi \cdot m \) (burada \(m \) herhangi bir tamsayıdır)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Şimdi temel trigonometrik fonksiyonların tanımlarını bilerek ve birim çemberi kullanarak değerlerin ne olduğunu cevaplamaya çalışın:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
İşte size yardımcı olacak bir birim çember:
Zorluk mu yaşıyorsunuz? O zaman çözelim. Yani şunu biliyoruz:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(array)\)
Buradan belirli açı ölçülerine karşılık gelen noktaların koordinatlarını belirliyoruz. Pekala, sırayla başlayalım: köşedeki \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)\(\left(0;1 \right) \) koordinatlarına sahip bir noktaya karşılık gelir, dolayısıyla:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- mevcut değil;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Ayrıca aynı mantığa bağlı kalarak köşelerin de olduğunu görüyoruz. \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) koordinatlı noktalara karşılık gelir \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text() )\left(0 ;1 \sağ) \), sırasıyla. Bunu bilerek trigonometrik fonksiyonların değerlerini belirlemek kolaydır. karşılık gelen noktalar. Önce kendiniz deneyin, sonra cevapları kontrol edin.
Cevaplar:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- mevcut değil
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- mevcut değil
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \ 360()^\circ =1 \)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- mevcut değil
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- mevcut değil
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Böylece aşağıdaki tabloyu yapabiliriz:
Tüm bu değerleri hatırlamanıza gerek yok. Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ile trigonometrik fonksiyonların değerleri arasındaki yazışmayı hatırlamak yeterlidir:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Bunu hatırlamanız veya görüntüleyebilmeniz gerekir!! \) !}
Ancak açıların trigonometrik fonksiyonlarının değerleri ve \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) Aşağıdaki tabloda verilenleri hatırlamanız gerekir:
Korkmayın, şimdi size karşılık gelen değerlerin oldukça basit bir şekilde ezberlenmesine ilişkin bir örnek göstereceğiz:
Bu yöntemi kullanmak için, her üç açı ölçüsünün sinüs değerlerini hatırlamak çok önemlidir ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)) ve \(30()^\circ \) cinsinden açının tanjantının değeri. Bu \(4\) değerleri bilerek, tablonun tamamını geri yüklemek oldukça basittir - kosinüs değerleri oklara göre aktarılır, yani:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(array) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \) bunu bilerek değerleri geri yükleyebilirsiniz. \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). "\(1 \)" payı \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \)'ye karşılık gelir ve "\(\sqrt(\text(3)) \)" paydası şuna karşılık gelir: \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotanjant değerleri şekilde gösterilen oklara göre aktarılır. Bunu anlayıp okların olduğu diyagramı hatırlarsanız tablodan sadece \(4\) değeri hatırlamanız yeterli olacaktır.
Çember üzerindeki bir noktanın koordinatları
Dairenin merkezinin koordinatlarını, yarıçapını ve dönme açısını bilerek bir daire üzerinde bir nokta (koordinatları) bulmak mümkün müdür? Tabii ki yapabilirsin! Hadi çıkaralım genel formül Bir noktanın koordinatlarını bulmak için Örneğin önümüzde bir daire var:
Bize bu nokta verildi \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- dairenin merkezi. Çemberin yarıçapı \(1,5\)'dir. \(O\) noktasının \(\delta \) derece döndürülmesiyle elde edilen \(P\) noktasının koordinatlarını bulmak gerekir.
Şekilden görülebileceği gibi, \(P\) noktasının \(x\) koordinatı \(TP=UQ=UK+KQ\) doğru parçasının uzunluğuna karşılık gelir. \(UK\) segmentinin uzunluğu dairenin merkezinin \(x\) koordinatına karşılık gelir, yani \(3\)'e eşittir. \(KQ\) segmentinin uzunluğu kosinüs tanımı kullanılarak ifade edilebilir:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Sonra \(P\) noktası için koordinatı elde ederiz. \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).
Aynı mantığı kullanarak \(P\) noktasının y koordinatının değerini buluyoruz. Böylece,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).
Yani, içinde genel görünüm Noktaların koordinatları formüllerle belirlenir:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Nerede
\(((x)_(0))),((y)_(0)) \) - dairenin merkezinin koordinatları,
\(r\) - dairenin yarıçapı,
\(\delta \) - vektör yarıçapının dönüş açısı.
Gördüğünüz gibi, düşündüğümüz birim daire için, merkezin koordinatları sıfıra ve yarıçap bire eşit olduğundan bu formüller önemli ölçüde azaltılmıştır:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \\delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
Tarayıcınızda Javascript devre dışı.Hesaplamaları gerçekleştirmek için ActiveX kontrollerini etkinleştirmelisiniz!
Trigonometri çalışmamıza dik üçgenle başlayacağız. Bir akut açının teğet ve kotanjantının yanı sıra sinüs ve kosinüsün ne olduğunu tanımlayalım. Bu trigonometrinin temelidir.
şunu hatırlatalım dik açı 90 dereceye eşit bir açıdır. Başka bir deyişle, yarım dönmüş bir açı.
Dar açı- 90 dereceden az.
Geniş açı- 90 dereceden büyük. Böyle bir açıyla ilgili olarak "geniş" hakaret değil matematiksel bir terimdir :-)
Bir dik üçgen çizelim. Dik açı genellikle ile gösterilir. Lütfen köşenin karşısındaki tarafın aynı harfle, yalnızca küçük olarak gösterildiğini unutmayın. Böylece A açısının karşısındaki taraf gösterilir.
Açı karşılık gelen değerle gösterilir Yunan mektubu.
Hipotenüs Bir dik üçgenin dik açının karşısındaki kenardır.
Bacaklar- dar açıların karşısında yer alan kenarlar.
Açının karşısında uzanan bacağa denir zıt(açıya göre). Açının kenarlarından birinde yer alan diğer bacağa denir. bitişik.
Sinüs dar açı dik üçgen- bu bir tutum karşı taraf hipotenüse göre:
Kosinüs dik üçgende dar açı - oran bitişik bacak hipotenüse göre:
Teğet Dik üçgende dar açı - karşı tarafın bitişik tarafa oranı:
Başka bir (eşdeğer) tanım: bir dar açının tanjantı, açının sinüsünün kosinüsüne oranıdır:
Kotanjant dik üçgende dar açı - bitişik tarafın karşı tarafa oranı (veya aynı şekilde kosinüsün sinüse oranı):
Aşağıdaki sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant için temel ilişkilere dikkat edin. Sorunları çözerken bize faydalı olacaklar.
Bunlardan bazılarını kanıtlayalım.
Tamam, tanımları verdik ve formülleri yazdık. Peki neden hala sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjanta ihtiyacımız var?
Bunu biliyoruz herhangi bir üçgenin açılarının toplamı eşittir.
arasındaki ilişkiyi biliyoruz. partiler sağ üçgen. Bu Pisagor teoremidir: .
Bir üçgenin iki açısını bilerek üçüncüyü bulabileceğiniz ortaya çıktı. Dik üçgenin iki kenarını bilerek üçüncüsünü bulabilirsiniz. Bu, açıların kendi oranlarına ve kenarların kendilerine ait olduğu anlamına gelir. Peki bir dik üçgende bir açıyı (dik açı hariç) ve bir kenarı biliyorsanız ancak diğer kenarları bulmanız gerekiyorsa ne yapmalısınız?
Geçmişte insanların bölgenin ve yıldızlı gökyüzünün haritasını yaparken karşılaştıkları şey budur. Sonuçta bir üçgenin tüm kenarlarını doğrudan ölçmek her zaman mümkün değildir.
Sinüs, kosinüs ve teğet - bunlara aynı zamanda denir trigonometrik açı fonksiyonları-arasındaki ilişkileri vermek partiler Ve köşelerüçgen. Açıyı bilerek, tüm trigonometrik fonksiyonlarını özel tablolar kullanarak bulabilirsiniz. Ve bir üçgenin açılarının ve kenarlarından birinin sinüslerini, kosinüslerini ve teğetlerini bilerek gerisini bulabilirsiniz.
Ayrıca 'iyi' açılar için sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerinin bir tablosunu da çizeceğiz.
Lütfen tablodaki iki kırmızı çizgiye dikkat edin. Uygun açı değerlerinde teğet ve kotanjant mevcut değildir.
FIPI Görev Bankasındaki çeşitli trigonometri problemlerine bakalım.
1. Bir üçgende açı , dir. Bulmak .
Sorun dört saniyede çözüldü.
O zamandan beri , .
2. Bir üçgende açı , , dir. Bulmak .
Bunu Pisagor teoremini kullanarak bulalım.
Sorun çözüldü.
Genellikle problemlerde açılı ve veya açılı üçgenler vardır. Onlar için temel oranları ezbere hatırlayın!
Açıları olan bir üçgen için ve açının karşısındaki bacak eşittir hipotenüsün yarısı.
Açıları olan ve ikizkenar olan bir üçgen. İçinde hipotenüs bacaktan kat kat daha büyüktür.
Dik üçgenleri çözme, yani bilinmeyen kenarları veya açıları bulma problemlerine baktık. Ama hepsi bu değil! İÇİNDE Birleşik Devlet Sınavı seçenekleri matematikte bir üçgenin dış açısının sinüs, kosinüs, tanjant veya kotanjantının ortaya çıktığı birçok problem vardır. Bir sonraki makalede bu konuda daha fazla bilgi vereceğiz.
Ders: Rastgele bir açının sinüs, kosinüs, teğet, kotanjantı
Sinüs, keyfi bir açının kosinüsü
Trigonometrik fonksiyonların ne olduğunu anlamak için birim yarıçaplı bir daireye bakalım. Verilen daire orijinde merkezi var koordinat düzlemi. Belirlemek için belirtilen işlevler yarıçap vektörünü kullanacağız VEYAÇemberin merkezinden başlayan nokta ve Rçember üzerinde bir noktadır. Bu yarıçap vektörü eksenle bir alfa açısı oluşturur AH. Çemberin yarıçapı olduğundan, bire eşit, O VEYA = R = 1.
Eğer noktadan R eksene dik olanı indirin AH Böylece hipotenüsü bire eşit olan bir dik üçgen elde ederiz.
Yarıçap vektörü saat yönünde hareket ederse, o zaman bu yön isminde negatif, saat yönünün tersine hareket ederse - pozitif.
Açının sinüsü VEYA, noktanın koordinatıdır R bir daire üzerinde vektör.
Yani sinüs değerini elde etmek için verilen açı alfa koordinatını belirlemek gereklidir sen bir uçakta.
Nasıl verilen değer alındı mı? Bir dik üçgende herhangi bir açının sinüsünün karşı kenarın hipotenüse oranı olduğunu bildiğimiz için şunu elde ederiz:
Ve o zamandan beri R=1, O günah(α) = y 0 .
Birim çemberde ordinat değeri -1'den küçük ve 1'den büyük olamaz; yani
Sinüs kabul ediyor pozitif değer birim çemberin birinci ve ikinci çeyreğinde ve üçüncü ve dördüncü negatifte.
Açının kosinüsü yarıçap vektörünün oluşturduğu verilen daire VEYA, noktanın apsisidir R bir daire üzerinde vektör.
Yani, belirli bir alfa açısının kosinüs değerini elde etmek için koordinatın belirlenmesi gerekir. X bir uçakta.
Bir dik üçgende rastgele bir açının kosinüsü, bitişik kenarın hipotenüse oranıdır, şunu elde ederiz:
Ve o zamandan beri R=1, O cos(α) = x 0 .
Birim çemberde apsis değeri -1'den küçük ve 1'den büyük olamaz yani
Kosinüs birim çemberin birinci ve dördüncü çeyreğinde pozitif, ikinci ve üçüncü çeyreğinde ise negatif değer alır.
Teğetkeyfi açı Sinüs/kosinüs oranı hesaplanır.
Bir dik üçgeni düşünürsek, bu karşı tarafın bitişik tarafa oranıdır. Eğer hakkında konuşuyoruz birim çember hakkında ise bu, ordinatın apsise oranıdır.
Bu ilişkilere bakıldığında apsis değerinin sıfır yani 90 derecelik bir açıda olması durumunda teğetin var olamayacağı anlaşılmaktadır. Teğet diğer tüm değerleri alabilir.
Teğet birim çemberin birinci ve üçüncü çeyreğinde pozitif, ikinci ve dördüncü çeyreğinde ise negatiftir.
Sinüs, kullanımı yalnızca geometriyle sınırlı olmayan temel trigonometrik fonksiyonlardan biridir. Mühendislik hesap makineleri gibi trigonometrik fonksiyonların hesaplanmasına yönelik tablolar her zaman elinizin altında değildir ve çözmek için bazen sinüsün hesaplanması gerekir. çeşitli görevler. Genel olarak sinüsün hesaplanması, çizim becerilerinin ve trigonometrik kimlik bilgilerinin pekiştirilmesine yardımcı olacaktır.
Cetvel ve kalemle oynanan oyunlar
Basit bir görev: Kağıt üzerine çizilen bir açının sinüsü nasıl bulunur? Çözmek için normal bir cetvele, bir üçgene (veya pusulaya) ve bir kaleme ihtiyacınız olacak. Bir açının sinüsünü hesaplamanın en basit yolu, dik açılı bir üçgenin uzak kenarını uzun kenara, yani hipotenüse bölmektir. Bu nedenle, öncelikle açının tepe noktasından keyfi bir mesafede ışınlardan birine dik bir çizgi çizerek dik üçgen şekline göre dar açıyı tamamlamanız gerekir. Tam olarak 90°'lik bir açıyı korumamız gerekecek, bunun için de bir rahip üçgenine ihtiyacımız var.
Pusula kullanmak biraz daha doğrudur ancak daha fazla zaman alacaktır. Işınlardan birinde belirli bir mesafede 2 nokta işaretlemeniz, pusula üzerindeki yarıçapı yaklaşık olarak ayarlamanız gerekir. mesafeye eşit noktalar arasında, bu çizgilerin kesişimleri elde edilene kadar bu noktalarda merkezli yarım daireler çizin. Çemberlerimizin kesişme noktalarını birbirine bağlayarak açımızın ışınına tam bir diklik elde ederiz; geriye kalan tek şey çizgiyi başka bir ışınla kesişene kadar uzatmak.
Ortaya çıkan üçgende köşenin karşısındaki tarafı ve ışınlardan birinin uzun tarafını ölçmek için bir cetvel kullanmanız gerekir. Birinci boyutun ikinciye oranı, dar açının sinüsünün istenen değeri olacaktır.
90°'den büyük bir açının sinüsünü bulun
İçin geniş açı görev çok daha zor değil. Köşeden bir ışın çizmeniz gerekiyor karşı taraf ilgilendiğimiz açının ışınlarından biriyle düz bir çizgi oluşturmak için bir cetvel kullanmak. Alınanlarla dar açı yukarıda açıklandığı gibi ilerlemeli, sinüsler bitişik köşeler Birlikte 180°'lik bir ters açı oluşturan açılar eşittir.
Diğer trigonometrik fonksiyonları kullanarak sinüs hesaplama
Ayrıca, açının diğer trigonometrik fonksiyonlarının değerleri veya en azından üçgenin kenarlarının uzunlukları biliniyorsa sinüsün hesaplanması mümkündür. Trigonometrik kimlikler bu konuda bize yardımcı olacaktır. Yaygın örneklere bakalım.
Bir açının bilinen kosinüsü ile sinüs nasıl bulunur? Pisagor teoremine dayanan ilk trigonometrik özdeşlik, aynı açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamının bire eşit olduğunu belirtir.
Bir açının bilinen tanjantına sahip sinüs nasıl bulunur? Tanjant, uzak tarafın yakın tarafa bölünmesiyle veya sinüsün kosinüsle bölünmesiyle elde edilir. Böylece sinüs, kosinüs ve tanjantın çarpımı olacak ve sinüsün karesi bu çarpımın karesi olacaktır. Kare kosinüsü, birinciye göre bir ile kare sinüs arasındaki farkla değiştiririz. trigonometrik özdeşlik ve basit manipülasyonlar yoluyla denklemi teğet yoluyla kare sinüsün hesaplanmasına indirgeyebiliriz; buna göre sinüsü hesaplamak için elde edilen sonucun kökünü çıkarmanız gerekecektir.
Bir açının bilinen kotanjantına sahip sinüs nasıl bulunur? Kotanjant değeri, köşeye en yakın bacağın uzunluğunu uzaktaki bacağın uzunluğuna bölerek ve ayrıca kosinüsü sinüse bölerek hesaplanabilir, yani kotanjant bir fonksiyondur, tanjantın tersi 1 sayısına göre. Sinüs hesaplamak için tg α = 1 / ctg α formülünü kullanarak tanjantı hesaplayabilir ve ikinci seçenekteki formülü kullanabilirsiniz. Ayrıca teğete benzeterek şöyle görünecek doğrudan bir formül de türetebilirsiniz. aşağıdaki gibi.
Bir üçgenin üç tarafının sinüsü nasıl bulunur
Uzunluğu bulmanın bir formülü var bilinmeyen taraf sadece dik açılı değil, herhangi bir üçgen bilinen taraflar karşı açının kosinüsünün trigonometrik fonksiyonunu kullanarak. Şuna benziyor.
Bence bundan daha fazlasını hak ediyorsun. İşte trigonometri anahtarım:
- Kubbeyi, duvarı ve tavanı çizin
- Trigonometrik fonksiyonlar bundan başka bir şey değildir yüzde bu üç form.
Sinüs ve kosinüs metaforu: kubbe
Sadece üçgenlere bakmak yerine, bazı üçgenler bularak onları çalışırken hayal edin. özel örnek hayattan.
Bir kubbenin ortasında olduğunuzu ve bir film projektör ekranı asmak istediğinizi hayal edin. Parmağınızı kubbeye belirli bir “x” açısıyla doğrultuyorsunuz ve ekranın bu noktadan asılı kalması gerekiyor.
İşaret ettiğiniz açı şunları belirler:
- sinüs(x) = sin(x) = ekran yüksekliği (zeminden kubbe montaj noktasına kadar)
- kosinüs(x) = cos(x) = sizden ekrana olan mesafe (kata göre)
- hipotenüs, sizden ekranın tepesine olan mesafe, her zaman aynıdır, kubbenin yarıçapına eşittir
Ekranın mümkün olduğunca büyük olmasını mı istiyorsunuz? Doğrudan üzerinize asın.
Ekranın sizden mümkün olduğunca uzağa asılmasını mı istiyorsunuz? Düz bir şekilde dik olarak asın. Bu konumda ekranın yüksekliği sıfır olacak ve istediğiniz gibi en uzağa asılacaktır.
Yükseklik ve ekrana olan mesafe ters orantılıdır: ekran ne kadar yakınsa yüksekliği de o kadar artar.
Sinüs ve kosinüs yüzdedir
Ne yazık ki, eğitim yıllarım boyunca hiç kimse bana sinüs ve kosinüs trigonometrik fonksiyonların yüzdelerden başka bir şey olmadığını açıklamadı. Değerleri +%100 ile %0 ila -%100 arasında veya pozitif maksimumdan sıfıra ve negatif maksimuma kadar değişir.
Diyelim ki 14 ruble vergi ödedim. Ne kadar olduğunu bilmiyorsun. Ama yüzde 95 vergi ödedim dersen, beni kandırdığımı anlayacaksın.
Mutlak yükseklik hiçbir şey ifade etmez. Ancak sinüs değeri 0,95 ise TV'nin neredeyse kubbenizin tepesinde asılı olduğunu anlıyorum. Çok yakında ulaşacak maksimum yükseklik kubbenin ortasında yer alır ve daha sonra tekrar alçalmaya başlar.
Bu yüzdeyi nasıl hesaplayabiliriz? Çok basit: mevcut ekran yüksekliğini mümkün olan maksimum değere (kubbenin yarıçapı, aynı zamanda hipotenüs olarak da adlandırılır) bölün.
Bu yüzden bize “kosinüs = karşı kenar / hipotenüs” deniyor. Her şey ilgi çekmekle ilgili! Sinüsü "mümkün olan maksimumdan mevcut yüksekliğin yüzdesi" olarak tanımlamak en iyisidir. (Açınız "yeraltını" gösterirse sinüs negatif olur. Açı arkanızdaki kubbe noktasına doğru bakarsa kosinüs negatif olur.)
Birim çemberin merkezinde (yarıçap = 1) olduğumuzu varsayarak hesaplamaları basitleştirelim. Bölmeyi atlayıp sinüsü yüksekliğe eşitleyebiliriz.
Her daire aslında ölçeği büyütülmüş veya küçültülmüş bir birimdir. doğru boyut. Bu nedenle birim çember bağlantılarını belirleyin ve sonuçları kendi daire boyutunuza uygulayın.
Deney: Herhangi bir köşeyi alın ve yüksekliğin genişliğe göre yüzde kaçının görüntülendiğini görün:
Sinüs değerinin büyüme grafiği sadece düz bir çizgi değildir. İlk 45 derece yüksekliğin %70'ini kaplar, ancak son 10 derece (80°'den 90°'ye kadar) yalnızca %2'sini kaplar.
Bu sizin için daha açıklayıcı olacaktır: Bir daire içinde yürürseniz, 0°'de neredeyse dikey olarak yükselirsiniz, ancak kubbenin tepesine yaklaştıkça yükseklik giderek daha az değişir.
Teğet ve sekant. Duvar
Bir gün komşunun biri duvar ördü hemen yan yana senin kubbene. Pencereden manzaranızı ağlattım ve yeniden satış için iyi bir fiyat!
Ancak bu durumda bir şekilde kazanmak mümkün mü?
Tabii ki evet. Komşumuzun duvarına bir film ekranı assak nasıl olur? (x) açısını hedeflersiniz ve şunu elde edersiniz:
- tan(x) = tan(x) = duvardaki ekranın yüksekliği
- sizden duvara olan mesafe: 1 (bu sizin kubbenizin yarıçapıdır, duvar sizden hiçbir yere hareket etmiyor, değil mi?)
- secant(x) = sec(x) = Kubbenin ortasında durduğunuz yerden asılı paravanın tepesine kadar olan “merdivenin uzunluğu”
Teğet veya ekran yüksekliğiyle ilgili birkaç noktayı açıklığa kavuşturalım.
- 0'dan başlar ve sonsuza kadar yükselebilir. En sevdiğiniz filmi izlemek için sonsuz bir tuval oluşturmak amacıyla ekranı duvarda giderek daha yükseğe uzatabilirsiniz! (Böylesine büyük bir şey için elbette çok para harcamanız gerekecek).
- teğet sinüsün sadece daha büyük bir versiyonudur! Kubbenin tepesine doğru ilerledikçe sinüsteki artış yavaşlarken, teğet büyümeye devam ediyor!
Sekansu'nun da övüneceği bir şey var:
- Sekant 1'den başlar (merdiven yerde, sizden duvara doğru) ve oradan yükselmeye başlar.
- Sekant her zaman teğetten daha uzundur. Ekranınızı asmak için kullandığınız eğimli merdiven ekranın kendisinden daha uzun olmalı değil mi? (Gerçekçi olmayan boyutlarda, ekran çok uzun olduğunda ve merdivenin neredeyse dikey olarak yerleştirilmesi gerektiğinde boyutları hemen hemen aynıdır. Ancak o zaman bile sekant biraz daha uzun olacaktır).
Unutmayın, değerler yüzde. Ekranı 50 derecelik bir açıyla asmaya karar verirseniz tan(50)=1,19 olur. Ekranınız duvara olan mesafeden (kubbe yarıçapı) %19 daha büyüktür.
(x=0 girin ve sezginizi kontrol edin - tan(0) = 0 ve sec(0) = 1.)
Kotanjant ve kosekant. Tavan
İnanılmaz bir şekilde, komşunuz artık kubbenizin üzerine bir çatı yapmaya karar verdi. (Onun nesi var? Görünüşe göre bahçede çıplak dolaşırken onu gözetlemeni istemiyor...)
Artık çatıya bir çıkış yapıp komşunuzla konuşmanın zamanı geldi. Eğim açısını seçersiniz ve inşaata başlarsınız:
- çatı çıkışı ile zemin arasındaki dikey mesafe her zaman 1'dir (kubbenin yarıçapı)
- kotanjant(x) = cot(x) = kubbenin üstü ile çıkış noktası arasındaki mesafe
- cosecant(x) = csc(x) = çatıya giden yolunuzun uzunluğu
Teğet ve kesen duvarı, COtanjant ve COsekant ise tavanı tanımlar.
Bu seferki sezgisel sonuçlarımız öncekilere benzer:
- Açıyı 0°'ye eşit alırsanız tavana asla ulaşamayacağı için çatıya çıkışınız sonsuza kadar sürecektir. Sorun.
- Zemine 90 derecelik bir açıyla inşa ederseniz çatıya giden en kısa “merdiven” elde edilecektir. Kotanjant 0'a eşit olacaktır (çatı boyunca hiç hareket etmiyoruz, kesinlikle dik olarak çıkıyoruz) ve kosekant 1'e eşit olacaktır ("merdivenin uzunluğu" minimum olacaktır).
Bağlantıları görselleştirin
Her üç kasa da kubbe-duvar-tavan birleşiminde çizilirse sonuç şu şekilde olacaktır:
Hâlâ aynı üçgen, duvara ve tavana ulaşacak kadar büyütülmüş. Dikey kenarlarımız (sinüs, teğet), yatay kenarlarımız (kosinüs, kotanjant) ve “hipotenüslerimiz” (sekant, kosekant) vardır. (Oklarla her bir elemanın nereye ulaştığını görebilirsiniz. Kosekant sizden çatıya kadar olan toplam mesafedir).
Biraz sihir. Tüm üçgenler aynı eşitlikleri paylaşır:
Pisagor teoreminden (a 2 + b 2 = c 2) her üçgenin kenarlarının nasıl bağlandığını görüyoruz. Ayrıca “yükseklik-genişlik” oranları da tüm üçgenler için aynı olmalıdır. (Sadece en başından bir adım geri çekilin) büyük üçgen daha azına. Evet, boyut değişti ancak en boy oranları aynı kalacak).
Her üçgenin hangi tarafının 1'e (kubbenin yarıçapı) eşit olduğunu bildiğimizde "sin/cos = tan/1" sonucunu kolaylıkla hesaplayabiliriz.
Bu gerçekleri her zaman basit görselleştirme yoluyla hatırlamaya çalıştım. Resimde bu bağımlılıkları açıkça görüyor ve nereden geldiklerini anlıyorsunuz. Bu teknik çok ezberlemekten daha iyi kuru formüller.
Diğer açıları unutmayın
Şşş... Teğetin her zaman 1'den küçük olduğunu düşünerek tek bir grafiğe takılıp kalmayın. Açıyı artırırsanız duvara ulaşmadan tavana ulaşabilirsiniz:
Pisagor bağlantıları her zaman işe yarar, ancak göreceli boyutlar farklı olabilir.
(Sinüs ve kosinüs oranlarının kubbenin içinde yer almasından dolayı her zaman en küçük olduğunu fark etmişsinizdir).
Özetlemek gerekirse: neyi hatırlamamız gerekiyor?
Çoğumuz için bunun yeterli olacağını söyleyebilirim:
- trigonometri daireler ve tekrarlanan aralıklar gibi matematiksel nesnelerin anatomisini açıklar
- Kubbe/duvar/çatı analojisi farklı trigonometrik fonksiyonlar arasındaki ilişkiyi gösterir
- Trigonometrik fonksiyonlar yüzdelerle sonuçlanır ve bunu senaryomuza uygularız.
1 2 + cot 2 = csc 2 gibi formülleri ezberlemenize gerek yok. Bunlar yalnızca aşağıdakiler için uygundur: aptal testler, bir gerçeğin bilgisinin onu anlamak olarak aktarıldığı. Bir dakikanızı ayırıp kubbe, duvar ve çatı şeklinde bir yarım daire çizin, elemanları etiketleyin; tüm formüller size kağıt üzerinde gelecektir.
Uygulama: Ters Fonksiyonlar
Herhangi trigonometrik fonksiyon girdi olarak bir açı alır ve sonucu yüzde olarak döndürür. günah(30) = 0,5. Bu, 30 derecelik bir açının maksimum yüksekliğin %50'sini kapladığı anlamına gelir.
Ters trigonometrik fonksiyon sin -1 veya arcsin olarak yazılır. Ayrıca sıklıkla şu şekilde yazılır: çeşitli diller programlama.
Yüksekliğimiz kubbe yüksekliğinin %25'i ise açımız nedir?
Oranlar tablomuzda sekantın 1'e bölündüğü bir oran bulabilirsiniz. Örneğin, 1'in sekantı (yatay hipotenüs) 1'in kosinüse bölünmesine eşit olacaktır:
Diyelim ki sekantımız 3,5, yani. Birim çemberin yarıçapının %350'si. Bu değer duvara hangi eğim açısına karşılık gelir?
Ek: Bazı örnekler
Örnek: x açısının sinüsünü bulun.
Sıkıcı bir görev. Sıradan "sinüs bulma" işlemini "Maksimumun (hipotenüs) yüzdesi olarak yükseklik nedir?" şeklinde karmaşıklaştıralım.
Öncelikle üçgenin döndürüldüğüne dikkat edin. Bunda yanlış bir şey yok. Üçgenin de bir yüksekliği vardır, şekilde yeşil renkle gösterilmiştir.
Hipotenüs neye eşittir? Pisagor teoremine göre şunu biliyoruz:
3 2 + 4 2 = hipotenüs 2 25 = hipotenüs 2 5 = hipotenüs
İyi! Sinüs, üçgenin en uzun kenarının veya hipotenüsünün yüksekliğinin yüzdesidir. Örneğimizde sinüs 3/5 veya 0,60'tır.
Elbette birkaç yoldan gidebiliriz. Artık sinüsün 0,60 olduğunu biliyoruz, arksinüsü kolayca bulabiliriz:
Asin(0,6)=36,9
İşte başka bir yaklaşım. Üçgenin “duvara dönük” olduğuna dikkat edin, dolayısıyla sinüs yerine teğeti kullanabiliriz. Yükseklik 3, duvara olan mesafe 4, yani teğet ¾ veya %75'tir. Yüzde değerinden bir açıya geri dönmek için arktanjantı kullanabiliriz:
Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Örnek: Kıyıya yüzecek misin?
Bir teknedesiniz ve 2 km yol almaya yetecek kadar yakıtınız var. Artık kıyıdan 0,25 km uzaktasınız. Yeterli yakıta sahip olmak için kıyıya maksimum hangi açıda yüzebilirsiniz? Sorun açıklamasına ek olarak: elimizde yalnızca ark kosinüs değerleri tablosu var.
Elimizde ne var? kıyı şeridi meşhur üçgenimizde bir “duvar” olarak temsil edilebilir ve duvara bağlanan “merdiven uzunluğu” teknenin kıyıya kadar kat edebileceği maksimum mesafedir (2 km). Bir sekant belirir.
İlk önce yüzdelere gitmeniz gerekiyor. 2 / 0.25 = 8'imiz var, yani kıyıya (veya duvara) olan düz mesafenin 8 katı kadar bir mesafeyi yüzebiliriz.
Şu soru ortaya çıkıyor: "8'in sekantı nedir?" Ancak elimizde sadece yay kosinüsleri olduğu için buna cevap veremeyiz.
Sekantı kosinüsle ilişkilendirmek için önceden türetilmiş bağımlılıklarımızı kullanırız: "sn/1 = 1/cos"
Sekanlar 8 kosinüse eşit⅛. Kosinüsü ⅛ olan bir açı acos(1/8) = 82,8'e eşittir. Ve bu, belirtilen miktarda yakıtla bir teknede karşılayabileceğimiz en büyük açıdır.
Fena değil, değil mi? Kubbe-duvar-tavan benzetmesi olmasaydı bir sürü formül ve hesaplamanın içinde kaybolurdum. Sorunu görselleştirmek, çözüm aramayı büyük ölçüde basitleştirir ve sonuçta hangi trigonometrik fonksiyonun yardımcı olacağını görmek de ilginçtir.
Her problem için şunu düşünün: Kubbeyle mi (sin/cos), duvarla mı (tan/sn) yoksa tavanla mı (karyola/csc) ilgileniyorum?
Ve trigonometri çok daha keyifli hale gelecek. Sizin için kolay hesaplamalar!