Teğet ve arktanjant grafiği. Ters trigonometrik fonksiyonlar

Ters trigonometrik fonksiyonlar matematiksel analizde yaygın olarak kullanılmaktadır. Ancak çoğu lise öğrencisi için bu tür işlevlerle ilgili görevler önemli zorluklara neden olur. Bunun temel nedeni birçok ders kitabının ve öğretim yardımcısının bu tür görevlere çok az önem vermesidir. Ve eğer öğrenciler en azından bir şekilde ters trigonometrik fonksiyonların değerlerini hesaplama problemleriyle başa çıkarsa, bu tür fonksiyonları içeren denklemler ve eşitsizlikler çoğunlukla çocukları şaşırtacaktır. Aslında bu şaşırtıcı değil, çünkü neredeyse hiçbir ders kitabı ters trigonometrik fonksiyonlar içeren en basit denklemlerin ve eşitsizliklerin bile nasıl çözüleceğini açıklamaz.

Ters trigonometrik fonksiyonları içeren çeşitli denklem ve eşitsizliklere bakalım ve bunları ayrıntılı açıklamalarla çözelim.

Örnek 1.

Denklemi çözün: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

Çözüm.

Denklemden ters trigonometrik fonksiyonu ifade ederek şunu elde ederiz:

arccos (2x + 3) = 5π/6. Şimdi ark kosinüs tanımını kullanalım.

-1'den 1'e kadar olan bölüme ait olan belirli bir a sayısının yay kosinüsü, 0'dan π'ye kadar olan bölümden bir y açısıdır, öyle ki kosinüsü x sayısına eşittir. Bu nedenle şu şekilde yazabiliriz:

2x + 3 = çünkü 5π/6.

İndirgeme formülünü kullanarak elde edilen denklemin sağ tarafını yazalım:

2x + 3 = cos (π – π/6).

2x + 3 = -cos π/6;

2x + 3 = -√3/2;

2x = -3 – √3/2.

Sağ tarafı ortak bir paydaya indirgeyelim.

2x = -(6 + √3) / 2;

x = -(6 + √3) / 4.

Cevap: -(6 + √3) / 4 .

Örnek 2.

Denklemi çözün: cos (arccos (4x – 9)) = x 2 – 5x + 5.

Çözüm.

cos (arcсos x) = x olduğundan ve x [-1'e ait olduğundan; 1], o zaman bu denklem sisteme eşdeğerdir:

(4x – 9 = x 2 – 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.

Sistemde yer alan denklemi çözelim.

4x – 9 = x 2 – 5x + 5.

Karedir, dolayısıyla bunu anlıyoruz

x 2 – 9x + 14 = 0;

D = 81 – 4 14 = 25;

x1 = (9 + 5) / 2 = 7;

x 2 = (9 – 5) / 2 = 2.

Sistemde yer alan ikili eşitsizliği çözelim.

1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Tüm parçalara 9 eklediğimizde:

8 ≤ 4x ≤ 10. Her sayıyı 4'e bölersek şunu elde ederiz:

2 ≤ x ≤ 2,5.

Şimdi aldığımız cevapları birleştirelim. Kök x = 7'nin eşitsizliğin cevabını karşılamadığını görmek kolaydır. Bu nedenle denklemin tek çözümü x = 2'dir.

Cevap: 2.

Örnek 3.

Denklemi çözün: tg (arctg (0,5 – x)) = x 2 – 4x + 2,5.

Çözüm.

Tüm gerçek sayılar için tg (arctg x) = x olduğundan, bu denklem aşağıdaki denkleme eşdeğerdir:

0,5 – x = x 2 – 4x + 2,5.

Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemi önce standart forma getirip diskriminant kullanarak çözelim.

x 2 – 3x + 2 = 0;

D = 9 – 4 2 = 1;

x 1 = (3 + 1) / 2 = 2;

x 2 = (3 – 1) / 2 = 1.

Cevap: 1; 2.

Örnek 4.

Denklemi çözün: arcctg (2x – 1) = arcctg (x 2/2 + x/2).

Çözüm.

arcctg f(x) = arcctg g(x) olduğundan ancak ve ancak f(x) = g(x) ise, o zaman

2x – 1 = x2/2 + x/2. Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemi çözelim:

4x – 2 = x2 + x;

x 2 – 3x + 2 = 0.

Vieta teoreminden şunu elde ederiz

x = 1 veya x = 2.

Cevap: 1; 2.

Örnek 5.

Denklemi çözün: arksin (2x – 15) = arksin (x 2 – 6x – 8).

Çözüm.

Arcsin f(x) = arcsin g(x) formundaki bir denklem sisteme eşdeğer olduğundan

(f(x) = g(x),
(f(x) € [-1; 1],

o zaman orijinal denklem sisteme eşdeğerdir:

(2x – 15 = x 2 – 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.

Ortaya çıkan sistemi çözelim:

(x 2 – 8x + 7 = 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16.

İlk denklemden, Vieta teoremini kullanarak x = 1 veya x = 7 elde ederiz. Sistemin ikinci eşitsizliğini çözerek 7 ≤ x ≤ 8 olduğunu buluruz. Bu nedenle, final için yalnızca x = 7 kökü uygundur. cevap.

Cevap: 7.

Örnek 6.

Denklemi çözün: (arccos x) 2 – 6 arccos x + 8 = 0.

Çözüm.

Arccos x = t olsun, o zaman t segmente ait olur ve denklem şu şekli alır:

t 2 – 6t + 8 = 0. Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemi Vieta teoremini kullanarak çözün, t = 2 veya t = 4 olduğunu buluruz.

t = 4 segmente ait olmadığından t = 2 elde ederiz, yani. arccos x = 2, yani x = cos 2.

Cevap: çünkü 2.

Örnek 7.

Denklemi çözün: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.

Çözüm.

Arcsin x + arccos x = π/2 eşitliğini kullanalım ve denklemi şu şekilde yazalım:

(arksin x) 2 + (π/2 – arksin x) 2 = 5π 2 /36.

Arcsin x = t olsun, o zaman t [-π/2; segmentine aittir; π/2] ve denklem şu şekli alır:

t 2 + (π/2 – t) 2 = 5π 2 /36.

Ortaya çıkan denklemi çözelim:

t2 + π2/4 – πt + t2 = 5π2/36;

2t 2 – πt + 9π 2 /36 – 5π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + 4π2/36 = 0;

2t 2 – πt + π 2 /9 = 0. Denklemdeki kesirlerden kurtulmak için her terimi 9 ile çarparsak şunu elde ederiz:

18t 2 – 9πt + π2 = 0.

Diskriminantı bulalım ve ortaya çıkan denklemi çözelim:

D = (-9π) 2 – 4 · 18 · π 2 = 9π 2 .

t = (9π – 3π) / 2 18 veya t = (9π + 3π) / 2 18;

t = 6π/36 veya t = 12π/36.

İndirgemeden sonra elimizde:

t = π/6 veya t = π/3. Daha sonra

arcsin x = π/6 veya arcsin x = π/3.

Dolayısıyla x = sin π/6 veya x = sin π/3. Yani x = 1/2 veya x =√3/2.

Cevap: 1/2; √3/2.

Örnek 8.

5nx 0 ifadesinin değerini bulun; burada n, kök sayısıdır ve x 0, 2 arcsin x = - π – (x + 1) 2 denkleminin negatif köküdür.

Çözüm.

-π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2 olduğundan -π ≤ 2 arcsin x ≤ π olur. Ayrıca tüm gerçek x'ler için (x + 1) 2 ≥ 0,
o zaman -(x + 1) 2 ≤ 0 ve -π – (x + 1) 2 ≤ -π.

Dolayısıyla denklemin her iki tarafı da aynı anda –π'ye eşitse bir çözüme sahip olabilir; denklem sisteme eşdeğerdir:

(2 yaysin x = -π,
(-π – (x + 1) 2 = -π.

Ortaya çıkan denklem sistemini çözelim:

(arcsin x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.

İkinci denklemden x = -1, sırasıyla n = 1, sonra 5nx 0 = 5 · 1 · (-1) = -5 elde ederiz.

Cevap: -5.

Uygulamada görüldüğü gibi, ters trigonometrik fonksiyonlarla denklemleri çözme yeteneği, sınavları başarıyla geçmek için gerekli bir koşuldur. Bu nedenle Birleşik Devlet Sınavına hazırlanırken bu tür sorunları çözme eğitimi basit bir şekilde gerekli ve zorunludur.

Hala sorularınız mı var? Denklemleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için -.
İlk ders ücretsiz!

blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Dersler 32-33. Ters trigonometrik fonksiyonlar

09.07.2015 5917 0

Hedef: Ters trigonometrik fonksiyonları ve bunların trigonometrik denklemlerin çözümlerini yazmak için kullanımını göz önünde bulundurun.

I. Dersin konusunun ve amacının aktarılması

II. Yeni materyal öğrenme

1. Ters trigonometrik fonksiyonlar

Bu konuyu tartışmamıza aşağıdaki örnekle başlayalım.

Örnek 1

Denklemi çözelim: a) günah x = 1/2; b) günah x = a.

a) Ordinat eksenine 1/2 değerini çizeriz ve açıları oluştururuz x 1 ve x2, bunun için günah x = 1/2. Bu durumda x1 + x2 = π, dolayısıyla x2 = π – x 1 . Trigonometrik fonksiyonların değer tablosunu kullanarak x1 = π/6 değerini buluruz, sonraSinüs fonksiyonunun periyodikliğini dikkate alalım ve bu denklemin çözümlerini yazalım:burada k ∈ Z.

b) Açıkçası, denklemi çözmek için kullanılan algoritma günah x = a önceki paragraftakiyle aynıdır. Elbette artık a değeri ordinat ekseni boyunca çizilmiştir. Bir şekilde x1 açısını belirtmeye ihtiyaç var. Bu açıyı sembolüyle belirtme konusunda anlaştık. arksin A. Daha sonra bu denklemin çözümleri şu şekilde yazılabilir:Bu iki formül tek bir formülde birleştirilebilir: aynı zamanda

Geri kalan ters trigonometrik fonksiyonlar da benzer şekilde tanıtılır.

Çoğu zaman bir açının büyüklüğünü trigonometrik fonksiyonunun bilinen değerinden belirlemek gerekir. Böyle bir problem çok değerlidir; trigonometrik fonksiyonları aynı değere eşit olan sayısız açı vardır. Bu nedenle, trigonometrik fonksiyonların monotonluğuna dayanarak, açıları benzersiz şekilde belirlemek için aşağıdaki ters trigonometrik fonksiyonlar tanıtılmıştır.

a sayısının arksinüsü (arksinüs) sinüsü a'ya eşit olan, yani.

Bir sayının ark kosinüsü a(arccos a) kosinüsü a'ya eşit olan aralıktan bir a açısıdır;

Bir sayının arktanjantı a(arktg) a) - aralıktan böyle bir açıtanjantı a'ya eşit olan, yani.tg a = a.

Bir sayının arkkotanjantı a(arcctg a) kotanjantı a'ya eşit olan (0; π) aralığından bir a açısıdır; ctg a = a.

Örnek 2

Hadi bulalım:

Ters trigonometrik fonksiyonların tanımlarını dikkate alarak şunu elde ederiz:

Örnek 3

Haydi hesaplayalım

a açısı = arksin olsun 3/5, o halde tanım gereği sin a = 3/5 ve . Bu nedenle bulmamız gerekiyorçünkü A. Temel trigonometrik özdeşliği kullanarak şunu elde ederiz:a ≥ 0 olduğu dikkate alınır. Yani,

Fonksiyon özellikleri	İşlev
Fonksiyon özellikleri	y = arksin x	y = arccosx	y = arktan x	y = arkctg x
Tanım alanı	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Değer aralığı	y ∈ [ -π/2 ; π /2 ]	y ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0; π)
Parite	Garip	Ne çift ne de tek	Garip	Ne çift ne de tek
Fonksiyon sıfırları (y = 0)	x = 0'da	x = 1'de	x = 0'da	y ≠ 0
İşaret sabitliği aralıkları	x ∈ (0; 1] için y > 0, en< 0 при х ∈ [-1; 0)	x ∈ [-1 için y > 0; 1)	x ∈ (0; +∞) için y > 0, en< 0 при х ∈ (-∞; 0)	x ∈ (-∞; +∞) için y > 0
Monoton	Artan	Azalan	Artan	Azalan
Trigonometrik fonksiyonla ilişki	günah y = x	çünkü y = x	tg y = x	CTG y = x
Takvim

Ters trigonometrik fonksiyonların tanımları ve temel özelliklerine ilişkin daha tipik birkaç örnek verelim.

Örnek 4

Fonksiyonun tanım tanım kümesini bulalım

Y fonksiyonunun tanımlanabilmesi için eşitsizliğin sağlanması gerekir.eşitsizlik sistemine eşdeğerdirİlk eşitsizliğin çözümü x aralığıdır∈ (-∞; +∞), ikinci - Bu aralık ve eşitsizlikler sisteminin bir çözümüdür ve dolayısıyla fonksiyonun tanım alanıdır

Örnek 5

Fonksiyonun değişim alanını bulalım

Fonksiyonun davranışını ele alalım z = 2x - x2 (resme bakın).

z ∈ olduğu açıktır (-∞; 1). Argümanın z yay kotanjant fonksiyonu, elde ettiğimiz tablo verilerinden belirtilen sınırlar dahilinde değişirBöylece değişim alanı

Örnek 6

y = fonksiyonunun olduğunu kanıtlayalım. arktg x tek. İzin vermekO halde tg a = -x veya x = - tg a = tg (- a) ve Bu nedenle, - a = arctg x veya a = - arctg X. Böylece şunu görüyoruzyani y(x) tek bir fonksiyondur.

Örnek 7

Tüm ters trigonometrik fonksiyonları ifade edelim

İzin vermek Açıkça görülüyor ki o zamandan beri

Açıyı tanıtalım Çünkü O

Aynı şekilde bu nedenle Ve

Bu yüzden,

Örnek 8

y = fonksiyonunun grafiğini oluşturalım cos(arcsin x).

a = arcsin x'i gösterelim, o zaman x = sin a ve y = cos a yani x 2 olduğunu dikkate alalım. + y2 = 1 ve x (x) üzerindeki kısıtlamalar∈ [-1; 1]) ve y (y ≥ 0). O zaman y = fonksiyonunun grafiğiçünkü(arksin x) bir yarım dairedir.

Örnek 9

y = fonksiyonunun grafiğini oluşturalım arccos (çünkü x).

cos fonksiyonundan beri x [-1; 1], bu durumda y fonksiyonu sayısal eksenin tamamında tanımlanır ve segmentine göre değişir. y = olduğunu aklımızda tutalım. arkcos(cosx) = segment üzerinde x; y fonksiyonu çifttir ve periyodu 2π olan periyodiktir. Fonksiyonun bu özelliklere sahip olduğu göz önüne alındığındaçünkü x Artık grafik oluşturmak çok kolay.

Bazı yararlı eşitliklere dikkat edelim:

Örnek 10

Fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulalım Haydi belirtelim Daha sonra Fonksiyonu alalım Bu fonksiyonun şu noktada bir minimumu var z = π/4 ve şuna eşittir: Fonksiyonun en büyük değeri bu noktada elde edilir. z = -π/2 ve eşittir Böylece ve

Örnek 11

Denklemi çözelim

Bunu dikkate alalım O zaman denklem şöyle görünür:veya Neresi Arktanjant tanımı gereği şunu elde ederiz:

2. Basit trigonometrik denklemlerin çözülmesi

Örnek 1'e benzer şekilde en basit trigonometrik denklemlerin çözümlerini elde edebilirsiniz.

Denklem	Çözüm


tgx = a
CTG x = a

Örnek 12

Denklemi çözelim

Sinüs fonksiyonu tek olduğundan denklemi şu şekilde yazıyoruz:Bu denklemin çözümleri:nereden bulacağız?

Örnek 13

Denklemi çözelim

Verilen formülü kullanarak denklemin çözümlerini yazıyoruz:ve bulacağız

Denklemleri çözerken özel durumlarda (a = 0; ±1) olduğuna dikkat edin. günah x = a ve cos x = ve genel formülleri kullanmak yerine birim çembere dayalı çözümleri yazmak daha kolay ve kullanışlıdır:

sin x = 1 denklemi için çözüm

sin x = 0 denklemi için çözümler x = π k;

denklem için sin x = -1 çözümü

cos denklemi için x = 1 çözüm x = 2π k;

denklem için cos x = 0 çözümleri

denklem için cos x = -1 çözümü

Örnek 14

Denklemi çözelim

Bu örnekte denklemin özel bir durumu olduğundan, çözümü uygun formülü kullanarak yazacağız:nereden bulacağız?

III. Kontrol soruları (ön anket)

1. Ters trigonometrik fonksiyonların temel özelliklerini tanımlayın ve listeleyin.

2. Ters trigonometrik fonksiyonların grafiklerini verin.

3. Basit trigonometrik denklemlerin çözümü.

IV. Ders ataması

§ 15, No. 3 (a, b); 4(c,d); 7(a); 8(a); 12(b); 13(a); 15(c); 16(a); 18(a,b); 19(c); 21;

§ 16, No. 4 (a, b); 7(a); 8(b); 16(a,b); 18(a); 19(c,d);

§ 17, No. 3 (a, b); 4(c,d); 5(a,b); 7(c,d); 9(b); 10(a,c).

V. Ödev

§ 15, No. 3 (c, d); 4(a,b); 7(c); 8(b); 12(a); 13(b); 15(g); 16(b); 18(c,d); 19(g); 22;

§ 16, No. 4 (c, d); 7(b); 8(a); 16(c,d); 18(b); 19(a,b);

§ 17, No. 3 (c, d); 4(a,b); 5(c,d); 7(a,b); 9(d); 10(b,d).

VI. Yaratıcı görevler

1. Fonksiyonun tanım kümesini bulun:

Cevaplar:

2. Fonksiyonun aralığını bulun:

Cevaplar:

3. Fonksiyonun grafiğini çizin:

VII. Dersleri özetlemek

Ters trigonometrik fonksiyonların tanımları ve grafikleri verilmiştir. Ters trigonometrik fonksiyonları birbirine bağlayan formüllerin yanı sıra, toplamlar ve farklar için formüller.

Ters trigonometrik fonksiyonların tanımı

Trigonometrik fonksiyonlar periyodik olduğundan ters fonksiyonları benzersiz değildir. Yani, y = denklemi günah x Belirli bir durumda sonsuz sayıda köke sahiptir. Aslında sinüsün periyodikliği nedeniyle, eğer x böyle bir kökse, o zaman öyledir x + 2πn(burada n bir tam sayıdır) aynı zamanda denklemin kökü olacaktır. Böylece, ters trigonometrik fonksiyonlar çok değerlidir. Onlarla çalışmayı kolaylaştırmak için ana anlamları kavramı tanıtıldı. Örneğin sinüsü düşünün: y = günah x. günah x Eğer x argümanını aralıkla sınırlandırırsak, onun üzerinde y = fonksiyonu olur. monoton olarak artar. Bu nedenle arksinüs adı verilen benzersiz bir ters fonksiyona sahiptir: x =.

arksin y

Aksi belirtilmedikçe, ters trigonometrik fonksiyonlarla, aşağıdaki tanımlarla belirlenen ana değerlerini kastediyoruz. Arksinüs ( y =) ark sin x sinüsün ters fonksiyonudur ( x =

günahkar Arksinüs ( Ark kosinüs () arkcos x sinüsün ters fonksiyonudur ( kosinüsün ters fonksiyonudur ( samimi

), bir tanım alanına ve bir değerler kümesine sahiptir. Arksinüs ( Arktanjant () arktan x sinüsün ters fonksiyonudur ( tanjantın ters fonksiyonudur ( samimi

tg y Arksinüs ( arkkotanjant () arkctg x sinüsün ters fonksiyonudur ( kotanjantın ters fonksiyonudur ( samimi

ctg y

Ters trigonometrik fonksiyonların grafikleri

Arksinüs ( y =

Arksinüs ( Ark kosinüs (

Arksinüs ( Arktanjant (

Arksinüs ( arkkotanjant (

Ters trigonometrik fonksiyonların grafikleri, trigonometrik fonksiyonların grafiklerinden y = x düz çizgisine göre ayna yansımasıyla elde edilir.

Bkz. Sinüs, kosinüs, Teğet, kotanjant bölümleri.

Temel formüller Burada formüllerin geçerli olduğu aralıklara özellikle dikkat etmelisiniz.
arksin(sin x) = x
en Burada formüllerin geçerli olduğu aralıklara özellikle dikkat etmelisiniz.
günah(arcsin x) = x

arccos(çünkü x) = x Burada formüllerin geçerli olduğu aralıklara özellikle dikkat etmelisiniz.
cos(arccos x) = x
arktan(tg x) = x Burada formüllerin geçerli olduğu aralıklara özellikle dikkat etmelisiniz.
tg(arctg x) = x

arkctg(ctg x) = x

ctg(arcctg x) = x

Ters trigonometrik fonksiyonlara ilişkin formüller

Toplam ve fark formülleri

veya

ve

ve

Sin, cos, tg ve ctg fonksiyonlarına her zaman arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant eşlik eder. Biri diğerinin sonucudur ve fonksiyon çiftleri trigonometrik ifadelerle çalışırken eşit derecede önemlidir.

Trigonometrik fonksiyonların değerlerini grafiksel olarak gösteren bir birim daire çizimini düşünün.

OA, arcos OC, arctg DE ve arcctg MK yaylarını hesaplarsak, bunların hepsi α açısının değerine eşit olacaktır. Aşağıdaki formüller, temel trigonometrik fonksiyonlar ve bunlara karşılık gelen yaylar arasındaki ilişkiyi yansıtmaktadır.

Arsinüsün özelliklerini daha iyi anlamak için fonksiyonunu dikkate almak gerekir. Takvim koordinat merkezinden geçen asimetrik bir eğri formuna sahiptir.

Arsin'in özellikleri:

Grafikleri karşılaştırırsak günah Ve arksinİki trigonometrik fonksiyonun ortak desenleri olabilir.

ark kosinüs

Bir sayının Arcco'su, kosinüsü a'ya eşit olan α açısının değeridir.

Eğri y = arcosx arcsin x grafiğini yansıtır, tek farkı OY ekseni üzerindeki π/2 noktasından geçmesidir.

Ark kosinüs fonksiyonuna daha detaylı bakalım:

Fonksiyon [-1; 1].
Arccos için ODZ - .
Grafiğin tamamı birinci ve ikinci çeyrekte yer alır ve fonksiyonun kendisi ne çift ne de tektir.
x = 1'de Y = 0.
Eğri tüm uzunluğu boyunca azalır. Ark kosinüsün bazı özellikleri kosinüs fonksiyonuyla örtüşmektedir.

Ark kosinüsün bazı özellikleri kosinüs fonksiyonuyla örtüşmektedir.

Belki okul çocukları "kemerler" üzerine bu kadar "ayrıntılı" bir çalışmayı gereksiz bulacaktır. Ancak aksi takdirde bazı temel standart sınav görevleri öğrencileri çıkmaz sokağa sürükleyebilir.

Görev 1.Şekilde gösterilen fonksiyonları belirtiniz.

Cevap: pirinç. 1 – 4, Şekil 2 – 1.

Bu örnekte vurgu küçük şeylere yapılmıştır. Tipik olarak öğrenciler grafiklerin oluşturulması ve fonksiyonların görünümü konusunda çok dikkatsizdirler. Gerçekten de, her zaman hesaplanan noktalar kullanılarak çizilebiliyorsa neden eğri tipini hatırlayasınız ki? Test koşullarında, basit bir görev için çizim yapmak için harcanan zamanın daha karmaşık görevleri çözmek için gerekli olacağını unutmayın.

arktanjant

Arctg a sayıları, tanjantı a'ya eşit olacak şekilde α açısının değeridir.

Arktanjant grafiğini dikkate alırsak aşağıdaki özellikleri vurgulayabiliriz:

Grafik sonsuzdur ve (- ∞; + ∞) aralığında tanımlanır.
Arktanjant tek bir fonksiyondur, dolayısıyla arktan (- x) = - arktan x.
x = 0'da Y = 0.
Eğri tüm tanım aralığı boyunca artar.

Tg x ve arctg x'in kısa bir karşılaştırmalı analizini tablo halinde sunalım.

Arkotanjant

Bir sayının arkı - kotanjantı a'ya eşit olacak şekilde (0; π) aralığından bir α değeri alır.

Yay kotanjant fonksiyonunun özellikleri:

Fonksiyon tanımı aralığı sonsuzdur.
Kabul edilebilir değerlerin aralığı (0; π) aralığıdır.
F(x) ne çift ne de tektir.
Fonksiyonun grafiği tüm uzunluğu boyunca azalır.

Ctg x ve arctg x'i karşılaştırmak çok basittir, sadece iki çizim yapıp eğrilerin davranışını tanımlamanız yeterlidir.

Görev 2. Fonksiyonun grafiğini ve notasyon formunu eşleştirin.

Mantıklı düşünürsek her iki fonksiyonun da arttığı grafiklerden açıkça görülmektedir. Bu nedenle her iki figür de belirli bir arktan işlevi sergiliyor. Arktanjantın özelliklerinden x = 0'da y=0 olduğu bilinmektedir,

Cevap: pirinç. 1 – 1, şekil. 2 – 4.

Trigonometrik kimlikler arcsin, arcos, arctg ve arcctg

Daha önce kemerler ile trigonometrinin temel fonksiyonları arasındaki ilişkiyi zaten tanımlamıştık. Bu bağımlılık, örneğin bir argümanın sinüsünü arksinüsü, arkkosinüsü veya tam tersi aracılığıyla ifade etmeye izin veren bir dizi formülle ifade edilebilir. Bu tür kimliklerin bilgisi, belirli örnekleri çözerken faydalı olabilir.

Arctg ve arcctg için de ilişkiler vardır:

Başka bir kullanışlı formül çifti, aynı açının arcctg ve arcctg'sinin yanı sıra arcsin ve arcos toplamının değerini ayarlar.

Problem çözme örnekleri

Trigonometri görevleri dört gruba ayrılabilir: belirli bir ifadenin sayısal değerini hesaplamak, belirli bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak, tanım alanını veya ODZ'yi bulmak ve örneği çözmek için analitik dönüşümler gerçekleştirmek.

İlk tür sorunu çözerken aşağıdaki eylem planına uymalısınız:

Fonksiyon grafikleriyle çalışırken asıl önemli olan bunların özellikleri ve eğrinin görünümü hakkında bilgi sahibi olmaktır. Trigonometrik denklemleri ve eşitsizlikleri çözmek kimlik tablolarını gerektirir. Öğrenci ne kadar çok formülü hatırlarsa, görevin cevabını bulmak o kadar kolay olur.

Diyelim ki Birleşik Devlet Sınavında aşağıdaki gibi bir denklemin cevabını bulmanız gerekiyor:

İfadeyi doğru bir şekilde dönüştürüp istediğiniz forma getirirseniz çözmek çok basit ve hızlı olur. Öncelikle arcsin x'i eşitliğin sağ tarafına taşıyalım.

Formülü hatırlıyorsanız arksin (sin α) = α, o zaman cevap arayışını iki denklemden oluşan bir sistemin çözümüne indirgeyebiliriz:

X modeli üzerindeki kısıtlama yine arcsin'in özelliklerinden kaynaklanmıştır: x [-1 için ODZ; 1]. a ≠0 olduğunda sistemin bir kısmı kökleri x1 = 1 ve x2 = - 1/a olan ikinci dereceden bir denklemdir. a = 0 olduğunda x 1'e eşit olacaktır.