Kompleks türevler. Logaritmik türev.
Bir üstel fonksiyonun türevi
Farklılaştırma tekniğimizi geliştirmeye devam ediyoruz. Bu derste ele aldığımız materyali pekiştireceğiz, daha karmaşık türevlere bakacağız ve ayrıca özellikle logaritmik türev olmak üzere türev bulma konusunda yeni teknikler ve püf noktaları hakkında bilgi sahibi olacağız.
Sahip olan okuyuculara düşük seviye hazırlık, makaleye başvurmalısınız Türevi nasıl bulunur? Çözüm örnekleri Bu da becerilerinizi neredeyse sıfırdan geliştirmenize olanak tanır. Daha sonra sayfayı dikkatlice incelemeniz gerekiyor Karmaşık bir fonksiyonun türevi, anlayın ve çözün Tüm verdiğim örnekler. Bu ders mantıksal olarak üçüncü derstir ve bu konuda uzmanlaştıktan sonra oldukça karmaşık işlevleri güvenle ayırt edeceksiniz. “Başka nerede?” pozisyonunu almak istenmez. Evet, bu kadar yeter! ”Çünkü tüm örnekler ve çözümler gerçeklerden alınmıştır. testler ve pratikte sıklıkla karşılaşılmaktadır.
Tekrarlarla başlayalım. sınıfta Karmaşık bir fonksiyonun türevi Ayrıntılı yorumlarla birlikte birkaç örneğe baktık. Diferansiyel hesabın ve diğer bölümlerin incelenmesi sırasında matematiksel analiz– çok sık farklılaştırma yapmak zorunda kalacaksınız ve örnekleri ayrıntılı bir şekilde açıklamak her zaman uygun olmayabilir (ve her zaman gerekli de olmayabilir). Bu nedenle sözlü olarak türev bulma alıştırması yapacağız. Bunun için en uygun "adaylar" en basit karmaşık fonksiyonların türevleridir, örneğin:
Karmaşık fonksiyonların farklılaşması kuralına göre 
:
Gelecekte diğer matan konularını incelerken, bu kadar ayrıntılı bir kayıt çoğu zaman gerekli değildir; öğrencinin bu tür türevleri otomatik pilotta nasıl bulacağını bildiği varsayılır. Sabah saat 3'te bir olay olduğunu hayal edelim. telefon görüşmesi, Ve hoş ses"İki X'in tanjantının türevi nedir?" diye sordu. Bunu neredeyse anında ve kibar bir yanıt takip etmelidir: 
.
İlk örnek hemen amaçlanacak bağımsız karar.
Örnek 1
Aşağıdaki türevleri tek bir işlemle sözlü olarak bulun, örneğin: . Görevi tamamlamak için yalnızca kullanmanız gerekir temel fonksiyonların türevleri tablosu(henüz hatırlamadıysanız). Herhangi bir zorlukla karşılaşırsanız dersi tekrar okumanızı tavsiye ederim Karmaşık bir fonksiyonun türevi.
, , ,
, 
, , 
, , ,
, , 
,
, , 
,
, , ,
, 
,
Cevaplar dersin sonunda
Karmaşık türevler
Ön topçu hazırlığından sonra, 3-4-5 işlevin iç içe geçtiği örnekler daha az korkutucu olacaktır. Belki aşağıdaki iki örnek bazılarına karmaşık gelebilir, ancak eğer bunları anlarsanız (birisi acı çekecektir), o zaman hemen hemen her şey diferansiyel hesap Bir çocuğun şakası gibi görünecek.
Örnek 2
Bir fonksiyonun türevini bulun 
Daha önce belirtildiği gibi, karmaşık bir fonksiyonun türevini bulurken her şeyden önce gereklidir Sağ Yatırımlarınızı ANLAYIN. Şüphelenilen durumlarda hatırlatırım faydalı numara: örneğin "x"in deneysel değerini alırız ve (zihinsel olarak veya taslakta) yerine koymaya çalışırız verilen değer"korkunç bir ifadeye" dönüştü.
1) Öncelikle toplamın en derin gömülü olduğu anlamına gelen ifadeyi hesaplamamız gerekir.
2) O zaman logaritmayı hesaplamanız gerekir:
4) Daha sonra kosinüsün küpünü alın:
5) Beşinci adımda fark:
6) Ve son olarak en dıştaki fonksiyon kareköktür: 
Karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için formül 
kullanılacak ters sıra, en dıştaki fonksiyondan en içteki fonksiyona doğru. Biz karar veriyoruz:
Hiçbir hata yok gibi görünüyor...
(1) Karekökün türevini alın.
(2) Kuralı kullanarak farkın türevini alırız 
(3) Bir üçlünün türevi sıfırdır. İkinci terimde derecenin (küp) türevini alıyoruz.
(4) Kosinüsün türevini alın.
(5) Logaritmanın türevini alın.
(6) Ve son olarak en derine yerleştirmenin türevini alıyoruz.
Çok zor görünebilir ama bu en acımasız örnek değil. Örneğin Kuznetsov'un koleksiyonunu ele aldığımızda, analiz edilen türevin tüm güzelliğini ve sadeliğini takdir edeceksiniz. Bir öğrencinin karmaşık bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağını anlayıp anlamadığını kontrol etmek için sınavda benzer bir şey vermeyi sevdiklerini fark ettim.
Aşağıdaki örnek kendi başınıza çözmeniz içindir.
Örnek 3
Bir fonksiyonun türevini bulun
İpucu: Öncelikle doğrusallık kurallarını ve ürün farklılaştırma kuralını uyguluyoruz
Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.
Daha küçük ve daha güzel bir şeye geçmenin zamanı geldi.
Bir örnekte ikinin çarpımının gösterilmesi alışılmadık bir durum değildir, ancak üç fonksiyon. Türevi nasıl bulunur? üçlü ürünlerçarpanlar?
Örnek 4
Bir fonksiyonun türevini bulun 
Öncelikle bakalım, üç fonksiyonun çarpımını iki fonksiyonun çarpımına dönüştürmek mümkün müdür? Örneğin çarpımda iki polinom varsa parantezleri açabiliriz. Ancak söz konusu örnekte tüm işlevler farklıdır: derece, üs ve logaritma.
Bu gibi durumlarda gerekli sıraylaürün farklılaştırma kuralını uygulayın 
iki kere
İşin püf noktası, "y" ile iki fonksiyonun çarpımını, "ve" ile de logaritmayı belirtmemizdir: . Bu neden yapılabilir? Gerçekten mi 
– bu iki faktörün bir ürünü değil ve kural işe yaramıyor mu?! Karmaşık bir şey yok:
Şimdi kuralı ikinci kez uygulamaya devam ediyor 
parantez içine almak için:
Hala sapkın olabilir ve parantezlerin dışına bir şeyler çıkarabilirsiniz, ancak bu durumda Cevabı bu formda bırakmak daha iyidir - kontrol edilmesi daha kolay olacaktır.
Ele alınan örnek ikinci şekilde çözülebilir: 
Her iki çözüm de kesinlikle eşdeğerdir.
Örnek 5
Bir fonksiyonun türevini bulun
Bu, bağımsız bir çözüme bir örnektir; örnekte birinci yöntem kullanılarak çözülür.
Kesirlerle benzer örneklere bakalım.
Örnek 6
Bir fonksiyonun türevini bulun 
Buraya gidebileceğiniz birkaç yol var:
Veya bunun gibi:
Ancak öncelikle bölümün türev alma kuralını kullanırsak çözüm daha kısa bir şekilde yazılacaktır. 
, payın tamamını alarak:
Prensip olarak örnek çözülmüştür ve olduğu gibi bırakılırsa hata olmayacaktır. Ancak zamanınız varsa, cevabın basitleştirilip basitleştirilemeyeceğini görmek için her zaman taslağı kontrol etmeniz önerilir. Payın ifadesini şuna indirgeyelim: ortak payda Ve hadi üç katlı kesirden kurtulalım:
Ek basitleştirmelerin dezavantajı, türevi bulurken değil, sıradan okul dönüşümleri sırasında hata yapma riskinin olmasıdır. Öte yandan öğretmenler sıklıkla ödevi reddediyor ve türevi “akla getirmesini” istiyorlar.
Kendi başınıza çözebileceğiniz daha basit bir örnek:
Örnek 7
Bir fonksiyonun türevini bulun
Türevi bulma yöntemlerinde uzmanlaşmaya devam ediyoruz ve şimdi türev için "korkunç" bir logaritmanın önerildiği tipik bir durumu ele alacağız.
Örnek 8
Bir fonksiyonun türevini bulun
Burada karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını kullanarak uzun bir yol kat edebilirsiniz:
Ancak ilk adım sizi anında umutsuzluğa sürükler - hoş olmayan bir türevi almak zorundasınız. kesirli güç, ve sonra da kesirden.
Bu yüzden önce"Gelişmiş" bir logaritmanın türevinin nasıl alınacağı, ilk olarak iyi bilinen okul özellikleri kullanılarak basitleştirilmiştir:
! Elinizde bir alıştırma defteriniz varsa, bu formülleri doğrudan oraya kopyalayın. Not defteriniz yoksa bunları bir kağıda kopyalayın, çünkü dersin geri kalan örnekleri bu formüller etrafında şekillenecektir.
Çözümün kendisi şöyle yazılabilir:
Fonksiyonu dönüştürelim:
Türevi bulma: 
Fonksiyonun önceden dönüştürülmesi çözümü büyük ölçüde basitleştirdi. Bu nedenle, türev için benzer bir logaritma önerildiğinde, her zaman onu "parçalamak" tavsiye edilir.
Şimdi kendi başınıza çözebileceğiniz birkaç basit örnek:
Örnek 9
Bir fonksiyonun türevini bulun 
Örnek 10
Bir fonksiyonun türevini bulun
Tüm dönüşümler ve cevaplar dersin sonundadır.
Logaritmik türev
Logaritmanın türevi bu kadar tatlı müzikse, o zaman şu soru ortaya çıkıyor: Bazı durumlarda logaritmayı yapay olarak düzenlemek mümkün mü? Olabilmek! Ve hatta gerekli.
Örnek 11
Bir fonksiyonun türevini bulun 
Yakın zamanda benzer örneklere baktık. Ne yapalım? Bölümün farklılaşma kuralını ve ardından çarpımın farklılaşma kuralını sırayla uygulayabilirsiniz. Bu yöntemin dezavantajı, hiç uğraşmak istemeyeceğiniz devasa bir üç katlı kesirle karşı karşıya kalmanızdır.
Ancak teoride ve pratikte logaritmik türev diye harika bir şey var. Logaritmalar her iki tarafa "asılarak" yapay olarak düzenlenebilir:
Şimdi sağ tarafın logaritmasını mümkün olduğunca “parçalamanız” gerekiyor (formüller gözlerinizin önünde mi?). Bu süreci çok detaylı bir şekilde anlatacağım:
Farklılaştırmayla başlayalım.
Her iki bölümü de ana başlık altında sonlandırıyoruz:
Sağ tarafın türevi oldukça basittir; bu konuda yorum yapmayacağım çünkü bu metni okuyorsanız, bunu kendinizden emin bir şekilde yapabilmeniz gerekir.
Peki sol taraf?
Sol tarafta elimizde karmaşık fonksiyon. “Neden logaritmanın altında bir tane “Y” harfi var?” sorusunu öngörüyorum.
Gerçek şu ki, bu "tek harfli oyun" - KENDİSİ BİR FONKSİYONDUR(çok açık değilse örtülü olarak belirtilen bir fonksiyonun türevi makalesine bakın). Bu nedenle logaritma harici bir fonksiyondur ve “y” dahili fonksiyon. Ve karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için kuralı kullanıyoruz 
:
Sol tarafta sanki sihir varmış gibi sihirli değnek bir türevimiz var. Daha sonra orantı kuralına göre “y”yi sol taraftaki paydadan sağ tarafın üstüne aktarıyoruz:
Şimdi farklılaşma sırasında nasıl bir “oyuncu” işlevinden bahsettiğimizi hatırlayalım. Şimdi duruma bakalım: 
Son cevap: 
Örnek 12
Bir fonksiyonun türevini bulun
Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Örnek tasarım örneği bu türden dersin sonunda.
Logaritmik türevi kullanarak 4-7 numaralı örneklerden herhangi birini çözmek mümkündü, başka bir şey de oradaki fonksiyonların daha basit olması ve belki de logaritmik türevin kullanımının pek haklı olmamasıdır.
Bir üstel fonksiyonun türevi
Bu fonksiyonu henüz değerlendirmedik. Bir üstel fonksiyon fonksiyonu, bunun için bir fonksiyondur. hem derece hem de taban “x”e bağlıdır. Klasik örnek, size herhangi bir ders kitabında veya herhangi bir derste verilecektir:
Bir üstel fonksiyonun türevi nasıl bulunur?
Az önce tartışılan tekniğin (logaritmik türev) kullanılması gereklidir. Her iki tarafa da logaritma asıyoruz:
Kural olarak, sağ tarafta derece logaritmanın altından çıkarılır:
Sonuç olarak, sağ tarafta, şu şekilde farklılaştırılacak iki fonksiyonun çarpımı var: standart formül 
.
Türevi buluyoruz; bunu yapmak için her iki parçayı da konturların altına alıyoruz:
Diğer eylemler basittir:
Nihayet: 
Herhangi bir dönüşüm tamamen açık değilse, lütfen Örnek #11'in açıklamalarını dikkatlice tekrar okuyun.
İÇİNDE pratik görevler Kuvvet-üstel fonksiyon her zaman derste tartışılan örnekten daha karmaşık olacaktır.
Örnek 13
Bir fonksiyonun türevini bulun
Logaritmik türevi kullanıyoruz. 
Sağ tarafta bir sabitimiz ve iki faktörün çarpımı var - “x” ve “logaritmanın logaritması x” (başka bir logaritma logaritmanın altına yerleştirilmiştir). Hatırladığımız gibi, türev alırken, yolunuza çıkmaması için sabiti hemen türev işaretinin dışına taşımak daha iyidir; ve elbette tanıdık kuralı uyguluyoruz 
:
Gördüğünüz gibi, logaritmik türevi kullanma algoritması herhangi bir özel hile veya püf noktası içermez ve bir üstel fonksiyonun türevini bulmak genellikle "eziyet" ile ilişkili değildir.
Karar vermek fiziksel görevler veya matematikteki örnekler, türev ve onu hesaplama yöntemleri hakkında bilgi olmadan tamamen imkansızdır. Türev aşağıdakilerden biridir en önemli kavramlar matematiksel analiz. Bu temel konu Bugünün makalesini adamaya karar verdik. Türev nedir, fiziksel ve geometrik anlamı Bir fonksiyonun türevi nasıl hesaplanır? Tüm bu sorular tek bir soruda birleştirilebilir: Türev nasıl anlaşılır?
Türevin geometrik ve fiziksel anlamı
Bir fonksiyon olsun f(x) , belirli bir aralıkta belirtilir (a, b) . x ve x0 noktaları bu aralığa aittir. X değiştiğinde fonksiyonun kendisi de değişir. Argümanı değiştirme - değerlerindeki fark x-x0 . Bu fark şu şekilde yazılır: delta x ve argüman artışı olarak adlandırılır. Bir fonksiyonun değişmesi veya artması, bir fonksiyonun iki noktadaki değerleri arasındaki farktır. Türevin tanımı:
Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, fonksiyonun belirli bir noktadaki artışının, argümanın sıfıra yaklaştığı durumdaki artışına oranının limitidir.
Aksi takdirde şu şekilde yazılabilir:
Böyle bir sınır bulmanın amacı nedir? Ve işte şu:
Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, OX ekseni arasındaki açının belirli bir noktadaki fonksiyonun grafiğine olan teğetine eşittir.
Fiziksel anlam türev: yolun zamana göre türevi doğrusal hareketin hızına eşittir.
Aslında okul günlerinden beri herkes hızın belirli bir yol olduğunu biliyor x=f(t) ve zaman T . Ortalama hız belirli bir süre için:
Belirli bir andaki hareketin hızını bulmak için t0 limiti hesaplamanız gerekir:
Birinci kural: bir sabit belirleyin
Sabit türev işaretinden çıkarılabilir. Üstelik bunun yapılması gerekiyor. Matematikteki örnekleri çözerken bunu kural olarak alın - Bir ifadeyi basitleştirebiliyorsanız, onu basitleştirdiğinizden emin olun. .
Örnek. Türevini hesaplayalım:
İkinci kural: Fonksiyonların toplamının türevi
İki fonksiyonun toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin toplamına eşittir. Aynı durum fonksiyonların farkının türevi için de geçerlidir.
Bu teoremin kanıtını vermeyeceğiz, bunun yerine pratik bir örnek ele alacağız.
Fonksiyonun türevini bulun:
Üçüncü kural: Fonksiyonların çarpımının türevi
İki türevlenebilir fonksiyonun çarpımının türevi aşağıdaki formülle hesaplanır:
Örnek: Bir fonksiyonun türevini bulun:
Çözüm: 
Burada karmaşık fonksiyonların türevlerinin hesaplanmasından bahsetmek önemlidir. Karmaşık bir fonksiyonun türevi, bu fonksiyonun ara argümana göre türevinin ve ara argümanın bağımsız değişkene göre türevinin çarpımına eşittir.
Yukarıdaki örnekte şu ifadeyle karşılaşıyoruz:
Bu durumda ara argüman 8x üzeri beşinci kuvvettir. Böyle bir ifadenin türevini hesaplamak için önce dış fonksiyonun ara argümana göre türevini hesaplarız ve ardından ara argümanın bağımsız değişkene göre türevini çarparız.
Kural dört: iki fonksiyonun bölümünün türevi
İki fonksiyonun bölümünün türevini belirlemek için formül:
Sıfırdan aptallar için türevler hakkında konuşmaya çalıştık. Bu konu göründüğü kadar basit değil, bu yüzden dikkatli olun: örneklerde sıklıkla tuzaklar bulunur, bu nedenle türevleri hesaplarken dikkatli olun.
Bu ve diğer konularla ilgili sorularınız için öğrenci hizmetleriyle iletişime geçebilirsiniz. İçin kısa vadeli Daha önce hiç türev hesaplama yapmamış olsanız bile, en zor testleri çözmenize ve problemleri çözmenize yardımcı olacağız.
Ön topçu hazırlığından sonra, 3-4-5 işlevin iç içe geçtiği örnekler daha az korkutucu olacaktır. Aşağıdaki iki örnek bazılarına karmaşık görünebilir, ancak eğer bunları anlarsanız (birisi acı çekecektir), o zaman diferansiyel hesaptaki hemen hemen her şey bir çocuğun şakası gibi görünecektir.
Örnek 2
Bir fonksiyonun türevini bulun
Daha önce belirtildiği gibi, karmaşık bir fonksiyonun türevini bulurken her şeyden önce gereklidir Sağ Yatırımlarınızı ANLAYIN. Şüphe duyduğunuz durumlarda size faydalı bir tekniği hatırlatırım: Örneğin “x”in deneysel değerini alırız ve bu değeri (zihinsel olarak veya taslakta) “korkunç ifade”ye koymaya çalışırız.
1) Öncelikle toplamın en derin gömülü olduğu anlamına gelen ifadeyi hesaplamamız gerekir.
2) O zaman logaritmayı hesaplamanız gerekir:
4) Daha sonra kosinüsün küpünü alın:
5) Beşinci adımda fark:
6) Ve son olarak en dıştaki fonksiyon kareköktür: 
Karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için formül 
en dıştaki fonksiyondan en içteki fonksiyona doğru ters sırada uygulanır. Biz karar veriyoruz:
Hatasız görünüyor:
1) Karekökün türevini alın.
2) Kuralı kullanarak farkın türevini alın 
3) Bir üçlünün türevi sıfırdır. İkinci terimde derecenin (küp) türevini alıyoruz.
4) Kosinüsün türevini alın.
6) Ve son olarak en derine yerleştirmenin türevini alıyoruz.
Çok zor görünebilir ama bu en acımasız örnek değil. Örneğin Kuznetsov'un koleksiyonunu ele aldığımızda, analiz edilen türevin tüm güzelliğini ve sadeliğini takdir edeceksiniz. Bir öğrencinin karmaşık bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağını anlayıp anlamadığını kontrol etmek için sınavda benzer bir şey vermeyi sevdiklerini fark ettim.
Aşağıdaki örnek kendi başınıza çözmeniz içindir.
Örnek 3
Bir fonksiyonun türevini bulun
İpucu: Öncelikle doğrusallık kurallarını ve ürün farklılaştırma kuralını uyguluyoruz
Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.
Daha küçük ve daha güzel bir şeye geçmenin zamanı geldi.
Bir örnekte iki değil üç fonksiyonun çarpımını göstermek alışılmadık bir durum değildir. Üç faktörün çarpımının türevi nasıl bulunur?
Örnek 4
Bir fonksiyonun türevini bulun 
Öncelikle bakalım, üç fonksiyonun çarpımını iki fonksiyonun çarpımına dönüştürmek mümkün müdür? Örneğin çarpımda iki polinom varsa parantezleri açabiliriz. Ancak söz konusu örnekte tüm işlevler farklıdır: derece, üs ve logaritma.
Bu gibi durumlarda gerekli sıraylaürün farklılaştırma kuralını uygulayın 
iki kere
İşin püf noktası, "y" ile iki fonksiyonun çarpımını, "ve" ile de logaritmayı belirtmemizdir: . Bu neden yapılabilir? Gerçekten mi 
- bu iki faktörün bir ürünü değil ve kural işe yaramıyor mu? Karmaşık bir şey yok:
Şimdi kuralı ikinci kez uygulamaya devam ediyor parantez içine almak için:
Ayrıca bükülebilir ve parantezlerin dışına bir şeyler çıkarabilirsiniz, ancak bu durumda cevabı tam olarak bu formda bırakmak daha iyidir - kontrol edilmesi daha kolay olacaktır.
Ele alınan örnek ikinci şekilde çözülebilir:
Her iki çözüm de kesinlikle eşdeğerdir.
Örnek 5
Bir fonksiyonun türevini bulun
Bu, bağımsız bir çözüme bir örnektir; örnekte birinci yöntem kullanılarak çözülür.
Kesirlerle benzer örneklere bakalım.
Örnek 6
Bir fonksiyonun türevini bulun 
Buraya gidebileceğiniz birkaç yol var:
Veya bunun gibi:
Ancak öncelikle bölümün türev alma kuralını kullanırsak çözüm daha kısa bir şekilde yazılacaktır. 
, payın tamamını alarak:
Prensip olarak örnek çözülmüştür ve olduğu gibi bırakılırsa hata olmayacaktır. Ancak zamanınız varsa, cevabın basitleştirilip basitleştirilemeyeceğini görmek için her zaman taslağı kontrol etmeniz önerilir.
Payın ifadesini ortak bir paydaya indirgeyelim ve kesrin üç katlı yapısından kurtulalım.:
Ek basitleştirmelerin dezavantajı, türevi bulurken değil, sıradan okul dönüşümleri sırasında hata yapma riskinin olmasıdır. Öte yandan öğretmenler sıklıkla ödevi reddediyor ve türevi “akla getirmesini” istiyorlar.
Kendi başınıza çözebileceğiniz daha basit bir örnek:
Örnek 7
Bir fonksiyonun türevini bulun
Türevi bulma yöntemlerinde uzmanlaşmaya devam ediyoruz ve şimdi türev için "korkunç" bir logaritmanın önerildiği tipik bir durumu ele alacağız.
Karmaşık bir fonksiyonun türevi formülünü kullanarak türevlerin hesaplanmasına ilişkin örnekler verilmiştir.
Burada türevlerin hesaplanmasına ilişkin örnekler veriyoruz. aşağıdaki işlevler:
;
;
;
;
.
Bir fonksiyon şu şekilde temsil edilebilirse karmaşık fonksiyon V aşağıdaki form:
,
daha sonra türevi aşağıdaki formülle belirlenir:
.
Aşağıdaki örneklerde bu formülü şu şekilde yazacağız:
.
Nerede .
Burada türev işaretinin altında bulunan indisler veya , türevin alındığı değişkenleri belirtir.
Genellikle türev tablolarında x değişkeninden fonksiyonların türevleri verilir.
Ancak x formal bir parametredir. X değişkeni başka bir değişkenle değiştirilebilir. Bu nedenle, bir fonksiyonu bir değişkenden ayırırken, türevler tablosunda x değişkenini u değişkenine değiştiririz.
Basit örnekler
Örnek 1
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm Haydi yazalım Verilen fonksiyon
.
eşdeğer formda:
;
.
Türev tablosunda şunları buluyoruz:
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülüne göre elimizde:
Burada .
Cevap
Örnek 2
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun
Sabit 5'i türev işaretinden ve bulduğumuz türev tablosundan alıyoruz:
.
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülüne göre elimizde:
Burada .
Örnek 3
Türevi bulun
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun
Bir sabit çıkarıyoruz -1
Türevin işareti için ve türev tablosundan şunu buluruz:
;
Türev tablosundan şunları buluyoruz:
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülü uyguluyoruz:
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülüne göre elimizde:
Burada .
Daha karmaşık örnekler
Daha fazla karmaşık örnekler karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını birkaç kez uygularız. Bu durumda türevi sondan hesaplıyoruz. Yani, fonksiyonu bileşen parçalarına ayırırız ve en basit parçaların türevlerini kullanarak buluruz. türev tablosu. Biz de kullanıyoruz toplamların farklılaştırılmasına ilişkin kurallar, ürünler ve kesirler. Daha sonra yerine koymalar yapıp karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülünü uyguluyoruz.
Örnek 4
Türevi bulun
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun
En çok vurgulayalım basit kısım formülünü bulun ve türevini bulun. .
.
Burada notasyonu kullandık
.
Elde edilen sonuçları kullanarak orijinal fonksiyonun bir sonraki kısmının türevini buluyoruz. Toplamın türevini almak için kuralı uyguluyoruz:
.
Bir kez daha karmaşık fonksiyonların türev alma kuralını uyguluyoruz.
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülüne göre elimizde:
Burada .
Örnek 5
Fonksiyonun türevini bulun
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun
Formülün en basit kısmını seçip türev tablosundan türevini bulalım. .
Karmaşık fonksiyonların türev alma kuralını uyguluyoruz.
.
Burada
.
Bu yazımızda karmaşık fonksiyon gibi önemli bir matematik kavramından bahsedeceğiz ve karmaşık bir fonksiyonun türevinin nasıl bulunacağını öğreneceğiz.
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmayı öğrenmeden önce, karmaşık fonksiyon kavramını, ne olduğunu, “neyle yenildiğini” ve “doğru şekilde nasıl pişirileceğini” anlayalım.
düşünelim keyfi işlevörneğin şu şekilde:
Fonksiyon denkleminin sağ ve sol tarafındaki argümanın aynı sayı veya ifade olduğuna dikkat edin.
Bir değişken yerine örneğin şu ifadeyi koyabiliriz: . Ve sonra fonksiyonu alıyoruz
İfadeye ara argüman, fonksiyona ise dış fonksiyon diyelim. Bu katı değil matematiksel kavramlar ancak karmaşık fonksiyon kavramının anlamını anlamaya yardımcı olurlar.
Karmaşık fonksiyon kavramının kesin tanımı şöyledir:
Bir fonksiyon bir küme üzerinde tanımlansın ve bu fonksiyonun değerlerinin kümesi olsun. Küme (veya onun alt kümesi) fonksiyonun tanım bölgesi olsun. Her birine bir sayı atayalım. Böylece fonksiyon set üzerinde tanımlanacaktır. Buna fonksiyon bileşimi veya karmaşık fonksiyon denir.
Bu tanımda terminolojimizi kullanırsak, harici bir fonksiyon ara argümandır.
Karmaşık bir fonksiyonun türevi aşağıdaki kurala göre bulunur:
Daha açık hale getirmek için bu kuralı şu şekilde yazmak istiyorum:
Bu ifadede kullanılması bir ara fonksiyonu ifade etmektedir.
Bu yüzden. Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için ihtiyacınız olan şey
1. Hangi fonksiyonun dışsal olduğunu belirleyin ve türev tablosundan karşılık gelen türevi bulun.
2. Bir ara argüman tanımlayın.
Bu prosedürde en büyük zorluk dış fonksiyonun bulunmasıdır. Bunun için basit bir algoritma kullanılır:
A. Fonksiyonun denklemini yazınız.
B. Bir x değeri için bir fonksiyonun değerini hesaplamanız gerektiğini düşünün. Bunu yapmak için, x'in bu değerini fonksiyonun denkleminde yerine koyarsınız ve şunu üretirsiniz: aritmetik işlemler. Yaptığınız son eylem harici işlevdir.
Örneğin, fonksiyonda
Son eylem üs alma işlemidir.
Bu fonksiyonun türevini bulalım. Bunu yapmak için bir ara argüman yazıyoruz