Her matematiksel nesnenin belirli özellikleri vardır. Örneğin bir eşkenar dörtgenin 4 köşesi, 4 kenarı vardır, karşılıklı kenarları paraleldir. Diğer özellikleri (örneğin köşegen) belirtebilirsiniz. klima yatay olarak yerleştirilmiştir.

Özellikler, temel ve zorunlu olmayan olarak ayrılır. Bir özellik, bir nesnenin doğasında bulunuyorsa ve o olmadan var olamıyorsa, o nesne için gerekli kabul edilir. Temel olmayan özellikler, yokluğu nesnenin varlığını etkilemeyen özelliklerdir.

Temel özellikleri: 4 eşit kenarı ve 4 açısı vardır.

Temel olmayan özellikler: köşe İÇİNDEüst kısmın karşısında yatıyor D, diyagonal klima yatay olarak yerleştirilmiştir.

Belirli bir nesnenin ne olduğunu anlamak için onun temel özelliklerini bilmeniz gerekir. Bu durumda bu nesneye ilişkin bir kavramın var olduğunu söylüyoruz.

İnsanlar matematiksel bir kavramdan bahsettiklerinde genellikle bir terimle gösterilen bir dizi nesneyi kastederler. Yani üçgenden bahsederken, üçgen olan tüm geometrik şekilleri kastediyoruz.

Her kavramın hacmi ve içeriği vardır.

Tanım. Bir kavramın kapsamı, bir terimle gösterilen tüm nesnelerin kümesidir.

Tanım. Bir kavramın içeriği, bir nesnenin bu kavrama yansıyan tüm temel özelliklerinin kümesidir.

Örnek. “Paralelkenar” kavramını ele alalım. Konseptin hacmi bir dizi farklı paralelkenardan oluşur (eşkenar dörtgenler, dikdörtgenler, kareler dahil). Kavramın içeriğinde paralelkenarın “4 kenarı vardır”, “karşılıklı kenarları paraleldir”, “karşıt açıları eşittir” gibi özellikler yer alır.

Bir kavramın hacmi ile içeriği arasında şöyle bir bağlantı vardır: Bir kavramın hacmi ne kadar “büyükse” içeriği o kadar “küçük”tür ve bunun tersi de geçerlidir. Örneğin “eşkenar dörtgen” kavramının kapsamı “paralelkenar” kavramının bir parçasıdır ve “eşkenar dörtgen” kavramının içeriği “paralelkenar” kavramının içeriğinden daha fazla özellik içermektedir. Örneğin “eşkenar dörtgen” kavramının içeriğinde “paralelkenar” kavramının içeriğinde olmayan “tüm kenarlar eşittir” özelliği bulunmaktadır.

Kavramlar arasındaki ilişkiler hacimleri arasındaki ilişkilerle yakından ilişkilidir.

Kavramları küçük harflerle belirtme konusunda anlaşalım A, B, İle, D,..., ve buna göre hacimleri A, İÇİNDE, İLE, D,… .

Kavramların kapsamı ise A Ve B kesişmeyin, yani A Ç İÇİNDE= Æ ise kavramların A Ve B uyumsuz. Uyumsuz kavramlara örnek olarak yamuk ve üçgen kavramları verilebilir.

Kavramların kapsamı ise A Ve B kesişir, yani A Ç İÇİNDE¹ Æ, sonra bu kavramları söylüyorlar A Ve B uyumlu. Bir örnek bir dikdörtgen ve bir eşkenar dörtgendir.

Kavramların kapsamı ise A Ve Bçakışıyor, yani A = İÇİNDE, sonra bu kavramları söylüyorlar A Ve B aynıdır. Bir örnek, dik açılı bir kare ve bir eşkenar dörtgendir.

Kavramın kapsamı ise A kavramın kapsamının uygun bir alt kümesidir B, yani AÌ İÇİNDE, A ¹ İÇİNDE sonra şunu söylüyorlar:

a) kavram A konsepte göre spesifiktir B, konsept B– kavramla ilgili olarak genel A;

b) kavram A bir kavramdan daha dar B, konsept B konseptten daha geniş A;

c) kavram A kavramın özel bir durumu var B ve konsept B– kavramın genelleştirilmesi A.

Örnek: “Kare” kavramı “dikdörtgen” kavramına göre spesifiktir ve “dikdörtgen” kavramı “kare” kavramına göre geneldir.

Son ilişkiye daha yakından bakalım.

1) Cins ve tür kavramları görecelidir. Aynı kavram bir kavrama göre spesifik, diğerine göre genel olabilir. Örneğin “dikdörtgen” kavramı “kare” kavramına göre genel, “paralelkenar” kavramına göre ise özeldir.

2) Belirli bir kavram için, aralarında en yakın olanın gösterilebileceği birkaç genel kavramı belirtmek çoğu zaman mümkündür. Örneğin “kare” kavramının genel kavramları “dikdörtgen”, “paralelkenar”, “dörtgen” kavramları olacaktır. Bunlara en yakın olanı “dikdörtgen” kavramı olacaktır.

3) Tür kavramı jenerik kavramın tüm özelliklerini taşır. Örneğin “eşkenar dörtgen” kavramı “paralelkenar” kavramına özeldir; Eşkenar dörtgenler paralelkenarın tüm özelliklerine sahiptir.

“Doğru parça” ve “doğru çizgi” kavramları arasındaki ilişkiyi ele alalım. Bu kavramların kapsamları örtüşmemektedir çünkü Tek bir segment düz olarak adlandırılamaz ve bunun tersi de geçerlidir. Bu kavramların bütünle ve parçayla ilişkili olduğunu söyleyebiliriz: Parça, çizginin türü değil parçasıdır. Bir parçanın her zaman bütünün özelliklerine sahip olmadığını unutmayın. Düz bir çizgi sonsuzdur, ancak bir doğru parçası değildir.

En yakın cins ve tür farkı üzerinden tespit.

Herhangi bir tanımın görevi, tanımlanan nesneyi benzer nesnelerden ayırmak ve onun özünü ortaya çıkarmaktır. Tanımlanan nesnenin tüm özelliklerinin listelenmesiyle bu sorunun en etkili şekilde çözülebileceği görülmektedir. Ancak deneyimlerin gösterdiği gibi, kavramları tanımlamanın bu yönteminin uygun olmadığı ortaya çıkıyor; ve çoğu durumda imkansızdır. Birincisi, her nesnenin listelenmesi neredeyse imkansız olan sonsuz sayıda özelliği vardır. İkinci olarak, çok sayıda özelliğin basit bir şekilde listelenmesi bizi tanımlanan nesneye yaklaştırmaz, aksine uzaklaştırır; çünkü böyle bir listelemede temel özellikler, gerekli olmayanlardan ayırt edilmez. Böyle bir tanımla araştırmacı, bireyin arkasında tanımlanan nesnenin genelini, özünü önemsiz görmemektedir.

Tanımlanan nesneyi aralarından ayırmanın gerekli olduğu nesne sınıfının ve onu bu sınıftan ayıran özelliğin göstergesini içeren tanıma, en yakın cins ve belirli fark yoluyla tanım denir.

Bu tanımla, özelliklerin tam bir listesi yerine, yalnızca tanımlanan nesnenin belirli bir sınıfa ait olduğu ve tanımlanan nesnenin sınıfın diğer nesnelerinden farklı olduğu özelliği belirtilir.

Bu tür tanımlamanın özü, tanımladığımız kavram olan türe en yakın cinsi ve bilindiği gibi tanımlanan türü bu cinsin diğer türlerinden ayıran tür oluşturma özelliğini belirtmektir.

Bu tanım, bir sınıf (cins) ile onun alt sınıfları (türler) arasında ayrım yapılmasının gerekli olduğu durumlarda kullanılır. Örneğin, "Kozmonot, uzay araştırmalarıyla ilgili karmaşık konuları inceleyen bir bilimdir" tanımında, bir tür olarak astronotik, bilimler sınıfından ayrılmaktadır.

Cins ve tür farklılığı üzerinden tanımlama yapılırken, tanımlayıcı kavram, en yakın cins ile türü oluşturan karakter (tür farkı) arasında ayrım yapar. Verdiğimiz kozmonotik tanımında en yakın tür “bilim” kavramı, spesifik ayrım ise “uzay araştırmalarıyla ilgili bir dizi konuyu incelemek” özelliğidir.

En yakın cinsi b ile, türü oluşturan karakteri A ile gösterirsek, en yakın cins ve tür farkı üzerinden herhangi bir tanım şu formülle ifade edilebilir:

burada a – Dfd, A (b) -Dfn

En yakın cins ve tür farklılığı yoluyla tanımlama, tanımlanan nesnenin uzun bir özellik listesi ihtiyacını ortadan kaldırır. Kısaca, tanımın karşılaştığı yukarıdaki sorunları çözer. Bu sorunların çözülme olasılığı aşağıdaki noktalarla belirlenir. İlk olarak, kavramların içeriği ve kapsamı arasındaki ters ilişki yasasının özünden zaten bilindiği gibi, genel bir kavramın temel özelliklerinin bütünlüğü, belirli bir kavramın içeriğinin bir parçasını oluşturur. Zaten bilindiği varsayılan jenerik kavramın içeriğinde bazı temel özellikler yer aldığından bunların listelenmesine gerek yoktur. Geriye yalnızca bu türe özgü temel özellikleri listelemek kalıyor. Genellikle bu karakterler tür oluşturan karakterlerdir. Kural olarak, bunlardan çok azı vardır - bir veya birkaç - bu nedenle bunları listelemek zor değildir.

En yakın cinse ve spesifik farklılığa işaret ederek, en kısa ve öz formülasyonla, tanımlanan nesneyi homojen nesneler sınıfından ayıran ve aynı zamanda onun özünü ortaya koyan bir tanım elde ederiz. İkincisi, bu tür tanımların mümkün olması, tanımın bilişin ilk aşaması olmamasından kaynaklanmaktadır; formülasyonu, yalnızca belirli bir nesne alanı ve nesnel gerçeklik fenomeni üzerinde ayrıntılı bir çalışma yapıldıktan sonra, bazı kavramlar zaten geliştirildiğinde ve incelenen alanın nesneleri sınıflandırıldığında, insan bilgisinin belirli bir gelişme düzeyinde mümkündür. belli bir şekilde. Ancak bundan sonra tanımlanan kavrama göre en yakın cins bulunabilir.

Dolayısıyla tanımlar, gerçekliğin belirli bir konusuna ilişkin uzun bir biliş sürecinin sonuçlarıdır.

En yakın cins ve tür farkı üzerinden tespit süreci iki aşamaya ayrılmaktadır. Bunlardan ilkinde, tanımlanan kavram daha geniş bir genel kavram altında toplanmıştır. Doğru bir tanımlama, tanımlanan kavramın tür olduğu cinsin belirtilmesiyle başlar. Bu durumda mevcut olan ilk cins değil, en yakın cins alınır.

Bir kavramı tanımlarken daha uzak bir cinsi işaret edersek, tanımlama sürecini karmaşıklaştırırız çünkü bu durumda yalnızca belirli bir ayırt edici özelliği değil, aynı zamanda en yakın cinsin özelliğini de belirtme ihtiyacıyla karşı karşıya kalırız. Örneğin, "kare" kavramını tanımlarken "paralelkenar" kavramını genel bir kavram olarak alırsak, o zaman tanımlama sürecinde yalnızca bir karenin kendine özgü ayırt edici özelliğine işaret etmek zorunda kalmayacağız ("vardır") eşit kenarlar"), ama aynı zamanda en yakın genel kavram olan "dikdörtgen" ("dik açılara sahip") ayırt edici özelliğine de atıfta bulunur. Tanımımız şu şekilde olacaktır: “Kare, açıları dik ve kenarları eşit olan bir paralelkenardır.”

Dolayısıyla tanımın bir nesnenin özünü en kısa ve öz biçimde ortaya koyabilmesi ve onu homojen nesneler sınıfından ayırt edebilmesi için en yakın cinsin belirtilmesi gerekmektedir. Örneğin “kare” kavramı için bu tür ya “eşkenar dörtgen” kavramıdır ya da “dikdörtgen” kavramıdır. Bunlardan herhangi birinin altına "kare" kavramını dahil edersek, tanımının en özlü formülasyonunu elde ederiz: "Kare, dikdörtgen bir eşkenar dörtgendir" veya "Kare, eşkenar bir dikdörtgendir". İkinci aşamada, tanımlanan kavramı aynı cins içinde yer alan diğer kavramlardan ayıran bir işaret bulunur. Tanımlanan kavram bir tür olduğuna göre böyle bir özellik türü oluşturan bir özelliktir.

Matematiksel kavramlar

Matematik giriş dersinde öğretilen kavramlar genellikle dört grupta sunulur. Birincisi sayılarla ilgili kavramları ve üzerlerindeki işlemleri içerir: sayı, toplama, terim, büyük vb. İkincisi cebirsel kavramları içerir: ifade, eşitlik, denklemler vb. Üçüncü grup geometrik kavramlardan oluşur: düz çizgi, doğru parçası, üçgen vb. Dördüncü grup ise büyüklükler ve ölçümü ile ilgili kavramlardan oluşmaktadır.

Tüm kavram çeşitliliğini incelemek için, kavram hakkında mantıksal bir kategori ve matematiksel kavramların özellikleri hakkında bir fikre sahip olmanız gerekir.

Mantıkta kavramlar olarak görüntülendi düşünce biçimi Nesneleri (konuları ve olguları) temel ve genel özellikleriyle yansıtmak. Kavramın dilsel biçimi kelime (terim) veya kelime grubu.

Bir nesneye ilişkin kavram oluşturmak, onu kendisine benzeyen diğer nesnelerden ayırt edebilmek anlamına gelir. Matematiksel kavramların bir takım özellikleri vardır. Asıl mesele, hakkında bir kavram formüle etmenin gerekli olduğu matematiksel nesnelerin gerçekte mevcut olmamasıdır. Matematiksel nesneler insan zihni tarafından yaratılmıştır. Bunlar gerçek nesneleri veya olayları yansıtan ideal nesnelerdir. Örneğin geometride nesnelerin şeklini ve boyutunu diğer özellikleri (renk, kütle, sertlik vb.) hesaba katmadan incelerler. Bütün bunlardan soyutluyorlar. Bu nedenle geometride “nesne” yerine “geometrik şekil” deniyor.

Soyutlamanın sonucu “sayı” ve “büyüklük” gibi matematiksel kavramlardır.

Genel olarak matematiksel nesneler yalnızca insan düşüncesinde ve matematiksel dili oluşturan işaret ve sembollerde bulunur.

Söylenenlere şunu da ekleyebiliriz, çalışarak Maddi dünyanın mekansal biçimleri ve niceliksel ilişkileri Matematik yalnızca çeşitli soyutlama tekniklerini kullanmakla kalmaz, aynı zamanda soyutlamanın kendisi de çok aşamalı bir süreç olarak hareket eder. Matematikte, yalnızca gerçek nesnelerin incelenmesi sırasında ortaya çıkan kavramları değil, aynı zamanda birincisine dayanarak ortaya çıkan kavramları da dikkate alırlar. Örneğin, bir yazışma olarak bir fonksiyonun genel kavramı, belirli fonksiyon kavramlarının genelleştirilmesidir, yani. soyutlamalardan bir soyutlama.

1. Kavramın kapsamı ve içeriği. Kavramlar arasındaki ilişkiler

Her matematiksel nesnenin belirli özellikleri vardır. Örneğin bir karenin dört kenarı, dört dik açısı ve eşit köşegenleri vardır. Diğer özelliklerini belirtebilirsiniz.

Bir nesnenin özellikleri arasında şunlar vardır: önemli ve önemsiz. Değerlendirilen mülk Bir nesne için gerekli olan, eğer o nesnenin doğasında varsa ve o olmadan var olamazsa. Örneğin bir kare için yukarıda saydığımız özelliklerin hepsi gereklidir. ABCD karesi için AB kenarı yataydır özelliği önemsizdir.

Matematiksel bir kavramdan bahsettiklerinde genellikle tek bir harfle gösterilen bir dizi nesneyi kastediyorlar. terim(bir kelime veya kelime grubu). Yani kareden bahsederken kare olan tüm geometrik şekilleri kastediyoruz. Kare kavramının kapsamını tüm karelerden oluşan kümenin oluşturduğuna inanılmaktadır.

Kesinlikle, Bir kavramın kapsamı, bir terimle gösterilen tüm nesnelerin kümesidir.

Herhangi bir kavramın yalnızca hacmi değil aynı zamanda içeriği de vardır.

Örneğin “dikdörtgen” kavramını ele alalım.

Konseptin kapsamı bir dizi farklı dikdörtgendir ve içeriği dikdörtgenlerin “dört dik açısı vardır”, “eşit karşıt kenarları vardır”, “eşit köşegenleri vardır” vb. özelliklerini içerir.

Bir kavramın kapsamı ile içeriği arasında ilişki: Bir kavramın hacmi artarsa ​​içeriği azalır ve bunun tersi de geçerlidir.. Yani örneğin “kare” kavramının kapsamı “dikdörtgen” kavramının kapsamının bir parçasıdır ve “kare” kavramının içeriği “dikdörtgen” (“tüm kenarlar”) kavramının içeriğinden daha fazla özellik içermektedir. eşittir”, “köşegenler birbirine diktir” vb.).

Hiçbir kavram, diğer kavramlarla ilişkisi fark edilmeden öğrenilemez. Bu nedenle hangi ilişki kavramlarının bulunabileceğini bilmek ve bu bağlantıları kurabilmek önemlidir.

Kavramlar arasındaki ilişkiler hacimleri arasındaki ilişkilerle yakından ilişkilidir. Setler.

Kavramları Latin alfabesinin küçük harfleriyle belirtmeyi kabul edelim: a, b, c, d, …, z.

a ve b gibi iki kavram verilsin. Hacimlerini sırasıyla A ve B olarak gösterelim.

A ⊂ B (A ≠ B) ise, a kavramının b kavramına göre spesifik olduğunu ve b kavramının a kavramına göre genel olduğunu söylerler.

Örneğin, a bir “dikdörtgen” ise, b bir “dörtgen” ise, bu durumda A ve B hacimleri dahil etme ilişkisindedir (A ⊂ B ve A ≠ B), dolayısıyla her dikdörtgen bir dörtgendir. Dolayısıyla “dikdörtgen” kavramının “dörtgen” kavramına göre spesifik, “dörtgen” kavramının ise “dikdörtgen” kavramına göre genel olduğu ileri sürülebilir.

A = B ise A ve B kavramlarının aynı olduğu söylenir.

Örneğin “eşkenar üçgen” ve “ikizkenar üçgen” kavramları hacimleri çakıştığı için aynıdır.

Cins ve türün kavramlar arasındaki ilişkisini daha ayrıntılı olarak ele alalım.

1. Öncelikle cins ve tür kavramları görecelidir: Aynı kavram bir kavrama göre genel, diğerine göre özel olabilir. Örneğin “dikdörtgen” kavramı “kare” kavramına göre genel, “dörtgen” kavramına göre ise özeldir.

2. İkinci olarak, belirli bir kavram için çoğu zaman birden fazla genel kavramı belirtmek mümkündür. Dolayısıyla “dikdörtgen” kavramı için genel kavramlar “dörtgen”, “paralelkenar”, “çokgen”dir. Listelenenler arasından en yakın olanı belirtebilirsiniz. “Dikdörtgen” kavramına en yakın kavram “paralelkenar”dır.

3. Üçüncüsü, spesifik kavram, jenerik kavramın tüm özelliklerine sahiptir. Örneğin “dikdörtgen” kavramına göre özel bir kavram olan kare, dikdörtgenin doğasında bulunan tüm özelliklere sahiptir.

Bir kavramın hacmi bir küme olduğundan, kavramların hacimleri arasında ilişkiler kurarken bunları Euler daireleri kullanarak göstermek uygundur.

Örneğin aşağıdaki a ve b kavram çiftleri arasındaki ilişkiyi şu durumda kuralım:

1) a – “dikdörtgen”, b – “eşkenar dörtgen”;

2) a – “çokgen”, b – “paralelkenar”;

3) a – “düz”, b – “segment”.

Kümeler arasındaki ilişkiler sırasıyla şekilde gösterilmiştir.

2. Kavramların tanımı. Tanımlanabilir ve tanımlanamaz kavramlar.

Matematikte yeni kavramların ve dolayısıyla bu kavramları ifade eden yeni terimlerin ortaya çıkışı, bunların tanımını gerektirir.

Tanım genellikle yeni bir terimin (veya atamanın) özünü açıklayan bir cümle olarak adlandırılır. Kural olarak, bu daha önce tanıtılan kavramlara dayanarak yapılır. Örneğin dikdörtgen şu şekilde tanımlanabilir: “Dikdörtgen, tüm açıları dik olan bir dörtgendir.” Bu tanımın iki bölümü vardır: tanımlanmış kavram (dikdörtgen) ve tanımlayıcı kavram (tüm dik açılara sahip bir dörtgen). İlk kavramı a, ikincisini b ile belirtirsek, bu tanım aşağıdaki biçimde sunulabilir:

a (tanım gereği) b'dir.

"(Tanım gereği)" kelimeleri genellikle ⇔ sembolüyle değiştirilir ve ardından tanım şu şekilde görünür:

Şunu okuyorlar: "a, tanımı gereği b'ye eşdeğerdir." Bu girişi şu şekilde de okuyabilirsiniz: “ve ancak ve ancak b.

Bu yapıya sahip tanımlara denir. bariz. Gelin onlara daha yakından bakalım.

Gelelim “dikdörtgen” tanımının ikinci kısmına.

Şunları içerir:

1) “dikdörtgen” kavramıyla ilişkili olarak genel olan “dörtgen” kavramı.

2) olası tüm dörtgenlerden (dikdörtgenler) bir tür seçmemize olanak tanıyan "tüm dik açılara sahip olma" özelliği; bu nedenle buna tür farkı denir.

Genel olarak spesifik farklılıklar, tanımlanmış nesneleri genel kavramın kapsamından ayırmayı mümkün kılan özelliklerdir (bir veya daha fazla).

Analizimizin sonuçları bir diyagram şeklinde sunulabilir:

"+" işareti "ve" edatının yerine kullanılır.

Her kavramın bir hacmi olduğunu biliyoruz. A kavramı cins ve belirli bir farkla tanımlanırsa, o zaman hacmi - A kümesi - C kümesine (c genel kavramının hacmi) ait olan ve P özelliğine sahip nesneleri içerdiğini söyleyebiliriz:

A = (x/ x ∈ C ve P(x))

Bir kavramın cins ve özgül farklılık yoluyla tanımlanması, esasen, bilinen herhangi bir terim kümesinin yerine yeni bir terimin getirilmesi yönünde koşullu bir anlaşma olduğundan, tanımın doğru mu yanlış mı olduğunu söylemek imkansızdır; ne kanıtlanmış ne de çürütülmüştür. Ancak tanımları formüle ederken bir takım kurallara uyarlar. Onlara isim verelim.

1. Tanım şu şekilde olmalıdır: orantılı. Bu, tanımlanan ve tanımlayan kavramların kapsamının örtüşmesi gerektiği anlamına gelir.

2. Tanımda (veya sistemlerinde) kısır döngü olmamalı. Bu, bir kavramın kendi başına tanımlanamayacağı anlamına gelir.

3. Bir tanım olmalı temizlemek. Örneğin, tanımlayıcı kavramda yer alan terimlerin anlamlarının, yeni kavramın tanımı getirilinceye kadar bilinmesi gerekmektedir.

4. Yukarıda formüle edilen kuralları gözeterek aynı kavramı cins ve tür farklılığı üzerinden tanımlayabilir, farklı şekillerde yapılabilir. Yani bir kare şu şekilde tanımlanabilir:

a) bitişik kenarları eşit olan bir dikdörtgen;

b) köşegenleri karşılıklı olarak dik olan bir dikdörtgen;

c) dik açılı bir eşkenar dörtgen;

d) Bütün kenarları eşit ve açıları dik olan bir paralelkenar.

Kavramın içeriğinde yer alan özelliklerin çokluğu nedeniyle aynı kavramın farklı tanımlarının yapılması mümkün olup, sadece birkaç tanesi tanımda yer almaktadır. Daha sonra, teorinin daha ileri inşası için daha basit ve daha uygun olan olası tanımlardan birini seçerler.

Tanıdık bir kavramın tanımını yeniden oluşturmak veya yeni bir kavramın tanımını oluşturmak istiyorsak izlememiz gereken eylemler sırasını adlandıralım:

1. Tanımlanan kavramı (terimi) adlandırın.

2. En yakın genel kavramı belirtin (tanımlanana göre).

3. Tanımlanan nesneleri genel hacimden ayıran özellikleri listeleyin, yani belirli bir fark formüle edin.

4. Kavramın tanımlanmasına ilişkin kuralların karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin (orantılı mı, kısır döngü var mı, vb.).

Her matematiksel nesnenin bir kısmı vardır. özellikler.Örneğin bir üçgen şu özelliklere sahiptir: üç kenarı vardır; 2) üç iç köşe; 3) altı çift eşit dış açı vb. Herhangi bir özelliğin belirli bir nesnesinin varlığı veya yokluğu ile ilgili bu tür ifadelere denir yargılar.İşte daha fazla yargı örneği: 1) bir dörtgenin iki köşegeni vardır; 2) doğal dizide her doğal sayının hemen ardından başka bir doğal sayı gelir; 3) çift sayı ikiye bölünebilir vb.

Yargılamalar aynı zamanda teklifler, nesneler arasındaki ilişkileri veya bağlantıları belirtir; örneğin: “5, 3'ten büyüktür”, “ ABüçgenin kenarıdır ABC", "Köşe A köşeye bitişik değil İÇİNDE", vb. Ancak sorular veya talepler yargı değildir.?

Herhangi bir nesnenin özellikleri arasında, tanımı için gerekli olan ve olmayan özellikler vardır. Bir özellik, bu nesnenin doğasında mevcutsa ve o olmadan var olamazsa esastır. İlgisiz özellikler genellikle rastgeledir; bunların yokluğu kural olarak nesnenin varlığını etkilemez. Belirli problemleri çözerken, nesnelerin genellikle önemsiz özelliklerinin de belirli bir problemin çözümü için gerekli olabileceğini unutmayın.

Örneğin, Şekil 2'de gösterilen ikizkenar üçgeni düşünün. 3. Özellikleri: 1) Üçgenin kenarları AB Ve Güneş eşit; 2) medyan BD tabana dik klima ve açıyı böler İÇİNDE yarımlar bu üçgenin temel özellikleridir. İşte özellikler: 3) baz klima ikizkenar üçgen ABC yatay olarak veya 4) ikizkenar üçgenin tepe noktası harfle gösterilir İÇİNDE- önemsizdir. Bu üçgeni bir şekilde döndürürsek ve tabanı yatay değilse veya tepe noktasını başka bir harfle belirlersek, o zaman üçgen ikizkenar olmayı bırakmayacaktır.

Bu nedenle ne tür bir nesne olduğunu anlamak için temel özelliklerini bilmek yeterlidir. Bu durumda orada olduğunu söylüyorlar kavram bu nesne hakkında. Buradan, kavram- bu, ilgili nesnenin temel özelliklerine ilişkin bütünsel bir yargılar dizisidir. Bir nesnenin bu birbiriyle ilişkili özellikleri kümesine (bu nedenle bütünsel denir) denir. Konsept içeriği bu nesne hakkında.

Matematiksel bir nesneden bahsettiklerinde, genellikle bir terimle (isim) gösterilen nesnelerin tümünü kastettiklerini unutmayın. Yani, matematiksel bir nesneden - bir üçgenden - bahsettiklerinde, üçgen olan tüm geometrik şekilleri kastediyorlar. Tüm üçgenlerin kümesi konseptin kapsamıüçgen hakkında. Aynı şekilde tüm doğal sayılar kümesi de bir doğal sayıya ilişkin kavramların kapsamını oluşturur. Buradan, konseptin kapsamı aynı terimle gösterilen tüm nesnelerin kümesidir.

Yani her kavramın belli bir kapsamı vardır ve içerik. Bunlar birbirine bağlıdır: Bir kavramın hacmi ne kadar büyükse, içeriği o kadar küçüktür ve bunun tersi de geçerlidir: hacim ne kadar küçükse, o kadar çoktur. kavramın içeriği. Yani örneğin “ikizkenar üçgen” kavramının kapsamı “üçgen” kavramının kapsamından daha azdır, çünkü ilk kavramın kapsamı tüm üçgenleri kapsamaz, sadece ikizkenar üçgenleri kapsar. Ancak ilk kavramın içeriği açıkça ikincinin içeriğinden daha büyüktür, çünkü bir ikizkenar üçgen yalnızca bir üçgenin tüm özelliklerine değil, aynı zamanda yalnızca ikizkenar üçgenlere özgü özel özelliklere de sahiptir.

Herhangi bir matematiksel nesnenin kavramının içeriği, o nesnenin birçok farklı temel özelliğini içerir. Ancak bir nesneyi tanımak ve belirli bir kavrama ait olup olmadığını tespit etmek için yalnızca bazı temel özelliklere sahip olup olmadığının kontrol edilmesi yeterlidir. Bir kavram nesnesinin, bu nesneyi tanımak için yeterli olan bu temel özelliklerinin belirtilmesine denir. bir kavramın tanımı.

Matematiksel bir kavramın herhangi bir tanımı genellikle şu şekilde yapılır: önce isim belirtilir nesne Bu kavramın ardından şu veya bu nesnenin bu kavramın nesnesi olup olmadığını belirlemeyi mümkün kılan temel özellikler listelenir.

Örneğin paralelkenarın tanımı: “Paralelkenar, karşılıklı kenarları paralel olan bir dörtgendir.” Görebildiğimiz gibi, bu tanım şu şekilde yapılandırılmıştır: önce tanımlanan kavramın nesnesinin adı belirtilir - bir paralelkenar, ardından özellikleri gösterilir: 1) paralelkenar bir dörtgendir; 2)karşılıklı kenarları paraleldir. İlk özellik, tanımlanan kavramın ait olduğu daha genel kavramın bir göstergesidir. Bu daha genel kavrama denir atalardan kalma Tanımlanan kavramla ilgili olarak. Bu durumda paralelkenarın genel kavramı dörtgendir. İkinci özellik bir göstergedir türler Paralelkenarı diğer dörtgen türlerinden ayıran özellik. İşte başka bir tanım örneği: "Çift sayılar, 2 sayısının katı olan doğal sayılardır." Bu tanım, bir önceki gibi, aşağıdaki şemaya göre oluşturulmuştur:

Bu durumda elimizde: Tanımlanan kavramın adı çift sayılardır, genel kavram doğal sayılardır, spesifik farklar ise 2 sayısının katlarıdır.

Bu şemaya göre kavramların tanımına denir Cins ve tür farklılıkları üzerinden tanımlama.

Bazen matematikte kavramları tanımlamanın başka yolları da vardır. Örneğin bir üçgenin tanımını düşünün: "Üçgen, aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç noktadan ve bunları birbirine bağlayan üç çift parçadan oluşan bir şekildir." Bu tanım, bir üçgen için genel bir kavramı belirtir - bir şekil ve belirli bir fark olarak, bir üçgen olan böyle bir şeklin oluşturulması için bir yöntem belirtilir: aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç nokta almanız gerekir ve her bir çifti bir segmentle bağlayın. Bu tanım denir genetik(kelimeden doğuş- köken). İşte genetik tanımın başka bir örneği: “Bir noktanın simetrisi, bir şeklin böyle bir dönüşümüdür. F formda F" her noktada X rakamlar F noktaya gider X" rakamlar F", aşağıdaki şekilde inşa edilmiştir: segmentin devamında AH puan başına HAKKINDA bölüm ertelendi AH ", eşit AH". Burada, bir noktaya göre simetri dönüşümü ile diğer dönüşüm türleri arasındaki bir fark türü olarak, şeklin noktalarını oluşturma yöntemi belirtilmiştir. F", simetrik şekil F noktaya göre HAKKINDA.

Matematikte de tanımlanan kavramın nesnelerinin sırayla nasıl elde edilebileceğini gösteren tanımlar vardır. Örneğin bir aritmetik ilerlemenin tanımı şu şekilde verilmektedir: “İkinciden başlayarak her bir üyesi aynı sayıya eklenen bir önceki üyeye eşit olan sayısal diziye aritmetik ilerleme denir.” Burada tanımlanan kavram aritmetik bir ilerlemedir, genel kavram belirli bir fark olarak sayısal bir dizidir, ikinciden başlayarak ilerlemenin tüm üyelerini elde etme yöntemi belirtilir; Herhangi bir üye almak için önceki üyeye aynı numarayı eklemek gerekir. Bu tanım aşağıdaki formülle yazılabilir:

Bu tanım denir endüktif(kelimeden tümevarım- işaret ediyor çıkarımözelden genele) veya tekrarlayan(kelimeden yineleme- geri dönmek).

Ancak tüm matematiksel kavramlar mantıksal olarak yukarıdaki yollarla tanımlanamaz. Aslında, bir matematiksel kavramın her tanımı, tanımlanan kavramı daha geniş (daha genel, yani daha büyük hacimli) bir genel kavrama indirger, genel bir kavramın tanımı onu daha da geniş bir kavrama indirger vb. Açıkçası, bu süreç Bazı kavramları daha geniş, daha genel kavramlara indirgemenin bir sonu olması gerekir; sonsuz olamaz. Yani sonuçta kavramları tanımlarken artık başkalarına indirgenemeyen, yani mantıksal olarak tanımlanamayan kavramlara gelmemiz gerekiyor. Matematikte bu tür kavramlara denir öncelik veya ana.

Örneğin, bir paralelkenarı tanımlarken onu dörtgen kavramına indirgeriz; bir dörtgeni tanımlarken onu bir çokgen kavramına, ardından tanımlandığında indirgenen geometrik şekil kavramına indiririz. nokta kavramı. Nokta kavramı artık tanımlanamaz, yani birincil değildir. Matematiğin temel kavramları noktanın yanı sıra düz çizgi, düzlem, aitlik, sayı, küme (küme) ve diğer bazı kavramlardır.

Yani matematikte öğrenmeniz gereken ikinci şey, bir şekilde matematiksel kavramların tanımlarını oluşturabilme yeteneğidir. Bu beceri oldukça karmaşıktır ve bir sonraki konuşmamızda bunun hakkında konuşacağız. Bu arada, bu konuşmada aldığınız bilgileri pekiştirmek için aşağıdaki görevi tamamlayın.

Görev 3

3.1. Bir yamuğun aşağıdaki özelliklerinden hangileri esastır ve hangileri önemsizdir:

a) Yamuğun iki tarafı paraleldir.

b) Tabanı büyük olan her iki açı da dardır.

c) Bir yamuğun bir tarafa ait açılarının toplamı 180°'dir.

d) Yamuğun tabanları yataydır.

e) Yamuğun küçük tabanındaki her iki açı da geniştir.

3.2. Matematiksel nesneler ve matematiksel kavramlar nasıl ilişkilidir?

3.3. Aşağıdaki cümlelerden hangilerinin yargı olduğunu, hangilerinin olmadığını belirtiniz:

a) Bir üçgende üç kenarortay vardır.

b) Üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir.

c) Aynı tabanlara sahip kuvvetlerin çarpımı nedir?

d) Pozitif sayıların çarpımının logaritması, faktörlerin logaritmasının toplamına eşittir.

3.4. Aşağıdaki tanımlarda, tanımlanan kavramların nesnelerinin adını, genel kavramını ve belirli farklılıklarını vurgulayın:

a) Adi kesir şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir.

b) Sayının aritmetik karekökü A karesi eşit olan negatif olmayan bir sayıdır A.

c) Düzlemde kesişmeyen iki doğruya paralel denir.

d) Eğer nokta HAKKINDA segmentin orta noktasıdır AB, ardından noktalar A Ve İÇİNDE noktaya göre simetrik noktalar denir HAKKINDA.

3.5. Bir dairenin genetik tanımını, bir parçanın uçlarından biri etrafında bir düzlem üzerinde dönmesi sonucu oluştuğunu bilerek formüle edin; bu durumda bu parçanın ikinci ucu bir daireyi tanımlar.

3.6. Fibonacci dizisinin terimleri (yaklaşık 1170-1250) aşağıdaki formül kullanılarak verilmiştir: a n+2 =a n+1 +a n. Bu dizinin tanımını formüle edin. Bu tanım nedir?

3.7. Dik çizgilerin yapımıyla ilgili şu açıklamayı veriyoruz: “Bırakın A Ve B- kesişen iki çizgi. Kesiştiklerinde dört köşe oluşur. Bu açılardan biri α olsun. O zaman diğer üç açıdan herhangi biri ya α açısına bitişik ya da α açısına dik olacaktır. Yani açılardan biri doğru ise diğer açılar da doğrudur. Bu durumda doğruların dik açıyla kesiştiğini söyleriz ve onlara deniriz. dik".

Bu açıklamaya dayanarak dik çizgilerin tanımını formüle edin.

3.8. Bir sayının modülü aşağıdaki formülle belirlenir:

Bir sayının modülünün sözlü tanımını formüle edin.

3.9. Her üye bir önceki üyeden büyükse bu diziye artan dizi adı verilir. Bu tanımı bir formül kullanarak yazın.

3.10. Bildiğiniz gibi ikizkenar üçgen, iki kenarın eşit olduğu üçgen, normal üçgen ise tüm kenarların eşit olduğu üçgendir. Düzenli üçgen ikizkenar mıdır?

3.11. Aşağıdaki kavramlara en yakın genel kavramları belirtiniz: a) kare; b) doğal göstergeli derece; c) dikey açılar; d) asal sayı; d) akor.

3.12. Eşkenar dörtgen kavramı için birkaç genel kavram belirtin.

3.13. Tanımları kanıtlamak gerekli mi (ve mümkün mü)?

İlk önce cins ve tür kavramları görecelidir : Aynı kavram bir kavrama göre genel, diğerine göre spesifik olabilir. Örneğin“Dikdörtgen” kavramı, “kare” kavramına göre genel, “dörtgen” kavramına göre ise özeldir.

ikinci olarak, Belirli bir kavram için genellikle birden fazla genel kavramın belirtilmesi mümkündür. Dolayısıyla “dikdörtgen” kavramı için genel kavramlar “dörtgen”, “paralelkenar”, “çokgen”dir. Bunlardan en yakın olanı belirtebilirsiniz. “Dikdörtgen” kavramına en yakın kavram “paralelkenar”dır.

Üçüncüsü, Belirli bir kavram, genel bir kavramın tüm özelliklerine sahiptir. Örneğin“Dikdörtgen” kavramına göre özel bir kavram olan kare, dikdörtgenin doğasında bulunan tüm özelliklere sahiptir.

Bir kavramın hacmi bir küme olduğundan, kavramların hacimleri arasında ilişkiler kurarken bunları Euler daireleri kullanarak göstermek uygundur.

İÇİNDE

3) a - “düz”, b – “segment”.

Tek bir parçanın düz bir çizgi olduğu söylenemeyeceği ve tek bir düz çizginin de parça olarak adlandırılamayacağı için kavram hacimleri kesişmez. Dolayısıyla bu kavramlar cins ve türle ilgili değildir.

“Doğru çizgi” ve “parça” kavramlarının bütünle ve parçayla ilişkili olduğunu söyleyebiliriz: Parça, çizginin türü değil parçasıdır.

Not: Bir tür kavramı genel bir kavramın tüm özelliklerine sahipse, o zaman bir parçanın bütünün tüm özelliklerine sahip olması zorunlu değildir.

Örneğin, segment, sonsuzluğuyla aynı düz çizgi özelliklerine sahip değildir.

3. Kavramların tanımı

Matematikte yeni kavramların ve dolayısıyla bu kavramları ifade eden yeni terimlerin ortaya çıkışı, bunların tanımını gerektirir.

Tanım genellikle yeni bir terimin (veya atamanın) özünü açıklayan bir cümledir. Kural olarak, bu daha önce tanıtılan kavramlara dayanarak yapılır. Örneğin, Dikdörtgen şu şekilde tanımlanabilir: “Dikdörtgen, açıları düzgün olan bir dörtgendir.” Bu tanımın iki kısmı vardır: tanımlanabilir kavram(dikdörtgen) ve tanımlayıcı kavram(tüm açıları dik olan bir dörtgen). İlk kavramı a, ikincisini b ile belirtirsek, bu tanım aşağıdaki biçimde sunulabilir:

a (tanım gereği) b'dir

"(Tanım gereği)" kelimelerinin yerini genellikle sembol alır ve ardından tanım şu şekilde görünür: A B

Şunu okuyorlar: "a, tanımı gereği b'ye eşdeğerdir." Bu girişi şu şekilde de okuyabilirsiniz: "ve ancak ve ancak b ise."

Bu yapıya sahip tanımlara denir. bariz. Gelin onlara daha yakından bakalım.

Tekrar dikdörtgenin tanımına, daha doğrusu ikinci kısmına, tanımlayıcı kavrama dönelim. Şunları içerir:

1) “dörtgen” kavramı atalardan kalma“Dikdörtgen” kavramıyla ilgili olarak,

2) olası tüm dörtgenlerden (dikdörtgenler) bir tür seçmemize olanak tanıyan "tüm dik açılara sahip olma" özelliği; bu yüzden onu çağırıyorlar tür farkı.

Tanım. Spesifik farklılıklar, tanımlanmış nesnelerin genel kavramın kapsamından ayırt edilmesini sağlayan özelliklerdir (bir veya daha fazla).

Analizimizin sonuçları bir diyagram şeklinde sunulabilir

Kavramın tanımlanması

Tanımın yapısının cins ve tür farklılığı üzerinden görsel sunumunda bazı yanlışlıklar yaptığımızı unutmayın. İlk önce“genel kavram” kelimesi, tanımlananla bağlantılı olarak genel bir kavramdan bahsettiğimiz anlamına gelir. ikinci olarak sayıların toplandığını belirtmek için kullanıldığı bilinen “+” işaretinin ne anlama geldiği tam olarak belli değil. Bu işaretin anlamı biraz sonra “ve” bağlacının matematiksel anlamına baktığımızda netleşecektir. Bu arada tanımı cins ve spesifik farklılık yoluyla görsel olarak temsil etmenin başka bir olasılığıyla tanışalım. Tanımlanan kavram harfle gösteriliyorsa A, b harfiyle tanımlanır, genel bir kavramdır (tanımlananla ilişkili olarak) - harfiyle İle ve tür farkı harfle gösterilir R o zaman cins ve tür farkı yoluyla tanım şu şekilde temsil edilebilir:

A

Tür farkının neden büyük harfle gösterildiğini daha sonra öğreneceğiz.

Her kavramın bir hacmi olduğunu biliyoruz. A kavramı cins ve belirli bir farkla tanımlanırsa, hacmi - A kümesi - C kümesine (c genel kavramının hacmi) ait olan ve P: A özelliğine sahip nesneler içerdiğini söyleyebiliriz. = ( x | xО C ve P(x)).

Örneğin, eğer tanım verilirse: "Dar açı, dik açıdan küçük bir açıdır", o zaman "akut açı" kavramının kapsamı, "olma" özelliğine sahip tüm düzlem açıları kümesinin bir alt kümesidir. dik açıdan daha az."

Bir kavramın cins ve özgül farklılık yoluyla tanımlanması, esasen, bilinen herhangi bir terim kümesinin yerine yeni bir terimin getirilmesi konusunda koşullu bir anlaşma olduğundan, tanımın doğru mu yanlış mı olduğunu söylemek imkansızdır; ne kanıtlanmış ne de çürütülmüştür. Ancak tanımları formüle ederken bir takım kurallara uyarlar. Başlıcalarını adlandıralım.

Kavramları tanımlamak için gereklilikler

Kararın orantılı olması gerekir.

Bu, tanımlanan ve tanımlayan kavramların kapsamının örtüşmesi gerektiği anlamına gelir. Bu kural, tanımlanan ve tanımlayan kavramların birbirinin yerine geçebileceği gerçeğinden kaynaklanmaktadır.

Örneğin “dikdörtgen” ve “tüm açıları dik olan dörtgen” kavramları orantılıdır. Tanımlayan kavramın kapsamı, tanımlanan kavramın kapsamını da içeriyorsa, aşırı geniş bir tanım hatasından söz ediyorlar. Dolayısıyla “Doğrudan A Ve B ortak noktaları yoksa veya çakışmıyorsa paralel denir" ifadesi çok geniştir, çünkü düz çizgilerin kesişmesiyle de tatmin olur. Tanımlayan kavramın kapsamı, tanımlanan kavramın kapsamından daha dar ise tanımın çok dar olması hatası ortaya çıkar. Örneğin, "Doğrudan" tanımı A Ve B ortak noktaları yoksa paralel denir" ifadesi çakışan doğrularla yetinmediği için çok dardır.

Tanımda (veya sisteminde) bir kısır döngü olmamalıdır.

Bu, bir kavramın kendisi aracılığıyla tanımlanmasının (tanım, tanımlanan terimi içermemesi gerekir) veya onun aracılığıyla tanımlanan başka bir kavram aracılığıyla tanımlanmasının mümkün olmadığı anlamına gelir.

Temel matematiğin “çarpma” ve “çarpım” gibi kavramlarını ele alalım ve onlara aşağıdaki tanımları verelim:

Sayıların çarpımı bu sayıların çarpımının bulunması işlemidir.

Sayıların çarpımı çarpımlarının sonucudur.

Çarpmanın çarpım kavramıyla, çarpımın da çarpma kavramıyla tanımlandığını görüyoruz. Tanımlar, matematikte söylendiği gibi bir kısır döngü oluşturdu. Sonuç olarak ders içerisinde oluşturulan ardışık tanımlar zinciri kesintiye uğrar.

Kısır döngü şu tanımda da yer alıyor: “Bir denklemin çözümü, onun çözümü olan sayıdır.” Burada “denklem çözme” kavramı esas itibariyle bir denklemin çözümüyle tanımlanmaktadır.

Tanım açık olmalıdır.

Bu ilk bakışta bariz bir kuraldır, ancak çok şey ifade eder. Öncelikle yeni kavramın tanımı yapılırken, tanımlayıcı kavramın içinde yer alan terimlerin anlamlarının bilinmesi gerekmektedir.

Örneğin, Paralelkenar kavramı henüz düşünülmemişse, dikdörtgeni dik açılı bir paralelkenar olarak tanımlayamayız.

Tanımın netliğine ilişkin koşullar ayrıca, tanımlanmış nesneleri genel kavramın kapsamından ayırmak için yalnızca gerekli ve yeterli olduğu kadar özelliğin spesifik farklılığa dahil edilmesi önerisini de içerir.

düşünelim Örneğin, Dikdörtgenin tanımı şudur: “Dikdörtgen, tüm açıları dik ve karşılıklı kenarları eşit olan bir dörtgendir.”

Bu tanımın orantılı olduğunu ve içinde bir kısır döngünün bulunmadığını görmek kolaydır. Ancak tanımda yer alan “dikdörtgende karşılıklı kenarlar eşittir” özelliğinin “dikdörtgende tüm açılar diktir” özelliğinden kaynaklandığı gösterilebilir. Bu durumda dikdörtgenin bu tanımında ikinci özelliğin gereksiz olduğu düşünülmektedir. Bu nedenle dikdörtgeni şu şekilde tanımlamak daha doğrudur: “Dikdörtgen, tüm açıları dik olan bir dörtgendir.”

Yorum. Bir tanımın açık olması için, tanımlayıcı kısımda gereksiz özellikler içermemesi arzu edilir; Bu tanımda yer alan diğerlerinden ayırt edilebilecek özellikler. Ancak bazen prostat belirtilerinde bu kural ihlal edilmektedir.

Tanımın netliğini sağlamak için, tanımlananla ilişkili olarak genel bir kavrama sahip olmak da önemlidir. Genel bir kavramın atlanması, tanımı orantısız hale getirir. Örneğin karenin şu tanımı kabul edilemez: “Kare, tüm kenarların eşit olduğu zamandır.”

Söylenenlere şunu da eklemek gerekir; Bir tanımı formüle ederken, tanımlayıcı kavramda yalnızca tanımlananla ilişkili genel bir kavramı değil, aynı zamanda en yakın olanı da belirtmeye çalışmalıyız. Bu genellikle tür farklılığının içerdiği özelliklerin sayısının azaltılmasına olanak tanır.

Örneğin Eğer bir kareyi tanımlarken genel olarak “dörtgen” kavramını seçersek, o zaman spesifik farklılığa iki özelliği dahil etmek gerekecektir: “tüm açıları dik olmak” ve “tüm kenarları eşit olmak”. Sonuç olarak şu tanımı elde ederiz: "Kare, tüm açıları dik ve tüm kenarları eşit olan bir dörtgendir."

Kareye en yakın genel kavram olan dikdörtgeni genel olarak seçersek, karenin daha kısa bir tanımını elde ederiz: "Kare, tüm kenarları eşit olan bir dikdörtgendir."

Bir ve aynı kavram, yukarıda formüle edilen kurallara uyularak, cins ve tür farklılığı yoluyla farklı şekillerde tanımlanabilir.

Yani bir kare şu şekilde tanımlanabilir:

a) bitişik kenarları eşit olan bir dikdörtgen;

b) dik açıya sahip bir dikdörtgen;

c) dik açılı bir eşkenar dörtgen;

d) Bütün kenarları eşit ve açıları dik olan bir paralelkenar.

Kavramın içeriğinde yer alan özelliklerin çokluğu nedeniyle aynı kavramın farklı tanımlarının yapılması mümkün olup, sadece birkaç tanesi tanımda yer almaktadır. Ve olası tanımlardan biri seçildiğinde, teorinin daha ileri inşası için daha basit ve daha uygun olandan yola çıkılır.

Aynı kavram verilirse, Örneğin, iki farklı tanım varsa, bunların eşdeğerliğini kanıtlamak gerekir, yani. bir tanımda yer alan özelliklerin diğerinde yer alan özellikleri gerektirdiğinden ve bunun tersinin de geçerli olduğundan emin olmak için.

Kavramların tanımlarını cins ve spesifik farklılık üzerinden ele aldığımızda, tanıdık bir kavramın tanımını yeniden oluşturmak veya yeni bir kavramın tanımını oluşturmak istiyorsak izlememiz gereken eylemler dizisini adlandıralım:

1. Tanımlanan kavramı (terimi) adlandırın.

2. En yakın genel (tanımlanana göre) kavramı belirtin.

3. Tanımlanan nesneleri genel hacimden ayıran özellikleri listeleyin; Tür farklılıklarını formüle eder.

4. Kavramın tanımlanmasına ilişkin kuralların karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin (orantılı mı, kısır döngü var mı, vb.).

İlkokullarda tartışılan pek çok matematik kavramı arasında cinse özgü açık ilişkilere dair çok fazla örnek yoktur. Ancak ileri eğitimde cins ve tür üzerinden tanımlamanın önemi göz önüne alındığında, öğrencilerin bu türün tanımının özünü ilkokul sınıflarında anlamalarının sağlanması tavsiye edilir.

5. Örtülü tanımlar

İlkokulda matematik çalışırken cins ve tür ayrımı yoluyla yapılan tanımlara nadiren başvurulur. Bu hem dersin özelliklerinden hem de çocukların yeteneklerinden kaynaklanmaktadır. Ancak ilk matematik dersinde pek çok kavram var - bunu dersin başında konuşmuştuk. Nasıl belirleniyorlar?

İlkokulda matematik okurken sözde örtülü tanımlar. Yapılarında belirlenen ile belirleyiciyi birbirinden ayırmak imkansızdır.

İlkokul çocuklarına eğitim verirken örtülü tanımlar arasında özellikle ilgi çekenler şunlardır: bağlamsal Ve gösterişli tanımlar.

Bağlamsal tanımlamalarda yeni bir kavramın içeriği, bir metin pasajı yoluyla, bağlam yoluyla, tanımlanan kavramın anlamını diğer bilinenlerle açıklayan belirli bir durumun analizi yoluyla ortaya çıkarılır ve dolayısıyla içeriği dolaylı olarak ortaya çıkarılır. Örneğin, çocuklarla yapılan çalışmalarda “ifadenin anlamını bulun”, “5 + a ve (a - 3) × 2, eğer a = 7 ise” ifadelerinin anlamlarını karşılaştırın”, “toplam ifadeleri okuyun” gibi ifadeler kullanmak , “ifadeleri okuyun ve ardından denklemleri okuyun”, “matematiksel ifade” kavramını sayılar veya değişkenler ve eylem işaretlerinden oluşan bir kayıt olarak genişletiyoruz.

Veya bağlamsal tanıma örnek olarak 3. sınıf matematik ders kitabında verilen bir denklemin tanımı ve çözümü verilebilir. Burada ð + 6 = 15 girişi ve 0,5,9,10 sayı listesinden sonra şu yazı geliyor: “15 yapmak için hangi sayıya 6 eklemelisiniz? Bilinmeyen sayıyı Latin harfi x (x) ile gösterelim:

X + 6 = 15 bir denklemdir.

Bir denklemi çözmek, bilinmeyen bir sayıyı bulmak anlamına gelir. Bu denklemde 9+6=15 olduğundan bilinmeyen sayı 9'dur.

Sayıların neden 0 olduğunu açıklayın; 5 ve 10 uygun değil.”

Yukarıdaki metinden, bir denklemin bilinmeyen bir sayının bulunduğu bir eşitlik olduğu anlaşılmaktadır. X harfi ile gösterilebilir ve bu sayının bulunması gerekir. Ek olarak, bu metinden, bir denklemin çözümünün, x'in yerine geçtiğinde denklemi gerçek eşitliğe dönüştüren bir sayı olduğu anlaşılmaktadır.

Günlük yaşamda karşılaştığımız tanımların neredeyse tamamı bağlamsal tanımlardır. Bilinmeyen bir kelime duyduğumuzda, söylenen her şeye dayanarak anlamını kendimiz belirlemeye çalışırız.

Küçük öğrencilere eğitim verirken de benzer bir şey olur. İlkokuldaki birçok matematik kavramı bağlam yoluyla tanımlanır. Bu, Örneğin“büyük - küçük”, “herhangi”, “herhangi”, “bir”, “çok”, “sayı”, “aritmetik işlem”, “denklem”, “görev” vb. kavramlar.

Bağlamsal tanımlar büyük ölçüde eksik ve eksik kalıyor. Küçük okul çocuklarının tam ve özellikle bilimsel tanıma hakim olma konusundaki hazırlıksızlıkları nedeniyle kullanılırlar.

Gösterimsel tanımlar gösterme yoluyla yapılan tanımlardır.. Sıradan bağlamsal tanımlara benziyorlar, ancak buradaki bağlam herhangi bir metnin bir pasajı değil, kavramın belirttiği nesnenin kendisini içinde bulduğu durumdur.

Örneğin, öğretmen bir kare gösterir (çizim veya kağıt model) ve "Bak, bu bir kare" der. Bu tipik bir gösterişli tanımdır.

Ayrıca bu terimlerin ifade ettiği nesneleri göstererek terimleri tanıtmak için de kullanılırlar. Örneğin ilkokulda eşitlik ve eşitsizlik kavramları şu şekilde tanımlanabilir:

2 × 7 > 2 × 6 9 × 3 = 27

78- 9 < 78 6 × 4 = 4 × 6

37+ 6 > 37 17 - 5 = 8 + 4

İlkokulda “kırmızı (beyaz, siyah vb.) renk”, “sol - sağ”, “soldan sağa”, “sayı”, “önceki ve sonraki sayı”, “sayı” gibi kavramlar ele alınırken göstergeli tanımlar kullanılmaktadır. işaretler” aritmetik işlemler”, “karşılaştırmalı işaretler”, “üçgen”, “dörtgen”, “küp” vb.

Kelimelerin anlamlarının görünüşte özümsenmesine dayanarak, yeni kelimelerin ve deyimlerin sözlü anlamlarını çocuğun sözlüğüne dahil etmek mümkündür. Gösterişli tanımlar - ve yalnızca onlar - kelimeleri nesnelere bağlar. Onlar olmadan dil, hiçbir nesnel ve asli içeriği olmayan sözel bir bağdan ibarettir.

Bağlamsal olanlar gibi gösterişli tanımlar da bazı eksikliklerle karakterize edilir. Aslında ispat yoluyla tanımlama, bir kavramı diğer cümlelerden ayırmaz; bu kavramların karakteristik özelliklerini göstermez. Bu nedenle, bir kavramın bağlamsal veya gösterişli tanımından sonra, bu tür tanımlanmış nesnelerin özelliklerinin daha fazla incelenmesi gerekmektedir.

İlkokullarda “Beşgen” kelimesini beş kenarı olan çokgen anlamında kullanacağız” gibi kabul edilebilir tanımlara dikkat edin. Bu sözde "nominal tanım» .

Ayrı tanımlar, bir kavramı oluşma veya ortaya çıkma yöntemine göre ele alabilir. Bu tür tanımlamaya denir genetik.

Genetik tanım örnekleri: “Açı, bir noktadan çıkan ışınlardır.” “Dikdörtgenin köşegeni, dikdörtgenin karşıt köşelerini birleştiren doğru parçasıdır.” İlköğretimde “bölüm”, “kesikli çizgi”, “dik açı”, “daire” gibi kavramlar için genetik tanımlar kullanılmaktadır.

Genetik kavramlar şunları içerir: liste yoluyla tanımlama .

Örneğin, “Sayıların doğal serisi 1, 2, 3, 4 vb. sayılardır.”

İlköğretim sınıflarında bazı kavramlar yalnızca aracılığıyla tanıtılmaktadır. terim.

Örneğin, zaman birimleri yıl, ay, saat, dakika.

İlkokulda öğretilen kavramlar var sembolik dil eşitlik biçiminde, örneğin a ×1 = a, a × 0 = 0

İlköğretimde pek çok matematik kavramı ilk olarak yüzeysel ve belirsiz bir şekilde öğrenilmektedir. İlk tanışmada okul çocukları kavramların yalnızca bazı özelliklerini öğrenirler ve kapsamları hakkında çok dar bir fikre sahiptirler. Ve bu doğaldır. Tüm kavramların anlaşılması kolay değildir. Ancak hiç şüphe yok ki, öğretmenin matematiksel kavramların belirli türdeki tanımlarını anlaması ve zamanında kullanması, öğrencilerin bu kavramlar hakkında sağlam bilgi geliştirmesinin koşullarından biridir.