Vektörlerin toplamı. Vektör uzunluğu. Sevgili arkadaşlar Geriye dönük sınav türleri kapsamında vektörlerle ilgili bir grup problem bulunmaktadır. Görevler oldukça geniş aralık(bilmek önemli teorik temeller). Çoğu sözlü olarak çözülür. Sorular bir vektörün uzunluğunu, vektörlerin toplamını (farkını) ve skaler çarpımı bulmayla ilgilidir. Ayrıca vektör koordinatlarıyla eylemler gerçekleştirmeniz gereken birçok görev vardır.
Vektörler konusunu çevreleyen teori karmaşık değildir ve iyi anlaşılması gerekir. Bu yazıda bir vektörün uzunluğunun yanı sıra vektörlerin toplamını (farkını) bulmayla ilgili problemleri analiz edeceğiz. Bazı teorik noktalar:
Vektör kavramı
Bir vektör yönlendirilmiş bir bölümdür.
Aynı yöne sahip ve uzunlukları eşit olan tüm vektörler eşittir.
*Yukarıda sunulan dört vektörün tümü eşittir!
Yani eğer kullanırsak paralel aktarım Bize verilen vektörü hareket ettirirsek her zaman orijinaline eşit bir vektör elde ederiz. Böylece sonsuz sayıda eşit vektör olabilir.
Vektör gösterimi
Vektör Latince ile gösterilebilir büyük harflerle, Örneğin:
Bu gösterim biçiminde önce vektörün başlangıcını gösteren harf, ardından vektörün sonunu gösteren harf yazılır.
Başka bir vektör bir harfle gösterilir Latin alfabesi(başkent):
Oksuz tanımlama da mümkündür:
İki AB ve BC vektörünün toplamı AC vektörü olacaktır.
AB + BC = AC şeklinde yazılır.
Bu kural denir - üçgen kuralı.
Yani, eğer iki vektörümüz varsa - bunları geleneksel olarak (1) ve (2) olarak adlandıralım ve vektör (1)'in sonu, vektör (2)'nin başlangıcına denk geliyorsa, o zaman bu vektörlerin toplamı bir vektör olacaktır: başlangıç, vektör (1)'in başlangıcıyla çakışır ve son, vektör (2)'nin sonuyla çakışır.
Sonuç: Bir düzlemde iki vektörümüz varsa, bunların toplamını her zaman bulabiliriz. Paralel çeviriyi kullanarak bu vektörlerden herhangi birini hareket ettirebilir ve diğerinin başlangıcını sonuna bağlayabilirsiniz. Örneğin:
Vektörü hareket ettirelim B, veya başka bir deyişle, eşit bir tane oluşturalım:
Birkaç vektörün toplamı nasıl bulunur? Aynı prensiple:
* * *
Paralelkenar kuralı
Bu kural yukarıdakilerin bir sonucudur.
olan vektörler için ortak başlangıç bunların toplamı, bu vektörler üzerine oluşturulan bir paralelkenarın köşegeniyle temsil edilir.
Vektöre eşit bir vektör oluşturalım B başlangıcı vektörün sonu ile çakışacak şekilde A ve bunların toplamı olacak bir vektör oluşturabiliriz:
Biraz daha önemli bilgi sorunları çözmek için gereklidir.
Orijinaline eşit uzunlukta fakat zıt yönlü bir vektör de gösterilir ancak zıt işarete sahiptir:
Bu bilgi, vektörler arasındaki farkın bulunmasını içeren problemlerin çözümünde son derece faydalıdır. Gördüğünüz gibi vektör farkı değiştirilmiş biçimde aynı toplamdır.
İki vektör verilsin, farklarını bulun:
Bir vektör oluşturduk zıt vektör b ve farkı buldum.
Vektör koordinatları
Bir vektörün koordinatlarını bulmak için, başlangıç koordinatlarını bitiş koordinatlarından çıkarmanız gerekir:
Yani vektör koordinatları bir çift sayıdır.
Eğer
Ve vektörlerin koordinatları şöyle görünür:
O zaman c 1 = a 1 + b 1 c 2 = a 2 + b 2
Eğer
O zaman c 1 = a 1 – b 1 c 2 = a 2 – b 2
Vektör modülü
Bir vektörün modülü, aşağıdaki formülle belirlenen uzunluğudur:
Başlangıç ve bitiş koordinatları biliniyorsa, bir vektörün uzunluğunu belirleme formülü:
Görevleri ele alalım:
ABCD dikdörtgeninin iki kenarı 6 ve 8'e eşittir. Köşegenler O noktasında kesişir. AO ve BO vektörleri arasındaki farkın uzunluğunu bulun.
AO–VO sonucunu oluşturacak vektörü bulalım:
AO –VO =AO +(–VO )=AB
Yani, AO ve vektörleri arasındaki fark VO bir vektör olacak AB. Ve uzunluğu sekizdir.
Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri ABCD 12 ve 16'ya eşittir. AB + AD vektörünün uzunluğunu bulun.
AD ve AB BC vektörlerinin toplamı olacak bir vektör bulalım. vektöre eşit MS. Yani AB +AD =AB +BC =AC
AC eşkenar dörtgenin köşegeninin uzunluğudur klima, 16'ya eşittir.ABCD eşkenar dörtgeninin köşegenleri şu noktada kesişir: O ve 12 ve 16'ya eşittir. AO + BO vektörünün uzunluğunu bulun.
AO ve VO VO vektörlerinin toplamı OD vektörüne eşit olacak bir vektör bulalım, yani
AD eşkenar dörtgenin kenarının uzunluğudur. Sorun hipotenüsün bulunmasında ortaya çıkıyor dik üçgen AOD. Bacakları hesaplayalım:
Pisagor teoremine göre:
ABCD eşkenar dörtgeninin köşegenleri O noktasında kesişir ve 12 ve 16'ya eşittir. AO – BO vektörünün uzunluğunu bulun.
AO–VO sonucunu oluşturacak vektörü bulalım:
AB eşkenar dörtgenin bir kenarının uzunluğudur. Sorun, AOB dik üçgeninde AB hipotenüsünü bulmaktan ibarettir. Bacakları hesaplayalım:
Pisagor teoremine göre:
Partiler düzgün üçgen ABC 3'e eşittir.
AB –AC vektörünün uzunluğunu bulun.
Vektör farkının sonucunu bulalım:
Koşul üçgenin eşkenar olduğunu ve kenarlarının 3'e eşit olduğunu söylediği için CB üçe eşittir.27663. a (6;8) vektörünün uzunluğunu bulun.
27664. AB vektörünün uzunluğunun karesini bulun.
Sonunda bu geniş ve uzun zamandır beklenen konuyu ele aldım. analitik geometri . İlk önce biraz hakkında bu bölüm yüksek matematik…. Artık sayısız teorem, bunların kanıtları, çizimleri vb. içeren bir okul geometri dersini hatırlıyorsunuzdur. Öğrencilerin önemli bir kısmı için sevilmeyen ve çoğunlukla anlaşılması güç bir konu olan ne saklanmalı? Garip bir şekilde analitik geometri daha ilginç ve erişilebilir görünebilir. “Analitik” sıfatı ne anlama geliyor? Hemen aklıma iki klişe matematik tabiri geliyor: “grafiksel çözüm yöntemi” ve “ analitik yöntemçözümler." Grafik yöntemi elbette grafiklerin ve çizimlerin yapımıyla ilişkilidir. Analitik Aynı yöntem sorunları çözmeyi içerir daha çok başından sonuna kadar cebirsel işlemler. Bu bağlamda, analitik geometrinin neredeyse tüm problemlerini çözmeye yönelik algoritma basit ve şeffaftır; genellikle dikkatli bir şekilde uygulanması yeterlidir; gerekli formüller- ve cevap hazır! Hayır elbette çizim olmadan bunu yapamayacağız, ayrıca malzemenin daha iyi anlaşılması için gereksiz yere alıntı yapmaya çalışacağım.
Yeni açılan geometri dersleri teorik olarak tamamlanmış gibi görünmüyor; pratik problemlerin çözümüne odaklanıyor. Derslerime yalnızca benim bakış açıma göre önemli olan şeyleri dahil edeceğim. pratik açıdan. Herhangi bir alt bölüm hakkında daha kapsamlı yardıma ihtiyacınız varsa, aşağıdaki oldukça erişilebilir literatürü öneririm:
1) Şaka değil, birkaç neslin aşina olduğu bir şey: Geometri üzerine okul ders kitabı, yazarlar – L.S. Atanasyan ve Şirketi. Bu okul soyunma odası askısı zaten 20 (!) yeniden basımdan geçti ve bu elbette sınır değil.
2) 2 ciltte geometri. Yazarlar L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Bu edebiyat için lise, ihtiyacın olacak ilk cilt. Nadiren karşılaşılan görevler gözümün önünden kaybolabilir ve eğitim kılavuzu paha biçilmez yardım sağlayacaktır.
Her iki kitap da çevrimiçi olarak ücretsiz olarak indirilebilir. Ayrıca arşivimi de kullanabilirsiniz. hazır çözümler sayfasında bulabilirsiniz. Yüksek matematikteki örnekleri indirin.
Araçlar arasında yine kendi gelişimimi öneriyorum - yazılım paketi Analitik geometride hayatı büyük ölçüde kolaylaştıracak ve çok zaman kazandıracak.
Okuyucunun temel bilgilere aşina olduğu varsayılmaktadır. geometrik kavramlar ve şekiller: nokta, çizgi, düzlem, üçgen, paralelkenar, paralelyüz, küp vb. Bazı teoremleri, en azından Pisagor teoremini hatırlamanız tavsiye edilir, tekrarlayıcılara merhaba)
Şimdi sırasıyla ele alacağız: vektör kavramı, vektörlerle eylemler, vektör koordinatları. Devamını okumanızı tavsiye ederim en önemli makale Vektörlerin nokta çarpımı ve ayrıca Vektör ve vektörlerin karışık çarpımı. Gereksiz olmayacak yerel sorun– Bir segmentin belirli bir oranda bölünmesi. Yukarıdaki bilgilere dayanarak ustalaşabilirsiniz. düzlemdeki bir doğrunun denklemiİle en basit çözüm örnekleri, izin verecek geometri problemlerini çözmeyi öğrenin. Aşağıdaki makaleler de faydalıdır: Uzayda bir düzlemin denklemi, Uzayda bir çizginin denklemleri, Düz bir çizgi ve düzlemde temel problemler, analitik geometrinin diğer bölümleri. Doğal olarak yol boyunca standart görevler dikkate alınacaktır.
Vektör kavramı. Ücretsiz vektör
Öncelikle bir vektörün okuldaki tanımını tekrarlayalım. Vektör isminde yönlendirilmiş başlangıcı ve bitişinin belirtildiği bir bölüm:
İÇİNDE bu durumda parçanın başlangıcı nokta, parçanın sonu ise noktadır. Vektörün kendisi ile gösterilir. Yönçok önemli, eğer oku parçanın diğer ucuna hareket ettirirseniz bir vektör elde edersiniz ve bu zaten tamamen farklı vektör. Vektör kavramı uygun bir şekilde hareketle tanımlanır. fiziksel vücut: Katılıyorum, enstitü kapısından girmek ya da enstitü kapısından çıkmak bambaşka şeyler.
Bir düzlemin veya uzayın bireysel noktalarını sözde olarak düşünmek uygundur. sıfır vektör. Böyle bir vektör için son ve başlangıç çakışır.
!!! Not: Burada ve ayrıca vektörlerin aynı düzlemde bulunduğunu veya uzayda yer aldıklarını varsayabilirsiniz - sunulan malzemenin özü hem düzlem hem de uzay için geçerlidir.
Tanımlar: Birçoğu, adında ok bulunmayan çubuğu hemen fark etti ve üstte de bir ok olduğunu söyledi! Doğru, bunu bir okla yazabilirsiniz: , ancak bu da mümkündür gelecekte kullanacağım giriş. Neden? Görünüşe göre bu alışkanlık pratik nedenlerden dolayı gelişti; okuldaki ve üniversitedeki atıcılarımın çok farklı boyutlarda ve tüylü olduğu ortaya çıktı. İÇİNDE eğitim literatürü bazen çivi yazısı yazmakla hiç uğraşmazlar ama harflerin altını çizerler kalın harflerle: , bunun bir vektör olduğunu ima eder.
Bu stilistikti ve şimdi vektör yazmanın yolları hakkında:
1) Vektörler iki büyük Latin harfiyle yazılabilir: 
ve benzeri. Bu durumda ilk harf mutlaka vektörün başlangıç noktasını, ikinci harf ise vektörün bitiş noktasını belirtir.
2) Vektörler ayrıca küçük Latin harfleriyle de yazılır:
Özellikle, kısaltmak için vektörümüz küçük olarak yeniden tasarlanabilir. Latince harf.
Uzunluk veya modül sıfır olmayan bir vektöre parçanın uzunluğu denir. Sıfır vektörünün uzunluğu sıfırdır. Mantıksal.
Vektörün uzunluğu modül işaretiyle gösterilir: ,
Biraz sonra bir vektörün uzunluğunu nasıl bulacağımızı öğreneceğiz (ya da kime bağlı olarak tekrarlayacağız).
Onlar temel bilgiler vektör hakkında, tüm okul çocuklarına aşinadır. Analitik geometride, sözde bedava vektör.
Basitçe söylemek gerekirse - vektör herhangi bir noktadan çizilebilir:
Bu tür vektörleri eşit olarak adlandırmaya alışkınız (eşit vektörlerin tanımı aşağıda verilecektir), ancak tamamen matematiksel bir bakış açısına göre bunlar AYNI VEKTÖR veya bedava vektör. Neden ücretsiz? Çünkü problemleri çözerken, şunu veya bu vektörü ihtiyacınız olan düzlemin veya uzayın HERHANGİ bir noktasına "bağlayabilirsiniz". Bu çok harika bir özellik! İsteğe bağlı uzunlukta ve yönde bir vektör düşünün; “klonlanabilir” sonsuz sayı her zaman ve uzayın herhangi bir noktasında, aslında HER YERDE vardır. Şöyle bir öğrenci söylüyor: Her hoca vektöre önem verir. Sonuçta, bu sadece esprili bir kafiye değil, her şey matematiksel olarak doğru - vektör de oraya eklenebilir. Ama sevinmek için acele etmeyin, çoğu zaman acı çekenler öğrencilerin kendisidir =)
Bu yüzden, bedava vektör- Bu birçok aynı yönlendirilmiş bölümler. Okul tanımı Paragrafın başında verilen vektör: “Bir vektör yönlendirilmiş bir parçadır…” anlamına gelir özel belirli bir kümeden alınan ve düzlem veya uzaydaki belirli bir noktaya bağlanan yönlendirilmiş bir bölüm.
Fizik açısından bakıldığında, serbest vektör kavramının genel durum yanlıştır ve vektörün uygulama noktası önemlidir. Aslında, benim aptal örneğimi geliştirmeye yetecek kadar aynı kuvvetin buruna veya alnına doğrudan darbesi farklı sonuçlara yol açar. Fakat, özgür olmayan vektörler ayrıca vyshmat sürecinde de bulunur (oraya gitmeyin :)).
Vektörlerle yapılan eylemler. Vektörlerin doğrusallığı
İÇİNDE okul kursu geometri, vektörlerle birlikte bir dizi eylem ve kural dikkate alınır: Üçgen kuralına göre toplama, Paralelkenar kuralına göre toplama, Vektör farkı kuralı, Bir vektörün bir sayı ile çarpılması, nokta çarpım vektörler vb. Başlangıç noktası olarak analitik geometri problemlerinin çözümüyle özellikle ilgili olan iki kuralı tekrarlıyoruz.
Üçgen kuralını kullanarak vektörleri ekleme kuralı
Sıfır olmayan iki rastgele vektörü düşünün ve: 
Bu vektörlerin toplamını bulmanız gerekiyor. Tüm vektörlerin serbest kabul edilmesi nedeniyle, vektörü bir kenara koyacağız. son vektör: 
Vektörlerin toplamı vektördür. Kuralın daha iyi anlaşılması için aşağıdakilerin eklenmesi tavsiye edilir: fiziksel anlam: Bir cismin önce bir vektör boyunca, sonra da bir vektör boyunca hareket etmesine izin verin. O halde vektörlerin toplamı, başlangıcı kalkış noktasında ve sonu varış noktasında olmak üzere ortaya çıkan yolun vektörüdür. Herhangi bir sayıda vektörün toplamı için benzer bir kural formüle edilmiştir. Dedikleri gibi, vücut, toplamın ortaya çıkan vektörü boyunca bir zikzak boyunca veya belki de otopilotta çok eğilerek yoluna gidebilir.
Bu arada, eğer vektör ertelenirse başladı vektör, o zaman eşdeğerini elde ederiz paralelkenar kuralı vektörlerin eklenmesi.
İlk olarak vektörlerin eşdoğrusallığı hakkında. İki vektör denir eşdoğrusal, eğer aynı doğru üzerinde veya paralel doğrular üzerinde yer alıyorlarsa. Kabaca söylemek gerekirse paralel vektörlerden bahsediyoruz. Ancak bunlarla ilgili olarak her zaman “doğrusal” sıfatı kullanılır.
İki eşdoğrusal vektör düşünün. Bu vektörlerin okları aynı yöne yönlendirilirse, bu tür vektörlere denir. ortak yönetmen. Oklar yönü gösteriyorsa farklı taraflar, o zaman vektörler şöyle olacaktır: zıt yönler.
Tanımlar: Vektörlerin doğrusallığı olağan paralellik sembolüyle yazılır: , detaylandırma mümkündür: (vektörler birlikte yönlendirilir) veya (vektörler zıt yönlendirilir).
iş bir sayı üzerindeki sıfır olmayan bir vektör, uzunluğu eşit olan bir vektördür ve ve vektörleri, ile birlikte ve zıt olarak yönlendirilir.
Bir vektörü bir sayıyla çarpma kuralını bir resim yardımıyla anlamak daha kolaydır: 
Daha ayrıntılı olarak bakalım:
1) Yön. Çarpan negatifse, vektör yön değiştirir tam tersine.
2) Uzunluk. Çarpan veya içinde yer alıyorsa, vektörün uzunluğu azalır. Yani vektörün uzunluğu, vektörün uzunluğunun yarısı kadardır. Modülo çarpanı ise birden fazla, daha sonra vektör uzunluğu artar bazen.
3) Lütfen şunu unutmayın tüm vektörler eşdoğrusaldır, bir vektör diğeri aracılığıyla ifade edilirken, örneğin . Bunun tersi de doğrudur: Eğer bir vektör bir diğeri aracılığıyla ifade edilebiliyorsa, bu tür vektörler zorunlu olarak eşdoğrusaldır. Böylece: bir vektörü bir sayıyla çarparsak eşdoğrusal hale geliriz(orijinaline göre) vektör.
4) Vektörler birlikte yönlendirilir. Vektörler ve aynı zamanda ortak yönlendirilirler. Birinci grubun herhangi bir vektörü, ikinci grubun herhangi bir vektörüne göre zıt yönlüdür.
Hangi vektörler eşittir?
İki vektör aynı yöndeyse ve aynı uzunluk . Eş yönlülüğün, vektörlerin eşdoğrusallığını ima ettiğini unutmayın. Eğer şöyle dersek tanım hatalı (gereksiz) olacaktır: "İki vektör eğer aynı doğru üzerindeyse, eş yönlüyse ve aynı uzunluğa sahipse eşittir."
Serbest vektör kavramı açısından bakıldığında, eşit vektörler– bu, önceki paragrafta tartışılanla aynı vektördür.
Düzlemde ve uzayda vektör koordinatları
İlk nokta düzlemdeki vektörleri dikkate almaktır. Kartezyeni temsil edelim dikdörtgen sistem koordinatlar ve ertelediğimiz koordinatların başlangıç noktasından Bekar vektörler ve:
Vektörler ve ortogonal. Ortogonal = Dik. Terimlere yavaş yavaş alışmanızı öneririm: paralellik ve diklik yerine sırasıyla kelimeleri kullanıyoruz eşdoğrusallık Ve diklik.
Tanım: Vektörlerin ortogonalliği olağan diklik sembolüyle yazılır, örneğin: .
Göz önünde bulundurulan vektörlere denir koordinat vektörleri veya ort. Bu vektörler oluşur temel bir uçakta. Temelin ne olduğu sanırım pek çok kişi için sezgisel olarak açıktır. detaylı bilgi makalede bulunabilir Vektörlerin doğrusal (bağımsız) bağımlılığı. Vektörlerin temeli Basit bir deyişle, koordinatların temeli ve kökeni tüm sistemi tanımlar - bu, üzerinde tam ve zengin bir geometrik yaşamın kaynadığı bir tür temeldir.
Bazen inşa edilmiş temel denir ortonormal düzlemin temeli: "orto" - koordinat vektörleri dik olduğundan, "normalleştirilmiş" sıfatı birim anlamına gelir, yani. temel vektörlerin uzunlukları bire eşittir.
Tanım: temel genellikle parantez içinde yazılır; kesin sırayla temel vektörler listelenmiştir, örneğin: . Koordinat vektörleri yasak yeniden düzenleyin.
Herhangi düzlem vektör tek yolşu şekilde ifade edilir: 
, Nerede - sayılar bunlara denir vektör koordinatları V bu temelde. Ve ifadenin kendisi 
isminde vektör ayrışmasıtemelde .
Servis edilen akşam yemeği:
Alfabenin ilk harfiyle başlayalım: . Çizim, bir vektörü tabana ayrıştırırken az önce tartışılanların kullanıldığını açıkça göstermektedir:
1) bir vektörü bir sayıyla çarpma kuralı: ve;
2) Üçgen kuralına göre vektörlerin toplanması: .
Şimdi düzlemdeki herhangi bir noktadan vektörü zihinsel olarak çizin. Çürümesinin “amansızca onu takip edeceği” çok açık. İşte, vektörün özgürlüğü - vektör "her şeyi kendisiyle birlikte taşır." Bu özellik elbette her vektör için geçerlidir. Temel (serbest) vektörlerin başlangıç noktasından itibaren çizilmesine gerek olmaması komiktir; örneğin biri sol altta, diğeri sağ üstte çizilebilir ve hiçbir şey değişmez! Doğru, bunu yapmanıza gerek yok, çünkü öğretmen de özgünlük gösterecek ve beklenmedik bir yerde size bir "kredi" çekecektir.
Vektörler, bir vektörü bir sayıyla çarpma kuralını tam olarak gösterir; vektör, temel vektörle birlikte yönlendirilir, vektör, temel vektörün tersi yönde yönlendirilir. Bu vektörler için koordinatlardan biri sıfıra eşitse bunu şu şekilde titizlikle yazabilirsiniz:
Ve bu arada temel vektörler şöyle: (aslında kendileri aracılığıyla ifade ediliyorlar).
Ve son olarak: , . Bu arada, vektör çıkarma nedir ve çıkarma kuralından neden bahsetmedim? İçinde bir yerde doğrusal cebir, nerede olduğunu hatırlamıyorum, çıkarma işleminin yapıldığını not ettim özel durum ek. Böylece “de” ve “e” vektörlerinin açılımları kolaylıkla toplam olarak yazılabilir: , 
. Terimleri yeniden düzenleyin ve çizimde vektörlerin üçgen kuralına göre eski güzel toplamının bu durumlarda ne kadar işe yaradığını görün.
Formun dikkate alınan ayrıştırması 
bazen vektör ayrıştırması denir ort sisteminde(yani birim vektörlerden oluşan bir sistemde). Ancak bir vektör yazmanın tek yolu bu değildir, yaygındır. sonraki seçenek:
Veya eşittir işaretiyle:
Temel vektörlerin kendisi şu şekilde yazılır: ve
Yani vektörün koordinatları parantez içinde gösterilmiştir. İÇİNDE pratik problemler Her üç kayıt seçeneği de kullanılır.
Konuşup konuşmamak konusunda kararsızdım ama yine de söyleyeyim: vektör koordinatları yeniden düzenlenemez. Kesinlikle ilk sırada birim vektöre karşılık gelen koordinatı yazıyoruz, kesinlikle ikinci sırada birim vektöre karşılık gelen koordinatı yazıyoruz. Aslında ve iki farklı vektördür.
Uçağın koordinatlarını bulduk. Şimdi üç boyutlu uzayda vektörlere bakalım, burada hemen hemen her şey aynı! Sadece bir koordinat daha ekleyecek. Üç boyutlu çizimler yapmak zordur, bu yüzden kendimi bir vektörle sınırlayacağım ve basitlik açısından onu orijinden ayıracağım: 
Herhangi vektör üç boyutlu uzay Olabilmek tek yol
ortonormal bir temele göre genişletin: 
, bu temelde vektörün (sayı) koordinatları nerededir.
Resimden örnek: 
. Burada vektör kurallarının nasıl çalıştığını görelim. Öncelikle vektörü şu sayıyla çarpın: (kırmızı ok), (yeşil ok) ve (ahududu oku). İkinci olarak, burada birkaç, bu durumda üç vektörün eklenmesine ilişkin bir örnek verilmiştir: . Toplam vektörü şurada başlar: başlangıç noktası kalkış (vektörün başlangıcı) ve son varış noktasında (vektörün sonu) sona erer.
Üç boyutlu uzayın tüm vektörleri de doğal olarak özgürdür; vektörü zihinsel olarak başka herhangi bir noktadan ayırmaya çalışın ve onun ayrışmasının "onunla kalacağını" anlayacaksınız.
Düz kasaya benzer, yazıya ek olarak 
parantezli versiyonlar yaygın olarak kullanılmaktadır: ya .
Genişletmede bir (veya iki) koordinat vektörü eksikse, onların yerine sıfırlar konur. Örnekler:
vektör (titizlikle 
) – hadi yazalım;
vektör (titizlikle 
) – hadi yazalım;
vektör (titizlikle 
) – hadi yazalım.
Temel vektörler yazılmıştır aşağıdaki gibi:
Bu muhtemelen minimum miktardır teorik bilgi Analitik geometri problemlerinin çözümü için gereklidir. Çok fazla terim ve tanım olabilir, bu yüzden aptalların tekrar okuyup anlamasını öneririm bu bilgi Tekrar. Ve herhangi bir okuyucunun başvurması faydalı olacaktır. temel dersİçin daha iyi emilim malzeme. Eşdoğrusallık, ortogonallik, ortonormal temel, vektör ayrıştırması - bunlar ve diğer kavramlar gelecekte sıklıkla kullanılacaktır. Tüm teoremleri dikkatlice (ve kanıt olmadan) şifrelediğim için sitedeki materyallerin teorik bir testi veya geometri konferansını geçmek için yeterli olmadığını belirtmek isterim. bilimsel tarz Sunum, ancak konuyu anlamanıza bir artı. Detaylı teorik bilgi almak için lütfen Profesör Atanasyan'ın önünde eğilin.
Ve pratik kısma geçiyoruz:
Analitik geometrinin en basit problemleri.
Koordinatlardaki vektörlerle yapılan işlemler
Tamamen otomatik olarak değerlendirilecek görevlerin ve formüllerin nasıl çözüleceğini öğrenmeniz önemle tavsiye edilir. ezberlemek, özellikle hatırlamıyorum bile, kendilerini hatırlayacaklar =) Bu çok önemli, çünkü en basitinde temel örnekler Analitik geometrinin diğer problemleri temel alınır ve harcamak can sıkıcı olacaktır. ekstra zaman piyon yemek için. Gömleğinizin üst düğmelerini iliklemenize gerek yok; okuldan aşina olduğunuz birçok şey var.
Materyalin sunumu hem uçak hem de uzay açısından paralel bir seyir izleyecek. Çünkü tüm formülleri... kendiniz göreceksiniz.
İki noktadan bir vektör nasıl bulunur?
Düzlemin iki noktası verilirse, vektör aşağıdaki koordinatlara sahiptir: 
Uzayda iki nokta verilirse, vektör aşağıdaki koordinatlara sahiptir:
Yani, vektörün sonunun koordinatlarından karşılık gelen koordinatları çıkarmanız gerekir vektörün başlangıcı.
Egzersiz yapmak: Aynı noktalar için vektörün koordinatlarını bulma formüllerini yazın. Dersin sonunda formüller.
Örnek 1
Düzlemin iki noktası verildiğinde ve . Vektör koordinatlarını bulun
Çözüm: ilgili formüle göre:
Alternatif olarak aşağıdaki giriş kullanılabilir:
Buna estetik karar verecek:
Şahsen ben kaydın ilk versiyonuna alışkınım.
Cevap:
Koşula göre, bir çizim oluşturmak gerekli değildi (ki bu analitik geometri problemleri için tipiktir), ancak kuklalar için bazı noktaları açıklığa kavuşturmak için tembel olmayacağım: 
Kesinlikle anlamalısın nokta koordinatları ve vektör koordinatları arasındaki fark:
Nokta koordinatları– bunlar dikdörtgen koordinat sistemindeki sıradan koordinatlardır. Puanları koy koordinat düzlemi 5-6. sınıftan itibaren herkesin yapabileceğini düşünüyorum. Her noktanın düzlemde kesin bir yeri vardır ve hiçbir yere taşınamazlar.
Vektörün koordinatları– bu, bu durumda temele göre genişlemesidir. Herhangi bir vektör serbesttir, dolayısıyla gerekirse onu düzlemdeki başka bir noktadan kolaylıkla uzaklaştırabiliriz. İlginçtir ki vektörler için eksen veya dikdörtgen koordinat sistemi oluşturmanıza gerek yoktur; sadece bir tabana, bu durumda düzlemin ortonormal tabanına ihtiyacınız vardır.
Noktaların koordinatları ile vektörlerin koordinatlarının kayıtları benzer görünmektedir: , ve koordinatların anlamı kesinlikle farklı ve bu farkın çok iyi farkında olmalısınız. Bu fark elbette uzay için de geçerli.
Bayanlar ve baylar, ellerimizi dolduralım:
Örnek 2
a) Puan ve verilir. Vektörleri bulun ve .
b) Puan verilir 
Ve . Vektörleri bulun ve .
c) Puan ve verilir. Vektörleri bulun ve .
d) Puan verilir. Vektörleri bulun 
.
Belki bu yeterlidir. Bunlar için örnekler bağımsız karar, onları ihmal etmemeye çalışın, karşılığını alacaktır ;-). Çizim yapmaya gerek yoktur. Dersin sonunda çözümler ve cevaplar.
Analitik geometri problemlerini çözerken önemli olan nedir? Ustaca yapılan “iki artı iki eşittir sıfır” hatasını yapmamak için SON DERECE DİKKATLİ olmak önemlidir. Bir yerde hata yaptıysam hemen özür dilerim =)
Bir segmentin uzunluğu nasıl bulunur?
Uzunluk, daha önce belirtildiği gibi modül işaretiyle gösterilir.
Düzlemin iki noktası verilirse ve o zaman parçanın uzunluğu formül kullanılarak hesaplanabilir.
Uzayda iki nokta verilirse, parçanın uzunluğu aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir.
Not: Karşılık gelen koordinatlar değiştirilirse formüller doğru kalacaktır: ve , ancak ilk seçenek daha standarttır
Örnek 3
Çözüm: ilgili formüle göre:
Cevap: 
Netlik sağlamak için bir çizim yapacağım 
Segment – bu bir vektör değil ve tabii ki onu hiçbir yere taşıyamazsınız. Ayrıca ölçekli çizim yaparsanız: 1 birim. = 1 cm (iki dizüstü bilgisayar hücresi), o zaman ortaya çıkan cevap, parçanın uzunluğu doğrudan ölçülerek normal bir cetvelle kontrol edilebilir.
Evet çözüm kısa ama içinde birkaç tane daha var önemli noktalarşunu açıklığa kavuşturmak isterim:
Öncelikle cevaba boyutu koyuyoruz: “birimler”. Koşul ne olduğunu söylemiyor; milimetre, santimetre, metre veya kilometre. Bu nedenle, matematiksel olarak doğru bir çözüm, genel formülasyon olacaktır: "birimler" - "birimler" olarak kısaltılır.
İkinci olarak tekrarlayalım okul materyali, bu yalnızca ele alınan sorun için yararlı değildir:
lütfen aklınızda bulundurun önemli teknik teknik
– çarpanı kökün altından kaldırmak. Hesaplamalar sonucunda bir sonuç elde ediyoruz ve iyi bir matematik stili, faktörün (mümkünse) kökün altından çıkarılmasını içerir. Daha ayrıntılı olarak süreç şöyle görünür: 
. Elbette cevabı olduğu gibi bırakmak bir hata olmayacaktır - ancak bu kesinlikle bir eksiklik ve öğretmen açısından saçma sapan bir argüman olacaktır.
İşte diğer yaygın durumlar: 
Çoğunlukla kökte yeterli miktarda bulunur büyük sayı, Örneğin . Bu gibi durumlarda ne yapmalı? Hesap makinesini kullanarak sayının 4'e bölünüp bölünmediğini kontrol ederiz: . Evet, tamamen bölünmüştü, dolayısıyla: 
. Ya da belki sayı tekrar 4'e bölünebilir? . Böylece: 
. Sayının son rakamı tek olduğundan üçüncü kez 4'e bölmek elbette işe yaramayacaktır. Dokuza bölmeye çalışalım: . Sonuç olarak:
Hazır.
Çözüm: kökün altında bir bütün olarak çıkarılamayan bir sayı alırsak, o zaman faktörü kökün altından kaldırmaya çalışırız - bir hesap makinesi kullanarak sayının şu şekilde bölünebilir olup olmadığını kontrol ederiz: 4, 9, 16, 25, 36, 49 vb.
Karar sırasında çeşitli görevler Kökler yaygındır, öğretmenin yorumlarına göre çözümlerinizi sonuçlandırırken daha düşük not almaktan ve gereksiz sorunlardan kaçınmak için her zaman faktörleri kökün altından çıkarmaya çalışın.
Köklerin karesini almayı ve diğer kuvvetleri de tekrarlayalım: 
Derecesi olan eylemler için kurallar genel görünümşurada bulunabilir okul ders kitabı cebirde, ancak verilen örneklerden her şeyin veya hemen hemen her şeyin zaten açık olduğunu düşünüyorum.
Uzayda bir segmentle bağımsız çözüm görevi:
Örnek 4
Puanlar ve verilir. Segmentin uzunluğunu bulun.
Çözüm ve cevap dersin sonundadır.
Bir vektörün uzunluğu nasıl bulunur?
Bir düzlem vektörü verilirse uzunluğu formülle hesaplanır.
Bir uzay vektörü verilirse uzunluğu formülle hesaplanır. 
.
Vektörler. Vektörlerle yapılan eylemler. Bu yazımızda vektörün ne olduğu, uzunluğunun nasıl bulunacağı, bir vektörün bir sayı ile çarpılmasının yanı sıra iki vektörün toplamı, farkı ve skaler çarpımının nasıl bulunacağından bahsedeceğiz.
Her zamanki gibi, en gerekli teoriden biraz.
Bir vektör yönlendirilmiş bir bölümdür, yani başlangıcı ve sonu olan bir bölümdür:
Burada A noktası vektörün başlangıcı, B noktası ise sonudur.
Bir vektörün iki parametresi vardır: uzunluğu ve yönü.
Bir vektörün uzunluğu, vektörün başlangıcını ve sonunu birleştiren parçanın uzunluğudur. Vektör uzunluğu gösterilir
İki vektörün eşit olduğu söyleniyor, eğer aynı uzunluğa sahiplerse ve hizalanmışlarsa.
İki vektör denir ortak yönetmen, paralel çizgiler üzerinde uzanıyorlarsa ve aynı yönde yönlendiriliyorlarsa: vektörler ve eş yönlü:
İki vektör, paralel çizgiler üzerinde yer alıyorsa ve zıt yönlere yönlendiriliyorsa zıt yönlü olarak adlandırılır: vektörler ve ve ayrıca ve zıt yönlere yönlendirilir:
Paralel çizgiler üzerinde bulunan vektörlere eşdoğrusal denir: vektörler ve eşdoğrusaldırlar.
Bir vektörün çarpımı title="k>0 ise sayıya vektörle eş yönlü bir vektör denir">, и направленный в !} karşı taraf, eğer , ve uzunluğu vektörün uzunluğunun çarpımına eşit olan:
İle iki vektör ekle ve vektörün başlangıcını vektörün sonuna bağlamanız gerekir. Toplam vektörü, vektörün başlangıcını vektörün sonuna bağlar:
Bu vektör toplama kuralına denir üçgen kuralı.
İki vektörü eklemek için paralelkenar kuralı, vektörleri bir noktadan ertelemeniz ve bunları bir paralelkenar haline getirmeniz gerekir. Toplam vektörü, vektörlerin başlangıç noktasını şuna bağlar: ters açı paralelkenar:
İki vektörün farkı Toplamla belirlenir: vektörlerin farkı ve böyle bir vektör olarak adlandırılır, bu vektörün toplamı ile vektörü verir:
Bundan şu sonuç çıkıyor iki vektörün farkını bulma kuralı: Bir vektörü bir vektörden çıkarmak için bu vektörleri bir noktadan çizmeniz gerekir. Fark vektörü, vektörün ucunu vektörün sonuna bağlar (yani, çıkarmanın ucunu eksilemenin sonuna kadar):
Bulmak için vektör ve vektör arasındaki açı, bu vektörleri bir noktadan çizmeniz gerekir. Vektörlerin üzerinde bulunduğu ışınların oluşturduğu açıya vektörler arasındaki açı denir:
İki vektörün skaler çarpımı sayıdır ürüne eşit bu vektörlerin uzunlukları, aralarındaki açının kosinüsüne göre:
Sorunları çözmenizi öneririm Açık Banka için görevler ve ardından çözümünüzü VİDEO ÖĞRETİCİLERİ ile kontrol edin:
1. Görev 4 (No. 27709)
Bir dikdörtgenin iki kenarı ABCD 6 ve 8'e eşittir. ve vektörleri arasındaki farkın uzunluğunu bulun.
2. Görev 4 (No. 27710)
Bir dikdörtgenin iki kenarı ABCD 6 ve 8'e eşittir. ve vektörlerinin skaler çarpımını bulun. (önceki görevden çizim).
3. Görev 4 (No. 27711)
Bir dikdörtgenin iki kenarı ABCD O. Ve vektörlerinin toplamının uzunluğunu bulun.
4. Görev 4 (No. 27712)
Bir dikdörtgenin iki kenarı ABCD 6 ve 8'e eşittir. Köşegenler bir noktada kesişir O. ve vektörleri arasındaki farkın uzunluğunu bulun. (önceki görevden çizim).
5. Görev 4 (No. 27713)
Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri ABCD 12 ve 16'ya eşittir. Vektörün uzunluğunu bulun.
6. Görev 4 (No. 27714)
Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri ABCD 12 ve 16'ya eşittir. + vektörünün uzunluğunu bulun.
7.Görev 4 (No. 27715)
Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri ABCD 12 ve 16'ya eşittir. - vektörünün uzunluğunu bulun (önceki problemden çizim yaparak).
8.Görev 4 (No. 27716)
Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri ABCD 12 ve 16'ya eşittir. - vektörünün uzunluğunu bulun.
9. Görev 4 (No. 27717)
Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri ABCD bir noktada kesişmek O ve 12 ve 16'ya eşittir. + vektörünün uzunluğunu bulun.
10. Görev 4 (No. 27718)
Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri ABCD bir noktada kesişmek O ve 12 ve 16'ya eşittir. - vektörünün uzunluğunu bulun (önceki problemden çizim yaparak).
11.Görev 4 (No. 27719)
Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri ABCD bir noktada kesişmek O ve 12 ve 16'ya eşittir. ve vektörlerinin skaler çarpımını bulun (önceki problemden çizim).
12. Görev 4 (No. 27720)
ABC eşittir + vektörünün uzunluğunu bulun.
13. Görev 4 (No. 27721)
Düzenli bir üçgenin kenarları ABC 3'e eşittir. - vektörünün uzunluğunu bulun (önceki problemden çizim).
14. Görev 4 (No. 27722)
Düzenli bir üçgenin kenarları ABC 3'e eşittir. ve vektörlerinin skaler çarpımını bulun. (önceki görevden çizim).
Tarayıcınız muhtemelen desteklenmiyor. Eğiticiyi kullanmak için " Birleşik Devlet Sınav Saati", indirmeyi deneyin
Firefox
Öncelikle vektör kavramını anlamamız gerekiyor. Tanımı tanıtmak için geometrik vektör Segmentin ne olduğunu hatırlayalım. Aşağıdaki tanımı tanıtalım.
Tanım 1
Segment, nokta şeklinde iki sınırı olan bir çizginin parçasıdır.
Bir segmentin 2 yönü olabilir. Yönü belirtmek için parçanın sınırlarından birine başlangıcı, diğer sınırına da sonu diyeceğiz. Yön, segmentin başlangıcından sonuna kadar gösterilir.
Tanım 2
Bir vektör veya yönlendirilmiş bölüm, bölümün sınırlarının hangisinin başlangıç, hangisinin sonu olduğu bilinen bir bölüm olacaktır.
Tanım: İki harfle: $\overline(AB)$ – (burada $A$ başlangıcı ve $B$ sonudur).
Küçük bir harfle: $\overline(a)$ (Şekil 1).
Şimdi doğrudan vektör uzunlukları kavramını tanıtalım.
Tanım 3
$\overline(a)$ vektörünün uzunluğu, $a$ segmentinin uzunluğu olacaktır.
Gösterim: $|\overline(a)|$
Vektör uzunluğu kavramı, örneğin iki vektörün eşitliği gibi bir kavramla ilişkilidir.
Tanım 4
İki koşulu karşılıyorlarsa iki vektöre eşit diyeceğiz: 1. Eş yönlüdürler; 1. Uzunlukları eşittir (Şek. 2).
Vektörleri tanımlamak için bir koordinat sistemi girin ve girilen sistemdeki vektörün koordinatlarını belirleyin. Bildiğimiz gibi, herhangi bir vektör $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ biçiminde ayrıştırılabilir; burada $m$ ve $n$ gerçek sayılar ve $\overline(i)$ ve $\overline(j)$ sırasıyla $Ox$ ve $Oy$ eksenindeki birim vektörlerdir.
Tanım 5
$\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ vektörünün genişleme katsayılarına, tanıtılan koordinat sistemindeki bu vektörün koordinatları adını vereceğiz. Matematiksel olarak:
$\overline(c)=(m,n)$
Bir vektörün uzunluğu nasıl bulunur?
Koordinatları verilen rastgele bir vektörün uzunluğunu hesaplamaya yönelik bir formül türetmek için aşağıdaki problemi göz önünde bulundurun:
Örnek 1
Verilen: $(x,y)$ koordinatlarına sahip $\overline(α)$ vektörü. Bul: Bu vektörün uzunluğu.
Düzlemde Kartezyen koordinat sistemi $xOy$'ı tanıtalım. Tanıtılan koordinat sisteminin başlangıç noktalarından $\overline(OA)=\overline(a)$'ı bir kenara bırakalım. Oluşturulan vektörün $Ox$ ve $Oy$ eksenleri üzerinde sırasıyla $OA_1$ ve $OA_2$ projeksiyonlarını oluşturalım (Şekil 3).
Oluşturduğumuz $\overline(OA)$ vektörü $A$ noktasının yarıçap vektörü olacaktır, dolayısıyla $(x,y)$ koordinatlarına sahip olacaktır, yani
$=x$, $[OA_2]=y$
Artık gerekli uzunluğu Pisagor teoremini kullanarak kolayca bulabiliriz.
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
Cevap: $\sqrt(x^2+y^2)$.
Çözüm: Koordinatları verilen bir vektörün uzunluğunu bulmak için bu koordinatların toplamının karesinin kökünü bulmak gerekir.
Örnek görevler
Örnek 2
Aşağıdaki koordinatlara sahip $X$ ve $Y$ noktaları arasındaki mesafeyi bulun: sırasıyla $(-1.5)$ ve $(7.3)$.
Herhangi iki nokta kolaylıkla bir vektör kavramıyla ilişkilendirilebilir. Örneğin $\overline(XY)$ vektörünü düşünün. Zaten bildiğimiz gibi, böyle bir vektörün koordinatları koordinatlardan çıkarılarak bulunabilir. bitiş noktası($Y$) başlangıç noktasının ($X$) karşılık gelen koordinatları. Bunu anlıyoruz
Öncelikle vektör kavramını anlamamız gerekiyor. Geometrik vektörün tanımını tanıtmak için parçanın ne olduğunu hatırlayalım. Aşağıdaki tanımı tanıtalım.
Tanım 1
Segment, nokta şeklinde iki sınırı olan bir çizginin parçasıdır.
Bir segmentin 2 yönü olabilir. Yönü belirtmek için parçanın sınırlarından birine başlangıcı, diğer sınırına da sonu diyeceğiz. Yön, segmentin başlangıcından sonuna kadar gösterilir.
Tanım 2
Bir vektör veya yönlendirilmiş bölüm, bölümün sınırlarının hangisinin başlangıç, hangisinin sonu olduğu bilinen bir bölüm olacaktır.
Tanım: İki harfle: $\overline(AB)$ – (burada $A$ başlangıcı ve $B$ sonudur).
Küçük bir harfle: $\overline(a)$ (Şekil 1).
Şimdi doğrudan vektör uzunlukları kavramını tanıtalım.
Tanım 3
$\overline(a)$ vektörünün uzunluğu, $a$ segmentinin uzunluğu olacaktır.
Gösterim: $|\overline(a)|$
Vektör uzunluğu kavramı, örneğin iki vektörün eşitliği gibi bir kavramla ilişkilidir.
Tanım 4
İki koşulu karşılıyorlarsa iki vektöre eşit diyeceğiz: 1. Eş yönlüdürler; 1. Uzunlukları eşittir (Şek. 2).
Vektörleri tanımlamak için bir koordinat sistemi girin ve girilen sistemdeki vektörün koordinatlarını belirleyin. Bildiğimiz gibi, herhangi bir vektör $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ biçiminde ayrıştırılabilir; burada $m$ ve $n$ gerçek sayılardır ve $\overline (i )$ ve $\overline(j)$ sırasıyla $Ox$ ve $Oy$ eksenindeki birim vektörlerdir.
Tanım 5
$\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ vektörünün genişleme katsayılarına, tanıtılan koordinat sistemindeki bu vektörün koordinatları adını vereceğiz. Matematiksel olarak:
$\overline(c)=(m,n)$
Bir vektörün uzunluğu nasıl bulunur?
Koordinatları verilen rastgele bir vektörün uzunluğunu hesaplamaya yönelik bir formül türetmek için aşağıdaki problemi göz önünde bulundurun:
Örnek 1
Verilen: $(x,y)$ koordinatlarına sahip $\overline(α)$ vektörü. Bul: Bu vektörün uzunluğu.
Düzlemde Kartezyen koordinat sistemi $xOy$'ı tanıtalım. Tanıtılan koordinat sisteminin başlangıç noktalarından $\overline(OA)=\overline(a)$'ı bir kenara bırakalım. Oluşturulan vektörün $Ox$ ve $Oy$ eksenleri üzerinde sırasıyla $OA_1$ ve $OA_2$ projeksiyonlarını oluşturalım (Şekil 3).
Oluşturduğumuz $\overline(OA)$ vektörü $A$ noktasının yarıçap vektörü olacaktır, dolayısıyla $(x,y)$ koordinatlarına sahip olacaktır, yani
$=x$, $[OA_2]=y$
Artık gerekli uzunluğu Pisagor teoremini kullanarak kolayca bulabiliriz.
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
Cevap: $\sqrt(x^2+y^2)$.
Çözüm: Koordinatları verilen bir vektörün uzunluğunu bulmak için bu koordinatların toplamının karesinin kökünü bulmak gerekir.
Örnek görevler
Örnek 2
Aşağıdaki koordinatlara sahip $X$ ve $Y$ noktaları arasındaki mesafeyi bulun: sırasıyla $(-1.5)$ ve $(7.3)$.
Herhangi iki nokta kolaylıkla bir vektör kavramıyla ilişkilendirilebilir. Örneğin $\overline(XY)$ vektörünü düşünün. Zaten bildiğimiz gibi, böyle bir vektörün koordinatları, başlangıç noktasının karşılık gelen koordinatlarının ($X$) bitiş noktasının koordinatlarından ($Y$) çıkarılmasıyla bulunabilir. Bunu anlıyoruz