Ev Vektörler grafiksel olarak yönlendirilmiş bölümlerle temsil edilebilir. Uzunluk, belirtmek için belirli bir ölçekte seçilir vektör büyüklüğü ve segmentin yönü temsil eder vektör yönü
. Örneğin 1 cm'nin 5 km/saat'i temsil ettiğini varsayarsak, 15 km/saat hızla gelen kuzeydoğu rüzgarı şekilde görüldüğü gibi 3 cm uzunluğunda bir yön parçası ile temsil edilecektir. Vektör bir düzlemde yönlendirilmiş bir bölümdür. iki vektör eşit eğer aynı şeye sahiplerse boyut Ve.
yön A noktasından B noktasına çizilen bir vektörü düşünün. Bu noktaya denir. başlangıç noktası vektör ve B noktasına denir bitiş noktası . Bu vektörün sembolik gösterimi şöyledir (“vektör AB” olarak okunur). Vektörler ayrıca U, V ve W gibi kalın harflerle de temsil edilir. Soldaki şekildeki dört vektör aynı uzunluğa ve yöne sahiptir. Bu nedenle temsil ediyorlar eşit 
rüzgarlar; yani
Vektörler bağlamında eşit olduklarını belirtmek için = kullanırız. Uzunluk veya büyüklük
|| olarak ifade edilir. Vektörlerin eşit olup olmadığını belirlemek için büyüklüklerini ve yönlerini buluyoruz.Örnek 1 
u, , w vektörleri aşağıdaki şekilde gösterilmektedir. u = = w olduğunu kanıtlayın.Çözüm
Öncelikle uzaklık formülünü kullanarak her vektörün uzunluğunu buluyoruz:
|| = √ 2 + 2
= √9 + 1
= √10
,
|u| = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|w| = √(4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10 .
Buradan
|u| = | = |w|. 
Şekilden de görülebileceği gibi u, , ve w vektörleri aynı yöne sahip gibi görünmektedir ancak eğimlerini kontrol edeceğiz. Bulundukları çizgiler aynı eğimlere sahipse, vektörler aynı yöne sahiptir. Eğimleri hesaplıyoruz:
u, , ve w eşit büyüklükte ve aynı yönde olduğundan,
sen = = w.
Eşit vektörlerin aynı konumu değil, yalnızca aynı büyüklüğü ve aynı yönü gerektirdiğini unutmayın. En üstteki şekil vektör eşitliğinin bir örneğini göstermektedir. Bir kişinin doğuya 4 adım attığını ve ardından kuzeye 3 adım attığını varsayalım. Kişi daha sonra başlangıç noktasından solda gösterilen yönde 5 adım uzakta olacaktır. 4 birim uzunluğunda ve yönü sağa doğru olan bir vektör 4 adım doğuyu temsil eder ve yönü yukarı doğru olan 3 birim uzunluğunda bir vektör 3 adım kuzeyi temsil eder. Bu iki vektörden 5 adım büyüklüğünde ve gösterilen yönde bir vektör vardır. Tutar da denir sonuçta iki vektör.
Genel olarak, sıfırdan farklı iki vektör u ve v, v vektörünün başlangıç noktasının u vektörünün bitiş noktasına yerleştirilmesi ve ardından u vektörüyle aynı başlangıç noktasına ve aynı bitiş noktasına sahip bir vektör bulunmasıyla geometrik olarak toplanabilir. aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi v vektörünü işaretleyin. 
Toplam, u vektörünün A noktasından v vektörünün C uç noktasına kadar yönlendirilmiş bir parça ile temsil edilen bir vektördür. Böylece, eğer u = ve v = ise, o zaman
sen + v = + =
Vektör toplama işlemini, vektörlerin başlangıç noktalarını bir araya getirerek paralelkenar oluşturma ve paralelkenarın köşegenini bulma olarak da tanımlayabiliriz. (aşağıdaki şekilde.) Bu eklemeye bazen şu ad verilir: paralelkenar kuralı
vektörlerin eklenmesi. Vektör toplama değişmelidir. Şekilde gösterildiği gibi, u + v ve v + u vektörlerinin her ikisi de aynı yönlü çizgi parçasıyla temsil edilmektedir. 
Eğer F 1 ve F 2 kuvvetleri bir cisme etki ediyorsa, sonuçta kuvvet bu iki ayrı kuvvetin F 1 + F 2 toplamıdır. 
Örnek Birbirine dik olan bir cisme 15 newton ve 25 newtonluk iki kuvvet etki ediyor. Toplamlarını veya ortaya çıkan kuvveti ve daha büyük kuvvetle yaptığı açıyı bulun.
u, , w vektörleri aşağıdaki şekilde gösterilmektedir. u = = w olduğunu kanıtlayın. Sorunun koşulunu, bu durumda sonucu temsil etmek için v veya kullanarak bir dikdörtgen çizelim. Değerini bulmak için Pisagor teoremini kullanırız:
|v| 2 = 15 2 + 25 2 Burada |v| v'nin uzunluğunu veya büyüklüğünü belirtir.
|v| = √15 2 + 25 2
|v| ≈ 29.2.
Yönü bulmak için OAB dik açı olduğundan şunu unutmayın:
tanθ = 15/25 = 0,6.
Bir hesap makinesi kullanarak, daha büyük kuvvetin net kuvvetle yaptığı açı olan θ'yı buluruz:
θ = ten rengi - 1 (0,6) ≈ 31°
Ortaya çıkan sonucun büyüklüğü 29,2'dir ve daha büyük bir kuvvetle 31°'lik bir açıya sahiptir.
Yan rüzgar olması durumunda pilotlar uçuş yönlerini ayarlayabilirler. Bir uçağın rüzgarı ve hızı rüzgarlarla temsil edilebilir.
Örnek 3. Uçak hızı ve yönü. Uçak 100°'lik bir azimutta 190 km/saat hızla hareket ederken rüzgar hızı 48 km/saat ve azimutu 220°'dir. Rüzgarı hesaba katarak uçağın mutlak hızını ve hareket yönünü bulun.
u, , w vektörleri aşağıdaki şekilde gösterilmektedir. u = = w olduğunu kanıtlayın.Önce bir çizim yapalım. Rüzgar temsil edilir ve uçağın hız vektörü . Ortaya çıkan hız vektörü, iki vektörün toplamı olan v'dir. v ile arasındaki θ açısına denir sürüklenme açısı
.
COA değerinin = 100° - 40° = 60° olduğunu unutmayın. O halde CBA değeri de 60°'ye eşittir (paralelkenarın karşıt açıları eşittir). Paralelkenarın tüm açılarının toplamı 360° olduğundan ve COB ile OAB aynı büyüklükte olduğundan her birinin 120° olması gerekir. İle kosinüs kuralı
OAB'de, elimizde
|v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120°
|v| 2 = 47,524
|v| = 218
Daha sonra |v| 218 km/saat'e eşittir. Buna göre sinüs kuralı
, aynı üçgende,
48
/sinθ = 218
/günah 120°,
veya
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11°
O halde θ = 11°, en yakın tamsayı açısına kadar. Mutlak hız 218 km/saattir ve rüzgar dikkate alınarak hareket yönü: 100° - 11° veya 89°.
Bir w vektörü verildiğinde, toplamı w olan iki başka u ve v vektörünü bulabiliriz. u ve v vektörlerine denir bileşenler w ve onları bulma sürecine denir ayrışma veya bir vektörün vektör bileşenleriyle temsili.
Bir vektörü genişlettiğimizde genellikle dik bileşenleri ararız. Ancak çoğu zaman bir bileşen x eksenine paralel olurken diğeri y eksenine paralel olacaktır. Bu nedenle sıklıkla denir yatay
boyut dikey
vektör bileşenleri. Aşağıdaki şekilde w = vektörü, u = ve v ='nin toplamı olarak ayrıştırılmıştır. 
W'nin yatay bileşeni u ve dikey bileşeni v'dir.
Örnek 4 w vektörünün büyüklüğü 130'dur ve yataya göre 40°'lik bir eğime sahiptir. Vektörü yatay ve dikey bileşenlere ayırın.
u, , w vektörleri aşağıdaki şekilde gösterilmektedir. u = = w olduğunu kanıtlayın.Öncelikle toplamı w olan yatay ve dikey u ve v vektörlerini içeren bir resim çizeceğiz. 
ABC'den |u|'yu buluyoruz ve |v|, kosinüs ve sinüs tanımlarını kullanarak:
cos40° = |u|/130 veya |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130 veya |v| = 130.sin40° ≈ 84.
O zaman w'nin yatay bileşeni sağa doğru 100, dikey bileşeni ise yukarıya doğru 84'tür.
Uzayın temeli uzaydaki diğer tüm vektörlerin tabana dahil edilen vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebildiği böyle bir vektör sistemi adını veriyorlar.
Pratikte bunların hepsi oldukça basit bir şekilde uygulanır. Temel, kural olarak bir düzlemde veya uzayda kontrol edilir ve bunun için vektör koordinatlarından oluşan ikinci, üçüncü dereceden bir matrisin determinantını bulmanız gerekir. Aşağıda şematik olarak yazılmıştır vektörlerin temel oluşturduğu koşullar
İle b vektörünü temel vektörlere genişlet
e,e...,e[n] e,e...,e[n] vektörlerinin doğrusal kombinasyonunun aşağıdakilere eşit olduğu x, ..., x[n] katsayılarını bulmak gerekir. vektör B:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Bunun için vektör denkleminin lineer denklem sistemine dönüştürülmesi ve çözümlerinin bulunması gerekir. Bunun uygulanması da oldukça basittir.
Bulunan katsayılar x, ..., x[n] olarak adlandırılır b vektörünün koordinatları e,e...,e[n].
Konunun pratik tarafına geçelim.
Bir vektörün temel vektörlere ayrıştırılması
Görev 1. a1, a2 vektörlerinin düzlemde bir temel oluşturup oluşturmadığını kontrol edin
1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Çözüm: Vektörlerin koordinatlarından bir determinant oluşturup hesaplıyoruz
Determinant sıfır değil, buradan vektörler doğrusal olarak bağımsızdır, yani bir temel oluştururlar.
2) a1 (2; -3), a2 (5;-1)
Çözüm: Vektörlerden oluşan determinantı hesaplıyoruz 
Determinant 13'e eşittir (sıfıra eşit değildir) - bundan a1, a2 vektörlerinin düzlemde bir temel olduğu sonucu çıkar.
---=================---
"Yüksek Matematik" disiplinindeki MAUP programından tipik örneklere bakalım.
Görev 2. a1, a2, a3 vektörlerinin üç boyutlu bir vektör uzayının temelini oluşturduğunu gösterin ve b vektörünü bu temele göre genişletin (bir doğrusal cebirsel denklem sistemini çözerken Cramer yöntemini kullanın).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Çözüm: Öncelikle a1, a2, a3 vektör sistemini düşünün ve A matrisinin determinantını kontrol edin.
sıfır olmayan vektörler üzerine inşa edilmiştir. Matris bir sıfır elemanı içerir, bu nedenle determinantı birinci sütunda veya üçüncü satırda bir çizelge olarak hesaplamak daha uygundur. 
Hesaplamalar sonucunda determinantın sıfırdan farklı olduğunu gördük, dolayısıyla a1, a2, a3 vektörleri doğrusal olarak bağımsızdır.
Tanım gereği vektörler R3'te bir temel oluşturur. b vektörünün zamanlamasını aşağıdakilere göre yazalım: 
Karşılık gelen koordinatları eşit olduğunda vektörler eşittir.
Bu nedenle vektör denkleminden bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz 
SLAE'yi çözelim Cramer'in yöntemi. Bunu yapmak için denklem sistemini şu şekilde yazıyoruz:
Bir SLAE'nin ana determinantı her zaman temel vektörlerden oluşan determinantına eşittir
Bu nedenle pratikte iki kez sayılmaz. Yardımcı determinantları bulmak için, ana determinantın her sütununun yerine serbest terimlerden oluşan bir sütun koyarız. Determinantlar üçgen kuralı kullanılarak hesaplanır 
Bulunan determinantları Cramer formülünde yerine koyalım 
Yani b vektörünün tabana göre açılımı b=-4a1+3a2-a3 şeklindedir. b vektörünün a1, a2, a3 tabanındaki koordinatları (-4,3, 1) olacaktır.
2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Çözüm: Vektörleri temel olarak kontrol ediyoruz - vektörlerin koordinatlarından bir determinant oluşturup hesaplıyoruz 
Determinant sıfıra eşit değildir, bu nedenle vektörler uzayda bir temel oluşturur. Geriye bu temel üzerinden vektör b'nin programını bulmak kalır. Bunu yapmak için vektör denklemini yazıyoruz 
ve bir doğrusal denklem sistemine dönüştürün 
Matris denklemini yazıyoruz
Daha sonra Cramer formülleri için yardımcı determinantları buluyoruz 
Cramer formüllerini uyguluyoruz 
Yani belirli bir b vektörü, iki temel vektör b=-2a1+5a3 boyunca bir programa sahiptir ve tabandaki koordinatları b(-2,0, 5)'e eşittir.
Test ödevleri
Görev 1 - 10. Vektörler verilmiştir.
Vektörlerin üç boyutlu uzayın temelini oluşturduğunu gösterin ve bu tabana göre vektörün koordinatlarını bulun:
Verilen vektörler ε 1 (3;1;6), ε 2 (-2;2;-3), ε 3 (-4;5;-1), X(3;0;1). Vektörlerin üç boyutlu uzayın temelini oluşturduğunu gösteriniz ve bu tabandaki X vektörünün koordinatlarını bulunuz.
Bu görev iki bölümden oluşmaktadır. Öncelikle vektörlerin bir temel oluşturup oluşturmadığını kontrol etmeniz gerekir. Vektörler, bu vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantın sıfırdan farklı olması durumunda bir taban oluşturur, aksi takdirde vektörler temel değildir ve X vektörü bu tabana göre genişletilemez.
∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37
Matrisin determinantını hesaplayalım:
Matrisin determinantı ∆ =37
Determinant sıfırdan farklı olduğundan vektörler bir taban oluşturur, dolayısıyla X vektörü bu tabana göre genişletilebilir. Onlar. eşitliği sağlayacak şekilde α 1, α 2, α 3 sayıları vardır:
X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3
Bu eşitliği koordinat formunda yazalım:
(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)
Vektörlerin özelliklerini kullanarak aşağıdaki eşitliği elde ederiz:
(3;0;1) = (3α 1 ;1α 1 ;6α 1 ;) + (-2α 2 ;2α 2 ;-3α 2 ;) + (-4α 3 ;5α 3 ;-1α 3 ;)
(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ;1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ;6α 1 -3α 2 -1α 3)
Vektörlerin eşitliği özelliğine göre elimizde:
3α 1 -2α 2 -4α 3 = 3
1α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0
6α 1 -3α 2 -1α 3 = 1 Ortaya çıkan denklem sistemini çözüyoruz Gauss yöntemi veya.
Cramer'in yöntemi
X = ε 1 + 2ε 2 -ε 3
Çözüm, hizmet kullanılarak alındı ve işlendi:
Temeldeki vektör koordinatları
Bu problemin yanı sıra şunları da çözüyorlar:
Matris denklemlerini çözme
Kramer yöntemi
Gauss yöntemi
Jordano-Gauss yöntemini kullanan ters matris
Cebirsel tamamlayıcılar yoluyla ters matris
Çevrimiçi matris çarpımı
Standart tanım: “Bir vektör yönlendirilmiş bir bölümdür.” Bu genellikle bir mezunun vektörler hakkındaki bilgisinin kapsamıdır. Kimin “yönlü segmentlere” ihtiyacı var?
Hava tahmini. "Rüzgar kuzeybatıdan, hızı saniyede 18 metre." Hem rüzgarın yönü (nereden esiyor) hem de hızının modülü (yani mutlak değer) önemli.
Yönü olmayan niceliklere skaler denir. Kütle, iş, elektrik yükü hiçbir yere yönlendirilmez. Yalnızca sayısal bir değerle karakterize edilirler - "kaç kilogram" veya "kaç joule".
Mutlak değeri olduğu kadar yönü de olan fiziksel büyüklüklere vektör büyüklükleri denir.
Hız, kuvvet, ivme - vektörler. Onlar için “ne kadar”, “nerede” önemlidir. Örneğin yer çekimine bağlı ivme 
Dünya yüzeyine doğru yönlendirilir ve büyüklüğü 9,8 m/s2'dir. İmpuls, elektrik alan kuvveti, manyetik alan indüksiyonu da vektör büyüklükleridir.
Fiziksel büyüklüklerin Latince veya Yunanca harflerle gösterildiğini hatırlıyorsunuz. Harfin üzerindeki ok miktarın vektörel olduğunu gösterir:
İşte başka bir örnek.
Bir araba A noktasından B noktasına hareket ediyor. Nihai sonuç, onun A noktasından B noktasına hareketi, yani bir vektöre göre hareketidir.
Artık bir vektörün neden yönlendirilmiş bir segment olduğu açıktır. Lütfen vektörün sonunun okun bulunduğu yer olduğuna dikkat edin. Vektör uzunluğu bu parçanın uzunluğu denir. Şununla gösterilir: veya
Şu ana kadar skaler niceliklerle aritmetik ve temel cebir kurallarına göre çalıştık. Vektörler yeni bir kavramdır. Bu, matematiksel nesnelerin başka bir sınıfıdır. Kendi kuralları var.
Bir zamanlar sayılar hakkında hiçbir şey bilmiyorduk. Onlarla tanışmam ilkokulda başladı. Sayıların birbirleriyle karşılaştırılabileceği, eklenebileceği, çıkarılabileceği, çarpılabileceği ve bölünebileceği ortaya çıktı. Bir rakamın ve bir de sıfır rakamının olduğunu öğrendik.
Artık vektörlerle tanışıyoruz.
Vektörler için "daha fazla" ve "daha az" kavramları mevcut değildir - sonuçta yönleri farklı olabilir. Yalnızca vektör uzunlukları karşılaştırılabilir.
Ancak vektörler için bir eşitlik kavramı vardır.
Eşit uzunlukları ve yönleri aynı olan vektörlere denir. Bu, vektörün düzlemdeki herhangi bir noktaya kendisine paralel olarak aktarılabileceği anlamına gelir.
Bekar uzunluğu 1 olan bir vektördür. Sıfır, uzunluğu sıfır olan, yani başlangıcı bitişle çakışan bir vektördür.
Vektörlerle dikdörtgen koordinat sisteminde çalışmak en uygunudur - fonksiyonların grafiklerini çizdiğimizle aynı. Koordinat sistemindeki her nokta iki sayıya karşılık gelir - x ve y koordinatları, apsis ve ordinat.
Vektör ayrıca iki koordinatla belirtilir:
Burada vektörün koordinatları parantez içinde x ve y olarak yazılmıştır.
Basitçe bulunurlar: vektörün sonunun koordinatı eksi başlangıcının koordinatı.
Vektör koordinatları verilirse uzunluğu formülle bulunur.
Vektör toplama
Vektörleri eklemenin iki yolu vardır.
1. Paralelkenar kuralı. Ve vektörlerini toplamak için her ikisinin de kökenlerini aynı noktaya yerleştiririz. Bir paralelkenar oluşturuyoruz ve aynı noktadan paralelkenarın köşegenini çiziyoruz. Bu, ve vektörlerinin toplamı olacaktır.
Kuğu, kerevit ve turna balığı masalını hatırlıyor musunuz? Çok çabaladılar ama arabayı bir türlü yerinden oynatmadılar. Sonuçta arabaya uyguladıkları kuvvetlerin vektör toplamı sıfıra eşitti.
2. Vektörleri toplamanın ikinci yolu üçgen kuralıdır. Aynı vektörleri alalım ve . İkinci vektörün başlangıcını birinci vektörün sonuna ekleyeceğiz. Şimdi birincinin başlangıcını ve ikincinin sonunu bağlayalım. Bu, ve vektörlerinin toplamıdır.
Aynı kuralı kullanarak birkaç vektör ekleyebilirsiniz. Bunları birbiri ardına düzenliyoruz ve ardından ilkinin başlangıcını sonuncunun sonuna bağlıyoruz.
A noktasından B noktasına, B'den C'ye, C'den D'ye, sonra E'ye ve F'ye gittiğinizi hayal edin. Bu eylemlerin nihai sonucu A'dan F'ye harekettir.
Vektörleri topladığımızda şunu elde ederiz:
Vektör çıkarma
Vektör, vektörün tersi yönündedir. Ve vektörlerinin uzunlukları eşittir.
Artık vektör çıkarma işleminin ne olduğu açık. Vektör farkı ve, vektör ile vektörün toplamıdır.
Bir vektörü bir sayıyla çarpmak
Bir vektör k sayısıyla çarpıldığında uzunluğu k katından farklı olan bir vektör elde edilir. k sıfırdan büyükse vektörle eş yönlü, k sıfırdan küçükse zıt yönlüdür.
Vektörlerin nokta çarpımı
Vektörler sadece sayılarla değil birbirleriyle de çarpılabilir.
Vektörlerin skaler çarpımı, vektörlerin uzunlukları ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımıdır.
Lütfen iki vektörü çarptığımızı ve sonucun bir skaler, yani bir sayı olduğunu unutmayın. Örneğin fizikte mekanik iş, iki vektörün (kuvvet ve yer değiştirme) skaler çarpımına eşittir:
Vektörler dik ise skaler çarpımları sıfırdır.
Skaler çarpım, vektörlerin koordinatları aracılığıyla şu şekilde ifade edilir:
Skaler çarpım formülünden vektörler arasındaki açıyı bulabilirsiniz:
Bu formül özellikle stereometride kullanışlıdır. Örneğin, Matematikte Profil Birleşik Devlet Sınavının 14. Probleminde, kesişen çizgiler arasındaki veya düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açıyı bulmanız gerekir. Sıklıkla vektör yöntemi problem 14 klasik problemden birkaç kat daha hızlı çözülür.
Okul matematik müfredatında vektörlerin sadece skaler çarpımı öğretilmektedir.
İki vektörün çarpımının sonucu bir vektör olduğunda, skaler çarpıma ek olarak bir vektör çarpımının da olduğu ortaya çıktı. Kim kiralıyor Fizikte Birleşik Devlet Sınavı Lorentz kuvveti ve Amper kuvvetinin ne olduğunu bilir. Bu kuvvetleri bulma formülleri vektör çarpımlarını içerir.
Vektörler çok kullanışlı bir matematik aracıdır. Bunu ilk yılınızda göreceksiniz.
