Ana hedefler:
- Doğrudan ve ters kavramlarını tanıtmak orantılı bağımlılık miktarlar;
- bu bağımlılıkları kullanarak problemlerin nasıl çözüleceğini öğretin;
- problem çözme becerilerinin gelişimini teşvik etmek;
- orantıları kullanarak denklem çözme becerisini pekiştirmek;
- adımları sıradan ve ondalık kesirlerle tekrarlayın;
- geliştirmek mantıksal düşünmeöğrenciler.
DERSİN İLERLEMESİ
BEN. Faaliyet için kendi kaderini tayin etme(organizasyon anı)
- Çocuklar! Bugün derste oranlar kullanılarak çözülen problemlerle tanışacağız.
II. Bilgiyi güncelleme ve faaliyetlerdeki zorlukları kaydetme
2.1. Sözlü çalışma (3 dakika)
– İfadelerin anlamını bulun ve cevaplarda şifrelenmiş kelimeyi bulun.
14 – sn; 0,1 – ve; 7 – l; 0,2 – a; 17 – c; 25 – ila
– Ortaya çıkan kelime güçtür. Tebrikler!
– Bugünkü dersimizin mottosu: Güç bilgidedir! Arıyorum; bu öğrendiğim anlamına geliyor!
– Ortaya çıkan sayılardan bir oran oluşturun. (14:7 = 0,2:0,1 vb.)
2.2. Bildiğimiz nicelikler arasındaki ilişkiyi düşünelim. (7 dakika)
– arabanın sabit hızla kat ettiği mesafe ve hareket süresi: S = v t ( artan hız (zaman) ile mesafe artar;
– araç hızı ve yolculukta harcanan süre: v=S:t(yolu kat etme süresi arttıkça hız azalır);
–
tek fiyattan satın alınan malların maliyeti ve miktarı:
C = a · n (fiyattaki artış (azalış) ile satın alma maliyeti artar (azalır));
– ürünün fiyatı ve miktarı: a = C: n (miktar arttıkça fiyat düşer)
– dikdörtgenin alanı ve uzunluğu (genişlik): S = a · b (uzunluk (genişlik) arttıkça alan artar;
– dikdörtgenin uzunluğu ve genişliği: a = S: b (uzunluk arttıkça genişlik azalır;
– aynı emek verimliliği ile bazı işleri yapan işçi sayısı ve bu işi tamamlamak için gereken süre: t = A: n (işçi sayısı arttıkça işin yapılması için harcanan süre azalır), vb. .
Bir değerin birkaç kez artmasıyla diğerinin hemen aynı miktarda arttığı (örnekler oklarla gösterilmiştir) ve bir değerin birkaç kez artmasıyla ikinci değerin aynı oranda azaldığı bağımlılıklar elde ettik. aynı sayıda.
Bu tür bağımlılıklara doğrudan ve ters orantılılık denir.
Doğrudan orantılı bağımlılık– bir değer birkaç kez arttığında (azaldığında) ikinci değerin aynı miktarda arttığı (azaldığı) bir ilişki.
Ters orantılı ilişki– bir değer birkaç kez arttığında (azaldığında) ikinci değerin aynı miktarda azaldığı (arttığı) bir ilişki.
III. Evreleme eğitici görev
– Karşı karşıya olduğumuz sorun nedir? (Doğrudan ve ters bağımlılıklar arasında ayrım yapmayı öğrenin)
- Bu - hedef bizim dersimiz. Şimdi formüle edin başlık ders. (Doğrudan ve ters orantılı ilişki).
- Tebrikler! Dersin konusunu not defterlerinize yazın. (Öğretmen konuyu tahtaya yazar.)
IV. Yeni bilginin "keşfi"(10 dakika)
199 numaralı problemlere bakalım.
1. Yazıcı 27 sayfayı 4,5 dakikada yazdırır. 300 sayfanın basılması ne kadar sürer?
27 sayfa – 4,5 dk.
300 sayfa - x?
2. Kutuda her biri 250 g olan 48 paket çay bulunmaktadır. Bu çaydan kaç tane 150 gramlık paket alacaksınız?
48 paket – 250 gr.
X? – 150 gr.
3. Araba 25 litre benzin kullanarak 310 km yol kat etti. Bir araba 40 litrelik dolu bir depoyla ne kadar uzağa gidebilir?
310 km – 25 lt
X? – 40 litre
4. Debriyaj dişlilerinden biri 32, diğeri 40 dişlidir. Birinci vites 215 devir yaparken ikinci vites kaç devir yapar?
32 diş – 315 devir.
40 diş – x?
Orantıyı derlemek için okların bir yönü gereklidir; bunun için ters orantılılıkta bir oran ters ile değiştirilir.
Tahtada öğrenciler niceliklerin anlamını anında bulurlar; öğrenciler seçtikleri bir problemi çözerler.
– Doğrudan ve ters orantılı bağımlılığı olan problemlerin çözümü için bir kural oluşturun.
Tahtada bir tablo belirir:
V. Dış konuşmada birincil konsolidasyon(10 dakika)
Çalışma sayfası ödevleri:
- 21 kg pamuk tohumundan 5,1 kg yağ elde edildi.
- 7 kg pamuk tohumundan ne kadar yağ elde edilir?
Stadyumun inşası için 5 buldozer 210 dakikada alanı temizledi. 7 buldozerin bu alanı temizlemesi ne kadar sürer? VI. Bağımsız çalışmaStandarda göre kendi kendine test ile
(5 dakika)
İki öğrenci 225 numaralı görevi bağımsız olarak gizli tahtalarda ve geri kalanını not defterlerinde tamamlar. Daha sonra algoritmanın çalışmasını kontrol ederler ve bunu tahtadaki çözümle karşılaştırırlar. Hatalar düzeltilir ve nedenleri belirlenir. Görev doğru bir şekilde tamamlanırsa öğrenciler yanlarına “+” işareti koyarlar.
Bağımsız çalışmalarda hata yapan öğrenciler danışmanlardan yararlanabilirler.№ 271, № 270.
Yönetim kurulunda altı kişi çalışıyor. 3-4 dakika sonra tahtada çalışan öğrenciler çözümlerini sunarlar, geri kalanlar ise ödevleri kontrol ederek tartışmaya katılırlar.
VIII. Etkinlik üzerine düşünme (ders özeti)
– Derste ne gibi yeni şeyler öğrendiniz?
-Neyi tekrarladılar?
– Orantı problemlerini çözme algoritması nedir?
– Hedefimize ulaştık mı?
– Çalışmalarınızı nasıl değerlendiriyorsunuz?
I. Düz orantılı miktarlar.
Değere izin ver sen boyutuna bağlıdır X. Eğer artarken X birkaç kat daha büyük en aynı miktarda artarsa bu değerler X Ve en doğru orantılı denir.
Örnekler.
1 . Satın alınan malların miktarı ve satın alma fiyatı (eğer sabit fiyat bir birim mal - 1 adet veya 1 kg, vb.) Ne kadar çok mal alındıysa o kadar çok para ödendi.
2 . Kat edilen mesafe ve harcanan zaman (ile sabit hız).Yol kaç kat daha uzun, kaç kat daha fazla zaman alacak.
3 . Bir cismin hacmi ve kütlesi. ( Bir karpuz diğerinden 2 kat daha büyükse kütlesi 2 kat daha büyük olacaktır)
II. Büyüklüklerin doğru orantılılık özelliği.
İki miktar doğrudan orantılı ise, o zaman birinci miktarın keyfi olarak alınan iki değerinin oranı, ikinci miktarın karşılık gelen iki değerinin oranına eşittir.
Görev 1. Ahududu reçeli için aldık 12 kg ahududu ve 8 kg Sahra. Eğer alırsan ne kadar şekere ihtiyacın olacak? 9 kg ahududu mu?
Çözüm.
Şöyle mantık yürütüyoruz: gerekli olsun x kg için şeker 9 kg ahududu Ahududu kütlesi ve şeker kütlesi doğru orantılı miktarlardır: ahududu kaç kat daha azsa, aynı sayıda daha az şekere ihtiyaç vardır. Bu nedenle alınan ahududu oranı (ağırlıkça) ( 12:9 ) alınan şeker oranına eşit olacaktır ( 8:x). Oranı elde ediyoruz:
12: 9=8: X;
x=9 · 8: 12;
x=6. Cevap: Açık 9 kg ahududu alınması gerekiyor 6 kg Sahra.
Sorun çözümü Bu şu şekilde yapılabilir:
Hadi 9 kg ahududu alınması gerekiyor x kg Sahra.
(Şekilde oklar tek yöne yönlendirilmiştir, yukarı aşağı fark etmez. Anlamı: sayının kaç katı 12 daha fazla sayı 9 , aynı sayıda 8 daha fazla sayı X yani burada doğrudan bir ilişki var).
Cevap: Açık 9 kg Biraz ahududu almam lazım 6 kg Sahra.
Görev 2. Araba için 3 saat mesafeyi katettik 264 kilometre. Seyahat etmesi ne kadar sürer? 440 kilometre, aynı hızda sürerse?
Çözüm.
izin ver x saat otomobil mesafeye gidecek 440 km.
Cevap: araba geçecek 5 saatte 440 km.
Örnek
1,6/2 = 0,8;4/5 = 0,8;
5,6/7 = 0,8 vb. Orantılılık faktörü. Orantılılık katsayısı, bir niceliğin birimi başına diğer bir niceliğin kaç birim olduğunu gösterir.
Doğrudan orantılılık
Doğrudan orantılılık- Belirli bir miktarın, oranları sabit kalacak şekilde başka bir miktara bağlı olduğu fonksiyonel bağımlılık. Başka bir deyişle bu değişkenler değişir. orantılı olarak, V eşit paylar yani, eğer argüman herhangi bir yönde iki kez değişirse, fonksiyon da aynı yönde iki kez değişir.
Matematiksel olarak doğru orantı şu formülle yazılır:
F(X) = AX,A = CONST
Ters orantılılık
Ters orantılılık- bu, bağımsız değerdeki (argüman) bir artışın bağımlı değerde (fonksiyon) orantılı bir azalmaya neden olduğu fonksiyonel bir bağımlılıktır.
Matematiksel olarak ters orantı şu formülle yazılır:
Fonksiyon özellikleri:
Kaynaklar
Wikimedia Vakfı.
2010.
Diğer sözlüklerde “Doğrudan orantısallığın” ne olduğuna bakın: doğru orantılılık - - [A.S. İngilizce-Rusça enerji sözlüğü. 2006] Genel olarak enerji konuları EN doğrudan oran...
Diğer sözlüklerde “Doğrudan orantısallığın” ne olduğuna bakın: Teknik Çevirmen Kılavuzu
-tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. doğrudan orantılılık vok. doğrudan Orantılılık, f rus. doğru orantılılık, f pranc. orantılı direkte, f … Fizikos terminų žodynas - (Latince orantısal, orantılı, orantılı). Orantılılık. Sözlük yabancı kelimeler , Rus diline dahil. Chudinov A.N., 1910. ORANTILILIK lat. orantılı, orantılı. Orantılılık. Açıklama 25000... ...
Rus dilinin yabancı kelimeler sözlüğü ORANTILILIK, orantılılık, çoğul. hayır, kadın (kitap). 1. özet isim orantılıdır. Parçaların orantılılığı. Vücut orantılılığı. 2. Orantılı olduklarında miktarlar arasında böyle bir ilişki (bkz. Orantılı ... Sözlük
Uşakova
Değerlerinin oranı değişmeden kalırsa, karşılıklı olarak bağımlı iki miktara orantılı denir. 1 Örnek 2 Orantılılık katsayısı ... Wikipedia. ORANTILILIK ve kadın. 1. bkz. orantılı. 2. Matematikte: Birindeki artışın diğerinde aynı miktarda bir değişikliğe yol açtığı nicelikler arasındaki böyle bir ilişki. Düz çizgi (bir değerde artışla kesim ile... ...
VE; Ve. 1. Orantılıya (1 değer); orantılılık. P. parçalar. P. fiziği. P. parlamentoda temsil. 2. Matematik. Orantılı olarak değişen büyüklükler arasındaki bağımlılık. Orantılılık faktörü. Doğrudan hat (içinde... ... Ansiklopedik Sözlük
Tamamlayan: Chepkasov Rodion
6. sınıf öğrencisi
MBOU "53 Nolu Ortaokul"
Barnaul
Başkan: Bulykina O.G.
matematik öğretmeni
MBOU "53 Nolu Ortaokul"
Barnaul
Giriiş. 1
İlişkiler ve oranlar. 3
Doğrudan ve ters orantılı ilişkiler. 4
Doğrudan ve ters orantı uygulamaları 6
çeşitli problemleri çözerken bağımlılıklar.
Çözüm. 11
Edebiyat. 12
Giriiş.
Orantı kelimesi buradan gelir. Latince kelime orantı, genel olarak orantılılık, parçaların hizalanması (parçaların birbirine belirli bir oranı) anlamına gelir. Eski zamanlarda oranlar doktrini Pisagorcular tarafından büyük saygı görüyordu. Doğadaki düzen ve güzellik, müzikteki ünsüz akorlar ve evrendeki uyum hakkındaki düşünceleri orantılarla ilişkilendirdiler. Bazı orantı türlerine müzikal veya armonik adını verdiler.
İnsanoğlu çok eski çağlarda bile doğadaki tüm olayların birbiriyle bağlantılı olduğunu, her şeyin sürekli hareket halinde olduğunu, değiştiğini, sayılarla ifade edildiğinde şaşırtıcı desenler ortaya çıkardığını keşfetmiştir.
Pisagorcular ve onların takipçileri dünyadaki her şeyi aradılar sayısal ifade. Keşfettiler; müziğin temelinde matematiksel oranların (tel uzunluğunun perdeye oranı, aralıklar arasındaki ilişki, armonik ses veren akorlardaki seslerin oranı) yattığı. Pisagorcular dünyanın birliği fikrini matematiksel olarak doğrulamaya çalıştılar; evrenin temelinin simetrik olduğunu savundular; geometrik şekiller. Pisagorcular güzellik için matematiksel bir temel aradılar.
Pisagorcuların ardından ortaçağ bilim adamı Augustine güzelliği " sayısal eşitlik". Skolastik filozof Bonaventure şunu yazdı: "Orantılılık olmadan güzellik ve zevk yoktur ve orantılılık öncelikle sayılarda mevcuttur. Her şeyin sayılabilir olması gerekiyor." Leonardo da Vinci, resim üzerine yazdığı incelemesinde sanatta orantı kullanımı hakkında şöyle yazmıştı: "Ressam, bilim adamının orantı biçiminde bildiği, doğada gizli olan aynı kalıpları orantı biçiminde somutlaştırır. sayısal kanun."
Çözüm için orantı kullanıldı farklı görevler hem antik çağda hem de Orta Çağ'da. Bazı problem türleri artık oranlar kullanılarak kolay ve hızlı bir şekilde çözülüyor. Oranlar ve orantı sadece matematikte değil aynı zamanda mimaride ve sanatta da kullanılmıştır ve kullanılmaktadır. Mimarlıkta ve sanatta orantı, boyutlar arasında belirli ilişkilerin sürdürülmesi anlamına gelir farklı parçalar bina, figür, heykel veya diğer sanat eserleri. Bu gibi durumlarda orantılılık, doğru ve güzel yapım ve tasvirin şartıdır.
Çalışmamda doğrudan ve ters orantısal ilişkilerin kullanımını dikkate almaya çalıştım. çeşitli alanlar çevreleyen yaşam, temasın izini sür akademik konular görevler aracılığıyla.
İlişkiler ve oranlar.
İki sayının bölümüne denir davranış bunlar sayılar.
Tutum gösterileri, ilk sayının ikinciden kaç kat büyük olduğu veya ilk sayının ikincinin ne kadarı olduğu.
Görev.
Mağazaya 2,4 ton armut ve 3,6 ton elma getirildi. Getirilen meyvelerin yüzde kaçı armuttur?
Çözüm . Bakalım ne kadar meyve getirmişler: 2,4+3,6=6(t). Getirilen meyvelerin ne kadarının armut olduğunu bulmak için oranı 2.4:6= yaparız. Cevap ayrıca forma da yazılabilir. ondalık veya yüzde olarak: = 0,4 = %40.
Karşılıklı ters isminde sayılar, çarpımları 1'e eşit olan. Bu nedenle ilişkiye ilişkinin tersi denir.
İki tane düşünelim eşit ilişki: 4.5:3 ve 6:4. Aralarına eşittir işareti koyup oranı bulalım: 4.5:3=6:4.
Oran iki ilişkinin eşitliğidir: a : b =c :d veya = 
a ve d nerede aşırı orantı koşulları, c ve b – ortalama üyeler(orantının tüm koşulları sıfırdan farklıdır).
Oranın temel özelliği:
doğru oranda aşırı terimlerin çarpımı orta terimlerin çarpımına eşittir.
Çarpmanın değişme özelliğini uygulayarak, doğru oranda aşırı terimlerin veya orta terimlerin yerini değiştirmenin mümkün olduğunu bulduk. Ortaya çıkan oranlar da doğru olacaktır.
Oranın temel özelliğini kullanarak, diğer tüm terimler biliniyorsa bilinmeyen terimini bulabilirsiniz.
Oranın bilinmeyen ekstrem terimini bulmak için ortalama terimleri çarpmanız ve bilinen ekstrem terime bölmeniz gerekir. x : b = c : d , x = 
Bilinmeyeni bulmak için ortalama üye orantıları elde etmek için uçtaki terimleri çarpmanız ve bilinen orta terime bölmeniz gerekir. a : b =x : d, x = 
.
Doğrudan ve ters orantılı ilişkiler.
İki farklı miktarın değerleri karşılıklı olarak birbirine bağlı olabilir. Yani, bir karenin alanı, kenarının uzunluğuna bağlıdır ve bunun tersi de geçerlidir - bir karenin kenarının uzunluğu, alanına bağlıdır.
Artan oranlarda iki çokluğa orantılı denir
biri birkaç kez (azalır), diğeri aynı sayıda artar (azalır).
İki miktar doğru orantılıysa, bu miktarların karşılık gelen değerlerinin oranları eşittir.
Örnek doğrudan orantılı bağımlılık .
Bir benzin istasyonunda 2 litre benzin 1,6 kg ağırlığındadır. Ne kadar ağır olacaklar 5 litre benzin mi?
Çözüm:
Gazyağının ağırlığı hacmiyle orantılıdır.
2l - 1,6 kg
5l - x kg
2:5=1,6:x,
x=5*1,6 x=4
Cevap: 4 kg.
Burada ağırlık/hacim oranı değişmeden kalır.
İki nicelikten biri birkaç kez arttığında (azaldığında) diğeri aynı miktarda azalıyorsa (artıyorsa) ters orantılı olarak adlandırılır.
Miktarlar ters orantılıysa, bir miktarın değerlerinin oranı eşittir ters ilişki başka bir miktarın karşılık gelen değerleri.
P örnekters orantılı ilişki.
İki dikdörtgen aynı alana sahiptir. Birinci dikdörtgenin uzunluğu 3,6 m, genişliği 2,4 m'dir. İkinci dikdörtgenin uzunluğu 4,8 m'dir.
Çözüm:
1 dikdörtgen 3,6 m 2,4 m
2 dikdörtgen 4,8 m x m
3,6 m x m
4,8m 2,4m
x = 3,6*2,4 = 1,8 m
Cevap: 1,8 m.
Gördüğünüz gibi orantısal büyüklüklerle ilgili problemler orantı kullanılarak çözülebilir.
Her iki nicelik doğru orantılı ya da ters orantılı değildir. Örneğin bir çocuğun yaşı arttıkça boyu da artar ancak bu değerler orantılı değildir çünkü yaş iki katına çıktığında çocuğun boyu iki katına çıkmaz.
Pratik Uygulama doğrudan ve ters orantılı bağımlılık.
Görev No.1
İÇİNDE okul kütüphanesi 210 matematik ders kitabı, tüm kütüphane koleksiyonunun %15'ini oluşturur. Toplamda kaç kitap var? kütüphane koleksiyonu?
Çözüm:
Toplam ders kitabı - ? - %100
Matematikçiler - 210 -15%
%15 210 akademik.
X = 100* 210 = 1400 ders kitabı
%100 x hesap. 15
Cevap: 1400 ders kitabı.
Sorun No. 2
Bir bisikletçi 3 saatte 75 km yol kat etmektedir. Bir bisikletçi aynı hızla 125 km yol kat etmek ne kadar sürer?
Çözüm:
3 saat – 75 km
Y – 125 km
Zaman ve mesafe doğru orantılı büyüklüklerdir, dolayısıyla
3: x = 75: 125,
x= 
,
x=5.
Cevap: 5 saat içinde.
Görev No.3
8 adet aynı boru bir havuzu 25 dakikada dolduruyor. Bir havuzu bu tür 10 boruyla doldurmak kaç dakika sürer?
Çözüm:
8 boru – 25 dakika
10 boru - ? dakika
Boru sayısı zamanla ters orantılı olduğundan
8:10 = x:25,
x = 
x = 20
Cevap: 20 dakika içinde.
Sorun No. 4
8 kişilik bir ekip bu işi 15 günde tamamlıyor. Kaç işçi aynı verimlilikte çalışarak görevi 10 günde tamamlayabilir?
Çözüm:
8 iş günü – 15 gün
İşçiler - 10 gün
Çalışan sayısı gün sayısıyla ters orantılıdır.
x: 8 = 15: 10,
x= 
,
x=12.
Cevap: 12 işçi.
Sorun No. 5
5,6 kg domatesten 2 litre sos elde edilir. 54 kg domatesten kaç litre sos elde edilebilir?
Çözüm:
5,6 kg – 2 litre
54 kg - ? ben
Domatesin kilogram sayısı elde edilen sos miktarıyla doğru orantılıdır, dolayısıyla
5,6:54 = 2:x,
x = 
,
x = 19.
Cevap: 19 l.
Sorun No. 6
Okul binasını ısıtmak için kömür 180 gün boyunca tüketim oranında depolandı.
Günde 0,6 ton kömür. Günde 0,5 ton harcanırsa bu arz kaç gün dayanır?
Çözüm:
Gün sayısı
Tüketim oranı
Gün sayısı kömür tüketim oranıyla ters orantılıdır, dolayısıyla
180: x = 0,5: 0,6,
x = 180*0,6:0,5,
x = 216.
Cevap: 216 gün.
Sorun No. 7
Demir cevherinde her 7 kısım demire karşılık 3 kısım safsızlık vardır. 73,5 ton demir içeren cevherde kaç ton yabancı madde var?
Çözüm:
Parça sayısı
Ağırlık
Ütü
73,5
Safsızlıklar
Parça sayısı kütleyle doğru orantılıdır, bu nedenle
7: 73,5 = 3: x.
x = 73,5 * 3:7,
x = 31,5.
Cevap: 31,5 ton
Sorun No. 8
Araba 35 litre benzin kullanarak 500 km yol kat etti. 420 km yol kat etmek için kaç litre benzine ihtiyaç duyulacak?
Çözüm:
Mesafe, km
Benzin, l
Mesafe benzin tüketimiyle doğru orantılıdır, dolayısıyla
500:35 = 420:x,
x = 35*420:500,
x = 29,4.
Cevap: 29,4 l
Sorun No. 9
2 saat içinde 12 havuz sazanı yakaladık. 3 saatte kaç tane havuz sazanı yakalanacak?
Çözüm:
Havuz sazanı sayısı zamana bağlı değildir. Bu büyüklükler ne doğru orantılı ne de ters orantılıdır.
Cevap: Cevap yok.
Sorun No. 10
Bir madencilik işletmesinin belirli bir miktar para karşılığında tanesi 12 bin ruble fiyatla 5 yeni makine satın alması gerekiyor. Bir makinenin fiyatı 15 bin ruble olursa, işletme bu makinelerden kaç tane satın alabilir?
Çözüm:
Araba sayısı, adet.
Fiyat, bin ruble
Araç sayısı maliyetle ters orantılıdır.
5: x = 15: 12,
x=5*12:15,
x=4.
Cevap: 4 araba.
Sorun No. 11
Şehirde N, P meydanında, sahibi o kadar katı ki, gecikme için günde 1 gecikme için maaşından 70 ruble kesen bir mağaza var. Yulia ve Natasha adında iki kız aynı bölümde çalışıyor. Onların ücretler iş günü sayısına bağlıdır. Yulia 20 günde 4.100 ruble aldı ve Natasha'nın 21 günde daha fazlasını alması gerekiyordu, ancak arka arkaya 3 gün gecikti. Natasha kaç ruble alacak?
Çözüm:
Çalışma günleri
Maaş, ovmak.
Julia
4100
Nataşa
Maaş, çalışma günü sayısıyla doğru orantılıdır, bu nedenle
20:21 = 4100:x,
x=4305.
4305 ovmak. Natasha'nın bunu almış olması gerekirdi.
4305 – 3 * 70 = 4095 (ovmak)
Cevap: Natasha 4095 ruble alacak.
Sorun No. 12
Haritadaki iki şehir arası mesafe 6 cm'dir. Harita ölçeği 1:250000 ise bu şehirler arasındaki mesafeyi yerde bulunuz.
Çözüm:
Yerdeki şehirler arasındaki mesafeyi x (santimetre cinsinden) ile gösterelim ve haritadaki parçanın uzunluğunun harita ölçeğine eşit olacak yerdeki mesafeye oranını bulalım: 6: x = 1 : 250000,
x = 6*250000,
x = 1500000.
1500000 cm = 15 km
Cevap: 15 km.
Sorun No. 13
4000 g çözelti 80 g tuz içerir. Bu çözeltideki tuz konsantrasyonu nedir?
Çözüm:
Ağırlık, g
Konsantrasyon, %
Çözüm
4000
Tuz
4000: 80 = 100:x,
x = 
,
x = 2.
Cevap: Tuz konsantrasyonu %2'dir.
Sorun No. 14
Banka yıllık yüzde 10 oranında kredi veriyor. 50.000 ruble kredi aldınız. Bir yılda bankaya ne kadar iade etmelisiniz?
Çözüm:
50.000 ovmak.
100%
x ovmak.
50000: x = 100: 10,
x= 50000*10:100,
x=5000.
5000 ovmak. %10'dur.
50.000 + 5000=55.000 (rub.)
Cevap: Bir yıl içinde bankaya 55.000 ruble iade edilecek.
Çözüm.
Verilen örneklerden de anlaşılacağı üzere doğrudan ve ters orantısal ilişkiler hayatın çeşitli alanlarında uygulanabilir:
Ekonomi,
Ticaret,
Üretimde ve sanayide,
Yemek pişirmek,
İnşaat ve mimarlık.
Spor,
Hayvancılık,
Topografyalar,
Fizikçiler,
Kimya vb.
Rus dilinde de doğrudan ve doğrudan kurulan atasözleri ve sözler vardır. ters ilişki:
Geri döndüğünde de karşılık verecektir.
Kütük ne kadar yüksek olursa gölge de o kadar yüksek olur.
Ne kadar çok insan o kadar az oksijen.
Ve hazır ama aptal.
Matematik bunlardan biridir eski bilimler insanlığın ihtiyaç ve istekleri temelinde ortaya çıktı. O zamandan bu yana oluşum tarihini yaşamış olan Antik Yunanistan hala geçerli ve gerekli olmaya devam ediyor günlük yaşam herhangi bir kişi. Doğrudan ve ters orantı kavramı eski çağlardan beri bilinmektedir, çünkü herhangi bir heykelin inşası veya yaratılması sırasında mimarları motive eden orantı yasalarıdır.
Oranlar hakkındaki bilgi, insan yaşamının ve faaliyetinin tüm alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır - resim yaparken (manzaralar, natürmortlar, portreler vb.) onsuz yapamazsınız; yaygın Mimarlar ve mühendisler arasında genel olarak oranlar ve bunların ilişkileri hakkındaki bilgiyi kullanmadan herhangi bir şey yaratmayı hayal etmek zordur.
Edebiyat.
Matematik-6, N.Ya. Vilenkin ve ark.
Cebir -7, G.V. Dorofeev ve diğerleri.
Matematik-9, GIA-9, F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabuhova
Matematik-6, didaktik materyaller, P.V. Chulkov, A.B. Uedinov
4-5. Sınıflar için matematik problemleri, I.V Baranova ve diğerleri, M. "Prosveshchenie" 1988.
Matematik 5-6. Sınıflarda problemlerin ve örneklerin toplanması, N.A. Tereshin,
T.N. Tereshina, M. “Akvaryum” 1997
§ 129. Ön açıklamalar.
Bir kişi sürekli olarak çok çeşitli miktarlarla ilgilenir. Bir çalışan ve bir işçi belirli bir saatte işe gitmeye çalışıyor, bir yaya ise acele ediyor ünlü yer Kısacası buharlı ısıtıcı stokçusu, kazan içindeki sıcaklığın yavaş yavaş yükselmesinden endişe ediyor, işletme yöneticisi üretim maliyetini düşürmeye yönelik planlar yapıyor vs.
Bunun gibi sayısız örnek verilebilir. Zaman, mesafe, sıcaklık, maliyet; bunların hepsi çeşitli büyüklüklerdir. Birinci ve ikinci bölümlerde bu kitapÖzellikle yaygın olan bazı büyüklüklerle tanıştık: alan, hacim, ağırlık. Fizik ve diğer bilimleri incelerken birçok nicelikle karşılaşırız.
Bir trende seyahat ettiğinizi hayal edin. Arada sırada saatinize bakarsınız ve ne kadar süredir yolda olduğunuzu fark edersiniz. Mesela treninizin kalkmasından bu yana 2, 3, 5, 10, 15 saat geçti vs. diyorsunuz. Bu rakamlar farklı zaman dilimlerini temsil ediyor; bunlara bu miktarın (zaman) değerleri denir. Veya treninizin kat ettiği mesafeyi görmek için pencereden dışarı bakıp yol direklerini takip edersiniz. Önünüzde 110, 111, 112, 113, 114 km sayıları yanıp sönüyor. Bu sayılar trenin kalkış noktasından itibaren kat ettiği farklı mesafeleri temsil etmektedir. Bunlara, bu sefer farklı büyüklükteki değerler de denir (iki nokta arasındaki yol veya mesafe). Böylece zaman, mesafe, sıcaklık gibi tek bir nicelik, aynı sayıda niceliği üstlenebilir. farklı anlamlar.
Bir kişinin neredeyse hiçbir zaman tek bir niceliği dikkate almadığını, onu her zaman başka niceliklerle ilişkilendirdiğini lütfen unutmayın. İki, üç ve çok sayıda miktarlar Saat 9'da okula gitmeniz gerektiğini düşünün. Saatinize bakıyorsunuz ve 20 dakikanız olduğunu görüyorsunuz. Daha sonra tramvaya mı bineceğinize yoksa okula yürüyerek mi gideceğinize hemen karar verirsiniz. Düşündükten sonra yürümeye karar verirsin. Düşünürken bir problemi çözdüğünüze dikkat edin. Bu tür sorunları her gün çözdüğünüz için bu görev basit ve tanıdık hale geldi. İçinde birkaç miktarı hızlı bir şekilde karşılaştırdınız. Saate bakan sizdiniz, yani zamanı hesaba kattınız, ardından evinizden okula olan mesafeyi zihinsel olarak hayal ettiniz; son olarak iki niceliği karşılaştırdınız: adımınızın hızı ve tramvayın hızı ve şu sonuca vardınız: verilen zaman(20 dk.) Yürümek için zamanınız olacak. Bundan basit örnek uygulamamızda bazı niceliklerin birbiriyle bağlantılı olduğunu, yani birbirlerine bağlı olduklarını görüyorsunuz.
On ikinci bölümde homojen niceliklerin ilişkisinden bahsedildi. Örneğin bir bölüm 12 m, diğeri 4 m ise bu bölümlerin oranı 12:4 olacaktır.
Bunun iki homojen miktarın oranı olduğunu söylemiştik. Bunu söylemenin başka bir yolu da iki sayının oranıdır bir isim.
Artık niceliklere daha aşina olduğumuza ve bir niceliğin değeri kavramını tanıttığımıza göre, oranın tanımını yeni bir şekilde ifade edebiliriz. Aslında 12 m ve 4 m'lik iki segmenti düşündüğümüzde tek bir değerden bahsediyorduk; uzunluk ve 12 m ve 4 m yalnızca iki değerdi. farklı anlamlar bu değer.
Bu nedenle gelecekte oranlar hakkında konuşmaya başladığımızda, bir miktarın iki değerini ele alacağız ve bir miktarın bir değerinin aynı miktardaki başka bir değere oranına, ilk değere bölünme bölümü adı verilecektir. ikinci olarak.
§ 130. Değerler doğrudan orantılıdır.
Durumu iki nicelik içeren bir problemi ele alalım: mesafe ve zaman.
Görev 1. Doğrusal ve düzgün bir şekilde hareket eden bir cisim saniyede 12 cm yol alır. Cismin 2, 3, 4, ..., 10 saniyede kat ettiği mesafeyi belirleyin.
Zaman ve mesafedeki değişiklikleri takip etmek için kullanılabilecek bir tablo oluşturalım.
Tablo bize bu iki değer serisini karşılaştırma fırsatı veriyor. Buradan görüyoruz ki, birinci niceliğin (zaman) değerleri kademeli olarak 2, 3,..., 10 kat arttığında, ikinci niceliğin (mesafe) değerleri de 2, 3, ..., 10 kat artıyor, ..., 10 kez. Böylece bir büyüklüğün değeri birkaç kat arttığında başka bir büyüklüğün değeri de aynı oranda artar, bir büyüklüğün değeri birkaç kat azaldığında başka bir büyüklüğün değeri de aynı oranda azalır. aynı numara.
Şimdi bu tür iki niceliği içeren bir problemi ele alalım: Madde miktarı ve maliyeti.
Görev 2. 15 m kumaşın maliyeti 120 ruble. Tabloda belirtilen diğer birkaç metre miktarı için bu kumaşın maliyetini hesaplayın.
Bu tabloyu kullanarak bir ürünün maliyetinin, miktarındaki artışa bağlı olarak nasıl yavaş yavaş arttığını takip edebiliriz. Bu problemin tamamen farklı miktarlar içermesine rağmen (ilk problemde - zaman ve mesafe ve burada - malların miktarı ve değeri), yine de bu miktarların davranışlarında büyük benzerlikler bulunabilir.
Hatta tablonun en üst satırında kumaşın metre sayısını belirten rakamlar var; her birinin altında ise ilgili mal miktarının maliyetini ifade eden bir rakam var. Bu tabloya kısa bir bakış bile hem üst hem de alt sıralardaki sayıların arttığını gösteriyor; Tablonun daha yakından incelenmesi ve bireysel sütunların karşılaştırılması sırasında, her durumda ikinci miktarın değerlerinin, birincinin değerleriyle aynı sayıda arttığı, yani; birinci nicelik diyelim 10 kat arttı, sonra ikinci niceliğin değeri de 10 kat arttı.
Tabloyu sağdan sola incelersek şunu görürüz: belirtilen değerler değerler azalacak aynı numara bir kere. Bu anlamda birinci görev ile ikincisi arasında koşulsuz bir benzerlik vardır.
Birinci ve ikinci problemlerde karşılaştığımız büyüklük çiftlerine denir. doğrudan orantılıdır.
Dolayısıyla, iki nicelik birbiriyle, birinin değeri birkaç kez arttığında (azaldığında) diğerinin değeri aynı miktarda artacak (azalacak) şekilde ilişkiliyse, bu tür niceliklere doğru orantılı nicelikler denir. .
Bu tür niceliklerin birbirleriyle doğrudan orantılı bir ilişkiyle ilişkili olduğu da söylenir.
Doğada ve çevremizdeki yaşamda buna benzer birçok nicelik bulunur. İşte bazı örnekler:
1. Zaman iş (gün, iki gün, üç gün vb.) ve kazanç, bu süre zarfında yevmiyeyle birlikte alındı.
2. Hacim homojen bir malzemeden yapılmış herhangi bir nesne ve ağırlık bu öğe.
§ 131. Doğrudan orantılı büyüklüklerin özelliği.
Aşağıdaki iki niceliği içeren bir problemi ele alalım: çalışma saatleri ve kazanç. Günlük kazanç 20 ruble ise, 2 günlük kazanç 40 ruble vb. Olacaktır. İçinde bir tablo oluşturmak en uygunudur. belli bir sayı gün belli bir gelire karşılık gelecektir.
Bu tabloya baktığımızda her iki niceliğin de 10 farklı değer aldığını görüyoruz. Birinci değerin her değeri, ikinci değerin belirli bir değerine karşılık gelir, örneğin 2 gün, 40 rubleye karşılık gelir; 5 gün 100 rubleye karşılık geliyor. Tabloda bu sayılar alt alta yazılmıştır.
İki miktarın doğru orantılı olması durumunda, değişim sürecinde her birinin diğerinin artması kadar arttığını zaten biliyoruz. Hemen bundan şu sonuç çıkıyor: Birinci miktarın herhangi iki değerinin oranını alırsak, bu, ikinci miktarın karşılık gelen iki değerinin oranına eşit olacaktır. Aslında:
Bu neden oluyor? Ancak bu değerler doğru orantılı olduğundan yani biri (zaman) 3 kat arttığında diğeri (kazanç) 3 kat arttı.
Bu nedenle şu sonuca vardık: Birinci miktarın iki değerini alıp bunları birbirine bölersek ve ardından ikinci miktarın karşılık gelen değerlerini bire bölersek, o zaman her iki durumda da şunu elde ederiz: aynı sayı, yani aynı ilişki. Bu, yukarıda yazdığımız iki ilişkinin eşittir işaretiyle bağlanabileceği anlamına gelir;
Hiç şüphe yok ki, eğer bu ilişkileri değil de diğerlerini, bu sırayla değil, tam tersi sırayla alırsak, ilişkilerde eşitliği de elde ederiz. Aslında miktarlarımızın değerlerini soldan sağa doğru ele alıp üçüncü ve dokuzuncu değerleri alacağız:
60:180 = 1 / 3 .
Yani şunu yazabiliriz:
Bu, şu sonuca varır: eğer iki miktar doğrudan orantılıysa, o zaman birinci miktarın keyfi olarak alınan iki değerinin oranı, ikinci miktarın karşılık gelen iki değerinin oranına eşittir.
§ 132. Doğru orantılılık formülü.
Maliyet tablosu oluşturalım çeşitli miktarlar tatlılar, eğer 1 kg'ın maliyeti 10,4 ruble ise.
Şimdi bunu şu şekilde yapalım. İkinci satırdaki herhangi bir sayıyı alın ve ona bölün. karşılık gelen numara ilk satır. Örneğin:
Bölümde her zaman aynı sayının elde edildiğini görüyorsunuz. Sonuç olarak, belirli bir doğrudan orantılı büyüklük çifti için, bir miktarın herhangi bir değerinin başka bir miktarın karşılık gelen değerine bölünmesi oranı sabit bir sayıdır (yani değişmez). Örneğimizde bu bölüm 10,4'tür. Bu sabit sayı orantılılık katsayısı denir. İÇİNDE bu durumda bir ölçü biriminin, yani bir kilogram malın fiyatını ifade eder.
Orantılılık katsayısı nasıl bulunur veya hesaplanır? Bunu yapmak için, bir niceliğin herhangi bir değerini alıp diğerinin karşılık gelen değerine bölmeniz gerekir.
Bunu belirtelim keyfi değer aynı boyutta mektup en ve başka bir miktarın karşılık gelen değeri - harf X , sonra orantılılık katsayısı (bunu belirtiyoruz) İLE) bölme işlemine göre buluruz:
Bu eşitlikte en - bölünebilir, X - bölen ve İLE- bölüm ve bölme özelliği gereği, temettü bölen ile bölüm çarpımına eşit olduğundan şunu yazabiliriz:
y = k X
Ortaya çıkan eşitliğe denir Doğru orantılılık formülü. Bu formülü kullanarak, eğer diğer niceliğin karşılık gelen değerlerini ve orantı katsayısını biliyorsak, doğru orantılı niceliklerden birinin herhangi bir sayıdaki değerini hesaplayabiliriz.
Örnek. Fizikten ağırlığı biliyoruz R herhangi bir cismin özgül ağırlığına eşittir D bu cismin hacmiyle çarpılır V, yani R = D V.
Farklı hacimlerde beş demir çubuk alalım; bilmek özgül ağırlık demir (7.8), bu boşlukların ağırlıklarını aşağıdaki formülü kullanarak hesaplayabiliriz:
R = 7,8 V.
Bu formülün formülle karşılaştırılması en = İLE X , bunu görüyoruz y = R, x = V ve orantılılık katsayısı İLE= 7,8. Formül aynı sadece harfler farklı.
Bu formülü kullanarak bir tablo yapalım: 1. boşluğun hacmi 8 metreküp olsun. cm ise ağırlığı 7,8 8 = 62,4 (g) olur. 2. boşluğun hacmi 27 metreküptür. cm Ağırlığı 7,8 27 = 210,6 (g). Tablo şöyle görünecek:
Formülü kullanarak bu tabloda eksik olan sayıları hesaplayın R= D V.
§ 133. Doğrudan orantılı büyüklüklerle problemleri çözmenin diğer yöntemleri.
Önceki paragrafta, durumu doğru orantılı büyüklükler içeren bir problemi çözdük. Bu amaçla öncelikle doğru orantı formülünü türettik ve daha sonra bu formülü uyguladık. Şimdi benzer sorunları çözmenin iki yolunu daha göstereceğiz.
Bir önceki paragrafta tabloda verilen sayısal verileri kullanarak bir problem oluşturalım.
Görev. 8 metreküp hacimli boş. cm ağırlığı 62,4 gr. Hacmi 64 metreküp olan bir boşluğun ağırlığı ne kadardır? santimetre?
Çözüm. Bilindiği gibi demirin ağırlığı hacmiyle orantılıdır. 8 cu ise. cm ağırlığı 62,4 g, ardından 1 cu. cm 8 kat daha az ağırlığa sahip olacak, yani.
62,4:8 = 7,8 (g).
64 metreküp hacimli boş. cm, 1 metreküp boşluktan 64 kat daha ağır olacaktır. cm, yani
7,864 = 499,2(g).
Sorunumuzu birliğe indirgeyerek çözdük. Bu ismin anlamı, ilk soruda bunu çözmek için hacim biriminin ağırlığını bulmamız gerektiği gerçeğiyle doğrulanmaktadır.
2. Orantı yöntemi. Aynı problemi orantı yöntemini kullanarak çözelim.
Demirin ağırlığı ve hacmi doğru orantılı miktarlar olduğundan, bir miktarın (hacim) iki değerinin oranı, başka bir miktarın (ağırlık) karşılık gelen iki değerinin oranına eşittir, yani.
(mektup R ham parçanın bilinmeyen ağırlığını belirledik). Buradan:
(G).
Problem orantı yöntemi kullanılarak çözüldü. Bu, sorunu çözmek için koşulda yer alan sayılardan bir oran derlendiği anlamına gelir.
§ 134. Değerler ters orantılıdır.
Şu problemi düşünün: “Beş duvar ustası bir evin tuğla duvarlarını 168 günde örebilir. 10, 8, 6 vb. duvar ustalarının aynı işi kaç günde tamamlayabileceklerini belirleyin.”
Bir evin duvarlarını 5 duvarcı 168 günde örerse, o zaman (aynı emek verimliliğiyle) 10 duvarcı bunu yarı sürede yapabilir, çünkü ortalama 10 kişi 5 kişiden iki kat daha fazla iş yapar.
İşçi sayısı ve çalışma saatlerindeki değişiklikleri takip edebileceğimiz bir tablo çizelim.
Örneğin 6 işçinin kaç gün sürdüğünü bulmak için önce bir işçinin kaç gün sürdüğünü (168 5 = 840), daha sonra 6 işçinin kaç gün sürdüğünü (840: 6 = 140) hesaplamanız gerekir. Bu tabloya baktığımızda her iki niceliğin de altı farklı değer aldığını görüyoruz. Birinci büyüklüğün her değeri belirli bir değere karşılık gelir; ikinci değerin değeri, örneğin 10, 84'e karşılık gelir, 8 sayısı, 105 sayısına karşılık gelir, vb.
Her iki büyüklüğün değerlerini soldan sağa doğru düşünürsek üst miktarın değerlerinin arttığını, alt miktarın değerlerinin ise azaldığını görürüz. Artış ve azalışlar şu kanuna tabidir: Harcanan çalışma süresinin değerleri azaldıkça, işçi sayısı değerleri de aynı oranda artar. Bu fikir daha da basit bir şekilde şu şekilde ifade edilebilir: İşçiler herhangi bir göreve ne kadar çok bağlanırsa, belirli bir işi tamamlamak için o kadar az zamana ihtiyaç duyarlar. Bu problemde karşılaştığımız iki niceliğe denir. ters orantılı.
Böylece, iki nicelik birbiriyle, birinin değeri birkaç kez artarken (azalırken), diğerinin değeri aynı miktarda azalacak (artacak) şekilde ilişkiliyse, bu tür niceliklere ters orantılı nicelikler denir. .
Hayatta buna benzer pek çok nicelik vardır. Örnekler verelim.
1. 150 ruble için ise. Birkaç kilogram şeker almanız gerekiyorsa, şeker miktarı bir kilogramın fiyatına bağlı olacaktır. Fiyat ne kadar yüksek olursa, bu parayla o kadar az mal satın alabilirsiniz; bu tablodan görülebilir:
Şekerin fiyatı birkaç kat arttıkça 150 rubleye alınabilecek kilogram şeker sayısı da aynı oranda azalıyor. Bu durumda iki miktar (ürünün ağırlığı ve fiyatı) ters orantılıdır.
2. İki şehir arası mesafe 1.200 km ise o zaman katedilebilir. farklı zamanlar hareket hızına bağlı olarak. Var farklı yollar ulaşım: yürüyerek, at sırtında, bisikletle, tekneyle, arabayla, trenle, uçakla. Hız ne kadar düşük olursa, hareket etmek o kadar fazla zaman alır. Bu tablodan görülebilir:
Hızın birkaç kez artmasıyla seyahat süresi aynı miktarda azalır. Bu, bu koşullar altında hız ve zamanın ters orantılı büyüklükler olduğu anlamına gelir.
§ 135. Ters orantılı büyüklüklerin özelliği.
Önceki paragrafta incelediğimiz ikinci örneği ele alalım. Orada iki nicelikle ilgilendik; hız ve zaman. Tabloda bu büyüklüklerin değerlerine soldan sağa doğru bakarsak, birinci büyüklüğün (hız) değerlerinin arttığını, ikinci büyüklüğün (zaman) değerlerinin ise azaldığını, Zaman azaldıkça hız aynı oranda artar. Bir miktarın bazı değerlerinin oranını yazarsanız, bunun başka bir miktarın karşılık gelen değerlerinin oranına eşit olmayacağını anlamak zor değildir. Hatta üst değerin dördüncü değerinin yedinci değere oranını (40:80) alırsak bu durumda alt değerin dördüncü ve yedinci değerlerinin oranına (30:80) eşit olmayacaktır. 15). Bu şekilde yazılabilir:
40:80, 30:15'e veya 40:80 =/=30:15'e eşit değildir.
Ancak bu ilişkilerden biri yerine tam tersini alırsak eşitlik elde ederiz, yani bu ilişkilerden bir orantı oluşturmak mümkün olacaktır. Örneğin:
80: 40 = 30: 15,
40: 80 = 15: 30."
Yukarıdakilere dayanarak, şu sonuca varabiliriz: eğer iki miktar ters orantılıysa, o zaman bir miktarın keyfi olarak alınan iki değerinin oranı, başka bir miktarın karşılık gelen değerlerinin ters oranına eşittir.
§ 136. Ters orantılılık formülü.
Problemi düşünün: “6 parça ipek kumaş var farklı boyutlar ve çeşitli çeşitleri. Tüm parçaların maliyeti aynıdır. Tek parça 20 ruble fiyatında 100 m kumaş içerir. metre başına Bu parçalardaki kumaşın bir metresi sırasıyla 25, 40, 50, 80, 100 rubleye mal oluyorsa diğer beş parçanın her birinde kaç metre vardır?” Bu sorunu çözmek için bir tablo oluşturalım:
Bu tablonun üst satırındaki boş hücreleri doldurmamız gerekiyor. Öncelikle ikinci parçada kaç metre olduğunu belirlemeye çalışalım. Yapılabilir aşağıdaki gibi. Sorunun koşullarından tüm parçaların maliyetinin aynı olduğu bilinmektedir. İlk parçanın maliyetini belirlemek kolaydır: 100 metre içerir ve her metrenin maliyeti 20 rubledir, bu da ilk ipek parçasının 2.000 ruble değerinde olduğu anlamına gelir. İkinci ipek parçası aynı miktarda ruble içerdiğinden, 2.000 rubleyi bölüyoruz. bir metre yani 25 fiyatına ikinci parçanın ölçüsünü buluyoruz: 2.000: 25 = 80 (m). Aynı şekilde diğer tüm parçaların boyutunu da bulacağız. Tablo şöyle görünecek:
Metre sayısı ile fiyat arasında ters orantılı bir ilişkinin olduğunu görmek kolaydır.
Gerekli hesaplamaları kendiniz yaparsanız, her seferinde 2.000 sayısını 1 m fiyatına bölmeniz gerektiğini fark edeceksiniz. Tam tersine, parçanın metre cinsinden boyutunu 1 m fiyatıyla çarpmaya başlarsanız. Her zaman 2.000 sayısını alacaksınız ve her parça 2.000 rubleye mal olduğu için beklemek gerekiyordu.
Buradan şu sonucu çıkarabiliriz: belirli bir ters orantılı büyüklük çifti için, bir miktarın herhangi bir değerinin başka bir miktarın karşılık gelen değeriyle çarpımı sabit bir sayıdır (yani değişmez).
Bizim problemimizde bu çarpım 2.000'e eşittir. önceki görev Hareket hızından ve bir şehirden diğerine gitmek için gereken süreden bahseden bu görev için de sabit bir sayı vardı (1.200).
Her şeyi hesaba katarak ters orantı formülünü elde etmek kolaydır. Bir miktarın belirli bir değerini harfle gösterelim X ve başka bir miktarın karşılık gelen değeri harfle temsil edilir en . Daha sonra yukarıdakilere dayanarak çalışma X Açık en bazılarına eşit olmalı sabit değer harfiyle gösterdiğimiz İLE, yani
xy = İLE.
Bu eşitlikte X - çarpma en - çarpan ve k- iş. Çarpma özelliğine göre çarpan ürüne eşit, çarpıma bölünür. Araç,
Bu ters orantı formülüdür. Bunu kullanarak, diğerinin değerlerini ve sabit sayıyı bilerek, ters orantılı niceliklerden birinin herhangi bir sayıda değerini hesaplayabiliriz. İLE.
Başka bir sorunu ele alalım: “Bir makalenin yazarı, kitabı normal formatta ise 96 sayfa olacağını, cep formatı ise 300 sayfa olacağını hesapladı. O denedi farklı seçenekler 96 sayfayla başladı ve daha sonra sayfa başına 2.500 mektup yazdı. Daha sonra aşağıdaki tabloda gösterilen sayfa numaralarını aldı ve sayfada kaç harf olacağını tekrar hesapladı.”
Kitabın 100 sayfa olması durumunda sayfada kaç harf olacağını hesaplamaya çalışalım.
2.500 96 = 240.000 olduğundan kitabın tamamında 240.000 harf vardır.
Bunu dikkate alarak ters orantı formülünü kullanıyoruz ( en - sayfadaki harf sayısı, X - sayfa sayısı):
Örneğimizde İLE= 240.000 dolayısıyla
Yani sayfada 2.400 harf var.
Benzer şekilde, bir kitabın 120 sayfa olması durumunda sayfadaki harf sayısının şöyle olacağını öğreniyoruz:
Masamız şöyle görünecek:
Kalan hücreleri kendiniz doldurun.
§ 137. Ters orantılı büyüklüklerle ilgili problemleri çözmenin diğer yöntemleri.
Önceki paragrafta koşulları ters orantılı büyüklükler içeren problemleri çözdük. Önce ters orantı formülünü çıkardık, sonra bu formülü uyguladık. Şimdi bu tür problemler için iki çözüm daha göstereceğiz.
1. Birliğe indirgeme yöntemi.
Görev. 5 tornacı bir işi 16 günde yapabiliyor. Bu işi 8 işçi kaç günde tamamlayabilir?
Çözüm. Tornacı sayısı ile çalışma saatleri arasında ters bir ilişki vardır. Eğer 5 tornacı bir işi 16 günde yaparsa, bir kişinin bunun için 5 kat daha fazla zamana ihtiyacı olacaktır, yani.
5 tornacı işi 16 günde tamamlıyor,
1 tornacı bu işi 16 5 = 80 günde tamamlar.
Problemde 8 tornanın işi kaç günde tamamlayacağı sorulmaktadır. Açıkçası, 1 turner'dan 8 kat daha hızlı işle başa çıkacaklar, yani.
80: 8 = 10 (gün).
Sorunun birliğe indirgenerek çözümü budur. Burada öncelikle bir işçinin işi tamamlaması için gereken süreyi belirlemek gerekiyordu.
2. Orantı yöntemi. Aynı sorunu ikinci şekilde çözelim.
İşçi sayısı ile çalışma süresi arasında ters orantılı bir ilişki olduğundan şunu yazabiliriz: 5 tornacının çalışma süresi yeni tornacı sayısı (8) 8 tornacının çalışma süresi önceki tornacı sayısı (5) mektupla gerekli çalışma süresi X ve bunu orantılı hale getirin, kelimelerle ifade edilen, gerekli sayılar:
Aynı problem oranlar yöntemiyle de çözülür. Bunu çözmek için problem tanımında yer alan sayılardan bir orantı oluşturmamız gerekiyordu.
Not.Önceki paragraflarda doğrudan ve ters orantı konusunu inceledik. Doğa ve yaşam bize niceliklerin doğrudan ve ters orantılı bağımlılığının birçok örneğini verir. Ancak bu iki bağımlılık türünün yalnızca en basiti olduğunu belirtmek gerekir. Bunların yanı sıra nicelikler arasında daha karmaşık başka bağımlılıklar da vardır. Ayrıca herhangi iki nicelik aynı anda artıyorsa aralarında mutlaka doğru bir orantı olduğu düşünülmemelidir. Bu gerçek olmaktan çok uzak. Örneğin geçiş ücretleri demiryolu mesafeye bağlı olarak artar: ne kadar uzağa gidersek o kadar fazla öderiz ancak bu, ödemenin mesafeyle orantılı olduğu anlamına gelmez.