บทความนี้ให้ข้อมูลทางทฤษฎีที่สำคัญที่สุดและแนวทางแก้ไขที่จำเป็น งานเฉพาะสูตร ข้อความสำคัญและคุณสมบัติของตัวเลขวางอยู่บนชั้นวาง

ความหมายและข้อมูลสำคัญ

Planimetry เป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องกับวัตถุบนพื้นผิวสองมิติที่เรียบ ตัวอย่างที่เหมาะสมสามารถระบุได้: สี่เหลี่ยม วงกลม เพชร

เหนือสิ่งอื่นใดมันก็คุ้มค่าที่จะเน้นจุดและเส้นตรง เป็นแนวคิดหลักสองประการของการวัดระนาบ

ทุกสิ่งทุกอย่างถูกสร้างขึ้นจากสิ่งเหล่านี้ เช่น:

สัจพจน์และทฤษฎีบท

ลองดูที่สัจพจน์ในรายละเอียดเพิ่มเติม ในแผนผังระนาบนี่คือ กฎที่สำคัญที่สุดซึ่งวิทยาศาสตร์ทั้งหมดใช้ได้ผล และไม่ใช่แค่ในนั้นเท่านั้น A-ไพรเออรี่ เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับข้อความที่ไม่ต้องใช้หลักฐาน

สัจพจน์ที่จะกล่าวถึงด้านล่างนี้รวมอยู่ในสิ่งที่เรียกว่าเรขาคณิตแบบยุคลิด

• มีสองจุด คุณสามารถลากเส้นตรงเส้นเดียวผ่านพวกมันได้เสมอ
• หากมีเส้นแสดงว่ามีจุดอยู่บนนั้นและจุดที่ไม่อยู่บนนั้น

ประโยคทั้ง 2 นี้มักจะเรียกว่าสัจพจน์ของการเป็นสมาชิก และต่อไปนี้เรียกว่าสัจพจน์ของการเรียงลำดับ:

• หากมีจุดสามจุดบนเส้นตรง แสดงว่าจุดใดจุดหนึ่งจะต้องอยู่ระหว่างอีกสองจุด
• ระนาบจะถูกแบ่งด้วยเส้นตรงใดๆ ออกเป็นสองส่วน เมื่อปลายของส่วนอยู่บนครึ่งหนึ่ง วัตถุทั้งหมดก็จะอยู่ในส่วนนั้น มิฉะนั้น เส้นเดิมและส่วนจะมีจุดตัดกัน

สัจพจน์ของมาตรการ:

• แต่ละส่วนมีความยาวแตกต่างจากศูนย์ หากจุดหนึ่งแยกออกเป็นหลายส่วน ผลรวมของจุดนั้นจะเท่ากับความยาวรวมของวัตถุ
• แต่ละมุมมีหน่วยวัดระดับหนึ่งซึ่งไม่เท่ากับศูนย์ ถ้าหักด้วยลำแสง มุมเดิมก็จะเป็น เท่ากับผลรวมมีการศึกษา

ความเท่าเทียม:

• มีเส้นตรงบนเครื่องบิน ผ่านจุดใดก็ตามที่ไม่ใช่ของมัน สามารถลากเส้นตรงเพียงเส้นเดียวขนานกับจุดที่กำหนดได้

ทฤษฎีบทในแผนผังระนาบไม่ใช่ข้อความพื้นฐานอีกต่อไป โดยทั่วไปเป็นที่ยอมรับกันว่าเป็นข้อเท็จจริง แต่แต่ละข้อมีหลักฐานที่สร้างจากแนวคิดพื้นฐานที่กล่าวถึงข้างต้น นอกจากนี้ยังมีอีกมากมาย การระบุทุกอย่างจะค่อนข้างยาก แต่บางส่วนจะปรากฏในเนื้อหาที่นำเสนอ

สองรายการต่อไปนี้ควรค่าแก่การทำความคุ้นเคยตั้งแต่เนิ่นๆ:

• ผลรวม มุมที่อยู่ติดกันเท่ากับ 180 องศา
• มุมแนวตั้งมีขนาดเท่ากัน

ทฤษฎีบททั้งสองนี้มีประโยชน์ในการแก้โจทย์ ปัญหาทางเรขาคณิตเกี่ยวข้องกับ n-gons มันค่อนข้างเรียบง่ายและใช้งานง่าย มันคุ้มค่าที่จะจดจำพวกเขา

สามเหลี่ยม

รูปสามเหลี่ยมคือรูปทรงเรขาคณิตที่ประกอบด้วยสามส่วนที่เชื่อมต่อกันเป็นชุด จำแนกตามเกณฑ์หลายประการ

ด้านข้าง (อัตราส่วนมาจากชื่อ):

ที่มุม:

• มุมแหลม;
• สี่เหลี่ยม;
• ป้าน.

มุมสองมุมจะรุนแรงเสมอไม่ว่าสถานการณ์จะเป็นเช่นไร และมุมที่สามจะถูกกำหนดโดยส่วนแรกของคำ นั่นคือ, สามเหลี่ยมมุมฉากมุมหนึ่งคือ 90 องศา

คุณสมบัติ:

• ยิ่งมุมมีขนาดใหญ่เท่าใด ด้านตรงข้ามก็จะยิ่งใหญ่ขึ้นเท่านั้น
• ผลรวมของมุมทั้งหมดคือ 180 องศา
• สามารถคำนวณพื้นที่ได้โดยใช้สูตร: S = ½ ⋅ h ⋅ a โดยที่ a คือด้าน h คือความสูงที่ลากไป
• คุณสามารถเขียนวงกลมเป็นรูปสามเหลี่ยมหรืออธิบายรอบๆ ได้เสมอ

หนึ่งในสูตรพื้นฐานของการวัดระนาบคือทฤษฎีบทพีทาโกรัส มันใช้ได้กับสามเหลี่ยมมุมฉากโดยเฉพาะและมีลักษณะดังนี้ กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา: AB 2 = AC 2 + BC 2

ด้านตรงข้ามมุมฉากหมายถึงด้านที่อยู่ตรงข้ามมุม 90° และขาหมายถึงด้านที่อยู่ติดกัน

รูปสี่เหลี่ยม

มีข้อมูลจำนวนมหาศาลในหัวข้อนี้ ด้านล่างนี้เป็นเพียงสิ่งที่สำคัญที่สุดเท่านั้น

บางพันธุ์:

1. สี่เหลี่ยมด้านขนาน - ฝั่งตรงข้ามขนานกันและขนานกัน
2. รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านเป็นด้าน ความยาวเท่ากัน.
3. สี่เหลี่ยมผืนผ้า - สี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีมุมฉากสี่มุม
4. สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นทั้งสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและสี่เหลี่ยมจัตุรัส
5. สี่เหลี่ยมคางหมู - มีเพียงด้านตรงข้ามสองด้านเท่านั้นที่ขนานกัน

คุณสมบัติ:

• สุมา มุมภายในเท่ากับ 360 องศา
• สามารถคำนวณพื้นที่ได้เสมอโดยใช้สูตร: S=√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) โดยที่ p คือครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูป a, b, c, d คือด้านข้างของรูป
• หากสามารถอธิบายวงกลมรอบรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนได้ ฉันจะเรียกมันว่านูน ถ้าไม่ใช่ ก็คือไม่นูน

หลักสูตรวิดีโอ "Get an A" มีหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับความสำเร็จ ผ่านการสอบ Unified Stateในวิชาคณิตศาสตร์ได้ 60-65 คะแนน ครบทุกปัญหา 1-13 การตรวจสอบโปรไฟล์ Unified Stateคณิตศาสตร์. ยังเหมาะสำหรับการผ่านการสอบ Basic Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย หากคุณต้องการผ่านการสอบ Unified State ด้วยคะแนน 90-100 คุณต้องแก้ส่วนที่ 1 ใน 30 นาทีโดยไม่มีข้อผิดพลาด!

หลักสูตรเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State สำหรับเกรด 10-11 รวมถึงสำหรับครูผู้สอน ทุกสิ่งที่คุณต้องการเพื่อแก้ส่วนที่ 1 ของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหา 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่คือมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียน 100 คะแนนและนักศึกษามนุษยศาสตร์ก็สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา

ทั้งหมด ทฤษฎีที่จำเป็น. วิธีที่รวดเร็วแนวทางแก้ไข ข้อผิดพลาด และความลับของการสอบ Unified State งานปัจจุบันทั้งหมดของส่วนที่ 1 จาก FIPI Task Bank ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ Unified State Exam 2018 อย่างสมบูรณ์

หลักสูตรประกอบด้วย 5 หัวข้อใหญ่ครั้งละ 2.5 ชม. แต่ละหัวข้อได้รับตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน

งานสอบ Unified State หลายร้อยรายการ ปัญหาคำศัพท์และทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมที่ง่ายและง่ายต่อการจดจำสำหรับการแก้ปัญหา เรขาคณิต. ทฤษฎี เอกสารอ้างอิง การวิเคราะห์งานการสอบ Unified State ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี วิธีแก้ปัญหาที่ยุ่งยาก เอกสารโกงที่มีประโยชน์ การพัฒนา จินตนาการเชิงพื้นที่- ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้นจนถึงปัญหา 13 ทำความเข้าใจแทนที่จะยัดเยียด คำอธิบายด้วยภาพ แนวคิดที่ซับซ้อน- พีชคณิต. ราก กำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ พื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหา งานที่ซับซ้อน 2 ส่วนของการสอบ Unified State

หมายเหตุอธิบาย

ตั๋วที่นำเสนอมีไว้สำหรับช่องปาก ตามทฤษฎีโอนสอบประจำปี โดยระนาบ นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 โรงเรียนมัธยมศึกษาเช่นเดียวกับเกรด 10 และ 11 เพื่อเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State สื่อการสอนที่นำเสนอมีความสอดคล้องกับโปรแกรมคณิตศาสตร์และโปรแกรมการฝึกอบรมเฉพาะทางอย่างสมบูรณ์

ตั๋วประกอบด้วยคำถาม 10 ข้อที่สะท้อนถึงทิศทางหลักของหลักสูตรเรขาคณิต

คำถามออกแบบมาเพื่อทดสอบความเชี่ยวชาญ เครื่องมือทางความคิดเรื่องและการระบุระดับความรู้ของข้อเท็จจริงทางทฤษฎีที่สำคัญ บางส่วนจำเป็นต้องมีการพิสูจน์เนื้อหาที่นำเสนอโดยแสดงความรู้เกี่ยวกับหลักการทางทฤษฎีพื้นฐานของหลักสูตรและความสามารถในการพิสูจน์เหตุผลเหล่านั้น

คำถามเหล่านี้นำมาจากคู่มือ:

เรขาคณิต. ปัญหาการพิสูจน์ Smirnov V.A., Smirnova I.M.

เรขาคณิต. หนังสือเรียนสำหรับเกรด 7-9 Atanasyan, Butuzov, Kadomtsev และคนอื่นๆ

เรขาคณิต. หนังสือเรียนสำหรับเกรด 7-11 A.V. Pogorelov

เกณฑ์การประเมินคำตอบของนักเรียน

เมื่อประเมินคำตอบของนักเรียน คุณจะได้รับคำแนะนำจาก เกณฑ์ต่อไปนี้.

จะมีการให้คะแนน "5" เพื่อให้ได้คำตอบที่ถูกต้องและครบถ้วนสำหรับคำถามทุกข้อในตั๋ว หากต้องการได้เกรด "3" ก็เพียงพอที่จะตอบคำถามแปดข้อในตั๋ว

ในกรณีอื่นๆ คะแนนคือ "4"

ทดสอบในระนาบ

ตัวเลือกที่ 1

สัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

คุณสมบัติ เส้นกึ่งกลางสามเหลี่ยม.

การกำหนดความสูงของรูปสามเหลี่ยม

รัศมีของวงกลมภายในและวงกลมในสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นเท่าใด

คุณสมบัติของตัวเลขที่คล้ายกัน

มุมกลางวัดได้อย่างไร?

คุณสมบัติของคอร์ดของวงกลม

จุดศูนย์กลางของเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมมุมฉาก

คุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมแหลม 30 องศา

กำหนดเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก.

ตัวเลือกที่ 2

สัญญาณของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

การหาค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นเท่าใด?

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมปกติ

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู

คุณสมบัติของมุมที่ถูกจารึกไว้

คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมที่ล้อมรอบ

ความยาวส่วนโค้ง

ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์ของมุม 30 องศา

ตัวเลือกที่ 3

ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม

คุณสมบัติของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม

การกำหนดเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบทโคไซน์

สูตรสำหรับเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (3)

ทำไม มุมเท่ากันระหว่างสองซีกตัดกันนอกวงกลม

คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้

เส้นรอบวง.

คุณสมบัติพื้นฐานของคอร์ด

ตัวเลือกที่ 4

คุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

คุณสมบัติของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก

สูตรหาค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบทของไซน์

มีองค์ประกอบอะไรบ้าง. สามเหลี่ยมด้านเท่า(ความสูง รัศมี พื้นที่)?

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

คุณสมบัติของเส้นสัมผัสและเส้นตัดที่เล็ดลอดออกมาจากจุดเดียวกัน

มุมระหว่างคอร์ดที่ตัดกันคืออะไร?

ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์ของมุม 60 องศา

จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมอยู่ที่ไหน?

ตัวเลือกที่ 5

อสมการสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบทเรื่องความสูงของรูปสามเหลี่ยม

พื้นที่ของสามเหลี่ยมคล้าย

สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยม (6)

สัญญาณของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู

สูตรของนกกระสาสำหรับรูปสี่เหลี่ยม

มุมระหว่างแทนเจนต์และคอร์ดที่ดึงจากจุดแทนเจนต์เป็นเท่าใด?

พื้นที่ภาค

ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์ของมุม 45 องศา

ตัวเลือกที่ 6

การกำหนดเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบทเส้นแบ่งครึ่งสามเหลี่ยม

สัญญาณของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบทโคไซน์

สูตรของนกกระสา

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้และที่ถูกล้อมอยู่ในรูปสามเหลี่ยม

กำหนดไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ มุมแหลมสามเหลี่ยมมุมฉาก

ระดับเฉลี่ย

สัจพจน์พื้นฐานของระนาบ คู่มือที่ครอบคลุม (2019)

1. แนวคิดพื้นฐานของแผนผังระนาบ



ทำไมทุกอย่างอยู่ในรูปภาพและไม่มีคำพูด? คำพูดจำเป็นไหม? สำหรับฉันดูเหมือนว่าในตอนแรกมันไม่จำเป็นมากนัก ที่จริงแล้วนักคณิตศาสตร์รู้วิธีอธิบายทุกสิ่งด้วยคำพูดและคุณสามารถค้นหาคำอธิบายดังกล่าวได้ในระดับทฤษฎีต่อไปนี้ แต่ตอนนี้เรามาดูรูปภาพกันดีกว่า







อะไรอีก? ใช่แล้ว เราต้องเรียนรู้วิธีการวัดส่วนและมุม

แต่ละส่วนมีความยาว - ตัวเลขที่กำหนดให้กับส่วนนี้ (ด้วยเหตุผลบางประการ...) โดยปกติแล้วจะวัดความยาว ... ด้วยไม้บรรทัด มีหน่วยเป็นเซนติเมตร มิลลิเมตร เมตร และแม้กระทั่งกิโลเมตร

และตอนนี้การวัดมุม ด้วยเหตุผลบางประการ มุมมักจะวัดเป็นองศา ทำไม มีบางอย่างสำหรับสิ่งนั้น เหตุผลทางประวัติศาสตร์แต่เราไม่ได้เกี่ยวข้องกับประวัติศาสตร์ในขณะนี้ ดังนั้นเราจะต้องยอมรับข้อตกลงต่อไปนี้



ในมุมองศาที่พัฒนาแล้ว

เพื่อความกระชับพวกเขาเขียนว่า: . แน่นอนว่าในกรณีนี้ คุณสามารถหาขนาดของมุมอื่นๆ ทั้งหมดได้หากคุณรู้ว่าส่วนใดของมุมที่กางออก มุมที่กำหนด- เครื่องมือวัดมุมเรียกว่าไม้โปรแทรกเตอร์ ฉันคิดว่าคุณเคยเห็นเขามากกว่าหนึ่งครั้งในชีวิตของคุณ

2. ข้อเท็จจริงพื้นฐานสองประการเกี่ยวกับมุม

I. มุมที่อยู่ติดกันรวมกัน



นี่เป็นเรื่องธรรมชาติโดยสมบูรณ์ใช่ไหม? ท้ายที่สุดแล้ว มุมที่อยู่ติดกันก็รวมกันเป็นมุมกลับกัน!

ครั้งที่สอง มุมแนวตั้งจะเท่ากัน



ทำไม และมอง:

ตอนนี้อะไร? แน่นอนว่ามันเป็นไปตามนั้น (เช่น ลบอันที่สองออกจากความเท่าเทียมกันอันแรกก็เพียงพอแล้ว แต่จริงๆ แล้ว คุณสามารถดูแค่รูปภาพก็ได้)

มูลค่าคืออะไร มุมฉาก?

แน่นอน ! หลังจากนั้น.

4. มุมแหลมและมุมป้าน

นั่นคือทั้งหมดที่คุณต้องรู้เพื่อเริ่มต้น ทำไมเราไม่พูดอะไรเกี่ยวกับสัจพจน์?

สัจพจน์เป็นกฎของการกระทำกับวัตถุพื้นฐานของ planimetry ซึ่งเป็นข้อความแรกสุดเกี่ยวกับจุดและเส้น ข้อความเหล่านี้ถือเป็นพื้นฐานและไม่ได้รับการพิสูจน์

ทำไมเรายังไม่กำหนดและหารือเกี่ยวกับพวกเขา? คุณคงเห็นว่าสัจพจน์ของแผนผังระนาบเป็นเพียงการอธิบายความสัมพันธ์ที่ชัดเจนโดยสัญชาตญาณในภาษาคณิตศาสตร์ที่ค่อนข้างยาว ความเข้าใจที่ชัดเจนเกี่ยวกับสัจพจน์นั้นจำเป็นในภายหลังเมื่อคุณคุ้นเคย แนวคิดทางเรขาคณิตในระดับสามัญสำนึก ถ้าอย่างนั้น ยินดีต้อนรับสู่ มีการอภิปรายโดยละเอียดเกี่ยวกับสัจพจน์ที่นั่น ในระหว่างนี้ให้พยายามทำตัวเหมือนชาวกรีกโบราณก่อนสมัยยุคลิด - เพียงแค่แก้ปัญหาโดยใช้ การใช้ความคิดเบื้องต้น- ฉันรับรองกับคุณว่าจะมีงานมากมายสำหรับคุณ!

ระดับเฉลี่ย

ลองจินตนาการว่าจู่ๆ คุณก็พบว่าตัวเองอยู่บนดาวดวงอื่น หรือ... ในเกมคอมพิวเตอร์

ตรงหน้าคุณคือชุดผลิตภัณฑ์ที่ไม่รู้จัก และงานของคุณคือเตรียมอาหารจานอร่อยให้ได้มากที่สุดจากชุดนี้ คุณต้องการอะไร? แน่นอน กฎ คำแนะนำ - สิ่งที่สามารถทำได้กับผลิตภัณฑ์บางอย่าง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณปรุงอาหารที่กินดิบๆ หรือในทางกลับกัน ใส่สลัดที่ต้องต้มหรือทอดลงไป? ดังนั้นโดยไม่มีคำแนะนำ - ไม่มีที่ไหนเลย!

โอเค แต่ทำไมการแนะนำตัวแบบนั้นล่ะ? เรขาคณิตเกี่ยวอะไรกับมัน? คุณเห็นไหมว่าข้อความมากมายเกี่ยวกับตัวเลขทุกประเภทในเรขาคณิตนั้นเป็น "อาหาร" มากมายที่เราต้องเรียนรู้ที่จะทำอาหาร แต่จากอะไร? จากวัตถุพื้นฐานของเรขาคณิต! แต่เรียกว่าคำแนะนำสำหรับ "การใช้" ด้วยคำพูดอันชาญฉลาด "ระบบสัจพจน์".

ดังนั้นจงใส่ใจ!

วัตถุพื้นฐานและสัจพจน์ของระนาบ

จุดและเส้น

สิ่งเหล่านี้เป็นแนวคิดที่สำคัญที่สุดของการวัดระนาบ นักคณิตศาสตร์กล่าวว่าสิ่งเหล่านี้เป็น "แนวคิดที่ไม่อาจกำหนดได้" ยังไงล่ะ? แต่คุณต้องเริ่มต้นที่ไหนสักแห่ง

ตอนนี้กฎข้อแรกสำหรับการจัดการจุดและเส้น กฎทางคณิตศาสตร์เหล่านี้เรียกว่า "สัจพจน์"- ข้อความที่นำมาเป็นพื้นฐานซึ่งทุกอย่างพื้นฐานจะถูกอนุมาน (จำไว้ว่าเรามีภารกิจการทำอาหารที่ยิ่งใหญ่ในการ "ปรุง" เรขาคณิต?) ดังนั้นสัจพจน์ชุดแรกจึงถูกเรียกว่า

I. สัจพจน์ของการเป็นเจ้าของ

โปรดทราบว่าสัจพจน์นี้อนุญาตให้คุณวาดดังนี้:



เช่นนี้: มีสองจุด:



แล้วก็พบเส้นตรงว่า

แต่อีกคนกลับไม่เป็นเช่นนั้น!



หากทั้งหมดนี้ดูเหมือนชัดเจนเกินไปสำหรับคุณ โปรดจำไว้ว่าคุณอยู่บนดาวเคราะห์ดวงอื่นและยังไม่รู้เลยว่าจะทำอย่างไรกับวัตถุ "จุด"และ "ตรง".

เรย์, ส่วน, มุม

ตอนนี้เราได้เรียนรู้ที่จะวางจุดบนเส้นและลากเส้นผ่านจุดต่างๆ ดังนั้นเราจึงสามารถเตรียม "จาน" ง่าย ๆ จานแรกได้แล้ว - ส่วนของเส้น,มุม.

1) บีม

นี่เขา





2) ตัด



ตอนนี้เรามาเรียงลำดับกัน สัจพจน์ชุดถัดไปเรียกว่า:

ครั้งที่สอง สัจพจน์ของการสั่งซื้อ



ตอนนี้ - ระดับถัดไป เราต้องการคำแนะนำเกี่ยวกับ การวัดส่วนและมุม สัจพจน์เหล่านี้เรียกว่า

สาม. สัจพจน์ของการวัดส่วนและมุม

และตอนนี้มันแปลกมาก

IV. สัจพจน์ของการมีอยู่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับค่าที่กำหนด

ข้อพิสูจน์สองประการของสัจพจน์นี้ชัดเจนยิ่งขึ้น:





สุดท้ายก็ตำนานเลย สัจพจน์คู่ขนาน!

แต่แรก คำนิยาม:

V. สัจพจน์ของความคล้ายคลึงกัน

มันจบแล้ว สัจพจน์ของระนาบ- มีมากเกินไปหรือเปล่า? แต่ลองคิดดูว่าพวกมันทั้งหมดจำเป็น สำหรับแต่ละคนมีเหตุผลอันชาญฉลาดและเฉียบแหลมซึ่งแสดงให้เห็นว่าหากสัจพจน์นี้ถูกลบออกไปสิ่งปลูกสร้างทางเรขาคณิตทั้งหมดก็จะแตกสลาย! หรือบางสิ่งบางอย่างจะยังคงอยู่ซึ่งแตกต่างไปจากที่เราคุ้นเคยอย่างสิ้นเชิง

ตอนนี้ ข้อเท็จจริงพื้นฐานสองประการเกี่ยวกับมุม!

มุมที่อยู่ติดกันและมุมแนวตั้ง

รังสีที่ก่อตัวเป็นมุมเรียกว่าด้านของมุมและพวกมัน การเริ่มต้นทั่วไป- สูงสุด

นี่คือสมบูรณ์ ทฤษฎีบทง่ายๆ, ความจริง?

หลังจากนั้น ด้านทั่วไปมุมที่อยู่ติดกันก็จะแบ่งมุมตรงออกเป็นสองมุม ดังนั้น (ความสนใจ: Axiom 3.2 ใช้งานได้!)ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันเท่ากับขนาดของมุมที่กางออก นั่นคือ

วาดง่ายกว่าอธิบาย - ดูภาพ



นี่เป็นทฤษฎีบทที่ง่ายเช่นกัน ตรวจสอบให้แน่ใจว่า:

มุมแหลมและมุมป้าน

คำอธิบายโดยย่อและสูตรพื้นฐาน

สัจพจน์ของการเป็นเจ้าของ:

• สัจพจน์ 1. ไม่ว่าจะเป็นเส้นไหนก็ตาม ก็มีจุดที่เป็นของเส้นนี้และจุดที่ไม่ได้เป็นของเส้นนั้น
• สัจพจน์ 2 คุณสามารถวาดเส้นตรงผ่านจุดสองจุดใดก็ได้และมีเพียงจุดเดียวเท่านั้น

สัจพจน์ของการสั่งซื้อ:

• สัจพจน์ 3 จากจุดสามจุดบนเส้นตรง มีจุดเดียวเท่านั้นที่อยู่ระหว่างอีกสองจุด
• สัจพจน์ 4 เส้นตรงที่อยู่ในระนาบแบ่งระนาบนี้ออกเป็นสองระนาบครึ่ง หากปลายของเซ็กเมนต์อยู่ในระนาบครึ่งระนาบเดียวกัน เซ็กเมนต์นั้นจะไม่ตัดกันเส้นตรง หากปลายของเซ็กเมนต์เป็นของครึ่งระนาบที่แตกต่างกัน เซ็กเมนต์นั้นจะตัดกันเส้นตรง

สัจพจน์ของการวัดส่วนและมุม:

• สัจพจน์ 5 แต่ละส่วนมีความยาวที่แน่นอน มากกว่าศูนย์ ความยาวของเซ็กเมนต์เท่ากับผลรวมของความยาวของส่วนต่างๆ ที่ถูกหารด้วยจุดใดๆ
• สัจพจน์ 6 แต่ละมุมมีหน่วยวัดระดับหนึ่งที่มากกว่าศูนย์ มุมตรงจะเท่ากัน องศาของมุมจะเท่ากับผลรวม มาตรการระดับมุมที่มันถูกหารด้วยรังสีใดๆ ที่ผ่านระหว่างด้านของมัน

สัจพจน์ของการมีอยู่ของสามเหลี่ยมเท่ากับอันที่กำหนด:

สัจพจน์คู่ขนาน:

• สัจพจน์ 8 บนเครื่องบิน คุณสามารถวาดเส้นตรงขนานกับจุดที่กำหนดได้มากสุดหนึ่งเส้นโดยผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด

ข้อเท็จจริงพื้นฐานเกี่ยวกับมุม:

• ทฤษฎีบท. ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันมีค่าเท่ากัน

เอาล่ะ หัวข้อมันจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางสิ่งได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบแสดงว่าคุณอยู่ใน 5% นี้!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณเข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำอีกครั้งว่า...นี่มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าคนรอบข้างส่วนใหญ่อยู่แล้ว

ปัญหาคือว่านี่อาจไม่เพียงพอ...

เพื่ออะไร?

สำหรับ สำเร็จลุล่วงได้การสอบ Unified State สำหรับการเข้าศึกษาในวิทยาลัยด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใด ฉันจะพูดสิ่งเดียวเท่านั้น...

คนที่ได้รับ การศึกษาที่ดีมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับมันมาก นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาเช่นนี้) อาจเป็นเพราะโอกาสอีกมากมายเปิดอยู่ตรงหน้าและชีวิตก็สดใสขึ้นใช่ไหม? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเองนะ...

ต้องใช้อะไรบ้างเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่นๆ ในการสอบ Unified State และสุดท้ายจะ... มีความสุขมากขึ้น?

รับมือกับปัญหาในหัวข้อนี้

คุณจะไม่ถูกถามถึงทฤษฎีในระหว่างการสอบ

คุณจะต้องการ แก้ปัญหากับเวลา.

และถ้าคุณยังไม่ได้แก้ไขมัน (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ อย่างแน่นอนหรือไม่มีเวลาเลย

มันก็เหมือนกับกีฬา - คุณต้องทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งจึงจะชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหา การวิเคราะห์โดยละเอียด และตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และแน่นอนว่าเราแนะนำพวกเขา

เพื่อให้ใช้งานของเราได้ดียิ่งขึ้น คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อคงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ - 299 ถู
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความทั้ง 99 บทของหนังสือเรียน - 999 ถู

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนของเราและเข้าถึงงานทั้งหมดได้ และสามารถเปิดข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

ในกรณีที่สอง เราจะให้คุณโปรแกรมจำลอง “6,000 ปัญหาพร้อมวิธีแก้ไขและคำตอบ สำหรับแต่ละหัวข้อ ในทุกระดับของความซับซ้อน” มันจะเพียงพอที่จะแก้ไขปัญหาในทุกหัวข้ออย่างแน่นอน

ในความเป็นจริงมันเป็นมากกว่าเครื่องจำลอง - โปรแกรมทั้งหมดการตระเตรียม. หากจำเป็น คุณก็สามารถใช้งานได้ฟรีเช่นกัน

การเข้าถึงข้อความและโปรแกรมทั้งหมดนั้นมีให้ตลอดระยะเวลาที่เว็บไซต์มีอยู่

สรุปแล้ว...

หากคุณไม่ชอบงานของเราก็หาคนอื่น อย่าหยุดอยู่ที่ทฤษฎีเท่านั้น

“เข้าใจแล้ว” และ “ฉันแก้ได้” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

ค้นหาปัญหาและแก้ไข!

หน้านี้ประกอบด้วยทฤษฎีบทแผนผังที่ครูสอนคณิตศาสตร์สามารถใช้เพื่อเตรียมนักเรียนที่มีความสามารถสำหรับการสอบอย่างจริงจัง: โอลิมปิกหรือการสอบที่ Moscow State University (เพื่อเตรียมความพร้อมสำหรับกลศาสตร์และคณิตศาสตร์ของ Moscow State University, VMC) สำหรับโอลิมปิกที่ โรงเรียนระดับอุดมศึกษาเศรษฐศาสตร์สำหรับโอลิมปิก สถาบันการเงินและที่ MIPT ความรู้เกี่ยวกับข้อเท็จจริงเหล่านี้เปิดโอกาสให้ครูสอนพิเศษ โอกาสที่ดีในการกำหนดภารกิจการแข่งขัน การ "เล่น" ทฤษฎีบทบางส่วนที่กล่าวถึงเกี่ยวกับตัวเลขหรือเสริมองค์ประกอบด้วยความสัมพันธ์ง่ายๆ กับผู้อื่นก็เพียงพอแล้ว วัตถุทางคณิตศาสตร์และคุณจะพบปัญหาโอลิมปิกที่ค่อนข้างดี มีสรรพคุณมากมายในด้านความแข็งแกร่ง หนังสือเรียนของโรงเรียนเป็นงานในการพิสูจน์และไม่รวมอยู่ในหัวข้อและส่วนของย่อหน้าโดยเฉพาะ ฉันพยายามแก้ไขข้อบกพร่องนี้

คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่กว้างใหญ่ และข้อเท็จจริงจำนวนมากมายที่สามารถระบุได้ว่าเป็นทฤษฎีบทนั้นมีไม่สิ้นสุด ครูสอนคณิตศาสตร์ไม่สามารถรู้และจดจำทุกสิ่งได้ทางร่างกาย ดังนั้นความสัมพันธ์บางอย่างที่ยุ่งยากระหว่าง วัตถุทางเรขาคณิตทุกครั้งที่เปิดเผยแก่อาจารย์อีกครั้ง การรวบรวมทั้งหมดไว้ในหน้าเดียวนั้นเป็นไปไม่ได้ทางกายภาพ ดังนั้น ฉันจะค่อยๆ เติมเนื้อหาในแต่ละหน้าเมื่อใช้ทฤษฎีบทในบทเรียน

ฉันแนะนำให้ผู้เริ่มติวคณิตศาสตร์ระมัดระวังในการใช้เพิ่มเติม วัสดุอ้างอิงเนื่องจากเด็กนักเรียนไม่ทราบข้อเท็จจริงเหล่านี้ส่วนใหญ่

ครูสอนคณิตศาสตร์เกี่ยวกับคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิต

1) เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับด้านของสามเหลี่ยมตัดกับเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่อยู่ตรงข้ามกับวงกลมที่ล้อมรอบไว้ ให้รูปสามเหลี่ยม- สิ่งนี้ตามมาจากความเท่าเทียมกันของส่วนโค้งซึ่งเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากแบ่งส่วนโค้งด้านล่าง และจากทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมที่จารึกไว้ในวงกลม

2)ถ้าเส้นแบ่งครึ่ง b, ค่ามัธยฐาน m และความสูง h ถูกลากมาจากจุดยอดหนึ่งในสามเหลี่ยม แล้วเส้นแบ่งครึ่งจะอยู่ระหว่างส่วนอื่นอีกสองส่วน และความยาวของทุกส่วนเป็นไปตามอสมการสองเท่า

3) ใน สามเหลี่ยมโดยพลการระยะทางจากจุดยอดใด ๆ ถึงจุดศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ (จุดตัดของความสูง) คือ 2 เท่า ระยะทางมากขึ้นจากจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมนี้ไปทางด้านตรงข้ามจุดยอดนี้ เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ คุณสามารถลากเส้นตรงผ่านจุดยอดของสามเหลี่ยมขนานกับระดับความสูงได้ จากนั้นใช้ความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมดั้งเดิมและสามเหลี่ยมผลลัพธ์

4) จุดตัดของค่ามัธยฐาน M ของสามเหลี่ยมใดๆ (จุดศูนย์ถ่วง) ร่วมกับจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยม H และจุดศูนย์กลางของเส้นรอบวงวงกลม (จุด O) อยู่บนพรีมาเดียวกัน และ สิ่งนี้ตามมาจากคุณสมบัติก่อนหน้าและจากคุณสมบัติของจุดตัดของค่ามัธยฐาน

5) การขยายคอร์ดร่วมของวงกลมสองวงที่ตัดกันจะแบ่งส่วนของแทนเจนต์ร่วมออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน คุณสมบัตินี้เป็นจริงโดยไม่คำนึงถึงลักษณะของทางแยกนี้ (นั่นคือ ตำแหน่งของศูนย์กลางของวงกลม) เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ คุณสามารถใช้คุณสมบัติของกำลังสองของเซกเมนต์แทนเจนต์ได้

6) ถ้ารูปสามเหลี่ยมมีเส้นแบ่งครึ่งของมุม ดังนั้นกำลังสองของรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากับผลต่างระหว่างผลคูณของด้านข้างของมุมกับส่วนที่เส้นแบ่งครึ่งแบ่งด้านตรงข้าม

นั่นคือความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้

7) คุณคุ้นเคยกับสถานการณ์ที่ความสูงจากจุดยอดของมุมฉากถูกดึงไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากหรือไม่? แน่นอน. คุณรู้ไหมว่าผลลัพธ์ของสามเหลี่ยมทั้งหมดจะคล้ายกัน แน่นอนคุณรู้ จากนั้นคุณอาจไม่ทราบว่าองค์ประกอบที่สอดคล้องกันใดๆ ของสามเหลี่ยมเหล่านี้ก่อให้เกิดความเท่าเทียมกันที่ทำซ้ำทฤษฎีบทพีทาโกรัส นั่นคือ ตัวอย่างเช่น ที่ไหน และ คือรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสามเหลี่ยมเล็ก ๆ และเป็นรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ ในรูปสามเหลี่ยมขนาดใหญ่

8)หากเจอสุ่มสี่เท่าด้วยทั้งหมด ฝ่ายที่รู้จัก a, b, c และ d จากนั้นพื้นที่ของมันสามารถคำนวณได้อย่างง่ายดายโดยใช้สูตรที่ชวนให้นึกถึงสูตรของ Heron:
โดยที่ x คือผลรวมของสองตัวใดๆ มุมตรงข้ามจัตุรัส. หากเขียนรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนไว้ในวงกลม สูตรจะอยู่ในรูปแบบ:
และถูกเรียกว่า สูตรของพรหมคุปต์

9)หากรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนของคุณมีเส้นรอบวงรอบวงกลม (นั่นคือวงกลมถูกจารึกไว้ในนั้น) พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะถูกคำนวณโดยสูตร