ความเป็นไปได้ของการใช้ตัวเลขที่ซับซ้อน
ในรายวิชาคณิตศาสตร์ในโรงเรียนการศึกษาทั่วไป
หัวหน้างานด้านวิทยาศาสตร์:
สถาบันการศึกษาเทศบาล
โรงเรียนมัธยมเปร์โวไมสกายา
กับ. เมืองคิชเมงสกี้
เซนต์. ซาเรชนายา 38
งานที่นำเสนอนี้เน้นไปที่การศึกษาจำนวนเชิงซ้อน ความเกี่ยวข้อง: การแก้ปัญหามากมายทางฟิสิกส์และเทคโนโลยีนำไปสู่สมการกำลังสองด้วย การเลือกปฏิบัติเชิงลบ- สมการเหล่านี้ไม่มีคำตอบในโดเมนจำนวนจริง แต่การแก้ปัญหาหลายอย่างมีความหมายทางกายภาพที่ชัดเจนมาก
นัยสำคัญในทางปฏิบัติ:จำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนถูกนำมาใช้ในประเด็นทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีหลายประเด็น และสามารถนำไปใช้ในโรงเรียนเพื่อแก้สมการกำลังสองได้
พื้นที่วัตถุ: คณิตศาสตร์. วัตถุประสงค์ของการวิจัย: แนวคิดและการกระทำเกี่ยวกับพีชคณิต หัวข้อการวิจัย– จำนวนเชิงซ้อน ปัญหา: จำนวนเชิงซ้อนไม่ได้สอนในวิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยมศึกษาแม้ว่าจะสามารถใช้เพื่อแก้สมการกำลังสองได้ก็ตาม ความเป็นไปได้ที่จะนำจำนวนเชิงซ้อนเข้ามา งานสอบ Unified Stateในอนาคต. สมมติฐาน:คุณสามารถใช้จำนวนเชิงซ้อนเพื่อแก้สมการกำลังสองในโรงเรียนมัธยมศึกษาได้ เป้า:เพื่อศึกษาความเป็นไปได้ของการใช้จำนวนเชิงซ้อนเมื่อเรียนคณิตศาสตร์ในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 10 งาน: 1. ศึกษาทฤษฎีจำนวนเชิงซ้อน 2. พิจารณาความเป็นไปได้ในการใช้จำนวนเชิงซ้อนในรายวิชาคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 3. พัฒนาและทดสอบงานที่มีจำนวนเชิงซ้อน
เพื่อแก้ปัญหา สมการพีชคณิตมีจำนวนจริงไม่เพียงพอ ดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่จะต้องพยายามทำให้สมการเหล่านี้แก้ได้ ซึ่งจะนำไปสู่การขยายแนวคิดเรื่อง number..gif" width="10" height="65 src=">
https://pandia.ru/text/78/027/images/image005_18.gif" width="10" height="62">.gif" width="97" height="28 src=">
คุณเพียงแค่ต้องตกลงที่จะดำเนินการกับนิพจน์ดังกล่าวตามกฎของพีชคณิตธรรมดาและสันนิษฐานไว้ 
ในปี ค.ศ. 1572 หนังสือของนักพีชคณิตชาวอิตาลี R. Bombelli ได้รับการตีพิมพ์ซึ่งมีการกำหนดกฎข้อแรกสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวเลขดังกล่าวจนถึงการแยกออกจากพวกเขา รากลูกบาศก์- ชื่อ “จำนวนจินตภาพ” ถูกนำมาใช้ในปี 1637 นักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาชาวฝรั่งเศส R. Descartes และในปี พ.ศ. 2320 หนึ่งในนักปรัชญาที่ใหญ่ที่สุดคนหนึ่ง นักคณิตศาสตร์ VIIIศตวรรษ X..gif" width="58" height="19"> เป็นตัวอย่างการใช้จำนวนเชิงซ้อนเมื่อเรียนคณิตศาสตร์ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 ดังนั้น ตัวเลข x ซึ่งมีกำลังสองเท่ากับ –1 เรียกว่าหน่วยจินตภาพและเขียนแทนด้วย i ดังนั้น จากที่ ..gif" width="120" height="27 src=">.gif" width="100" height="27 src=">เกรด 8 " href="/text/category/8_klass/" rel ="bookmark">ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 สาขาวิชาพีชคณิต- อ.: ศึกษาศาสตร์, พ.ศ. 2537.-ป.134-139.
2. พจนานุกรมสารานุกรมนักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์ / คอมพ์ อี-68. - อ.: การสอน, 19с
ส่วนข้อความของสิ่งพิมพ์
เนื้อหา
บทนำ………………………………………………………..3 บทที่ 1 จากประวัติความเป็นมาของจำนวนเชิงซ้อน…………………………… ……………………… ............4 บทที่ 2 พื้นฐานของวิธีจำนวนเชิงซ้อน………………………………… 6 บทที่ 3 เรขาคณิตของสามเหลี่ยมในจำนวนเชิงซ้อน…………......12 บทที่ 4 สารละลาย ปัญหาการสอบ Unified Stateและโอลิมปิกต่างๆ โดยใช้วิธีจำนวนเชิงซ้อน………………………………………………………....20 สรุป…………………………… ……… …………………………………….24 บรรณานุกรม………………………………………………………………..25
การแนะนำ
ความสำคัญอย่างยิ่งของจำนวนเชิงซ้อนในคณิตศาสตร์และการประยุกต์เป็นที่รู้จักกันอย่างแพร่หลาย สามารถใช้พีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อนได้สำเร็จ เรขาคณิตเบื้องต้นตรีโกณมิติ ทฤษฎีการเคลื่อนที่และความเหมือน ตลอดจนวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกลต่างๆ และ ปัญหาทางกายภาพ- ใน planimetry วิธีการจำนวนเชิงซ้อนช่วยให้คุณสามารถแก้ปัญหาโดยการคำนวณโดยตรงโดยใช้สูตรสำเร็จรูป นี่คือความเรียบง่ายของวิธีนี้ เมื่อเปรียบเทียบกับเวกเตอร์และ วิธีการประสานงานโดยวิธีการแปลงทางเรขาคณิตทำให้นักเรียนต้องใช้สติปัญญามากและการค้นหาที่ยาวนาน สามเหลี่ยมนี้เป็นสัญลักษณ์ของเรขาคณิตมาเป็นเวลาหลายพันปีแล้ว คุณสามารถพูดได้ว่าสามเหลี่ยมเป็นอะตอมของเรขาคณิตก็ได้ รูปหลายเหลี่ยมใดๆ สามารถแบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยมได้ และการศึกษาคุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยมนั้นขึ้นอยู่กับการศึกษาคุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมของส่วนประกอบต่างๆ มาดูกันว่าวิธีจำนวนเชิงซ้อนทำงานอย่างไรเมื่อพิสูจน์คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยม หลักสูตรของโรงเรียน planimetry เช่นเดียวกับการแก้ปัญหา C-4 ของการสอบ Unified State 2
บทที่ 1 จากประวัติความเป็นมาของจำนวนเชิงซ้อน
เห็นได้ชัดว่าเป็นครั้งแรกที่มีการกล่าวถึงปริมาณจินตภาพในงานชื่อดังเรื่อง Great Art หรือ About กฎพีชคณิต» Cardano (1545) ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของวิธีแก้ปัญหาอย่างเป็นทางการในการคำนวณตัวเลขสองตัวที่รวมกันได้ 10 และเมื่อคูณกันจะได้ 40 สำหรับปัญหานี้ เขาได้สมการกำลังสองสำหรับพจน์ใดพจน์หนึ่ง และพบรากของมัน: 5 + √ − 15 และ 5 − √ − 15 . ในคำอธิบายต่อการตัดสินใจ เขาเขียนว่า: “สิ่งเหล่านี้ ปริมาณที่ซับซ้อนที่สุดไร้ประโยชน์แม้ว่าจะฉลาดมากก็ตาม" และ "การพิจารณาทางคณิตศาสตร์กลายเป็นสิ่งที่เข้าใจยากมากขึ้นเรื่อยๆ ถึงขีดจำกัดที่ละเอียดอ่อนพอๆ กับที่ไร้ประโยชน์" ความเป็นไปได้ของการใช้ปริมาณจินตภาพเมื่อแก้สมการลูกบาศก์ในกรณีที่เรียกว่าไม่สามารถลดได้ (เมื่อรากที่แท้จริงของพหุนามแสดงผ่าน รากลูกบาศก์ของปริมาณจินตภาพ) ได้รับการอธิบายครั้งแรกโดยบอมเบลลี (ค.ศ. 1572) เขาเป็นคนแรกที่อธิบายกฎของการบวก การลบ การคูณ และการหารจำนวนเชิงซ้อน แต่ก็ยังถือว่ากฎเหล่านี้เป็น "สิ่งประดิษฐ์" ที่ไร้ประโยชน์และมีไหวพริบ นิพจน์ที่แสดงได้ในรูปแบบ a + b √ − 1 ปรากฏขึ้นเมื่อแก้สมการกำลังสอง และ สมการลูกบาศก์เริ่มถูกเรียกว่า “จินตภาพ” ค่ะ ศตวรรษที่ XVI-XVIIตามคำยุยงของเดส์การตส์ซึ่งเรียกพวกเขาว่าปฏิเสธความเป็นจริงของพวกเขาและสำหรับสาขาวิชาเอกอื่น ๆ อีกมากมาย นักวิทยาศาสตร์ที่ XVIIศตวรรษ ธรรมชาติและสิทธิของการมีอยู่ของปริมาณจินตภาพดูน่าสงสัยอย่างยิ่ง เช่นเดียวกับที่ถือว่าน่าสงสัยในขณะนั้น ตัวเลขอตรรกยะและแม้แต่ค่าลบ อย่างไรก็ตามเรื่องนี้ นักคณิตศาสตร์ก็ใช้ความกล้าหาญ วิธีการอย่างเป็นทางการพีชคณิตของปริมาณจริงและพีชคณิตเชิงซ้อนได้รับผลลัพธ์ที่แท้จริงที่ถูกต้องแม้จากพีชคณิตเชิงซ้อนระดับกลาง และสิ่งนี้ไม่สามารถเริ่มสร้างแรงบันดาลใจให้เกิดความมั่นใจได้ เป็นเวลานานแล้วที่ไม่ชัดเจนว่าการดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ซับซ้อนหรือจริงหรือไม่ หรือตัวอย่างเช่น การแยกรากอาจนำไปสู่การค้นพบตัวเลขประเภทใหม่บางประเภทหรือไม่ ปัญหาการแสดงรากของดีกรี n จาก หมายเลขที่กำหนดได้รับการแก้ไขในผลงานของ Moivre (1707) และ Cotes (1722) สัญลักษณ์ที่ใช้แทนหน่วยจินตภาพถูกเสนอโดยออยเลอร์ (พ.ศ. 2320, ตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2337) ซึ่งใช้อักษรตัวแรกของคำภาษาละตินสำหรับสิ่งนี้
จินตนาการ - จินตภาพ เขายังขยายฟังก์ชันมาตรฐานทั้งหมด รวมถึงลอการิทึม ไปยังโดเมนที่ซับซ้อนด้วย ออยเลอร์ยังได้แสดงความคิดในปี 1751 ที่ว่าสนามของจำนวนเชิงซ้อนถูกปิดโดยพีชคณิต D'Alembert (1747) ได้ข้อสรุปเดียวกัน แต่ข้อพิสูจน์ที่เข้มงวดข้อแรกเกี่ยวกับข้อเท็จจริงนี้เป็นของ Gauss (1799) เกาส์เป็นผู้บัญญัติศัพท์คำว่า "จำนวนเชิงซ้อน" ให้ใช้อย่างแพร่หลายในปี พ.ศ. 2374 แม้ว่าก่อนหน้านี้นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ลาซาร์ การ์โนต์ เคยใช้คำนี้ในความหมายเดียวกันในปี พ.ศ. 2346 ก็ตาม 3 แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (มาตรฐาน) ของจำนวนเชิงซ้อนที่เป็นคู่ของจำนวนจริงถูกสร้างขึ้นโดยแฮมิลตัน (1837); สิ่งนี้พิสูจน์ความสอดคล้องของคุณสมบัติของพวกเขา ก่อนหน้านี้มากในปี 1685 ในงานของเขาเรื่องพีชคณิต วาลลิส (อังกฤษ) ได้แสดงให้เห็นเช่นนั้น รากที่ซับซ้อนสมการกำลังสอง ด้วยค่าสัมประสิทธิ์จริงสามารถแสดงได้ทางเรขาคณิตด้วยจุดบนระนาบ แต่มันก็ไม่มีใครสังเกตเห็น ครั้งต่อไปการตีความทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อนและการดำเนินการกับตัวเลขเหล่านั้นปรากฏในงานของ Wessel (1799) การแสดงเรขาคณิตสมัยใหม่ บางครั้งเรียกว่า "แผนภาพอาร์แกนด์" ถูกนำมาใช้หลังจากการตีพิมพ์ผลงานของเจ. อาร์. อาร์แกนด์ในปี พ.ศ. 2349 และ พ.ศ. 2357 ซึ่งทำซ้ำข้อสรุปของเวสเซลอย่างอิสระ คำว่า "โมดูลัส", "อาร์กิวเมนต์" และ "หมายเลขคอนจูเกต" ถูกนำมาใช้โดย Cauchy ดังนั้นจึงพบว่าจำนวนเชิงซ้อนยังเหมาะสำหรับการประมวลผลเพียงอย่างเดียวอีกด้วยการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต
การบวก การลบ การคูณ และการหารเวกเตอร์บนระนาบ ซึ่งทำให้พีชคณิตเวกเตอร์เปลี่ยนไปอย่างมาก 4
[
1
]
,
บทที่สอง พื้นฐานของวิธีจำนวนเชิงซ้อน [2], [3] [4] การตีความทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน ความยาวของเซ็กเมนต์ เมื่อกำหนดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าพิกัดบนระนาบ จำนวนเชิงซ้อน z = x+iy (i 2 = -1) สามารถเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับจุด M ของระนาบที่มีพิกัด x, y (รูปที่ 1): z = x + ฉัน ↔M (x, y ) ↔M (z) . จากนั้นจึงเรียกเลข z ว่าเป็นพิกัดเชิงซ้อนของจุด M เนื่องจากเซตของจุดในระนาบยูคลิดมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเซตของจำนวนเชิงซ้อน ระนาบนี้จึงถูกเรียกว่าระนาบของจำนวนเชิงซ้อน จุดกำเนิด O ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเรียกว่าจุดเริ่มต้นหรือจุดศูนย์ของระนาบของจำนวนเชิงซ้อน เมื่อ = 0 ตัวเลข z จะเป็นจำนวนจริง จำนวนจริงแสดงด้วยจุดบนแกน x จึงเรียกว่าแกนจริง ที่ x=0 ตัวเลข z นั้นเป็นจำนวนจินตภาพล้วนๆ: z=iy ตัวเลขจินตภาพจะแสดงด้วยจุดบนแกน y ซึ่งเป็นสาเหตุที่เรียกว่าแกนจินตภาพ ศูนย์เป็นทั้งจำนวนจริงและจำนวนจินตภาพล้วนๆ ระยะห่างจากจุดเริ่มต้นของระนาบ O ถึงจุด M(z) เรียกว่าโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน z และเขียนแทนด้วย |z| หรือ r: | z | = ร = | โอม | = √ x 2 + y 2 ถ้า φ เป็นมุมเชิงที่เกิดจากเวกเตอร์ ⃗ OM กับแกน x ดังนั้นโดยนิยามของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ sin φ = y r, cos φ = x r 5
โดยที่ x = r cos φ, y = r sin φ และด้วยเหตุนี้ z = r (cos φ + sin φ) การแทนจำนวนเชิงซ้อน z นี้เรียกว่ามัน
ตรีโกณมิติ
หมากรุก
รูปร่าง. การแทนค่าเดิมเรียกว่า z=x+iy
พีชคณิต
รูปแบบของหมายเลขนี้ ที่ การเป็นตัวแทนตรีโกณมิติมุม เรียกว่าอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนและเขียนแทนด้วย arg z: φ = arg z หากให้จำนวนเชิงซ้อน z = x + iy ดังนั้นจำนวน ´ z = x − iy จะถูกเรียกว่า
คอนจูเกตที่ซับซ้อน
(หรือเพียงแค่
ผัน
) ถึงตัวเลขนี้ z แน่นอนว่าเลข z ก็ผันกับเลข ´z เช่นกัน จุด M(z) และ M 1 (´ z) มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน x จากความเท่ากัน z = ´ z จะตามมาด้วย y = 0 และในทางกลับกัน นี่หมายความว่า
จำนวนเท่ากับ
คอนจูเกตนั้นมีจริงและในทางกลับกัน
จุดที่มีพิกัดเชิงซ้อน z และ -z จะมีความสมมาตรเทียบกับจุดเริ่มต้น O จุดที่มีพิกัดเชิงซ้อน z และ − z จะมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับแกน y จากความเท่าเทียมกัน z = ´z จะตามมาว่า x = 0 และในทางกลับกัน ดังนั้น เงื่อนไข z =− ´ z จึงเป็นเกณฑ์สำหรับจำนวนจินตภาพล้วนๆ สำหรับตัวเลข z ใดๆ แน่นอน | z | - ' z | =¿− z ∨¿∨−´ z ∨¿
ผลรวมและผลิตภัณฑ์
จำนวนเชิงซ้อนคอนจูเกตสองตัวเป็นจำนวนจริง: z + ´ z = 2 z, z ´ z = x 2 + y 2 =¿ z 2 ∨¿ การผันตัวเลขเข้ากับผลรวม ผลิตภัณฑ์ หรือผลหารของเชิงซ้อน 6
ตัวเลขคือผลรวม ผลคูณ หรือผลหารของตัวเลขที่ผันเข้ากับจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดตามลำดับ: ´ z 1 + z 2 = ´ z 1 + ´ z 2 ; ´ ซี 1 ซี 2 = ´ ซี 1 ´ ซี 2 ; ´ z 1: z 2 = ´ z 1: ´ z 2 ความเท่าเทียมกันเหล่านี้สามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายโดยใช้สูตรสำหรับการดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน ถ้า a และ b เป็นพิกัดเชิงซ้อนของจุด A และ B ตามลำดับ จำนวน c = a + b คือพิกัดของจุด C โดยที่ ⃗ OC = ⃗ OA + ⃗ OB (รูปที่ 3) จำนวนเชิงซ้อน d = a − b สอดคล้องกับจุด D โดยที่ ⃗ OD = ⃗ OA − ⃗ OB ระยะห่างระหว่างจุด A และ B คือ | ⃗BA | - ⃗ OD | =¿ a − b ∨¿: ¿ AB ∨¿∨ a − b ∨¿ (1) เนื่องจาก ¿ z ∨ 2 = z ´ z ดังนั้น ¿ AB ∨ 2 =(a − b) (´ a − ´ b) (2)
สมการ
ซี 'z = r 2
กำหนดวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง
เกี่ยวกับรัศมี
ร.
ความสัมพันธ์ AC CB = แลม, (แลมบ์ ≠ − 1) โดยที่จุด C หาร ส่วนนี้ AB แสดงผ่านพิกัดเชิงซ้อนของจุดเหล่านี้ดังต่อไปนี้: แล = c − a b − c, แล = ´ แลม โดยที่ c = a + แลมบ์ 1 + แลม (3) สำหรับ แล = 1 จุด C คือจุดกึ่งกลาง ของกลุ่ม AB และในทางกลับกัน จากนั้น: c = 1 2 (a + b) (4) การคูณจำนวนเชิงซ้อน การคูณจำนวนเชิงซ้อนจะดำเนินการตามสูตร นั่นคือ | ข | - || ข | และ 7
ความขนานและการตั้งฉาก เส้นตรงของจุดสามจุด ให้จุด A(a) และ B(b) ถูกกำหนดไว้บนระนาบของจำนวนเชิงซ้อน เวกเตอร์ ⃗ OA และ ⃗ OB มีทิศทางร่วมก็ต่อเมื่อ arg a = arg b เช่น เมื่อ arg a – arg b=arg a b =0 (เมื่อหารจำนวนเชิงซ้อน อาร์กิวเมนต์ของตัวหารจะถูกลบออกจากอาร์กิวเมนต์ของ เงินปันผล).
เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์เหล่านี้มีทิศทางตรงกันข้ามก็ต่อเมื่อ arg a - arg b= arg a b = ± π จำนวนเชิงซ้อนที่มีอาร์กิวเมนต์ 0, π, - π เป็นจำนวนจริง
เกณฑ์ Collinearity สำหรับจุด O, A, B: เพื่อให้จุด A(a) และ B(b) อยู่ในแนวเดียวกันกับจุดเริ่มต้น O จำเป็นและเพียงพอที่ผลหาร a b จะเท่ากับจำนวนจริง เช่น a b = ´ a ´ b หรือ a ´ b = ´ a b (6) ตอนนี้ให้เอาคะแนน A(a), B(b), C(c), D(d) เวกเตอร์ ⃗ BA และ ⃗ DC collie ไม่ใช่ ary ถ้าหากจุดที่กำหนดโดยเชิงซ้อนและ с-d อยู่ในแนวเดียวกันกับจุดเริ่มต้น O หมายเหตุ: 1. จาก (6) เรามี: ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ (a − b) (´ c − ´ d) =(´ a − ´ b ) (ค - ง) ; (8) 2. ถ้าจุด A, B, C, D อยู่ในวงกลมหน่วย z ´ z = 1 แล้ว ´ a = 1 a; ´ ข = 1 ข ; ´ ค = 1 ค ; ´ d = 1 d ดังนั้น เงื่อนไข (8) จึงมีรูปแบบ: ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ ab = cd ; (9) 3. ความสอดคล้องกันของจุด A, B, C มีลักษณะเฉพาะโดยความสอดคล้องกันของเวกเตอร์ ⃗AB และ ⃗AC เมื่อใช้ (8) เราจะได้: (a − b) (´ a −´ c) =(´ a − ´ b) (a − c) (10) นี่คือเกณฑ์สำหรับจุด A, B, C ที่จะเข้าข่าย ให้เป็นเส้นตรงเดียวกัน สามารถแสดงได้ในรูปแบบสมมาตร a (´ b −´ c) + b (´ c −` a) + c (´ a − ´ b) = 0 (11) 8
หากจุด A และ B อยู่ในวงกลมหน่วย z ´ z = 1 ดังนั้น ´ a = 1 a; ´ b = 1 b ดังนั้นความสัมพันธ์แต่ละความสัมพันธ์ (10) และ (11) จึงถูกแปลง (หลังจากลด (a-b) ลงเป็นค่าต่อไปนี้: c + ab ´ c = a + b (12) จุด A และ B ได้รับการแก้ไขแล้ว และประเด็น เราจะพิจารณาตัวแปร C โดยกำหนดพิกัดใหม่เป็น z จากนั้นแต่ละความสัมพันธ์ที่ได้รับ (10), (11), (12) จะเป็นสมการของเส้นตรง AB: (´ a − ´ b) z + (b − a) ´ z + a ´ b − b ´ a = 0 , (10a) z + ab z = a + b (12a) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง OA ทางตรงมีสมการ a ´ z = ´ a z เป็นเพียงจินตนาการเท่านั้น ดังนั้น OA ⊥ OB↔ a b = − ´ a ´ b หรือ OA ⊥ OB↔a ´ b + ´ a b = 0 (13) ความตั้งฉากของเซ็กเมนต์ AB และ CD ถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน (a − b) (´ c − ´ d) + (´ a − ´ b) (c − d) = 0 (14) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อจุด A, B, C, D อยู่ในหน่วยวงกลม z ´ z = 1 จากนั้นการพึ่งพา (14) จะง่ายขึ้น: ab + cd = 0 (15) จงเขียนผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ ผลิตภัณฑ์ดอทเวกเตอร์ ⃗ OA และ ⃗ OB ผ่านพิกัดเชิงซ้อน a และ b ของจุด A และ B ให้ a=x 1 +iy 1 , b=x 2 +iy 2 จากนั้น a b + a b=(x 1 +iy 1)(x 2 −iy 2)+(x 1 −iy 1)(x 2 +iy 2)=2(x 1 x 2 +y 1 y 2)= 2 ⃗ โอเอ∙⃗OB ดังนั้น ⃗ OA ∙ ⃗ OB = 1 2 (ab + ab) (16) 9
ตอนนี้ให้จุด A(a), B(b), C(c), D(d) ตามอำเภอใจสี่จุดได้รับพิกัดที่ซับซ้อน จากนั้น 2 ⃗ AB ∙ ⃗ CB = 1 2 (a-b)(c - d)+(a - b)(c-d) (17) มุม ให้เราตกลงที่จะแทนด้วยสัญลักษณ์ ∠ (AB ,CD) มุมที่เป็นบวกผ่าน ซึ่งเวกเตอร์ ⃗ จะต้องหมุน AB เพื่อให้มีทิศทางร่วมกับเวกเตอร์ ⃗ CD จากนั้น cos ∠ (AB, CD)= (d − c) (´ b − ´ a) +(´ d −´ c)(b − a) 2 | ง - ค || ข − ก |
(18) sin ∠ (AB ,CD)= (d − c) (´ b −´ a) +(´ d −´ c)(b − a) 2 i | ง - ค || ข − ก |
(19) จุดตัดของเส้นตัดกับวงกลม ถ้าจุด A, B, C และ D อยู่บนวงกลม z ´ z = 1 แล้วสูตร ´ z = (a + b) จะพบพิกัดเชิงซ้อนของจุดตัด − (c + d) ab − cd (20) ถ้า AB ตั้งฉากกับ CD แล้ว z= 1 2 (a+b+c+d) (21) จุดตัดของเส้นแทนเจนต์กับวงกลม 10
พิกัดเชิงซ้อนของจุดตัดกันของแทนเจนต์กับวงกลม z ´ z =1 ที่จุด A(a) และ B(b) หาได้จากสูตร z= 2ab a + b (22) การฉายภาพมุมฉากของจุด ลงบนเส้นตรง เส้นโครงฉากมุมฉากของจุด M(m) ลงบนเส้นตรง AB โดยที่ A(a) และ B(b) หาได้จากสูตร ในกรณีที่ A และ B อยู่ในหน่วยวงกลม z= 1 2 (a + b + m − cb ม.) .
บทที่ 3
โดยที่ h=a+b+c มาจากไหน (24) ผลลัพธ์ที่ได้จะรวมถึงพิกัดของจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมแบบสมมาตร ดังนั้น ระดับความสูงที่สามของรูปสามเหลี่ยมจึงผ่านจุดตัดของรูปสามเหลี่ยมสองรูปแรกที่คล้ายกัน [2,1] รูปสามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 มีความคล้ายคลึงและมีทิศทางเหมือนกัน (ความคล้ายคลึงของประเภทแรก) ถ้า B 1 =kAB, A 1 B 1 =kAC และมุม B 1 A 1 C 1 และ BAC เท่ากัน (มุมจะถูกวางตัว) เมื่อใช้จำนวนเชิงซ้อน ความเท่าเทียมกันเหล่านี้สามารถเขียนได้ดังนี้ |a 1 −b 1 |=k|a−b|, |a 1 −c 1 |=k|a−c|,arg c 1 − a 1 b 1 − a 1 = หาเรื่อง c − a b − a ความเท่าเทียมกันทั้งสองมีค่าเท่ากับค่าหนึ่งโดยที่ 1 − a 1 c − a = b 1 − a 1 b − a = σ , (25) โดยที่ σ เป็นจำนวนเชิงซ้อน |σ|=k-สัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน ถ้า σ เป็นจริง แล้ว c 1 − a 1 c − a = ´ c 1 − ´ a 1 ´ c − ´ a โดยที่ AC║A 1 C 1 ดังนั้น สามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 จึงเป็นแบบโฮโมเทติก ความสัมพันธ์ (25) เป็นสิ่งจำเป็นและ สภาพที่เพียงพอดังนั้น สามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 จะคล้ายกันและมีทิศทางเท่ากัน สามารถกำหนดรูปแบบสมมาตรได้ ab 1 +bc 1 +ca 1 =ba 1 +cb 1 +ac 1 (25a) สามเหลี่ยมเท่ากัน ถ้า | ซิ | = 1 ดังนั้น สามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 เท่ากัน จากนั้น ความสัมพันธ์ (25) เป็นสัญลักษณ์ของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมที่มีทิศตรงข้ามกัน และความสัมพันธ์ (26) เป็นสัญลักษณ์ของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมที่มีทิศตรงข้ามกัน สามเหลี่ยมปกติ หากคุณต้องการที่เน้น สามเหลี่ยมเอบีซีคล้ายกับสามเหลี่ยมเชิง BCA แล้วสามเหลี่ยม ABC จะเป็นเส้นปกติ 12
ดังนั้น จาก (25) เราได้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับสามเหลี่ยม ABC ให้เป็นปกติ (a−b) 2 +(b−c) 2 +(c−a) 2 =0 (27) พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม (พิสูจน์โดยผู้เขียน) เราได้สูตรสำหรับพื้นที่ S ของสามเหลี่ยมมุมบวก ABC: S = 1 2 | เอบี || เอซี | บาป ∠ (AB , AC)= 1 4i ((c − a) (´ b − ´ a) − (b − a) (´ c − ´ a)) = − 1 4i (a (´ b − ´ c) + b (' c − ' a) + c (' a − ' b)) หรือ S = i 4 (a (' b − ' c) + b (' c − 'a) + c (' a − ' b )) (28) ถ้า สามเหลี่ยมเอบีซีเขียนไว้ในวงกลม z ´ z = 1 จากนั้นสูตร (28) จะถูกแปลงเป็นรูปแบบ: S = i 4 (a − b)(b − c)(c − a) abc (29) ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นกึ่งกลางของ a สามเหลี่ยม (พิสูจน์โดยผู้เขียน)
ทฤษฎีบท
. สายกลางของรูปสามเหลี่ยมนั้นขนานกับฐานและเท่ากับครึ่งหนึ่งของฐาน การพิสูจน์. ให้จุด M และ N เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน AB และ BC แล้ว m = b 2 ; n = ข + ค 2 . เนื่องจาก z 2 =z ´ z ดังนั้น MN 2 =(mn)(´ m - ´ n)=(b 2 - b + c 2)(´ b 2 – ´ b + ´ c 2)= b ´ b 4 − b ´ b + b ´ c 4 − b ´ b + ´ b c 4 + b ´ b + b ´ c + ´ b c + c ´ c 4 = c ´ c 4 13
4MN 2 =c ´ c, AC 2 =(c-0)(c-0)=c ´ c ดังนั้น 4MN 2 = AC 2 หรือ 2MN=AC เงื่อนไข (8) ของความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์ MN และ AC ก็เป็นที่พอใจเช่นกัน และดังนั้น MN ║AC ทฤษฎีบทของทาเลส (พิสูจน์โดยผู้เขียน)
ทฤษฎีบท
- หากด้านหนึ่งของมุมเส้นขนานตัดส่วนที่เท่ากันออกไป แล้วอีกด้านหนึ่งของมุมก็จะตัดส่วนที่เท่ากันออก หลักฐาน สมมติว่า c=kb แล้วถ้า BD||CE เราก็จะได้ (b-d)(´ c − 2 ´ d ¿= (´ b − ´ d) (c − 2d) การเปิดวงเล็บแล้วนำ เงื่อนไขที่คล้ายกันเราจะได้สมการ b ´ c − 2 b ´ d −´ c d = ´ b c − 2 ´ b d − c ´ d แทนที่ c ด้วย kb และ ´ c ด้วย k ´ b เราจะได้ bk ´ b -2b ´ d -dk ` ข = ` ข kb-2 ´ ข d-kb ´ d . นำพจน์ที่คล้ายกันมาอีกครั้งและย้ายทุกอย่างไปด้านใดด้านหนึ่ง เราจะได้ 2b ´ d + dk ´ b − 2 ´ b d − kb ´ d =0 เราจะเอามันออกไป ตัวคูณทั่วไปและเราจะได้ 2(b ´ d − ´ b d ¿+ k (´ b d − b ´ d) = 0 ดังนั้น k=2 นั่นคือ c=2b ในทำนองเดียวกัน ก็พิสูจน์ได้ว่า f=3b เป็นต้น ทฤษฎีบทของพีทาโกรัส ( พิสูจน์โดยผู้เขียน) B สามเหลี่ยมมุมฉากกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลรวมขาเหลี่ยม 14
การพิสูจน์. ระยะห่างระหว่างจุด B และ C เท่ากับ BC=|b-c|=b, BC 2 =b ´ b ตั้งแต่ |z| 2 = z ´ z แล้ว AC 2 =(a-c)(c ´ a − ´ ¿ ¿=(a − 0) (´ a - 0)=a ´ a . AB 2 =(a-b)(´ a − ´ b ¿= a ´ a − a ´ b - ´ a b+b ´ b เนื่องจาก b เป็นจำนวนจริง เช่น b= ´ b จากนั้น -a ´ b =− ab a นั่นคือ - ´ ab = ab ดังนั้น AB 2 = a ´ a -a ´ b - ´ ab +b ´ b = a ´ a +b ´ b = AC 2 +BC 2 ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว เส้นตรง (พิสูจน์โดยผู้เขียน) ขอให้เราพิสูจน์ว่าออร์โธเซ็นเตอร์ เซนทรอยด์ และศูนย์กลางเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (เส้นตรงนี้เรียกว่าเส้นตรงออยเลอร์) และ OG = 1/2GH 15
พิสูจน์: จุด G(g) คือจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยม ABC, H(h) คือจุดศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ และ O(o) คือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จำกัดขอบเขตของรูปสามเหลี่ยม เพื่อให้จุดเหล่านี้อยู่ในแนวเดียวกัน ต้องมีความเท่าเทียมกัน (10): (g-о)(´ g - ´ h ¿ -(´ g − ´ o ¿ (g − h) =0 ให้เราใช้จุด O เป็น ต้นกำเนิด จากนั้น g(´ g - ´ h ¿ - ´ g (g − h) =g 2 -g ´ h −¿ (g 2 - h ´ g ¿ =-g ´ h + h ´ g (30) พิกัดเชิงซ้อนของออร์โธเซ็นเตอร์คำนวณตามสูตร (24) h=a+b+c, (30a) และเซนทรอยด์ตามสูตร (23) g = 1 3 (a + b + c) (30c) แทนลงใน ( 30) เราได้ 1 3 (a+b +c)(´ a + b + c)-(a+b+c)(´ a + b + c 1 3 ¿))=0 ความเท่าเทียมกัน (10) คือ ดังนั้น เซนทรอยด์ ออร์โธเซนเตอร์ และศูนย์กลางของสามเหลี่ยมที่ล้อมรอบอยู่ในเส้นเดียวกัน OG=g= 1 3 (a+b+c) GH=h-g=a+b+c- 1 3 (a +b+c)= 2 3 (a+b+c) เราได้ OG= 1 2 GH ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว 16
วงกลมออยเลอร์ (วงกลมเก้าจุด) พิสูจน์โดยผู้เขียน พิจารณารูปสามเหลี่ยม ABC เรามาตกลงกันว่า | โอเอ | - โอบี |- โอซี | =1 เช่น จุดยอดทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมอยู่ในหน่วยวงกลม z ´z = 1 (ศูนย์กลางเส้นรอบวง O คือจุดกำเนิด และรัศมีคือหน่วยความยาว) ให้เราพิสูจน์ว่าฐานมีความสูงสามระดับ
สามเหลี่ยมโดยพลการ
จุดกึ่งกลางของด้านทั้งสามและจุดกึ่งกลางของทั้งสามส่วนที่เชื่อมจุดยอดกับจุดออร์โธเซนเตอร์นั้นอยู่บนวงกลมเดียวกัน และจุดศูนย์กลางคือจุดกึ่งกลางของส่วน OH โดยที่ H หรือจำได้ว่าเป็นจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยม ABC วงกลมดังกล่าวเรียกว่า
เพราะ สามเหลี่ยม ABC ถูกเขียนไว้ในวงกลม z ´ z = 1 จากนั้น | ก | - ข | - ค | = 1,→ | ก 2 | - ข 2 | - ค 2 | = 1 2 | || ข | - ค | = 1 2 | || ค | - ข | = 1 2 | ข || ค | - ก | = 1 2 ดังนั้น จุด D, E, F, K, L, M, N, Q, F อยู่ในวงกลมเดียวกัน ทฤษฎีบทของเกาส์ ถ้าเส้นตรงตัดเส้นที่มีด้าน BC, CA, AB ของสามเหลี่ยม ABC ตามลำดับ ที่ คะแนน A 1, B 1 , C 1 จากนั้นจุดกึ่งกลางของกลุ่ม AA 1, BB 1, СС 1 เป็นแบบแนวเดียวกัน การใช้ (11) เราเขียนเงื่อนไขสำหรับการคอลลิเนียริตีของแฝดสามของจุด AB 1 C, CA 1 B, BC 1 A, A 1 B 1 C 1: 0,) b - a (c) a - c () c - b (a 0 ,) c - b a() b - a () a - c b(0,) a - c b() c - b () b - a c(0,) b - a (c) a - c () c - b a (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b c a b (31) ถ้า M, N, P เป็นจุดกึ่งกลางของ ส่วน AA 1, BB 1, CC 1 แล้วเราต้องแสดงว่า 0) () () ( n mp m p n p n m (32) เนื่องจาก), (2 1), (2 1), (2 1 1 1 1 c c p b b n a a m จากนั้นความเท่าเทียมกันที่พิสูจน์แล้ว (31) จะเทียบเท่ากับค่าต่อไปนี้: 0))(())(())((1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b b a c c a a c c b b c c b b a หรือหลังการคูณ: 0) () () () () () () () () () () () () () (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ข a c b a กับ b a c b a c a c b a กับ b a c b a c b c b a c b a c b a c a (33) ตอนนี้มันง่ายที่จะเห็นว่า (33) ได้มาจากการเพิ่มระยะเท่ากัน (31) การพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์
บทที่สี่
การแก้ปัญหา USE และโอลิมปิกต่างๆ โดยใช้วิธีจำนวนเชิงซ้อน
ปัญหา 1. การตรวจสอบสถานะแบบครบวงจร -2012, P-4 บนเส้นตรงที่มีค่ามัธยฐาน AD ของสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มีมุมฉาก C จุด E จะถูกหา ซึ่งอยู่ห่างจากจุดยอด A ที่ระยะเท่ากับ 4 จงหาพื้นที่ของ สามเหลี่ยมก่อนคริสตศักราช ถ้า BC=6, AC= 4 วิธีแก้ปัญหาแรก ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส AD=5 จากนั้น ED=1 ให้จุด E อยู่บนรังสี AD ค่ามัธยฐาน AD ยาวกว่า AE และจุด E อยู่ภายในสามเหลี่ยม ABC (รูปที่ 1) ให้เราปล่อย EF ตั้งฉากจากจุด E ไปยังเส้น BC และพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากที่คล้ายกัน DEF และ DAC จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมเหล่านี้ เราพบว่า: EF = AC ∙ ED AD = 4 5 19
ดังนั้น S ก่อนคริสตศักราช = 1 2 ∙ 6 ∙ 4 5 = 2.4 ตอนนี้ให้จุด A อยู่ระหว่าง E และ D (รูปที่ 2) ในกรณีนี้ ED=9 และ EF = AC ∙ ED AD = 36 5 . จากนั้น S ก่อนคริสตศักราช = 1 2 ∙ 6 ∙ 36 5 = 21.6 คำตอบ: 2.4; 21.6. การแก้ปัญหาโดยใช้จำนวนเชิงซ้อน กรณีที่ 1: จุด E อยู่บนรังสี AD เนื่องจาก D อยู่ตรงกลางของ CB ดังนั้น CD=3 และเนื่องจาก CA=4 จึงชัดเจนว่า AD=5 นั่นคือ DE=1 สมมติว่าจุด C เป็นจุดเริ่มต้น และลากเส้น CA และ CB เป็นแกนจริงและแกนจินตภาพ จากนั้น A(4), C(0), B(6i), D(3i), E(e) จุด A, E และ D อยู่ในแนวเดียวกัน จากนั้น e − 4 3i − e = 4 เช่น e= 12i + 4 5 ตามสูตร (25) S CBE =│ ´ i 4 (e6 ´ i +6i(− ´ e)│= e e − ´ ¿ 6 i 2 4 ¿ ¿ =2.4 กรณีที่ II: จุด A อยู่ระหว่างจุด D และ E จากนั้น 4 − e 3i − 4 = 4 5 เช่น e= 36 − 12 i 5 S CBE = | 3 i 2 2 (36 − 12 i 5 − 36 − 12i 5) | : 2.4 และ 21.6 เพื่อแก้ปัญหาใน วิธีแรกคุณต้องมีการเดาหลายๆ ครั้ง ซึ่งอาจไม่ปรากฏขึ้นทันที แต่หลังจากให้เหตุผลมาเป็นเวลานาน แม้ว่าหากนักเรียนเตรียมตัวมาอย่างดีแล้ว วิธีแก้ปัญหาก็จะเกิดขึ้นทันที วิธีที่สอง เรา เราใช้สูตรสำเร็จรูปซึ่งช่วยประหยัดเวลาในการค้นหา อย่างไรก็ตาม เราเข้าใจว่าหากไม่ทราบสูตรก็จะไม่สามารถแก้ปัญหาโดยใช้วิธีจำนวนเชิงซ้อนอย่างที่คุณเห็นแต่ละวิธีมีข้อดีและข้อเสีย .
ภารกิจที่ 2 (MIOO, 2011):
“จุด M อยู่ที่ส่วน AB บนวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง AB ให้หาจุด C ซึ่งอยู่ห่างจากจุด A, M และ B ที่ระยะ 20, 14 และ 15 ตามลำดับ จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม BMC" 20
วิธีแก้ปัญหา: เนื่องจาก AB คือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ดังนั้น ∆ ABC จึงเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก ∠ C = 90 ° ลองใช้ C เป็น จุดศูนย์ระนาบ จากนั้น A(20i), B(15), M(z) เนื่องจาก CM=14 ความเท่าเทียมกัน z ´z = 196 จึงเป็นค่าที่ถูกต้อง กล่าวคือ จุด M ∈ วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด C และ r=14 ลองหาจุดตัดของวงกลมนี้ด้วยเส้น AB: สมการของเส้น AB (10a): 20 i (15 −´ z) + 15 (´ z + 20 i) + z (− 20 i − 15) = 0 การแทนที่ ´ z ด้วย 196 z และคูณสมการทั้งหมดด้วย (4 i − 3) เราจะได้สมการกำลังสองสำหรับ z: 25 z 2 + 120 i (4 i − 3) z + 196 (4 i − 3) 2 = 0 z 1,2 = 2 (3 − 4 i) (6 i± √ 13) 5 โดยใช้สูตร (28) เราจะหาพื้นที่ ∆ MBC: S = i 4 (z (´ b − ´ c) + b (´ c − ´ z) + c (´ z − ´ b)) โดยที่ c = 0, ´ c = 0, b = 15, ´ b = 15, ´ z = 196 ∗ 5 2 (3 − 4 i) (6 i ± √ 13) เสร็จสิ้นแล้ว การแปลงที่เท่ากันเราจะได้ S = 54 ± 12 √ 13 ตร.ม. หน่วย คำตอบ. 54 ± 12 √ 13 ตร.ม. หน่วย หากคุณแก้ปัญหาได้ วิธีการทางเรขาคณิตดังนั้นจึงจำเป็นต้องพิจารณาสองกรณีที่แตกต่างกัน: จุดแรก M อยู่ระหว่าง A และ D; ที่ 2 - ระหว่าง D และ B.21
เมื่อแก้ปัญหาโดยใช้วิธีจำนวนเชิงซ้อน จะได้ความเป็นคู่ของการแก้ปัญหาเนื่องจากมีจุดตัดกันสองจุดของวงกลมและเส้น สถานการณ์นี้ช่วยให้เราหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดทั่วไปได้
ปัญหา 3
ค่ามัธยฐาน AA 1, BB 1 และ CC 1 ของสามเหลี่ยม ABC ตัดกันที่จุด M เป็นที่รู้กันว่า AB=6MC 1 พิสูจน์ว่าสามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก วิธีแก้: ให้ C เป็นจุดศูนย์ของระนาบ และกำหนดหน่วยจริงให้กับจุด A จากนั้น ปัญหาก็ลดลงจนเป็นการพิสูจน์ว่า b เป็นจำนวนจินตภาพล้วนๆ AB 2 = (b − 1) (´ ข − 1) . M คือเซนทรอยด์ พิกัดคือ 1 3 b + 1 3 MC 1 2 = (1 3 b + 1 3 − 1 2 b − 1 2)(1 3 ´ b + 1 3 − 1 2 ´ b − 1 2) = 1 3 b (b + 1) (´ b + 1) เนื่องจาก AB=6MC 1 ดังนั้น (b − 1) (´ b − 1) = (b + 1) (´ b + 1) . เมื่อทำการแปลงแล้ว เราจะได้ b =− ´ b กล่าวคือ b เป็นจำนวนจินตภาพล้วนๆ กล่าวคือ มุม C เป็นเส้นตรง
ภารกิจที่ 4
22
จากการหมุน 90° รอบจุด O ส่วน AB จึงกลายเป็นส่วน A "B" พิสูจน์ว่าค่ามัธยฐาน OM ของสามเหลี่ยม OAB " ตั้งฉากกับเส้น A " B วิธีแก้: ให้พิกัด O, A, B เท่ากับ 0.1, b ตามลำดับ จากนั้นจุด A " และ B " จะมีพิกัด a" = i และ b" = bi และจุด M ตรงกลางของส่วน AB " จะมีพิกัด m = 1 2 (1 + bi) เราพบว่า: a " − b m − 0 = i − b 1 2 (1 + bi) = 2 i (i − b) i − b = 2i จำนวนนั้นเป็นจำนวนจินตภาพล้วนๆ ขึ้นอยู่กับเกณฑ์ตั้งฉาก (เซ็กเมนต์ AB และ CD จะตั้งฉากก็ต่อเมื่อตัวเลข a − b c − d เป็นจินตภาพล้วนๆ) เส้นตรง OM และ A ’ B จะตั้งฉากกัน
ปัญหาที่ 5
.
23
จากฐานความสูงของรูปสามเหลี่ยม เส้นตั้งฉากจะตกลงไปบนสองด้านที่ไม่ตรงกับระดับความสูงนี้ พิสูจน์ว่าระยะห่างระหว่างฐานของเส้นตั้งฉากไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกความสูงของรูปสามเหลี่ยม วิธีแก้ปัญหา: ให้สามเหลี่ยม ABC และวงกลมที่ล้อมรอบวงกลมนั้นมีสมการ z ´z = 1 ถ้า CD คือความสูงของรูปสามเหลี่ยม แล้ว d = 1 2 (a + b + c − ab c) พิกัดเชิงซ้อนของฐาน M และ N ของเส้นตั้งฉากตกจากจุด D ถึง AC และ BC ตามลำดับ จะเท่ากับ m = 1 2 (a + c + d − ac ´ d 2) n = 1 2 (b + c + d − bc ´ d 2) เราพบว่า: m − n = 1 2 (a − b + c ´ d ( b − a)) = 1 2 ( a − b) (1 − c ´ d) = (a − b) (a − c) (b − c) 4 ab เนื่องจาก | ก | - ข | = 1 แล้วก็ | ม. - n | - (a − b) × (b − c) (c − a) | 4. นิพจน์นี้มีความสมมาตรด้วยความเคารพต่อ a, b, c, เช่น ระยะทาง MN ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกความสูงของสามเหลี่ยม
บทสรุป
24
"แน่นอน! ปัญหาทั้งหมดสามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้จำนวนเชิงซ้อน แต่ความจริงก็คือพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นอีกเรื่องหนึ่ง วิธีการที่มีประสิทธิภาพการแก้ปัญหาเชิงระนาบ เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับการเลือกวิธีการที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นสำหรับงานที่กำหนดเท่านั้น ข้อโต้แย้งเกี่ยวกับข้อดีของวิธีการใดวิธีหนึ่งนั้นไม่มีประโยชน์หากเราพิจารณาวิธีการเหล่านี้โดยทั่วไป โดยไม่ต้องนำไปใช้กับปัญหาเฉพาะใดๆ” [2] สถานที่ขนาดใหญ่ในการศึกษาวิธีการนี้ถูกครอบครองโดยชุดสูตร นี่คือ
ข้อเสียเปรียบหลัก
วิธีการและในเวลาเดียวกัน
ศักดิ์ศรี
เนื่องจากจะช่วยให้คุณแก้ปัญหาได้เพียงพอ งานที่ซับซ้อนตามสูตรสำเร็จรูปพร้อมการคำนวณเบื้องต้น นอกจากนี้ฉันเชื่อว่าเมื่อแก้ไขปัญหาแผนผัง วิธีนี้เป็นสากล
บรรณานุกรม
1. Markushevich A.I. ตัวเลขที่ซับซ้อนและการแมปโครงสร้าง - M.: สำนักพิมพ์วรรณกรรมทางเทคนิคและทฤษฎีแห่งรัฐ, 1954. - 52 น. 25
2. ภณรินทร์ ญา ป. พีชคณิตเรื่องจำนวนเชิงซ้อนในปัญหาเรขาคณิต: หนังสือสำหรับนักเรียนชั้นเรียนคณิตศาสตร์ของโรงเรียน ครู และนักศึกษามหาวิทยาลัยการสอน - อ.: MTsNMO, 2004. - 160 น. 3. Shvetsov D. จากแนวของ Simson ไปจนถึงทฤษฎีบท Droz-Farney, Kvant - ฉบับที่ 6, 2552. – หน้า. 44-48 4. Yaglom I. M. การแปลงทางเรขาคณิต- การแปลงเชิงเส้นและแบบวงกลม - สำนักพิมพ์ของรัฐวรรณกรรมเทคนิคและทฤษฎี พ.ศ. 2499 – 612 น. 5. Yaglom I.M. จำนวนเชิงซ้อนและการประยุกต์ในเรขาคณิต - M.: Fizmatgiz, 1963. - 192 p. 6. มอร์โควิช เอ.จี. และอื่น ๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป (ระดับโปรไฟล์) - M.: Mnemosyne, 2012. - 343 p. 7. แอนโดรนอฟ ไอ.เค. คณิตศาสตร์ของจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน - M.: Prosveshchenie, 1975. - 158 p. 26
แอปพลิเคชัน
ทฤษฎีบทคลาสสิกเรขาคณิตเบื้องต้น
ทฤษฎีบทของนิวตัน
ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ล้อมรอบวงกลม จุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมจะขนานกับจุดศูนย์กลางของวงกลม 27
การพิสูจน์. ให้เราเอาจุดศูนย์กลางของวงกลมเป็นจุดกำเนิด โดยกำหนดรัศมีให้เท่ากับหนึ่ง ให้เราแสดงจุดสัมผัสของด้านข้างของสามเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมนี้ A o B o C o D o โดย A, B, C, D (ในลำดับวงกลม) (รูปที่ 4) ให้ M และ N เป็นจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม A o C o และ B o D o ตามลำดับ จากนั้นตามสูตรสำหรับจุดตัดของแทนเจนต์กับวงกลม z = 2ab a + b จุด A o , B o , C o , D o จะมีพิกัดที่ซับซ้อนตามลำดับ: , 2 , 2 , 2 , 2 0 0 0 0 d c cd d c b bc c b a ab b d a ad a โดยที่ a, b, c, d เป็นพิกัดเชิงซ้อนของจุด A, B, C, D ดังนั้น) (2 1 ,) (2 1 0 0 0 0 d c cd b a ab d b n c b bc d a ad c a m คำนวณ.))(())((a d c b d c b a n m ตั้งแต่ 1 , 1 b b a , 1 , 1 d d c c โดยตรงแล้วจะเห็นได้ว่า n m n m จาก (6) จุด O, M, N เป็นเส้นตรง
ทฤษฎีบทของปาสคาล
.
จุดตัดของเส้นที่มีด้านตรงข้ามของรูปหกเหลี่ยมที่จารึกไว้นั้นอยู่บนเส้นเดียวกัน 28
การพิสูจน์. ให้รูปหกเหลี่ยม ABCDEF และ P FA CD N EF BC M DE AB ) () (,) () (,) () ( (รูปที่ 6) ถูกจารึกไว้ในวงกลม (รูปที่ 6) ให้เราใช้จุดศูนย์กลางของวงกลมเป็นจุดศูนย์ของระนาบ และรัศมีของมันคือต่อหน่วยความยาว จากนั้น ตาม (17) เราจะได้: ,) (,) (,) (fa cd a f d c p ef bc f e c b n de ab e d b a m คำนวณ) )(())((ef bc de ab fa ef de cd bc e b n m และในทำนองเดียวกัน .))(())((fa cd ef bc bc ab fa ef de cd f c p n ต่อไปเราจะพบ: .))(())((de ab c f fa cd e b p n n m เนื่องจากตัวเลข f e d c b a เท่ากันตามลำดับ f e d c b a 1 , 1 , 1 , 1, 1, 1 ดังนั้นการตรวจสอบด้วยวาจาเผยให้เห็นว่านิพจน์ที่พบเกิดขึ้นพร้อมกับคอนจูเกตนั่นคือมันเป็นจำนวนจริง ซึ่งหมายความว่าจุด M, N, P อยู่ในแนวเดียวกัน
ทฤษฎีบทของมอนจ์
ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจารึกไว้ในวงกลม เส้นที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของด้านข้างและ เส้นทแยงมุมแต่ละเส้นจะตั้งฉากกับด้านตรงข้าม ดังนั้นเส้นทแยงมุมอีกเส้นจะตัดกันที่จุดหนึ่ง เรียกว่าจุด Monge ของรูปสี่เหลี่ยมวงกลม การพิสูจน์. เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากที่ด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยม ABCD จะตัดกันที่ศูนย์กลางของเส้นรอบวงวงกลม ซึ่งเราใช้เป็นจุดเริ่มต้น สำหรับแต่ละจุด M(z) ของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากถึง [AB] จำนวน b a b a z ) (2 1 จินตภาพล้วนๆ 29
โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ z=0 จะเท่ากับ) (2) (b a b a สำหรับแต่ละจุด N(z) ของเส้นที่ลากผ่านตรงกลางของด้าน CD ตั้งฉากกับ (AB) ตัวเลข b a d c z ) (2 1 จะต้องเป็นจินตภาพล้วนๆ และในทางกลับกัน แต่สำหรับ z=) (2 1 d c b a มันเท่ากัน) (2 b a b a กล่าวคือ จินตภาพล้วนๆ ดังนั้นจุด E ที่มีพิกัดเชิงซ้อน) (2 1 d c b a อยู่บนบรรทัดที่ระบุ และนิพจน์นี้มีความสมมาตรด้วยความเคารพต่อตัวอักษร a, b, c, d ดังนั้นอีกห้าบรรทัดที่สร้างขึ้นในทำนองเดียวกันจึงมีจุด E 30
- เราจะยึดตามการเชื่อมต่อ ไม่ใช่สูตรทางกล
- ลองพิจารณาจำนวนเชิงซ้อนเป็นส่วนเสริมของระบบตัวเลขของเรา เช่นเดียวกับจำนวนศูนย์ เศษส่วน หรือลบ
- เรานำเสนอแนวคิดเป็นภาพกราฟิกเพื่อให้เข้าใจแก่นแท้ได้ดีขึ้น ไม่ใช่แค่นำเสนอในรูปแบบข้อความแห้งๆ
และของเรา อาวุธลับ: การเรียนรู้โดยการเปรียบเทียบ เราจะหาจำนวนเชิงซ้อนโดยเริ่มจากบรรพบุรุษซึ่งเป็นจำนวนลบ นี่เป็นคำแนะนำเล็กๆ น้อยๆ สำหรับคุณ:
สำหรับตอนนี้ ตารางนี้ไม่สมเหตุสมผล แต่ปล่อยให้มันอยู่ตรงนั้น ในตอนท้ายของบทความทุกอย่างจะเข้าที่
มาทำความเข้าใจกันดีกว่าว่าจำนวนลบคืออะไร
ตัวเลขติดลบไม่ใช่เรื่องง่าย ลองจินตนาการว่าคุณเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวยุโรปในศตวรรษที่ 18 คุณมี 3 และ 4 และคุณสามารถเขียน 4 – 3 = 1 ได้ ง่ายมาก
แต่ 3-4 คืออะไร? สิ่งนี้หมายความว่าอย่างไร? คุณจะเอาวัว 4 ตัวออกจาก 3 ตัวได้อย่างไร? คุณมีน้อยกว่าไม่มีเลยได้อย่างไร?
จำนวนลบถูกมองว่าเป็นเรื่องไร้สาระโดยสิ้นเชิง ซึ่งเป็นสิ่งที่ "ทอดทิ้งทฤษฎีสมการทั้งหมด" (Francis Maceres, 1759) วันนี้คงเป็นเรื่องไร้สาระโดยสิ้นเชิงที่จะคิดว่าตัวเลขติดลบเป็นสิ่งที่ไร้เหตุผลและไม่มีประโยชน์ ถามครูของคุณว่าจำนวนลบละเมิดคณิตศาสตร์พื้นฐานหรือไม่
เกิดอะไรขึ้น เราประดิษฐ์ตัวเลขทางทฤษฎีที่มีคุณสมบัติที่เป็นประโยชน์ ตัวเลขติดลบไม่สามารถสัมผัสหรือสัมผัสได้ แต่ตัวเลขเหล่านี้สามารถอธิบายความสัมพันธ์บางอย่างได้ดี (เช่น หนี้สิน) นี่เป็นแนวคิดที่มีประโยชน์มาก
แทนที่จะพูดว่า “ฉันเป็นหนี้คุณ 30” และอ่านคำศัพท์เพื่อดูว่าฉันเป็นคนชุดดำหรือชุดดำ ฉันแค่เขียนลงไปว่า “-30” แล้วรู้ว่านั่นหมายความว่าอย่างไร หากฉันทำเงินและชำระหนี้ได้ (-30 + 100 = 70) ฉันสามารถเขียนธุรกรรมนี้ได้อย่างง่ายดายด้วยตัวอักษรไม่กี่ตัว ฉันจะเหลือ +70.
เครื่องหมายบวกและลบจะจับทิศทางโดยอัตโนมัติ คุณไม่จำเป็นต้องอธิบายการเปลี่ยนแปลงหลังจากการทำธุรกรรมแต่ละครั้งโดยไม่ต้องใช้ทั้งประโยค คณิตศาสตร์กลายเป็นเรื่องง่ายและสวยงามยิ่งขึ้น ไม่สำคัญอีกต่อไปว่าตัวเลขติดลบจะเป็น "ที่จับต้องได้" หรือไม่ - พวกมันมีคุณสมบัติที่เป็นประโยชน์ และเราใช้มันจนกว่าพวกมันจะมั่นคงในชีวิตประจำวันของเรา หากคนที่คุณรู้จักยังไม่เข้าใจสาระสำคัญของจำนวนลบ ตอนนี้คุณจะช่วยพวกเขาได้แล้ว
แต่อย่าดูถูกกัน ความทุกข์ทรมานของมนุษย์: ตัวเลขติดลบคือการเปลี่ยนแปลงอย่างแท้จริงในจิตสำนึก แม้แต่ออยเลอร์ อัจฉริยะผู้ค้นพบเลข e และอื่นๆ อีกมากมาย ก็ยังไม่เข้าใจตัวเลขติดลบเหมือนอย่างเราทุกวันนี้ พวกเขาถูกมองว่าเป็นผลลัพธ์การคำนวณที่ "ไร้ความหมาย"
เป็นเรื่องแปลกที่คาดหวังให้เด็กๆ เข้าใจแนวคิดที่ครั้งหนึ่งเคยสับสนแม้แต่นักคณิตศาสตร์ที่เก่งที่สุดก็สงบลง
การป้อนตัวเลขจินตภาพ
มันเป็นเรื่องเดียวกันกับจำนวนจินตภาพ เราสามารถแก้สมการเช่นนี้ได้ตลอดทั้งวัน:
คำตอบจะเป็น 3 และ -3 แต่ลองจินตนาการว่ามีผู้ชายฉลาดบางคนบวกเครื่องหมายลบที่นี่:
เอาล่ะ นี่เป็นคำถามที่ทำให้ผู้คนประจบประแจงเมื่อเห็นมันเป็นครั้งแรก คุณต้องการคำนวณรากที่สองของตัวเลขที่น้อยกว่าศูนย์หรือไม่? นี่มันคิดไม่ถึง! (ตามประวัติศาสตร์มีจริงๆ. คำถามที่คล้ายกันแต่จะสะดวกกว่าสำหรับฉันที่จะจินตนาการถึงคนฉลาดไร้หน้าบางคนเพื่อไม่ให้นักวิทยาศาสตร์ในอดีตต้องอับอาย)
มันดูบ้าๆบอๆ เหมือนจำนวนลบ ศูนย์ และจำนวนอตรรกยะ (จำนวนที่ไม่ซ้ำกัน) มองย้อนกลับไปในวันนั้น คำถามนี้ไม่มีความหมาย "ของจริง" ใช่ไหม
ไม่มันไม่เป็นความจริง สิ่งที่เรียกว่า “ตัวเลขจินตภาพ” นั้นเป็นเรื่องปกติเหมือนกับสิ่งอื่นๆ (หรือผิดปกติพอๆ กัน) เป็นเครื่องมือในการอธิบายโลก ด้วยเจตนารมณ์เดียวกับที่เราจินตนาการว่า -1, 0.3 และ 0 "มีอยู่" สมมติว่ามีตัวเลข i โดยที่:
กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณคูณ i ด้วยตัวมันเองเพื่อให้ได้ -1 เกิดอะไรขึ้นตอนนี้?
ตอนแรกเราคงปวดหัวแน่ๆ แต่ด้วยการเล่นเกม "มาแกล้งทำเป็นว่าฉันมีอยู่จริง" เราทำให้คณิตศาสตร์ง่ายขึ้นและสวยงามยิ่งขึ้น การเชื่อมต่อใหม่ปรากฏว่าเราสามารถอธิบายได้ง่าย
คุณจะไม่เชื่อในตัว i เหมือนกับที่นักคณิตศาสตร์หัวเสียพวกนั้นไม่เชื่อเรื่องการมีอยู่ของ -1 แนวคิดใหม่ๆ ทั้งหมดที่บิดสมองให้เป็นหลอดนั้นยากต่อการรับรู้ และความหมายของมันก็ไม่ได้เกิดขึ้นทันที แม้แต่กับออยเลอร์ที่เก่งกาจก็ตาม แต่ดังที่ตัวเลขติดลบแสดงให้เราเห็น แนวคิดใหม่ๆ แปลกๆ ก็มีประโยชน์อย่างยิ่ง
ฉันไม่ชอบคำว่า "ตัวเลขในจินตนาการ" เลย เพราะรู้สึกว่ามันถูกเลือกมาเพื่อขัดเกลาความรู้สึกของฉันโดยเฉพาะ ตัวเลข i นั้นปกติเหมือนกับตัวอื่นๆ แต่มีชื่อเล่นว่า “จินตภาพ” ติดอยู่ ดังนั้นเราจะใช้มันด้วย
ความเข้าใจภาพจำนวนลบและจำนวนเชิงซ้อน
สมการ x^2 = 9 จริงๆ แล้วหมายถึงสิ่งนี้:
การแปลง x ใด, ใช้สองครั้ง, เปลี่ยน 1 เป็น 9?
มีสองคำตอบ: "x = 3" และ "x = -3" นั่นคือคุณสามารถ "ขยายขนาด" 3 ครั้งหรือ "ขยายขนาด 3 แล้วพลิก" (การย้อนกลับหรือการกลับกันของผลลัพธ์เป็นการตีความการคูณด้วยค่าลบทั้งหมด)
ทีนี้ลองคิดถึงสมการ x^2 = -1 ซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้:
การแปลง x ใด, ใช้สองครั้ง, เปลี่ยน 1 เป็น -1? อืม
- เราไม่สามารถคูณสองครั้งได้ จำนวนบวกเพราะผลลัพธ์จะเป็นบวก
- เราไม่สามารถคูณจำนวนลบสองครั้งได้ เพราะผลลัพธ์จะเป็นบวกอีกครั้ง
แล้ว... การหมุนล่ะ! แน่นอนว่ามันฟังดูไม่ปกติ แต่ถ้าเราคิดว่า x เป็น “การหมุน 90 องศา” แล้วใส่ x สองครั้ง เราจะหมุนได้ 180 องศาโดย แกนพิกัดและ 1 จะกลายเป็น -1!
ว้าว! และถ้าเราคิดมากกว่านี้อีกหน่อย เราก็สามารถปฏิวัติสองครั้งได้ ทิศทางตรงกันข้ามและไปจาก 1 ถึง -1 ด้วย นี่คือการหมุนหรือการคูณ "ลบ" ด้วย -i:
หากเราคูณด้วย -i สองครั้ง ในการคูณครั้งแรกเราจะได้ -i จาก 1 และในการคูณครั้งที่สอง -1 จาก -i จริงๆ แล้วมีสองอัน รากที่สอง-1: ฉัน และ -i
นี่มันเจ๋งมาก! เรามีบางอย่างเช่นวิธีแก้ปัญหา แต่มันหมายความว่าอย่างไร?
- i คือ "มิติจินตภาพใหม่" สำหรับการวัดตัวเลข
- i (หรือ -i) คือสิ่งที่ตัวเลข "กลายเป็น" เมื่อหมุน
- การคูณด้วย i คือการหมุนทวนเข็มนาฬิกา 90 องศา
- การคูณ -i คือการหมุนตามเข็มนาฬิกา 90 องศา
- การหมุนสองครั้งในทิศทางใดทิศทางหนึ่งจะให้ -1: มันจะพาเรากลับไปยังมิติ "ปกติ" ของจำนวนบวกและลบ (แกน x)
ตัวเลขทั้งหมดเป็น 2 มิติ ใช่ มันยากที่จะยอมรับ แต่มันก็ยากพอๆ กับที่ชาวโรมันโบราณจะยอมรับ ทศนิยมหรือการแบ่งยาว (เหตุใดจึงมีตัวเลขระหว่าง 1 ถึง 2 มากกว่า?) ดูแปลกตาเหมือนใครๆ วิธีใหม่คิดในวิชาคณิตศาสตร์
เราถามว่า "จะเปลี่ยน 1 เป็น -1 ในสองการกระทำได้อย่างไร" และพบคำตอบ คือ หมุน 1 90 องศา สองครั้ง ค่อนข้างแปลกวิธีคิดใหม่ในวิชาคณิตศาสตร์ แต่มีประโยชน์มาก (อย่างไรก็ตาม การตีความทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อนนี้ปรากฏขึ้นหลังจากการค้นพบตัวเลข i เพียงไม่กี่ทศวรรษเท่านั้น)
นอกจากนี้อย่าลืมว่าการปฏิวัติทวนเข็มนาฬิกาก็คือ ผลลัพธ์ที่เป็นบวก- นี่เป็นแบบแผนของมนุษย์ล้วนๆ และทุกสิ่งอาจแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง
ค้นหาชุด
มาเจาะลึกรายละเอียดกันอีกหน่อย เมื่อคุณคูณจำนวนลบ (เช่น -1) คุณจะได้เซต:
- 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1
เนื่องจาก -1 ไม่ได้เปลี่ยนขนาดของตัวเลข มีเพียงเครื่องหมายเท่านั้น คุณจะได้ตัวเลขเดียวกันไม่ว่าจะมีเครื่องหมาย “+” หรือเครื่องหมาย “-” สำหรับตัวเลข x คุณจะได้รับ:
- x, -x, x, -x, x, -x...
นี่เป็นแนวคิดที่มีประโยชน์มาก ตัวเลข "x" สามารถแสดงถึงสัปดาห์ที่ดีและไม่ดีได้ ลองจินตนาการดูว่า สัปดาห์ที่ดีแทนที่สิ่งที่ไม่ดี เป็นสัปดาห์ที่ดี สัปดาห์ที่ 47 จะเป็นอย่างไร?
X หมายความว่ามันจะเป็นสัปดาห์ที่แย่ ดูว่าตัวเลขติดลบ "ตามเครื่องหมาย" อย่างไร เราสามารถใส่ (-1)^47 ลงในเครื่องคิดเลขแทนการนับ ("สัปดาห์ที่ 1 ดี สัปดาห์ที่ 2 แย่... สัปดาห์ที่ 3 ดี...") สิ่งที่สลับกันตลอดเวลาสามารถสร้างแบบจำลองได้อย่างสมบูรณ์แบบโดยใช้จำนวนลบ
โอเค จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราคูณด้วย i ต่อไป?
ตลกมาก มาทำให้ทุกอย่างง่ายขึ้นหน่อย:
นี่คือสิ่งเดียวกันที่นำเสนอแบบกราฟิก:
เราทำซ้ำทุกเทิร์นที่ 4 นั่นสมเหตุสมผลแล้วใช่ไหม? เด็กคนไหนจะบอกคุณว่าการเลี้ยวซ้าย 4 ครั้งเท่ากับการไม่เลี้ยวเลย ตอนนี้ พักจากจำนวนจินตภาพ (i, i^2) แล้วดูที่เซตรวม:
- X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y...
วิธีการสร้างแบบจำลองตัวเลขติดลบ ภาพสะท้อนตัวเลข ตัวเลขจินตภาพสามารถสร้างแบบจำลองอะไรก็ได้ที่หมุนระหว่างสองมิติ "X" และ "Y" หรืออะไรก็ตามที่มีการพึ่งพาเป็นวัฏจักรและเป็นวงกลม - คุณมีอะไรอยู่ในใจบ้างไหม?
ทำความเข้าใจกับจำนวนเชิงซ้อน
มีรายละเอียดอีกอย่างหนึ่งที่ต้องพิจารณา: ตัวเลขสามารถเป็นได้ทั้ง "ของจริง" และ "จินตภาพ" ได้หรือไม่
อย่าสงสัยเลย ใครบอกว่าเราต้องหมุน 90 องศาพอดี? ถ้าเรายืนด้วยเท้าข้างหนึ่งบนมิติ "ของจริง" และอีกข้างอยู่บน "จินตนาการ" มันจะมีลักษณะดังนี้:
เราอยู่ที่เครื่องหมาย 45 องศา โดยที่ส่วนจริงและส่วนจินตภาพเท่ากัน และตัวเลขนั้นคือ “1 + i” มันเหมือนกับฮอทด็อกที่มีทั้งซอสมะเขือเทศและมัสตาร์ด ใครบอกว่าคุณต้องเลือกอย่างใดอย่างหนึ่ง?
โดยพื้นฐานแล้ว เราสามารถเลือกการผสมผสานระหว่างส่วนจริงและส่วนจินตภาพ แล้วสร้างรูปสามเหลี่ยมจากทั้งหมดได้ มุมนั้นจะกลายเป็น "มุมการหมุน" จำนวนเชิงซ้อนเป็นชื่อเรียกที่สวยงามสำหรับตัวเลขที่มีส่วนจริงและส่วนจินตภาพ เขียนว่า "a + bi" โดยที่:
- เอ - ส่วนจริง
- b - ส่วนจินตภาพ
ไม่เลว. แต่เหลือเพียงคนเดียวเท่านั้น คำถามสุดท้าย: จำนวนเชิงซ้อน “ใหญ่” แค่ไหน? เราไม่สามารถวัดส่วนจริงหรือส่วนจินตภาพแยกกันได้เพราะเราจะพลาดภาพรวม
ลองย้อนกลับไปดู ขนาด จำนวนลบคือระยะห่างจากศูนย์:
นี่เป็นอีกวิธีหนึ่งในการค้นหา ค่าสัมบูรณ์- แต่จะวัดทั้งสององค์ประกอบที่ 90 องศาสำหรับจำนวนเชิงซ้อนได้อย่างไร
นกบนท้องฟ้า...หรือเครื่องบิน...พีทาโกรัสกำลังมาช่วยเหลือ!
ทฤษฎีบทนี้ปรากฏขึ้นทุกครั้งที่เป็นไปได้ แม้แต่ในจำนวนที่ประดิษฐ์ขึ้นหลังจากทฤษฎีบทนี้ไป 2,000 ปีก็ตาม ใช่ เรากำลังสร้างสามเหลี่ยม และด้านตรงข้ามมุมฉากของมันจะเท่ากับระยะห่างจากศูนย์:
แม้ว่าการวัดจำนวนเชิงซ้อนนั้นไม่ง่ายเหมือนการ "ละเครื่องหมาย - ทิ้งไป" แต่จำนวนเชิงซ้อนก็มีประโยชน์มาก แอปพลิเคชั่นที่มีประโยชน์- ลองดูบางส่วนของพวกเขา
ตัวอย่างจริง: การหมุน
เราจะไม่รอจนกว่าฟิสิกส์ของวิทยาลัยจะฝึกฝนจำนวนเชิงซ้อน เราจะทำสิ่งนี้ในวันนี้ สามารถพูดได้มากมายในหัวข้อการคูณจำนวนเชิงซ้อน แต่ตอนนี้คุณต้องเข้าใจสิ่งสำคัญ:
- การคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนจะหมุนตามมุม
มาดูกันว่ามันทำงานอย่างไร ลองนึกภาพว่าฉันอยู่บนเรือ โดยแล่นไป 3 หน่วยไปทางทิศตะวันออกทุกๆ 4 หน่วยไปทางทิศเหนือ ฉันต้องการเปลี่ยนทิศทาง 45 องศาทวนเข็มนาฬิกา หลักสูตรใหม่ของฉันจะเป็นอย่างไร?
บางคนอาจพูดว่า “มันง่าย! คำนวณไซน์ โคไซน์ google ค่าแทนเจนต์... แล้ว..." ฉันคิดว่าฉันทำเครื่องคิดเลขพัง...
ไปดูกันดีกว่า ด้วยวิธีง่ายๆ: เราอยู่บนเส้นทาง 3 + 4i (มุมไหนไม่สำคัญ ตอนนี้เราไม่สนใจแล้ว) และเราต้องการหมุน 45 องศา 45 องศาคือ 1 + i (เส้นทแยงมุมในอุดมคติ) เราก็คูณอัตราของเราด้วยเลขนี้ได้!
นี่คือส่วนสำคัญ:
- หัวข้อเริ่มต้น: 3 หน่วยตะวันออก, 4 หน่วยเหนือ = 3 + 4i
- หมุนทวนเข็มนาฬิกา 45 องศา = คูณ 1 + i
เมื่อคูณเราจะได้:
ของเรา แลนด์มาร์คใหม่- 1 หน่วยไปทางทิศตะวันตก (-1 ไปทางทิศตะวันออก) และ 7 หน่วยไปทางทิศเหนือ คุณสามารถวาดพิกัดบนกราฟแล้วติดตามได้
แต่! เราพบคำตอบใน 10 วินาที โดยไม่มีไซน์และโคไซน์เลย ไม่มีเวกเตอร์ ไม่มีเมทริกซ์ ไม่มีการติดตามว่าเราอยู่ในควอแดรนท์ไหน มันเป็นเลขคณิตอย่างง่ายและพีชคณิตเล็กน้อยในการหาสมการ ตัวเลขจินตภาพเหมาะสำหรับการหมุนเวียน!
นอกจากนี้ผลลัพธ์ของการคำนวณดังกล่าวยังมีประโยชน์มาก เรามีหลักสูตร (-1, 7) แทนที่จะเป็นมุม (atan(7/-1) = 98.13 และชัดเจนทันทีว่าเราอยู่ในจตุภาคที่สอง คุณวางแผนที่จะวาดและทำตามมุมที่ระบุอย่างไร ?ใช้ไม้โปรแทรกเตอร์อยู่ในมือ?
ไม่ คุณจะต้องแปลงมุมเป็นโคไซน์และไซน์ (-0.14 และ 0.99) หาอัตราส่วนโดยประมาณระหว่างมุมทั้งสอง (ประมาณ 1 ถึง 7) แล้ววาดรูปสามเหลี่ยม และที่นี่ตัวเลขที่ซับซ้อนชนะอย่างไม่ต้องสงสัย - แม่นยำ รวดเร็วปานสายฟ้า และไม่มีเครื่องคิดเลข!
หากคุณเป็นเหมือนฉัน คุณจะพบว่าการค้นพบนี้น่าทึ่งมาก ถ้าไม่ฉันเกรงว่าคณิตศาสตร์จะไม่ทำให้คุณตื่นเต้นเลย ขอโทษ!
ตรีโกณมิติเป็นสิ่งที่ดี แต่จำนวนเชิงซ้อนทำให้การคำนวณง่ายขึ้นมาก (เช่น การหา cos(a + b)) นี่เป็นเพียงการประกาศเล็กๆ น้อยๆ; ในบทความต่อไปนี้ผมจะนำเสนอเมนูทั้งหมดให้คุณทราบ
การพูดนอกเรื่องโคลงสั้น ๆ : บางคนคิดแบบนี้: “เฮ้ ไม่สะดวกที่จะเรียนสายเหนือ / ตะวันออกแทน มุมเรียบง่ายเพื่อการผ่านของเรือ!
มันเป็นเรื่องจริงเหรอ? โอเค ดูของคุณสิ มือขวา- มุมระหว่างฐานของนิ้วก้อยกับปลายเป็นเท่าใด นิ้วชี้- ขอให้โชคดีกับวิธีการคำนวณของคุณ
หรือคุณสามารถตอบว่า “ส่วนปลายคือ X นิ้วไปทางขวาและ Y นิ้วขึ้นไป” แล้วคุณก็สามารถทำอะไรกับมันได้
จำนวนเชิงซ้อนใกล้เข้ามาแล้วหรือยัง?
เราผ่านการค้นพบพื้นฐานของฉันในสาขาจำนวนเชิงซ้อนเช่นพายุทอร์นาโด ดูภาพประกอบแรกๆ ตอนนี้น่าจะชัดเจนมากขึ้น
มีอะไรอีกมากมายให้ค้นพบในตัวเลขที่สวยงามและมหัศจรรย์เหล่านี้ แต่สมองของฉันก็เหนื่อยล้าแล้ว เป้าหมายของฉันนั้นง่าย:
- ทำให้คุณเชื่อว่าจำนวนเชิงซ้อนถูกมองว่าเป็น "บ้า" เท่านั้น แต่จริงๆ แล้วพวกมันมีประโยชน์มาก (เหมือนกับจำนวนลบ)
- แสดงให้เห็นว่าจำนวนเชิงซ้อนช่วยลดความซับซ้อนของปัญหาบางอย่าง เช่น การหมุนได้อย่างไร
หากฉันดูกังวลมากเกินไปเกี่ยวกับหัวข้อนี้ ก็มีเหตุผลสำหรับเรื่องนั้น ตัวเลขในจินตนาการเป็นสิ่งที่ฉันหลงใหลมานานหลายปี การไม่มีความเข้าใจทำให้ฉันหงุดหงิด
แต่การจุดเทียนนั้นดีกว่าการลุยท่ามกลางความมืดมิด นี่คือความคิดของฉัน และฉันมั่นใจว่าแสงสว่างจะส่องสว่างในใจของผู้อ่าน
ชื่อตอน : แต่พวกมันก็ยังค่อนข้างแปลก!
ฉันรู้ว่าพวกเขายังดูแปลกสำหรับฉันเช่นกัน ฉันกำลังพยายามคิดเหมือนคนแรกที่ค้นพบความคิดที่เป็นศูนย์
Zero เป็นความคิดที่แปลกมาก "บางสิ่งบางอย่าง" แสดงถึง "ไม่มีอะไร" และสิ่งนี้ไม่สามารถเข้าใจได้ในทางใดทางหนึ่ง โรมโบราณ- เช่นเดียวกับจำนวนเชิงซ้อน นั่นคือวิธีคิดใหม่ แต่ทั้งจำนวนศูนย์และจำนวนเชิงซ้อนทำให้คณิตศาสตร์ง่ายขึ้นอย่างมาก ถ้าเราไม่เคยนำเสนอสิ่งแปลก ๆ เช่นระบบตัวเลขใหม่ เราก็ยังคงนับทุกอย่างด้วยนิ้วของเรา
ฉันทำซ้ำการเปรียบเทียบนี้เพราะมันง่ายมากที่จะเริ่มคิดว่าจำนวนเชิงซ้อนนั้น "ไม่ปกติ" เปิดกว้างให้กับนวัตกรรม: ในอนาคตผู้คนจะเพียงแต่ล้อเล่นว่าคนจนถึงศตวรรษที่ 21 ไม่เชื่อเรื่องจำนวนเชิงซ้อนได้อย่างไร
23 ตุลาคม 2558