หลักสูตรวิดีโอ "Get an A" มีหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับความสำเร็จ ผ่านการสอบ Unified Stateในวิชาคณิตศาสตร์ได้ 60-65 คะแนน ครบทุกปัญหา 1-13 การตรวจสอบโปรไฟล์ Unified Stateคณิตศาสตร์. ยังเหมาะสำหรับการผ่านการสอบ Basic Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย หากคุณต้องการผ่านการสอบ Unified State ด้วยคะแนน 90-100 คุณต้องแก้ส่วนที่ 1 ใน 30 นาทีโดยไม่มีข้อผิดพลาด!
หลักสูตรเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State สำหรับเกรด 10-11 รวมถึงสำหรับครู ทุกสิ่งที่คุณต้องการเพื่อแก้ส่วนที่ 1 ของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหา 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่คือมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียน 100 คะแนนและนักศึกษามนุษยศาสตร์ก็สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา
ทั้งหมด ทฤษฎีที่จำเป็น. วิธีที่รวดเร็วแนวทางแก้ไข ข้อผิดพลาด และความลับของการสอบ Unified State งานปัจจุบันทั้งหมดของส่วนที่ 1 จาก FIPI Task Bank ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ Unified State Exam 2018 อย่างสมบูรณ์
หลักสูตรประกอบด้วย 5 หัวข้อใหญ่ครั้งละ 2.5 ชม. แต่ละหัวข้อได้รับตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน
งานสอบ Unified State หลายร้อยรายการ ปัญหาคำศัพท์และทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมที่ง่ายและง่ายต่อการจดจำสำหรับการแก้ปัญหา เรขาคณิต. ทฤษฎี, วัสดุอ้างอิง, วิเคราะห์งาน Unified State Examination ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี วิธีแก้ปัญหาที่ยุ่งยาก เอกสารโกงที่มีประโยชน์ การพัฒนา จินตนาการเชิงพื้นที่- ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้นจนถึงปัญหา 13 ทำความเข้าใจแทนการยัดเยียด คำอธิบายด้วยภาพ แนวคิดที่ซับซ้อน- พีชคณิต. ราก กำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ พื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหา งานที่ซับซ้อน 2 ส่วนของการสอบ Unified State
เมื่อตัดสินใจ ปัญหาทางเรขาคณิตในอวกาศมักจะมีมุมที่จำเป็นในการคำนวณมุมระหว่างวัตถุอวกาศต่างๆ ในบทความนี้ เราจะพิจารณาประเด็นการหามุมระหว่างระนาบและระหว่างระนาบกับเส้นตรง
เส้นตรงในอวกาศ
เป็นที่ทราบกันว่าเส้นตรงใดๆ ในระนาบสามารถกำหนดได้ด้วยความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:
ที่นี่ a และ b คือตัวเลขบางตัว หากเราจินตนาการถึงเส้นตรงในอวกาศโดยใช้นิพจน์เดียวกัน เราจะได้ระนาบที่ขนานกับแกน z สำหรับ คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์เส้นตรงเชิงพื้นที่ ใช้วิธีการแก้ปัญหาที่แตกต่างจากในกรณีสองมิติ ประกอบด้วยการใช้แนวคิด “เวกเตอร์ทิศทาง”
ตัวอย่างการแก้ปัญหาการกำหนดมุมจุดตัดของระนาบ
เมื่อทราบวิธีหามุมระหว่างระนาบแล้ว เราจะแก้ปัญหาต่อไปนี้ได้ เมื่อพิจารณาจากระนาบสองระนาบ สมการจะมีรูปแบบดังนี้
3 * x + 4 * y - z + 3 = 0;
X - 2 * y + 5 * z +1 = 0
มุมระหว่างเครื่องบินเป็นเท่าใด?
ในการตอบคำถามของปัญหา โปรดจำไว้ว่าสัมประสิทธิ์ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรในสมการระนาบทั่วไปคือพิกัดของเวกเตอร์นำทาง สำหรับระนาบเหล่านี้ เรามีพิกัดปกติดังต่อไปนี้:
n 1 Â(3; 4; -1);
n 2 Â(-1; -2; 5)
ตอนนี้เราพบผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้และโมดูลแล้ว เรามี:
(ไม่มี 1 เลเยอร์ * n 2 พิกเซล) = -3 -8 -5 = -16;
|n 1 Â| = √(9 + 16 + 1) = √26;
|n 2 Â| = √(1 + 4 + 25) = √30
ตอนนี้คุณสามารถแทนที่ตัวเลขที่พบเป็นค่าที่ระบุได้ ย่อหน้าก่อนหน้าสูตร. เราได้รับ:
α = ส่วนโค้ง(|-16 | / (√26 * √30) data 55.05 o
ค่าที่ได้สอดคล้องกับมุมแหลมของจุดตัดของระนาบที่ระบุในคำชี้แจงปัญหา
ตอนนี้เรามาดูอีกตัวอย่างหนึ่ง มอบเครื่องบินสองลำ:
พวกมันตัดกันไหม? ลองเขียนค่าพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางแล้วคำนวณ ผลิตภัณฑ์สเกลาร์พวกเขาและโมดูล:
n 1 Â(1; 1; 0);
n 2 Â(3; 3; 0);
(n 1 เลเยอร์ * n 2 เลเยอร์) = 3 + 3 + 0 = 6;
|n 1 Â| = √2;
|n 2 Â| = √18
จากนั้นมุมตัดคือ:
α = ส่วนโค้ง(|6| / (√2 * √18) =0 o
มุมนี้แสดงว่าระนาบไม่ได้ตัดกัน แต่ขนานกัน ข้อเท็จจริงที่ว่าพวกเขาไม่ตรงกันนั้นง่ายต่อการตรวจสอบ ในการดำเนินการนี้ ให้ใช้จุดใดก็ได้ที่เป็นของจุดแรก เช่น P(0; 3; 2) เมื่อแทนพิกัดลงในสมการที่สองเราจะได้:
3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0
นั่นคือจุด P เป็นของระนาบแรกเท่านั้น
ดังนั้นระนาบสองระนาบจึงขนานกันเมื่อเส้นปกติเป็นเช่นนั้น
แบนและตรง
กรณีประกอบการพิจารณา ตำแหน่งสัมพัทธ์มีตัวเลือกระหว่างเครื่องบินกับเส้นตรงมากกว่าเครื่องบินสองลำเล็กน้อย ข้อเท็จจริงนี้เกิดจากการที่เส้นตรงเป็นวัตถุหนึ่งมิติ เส้นตรงและระนาบสามารถเป็น:
- ขนานกัน ในกรณีนี้เครื่องบินไม่ได้ตัดกับเส้นตรง
- อันหลังอาจเป็นของเครื่องบินในขณะที่มันจะขนานกับมันด้วย
- วัตถุทั้งสองสามารถตัดกันที่มุมใดมุมหนึ่งได้
มาพิจารณากันก่อน กรณีสุดท้ายเนื่องจากต้องมีการแนะนำแนวคิดเรื่องมุมตัด
เส้นตรงและระนาบ ค่าของมุมระหว่างสิ่งเหล่านั้น
หากระนาบตัดกับเส้นตรง เรียกว่าความเอียงด้วยความเคารพต่อระนาบนั้น จุดตัดกันมักเรียกว่าฐานของเส้นเอียง ในการกำหนดมุมระหว่างวัตถุทางเรขาคณิตเหล่านี้ จำเป็นต้องลดเส้นตั้งฉากลงจากจุดใดๆ ลงบนระนาบ จากนั้นจุดตัดของเส้นตั้งฉากกับระนาบกับจุดตัดของเส้นเอียงทำให้เกิดเส้นตรง อย่างหลังเรียกว่าการฉายเส้นโครงเดิมลงบนเครื่องบินที่กำลังพิจารณา ชาร์ปและการฉายภาพเป็นสิ่งที่ต้องการ
คำจำกัดความที่ค่อนข้างสับสนของมุมระหว่างระนาบกับมุมเอียงจะถูกอธิบายให้ชัดเจนตามรูปด้านล่าง
มุม ABO คือมุมระหว่างเส้นตรง AB กับระนาบ a
หากต้องการเขียนสูตร ให้พิจารณาตัวอย่าง ให้มีเส้นตรงและระนาบซึ่งสมการอธิบายไว้:
(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + แล * (a; b; c);
A * x + B * x + C * x + D = 0
คุณสามารถคำนวณมุมที่ต้องการสำหรับวัตถุเหล่านี้ได้อย่างง่ายดายหากคุณพบผลคูณสเกลาร์ระหว่างเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงและระนาบ ได้รับ มุมที่คมชัดควรลบออกจาก 90 o จากนั้นจะได้ระหว่างเส้นตรงกับระนาบ
รูปด้านบนแสดงให้เห็นถึงอัลกอริทึมที่อธิบายไว้สำหรับการค้นหามุมที่ต้องการ โดยที่ β คือมุมระหว่างเส้นปกติกับเส้นตรง และ α อยู่ระหว่างเส้นตรงกับส่วนที่ยื่นออกไปบนระนาบ จะเห็นได้ว่าผลรวมของพวกเขาคือ 90 o
ข้างต้นเป็นการนำเสนอสูตรที่ตอบคำถามว่าจะหามุมระหว่างระนาบได้อย่างไร ตอนนี้เราให้นิพจน์ที่สอดคล้องกันสำหรับกรณีของเส้นตรงและระนาบ:
α = อาร์คซิน(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b 2 + c 2) * √(A 2 + B 2 + C 2)))
โมดูลในสูตรช่วยให้คุณคำนวณเฉพาะมุมแหลมเท่านั้น ฟังก์ชันอาร์กไซน์ปรากฏแทนอาร์กโคไซน์เนื่องจากการใช้สูตรการลดลงที่สอดคล้องกันระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติ (cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α))
ปัญหา: เครื่องบินตัดกับเส้นตรง
ตอนนี้เราจะแสดงวิธีการทำงานกับสูตรที่กำหนด มาแก้ปัญหากัน: เราต้องคำนวณมุมระหว่างแกน y กับระนาบ กำหนดโดยสมการ:
เครื่องบินลำนี้แสดงไว้ในภาพ
จะเห็นได้ว่าตัดแกน y และ z ที่จุด (0; -12; 0) และ (0; 0; 12) ตามลำดับ และขนานกับแกน x
เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง y มีพิกัด (0; 1; 0) เวกเตอร์ตั้งฉาก เครื่องบินที่ได้รับโดดเด่นด้วยพิกัด (0; 1; -1) เราใช้สูตรสำหรับมุมตัดของเส้นตรงกับระนาบเราได้:
α = ส่วนโค้ง(|1| / (√1 * √2)) = ส่วนโค้ง(1 / √2) = 45 o
ปัญหา: เส้นขนานกับระนาบ
ทีนี้ลองแก้อันที่คล้ายกันกัน งานก่อนหน้าซึ่งตั้งคำถามแตกต่างออกไป ทราบสมการของระนาบและเส้นตรง:
x + y - z - 3 = 0;
(x; y; z) = (1; 0; 0) + แล * (0; 2; 2)
มีความจำเป็นต้องค้นหาว่าวัตถุทางเรขาคณิตเหล่านี้คืออะไร ขนานกันถึงเพื่อน
เรามีเวกเตอร์สองตัว: เส้นกำกับเท่ากับ (0; 2; 2) และระนาบทิศทางเท่ากับ (1; 1; -1) เราพบผลคูณสเกลาร์:
0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0
ศูนย์ผลลัพธ์บ่งชี้ว่ามุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้คือ 90 o ซึ่งพิสูจน์ความขนานของเส้นตรงและระนาบ
ตอนนี้เรามาตรวจสอบว่าเส้นนี้ขนานกันเท่านั้นหรืออยู่ในระนาบด้วย ในการดำเนินการนี้ ให้เลือกจุดที่ต้องการบนเส้นแล้วตรวจสอบว่าเป็นของเครื่องบินหรือไม่ ตัวอย่างเช่น สมมติว่า แล = 0 แล้วจุด P(1; 0; 0) จะเป็นของเส้นตรง เราแทนที่ระนาบ P ลงในสมการ:
จุด P ไม่ได้เป็นของเครื่องบิน ดังนั้นเส้นทั้งหมดจึงไม่อยู่ในนั้น
การรู้มุมระหว่างวัตถุทางเรขาคณิตที่พิจารณาเป็นสิ่งสำคัญที่ไหน?
สูตรและตัวอย่างการแก้ปัญหาข้างต้นไม่เพียงแต่เป็นที่สนใจทางทฤษฎีเท่านั้น มักใช้เพื่อระบุความสำคัญ ปริมาณทางกายภาพจริง ตัวเลขปริมาตรเช่นปริซึมหรือปิรามิด สิ่งสำคัญคือต้องสามารถกำหนดมุมระหว่างระนาบเมื่อคำนวณปริมาตรของตัวเลขและพื้นที่ของพื้นผิว ยิ่งไปกว่านั้น หากในกรณีของปริซึมตรง เป็นไปไม่ได้ที่จะไม่ใช้สูตรเหล่านี้เพื่อกำหนดปริมาณที่ระบุ ดังนั้นสำหรับปิรามิดประเภทใดก็ตามการใช้งานจะเป็นสิ่งที่หลีกเลี่ยงไม่ได้
ด้านล่างนี้เราจะพิจารณาตัวอย่างการใช้ทฤษฎีที่ระบุเพื่อกำหนดมุมของปิรามิดที่มีฐานสี่เหลี่ยม
พีระมิดและมุมของมัน
รูปด้านล่างแสดงปิรามิดซึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้าน a ความสูงของรูปคือ h คุณต้องหามุมสองมุม:
- ระหว่างพื้นผิวด้านข้างกับฐาน
- ระหว่างซี่โครงด้านข้างและฐาน
ในการแก้ปัญหา คุณต้องแนะนำระบบพิกัดและกำหนดพารามิเตอร์ของจุดยอดที่สอดคล้องกันก่อน จากภาพแสดงว่าต้นกำเนิดเกิดขึ้นพร้อมกับจุดที่อยู่ตรงกลาง ฐานสี่เหลี่ยม- ในกรณีนี้ ระนาบฐานอธิบายได้ด้วยสมการ:
นั่นคือสำหรับ x และ y ใดๆ ค่าของพิกัดที่สามจะเป็นศูนย์เสมอ ระนาบข้าง ABC ตัดกับแกน z ที่จุด B(0; 0; h) และแกน y ที่จุดนั้นด้วยพิกัด (0; a/2; 0) มันไม่ตัดแกน x ซึ่งหมายความว่าสมการของระนาบ ABC สามารถเขียนได้เป็น:
y/(a/2) + z/h = 1 หรือ
2 * h * y + a * z - a * h = 0
เวกเตอร์ AB§ คือขอบด้านข้าง พิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดมีค่าเท่ากัน: A(a/2; a/2; 0) และ B(0; 0; h) จากนั้นพิกัดของเวกเตอร์นั้นเอง:
เราพบสมการและเวกเตอร์ที่จำเป็นทั้งหมดแล้ว ตอนนี้ยังคงใช้สูตรที่พิจารณาอยู่
ก่อนอื่นให้เราคำนวณมุมในปิรามิดระหว่างระนาบของฐานและด้านข้าง เวกเตอร์ปกติที่สอดคล้องกันจะเท่ากัน: n 1 µ(0; 0; 1) และ n 2 µ(0; 2*h; a) จากนั้นมุมจะเป็น:
α = ส่วนโค้ง(a / √(4 * h 2 + a 2))
มุมระหว่างระนาบและขอบ AB จะเท่ากับ:
β = อาร์คซิน(h / √(a 2 / 2 + h 2))
สิ่งที่เหลืออยู่คือการทดแทน ค่าเฉพาะด้านข้างของฐาน a และความสูง h เพื่อให้ได้มุมที่ต้องการ
บทความนี้เกี่ยวกับมุมระหว่างระนาบและวิธีการค้นหา ขั้นแรก ให้นิยามของมุมระหว่างระนาบสองระนาบและให้ภาพประกอบเป็นกราฟิก หลังจากนั้นหลักการของการค้นหามุมระหว่างระนาบที่ตัดกันสองอันโดยใช้วิธีพิกัดได้รับการวิเคราะห์และได้รับสูตรที่ช่วยให้คุณสามารถคำนวณมุมระหว่างระนาบที่ตัดกันโดยใช้พิกัดที่รู้จักของเวกเตอร์ปกติของระนาบเหล่านี้ สรุปก็แสดงให้เห็น. โซลูชั่นโดยละเอียดงานลักษณะเฉพาะ
การนำทางหน้า
มุมระหว่างระนาบ - คำจำกัดความ
ให้เราเสนอข้อโต้แย้งที่จะช่วยให้เราค่อยๆ เข้าใกล้การกำหนดมุมระหว่างระนาบที่ตัดกันสองอัน
ให้เราได้รับระนาบที่ตัดกันสองอัน และ ระนาบเหล่านี้ตัดกันเป็นเส้นตรงซึ่งเราแสดงด้วยตัวอักษร c ลองสร้างระนาบที่ผ่านจุด M ของเส้น c และตั้งฉากกับเส้น c ในกรณีนี้เครื่องบินจะตัดกันเครื่องบินและ ให้เราแสดงเส้นตรงที่ระนาบตัดกันเป็น a และเส้นตรงที่ระนาบตัดกันเป็น b แน่นอนว่า เส้น a และ b ตัดกันที่จุด M
เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่ามุมระหว่างเส้นตัด a และ b ไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด M บนเส้น c ที่เครื่องบินผ่านไป
ลองสร้างระนาบที่ตั้งฉากกับเส้น c และแตกต่างจากระนาบกัน ระนาบตัดกันด้วยระนาบและตามเส้นตรง ซึ่งเราแสดงว่าเป็น 1 และ b 1 ตามลำดับ
จากวิธีสร้างระนาบ เส้น a และ b ตั้งฉากกับเส้น c และเส้น a 1 และ b 1 ตั้งฉากกับเส้น c เนื่องจากเส้น a และ 1 อยู่ในระนาบเดียวกันและตั้งฉากกับเส้น c ดังนั้นเส้นทั้งสองจึงขนานกัน ในทำนองเดียวกัน เส้น b และ b 1 อยู่ในระนาบเดียวกันและตั้งฉากกับเส้น c ดังนั้นเส้นทั้งสองจึงขนานกัน ดังนั้นคุณสามารถทำได้ การถ่ายโอนแบบขนานระนาบหนึ่งไปอีกระนาบ โดยที่เส้นตรง a 1 เกิดขึ้นพร้อมกับเส้นตรง a และเส้นตรง b กับเส้นตรง b 1 ดังนั้น มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน a 1 และ b 1 เท่ากับมุมระหว่างเส้นตัดกัน a และ b
สิ่งนี้พิสูจน์ว่ามุมระหว่างเส้นตัด a และ b ที่อยู่ในระนาบที่ตัดกัน และไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกจุด M ที่เครื่องบินผ่าน ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะถือว่ามุมนี้เป็นมุมระหว่างระนาบสองระนาบที่ตัดกัน
ตอนนี้คุณสามารถแสดงคำจำกัดความของมุมระหว่างระนาบที่ตัดกันสองอันและ
คำนิยาม.
มุมระหว่างระนาบสองระนาบตัดกันเป็นเส้นตรงและ- นี่คือมุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้น a และ b ตามแนวระนาบและตัดกับระนาบที่ตั้งฉากกับเส้น c
คำจำกัดความของมุมระหว่างระนาบสองระนาบสามารถให้ความแตกต่างกันเล็กน้อย หากบนเส้นตรง c ที่ระนาบและตัดกันให้ทำเครื่องหมายจุด M แล้วลากเส้นตรง a และ b ผ่านจุดนั้นโดยตั้งฉากกับเส้นตรง c และนอนอยู่ในระนาบและตามลำดับจากนั้นให้ทำมุมระหว่างเส้นตรง a และ b คือมุมระหว่างระนาบและ โดยปกติในทางปฏิบัติ การก่อสร้างดังกล่าวจะดำเนินการเพื่อให้ได้มุมระหว่างระนาบ
เนื่องจากมุมระหว่างเส้นที่ตัดกันไม่เกิน จึงเป็นไปตามคำจำกัดความที่กล่าวไว้ว่า การวัดระดับมุมระหว่างระนาบที่ตัดกันสองอันจะแสดงออกมา เบอร์จริงจากช่วงเวลา ในกรณีนี้จะเรียกว่าระนาบที่ตัดกัน ตั้งฉากถ้ามุมระหว่างพวกมันคือเก้าสิบองศา มุมระหว่าง ระนาบขนานพวกเขาไม่ได้กำหนดเลยหรือคิดว่ามันเท่ากับศูนย์
การหามุมระหว่างระนาบสองระนาบที่ตัดกัน
โดยปกติ เมื่อหามุมระหว่างระนาบที่ตัดกันสองระนาบ คุณต้องสร้างเพิ่มเติมก่อนเพื่อดูเส้นตรงที่ตัดกัน มุมระหว่างนั้นจะเท่ากับมุมที่ต้องการ จากนั้นจึงเชื่อมต่อมุมนี้กับข้อมูลต้นฉบับโดยใช้การทดสอบความเท่าเทียมกัน ความคล้ายคลึงกัน การทดสอบ ทฤษฎีบทโคไซน์หรือคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุม ในวิชาเรขาคณิต มัธยมปัญหาที่คล้ายกันเกิดขึ้น
ตามตัวอย่าง เราจะให้คำตอบสำหรับปัญหา C2 จากการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ปี 2012 (เงื่อนไขถูกเปลี่ยนแปลงโดยเจตนา แต่ไม่ส่งผลกระทบต่อหลักการของการแก้ปัญหา) ในนั้น คุณแค่ต้องหามุมระหว่างระนาบสองระนาบที่ตัดกัน
ตัวอย่าง.
สารละลาย.
ก่อนอื่นมาวาดรูปกันก่อน
เรามาสร้างเพิ่มเติมเพื่อ "เห็น" มุมระหว่างระนาบกัน
ขั้นแรก เรามากำหนดเส้นตรงที่ระนาบ ABC และ BED 1 ตัดกัน จุด B เป็นหนึ่งในจุดร่วมของพวกเขา ลองหาจุดร่วมที่สองของระนาบเหล่านี้กัน เส้น DA และ D 1 E อยู่ในระนาบเดียวกันบวก 1 และไม่ขนานกันจึงตัดกัน ในทางกลับกัน เส้น DA อยู่ในระนาบ ABC และเส้น D 1 E - ในระนาบ BED 1 ดังนั้นจุดตัดของเส้น DA และ D 1 E จะเป็น จุดทั่วไป เครื่องบินเอบีซีและเตียง 1 ลองลากเส้น DA และ D 1 E ต่อไปจนถึงทางแยกโดยระบุจุดตัดด้วยตัวอักษร F จากนั้น BF คือเส้นตรงที่ระนาบ ABC และ BED 1 ตัดกัน
ยังคงสร้างเส้นสองเส้นที่อยู่ในระนาบ ABC และ BED 1 ตามลำดับโดยผ่านจุดหนึ่งบนเส้น BF และตั้งฉากกับเส้น BF - มุมระหว่างเส้นเหล่านี้ตามคำจำกัดความจะเท่ากับมุมที่ต้องการระหว่าง เครื่องบิน ABC และ BED 1 มาทำกัน.
จุด A คือเส้นโครงของจุด E ลงบนระนาบ ABC ลองวาดเส้นตรงที่ตัดกัน BF ที่มุมขวาที่จุด M จากนั้น เส้นตรง AM คือเส้นโครงของเส้นตรง EM ลงบนระนาบ ABC และโดยทฤษฎีบทของเส้นตั้งฉากสามเส้น
ดังนั้น มุมที่ต้องการระหว่างระนาบ ABC และ BED 1 จึงเท่ากับ
เราสามารถหาไซน์ โคไซน์ หรือแทนเจนต์ของมุมนี้ (และมุมนั้นด้วย) ได้ สามเหลี่ยมมุมฉาก AEM ถ้าเรารู้ความยาวของด้านทั้งสองของมัน จากเงื่อนไขนี้ ง่ายต่อการค้นหาความยาว AE: เนื่องจากจุด E หารด้าน AA 1 ในอัตราส่วน 4 ต่อ 3 โดยนับจากจุด A และความยาวของด้าน AA 1 คือ 7 ดังนั้น AE = 4 ลองหาความยาว AM กัน
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณา ABF สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมฉาก A โดยที่ AM คือความสูง โดยเงื่อนไข AB = 2 เราสามารถหาความยาวของด้าน AF ได้จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก DD 1 F และ AEF: 
เมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราจะหาได้จากสามเหลี่ยม ABF เราพบความยาว AM ผ่านพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABF: ด้านหนึ่งพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABF เท่ากับ 
อีกด้านหนึ่ง 
, ที่ไหน 
.
จากสามเหลี่ยมมุมฉาก AEM เราก็ได้ 
.
จากนั้นมุมที่ต้องการระหว่างระนาบ ABC และ BED 1 จะเท่ากัน (โปรดทราบว่า 
).
คำตอบ:
ในบางกรณี หากต้องการหามุมระหว่างระนาบสองระนาบที่ตัดกัน จะสะดวกในการตั้งค่า Oxyz และใช้วิธีการพิกัด มาหยุดอยู่แค่นั้น
ให้เรากำหนดภารกิจ: ค้นหามุมระหว่างระนาบที่ตัดกันสองอันและ ให้เราแสดงมุมที่ต้องการเป็น
เราจะสมมติว่าในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด Oxyz เรารู้พิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบที่ตัดกัน และหรือมีโอกาสที่จะค้นหาพวกมัน อนุญาต 
คือเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ และ 
คือเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ เราจะแสดงวิธีหามุมระหว่างระนาบที่ตัดกันและผ่านพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบเหล่านี้
ให้เราแสดงเส้นตรงที่ระนาบและตัดกันเป็นค ผ่านจุด M บนเส้น c เราวาดระนาบตั้งฉากกับเส้น c ระนาบตัดกับระนาบและตามเส้น a และ b ตามลำดับ เส้น a และ b ตัดกันที่จุด M ตามคำนิยาม มุมระหว่างระนาบที่ตัดกัน และ เท่ากับมุมระหว่างเส้นที่ตัดกัน a และ b
ให้เราพล็อตเวกเตอร์และระนาบปกติ และจากจุด M ในระนาบ ในกรณีนี้ เวกเตอร์อยู่บนเส้นตั้งฉากกับเส้น a และเวกเตอร์อยู่บนเส้นที่ตั้งฉากกับเส้น b ดังนั้น ในระนาบ เวกเตอร์คือเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้น a และเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้น b
ในบทความเรื่องการหามุมระหว่างเส้นที่ตัดกัน เราได้รับสูตรที่ช่วยให้คำนวณโคไซน์ของมุมระหว่างเส้นที่ตัดกันโดยใช้พิกัดของเวกเตอร์ปกติ ดังนั้น โคไซน์ของมุมระหว่างเส้น a และ b และด้วยเหตุนี้ โคไซน์ของมุมระหว่างระนาบที่ตัดกันและหาได้จากสูตรโดยที่ และ เป็นเวกเตอร์ปกติของระนาบ และ ตามลำดับ จากนั้นจึงคำนวณเป็น 
.
ลองแก้ตัวอย่างก่อนหน้านี้โดยใช้วิธีพิกัด
ตัวอย่าง.
ให้ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ที่มีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน โดยที่ AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 และจุด E หารด้าน AA 1 ในอัตราส่วน 4 ต่อ 3 โดยนับจากจุด A ค้นหามุมระหว่างระนาบ ABC และ BED 1
สารละลาย.
ตั้งแต่ด้านข้าง เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกันเมื่อจุดยอดหนึ่งตั้งฉากกันเป็นคู่ จะสะดวกในการแนะนำ ระบบสี่เหลี่ยมพิกัด Oxyz เช่นนี้: จุดเริ่มต้นอยู่ในแนวเดียวกับจุดยอด C และ แกนประสานงาน Ox, Oy และ Oz ถูกนำไปที่ด้านข้าง CD, CB และ CC 1 ตามลำดับ
มุมระหว่างระนาบ ABC และ BED 1 สามารถพบได้ผ่านพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบเหล่านี้โดยใช้สูตร โดยที่ และ คือเวกเตอร์ปกติของระนาบ ABC และ BED 1 ตามลำดับ ลองหาพิกัดของเวกเตอร์ปกติกัน
\(\blacktriangleright\) มุมไดฮีดรัลคือมุมที่เกิดจากระนาบครึ่งระนาบสองอันและเส้นตรง \(a\) ซึ่งเป็นขอบเขตร่วมกัน
\(\blacktriangleright\) หากต้องการหามุมระหว่างระนาบ \(\xi\) และ \(\pi\) คุณต้องหา มุมเชิงเส้น(และ เผ็ดหรือ ตรง) มุมไดฮีดรัลสร้างขึ้นจากระนาบ \(\xi\) และ \(\pi\) :
ขั้นตอนที่ 1: ให้ \(\xi\cap\pi=a\) (เส้นตัดของระนาบ) ในระนาบ \(\xi\) เราทำเครื่องหมายจุดที่ต้องการ \(F\) และวาด \(FA\perp a\) ;
ขั้นตอนที่ 2: ดำเนินการ \(FG\perp \pi\) ;
ขั้นตอนที่ 3: ตาม TTP (\(FG\) – ตั้งฉาก, \(FA\) – เฉียง, \(AG\) – เส้นโครง) เรามี: \(AG\perp a\) ;
ขั้นตอนที่ 4: มุม \(\มุม FAG\) เรียกว่ามุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่เกิดจากระนาบ \(\xi\) และ \(\pi\)
โปรดทราบว่ารูปสามเหลี่ยม \(AG\) เป็นมุมฉาก
โปรดสังเกตด้วยว่าระนาบ \(AFG\) ที่สร้างขึ้นในลักษณะนี้ตั้งฉากกับทั้งสองระนาบ \(\xi\) และ \(\pi\) ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้แตกต่างออกไป: มุมระหว่างระนาบ\(\xi\) และ \(\pi\) คือมุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้น \(c\in \xi\) และ \(b\in\pi\) ทำให้เกิดระนาบตั้งฉากกับ และ \(\xi\ ) และ \(\pi\)
ภารกิจที่ 1 #2875
ระดับงาน: ยากกว่าการสอบ Unified State
ดาน่า ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมขอบทุกด้านเท่ากันและมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ค้นหา \(6\cos \alpha\) โดยที่ \(\alpha\) คือมุมระหว่างด้านที่อยู่ติดกัน
ให้ \(SABCD\) – ปิรามิดนี้(\(S\) คือจุดยอด) ซึ่งมีขอบเท่ากับ \(a\) ดังนั้นทุกสิ่งทุกอย่าง ใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่ากัน ลองหามุมระหว่างหน้า \(SAD\) และ \(SCD\) กัน
\(CH\perp SD\) มาทำกัน เพราะ \(\สามเหลี่ยม SAD=\สามเหลี่ยม SCD\)จากนั้น \(AH\) จะเป็นความสูงของ \(\triangle SAD\) ด้วยเช่นกัน ดังนั้น ตามคำนิยาม \(\angle AHC=\alpha\) คือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลระหว่างด้าน \(SAD\) และ \(SCD\)
เนื่องจากฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้น \(AC=a\sqrt2\) โปรดทราบว่า \(CH=AH\) คือความสูง สามเหลี่ยมด้านเท่าด้วยด้าน \(a\) ดังนั้น \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\)
จากนั้นตามทฤษฎีบทโคไซน์จาก \(\triangle AHC\) : \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\ลูกศรขวา\quad 6\cos\alpha=-2.\]
คำตอบ: -2
ภารกิจที่ 2 #2876
ระดับงาน: ยากกว่าการสอบ Unified State
ระนาบ \(\pi_1\) และ \(\pi_2\) ตัดกันที่มุมซึ่งมีโคไซน์เท่ากับ \(0.2\) ระนาบ \(\pi_2\) และ \(\pi_3\) ตัดกันที่มุมขวา และเส้นตัดกันของระนาบ \(\pi_1\) และ \(\pi_2\) ขนานกับเส้นตัดกันของ เครื่องบิน \(\pi_2\) และ \(\ pi_3\) ค้นหาไซน์ของมุมระหว่างระนาบ \(\pi_1\) และ \(\pi_3\)
ให้เส้นตัดของ \(\pi_1\) และ \(\pi_2\) เป็นเส้นตรง \(a\) เส้นตัดของ \(\pi_2\) และ \(\pi_3\) เป็นเส้นตรง เส้น \(b\) และเส้นตัด \(\pi_3\) และ \(\pi_1\) – เส้นตรง \(c\) เนื่องจาก \(a\parallel b\) จากนั้น \(c\parallel a\parallel b\) (ตามทฤษฎีบทจากส่วนของการอ้างอิงทางทฤษฎี "เรขาคณิตในอวกาศ" \(\rightarrow\) "ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับสเตอริโอเมทรี ความเท่าเทียม”)
ลองทำเครื่องหมายจุด \(A\in a, B\in b\) เพื่อให้ \(AB\perp a, AB\perp b\) (เป็นไปได้เนื่องจาก \(a\parallel b\) ) ให้เราทำเครื่องหมาย \(C\in c\) ดังนั้น \(BC\perp c\) ดังนั้น \(BC\perp b\) จากนั้น \(AC\perp c\) และ \(AC\perp a\)
แท้จริงแล้ว เนื่องจาก \(AB\perp b, BC\perp b\) ดังนั้น \(b\) จึงตั้งฉากกับระนาบ \(ABC\) เนื่องจาก \(c\parallel a\parallel b\) ดังนั้นเส้นตรง \(a\) และ \(c\) ก็ตั้งฉากกับระนาบ \(ABC\) เช่นกัน ดังนั้นกับเส้นใดๆ จากระนาบนี้ โดยเฉพาะ , บรรทัด \ (AC\)
มันเป็นไปตามนั้น \(\มุม BAC=\มุม (\pi_1, \pi_2)\), \(\มุม ABC=\มุม (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\มุม BCA=\มุม (\pi_3, \pi_1)\)- ปรากฎว่า \(\triangle ABC\) เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งหมายความว่า \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0.2.\]
คำตอบ: 0.2
ภารกิจที่ 3 #2877
ระดับงาน: ยากกว่าการสอบ Unified State
ให้เส้นตรง \(a, b, c\) ตัดกันที่จุดหนึ่ง และมุมระหว่างสองเส้นนี้เท่ากับ \(60^\circ\) ค้นหา \(\cos^(-1)\alpha\) โดยที่ \(\alpha\) คือมุมระหว่างระนาบที่เกิดจากเส้น \(a\) และ \(c\) และระนาบที่เกิดจากเส้น \( b\ ) และ \(c\) ให้คำตอบเป็นองศา
ปล่อยให้เส้นตัดกันที่จุด \(O\) . เนื่องจากมุมระหว่างสองเส้นใดๆ เท่ากับ \(60^\circ\) ดังนั้นเส้นตรงทั้งสามเส้นจึงไม่สามารถอยู่ในระนาบเดียวกันได้ ให้เราทำเครื่องหมายจุด \(A\) บนเส้นตรง \(a\) และวาด \(AB\perp b\) และ \(AC\perp c\) แล้ว \(\สามเหลี่ยม AOB=\สามเหลี่ยม AOC\)เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าตามแนวด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม ดังนั้น \(OB=OC\) และ \(AB=AC\)
\(AH\perp (BOC)\) มาทำกัน จากนั้นตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับสามตั้งฉาก \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) เนื่องจาก \(AB=AC\) ดังนั้น \(\สามเหลี่ยม AHB=\สามเหลี่ยม AHC\)เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าตามแนวด้านตรงข้ามมุมฉากและขา ดังนั้น \(HB=HC\) ซึ่งหมายความว่า \(OH\) คือเส้นแบ่งครึ่งของมุม \(BOC\) (เนื่องจากจุด \(H\) มีระยะห่างจากด้านข้างของมุมเท่ากัน)
โปรดทราบว่าด้วยวิธีนี้ เรายังสร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลด้วย เกิดจากเครื่องบินเกิดจากเส้นตรง \(a\) และ \(c\) และระนาบที่เกิดจากเส้นตรง \(b\) และ \(c\) นี่คือมุม \(ACH\)
มาหามุมนี้กัน เนื่องจากเราเลือกจุด \(A\) ตามอำเภอใจ ให้เราเลือกมันเพื่อให้ \(OA=2\) จากนั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยม \(\triangle AOC\) : \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ]เนื่องจาก \(OH\) เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ดังนั้น \(\angle HOC=30^\circ\) ดังนั้นในรูปสี่เหลี่ยม \(\triangle HOC\) : \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\]จากนั้นจากรูปสี่เหลี่ยม \(\triangle ACH\) : \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]
คำตอบ: 3
ภารกิจที่ 4 #2910
ระดับงาน: ยากกว่าการสอบ Unified State
ระนาบ \(\pi_1\) และ \(\pi_2\) ตัดกันตามแนวเส้นตรง \(l\) ซึ่งมีจุด \(M\) และ \(N\) อยู่ ส่วน \(MA\) และ \(MB\) ตั้งฉากกับเส้นตรง \(l\) และอยู่ในระนาบ \(\pi_1\) และ \(\pi_2\) ตามลำดับ และ \(MN = 15 \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) ค้นหา \(3\cos\alpha\) โดยที่ \(\alpha\) คือมุมระหว่างระนาบ \(\pi_1\) และ \(\pi_2\)
สามเหลี่ยม \(AMN\) เป็นมุมฉาก \(AN^2 = AM^2 + MN^2\) โดยที่ \ สามเหลี่ยม \(BMN\) เป็นมุมฉาก \(BN^2 = BM^2 + MN^2\) ซึ่ง \เราเขียนทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับสามเหลี่ยม \(AMB\): \ แล้ว \ เนื่องจากมุม \(\alpha\) ระหว่างระนาบเป็นมุมแหลม และ \(\angle AMB\) กลายเป็นมุมป้าน ดังนั้น \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) แล้ว \
ตอบ: 1.25
ภารกิจที่ 5 #2911
ระดับงาน: ยากกว่าการสอบ Unified State
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน \(ABCD\) เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน \(a\) จุด \(M\) คือฐานของเส้นตั้งฉากที่ตกจากจุด \(A_1\) ไปยังระนาบ \ ((ABCD)\) นอกจากนี้ \(M\) เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส \(ABCD\) เป็นที่ทราบกันว่า \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\)- ค้นหามุมระหว่างระนาบ \((ABCD)\) และ \((AA_1B_1B)\) ให้คำตอบเป็นองศา
เรามาสร้าง \(MN\) ตั้งฉากกับ \(AB\) ดังแสดงในรูปกันดีกว่า
เนื่องจาก \(ABCD\) เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน \(a\) และ \(MN\perp AB\) และ \(BC\perp AB\) ดังนั้น \(MN\parallel BC\) เนื่องจาก \(M\) คือจุดตัดของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้น \(M\) คือจุดกึ่งกลางของ \(AC\) ดังนั้น \(MN\) คือ เส้นกลางและ \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\) คือเส้นโครงของ \(A_1N\) ลงบนระนาบ \((ABCD)\) และ \(MN\) ตั้งฉากกับ \(AB\) จากนั้นตามทฤษฎีบทของสามเส้นตั้งฉาก \ (A_1N\) ตั้งฉากกับ \(AB \) และมุมระหว่างระนาบ \((ABCD)\) และ \((AA_1B_1B)\) คือ \(\angle A_1NM\)
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\ลูกศรขวา\qquad\มุม A_1NM = 60^(\circ)\]
คำตอบ: 60
ภารกิจที่ 6 #1854
ระดับงาน: ยากกว่าการสอบ Unified State
ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส \(ABCD\) : \(O\) – จุดตัดของเส้นทแยงมุม; \(S\) – ไม่อยู่ในระนาบของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส \(SO \perp ABC\) ค้นหามุมระหว่างระนาบ \(ASD\) และ \(ABC\) ถ้า \(SO = 5\) และ \(AB = 10\)
สามเหลี่ยมมุมฉาก \(\triangle SAO\) และ \(\triangle SDO\) เท่ากันในสองด้าน และมุมระหว่างพวกมัน (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\มุม SOA = \มุม SOD = 90^\circ\)- \(AO = DO\) เพราะ \(O\) – จุดตัดของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส, \(SO\) – ด้านทั่วไป) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) – หน้าจั่ว จุด \(K\) คือจุดกึ่งกลางของ \(AD\) จากนั้น \(SK\) คือความสูงในรูปสามเหลี่ยม \(\triangle ASD\) และ \(OK\) คือความสูงในรูปสามเหลี่ยม \( AOD\) \(\ Rightarrow\) เครื่องบิน \(SOK\) ตั้งฉากกับระนาบ \(ASD\) และ \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) – มุมเชิงเส้นเท่ากับที่ต้องการ มุมไดฮีดรัล
ใน \(\triangle SKO\) : \(ตกลง = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) – สามเหลี่ยมหน้าจั่ว \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\)
คำตอบ: 45
ภารกิจที่ 7 #1855
ระดับงาน: ยากกว่าการสอบ Unified State
ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส \(ABCD\) : \(O\) – จุดตัดของเส้นทแยงมุม; \(S\) – ไม่อยู่ในระนาบของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส \(SO \perp ABC\) ค้นหามุมระหว่างระนาบ \(ASD\) และ \(BSC\) ถ้า \(SO = 5\) และ \(AB = 10\)
สามเหลี่ยมมุมฉาก \(\triangle SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) และ \(\triangle SOC\) เท่ากันในสองด้านและมุมระหว่างพวกเขา (\(SO \perp ABC \) \(\ลูกศรขวา\) \(\มุม SOA = \มุม SOD = \มุม SOB = \มุม SOC = 90^\circ\)- \(AO = OD = OB = OC\) เพราะ \(O\) – จุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส, \(SO\) – ด้านร่วม) \(\ลูกศรขวา\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\ลูกศรขวา\) \( \triangle ASD\) และ \(\triangle BSC\) เป็นหน้าจั่ว จุด \(K\) คือจุดกึ่งกลางของ \(AD\) จากนั้น \(SK\) คือความสูงในรูปสามเหลี่ยม \(\triangle ASD\) และ \(OK\) คือความสูงในรูปสามเหลี่ยม \( AOD\) \(\ Rightarrow\) เครื่องบิน \(SOK\) ตั้งฉากกับเครื่องบิน \(ASD\) จุด \(L\) คือจุดกึ่งกลางของ \(BC\) จากนั้น \(SL\) คือความสูงในรูปสามเหลี่ยม \(\triangle BSC\) และ \(OL\) คือความสูงในรูปสามเหลี่ยม \( BOC\) \(\ Rightarrow\) เครื่องบิน \(SOL\) (aka เครื่องบิน \(SOK\)) ตั้งฉากกับเครื่องบิน \(BSC\) ดังนั้นเราจึงได้ว่า \(\angle KSL\) เป็นมุมเชิงเส้นเท่ากับมุมไดฮีดรัลที่ต้องการ
\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\ลูกศรขวา\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) – ความสูงเท่ากัน สามเหลี่ยมหน้าจั่วซึ่งสามารถพบได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: \(SL^2 = ดังนั้น^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\)- สังเกตได้เลยว่า \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) สำหรับรูปสามเหลี่ยม \(\triangle KSL\) ทฤษฎีบทพีทาโกรัสผกผันถือ \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) – สามเหลี่ยมมุมฉาก \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90 ^\ วงกลม\) .
คำตอบ: 90
ตามกฎแล้วการเตรียมนักเรียนเพื่อเข้าสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์จะเริ่มต้นด้วยการทำซ้ำสูตรพื้นฐานรวมถึงสูตรที่ให้คุณกำหนดมุมระหว่างระนาบได้ แม้ว่าเรขาคณิตส่วนนี้จะมีรายละเอียดอยู่ภายในอย่างเพียงพอก็ตาม หลักสูตรของโรงเรียนผู้สำเร็จการศึกษาจำนวนมากจำเป็นต้องทำซ้ำเนื้อหาพื้นฐาน เมื่อทำความเข้าใจกับวิธีการหามุมระหว่างเครื่องบิน นักเรียนมัธยมปลายจะสามารถคำนวณคำตอบที่ถูกต้องได้อย่างรวดเร็วเมื่อแก้ไขปัญหาและไว้วางใจในการได้รับคะแนนที่เหมาะสมจากผลการสอบผ่านแบบรวมรัฐ
ความแตกต่างหลัก
เพื่อให้แน่ใจว่าคำถามเกี่ยวกับวิธีการค้นหามุมไดฮีดรัลไม่ทำให้เกิดปัญหา เราขอแนะนำให้ปฏิบัติตามอัลกอริธึมการแก้ปัญหาที่จะช่วยคุณรับมือกับงาน Unified State Examination
ก่อนอื่นคุณต้องกำหนดเส้นตรงที่เครื่องบินตัดกัน
จากนั้นคุณจะต้องเลือกจุดบนเส้นนี้แล้ววาดตั้งฉากสองอันลงไป
ขั้นตอนต่อไป- การค้นหา ฟังก์ชันตรีโกณมิติมุมไดฮีดรัลที่เกิดจากตั้งฉาก วิธีที่สะดวกที่สุดในการทำเช่นนี้คือใช้สามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นซึ่งมีมุมเป็นส่วนหนึ่ง
คำตอบจะเป็นค่าของมุมหรือฟังก์ชันตรีโกณมิติ
การเตรียมตัวสอบกับ Shkolkovo เป็นกุญแจสู่ความสำเร็จของคุณ
ในระหว่างเรียนก่อนสอบ Unified State เด็กนักเรียนจำนวนมากต้องเผชิญกับปัญหาในการหาคำจำกัดความและสูตรที่ช่วยให้สามารถคำนวณมุมระหว่าง 2 ระนาบได้ หนังสือเรียนของโรงเรียนมันไม่ได้พร้อมเสมอเมื่อคุณต้องการ และเพื่อค้นหา สูตรที่จำเป็นและตัวอย่างการใช้งานที่ถูกต้องรวมถึงการหามุมระหว่างเครื่องบินบนอินเทอร์เน็ตออนไลน์ซึ่งบางครั้งต้องใช้เวลามาก
ข้อเสนอพอร์ทัลทางคณิตศาสตร์ "Shkolkovo" แนวทางใหม่เพื่อเตรียมตัวสอบเข้ารัฐ ชั้นเรียนในเว็บไซต์ของเราจะช่วยให้นักเรียนระบุส่วนที่ยากที่สุดสำหรับตนเองและเติมเต็มช่องว่างในความรู้
เราได้เตรียมและนำเสนอเนื้อหาที่จำเป็นทั้งหมดอย่างชัดเจน คำจำกัดความพื้นฐานและสูตรต่างๆ นำเสนอในหัวข้อ “ข้อมูลทางทฤษฎี”
เพื่อให้เข้าใจเนื้อหาได้ดีขึ้น เรายังแนะนำให้ฝึกแบบฝึกหัดที่เหมาะสมด้วย มีงานให้เลือกมากมาย องศาที่แตกต่างตัวอย่างเช่น ความซับซ้อนจะแสดงอยู่ในส่วน "แคตตาล็อก" งานทั้งหมดมีอัลกอริธึมโดยละเอียดสำหรับการค้นหาคำตอบที่ถูกต้อง รายการแบบฝึกหัดบนเว็บไซต์มีการเสริมและอัปเดตอยู่ตลอดเวลา
ขณะฝึกซ้อมการแก้ปัญหาที่ต้องใช้การหามุมระหว่างระนาบสองลำ นักเรียนจะมีโอกาสบันทึกงานออนไลน์เป็น "รายการโปรด" ด้วยเหตุนี้พวกเขาจึงสามารถกลับมาหาเขาได้ จำนวนที่ต้องการเวลาและหารือเกี่ยวกับความคืบหน้าของการตัดสินใจด้วย ครูโรงเรียนหรือครูสอนพิเศษ
การวัดมุมระหว่างระนาบคือมุมแหลมที่เกิดจากเส้นตรงสองเส้นที่อยู่ในระนาบเหล่านี้และลากตั้งฉากกับเส้นตัดกัน
อัลกอริธึมการก่อสร้าง
- จาก จุดใดก็ได้ K วาดเส้นตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดแต่ละอัน
- โดยการหมุนรอบเส้นระดับ มุม γ° กับจุดยอดที่จุด K จะถูกกำหนด
- คำนวณมุมระหว่างระนาบ ϕ° = 180 – γ° โดยที่ γ° > 90° ถ้า γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.
รูปนี้แสดงกรณีที่ระนาบ α และ β ได้รับจากการติดตาม โครงสร้างที่จำเป็นทั้งหมดได้ดำเนินการตามอัลกอริทึมและอธิบายไว้ด้านล่าง
สารละลาย
- ในตำแหน่งใดก็ได้ในภาพวาด ให้ทำเครื่องหมายจุด K จากนั้นเราลดตั้งฉาก m และ n ตามลำดับไปที่ระนาบ α และ β ทิศทางของการฉายภาพ m และ n มีดังนี้: m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β .
- เรากำหนดขนาดจริง ∠γ° ระหว่างเส้น m และ n ในการทำเช่นนี้ รอบหน้าผาก f เราหมุนระนาบของมุมด้วยจุดยอด K ไปยังตำแหน่งที่ขนานกับระนาบส่วนหน้าของการฉายภาพ รัศมีวงเลี้ยว R ของจุด K เท่ากับมูลค่าด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก O""K""K 0 ซึ่งด้านนั้นคือ K""K 0 = y K – y O
- มุมที่ต้องการคือ ϕ° = ∠γ° เนื่องจาก ∠γ° เป็นมุมแหลม
รูปด้านล่างแสดงวิธีแก้ไขปัญหาซึ่งจำเป็นต้องค้นหามุม γ° ระหว่างระนาบ α และ β โดยกำหนดโดยเส้นขนานและเส้นตัดกัน ตามลำดับ
สารละลาย
- เรากำหนดทิศทางของการฉายภาพแนวนอน h 1, h 2 และด้านหน้า f 1, f 2, ที่เป็นของเครื่องบินα และ β ตามลำดับที่ระบุโดยลูกศร จากจุดใดก็ได้ K บนจัตุรัส α และ β เราละเว้นตั้งฉาก e และ k ในกรณีนี้ e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 และ k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 .
- เรากำหนด ∠γ° ระหว่างเส้นตรง e และ k เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้วาดเส้นแนวนอน h 3 แล้วหมุนจุด K รอบๆ ไปยังตำแหน่ง K 1 โดยที่ △CKD จะขนานกับระนาบแนวนอนและจะสะท้อนให้เห็นในขนาดธรรมชาติ - △C"K" 1 D ". เส้นโครงของจุดศูนย์กลางการหมุน O" อยู่ที่เส้นโครงที่ลากไปที่ h" 3 ตั้งฉากกับ K"O" รัศมี R ถูกกำหนดจากสามเหลี่ยมมุมฉาก O"K"K 0 ซึ่งด้าน K"K 0 = โซ – ซี เค
- ค่าของค่าที่ต้องการคือ ∠ϕ° = ∠γ° เนื่องจากมุม γ° เป็นแบบเฉียบพลัน