ข้อความของงานถูกโพสต์โดยไม่มีรูปภาพและสูตร
ผลงานเวอร์ชันเต็มมีอยู่ในแท็บ "ไฟล์งาน" ในรูปแบบ PDF
การแนะนำ
การแก้สมการพีชคณิตที่มีระดับสูงกว่าโดยไม่ทราบค่าเป็นหนึ่งในปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยากที่สุดและเก่าแก่ที่สุด นักคณิตศาสตร์สมัยโบราณที่โดดเด่นที่สุดจัดการกับปัญหาเหล่านี้
การแก้สมการระดับที่ n ถือเป็นงานสำคัญสำหรับคณิตศาสตร์สมัยใหม่ มีความสนใจค่อนข้างมากเนื่องจากสมการเหล่านี้เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการค้นหารากของสมการที่ไม่ครอบคลุมในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน
ปัญหา:การที่นักเรียนขาดทักษะในการแก้สมการในระดับที่สูงกว่าในรูปแบบต่างๆ ทำให้พวกเขาไม่สามารถเตรียมตัวสำหรับการรับรองขั้นสุดท้ายในวิชาคณิตศาสตร์และโอลิมปิกทางคณิตศาสตร์ได้สำเร็จ และการฝึกอบรมในชั้นเรียนคณิตศาสตร์เฉพาะทาง
ข้อเท็จจริงที่ระบุไว้ได้กำหนดไว้ ความเกี่ยวข้องงานของเรา "การแก้สมการระดับที่สูงกว่า"
ความรู้เกี่ยวกับวิธีการที่ง่ายที่สุดในการแก้สมการระดับที่ n ช่วยลดเวลาในการทำงานให้สำเร็จซึ่งขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของงานและคุณภาพของกระบวนการเรียนรู้
วัตถุประสงค์ของงาน:ศึกษาวิธีการที่รู้จักกันดีในการแก้สมการระดับที่สูงกว่าและระบุวิธีที่เข้าถึงได้มากที่สุดเพื่อการใช้งานจริง
ตามเป้าหมายในงานมีการกำหนดสิ่งต่อไปนี้: งาน:
ศึกษาวรรณกรรมและแหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ตในหัวข้อนี้
ทำความคุ้นเคยกับข้อเท็จจริงทางประวัติศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับหัวข้อนี้
อธิบายวิธีการต่างๆ ในการแก้สมการระดับสูง
เปรียบเทียบระดับความซับซ้อนของแต่ละรายการ
แนะนำเพื่อนร่วมชั้นให้รู้จักวิธีการแก้สมการระดับที่สูงกว่า
สร้างสมการเลือกเพื่อนำไปใช้จริงของวิธีที่พิจารณาแต่ละวิธี
วัตถุประสงค์ของการศึกษา- สมการระดับที่สูงกว่าด้วยตัวแปรเดียว
หัวข้อการวิจัย- วิธีการแก้สมการระดับที่สูงกว่า
สมมติฐาน:ไม่มีวิธีการทั่วไปหรืออัลกอริธึมเดียวที่ช่วยให้สามารถค้นหาคำตอบของสมการระดับที่ n ได้ในจำนวนขั้นตอนที่จำกัด
วิธีการวิจัย:
- วิธีบรรณานุกรม (การวิเคราะห์วรรณกรรมในหัวข้อวิจัย)
- วิธีการจำแนกประเภท
- วิธีการวิเคราะห์เชิงคุณภาพ
นัยสำคัญทางทฤษฎีการวิจัยประกอบด้วยวิธีการจัดระบบในการแก้สมการระดับสูงและอธิบายอัลกอริทึม
ความสำคัญในทางปฏิบัติ- นำเสนอเนื้อหาในหัวข้อนี้และการพัฒนาสื่อการสอนสำหรับนักเรียนในหัวข้อนี้
1. สมการของปริญญาที่สูงกว่า
1.1 แนวคิดของสมการดีกรีที่ n
คำจำกัดความ 1.สมการระดับที่ n คือสมการของรูปแบบ
ก 0 xⁿ+ก 1 x n -1 +ก 2 xⁿ - ²+…+ก n -1 x+ก n = 0 โดยที่สัมประสิทธิ์ ก 0, ก 1, ก 2…, ก n -1, ก n- จำนวนจริงใดๆ และ ,ก 0 ≠ 0 .
พหุนาม ก 0 xⁿ+ก 1 x n -1 +ก 2 xⁿ - ²+…+ก n -1 x+ก n เรียกว่าพหุนามของดีกรีที่ n ค่าสัมประสิทธิ์มีความโดดเด่นด้วยชื่อ: ก 0 - ค่าสัมประสิทธิ์อาวุโส ก n เป็นสมาชิกฟรี
คำจำกัดความ 2. คำตอบหรือรากของสมการที่กำหนดคือค่าทั้งหมดของตัวแปร เอ็กซ์ซึ่งเปลี่ยนสมการนี้ให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริงหรือพหุนาม ก 0 xⁿ+ก 1 x n -1 +ก 2 xⁿ - ²+…+ก n -1 x+ก n ไปที่ศูนย์ ค่าตัวแปรนี้ เอ็กซ์เรียกอีกอย่างว่ารากของพหุนาม การแก้สมการหมายถึงการค้นหารากทั้งหมดหรือพิสูจน์ว่าไม่มีเลย
ถ้า ก 0 = 1 ดังนั้นสมการดังกล่าวเรียกว่าสมการตรรกยะจำนวนเต็มลดลง n ไทยองศา
สำหรับสมการระดับ 3 และ 4 มีสูตรคาร์ดาโนและเฟอร์รารีที่แสดงรากของสมการเหล่านี้ผ่านอนุมูล ปรากฎว่าในทางปฏิบัติไม่ค่อยได้ใช้ ดังนั้น หาก n ≥ 3 และสัมประสิทธิ์ของพหุนามเป็นจำนวนจริงใดๆ การค้นหารากของสมการจึงไม่ใช่เรื่องง่าย อย่างไรก็ตาม ในกรณีพิเศษจำนวนมาก ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์ ลองดูบางส่วนของพวกเขา
1.2 ข้อเท็จจริงทางประวัติศาสตร์สำหรับการแก้สมการระดับสูงขึ้น
ในสมัยโบราณ ผู้คนตระหนักดีว่าการเรียนรู้การแก้สมการพีชคณิตมีความสำคัญเพียงใด ประมาณ 4,000 ปีที่แล้ว นักวิทยาศาสตร์ชาวบาบิโลนรู้วิธีแก้สมการกำลังสองและระบบแก้สมการสองสมการ โดยหนึ่งในนั้นเป็นระดับที่สอง ด้วยความช่วยเหลือของสมการระดับที่สูงกว่าปัญหาต่าง ๆ ของการสำรวจที่ดินสถาปัตยกรรมและการทหารได้รับการแก้ไขคำถามมากมายเกี่ยวกับการปฏิบัติและวิทยาศาสตร์ธรรมชาติลดลงเนื่องจากภาษาที่แม่นยำของคณิตศาสตร์ช่วยให้สามารถแสดงข้อเท็จจริงและความสัมพันธ์ได้อย่างง่ายดาย ซึ่งเมื่อพูดเป็นภาษาธรรมดาแล้วอาจดูสับสนและซับซ้อน
สูตรสากลสำหรับการค้นหารากของสมการพีชคณิต nไม่มีปริญญา แน่นอนว่าหลายคนมีความคิดที่น่าดึงดูดในการค้นหาสูตรที่จะแสดงรากของสมการผ่านค่าสัมประสิทธิ์ของมันในระดับ n ใด ๆ นั่นคือแก้สมการด้วยอนุมูล
เฉพาะในศตวรรษที่ 16 เท่านั้นที่นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีสามารถก้าวหน้าต่อไปได้ - เพื่อค้นหาสูตรสำหรับ n = 3 และ n = 4 ในเวลาเดียวกัน Scipio, Dahl, Ferro และนักเรียนของเขา Fiori และ Tartaglia กำลังศึกษาคำถามเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของ สมการของระดับที่ 3
ในปี ค.ศ. 1545 หนังสือของนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี D. Cardano ได้รับการตีพิมพ์เรื่อง Great Art หรือ on the Rules of Algebra โดยที่นอกเหนือจากคำถามอื่น ๆ ของพีชคณิตแล้วยังมีการพิจารณาวิธีการทั่วไปในการแก้สมการลูกบาศก์ตลอดจนวิธีการ การแก้สมการระดับที่ 4 ค้นพบโดยนักเรียนของเขาแอล. เฟอร์รารี
F. Viet นำเสนอประเด็นที่เกี่ยวข้องกับการแก้สมการระดับที่ 3 และ 4 อย่างสมบูรณ์
ในช่วงทศวรรษที่ 20 ของศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์ เอ็น. อาเบล พิสูจน์ว่ารากของสมการระดับที่ 5 ไม่สามารถแสดงในรูปของรากได้
การศึกษาพบว่าวิทยาศาสตร์สมัยใหม่รู้วิธีแก้สมการระดับที่ n หลายวิธี
ผลการสืบค้นวิธีการแก้สมการระดับสูงกว่าที่แก้ไม่ได้โดยใช้วิธีที่พิจารณาในหลักสูตรของโรงเรียนเป็นวิธีการที่อาศัยการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของเวียตต้า (สำหรับสมการระดับปริญญา n>2) ทฤษฎีบทของเบซูต์ แผนการของฮอร์เนอร์ ตลอดจนสูตรคาร์ดาโนและเฟอร์รารีสำหรับการแก้สมการลูกบาศก์และควอติก
ผลงานนำเสนอวิธีการแก้สมการและประเภทของสมการซึ่งกลายเป็นการค้นพบสำหรับเรา ซึ่งรวมถึงวิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน การเลือกระดับเต็ม สมการสมมาตร
2. การแก้สมการทั้งหมดของระดับที่สูงกว่าด้วยค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม
2.1 การแก้สมการขั้นที่ 3 สูตรดีคาร์ดาโน
พิจารณาสมการของแบบฟอร์ม x 3 +px+q=0ให้เราแปลงสมการทั่วไปให้อยู่ในรูปแบบ: x 3 +พิกเซล 2 +qx+r=0ลองเขียนสูตรกำลังสามของผลรวมลงไป ลองบวกมันเข้ากับความเท่าเทียมกันดั้งเดิมแล้วแทนที่ด้วย ย- เราได้รับสมการ: ย 3 + (q -) (y -) + (r - =0หลังจากการเปลี่ยนแปลง เรามี: ย 2 +ไพ + คิว=0ตอนนี้ ลองเขียนสูตรผลรวมลูกบาศก์อีกครั้ง:
(ก+ข) 3 =ก 3 + 3ก 2 ข + 3ab 2 +ข 3 =ก 3 +ข 3 + 3ab (ก + ข)แทนที่ ( ก+ข)บน xเราจะได้สมการ x 3 - 3abx - (ก 3 +ข 3) = 0. ตอนนี้เราเห็นแล้วว่าสมการดั้งเดิมเทียบเท่ากับระบบ และเมื่อแก้ระบบ เราจะได้:
เราได้รับสูตรสำหรับการแก้สมการระดับ 3 ข้างต้น เป็นชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี คาร์ดาโน
ลองดูตัวอย่าง แก้สมการ: .
เรามี ร= 15 และ ถาม= 124 จากนั้นใช้สูตรคาร์ดาโนเพื่อคำนวณรากของสมการ
สรุป: สูตรนี้ดีแต่ไม่เหมาะกับการแก้สมการกำลังสามทั้งหมด ในขณะเดียวกันก็ยุ่งยาก ดังนั้นในทางปฏิบัติจึงไม่ค่อยได้ใช้
แต่ใครก็ตามที่เชี่ยวชาญสูตรนี้ก็สามารถนำไปใช้ในการแก้สมการระดับที่สามในการสอบ Unified State ได้
2.2 ทฤษฎีบทของเวียตตา
จากหลักสูตรคณิตศาสตร์ เรารู้ทฤษฎีบทนี้สำหรับสมการกำลังสอง แต่มีเพียงไม่กี่คนที่รู้ว่าทฤษฎีนี้ใช้ในการแก้สมการลำดับที่สูงกว่าด้วย
พิจารณาสมการ:
ลองแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการแล้วหารด้วย ≠ 0
ลองแปลงด้านขวาของสมการเป็นรูปแบบ
- ตามมาว่าเราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันต่อไปนี้ลงในระบบได้:
สูตรที่ได้มาจาก Viète สำหรับสมการกำลังสองและเราสาธิตให้สำหรับสมการระดับ 3 ก็เป็นจริงสำหรับพหุนามที่มีระดับสูงกว่าเช่นกัน
มาแก้สมการกำลังสามกัน:
สรุป: วิธีการนี้เป็นสากลและง่ายพอสำหรับนักเรียนที่จะเข้าใจ เนื่องจากทฤษฎีบทของ Vieta คุ้นเคยกับพวกเขาจากหลักสูตรของโรงเรียนสำหรับ n = 2. ในเวลาเดียวกัน เพื่อที่จะค้นหารากของสมการโดยใช้ทฤษฎีบทนี้ คุณต้องมีทักษะการคำนวณที่ดี
2.3 ทฤษฎีบทของเบซูต์
ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส J. Bezou ในศตวรรษที่ 18
ทฤษฎีบท.ถ้าสมการ ก 0 xⁿ+ก 1 x n -1 +ก 2 xⁿ - ²+…+ก n -1 x+ก n = 0 โดยที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม และพจน์อิสระไม่เป็นศูนย์และมีรากเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นรากนี้คือตัวหารของพจน์อิสระ
เมื่อพิจารณาว่าทางด้านซ้ายของสมการมีพหุนามเป็นดีกรีที่ n ทฤษฎีบทจึงมีการตีความอีกอย่างหนึ่ง
ทฤษฎีบท.เมื่อทำการหารพหุนามของดีกรีที่ n เทียบกับ xโดยทวินาม เอ็กซ์เอส่วนที่เหลือจะเท่ากับมูลค่าเงินปันผลเมื่อ x = ก- (จดหมาย กสามารถแทนจำนวนจริงหรือจำนวนจินตภาพใดๆ ได้ เช่น จำนวนเชิงซ้อนใดๆ)
การพิสูจน์:อนุญาต ฉ(x) หมายถึงพหุนามตามอำเภอใจของดีกรีที่ n เทียบกับตัวแปร x และให้ เมื่อหารด้วยทวินาม ( เอ็กซ์เอ) ปรากฏเป็นการส่วนตัว ถาม(x) และส่วนที่เหลือ ร- เห็นได้ชัดว่า คิว(x)จะมีพหุนามอยู่บ้าง (n - 1)ระดับที่สัมพันธ์กับ xและส่วนที่เหลือ รจะเป็นค่าคงที่ กล่าวคือ เป็นอิสระจาก x.
ถ้าเหลือ. รเป็นพหุนามของดีกรี 1 เทียบกับ x นั่นหมายความว่าการหารล้มเหลว ดังนั้น, รจาก xไม่ได้ขึ้นอยู่กับ ตามคำจำกัดความของการแบ่งเราได้รับเอกลักษณ์: ฉ(x)=(x-a) q(x)+R.
ความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับค่า x ใดๆ ซึ่งหมายความว่ามันก็เป็นจริงเช่นกัน x=กเราได้รับ: ฉ(ก)=(ก-ก) q(ก)+R- เครื่องหมาย ฉ(ก) หมายถึงค่าของพหุนาม f (x) ที่ x=ก, q(ก)ย่อมาจากคุณค่า ถาม(x) ที่ x=ก.ที่เหลือ รยังคงเหมือนเดิมเพราะว่า รจาก xไม่ได้ขึ้นอยู่กับ งาน ( x-a) q(a) = 0เนื่องจากปัจจัย ( x-ก) = 0,และตัวคูณ ถาม(ก)มีจำนวนที่แน่นอน ดังนั้นจากความเท่าเทียมกันเราได้: ฉ(ก)= R,ฯลฯ
ตัวอย่างที่ 1ค้นหาส่วนที่เหลือของพหุนาม x 3 - 3x 2 + 6เอ็กซ์- 5 ต่อทวินาม
เอ็กซ์- 2. ตามทฤษฎีบทของเบซูต์ : ร=ฉ(2) = 23-322 + 62 -5=3. คำตอบ: ร= 3.
โปรดทราบว่าทฤษฎีบทของเบซูต์นั้นไม่ได้มีความสำคัญในตัวเองมากนักสำหรับผลที่ตามมา (ภาคผนวก 1)
ให้เราพิจารณาเทคนิคบางอย่างในการประยุกต์ทฤษฎีบทของเบซูต์ในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ ควรสังเกตว่าเมื่อแก้สมการโดยใช้ทฤษฎีบทของ Bezout จำเป็น:
ค้นหาตัวหารจำนวนเต็มของพจน์อิสระ
ค้นหารากของสมการอย่างน้อยหนึ่งอันจากตัวหารเหล่านี้
หารด้านซ้ายของสมการด้วย (ฮา);
เขียนผลคูณของตัวหารและผลหารทางด้านซ้ายของสมการ
แก้สมการผลลัพธ์
ลองดูตัวอย่างการแก้สมการ x 3 + 4เอ็กซ์ 2 + x - 6 = 0 .
วิธีแก้: หาตัวหารของเทอมอิสระ ±1 ; ± 2; ± 3; ± 6. มาคำนวณค่าที่ x= 1, 1 3 + 41 2 + 1- 6=0. หารด้านซ้ายของสมการด้วย ( เอ็กซ์- 1). มาทำการหารโดยใช้ "มุม" และรับ:
สรุป: ทฤษฎีบทของ Bezout เป็นหนึ่งในวิธีการที่เราพิจารณาในงานของเราซึ่งศึกษาในโปรแกรมวิชาเลือก เป็นการยากที่จะเข้าใจเพราะเพื่อที่จะเชี่ยวชาญคุณต้องรู้ผลที่ตามมาทั้งหมด แต่ในขณะเดียวกันทฤษฎีบทของ Bezout ก็เป็นหนึ่งในผู้ช่วยหลักสำหรับนักเรียนในการสอบ Unified State
2.4 โครงการฮอร์เนอร์
การหารพหุนามด้วยทวินาม x-αคุณสามารถใช้เทคนิคพิเศษง่ายๆ ที่คิดค้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษในศตวรรษที่ 17 ซึ่งต่อมาเรียกว่าแผนการของฮอร์เนอร์ นอกจากการหารากของสมการแล้ว การใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์ยังช่วยให้คุณสามารถคำนวณค่าของมันได้ง่ายขึ้นอีกด้วย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องแทนที่ค่าของตัวแปรลงในพหุนาม Pn (x)=ก 0 xn+ก 1 x n-1 +ก 2 xⁿ - ²+…++ก n -1 x+ก n. (1)
ลองหารพหุนาม (1) ด้วยทวินาม x-α.
ให้เราแสดงสัมประสิทธิ์ของผลหารที่ไม่สมบูรณ์ b 0 xⁿ - ¹+ ข 1 xⁿ - ²+ ข 2 xⁿ - ³+…+ พันล้าน -1 และส่วนที่เหลือ รผ่านสัมประสิทธิ์ของพหุนาม Pn( x) และหมายเลข α. ข 0 =ก 0 , ข 1 = α ข 0 +ก 1 , ข 2 = α ข 1 +ก 2 …, พันล้าน -1 =
= α พันล้าน -2 +ก n -1 = α พันล้าน -1 +ก n .
การคำนวณตามรูปแบบของฮอร์เนอร์แสดงไว้ในตารางต่อไปนี้:
|
ก 0 |
ก 1 |
ก 2 , |
|||
|
ข 0 =ก 0 |
ข 1 = α ข 0 +ก 1 |
ข 2 = α ข 1 +ก 2 |
r=αข n-1 +ก n |
เนื่องจาก r=Pn(α),ดังนั้น α คือรากของสมการ เพื่อตรวจสอบว่า α มีหลายรูทหรือไม่ สามารถใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์กับผลหาร b ได้ 0 x+ข 1 x+…+พันล้าน -1 ตามตาราง ถ้าอยู่ในคอลัมน์ใต้ bn -1 ผลลัพธ์จะเป็น 0 อีกครั้ง ซึ่งหมายความว่า α มีหลายรูท
ลองดูตัวอย่าง: แก้สมการ เอ็กซ์ 3 + 4เอ็กซ์ 2 + x - 6 = 0.
ให้เราประยุกต์การแยกตัวประกอบของพหุนามทางด้านซ้ายของสมการทางด้านซ้ายของสมการ ซึ่งเป็นแผนของฮอร์เนอร์
วิธีแก้: หาตัวหารของพจน์อิสระ ± 1- ± 2; 3; ± 6.
|
6 ∙ 1 + (-6) = 0 |
ค่าสัมประสิทธิ์ของผลหารคือตัวเลข 1, 5, 6 และส่วนที่เหลือ r = 0
วิธี, เอ็กซ์ 3 + 4เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ - 6 = (เอ็กซ์ - 1) (เอ็กซ์ 2 + 5เอ็กซ์ + 6) = 0.
จากที่นี่: เอ็กซ์- 1 = 0 หรือ เอ็กซ์ 2 + 5เอ็กซ์ + 6 = 0.
เอ็กซ์ = 1, เอ็กซ์ 1 = -2; เอ็กซ์ 2 = -3. คำตอบ: 1,- 2, - 3.
สรุป: ดังนั้น ในสมการหนึ่ง เราได้แสดงการใช้การแยกตัวประกอบพหุนามสองวิธีที่แตกต่างกัน ในความเห็นของเรา โครงการของฮอร์เนอร์นั้นใช้ได้จริงและประหยัดที่สุด
2.5 การแก้สมการขั้นที่ 4 วิธีการของเฟอร์รารี
ลูโดวิช เฟอร์รารี นักเรียนของคาร์ดาโนค้นพบวิธีแก้สมการระดับที่สี่ วิธีการของเฟอร์รารีประกอบด้วยสองขั้นตอน
ขั้นที่ 1: สมการของแบบฟอร์มจะแสดงเป็นผลคูณของตรีโกณมิติกำลังสอง ซึ่งตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าสมการนั้นมีระดับที่ 3 และมีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งข้อ
ขั้นที่ 2: สมการผลลัพธ์ได้รับการแก้ไขโดยใช้การแยกตัวประกอบ แต่เพื่อที่จะหาการแยกตัวประกอบที่ต้องการ จะต้องแก้สมการกำลังสามก่อน
แนวคิดคือการแทนสมการในรูปแบบ A 2 =B 2 โดยที่ A= x 2 + วินาที,
ฟังก์ชัน B-เชิงเส้นของ x- จากนั้นก็ยังคงต้องแก้สมการ A = ±B
เพื่อความชัดเจน ให้พิจารณาสมการ: เมื่อแยกระดับที่ 4 เราจะได้: สำหรับค่าใดก็ได้ งนิพจน์นี้จะเป็นกำลังสองสมบูรณ์ บวกทั้งสองข้างของสมการที่เราได้รับ
ทางด้านซ้ายจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสเต็มๆ ให้คุณหยิบขึ้นมาได้ งเพื่อให้ด้านขวาของ (2) กลายเป็นกำลังสองที่สมบูรณ์ด้วย ลองจินตนาการว่าเราบรรลุเป้าหมายนี้แล้ว จากนั้นสมการของเราจะเป็นดังนี้:
การค้นหารากจะไม่ใช่เรื่องยากในภายหลัง เพื่อเลือกสิ่งที่ถูกต้อง งจำเป็นที่การแบ่งแยกทางด้านขวาของ (3) จะกลายเป็นศูนย์นั่นคือ
จึงจะหา งเราต้องแก้สมการระดับ 3 นี้ สมการเสริมนี้เรียกว่า ตัวทำละลาย.
เราค้นหารากทั้งหมดของตัวทำละลายได้อย่างง่ายดาย: ง = 1
แทนสมการลงใน (1) เราได้
สรุป: วิธีการของเฟอร์รารีนั้นเป็นสากล แต่ซับซ้อนและยุ่งยาก ในเวลาเดียวกัน หากอัลกอริธึมการแก้ปัญหาชัดเจน ก็สามารถแก้สมการระดับที่ 4 ได้โดยใช้วิธีนี้
2.6 วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้
ความสำเร็จของการแก้สมการระดับที่ 4 โดยใช้วิธีเฟอร์รารีนั้นขึ้นอยู่กับว่าเราแก้สมการของระดับที่ 3 หรือไม่ ซึ่งดังที่เราทราบนั้นเป็นไปไม่ได้เสมอไป
สาระสำคัญของวิธีค่าสัมประสิทธิ์ไม่ จำกัด คือการเดาประเภทของปัจจัยที่พหุนามที่กำหนดถูกสลายและค่าสัมประสิทธิ์ของปัจจัยเหล่านี้ (รวมถึงพหุนามด้วย) จะถูกกำหนดโดยการคูณปัจจัยและเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่กำลังเท่ากันของ ตัวแปร.
ตัวอย่าง: แก้สมการ:
สมมติว่าด้านซ้ายของสมการสามารถแบ่งออกเป็นตรีโกณมิติกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม โดยที่ความเท่าเทียมกันที่เหมือนกันเป็นจริง
แน่นอนว่าค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่ข้างหน้าจะต้องเท่ากับ 1 และเงื่อนไขอิสระจะต้องเท่ากับหนึ่ง + 1 อื่น ๆ - 1
ค่าสัมประสิทธิ์หันหน้าไปทาง เอ็กซ์- ให้เราแสดงพวกเขาด้วย กและเพื่อหาค่าเหล่านั้น เราจะคูณตรีโกณมิติทั้งสองทางด้านขวาของสมการ
เป็นผลให้เราได้รับ:
การเท่ากันค่าสัมประสิทธิ์ที่องศาเดียวกัน เอ็กซ์ทางด้านซ้ายและด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (1) เราจะได้ระบบสำหรับการค้นหาและ
เมื่อแก้ไขระบบนี้แล้วเราจะได้
สมการของเราจึงเท่ากับสมการ
เมื่อแก้ไขแล้วเราจะได้รากดังต่อไปนี้: .
วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนนั้นขึ้นอยู่กับข้อความต่อไปนี้: พหุนามใด ๆ ที่มีระดับที่สี่ในสมการสามารถแยกย่อยเป็นผลคูณของพหุนามสองตัวที่มีระดับที่สอง พหุนามสองตัวจะเท่ากันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของพวกมันเท่ากันสำหรับกำลังที่เท่ากัน เอ็กซ์
2.7 สมการสมมาตร
คำนิยาม.สมการของรูปแบบนี้เรียกว่าสมมาตร หากสัมประสิทธิ์แรกทางด้านซ้ายของสมการเท่ากับสัมประสิทธิ์แรกทางด้านขวา
เราจะเห็นว่าค่าสัมประสิทธิ์แรกทางด้านซ้ายเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์แรกทางด้านขวา
หากสมการนั้นมีดีกรีคี่ แสดงว่าสมการนั้นมีราก เอ็กซ์= - 1. ต่อไปเราสามารถลดระดับของสมการลงได้โดยการหารด้วย ( x+ 1) ปรากฎว่าเมื่อหารสมการสมมาตรด้วย ( x+ 1) ได้สมการสมมาตรของระดับคู่ การพิสูจน์ความสมมาตรของสัมประสิทธิ์แสดงไว้ด้านล่าง (ภาคผนวก 6) งานของเราคือเรียนรู้วิธีแก้สมการสมมาตรของระดับคู่
ตัวอย่างเช่น: (1)
มาแก้สมการ (1) หารด้วยกัน เอ็กซ์ 2 (ถึงระดับปานกลาง) = 0
ให้เราจัดกลุ่มคำศัพท์ด้วยความสมมาตร
) + 3(x- มาแสดงกันเถอะ ที่= x+ ลองยกกำลังสองทั้งสองข้างเลย = ที่ 2 ดังนั้น 2( ที่ 2 หรือ 2 ที่ 2 +3 เราแก้สมการได้ ที่ = , ที่= 3. ต่อไป กลับไปที่การแทนที่กัน x+ = และ x+ = 3 เราได้สมการแล้ว อันแรกไม่มีคำตอบ และอันที่สองมีสองราก คำตอบ:.
สรุป: สมการประเภทนี้ไม่ได้เจอกันบ่อยนัก แต่ถ้าเจอ ก็สามารถแก้ได้ง่าย ๆ โดยไม่ต้องพึ่งการคำนวณให้ยุ่งยาก
2.8 การแยกปริญญาเต็ม
พิจารณาสมการ
ด้านซ้ายคือลูกบาศก์ของผลรวม (x+1) กล่าวคือ
เราแยกรากที่สามออกจากทั้งสองส่วน: จากนั้นเราก็จะได้
รากเดียวอยู่ที่ไหน?
ผลการวิจัย
จากผลงานเราได้ข้อสรุปดังต่อไปนี้:
ต้องขอบคุณทฤษฎีที่ศึกษาทำให้เราคุ้นเคยกับวิธีการต่าง ๆ ในการแก้สมการทั้งหมดของระดับที่สูงกว่า
D. สูตรของ Cardano นั้นใช้งานยากและมีความน่าจะเป็นสูงที่จะเกิดข้อผิดพลาดในการคำนวณ
− วิธีของแอล. เฟอร์รารีทำให้สามารถลดคำตอบของสมการระดับที่สี่เหลือหนึ่งลูกบาศก์หนึ่งได้
− ทฤษฎีบทของเบซูต์สามารถใช้ได้ทั้งสมการกำลังสามและสมการระดับที่สี่ เมื่อนำไปใช้กับการแก้สมการจะเข้าใจได้และเป็นภาพมากขึ้น
โครงร่างของฮอร์เนอร์ช่วยลดและทำให้การคำนวณในการแก้สมการง่ายขึ้นอย่างมาก นอกเหนือจากการค้นหารากแล้ว การใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์ คุณยังสามารถคำนวณค่าของพหุนามทางด้านซ้ายของสมการได้ง่ายขึ้น
สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือการแก้สมการโดยวิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนและการแก้สมการสมมาตร
ในระหว่างการวิจัยพบว่านักเรียนคุ้นเคยกับวิธีที่ง่ายที่สุดในการแก้สมการระดับสูงสุดในวิชาคณิตศาสตร์เลือก เริ่มตั้งแต่เกรด 9 หรือเกรด 10 รวมถึงในหลักสูตรพิเศษที่เยี่ยมชมโรงเรียนคณิตศาสตร์ ข้อเท็จจริงนี้เกิดขึ้นจากการสำรวจของครูคณิตศาสตร์ที่ MBOU “โรงเรียนมัธยมหมายเลข 9” และนักเรียนที่แสดงความสนใจในวิชา “คณิตศาสตร์” มากขึ้น
วิธีที่ได้รับความนิยมมากที่สุดในการแก้สมการระดับที่สูงกว่าซึ่งพบได้เมื่อแก้โอลิมปิกปัญหาการแข่งขันและผลจากการที่นักเรียนเตรียมตัวสอบเป็นวิธีการที่ใช้ทฤษฎีบทของ Bezout โครงร่างของ Horner และการแนะนำตัวแปรใหม่
การสาธิตผลงานวิจัย ได้แก่ วิธีการแก้สมการที่ไม่ได้สอนในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนทำให้เพื่อนร่วมชั้นของฉันสนใจ
บทสรุป
เคยศึกษาวรรณกรรมด้านการศึกษาและวิทยาศาสตร์ แหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ตในฟอรัมการศึกษาสำหรับเยาวชน
“วิธีการแก้สมการระดับสูง”
( การอ่าน Kiselev)
ครูคณิตศาสตร์ Afanasyeva L.A.
โรงเรียนมัธยม MKOU Verkhnekarachskaya
เขต Gribanovsky ภูมิภาค Voronezh
2558
การศึกษาคณิตศาสตร์ที่ได้รับในโรงเรียนแบบครบวงจรถือเป็นองค์ประกอบสำคัญของการศึกษาทั่วไปและวัฒนธรรมทั่วไปของมนุษย์ยุคใหม่
Courant นักคณิตศาสตร์ชื่อดังชาวเยอรมันเขียนว่า “เป็นเวลากว่าสองพันปีมาแล้วที่การครอบครองความรู้ทางคณิตศาสตร์บางส่วนที่ไม่ผิวเผินจนเกินไปเป็นองค์ประกอบที่จำเป็นในคลังความรู้ทางปัญญาของผู้มีการศึกษาทุกคน” และในบรรดาความรู้นี้ ไม่ใช่จุดต่ำสุดที่เป็นของความสามารถในการแก้สมการ
ในสมัยโบราณ ผู้คนตระหนักดีว่าการเรียนรู้การแก้สมการพีชคณิตมีความสำคัญเพียงใด ประมาณ 4,000 ปีที่แล้ว นักวิทยาศาสตร์ชาวบาบิโลนรู้วิธีแก้สมการกำลังสองและระบบแก้สมการสองสมการ โดยหนึ่งในนั้นเป็นระดับที่สอง ด้วยความช่วยเหลือของสมการ ปัญหาต่างๆ ของการสำรวจที่ดิน สถาปัตยกรรม และการทหารได้รับการแก้ไข คำถามมากมายเกี่ยวกับการปฏิบัติและวิทยาศาสตร์ธรรมชาติลดลง เนื่องจากภาษาที่แม่นยำของคณิตศาสตร์ช่วยให้เราสามารถแสดงข้อเท็จจริงและความสัมพันธ์ที่เมื่อ พูดเป็นภาษาธรรมดาๆ อาจจะดูสับสนและซับซ้อน สมการเป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ การพัฒนาวิธีการแก้สมการตั้งแต่เริ่มต้นของคณิตศาสตร์ในฐานะวิทยาศาสตร์เป็นหัวข้อหลักของการศึกษาพีชคณิตมานานแล้ว และวันนี้ในบทเรียนคณิตศาสตร์เริ่มตั้งแต่ขั้นแรกของการศึกษามีการให้ความสนใจอย่างมากกับการแก้สมการประเภทต่างๆ
ไม่มีสูตรสากลในการค้นหารากของสมการพีชคณิตระดับที่ n แน่นอนว่าหลายคนมีความคิดที่น่าดึงดูดใจในการค้นหาไม่ว่าจะในระดับใดก็ตาม nสูตรที่จะแสดงรากของสมการผ่านค่าสัมประสิทธิ์ ซึ่งก็คือ แก้สมการในรูปรากได้ อย่างไรก็ตาม "ยุคกลางที่มืดมน" กลายเป็นเรื่องมืดมนที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้เมื่อเทียบกับปัญหาภายใต้การสนทนา - เป็นเวลาเจ็ดศตวรรษแล้วที่ไม่มีใครพบสูตรที่ต้องการ! เฉพาะในศตวรรษที่ 16 เท่านั้นที่นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีสามารถก้าวหน้าต่อไปได้ - เพื่อค้นหาสูตรสำหรับ n =3 และ n =4 - ในเวลาเดียวกัน Scipio Dal Ferro นักเรียนของเขา Fiori และ Tartaglia ศึกษาคำถามของการแก้สมการทั่วไปของระดับที่ 3 ในปี ค.ศ. 1545 หนังสือของนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี D Cardano ได้รับการตีพิมพ์เรื่อง Great Art หรือ On the Rules of Algebra โดยที่นอกเหนือจากคำถามอื่น ๆ ของพีชคณิตแล้วยังมีการพิจารณาวิธีการทั่วไปในการแก้สมการลูกบาศก์ตลอดจนวิธีการแก้ สมการระดับที่ 4 ซึ่งค้นพบโดยนักเรียนของเขา แอล. เฟอร์รารี F. Viet นำเสนอประเด็นที่เกี่ยวข้องกับการแก้สมการระดับ 3 ถึง 4 อย่างสมบูรณ์ และในช่วงทศวรรษที่ 20 ของศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์ N. Abel ได้พิสูจน์ว่ารากของสมการระดับที่ 5 และสูงกว่านั้นไม่สามารถแสดงในรูปของอนุมูลได้
กระบวนการค้นหาคำตอบของสมการมักจะเกี่ยวข้องกับการแทนที่สมการด้วยสมการที่เทียบเท่ากัน การแทนที่สมการด้วยสมการที่เทียบเท่านั้นขึ้นอยู่กับการใช้สัจพจน์สี่ประการ:
1. หากค่าเท่ากันเพิ่มขึ้นด้วยจำนวนเดียวกันผลลัพธ์จะเท่ากัน
2. หากคุณลบจำนวนเดียวกันจากจำนวนที่เท่ากัน ผลลัพธ์จะเท่ากัน
3. หากค่าเท่ากันคูณด้วยจำนวนเดียวกันผลลัพธ์จะเท่ากัน
4. ถ้าปริมาณเท่ากันหารด้วยจำนวนเท่ากันผลลัพธ์จะเท่ากัน
เนื่องจากด้านซ้ายของสมการ P(x) = 0 เป็นพหุนามของดีกรีที่ n จึงมีประโยชน์ในการจำข้อความต่อไปนี้:
ข้อความเกี่ยวกับรากของพหุนามและตัวหาร:
1. พหุนามระดับ n มีจำนวนรากที่ไม่เกิน n และรากที่มีหลายหลาก m เกิดขึ้น m ครั้งพอดี
2. พหุนามระดับคี่จะมีรากจริงอย่างน้อยหนึ่งราก
3. ถ้า α เป็นรากของ P(x) แล้ว P n (x) = (x - α) Q n - 1 (x) โดยที่ Q n - 1 (x) เป็นพหุนามของดีกรี (n - 1)
4. รากของจำนวนเต็มทุกตัวของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มคือตัวหารของพจน์อิสระ
5. พหุนามรีดิวซ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มไม่สามารถมีรากที่เป็นเศษส่วนได้
6. สำหรับพหุนามดีกรีที่สาม
P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d เป็นไปได้หนึ่งในสองสิ่งนี้: ไม่ว่าจะถูกแยกย่อยเป็นผลคูณของทวินามสามตัว
P 3 (x) = a (x - α)(x - β)(x - γ) หรือสลายตัวเป็นผลคูณของทวินามและตรีโกณมิติกำลังสอง P 3 (x) = a(x - α)(x 2 + βx + γ )
7. พหุนามใดๆ ที่มีระดับที่ 4 สามารถขยายเป็นผลคูณของตรีโกณมิติกำลังสองสองตัวได้
8. พหุนาม f (x) สามารถหารด้วยพหุนาม g(x) โดยไม่มีเศษ ถ้ามีพหุนาม q(x) โดยที่ f(x) = g(x) q(x) หากต้องการแบ่งพหุนาม ให้ใช้กฎ "การหารมุม"
9. เพื่อให้พหุนาม P(x) หารด้วยทวินาม (x - c) ลงตัว จำเป็นและเพียงพอที่ c เป็นรากของ P(x) (ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทของเบซูต์)
10. ทฤษฎีบทของเวียตา: ถ้า x 1, x 2, ..., x n เป็นรากที่แท้จริงของพหุนาม
P(x) = a 0 xn + a 1 xn - 1 + ... + a n ดังนั้นค่าที่เท่ากันต่อไปนี้จะคงอยู่:
x 1 + x 2 + … + xn = -a 1 /a 0,
x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + xn - 1 xn = ก 2 /a 0,
x 1 x 2 x 3 + ... + xn - 2 xn - 1 xn = -a 3 /a 0,
x 1 x 2 x 3 x n = (-1) n n /a 0 .
ตัวอย่างการแก้
ตัวอย่างที่ 1 - หาเศษที่เหลือของการหาร P(x) = x 3 + 2/3 x 2 – 1/9 ด้วย (x – 1/3)
สารละลาย. ตามข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทของ Bezout: "ส่วนที่เหลือของพหุนามหารด้วยทวินาม (x - c) เท่ากับค่าของพหุนามของ c" ลองหา P(1/3) = 0 กัน ดังนั้น เศษที่เหลือคือ 0 และจำนวน 1/3 คือรากของพหุนาม
คำตอบ: R = 0
ตัวอย่างที่ 2 - หารด้วย “มุม” 2x 3 + 3x 2 – 2x + 3 ด้วย (x + 2) ค้นหาผลหารที่เหลือและผลหารที่ไม่สมบูรณ์
สารละลาย:
2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2
2x 3 + 4x 2 2x 2 – x
เอ็กซ์ 2 – 2x
เอ็กซ์ 2 – 2x
คำตอบ: R = 3; ผลหาร: 2x 2 – x
วิธีการพื้นฐานในการแก้สมการระดับสูงขึ้น
1. การแนะนำตัวแปรใหม่
วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่คือการแก้สมการ f(x) = 0 ตัวแปรใหม่ (การแทนที่) t = x n หรือ t = g(x) จะถูกนำเสนอ และ f(x) จะแสดงผ่าน t จะได้ สมการใหม่ r(t) . จากนั้นแก้สมการ r(t) จะพบราก: (t 1, t 2, ..., t n) หลังจากนั้น จะได้เซตของสมการ n q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n ซึ่งหารากของสมการดั้งเดิมได้
ตัวอย่าง;(x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0
วิธีแก้: (x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0
(x 2 + x + 1) 2 – 3(x 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0
การทดแทน (x 2 + x + 1) = เสื้อ
เสื้อ 2 – 3t + 2 = 0.
เสื้อ 1 = 2, เสื้อ 2 = 1. การทดแทนแบบย้อนกลับ:
x 2 + x + 1 = 2 หรือ x 2 + x + 1 = 1;
x 2 + x - 1 = 0 หรือ x 2 + x = 0;
จากสมการแรก: x 1, 2 = (-1 ± √5)/2 จากสมการที่สอง: 0 และ -1
วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่ใช้ในการแก้ ส่งคืนได้ สมการนั่นคือสมการของรูปแบบ a 0 xn + a 1 xn – 1 + .. + a n – 1 x + a n =0 ซึ่งค่าสัมประสิทธิ์ของเงื่อนไขของสมการมีระยะห่างเท่ากันจากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด มีความเท่าเทียมกัน
2. แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่มและย่อสูตรคูณ
พื้นฐานของวิธีนี้คือการจัดกลุ่มคำศัพท์เพื่อให้แต่ละกลุ่มมีปัจจัยร่วม ในการทำเช่นนี้บางครั้งจำเป็นต้องใช้เทคนิคประดิษฐ์บางอย่าง
ตัวอย่าง: x 4 – 3x 2 + 4x – 3 = 0
สารละลาย. ลองนึกภาพ - 3x 2 = -2x 2 – x 2 และกลุ่ม:
(x 4 - 2x 2) – (x 2 - 4x + 3) = 0
(x 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4x + 3 + 1 – 1) = 0
(x 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0
(x 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0
(x 2 – 1 – x + 2)(x 2 – 1 + x – 2) = 0
(x 2 – x + 1)(x 2 + x – 3) = 0
x 2 – x + 1 = 0 หรือ x 2 + x – 3 = 0
ไม่มีรากในสมการแรก แต่จากสมการที่สอง: x 1, 2 = (-1 ± √13)/2
3. การแยกตัวประกอบโดยวิธีสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้
สาระสำคัญของวิธีนี้คือพหุนามดั้งเดิมถูกแยกตัวประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบ การใช้คุณสมบัติที่พหุนามเท่ากันหากค่าสัมประสิทธิ์เท่ากันที่กำลังเท่ากัน จะพบค่าสัมประสิทธิ์การขยายที่ไม่ทราบค่า
ตัวอย่าง: x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0
สารละลาย. พหุนามระดับ 3 สามารถขยายเป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้นและกำลังสองได้
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x - a)(x 2 + bx + c)
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 +bx 2 + cx - ขวาน 2 - abx - ac,
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b – a)x 2 + (c – ab)x – ไฟฟ้ากระแสสลับ
หลังจากแก้ไขระบบแล้ว:
เราได้รับ
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1)(x 2 + 3x + 2)
หารากของสมการ (x + 1)(x 2 + 3x + 2) = 0 ได้ง่าย
คำตอบ: -1; -2.
4. วิธีการเลือกรูทโดยใช้ค่าสัมประสิทธิ์สูงสุดและอิสระ
วิธีการนี้ขึ้นอยู่กับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบท:
1) รากของจำนวนเต็มทุกตัวของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มคือตัวหารของพจน์อิสระ
2) เพื่อให้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ p/q (p - จำนวนเต็ม, q - ธรรมชาติ) เป็นรากของสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม จำเป็นที่จำนวน p จะต้องเป็นตัวหารจำนวนเต็มของเทอมอิสระ a 0 และ q - ตัวหารตามธรรมชาติของสัมประสิทธิ์นำหน้า
ตัวอย่าง: 6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0
สารละลาย:
2: พี = ±1, ±2
6: คิว = 1, 2, 3, 6
ดังนั้น p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6
เมื่อพบรากหนึ่งตัว เช่น 2 เราจะหารากอื่นโดยใช้การหารมุม วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน หรือโครงร่างของฮอร์เนอร์
คำตอบ: -2; 1/2; 1/3.
5. วิธีกราฟิก
วิธีนี้ประกอบด้วยการสร้างกราฟและการใช้คุณสมบัติของฟังก์ชัน
ตัวอย่าง: x 5 + x – 2 = 0
ลองจินตนาการถึงสมการในรูปแบบ x 5 = - x + 2 ฟังก์ชัน y = x 5 กำลังเพิ่มขึ้น และฟังก์ชัน y = - x + 2 กำลังลดลง ซึ่งหมายความว่าสมการ x 5 + x – 2 = 0 มีรากเดียว -1
6. การคูณสมการด้วยฟังก์ชัน
บางครั้งการแก้สมการพีชคณิตอาจง่ายกว่ามากหากคุณคูณทั้งสองข้างด้วยฟังก์ชันบางอย่าง ซึ่งเป็นพหุนามที่ไม่ทราบค่า ในเวลาเดียวกัน เราต้องจำไว้ว่ามีความเป็นไปได้ที่รากส่วนเกินอาจปรากฏขึ้น ซึ่งก็คือรากของพหุนามที่ใช้คูณสมการ ดังนั้น คุณต้องคูณด้วยพหุนามที่ไม่มีรากแล้วได้สมการที่เท่ากัน หรือคูณด้วยพหุนามที่มีราก จากนั้นรากแต่ละอันจะต้องถูกแทนที่ลงในสมการดั้งเดิมและพิจารณาว่าตัวเลขนี้เป็นรากของมันหรือไม่
ตัวอย่าง. แก้สมการ:
เอ็กซ์ 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1 = 0 (1)
สารละลาย: การคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยพหุนาม X 2 + 1 ซึ่งไม่มีราก เราจะได้สมการ:
(X 2 +1) (X 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1) = 0 (2)
เทียบเท่ากับสมการ (1) สมการ (2) สามารถเขียนได้เป็น:
X 10 + 1= 0 (3)
เห็นได้ชัดว่าสมการ (3) ไม่มีรากที่แท้จริง ดังนั้นสมการ (1) จึงไม่มีรากที่แท้จริง
คำตอบ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
นอกจากวิธีการข้างต้นในการแก้สมการระดับที่สูงกว่าแล้วยังมีวิธีอื่นอีกด้วย ตัวอย่างเช่น การเน้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์ แผนของฮอร์เนอร์ ซึ่งแสดงเศษส่วนเป็นเศษส่วนสองส่วน สำหรับวิธีการทั่วไปในการแก้สมการระดับที่สูงกว่าซึ่งมักใช้กันมากที่สุดนั้น จะใช้วิธีแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการ
วิธีการแทนที่ตัวแปร (วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่) วิธีกราฟิก เราแนะนำวิธีการเหล่านี้ให้กับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 เมื่อศึกษาหัวข้อ "สมการทั้งหมดและรากของมัน" ในหนังสือเรียนพีชคณิต 9 (ผู้เขียน Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. ฯลฯ ) ของการตีพิมพ์ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมาวิธีการหลักในการแก้สมการระดับที่สูงกว่านั้นถูกกล่าวถึงในรายละเอียดที่เพียงพอ นอกจากนี้ในส่วน "สำหรับผู้ที่ต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติม" ในความคิดของฉัน เนื้อหาเกี่ยวกับการประยุกต์ทฤษฎีบทกับรากของพหุนามและรากทั้งหมดของสมการทั้งหมดเมื่อแก้สมการที่มีระดับสูงกว่านั้นนำเสนอในรูปแบบที่เข้าถึงได้ มารยาท. นักเรียนที่เตรียมตัวมาอย่างดีจะศึกษาเนื้อหานี้ด้วยความสนใจ จากนั้นจึงนำเสนอสมการที่แก้แล้วให้เพื่อนร่วมชั้นทราบ
เกือบทุกสิ่งที่อยู่รอบตัวเราเชื่อมโยงกับคณิตศาสตร์ในระดับหนึ่งหรืออีกระดับหนึ่ง และความสำเร็จในด้านฟิสิกส์ เทคโนโลยี และเทคโนโลยีสารสนเทศเป็นเพียงการยืนยันสิ่งนี้เท่านั้น และสิ่งที่สำคัญมากคือการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติหลายอย่างนั้นขึ้นอยู่กับการแก้สมการประเภทต่างๆ ที่คุณต้องเรียนรู้ที่จะแก้
เมื่อแก้สมการพีชคณิต คุณมักจะต้องแยกตัวประกอบพหุนาม แยกตัวประกอบพหุนามหมายถึงการแสดงเป็นผลคูณของพหุนามตั้งแต่สองตัวขึ้นไป เราใช้วิธีการบางอย่างในการสลายพหุนามค่อนข้างบ่อย: หาปัจจัยร่วม, ใช้สูตรการคูณแบบย่อ, การแยกกำลังสองที่สมบูรณ์, การจัดกลุ่ม เรามาดูวิธีการเพิ่มเติมกัน
บางครั้งข้อความต่อไปนี้มีประโยชน์เมื่อแยกตัวประกอบพหุนาม:
1) ถ้าพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มมีรากที่เป็นตรรกยะ (โดยที่เศษส่วนที่ลดไม่ได้แล้วคือตัวหารของเทอมอิสระและตัวหารของสัมประสิทธิ์นำหน้า:
2) หากคุณเลือกรากของพหุนามของดีกรีแล้ว พหุนามสามารถแสดงได้ในรูปแบบ โดยที่ คือพหุนามของดีกรี
พหุนามสามารถพบได้โดยการหารพหุนามเป็นทวินามใน "คอลัมน์" หรือโดยการจัดกลุ่มเงื่อนไขของพหุนามอย่างเหมาะสมและแยกตัวคูณออกจากพวกมัน หรือโดยวิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน
ตัวอย่าง. แยกตัวประกอบพหุนาม
สารละลาย. เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ของ x4 เท่ากับ 1 ดังนั้นรากตรรกยะของพหุนามนี้จึงมีอยู่และเป็นตัวหารของจำนวน 6 เช่น พวกมันสามารถเป็นจำนวนเต็ม ±1, ±2, ±3, ±6 ให้เราแสดงพหุนามนี้ด้วย P4(x) เนื่องจาก P P4 (1) = 4 และ P4(-4) = 23 ตัวเลข 1 และ -1 จึงไม่ใช่รากของ PA พหุนาม PA(x) เนื่องจาก P4(2) = 0 ดังนั้น x = 2 จึงเป็นรากของพหุนาม P4(x) ดังนั้น พหุนามนี้จึงหารด้วยทวินาม x - 2 ลงตัว ดังนั้น x4 -5x3 +7x2 -5x +6 x- 2x4 -2x3x3 -3x2 +x-3
3x3 +7x2 -5x +6
3x3 +6x2 x2 - 5x + 6 x2- 2x
ดังนั้น P4(x) = (x - 2)(x3 - 3x2 + x - 3) เนื่องจาก xz - 3x2 + x - 3 = x2 (x - 3) + (x - 3) = (x - 3)(x2 + 1) จากนั้น x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 = (x - 2) ( x - 3)(x2 + 1)
วิธีการป้อนพารามิเตอร์
บางครั้งเมื่อแยกตัวประกอบพหุนาม วิธีการแนะนำพารามิเตอร์จะช่วยได้ เราจะอธิบายสาระสำคัญของวิธีนี้โดยใช้ตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง. x3 –(√3 + 1) x2 + 3
สารละลาย. พิจารณาพหุนามที่มีพารามิเตอร์ a: x3 - (a + 1)x2 + a2 ซึ่งที่ a = √3 จะกลายเป็นพหุนามที่กำหนด ลองเขียนพหุนามนี้เป็นตรีโกณมิติกำลังสองสำหรับ a: a - ax2 + (x3 - x2)
เนื่องจากรากของตรีโกณมิติที่กำลังสองนี้เทียบกับ a คือ a1 = x และ a2 = x2 - x ดังนั้นความเท่าเทียมกัน a2 - ax2 + (xs - x2) = (a - x)(a - x2 + x) จึงเป็นจริง ดังนั้น พหุนาม x3 - (√3 + 1)x2 + 3 จะถูกแยกย่อยเป็นตัวประกอบ √3 – x และ √3 - x2 + x เช่น
x3 – (√3+1)x2+3=(x-√3)(x2-x-√3)
วิธีการแนะนำสิ่งใหม่ที่ไม่รู้จัก
ในบางกรณี เมื่อแทนที่นิพจน์ f(x) ที่รวมอยู่ในพหุนาม Pn(x) ผ่าน y เราก็จะได้พหุนามเทียบกับ y ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้อย่างง่ายดาย จากนั้น หลังจากแทนที่ y ด้วย f(x) เราจะได้การแยกตัวประกอบของพหุนาม Pn(x)
ตัวอย่าง. แยกตัวประกอบพหุนาม x(x+1)(x+2)(x+3)-15
สารละลาย. ลองแปลงพหุนามนี้ดังนี้: x(x+1)(x+2)(x+3)-15= [x (x + 3)][(x + 1)(x + 2)] - 15 =( x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) - 15.
ลองแทน x2 + 3x ด้วย y กัน จากนั้น เราก็จะได้ y(y + 2) - 15 = y2 + 2y - 15 = y2 + 2y + 1 - 16 = (y + 1)2 - 16 = (y + 1 + 4)(y + 1 - 4)= ( y+ 5)(y - 3)
ดังนั้น x(x + 1)(x+ 2)(x + 3) - 15 = (x2+ 3x + 5)(x2 + 3x - 3)
ตัวอย่าง. แยกตัวประกอบพหุนาม (x-4)4+(x+2)4
สารละลาย. ลองแสดงว่า x- 4+x+2 = x - 1 ด้วย y
(x - 4)4 + (x + 2)2= (y - 3)4 + (y + 3)4 = y4 - 12y3 +54y3 - 108y + 81 + y4 + 12y3 + 54y2 + 108y + 81 =
2y4 + 108y2 + 162 = 2(y4 + 54y2 + 81) = 2[(yg + 27)2 - 648] = 2 (y2 + 27 - √b48)(y2 + 27+√b48)=
2((x-1)2+27-√b48)((x-1)2+27+√b48)=2(x2-2x + 28- 18√ 2)(x2- 2x + 28 + 18√ 2 ).
ผสมผสานวิธีการต่างๆ
บ่อยครั้ง เมื่อแยกตัวประกอบพหุนาม จำเป็นต้องใช้วิธีการต่างๆ ที่กล่าวไว้ข้างต้นติดต่อกัน
ตัวอย่าง. แยกตัวประกอบพหุนาม x4 - 3x2 + 4x-3
สารละลาย. เมื่อใช้การจัดกลุ่ม เราจะเขียนพหุนามใหม่ในรูปแบบ x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x4 – 2x2) – (x2 -4x + 3)
เมื่อใช้วิธีแยกกำลังสองสมบูรณ์กับวงเล็บแรก เราจะได้ x4 - 3x3 + 4x - 3 = (x4 - 2 · 1 · x2 + 12) - (x2 -4x + 4)
เมื่อใช้สูตรกำลังสองสมบูรณ์ ตอนนี้เราสามารถเขียนได้ว่า x4 – 3x2 + 4x - 3 = (x2 -1)2 - (x - 2)2
สุดท้าย เมื่อใช้ผลต่างของสูตรกำลังสอง เราจะได้ x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x2 - 1 + x - 2)(x2 - 1 - x + 2) = (x2+x-3)(x2 -x + 1 )
§ 2. สมการสมมาตร
1. สมการสมมาตรของระดับที่สาม
สมการในรูปแบบ ax3 + bx2 + bx + a = 0, a ≠ 0 (1) เรียกว่าสมการสมมาตรของระดับที่สาม เนื่องจาก ax3 + bx2 + bx + a = a(x3 + 1) + bx (x + 1) = (x+1)(ax2+(b-a)x+a) ดังนั้น สมการ (1) จึงเทียบเท่ากับเซตของสมการ x + 1 = 0 และ ax2 + (b-a)x + a = 0 ซึ่งแก้ได้ไม่ยาก
ตัวอย่างที่ 1: แก้สมการ
3x3 + 4x2 + 4x + 3 = 0 (2)
สารละลาย. สมการ (2) เป็นสมการสมมาตรของระดับที่สาม
เนื่องจาก 3x3 + 4xr + 4x + 3 = 3(x3 + 1) + 4x(x + 1) = (x+ 1)(3x2 - 3x + 3 + 4x) = (x + 1)(3x2 + x + 3) , ดังนั้นสมการ (2) จะเทียบเท่ากับเซตของสมการ x + 1 = 0 และ 3x3 + x +3=0
คำตอบของสมการแรกคือ x = -1 สมการที่สองไม่มีคำตอบ
คำตอบ: x = -1
2. สมการสมมาตรระดับที่สี่
สมการของแบบฟอร์ม
(3) เรียกว่าสมการสมมาตรระดับที่ 4
เนื่องจาก x = 0 ไม่ใช่รากของสมการ (3) ดังนั้นโดยการหารทั้งสองข้างของสมการ (3) ด้วย x2 เราจะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการดั้งเดิม (3):
ให้เราเขียนสมการ (4) ใหม่เป็น:
ลองทดแทนสมการนี้แล้วเราจะได้สมการกำลังสอง
ถ้าสมการ (5) มี 2 ราก y1 และ y2 สมการดั้งเดิมจะเทียบเท่ากับชุดสมการ
ถ้าสมการ (5) มีหนึ่งราก y0 สมการดั้งเดิมจะเท่ากับสมการนั้น
สุดท้ายนี้ ถ้าสมการ (5) ไม่มีราก สมการเดิมก็ไม่มีรากเช่นกัน
ตัวอย่างที่ 2: แก้สมการ
สารละลาย. สมการนี้เป็นสมการสมมาตรของระดับที่สี่ เนื่องจาก x = 0 ไม่ใช่รากของมัน ดังนั้นโดยการหารสมการ (6) ด้วย x2 เราจะได้สมการที่เทียบเท่า:
เมื่อจัดกลุ่มคำศัพท์แล้ว เราจะเขียนสมการ (7) ใหม่ในรูปแบบหรือในรูปแบบ
เมื่อสรุปแล้ว เราจะได้สมการที่มีสองราก y1 = 2 และ y2 = 3 ดังนั้น สมการดั้งเดิมจึงเทียบเท่ากับชุดสมการ
ผลเฉลยของสมการแรกของเซตนี้คือ x1 = 1 และคำตอบของสมการที่สองคือ u
ดังนั้น สมการดั้งเดิมจึงมีสามราก: x1, x2 และ x3
คำตอบ: x1=1
§3 สมการพีชคณิต
1. การลดระดับของสมการ
สมการพีชคณิตบางสมการสามารถลดลงได้เป็นสมการพีชคณิตที่มีดีกรีน้อยกว่าดีกรีของสมการดั้งเดิมและมีคำตอบที่ง่ายกว่า โดยการแทนที่พหุนามบางตัวด้วยตัวอักษรตัวเดียว
ตัวอย่างที่ 1: แก้สมการ
สารละลาย. ให้เราแสดงด้วย จากนั้นสมการ (1) สามารถเขียนใหม่ได้เป็น สมการสุดท้ายมีราก และ ดังนั้น สมการ (1) จึงเทียบเท่ากับเซตของสมการ และ ผลเฉลยของสมการแรกของเซตนี้คือ และคำตอบของสมการที่สองคือ
การแก้สมการ (1) คือ
ตัวอย่างที่ 2: แก้สมการ
สารละลาย. คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 และแทนด้วย
เราได้สมการ เราเขียนสมการนี้ใหม่ในรูปแบบ
(3) และแสดงโดยเราเขียนสมการ (3) ใหม่ในรูปแบบ สมการสุดท้ายมีรากและดังนั้นเราจึงได้สมการนั้น (3) เทียบเท่ากับชุดของสมการสองชุดและมีคำตอบสำหรับสมการชุดนี้และนั่นคือสมการ (2) เทียบเท่ากับชุดสมการและ ( 4)
ผลเฉลยของเซต (4) คือ และ และเป็นผลเฉลยของสมการ (2)
2. สมการของแบบฟอร์ม
สมการ
(5) โดยที่ตัวเลขที่กำหนดสามารถลดลงเป็นสมการกำลังสองได้โดยการแทนที่ค่าที่ไม่รู้จัก กล่าวคือ การแทนที่
ตัวอย่างที่ 3: แก้สมการ
สารละลาย. ให้เราแสดงโดย,t. e. เราทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรหรือสมการ (6) สามารถเขียนใหม่ในรูปแบบหรือใช้สูตรในรูปแบบ
เนื่องจากรากของสมการกำลังสองคือ และ การแก้สมการ (7) จึงเป็นคำตอบของเซตสมการ และ ชุดสมการนี้มีสองคำตอบ ดังนั้นคำตอบของสมการ (6) คือ และ
3. สมการของแบบฟอร์ม
สมการ
(8) โดยที่ตัวเลข α, β, γ, δ และ Α เป็นเช่นนั้น α
ตัวอย่างที่ 4: แก้สมการ
สารละลาย. เรามาเปลี่ยนสิ่งที่ไม่ทราบกันดีกว่า เช่น y=x+3 หรือ x = y – 3 จากนั้นสมการ (9) สามารถเขียนใหม่ได้เป็น
(y-2)(y-1)(y+1)(y+2)=10 เช่น ในรูปแบบ
(y2- 4)(y2-1)=10(10)
สมการกำลังสอง (10) มีสองราก ดังนั้นสมการ (9) จึงมีรากสองอันด้วย:
4. สมการของแบบฟอร์ม
สมการ (11)
โดยที่ x = 0 ไม่มีราก ดังนั้นเมื่อหารสมการ (11) ด้วย x2 เราจะได้สมการที่เทียบเท่ากัน
ซึ่งหลังจากแทนที่ค่าที่ไม่รู้จักแล้วจะถูกเขียนใหม่ในรูปของสมการกำลังสองซึ่งวิธีแก้ก็ไม่ยาก
ตัวอย่างที่ 5: แก้สมการ
สารละลาย. เนื่องจาก h = 0 ไม่ใช่รากของสมการ (12) เมื่อหารด้วย x2 เราจึงได้สมการที่เทียบเท่ากัน
เมื่อไม่ทราบการแทนที่ เราจะได้สมการ (y+1)(y+2)=2 ซึ่งมีราก 2 ประการ: y1 = 0 และ y1 = -3 ดังนั้นสมการดั้งเดิม (12) จึงเทียบเท่ากับเซตของสมการ
ชุดนี้มีสองราก: x1= -1 และ x2 = -2
คำตอบ: x1= -1, x2 = -2
ความคิดเห็น สมการของแบบฟอร์ม
ซึ่งสามารถลดให้อยู่ในรูปแบบ (11) ได้เสมอ และยิ่งไปกว่านั้นเมื่อพิจารณาจาก α > 0 และ แล > 0 ลงในแบบฟอร์ม
5. สมการของแบบฟอร์ม
สมการ
,(13) โดยที่ตัวเลข α, β, γ, δ และ Α มีค่าเท่ากับ αβ = γδ ≠ 0 สามารถเขียนใหม่ได้โดยการคูณวงเล็บแรกด้วยวงเล็บที่สอง และวงเล็บเหลี่ยมที่สามกับวงเล็บที่สี่ ในรูปแบบ กล่าวคือ ตอนนี้สมการ (13) เขียนอยู่ในรูปแบบ (11) และการแก้โจทย์ของมันสามารถดำเนินการได้ในลักษณะเดียวกับการแก้สมการ (11)
ตัวอย่างที่ 6: แก้สมการ
สารละลาย. สมการ (14) มีรูปแบบ (13) ดังนั้นเราจึงเขียนมันใหม่ในรูปแบบ
เนื่องจาก x = 0 ไม่ใช่คำตอบของสมการนี้ เมื่อหารทั้งสองข้างด้วย x2 เราก็จะได้สมการดั้งเดิมที่เทียบเท่ากัน เมื่อทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร เราจะได้สมการกำลังสองซึ่งมีคำตอบเป็น และ ดังนั้นสมการดั้งเดิม (14) จึงเทียบเท่ากับเซตของสมการ และ
ผลเฉลยของสมการแรกของเซตนี้คือ
สมการที่สองของคำตอบชุดนี้ไม่มีคำตอบ ดังนั้น สมการดั้งเดิมมีราก x1 และ x2
6. สมการของแบบฟอร์ม
สมการ
(15) โดยที่ตัวเลข a, b, c, q, A มีค่าเท่ากับ 0 โดยที่ x = 0 ไม่มีราก ดังนั้น จึงหารสมการ (15) ด้วย x2 เราได้รับสมการที่เทียบเท่าซึ่งหลังจากแทนที่ค่าที่ไม่รู้จักแล้วจะถูกเขียนใหม่ในรูปแบบของสมการกำลังสองซึ่งการแก้ปัญหานั้นไม่ยาก
ตัวอย่างที่ 7 การแก้สมการ
สารละลาย. เนื่องจาก x = 0 ไม่ใช่รากของสมการ (16) ซึ่งหารทั้งสองข้างด้วย x2 เราจึงได้สมการ
, (17) เทียบเท่ากับสมการ (16) เมื่อทำการแทนที่ด้วยค่าที่ไม่รู้จักแล้ว เราก็เขียนสมการ (17) ใหม่ในรูปแบบ
สมการกำลังสอง (18) มี 2 ราก: y1 = 1 และ y2 = -1 ดังนั้นสมการ (17) จึงเท่ากับเซตสมการและ (19)
เซตของสมการ (19) มี 4 ราก: ,.
พวกมันจะเป็นรากของสมการ (16)
§4 สมการตรรกยะ
สมการในรูปแบบ = 0 โดยที่ H(x) และ Q(x) เป็นพหุนาม เรียกว่า ตรรกยะ
เมื่อพบรากของสมการแล้ว H(x) = 0 คุณต้องตรวจสอบว่ารากใดที่ไม่ใช่รากของสมการ Q(x) = 0 รากเหล่านี้และมีเพียงรากเท่านั้นที่จะแก้สมการได้
ลองพิจารณาวิธีการบางอย่างในการแก้สมการในรูปแบบ = 0
1. สมการของแบบฟอร์ม
สมการ
(1) ภายใต้เงื่อนไขบางประการเกี่ยวกับตัวเลขสามารถแก้ไขได้ดังนี้ โดยการจัดกลุ่มเงื่อนไขของสมการ (1) ด้วยสองและรวมแต่ละคู่จำเป็นต้องได้รับพหุนามตัวเศษของระดับแรกหรือศูนย์ซึ่งแตกต่างกันเฉพาะในปัจจัยเชิงตัวเลขและในตัวส่วน - ตรีโกณมิติที่มีสองพจน์เดียวกันที่มี x จากนั้นหลังจากแทนที่ตัวแปรแล้ว สมการผลลัพธ์ก็จะมีรูปแบบ (1) เช่นกัน แต่มีจำนวนเทอมน้อยกว่า หรือจะเทียบเท่ากับชุดของสมการสองชุด โดยหนึ่งในนั้นจะเป็นของดีกรีแรก และ ส่วนที่สองจะเป็นสมการประเภท (1) แต่มีจำนวนพจน์น้อยกว่า
ตัวอย่าง. แก้สมการ
สารละลาย. เมื่อจัดกลุ่มทางด้านซ้ายของสมการ (2) เทอมแรกกับเทอมสุดท้ายและเทอมที่สองกับเทอมสุดท้ายเราจะเขียนสมการ (2) ใหม่ในรูปแบบ
เมื่อรวมคำศัพท์ในแต่ละวงเล็บ เราจะเขียนสมการ (3) ใหม่ในรูปแบบ
เนื่องจากไม่มีคำตอบของสมการ (4) ดังนั้น เมื่อหารสมการนี้ เราก็จะได้สมการ
, (5) เทียบเท่ากับสมการ (4) มาแทนที่สิ่งที่ไม่รู้จักกัน จากนั้นสมการ (5) จะถูกเขียนใหม่ในรูปแบบ
ดังนั้น การแก้สมการ (2) ที่มีห้าเทอมทางด้านซ้ายจะลดลงเหลือการแก้สมการ (6) ในรูปแบบเดียวกัน แต่มีสามเทอมทางด้านซ้าย เมื่อรวมพจน์ทั้งหมดทางด้านซ้ายของสมการ (6) แล้ว เราจะเขียนมันใหม่ในรูปแบบ
มีวิธีแก้สมการ ไม่มีตัวเลขเหล่านี้ที่ทำให้ตัวส่วนของฟังก์ชันตรรกยะทางด้านซ้ายของสมการ (7) หายไป ดังนั้น สมการ (7) จึงมีรากทั้งสองนี้ ดังนั้นสมการดั้งเดิม (2) จึงเทียบเท่ากับเซตของสมการ
ผลเฉลยของสมการแรกของเซตนี้คือ
ผลเฉลยของสมการที่สองจากเซตนี้คือ
ดังนั้นสมการดั้งเดิมจึงมีราก
2. สมการของแบบฟอร์ม
สมการ
(8) ภายใต้เงื่อนไขบางประการของตัวเลขสามารถแก้ไขได้ดังนี้ จำเป็นต้องเลือกจำนวนเต็มในแต่ละเศษส่วนของสมการ กล่าวคือ แทนที่สมการ (8) ด้วยสมการ
ลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบ (1) แล้วแก้ไขในลักษณะที่อธิบายไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า
ตัวอย่าง. แก้สมการ
สารละลาย. ให้เราเขียนสมการ (9) ในรูปแบบหรือในรูปแบบ
เมื่อสรุปคำศัพท์ในวงเล็บ เราจะเขียนสมการ (10) ใหม่ในรูปแบบ
โดยการแทนที่ค่าที่ไม่รู้จัก เราจะเขียนสมการ (11) ใหม่ในรูปแบบ
เมื่อรวมพจน์ทางด้านซ้ายของสมการ (12) แล้ว เราจะเขียนมันใหม่ในรูปแบบ
ง่ายที่จะเห็นว่าสมการ (13) มีสองราก: และ ดังนั้นสมการดั้งเดิม (9) มีสี่ราก:
3) สมการของแบบฟอร์ม
สมการของรูปแบบ (14) ภายใต้เงื่อนไขบางประการของตัวเลขสามารถแก้ไขได้ดังนี้ โดยการขยาย (หากเป็นไปได้) เศษส่วนแต่ละตัวทางด้านซ้ายของสมการ (14) ให้เป็นผลรวมของ เศษส่วนอย่างง่าย
ลดสมการ (14) เป็นรูปแบบ (1) จากนั้นเมื่อทำการจัดเรียงเงื่อนไขของสมการผลลัพธ์ใหม่ที่สะดวก ให้แก้โดยใช้วิธีที่อธิบายไว้ในย่อหน้าที่ 1)
ตัวอย่าง. แก้สมการ
สารละลาย. ตั้งแต่ และ จากนั้น โดยการคูณตัวเศษของเศษส่วนแต่ละส่วนในสมการ (15) ด้วย 2 และสังเกตว่าสมการ (15) สามารถเขียนได้เป็น
สมการ (16) มีรูปแบบ (7) เมื่อจัดเรียงเงื่อนไขในสมการนี้ใหม่แล้ว เราจะเขียนมันใหม่ในรูปแบบหรือในรูปแบบ
สมการ (17) เทียบเท่ากับเซตของสมการและ
ในการแก้สมการที่สองของเซต (18) เราจะแทนที่ค่าที่ไม่รู้จัก จากนั้นจะถูกเขียนใหม่ในรูปแบบหรือในรูปแบบ
เมื่อรวมพจน์ทั้งหมดทางด้านซ้ายของสมการ (19) แล้ว ให้เขียนใหม่ในรูปแบบ
เนื่องจากสมการไม่มีราก สมการ (20) จึงไม่มีรากเช่นกัน
สมการแรกของเซต (18) มีรากเดียว เนื่องจากรากนี้รวมอยู่ใน ODZ ของสมการที่สองของเซต (18) จึงเป็นรากเดียวของเซต (18) ดังนั้นจึงเป็นสมการดั้งเดิม สมการ
4. สมการของแบบฟอร์ม
สมการ
(21) ภายใต้เงื่อนไขบางประการของตัวเลข และ A หลังจากแทนแต่ละเทอมทางด้านซ้ายในแบบฟอร์มแล้ว สามารถลดลงเหลือแบบฟอร์ม (1) ได้
ตัวอย่าง. แก้สมการ
สารละลาย. ให้เราเขียนสมการ (22) ใหม่ในรูปแบบหรือในรูปแบบ
ดังนั้นสมการ (23) จึงลดลงเป็นรูปแบบ (1) ตอนนี้ เมื่อรวมเทอมแรกเข้ากับเทอมสุดท้าย และเทอมที่สองกับเทอมที่สาม เราจะเขียนสมการ (23) ใหม่ในรูปแบบ
สมการนี้เทียบเท่ากับเซตของสมการและ (24)
สมการสุดท้ายของเซต (24) สามารถเขียนใหม่ได้เป็น
สมการนี้มีวิธีแก้ และเนื่องจากสมการนี้รวมอยู่ใน ODZ ของสมการที่สองของเซต (30) เซต (24) จึงมีรากสามค่า: ทั้งหมดนี้เป็นคำตอบของสมการดั้งเดิม
5. สมการของแบบฟอร์ม
สมการของแบบฟอร์ม (25)
ภายใต้เงื่อนไขบางประการของตัวเลข โดยการแทนที่ค่าที่ไม่รู้จัก เราสามารถลดขนาดให้เป็นสมการของแบบฟอร์มได้
ตัวอย่าง. แก้สมการ
สารละลาย. เนื่องจากมันไม่ใช่คำตอบของสมการ (26) แล้วหารทั้งเศษและส่วนของแต่ละเศษส่วนทางด้านซ้ายด้วย เราจึงเขียนมันใหม่ในรูปแบบ
เมื่อทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรแล้ว เราจะเขียนสมการ (27) ใหม่ในรูปแบบ
การแก้สมการ (28) มีและ ดังนั้นสมการ (27) จึงเทียบเท่ากับเซตของสมการและ (29)
หากต้องการใช้ตัวอย่างการนำเสนอ ให้สร้างบัญชี Google และเข้าสู่ระบบ: https://accounts.google.com
คำอธิบายสไลด์:
สมการระดับที่สูงกว่า (รากของพหุนามในตัวแปรเดียว)
แผนการบรรยาย ลำดับที่ 1. สมการระดับสูงกว่าในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน ลำดับที่ 2. รูปแบบมาตรฐานของพหุนาม ลำดับที่ 3. รากทั้งหมดของพหุนาม แผนการของฮอร์เนอร์ ลำดับที่ 4. รากเศษส่วนของพหุนาม ลำดับที่ 5. สมการของรูปแบบ: (x + a)(x + b)(x + c) ... = A ลำดับที่ 6. สมการซึ่งกันและกัน ลำดับที่ 7. สมการเอกพันธ์ ลำดับที่ 8. วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ระบุรายละเอียด ลำดับที่ 9 ฟังก์ชั่น - วิธีกราฟิก ลำดับที่ 10. สูตรเวียตนามสำหรับสมการระดับสูงกว่า ลำดับที่ 11 วิธีการแก้สมการระดับสูงกว่าที่ไม่ได้มาตรฐาน
สมการระดับสูงกว่าในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 รูปแบบมาตรฐานของพหุนาม การกระทำที่มีพหุนาม แยกตัวประกอบพหุนาม ในชั้นเรียนปกติ 42 ชั่วโมง ในชั้นเรียนพิเศษ 56 ชั่วโมง 8 คลาสพิเศษ รากจำนวนเต็มของพหุนาม การหารพหุนาม สมการส่วนกลับ ผลต่างและผลรวมของกำลังที่ n ของทวินาม วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน ยู.เอ็น. Makarychev “บทเพิ่มเติมสำหรับหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8”, M.L. Galitsky การรวบรวมปัญหาในพีชคณิตสำหรับเกรด 8 - 9” 9 คลาสพิเศษ รากตรรกยะของพหุนาม สมการส่วนกลับทั่วไป สูตร Vieta สำหรับสมการระดับที่สูงกว่า N.Ya. Vilenkin “พีชคณิตเกรด 9 พร้อมการศึกษาเชิงลึก 11 คลาสพิเศษ เอกลักษณ์ของพหุนาม พหุนามในหลายตัวแปร ฟังก์ชั่น - วิธีกราฟิกสำหรับการแก้สมการระดับที่สูงกว่า
รูปแบบมาตรฐานของพหุนาม พหุนาม P(x) = a ⁿ x ⁿ + a p-1 x p-1 + … + a₂x ² + a₁x + a₀ เรียกว่าพหุนามรูปแบบมาตรฐาน a p x ⁿ เป็นเทอมนำหน้าของพหุนาม และ p คือสัมประสิทธิ์ของเทอมนำหน้าของพหุนาม เมื่อ n = 1, P(x) จะถูกเรียกว่าพหุนามรีดิวซ์ และ ₀ คือเทอมอิสระของพหุนาม P(x) n คือดีกรีของพหุนาม
รากทั้งหมดของพหุนาม แผนการของฮอร์เนอร์ ทฤษฎีบทที่ 1 ถ้าจำนวนเต็ม a เป็นรากของพหุนาม P(x) แล้ว a จะเป็นตัวหารของพจน์อิสระ P(x) ตัวอย่างหมายเลข 1 แก้สมการ X⁴ + 2x³ = 11x² – 4x – 4 นำสมการมาสู่รูปแบบมาตรฐานกัน X⁴ + 2x³ - 11x² + 4x + 4 = 0 เรามีพหุนาม P(x) = x ⁴ + 2x³ - 11x² + 4x + 4 ตัวหารของเทอมอิสระ: ± 1, ± 2, ±4 x = 1 รากของสมการ เพราะ P(1) = 0, x = 2 คือรากของสมการ เพราะว่า P(2) = 0 ทฤษฎีบทของเบซูต์ เศษที่เหลือเมื่อหารพหุนาม P(x) ด้วยทวินาม (x – a) จะเท่ากับ P(a) ผลที่ตามมา ถ้า a เป็นรากของพหุนาม P(x) แล้ว P(x) จะถูกหารด้วย (x – a) ในสมการของเรา P(x) หารด้วย (x – 1) และ (x – 2) และด้วย (x – 1) (x – 2) เมื่อหาร P(x) ด้วย (x² - 3x + 2) ผลหารจะได้ค่าตรีโกณมิติ x² + 5x + 2 = 0 ซึ่งมีราก x = (-5 ± √17)/2
รากเศษส่วนของพหุนาม ทฤษฎีบทหมายเลข 2 ถ้า p / g เป็นรากของพหุนาม P(x) แล้ว p คือตัวหารของพจน์อิสระ g คือตัวหารของสัมประสิทธิ์ของพจน์นำหน้า P(x) ตัวอย่าง #2: แก้สมการ 6x³ - 11x² - 2x + 8 = 0 ตัวหารของพจน์อิสระ: ±1, ±2, ±4, ±8 ไม่มีตัวเลขใดที่ตรงกับสมการ ไม่มีรากทั้งหมด ตัวหารธรรมชาติของสัมประสิทธิ์ของเทอมนำหน้า P(x): 1, 2, 3, 6 รากเศษส่วนที่เป็นไปได้ของสมการ: ±2/3, ±4/3, ±8/3 เมื่อตรวจสอบแล้ว เราจึงมั่นใจว่า P(4/3) = 0 X = 4/3 คือรากของสมการ เมื่อใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์ เราหาร P(x) ด้วย (x - 4/3)
ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ แก้สมการ: 9x³ - 18x = x – 2, x³ - x² = x – 1, x³ - 3x² -3x + 1 = 0, X ⁴ - 2x³ + 2x – 1 = 0, X⁴ - 3x² + 2 = 0 , x ⁵ + 5x³ - 6x² = 0, x ³ + 4x² + 5x + 2 = 0, X⁴ + 4x³ - x ² - 16x – 12 = 0 4x³ + x ² - x + 5 = 0 3x⁴ + 5x³ - 9x² - 9x + 10 = 0 คำตอบ: 1) ±1/3; 2 2) ±1, 3) -1; 2 ±√3, 4) ±1, 5) ± 1; ±√2, 6) 0; 1 7) -2; -1, 8) -3; -1; ±2, 9) – 5/4 10) -2; - 5/3; 1.
สมการของรูปแบบ (x + a)(x + b)(x + c)(x + d)… = A. ตัวอย่างที่ 3 แก้สมการ (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) =24 ก = 1, ข = 2, ค = 3, ง = 4 ก + ง = ข + ค คูณวงเล็บแรกกับวงเล็บที่สี่ และวงเล็บที่สองกับวงเล็บที่สาม (x + 1)(x + 4)(x + 20(x + 3) = 24. (x² + 5x + 4)(x² + 5x + 6) = 24 ให้ x² + 5x + 4 = y แล้ว y (y + 2) = 24, y² + 2y – 24 = 0 y₁ = - 6, y₂ = 4. x ² + 5x + 4 = -6 หรือ x ² + 5x + 4 = 4. x ² + 5x + 10 = 0, ดี
ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = -15, x (x + 4)(x + 5)(x + 9) + 96 = 0, x (x + 3 )(x + 5)(x + 8) + 56 = 0, (x – 4)(x – 3)(x – 2)(x – 1) = 24, (x – 3)(x -4)( x – 5)(x – 6) = 1680, (x² - 5x)(x + 3)(x – 8) + 108 = 0, (x + 4)² (x + 10)(x – 2) + 243 = 0 (x² + 3x + 2)(x² + 9x + 20) = 4, หมายเหตุ: x + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2), x² + 9x + 20 = (x + 4)( x + 5) คำตอบ: 1) -4 ±√6; - 6; - 2. 6) - 1; 6; (5± √97)/2 7) -7; -1; -4 ±√3.
สมการกลับกัน คำจำกัดความหมายเลข 1 สมการของรูปแบบ: ax⁴ + inx ³ + cx ² + inx + a = 0 เรียกว่าสมการซึ่งกันและกันของระดับที่สี่ คำจำกัดความหมายเลข 2 สมการของรูปแบบ: ax⁴ + inx ³ + cx ² + kinx + k² a = 0 เรียกว่าสมการซึ่งกันและกันทั่วไปของระดับที่สี่ กิโล² ก: ก = k²; kv: v = k. ตัวอย่างหมายเลข 6 แก้สมการ x ⁴ - 7x³ + 14x² - 7x + 1 = 0 หารทั้งสองข้างของสมการด้วย x² x² - 7x + 14 – 7/ x + 1/ x² = 0, (x² + 1/ x²) – 7(x + 1/ x) + 14 = 0 ให้ x + 1/ x = y เรายกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ x² + 2 + 1/ x² = y², x² + 1/ x² = y² - 2 เราได้สมการกำลังสอง y² - 7y + 12 = 0, y₁ = 3, y₂ = 4. x + 1/ x =3 หรือ x + 1/ x = 4 เราได้สมการสองสมการ: x² - 3x + 1 = 0, x² - 4x + 1 = 0 ตัวอย่างที่ 7 3х⁴ - 2х³ - 31х² + 10х + 75 = 0 75:3 = 25, 10:(– 2) = -5, (-5)² = 25 เงื่อนไขของสมการซึ่งกันและกันทั่วไปเป็นไปตาม = -5 วิธีแก้ปัญหาคล้ายกับตัวอย่างที่ 6 หารทั้งสองข้างของสมการด้วย x² 3x⁴ - 2x – 31 + 10/ x + 75/ x² = 0, 3(x⁴ + 25/ x²) – 2(x – 5/ x) – 31 = 0 ให้ x – 5/ x = y เราจะยกกำลังสองทั้งคู่ ด้านของความเท่าเทียมกัน x² - 10 + 25/ x² = y², x² + 25/ x² = y² + 10 เรามีสมการกำลังสอง 3y² - 2y – 1 = 0, y₁ = 1, y₂ = - 1/ 3 x – 5/ x = 1 หรือ x – 5/ x = -1/3 เราได้สองสมการ: x² - x – 5 = 0 และ 3x² + x – 15 = 0
ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ 1. 78x⁴ - 133x³ + 78x² - 133x + 78 = 0. 2. x ⁴ - 5x³ + 10x² - 10x + 4 = 0. 3. x ⁴ - x ³ - 10x² + 2x + 4 = 0. 4. 6x⁴ + 5x³ - 38x² -10x + 24 = 0.5. x ⁴ + 2x³ - 11x² + 4x + 4 = 0. 6. x ⁴ - 5x³ + 10x² -10x + 4 = 0 คำตอบ: 1) 2/3; 3/2, 2) 1;2 3) -1 ±√3; (3±√17)/2, 4) -1±√3; (7±√337)/12 5) 1; 2; (-5± √17)/2, 6) 1; 2.
สมการเอกพันธ์ คำนิยาม. สมการในรูปแบบ a₀ u³ + a₁ u² v + a₂ uv² + a₃ v³ = 0 เรียกว่าสมการเอกพันธ์ของระดับที่สามเทียบกับ u v คำนิยาม. สมการในรูปแบบ a₀ u⁴ + a₁ u³v + a₂ u²v² + a₃ uv³ + a₄ v⁴ = 0 เรียกว่าสมการเอกพันธ์ของระดับที่สี่เทียบกับ u v ตัวอย่างหมายเลข 8 แก้สมการ (x² - x + 1)³ + 2x⁴(x² - x + 1) – 3x⁶ = 0 สมการระดับที่สามที่เป็นเนื้อเดียวกันสำหรับ u = x²- x + 1, v = x² หารทั้งสองข้างของสมการด้วย x ⁶ ก่อนอื่นเราตรวจสอบแล้วว่า x = 0 ไม่ใช่รากของสมการ (x² - x + 1/ x²)³ + 2(x² - x + 1/ x²) – 3 = 0 (x² - x + 1)/ x²) = y, y³ + 2y – 3 = 0, y = 1 รากของสมการ เราหารพหุนาม P(x) = y³ + 2y – 3 ด้วย y – 1 ตามแผนผังของ Horner ในผลหารเราจะได้ตรีโกณมิติที่ไม่มีราก คำตอบ: 1.
ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ 1. 2(x² + 6x + 1)² + 5(X² + 6X + 1)(X² + 1) + 2(X² + 1)² = 0, 2. (X + 5)⁴ - 13X²(X + 5 )² + 36X⁴ = 0. 3. 2(X² + X + 1)² - 7(X – 1)² = 13(X³ - 1), 4. 2(X -1)⁴ - 5(X² - 3X + 2)² + 2(x – 2)⁴ = 0. 5. (x² + x + 4)² + 3x(x² + x + 4) + 2x² = 0, คำตอบ: 1) -1; -2±√3, 2) -5/3; -5/4; 5/2; 5 3) -1; -1/2; 2;4 4) ±√2; 3±√2, 5) ไม่มีราก
วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ระบุรายละเอียด ทฤษฎีบทหมายเลข 3 พหุนามสองตัว P(x) และ G(x) จะเหมือนกันก็ต่อเมื่อทั้งสองมีดีกรีเท่ากันและสัมประสิทธิ์ของดีกรีเท่ากันของตัวแปรในพหุนามทั้งสองเท่ากัน ตัวอย่างหมายเลข 9 แยกตัวประกอบพหุนาม y⁴ - 4y³ + 5y² - 4y + 1. y⁴ - 4y³ + 5y² - 4y + 1 = (y² + уу + с)(y² + в₁у + с₁) =у ⁴ + у³(в₁ + в) + у² ( с₁ + с + в₁в) + у(с₁ + св₁) + сс ₁ ตามทฤษฎีบทที่ 3 เรามีระบบสมการ: в₁ + в = -4, с₁ + с + в₁в = 5, сс₁ + св₁ = -4, сс₁ = 1 จำเป็นต้องแก้ระบบเป็นจำนวนเต็ม สมการสุดท้ายในจำนวนเต็มสามารถมีคำตอบได้: c = 1, c₁ =1; с = -1, с₁ = -1 ให้ с = с ₁ = 1 จากนั้นจากสมการแรกเราจะได้ в₁ = -4 –в เราแทนที่ในสมการที่สองของระบบ в² + 4в + 3 = 0, в = -1, в₁ = -3 หรือ в = -3, в₁ = -1 ค่าเหล่านี้พอดีกับสมการที่สามของระบบ เมื่อ с = с ₁ = -1 D
ตัวอย่างหมายเลข 10 แยกตัวประกอบพหุนาม y³ - 5y + 2 y³ -5y + 2 = (y + a)(y² + vy + c) = y³ + (a + b)y² + (ab + c)y + ac เรามีระบบสมการ: a + b = 0, ab + c = -5, ac = 2 ผลเฉลยจำนวนเต็มที่เป็นไปได้สำหรับสมการที่สาม: (2; 1), (1; 2), (-2; -1 ), (-1 ; -2) ให้ a = -2, c = -1 จากสมการแรกของระบบใน = 2 ซึ่งเป็นไปตามสมการที่สอง เมื่อแทนค่าเหล่านี้ลงในความเท่าเทียมกันที่ต้องการเราจะได้คำตอบ: (y – 2)(y² + 2y – 1) วิธีที่สอง. Y³ - 5y + 2 = y³ -5y + 10 – 8 = (y³ - 8) – 5(y – 2) = (y – 2)(y² + 2y -1)
ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ แยกตัวประกอบพหุนาม: 1. y⁴ + 4y³ + 6y² +4y -8, 2. y⁴ - 4y³ + 7y² - 6y + 2, 3. x ⁴ + 324, 4. y⁴ -8y³ + 24y² -32y + 15, 5. แก้โจทย์ สมการโดยใช้วิธีแยกตัวประกอบ: a) x ⁴ -3x² + 2 = 0, b) x ⁵ +5x³ -6x² = 0 คำตอบ: 1) (y² +2y -2)(y² +2y +4), 2) (y – 1)²(y² -2y + 2), 3) (x² -6x + 18)(x² + 6x + 18), 4) (y – 1)(y – 3)(y² - 4у + 5) , 5a) ± 1; ±√2, 5b) 0; 1.
ฟังก์ชั่น - วิธีกราฟิกสำหรับการแก้สมการระดับที่สูงกว่า ตัวอย่างหมายเลข 11 แก้สมการ x ⁵ + 5x -42 = 0 ฟังก์ชัน y = x ⁵ เพิ่มขึ้น ฟังก์ชัน y = 42 – 5x ลดลง (k
ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ 1. ใช้คุณสมบัติของความน่าเบื่อของฟังก์ชัน พิสูจน์ว่าสมการมีรากเดียวและค้นหารากนี้: a) x ³ = 10 – x, b) x ⁵ + 3x³ - 11√2 – x คำตอบ: ก) 2, ข) √2 2. แก้สมการโดยใช้วิธีเชิงฟังก์ชันเชิงฟังก์ชัน: a) x = ³ √x, b) l x l = ⁵ √x, c) 2 = 6 – x, d) (1/3) = x +4, d ) (x – 1)² = log₂ x, e) log = (x + ½)², g) 1 - √x = ln x, h) √x – 2 = 9/x คำตอบ: ก) 0; ±1,ข) 0; 1, ค) 2, ง) -1, จ) 1; 2, ฉ) ½, ก) 1, ชม.) 9.
สูตร Vieta สำหรับสมการระดับที่สูงกว่า ทฤษฎีบทที่ 5 (ทฤษฎีบทของเวียตตา) หากสมการ a x ⁿ + a x ⁿ + … + a₁x + a₀ มีรากจริงที่แตกต่างกัน n x ₁, x ₂, …, x แล้วสมการเหล่านี้จะเป็นไปตามความเท่าเทียมกัน: สำหรับสมการกำลังสอง ax² + bx + c = o: x ₁ + x ₂ = -в/а, x₁х ₂ = с/а; สำหรับสมการลูกบาศก์ a₃x ³ + a₂x ² + a₁x + a₀ = o: x ₁ + x ₂ + x ₃ = -a₂/a₃; x₁х ₂ + x₁х ₃ + x₂х ₃ = а₁/а₃; x₁х₂х ₃ = -а₀/а₃; ... สำหรับสมการของระดับที่ n: x ₁ + x ₂ + ... x = - a / a, x₁x ₂ + x₁x ₃ + ... + x x = a / a, ... , x₁x ₂ ·… · x = (- 1 ) ⁿ a₀/a ทฤษฎีบทสนทนาก็ถือเช่นกัน
ตัวอย่างหมายเลข 13 เขียนสมการลูกบาศก์ซึ่งมีรากที่ผกผันกับรากของสมการ x ³ - 6x² + 12x – 18 = 0 และค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ x ³ คือ 2 1. ตามทฤษฎีบทของ Vieta สำหรับสมการลูกบาศก์ เรามี: x ₁ + x ₂ + x ₃ = 6, x₁x ₂ + x₁х ₃ + x₂х ₃ = 12, x₁х₂х ₃ = 18 2. เราเขียนส่วนกลับของรากเหล่านี้และใช้ทฤษฎีบทเวียตนามผกผันกับพวกมัน 1/ x ₁ + 1/ x ₂ + 1/ x ₃ = (x₂х ₃ + x₁х ₃ + x₁х ₂)/ x₁х₂х ₃ = 12/18 = 2/3 1/ x₁х ₂ + 1/ x₁х ₃ + 1/ x₂х ₃ = (x ₃ + x ₂ + x ₁)/ x₁х₂х ₃ = 6/18 = 1/3, 1/ x₁х₂х ₃ = 1/18 เราได้สมการ x³ +2/3x² + 1/3x – 1/18 = 0 2 คำตอบ: 2x³ + 4/3x² + 2/3x -1/9 = 0
ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ 1. เขียนสมการลูกบาศก์โดยให้รากเป็นกำลังสองผกผันของรากของสมการ x ³ - 6x² + 11x – 6 = 0 และค่าสัมประสิทธิ์ของ x ³ คือ 8 คำตอบ: 8x³ - 98/9x² + 28/9x - 2/9 = 0 วิธีที่ไม่ได้มาตรฐานในการแก้สมการระดับที่สูงกว่า ตัวอย่างหมายเลข 12 แก้สมการ x ⁴ -8x + 63 = 0 ลองแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการกัน เรามาเลือกสี่เหลี่ยมที่แน่นอนกัน X⁴ - 8x + 63 = (x⁴ + 16x² + 64) – (16x² + 8x + 1) = (x² + 8)² - (4x + 1)² = (x² + 4x + 9)(x² - 4x + 7) = 0 ตัวจำแนกทั้งสองมีค่าเป็นลบ คำตอบ: ไม่มีราก
ตัวอย่างหมายเลข 14 แก้สมการ 21x³ + x² - 5x – 1 = 0 หากเทอมจำลองของสมการคือ ± 1 สมการจะถูกแปลงเป็นสมการที่ลดลงโดยใช้การแทนที่ x = 1/y 21/y³ + 1/y² - 5/y – 1 = 0 · y³, y³ + 5y² -y – 21 = 0 y = -3 รากของสมการ (y + 3)(y² + 2y -7) = 0, y = -1 ± 2√2 x ₁ = -1/3, x ₂ = 1/ -1 + 2√2 = (2√2 + 1)/7, X₃ = 1/-1 -2√2 = (1-2√2)/7 . ตัวอย่างหมายเลข 15 แก้สมการ 4x³-10x² + 14x – 5 = 0. คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2 8x³ -20x² + 28x – 10 = 0, (2x)³ - 5(2x)² + 14 (2x) -10 = 0. ขอแนะนำตัวแปรใหม่ y = 2x เราจะได้สมการที่ลดลง y³ - 5y² + 14y -10 = 0, y = 1 รากของสมการ (y – 1)(y² - 4y + 10) = 0, D
ตัวอย่างหมายเลข 16 พิสูจน์ว่าสมการ x ⁴ + x ³ + x – 2 = 0 มีรากที่เป็นบวกหนึ่งอัน ให้ f (x) = x ⁴ + x ³ + x – 2, f' (x) = 4x³ + 3x² + 1 > o สำหรับ x > o ฟังก์ชัน f (x) เพิ่มขึ้นสำหรับ x > o และค่าของ f (o) = -2 เห็นได้ชัดว่าสมการนี้มีรากที่เป็นบวกหนึ่งอัน ฯลฯ ตัวอย่างหมายเลข 17 แก้สมการ 8x(2x² - 1)(8x⁴ - 8x² + 1) = 1. I.F. Sharygin “หลักสูตรเสริมทางคณิตศาสตร์สำหรับเกรด 11” ตรัสรู้ พ.ศ. 2534 หน้า 90 1. l x l 1 2x² - 1 > 1 และ 8x⁴ -8x² + 1 > 1 2. มาแทนที่ x = สบาย ๆ , y € (0; n) สำหรับค่าอื่นของ y ค่าของ x จะถูกทำซ้ำและสมการจะมีได้ไม่เกิน 7 ราก 2х² - 1 = 2 cos²y – 1 = cos2y, 8х⁴ - 8х² + 1 = 2(2х² - 1)² - 1 = 2 cos²2y – 1 = cos4y 3. สมการอยู่ในรูปแบบ 8 cosycos2ycos4y = 1 คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยไซน์ 8 ไซน์โคซิคอส2ycos4y = ไซน์ ใช้สูตรมุมคู่ 3 ครั้ง เราจะได้สมการ sin8y = siny, sin8y – siny = 0
จุดสิ้นสุดของการแก้ปัญหาตัวอย่างที่ 17 เราใช้สูตรผลต่างของไซน์ 2 sin7y/2 · cos9y/2 = 0 เมื่อพิจารณาว่า y € (0;n), y = 2pk/3, k = 1, 2, 3 หรือ y = n/9 + 2pk/9, k =0, 1, 2, 3 กลับไปสู่ตัวแปร x เราได้คำตอบ: Cos2 p/7, cos4 p/7, cos6 p/7, cos p/9, ½, cos5 p/9, cos7 p/9 ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ ค้นหาค่าทั้งหมดของ a ที่สมการ (x² + x)(x² + 5x + 6) = a มีสามรากพอดี คำตอบ: 9/16 ทิศทาง: เขียนกราฟทางด้านซ้ายของสมการ เอฟสูงสุด = ฉ(0) = 9/16 เส้นตรง y = 9/16 ตัดกับกราฟของฟังก์ชันที่จุดสามจุด แก้สมการ (x² + 2x)² - (x + 1)² = 55 คำตอบ: -4; 2. แก้สมการ (x + 3)⁴ + (x + 5)⁴ = 16 คำตอบ: -5; -3. แก้สมการ 2(x² + x + 1)² -7(x – 1)² = 13(x³ - 1) ตอบ: -1; -1/2, 2;4 จงหาจำนวนรากที่แท้จริงของสมการ x ³ - 12x + 10 = 0 บน [-3; 3/2]. คำแนะนำ: ค้นหาอนุพันธ์และตรวจสอบโมโนต์
ตัวอย่างการแก้ปัญหาอิสระ (ต่อ) 6. จงหาจำนวนรากที่แท้จริงของสมการ x ⁴ - 2x³ + 3/2 = 0 คำตอบ: 2 7. ให้ x ₁, x ₂, x ₃ เป็นรากของพหุนาม P(x) = x ³ - 6x² -15x + 1 หาX₁² + x ₂² + x ₃² คำตอบ: 66. ทิศทาง: ใช้ทฤษฎีบทของเวียตา 8. พิสูจน์ว่าสำหรับ a > o และค่าจริงใดๆ ในสมการ x ³ + ax + b = o มีรากจริงเพียงรากเดียว คำแนะนำ: พิสูจน์โดยความขัดแย้ง ใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม 9. แก้สมการ 2(x² + 2)² = 9(x³ + 1) คำตอบ: ½; 1; (3 ± √13)/2. คำแนะนำ: นำสมการมาสู่สมการเอกพันธ์โดยใช้ค่าเท่ากัน X² + 2 = x + 1 + x² - x + 1, x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1) 10. แก้ระบบสมการ x + y = x², 3y – x = y² คำตอบ: (0;0),(2;2), (√2; 2 - √2), (- √2; 2 + √2) 11. แก้ระบบ: 4y² -3y = 2x –y, 5x² - 3y² = 4x – 2y คำตอบ: (o;o), (1;1),(297/265; - 27/53)
ทดสอบ. ตัวเลือกที่ 1 1. แก้สมการ (x² + x) – 8(x² + x) + 12 = 0 2. แก้สมการ (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = - 15 3. แก้สมการ 12x²(x – 3) + 64(x – 3)² = x ⁴ 4. แก้สมการ x ⁴ - 4x³ + 5x² - 4x + 1 = 0 5. แก้ระบบสมการ: x ² + 2y² - x + 2y = 6, 1.5x² + 3y² - x + 5y = 12
ตัวเลือกที่ 2 1. (x² - 4x)² + 7(x² - 4x) + 12 = 0. 2. x (x + 1)(x + 5)(x + 6) = 24. 3. x ⁴ + 18( x + 4)² = 11x²(x + 4) 4. x ⁴ - 5x³ + 6x² - 5x + 1 = 0 5. x² - 2xy + y² + 2x²y – 9 = 0, x – y – x²y + 3 = 0 1. (x² + 3x)² - 14(x² + 3x) + 40 = 0 2. (x – 5)(x-3)(x + 3)(x + 1) = - 35. 3. x4 + 8x² (x + 2) = 9(x+ 2)² 4. x ⁴ - 7x³ + 14x² - 7x + 1 = 0 5. x + y + x² + y² = 18, xy + x² + y² = 19
ตัวเลือกที่ 4 (x² - 2x)² - 11(x² - 2x) + 24 = o (x -7)(x-4)(x-2)(x + 1) = -36 X⁴ + 3(x -6)² = 4x²(6 – x) X⁴ - 6x³ + 7x² - 6x + 1 = 0 X² + 3xy + y² = - 1, 2x² - 3xy – 3y² = - 4. งานเพิ่มเติม: ส่วนที่เหลือของการหารพหุนาม P(x) ด้วย (x – 1) คือ 4 เศษเมื่อหารด้วย (x + 1) เท่ากับ 2 และเมื่อหารด้วย (x – 2) จะเท่ากับ 8 หาเศษเมื่อหาร P(x) ด้วย (x³ - 2x² - x + 2 ).
คำตอบและคำแนะนำ: ตัวเลือกหมายเลข 1 หมายเลข 2 หมายเลข 3 หมายเลข 4 หมายเลข 5 1. - 3; ±2; 1 1;2;3. -5; -4; 1; 2. สมการที่เป็นเนื้อเดียวกัน: u = x -3, v = x² -2 ; -1; 3; 4. (2;1); (2/3;4/3). คำแนะนำ: 1·(-3) + 2· 2 2. -6; -2; -4±√6. -3±2√3; - 4; - 2.1±√11; 4; - 2. สมการที่เป็นเนื้อเดียวกัน: u = x + 4, v = x² 1; 5;3±√13. (2;1); (0;3); (- 3; 0) คำแนะนำ: 2 2 + 1. 3. -6; 2; 4; 12 -3; -2; 4; 12 -6; -3; -1; 2. เป็นเนื้อเดียวกัน คุณ = x+ 2, v = x² -6; ±3; 2 (2;3), (3;2), (-2 + √7; -2 - √7); (-2 - √7; -2 + √7) คำแนะนำ: 2 -1. 4. (3±√5)/2 2±√3 2±√3; (3±√5)/2 (5 ± √21)/2 (1;-2), (-1;2) คำแนะนำ: 1·4 + 2 .
การแก้ปัญหางานเพิ่มเติม ตามทฤษฎีบทของ Bezout: P(1) = 4, P(-1) = 2, P(2) = 8 P(x) = G(x) (x³ - 2x² - x + 2) + ax² + inx + With . ตัวสำรอง 1; - 1; 2. P(1) = G(1) 0 + a + b + c = 4, a + b+ c = 4 P(-1) = a – b + c = 2, P(2) = 4a² + 2b + c = 8 การแก้ระบบผลลัพธ์ของสมการสามสมการเราได้: a = b = 1, c = 2 คำตอบ: x² + x + 2
เกณฑ์หมายเลข 1 - 2 คะแนน 1 จุด - หนึ่งข้อผิดพลาดในการคำนวณ อันดับ 2,3,4 – อย่างละ 3 แต้ม 1 จุด – ทำให้เกิดสมการกำลังสอง 2 คะแนน - หนึ่งข้อผิดพลาดในการคำนวณ อันดับที่ 5 – 4 คะแนน 1 จุด – แสดงตัวแปรหนึ่งในแง่ของอีกตัวแปรหนึ่ง 2 คะแนน – ได้รับหนึ่งในวิธีแก้ปัญหา 3 คะแนน - หนึ่งข้อผิดพลาดในการคำนวณ ภารกิจเพิ่มเติม: 4 คะแนน 1 คะแนน – ใช้ทฤษฎีบทของเบซูต์กับทั้งสี่กรณี 2 คะแนน – เรียบเรียงระบบสมการ 3 คะแนน - หนึ่งข้อผิดพลาดในการคำนวณ
ทริฟาโนวา มารีน่า อนาโตลีเยฟนา
ครูคณิตศาสตร์ สถาบันการศึกษาเทศบาล "โรงยิมหมายเลข 48 (สหสาขาวิชาชีพ)" ตัลนาค
วัตถุประสงค์สามประการของบทเรียน:
ทางการศึกษา:
การจัดระบบและการวางนัยความรู้เกี่ยวกับการแก้สมการระดับสูงขึ้น
พัฒนาการ:
ส่งเสริมพัฒนาการของการคิดเชิงตรรกะ ความสามารถในการทำงานอย่างอิสระ ทักษะการควบคุมร่วมกันและการควบคุมตนเอง ทักษะการพูดและการฟัง
การให้ความรู้:
พัฒนานิสัยในการจ้างงานอย่างต่อเนื่อง ส่งเสริมการตอบสนอง การทำงานหนัก และความถูกต้อง
ประเภทบทเรียน:
บทเรียนการประยุกต์ใช้ความรู้ ทักษะ และความสามารถแบบบูรณาการ
แบบฟอร์มบทเรียน:
การระบายอากาศ การออกกำลังกาย รูปแบบการทำงานต่างๆ
อุปกรณ์:
บันทึกย่อ, การ์ดงาน, เมทริกซ์การติดตามบทเรียน
ความก้าวหน้าของบทเรียน
I. ช่วงเวลาขององค์กร
- การสื่อสารจุดประสงค์ของบทเรียนกับนักเรียน
- ตรวจการบ้าน (ภาคผนวก 1) การทำงานกับบันทึกประกอบ (ภาคผนวก 2)
สมการและคำตอบของแต่ละสมการเขียนไว้บนกระดาน นักเรียนตรวจสอบคำตอบและให้การวิเคราะห์สั้นๆ ของการแก้สมการแต่ละสมการหรือตอบคำถามของครู (แบบสำรวจด้านหน้า) การควบคุมตนเอง - นักเรียนให้คะแนนตัวเองและมอบสมุดบันทึกให้ครูเพื่อแก้ไขหรืออนุมัติเกรด คะแนนของโรงเรียนเขียนไว้บนกระดาน:
“ 5+” - 6 สมการ;
“ 5” - 5 สมการ;
“ 4” - 4 สมการ;
“ 3” - 3 สมการ
คำถามครูเกี่ยวกับการบ้าน:
1 สมการ
- การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรใดที่เกิดขึ้นในสมการ?
- จะได้สมการอะไรหลังจากเปลี่ยนตัวแปร?
2 สมการ
- พหุนามใดที่ใช้ในการหารทั้งสองข้างของสมการ?
- ได้รับการเปลี่ยนแปลงตัวแปรอะไรบ้าง?
3 สมการ
- ต้องคูณพหุนามอะไรบ้างเพื่อทำให้การแก้สมการนี้ง่ายขึ้น?
4 สมการ
- ตั้งชื่อฟังก์ชัน f(x)
- รากที่เหลือถูกค้นพบได้อย่างไร?
5 สมการ
- แก้สมการได้กี่ช่วง?
6 สมการ
- สมการนี้จะแก้ได้อย่างไร?
- วิธีแก้ปัญหาใดมีเหตุผลมากกว่ากัน?
ครั้งที่สอง งานกลุ่มเป็นส่วนหลักของบทเรียน
ชั้นเรียนแบ่งออกเป็น 4 กลุ่ม แต่ละกลุ่มจะได้รับการ์ดพร้อมคำถามเชิงทฤษฎีและปฏิบัติ (ภาคผนวก 3): “ตรวจสอบวิธีที่เสนอในการแก้สมการและอธิบายโดยใช้ตัวอย่างนี้”
- งานกลุ่ม 15 นาที
- ตัวอย่างเขียนไว้บนกระดาน (กระดานแบ่งออกเป็น 4 ส่วน)
- รายงานกลุ่มใช้เวลา 2-3 นาที
- ครูแก้ไขรายงานของกลุ่มและช่วยแก้ไขปัญหา
งานในกลุ่มดำเนินต่อไปในการ์ดหมายเลข 5 - 8 สำหรับแต่ละสมการจะมีเวลา 5 นาทีสำหรับการอภิปรายในกลุ่ม จากนั้นคณะกรรมการจะรายงานสมการนี้ - การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาโดยย่อ สมการอาจไม่ได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์ - สมการกำลังได้รับการสรุปที่บ้าน แต่มีการอภิปรายลำดับการแก้ปัญหาในชั้นเรียน
ที่สาม ทำงานอิสระ.ภาคผนวก 4
- นักเรียนแต่ละคนได้รับมอบหมายงานเป็นรายบุคคล
- งานใช้เวลา 20 นาที
- 5 นาทีก่อนจบบทเรียน ครูให้คำตอบแบบเปิดสำหรับแต่ละสมการ
- นักเรียนแลกเปลี่ยนสมุดบันทึกเป็นวงกลมและตรวจสอบคำตอบกับเพื่อน พวกเขาให้เกรด
- มอบสมุดบันทึกให้อาจารย์ตรวจสอบและแก้ไขเกรด
IV. สรุปบทเรียน
การบ้าน.
กำหนดคำตอบของสมการที่ยังไม่เสร็จ เตรียมพร้อมสำหรับการควบคุมการตัด
การให้เกรด