วิธีการกำหนดคุณสมบัติของฟังก์ชัน ฟังก์ชั่นและคุณสมบัติของพวกเขา

เพื่อทำความเข้าใจหัวข้อนี้ ลองพิจารณาฟังก์ชันที่แสดงบนกราฟ // มาดูกันว่ากราฟของฟังก์ชันช่วยให้คุณกำหนดคุณสมบัติของมันได้อย่างไร

ลองดูคุณสมบัติของฟังก์ชันโดยใช้ตัวอย่าง

โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือ ช่วง [ 3.5; 5.5].

ช่วงของค่าของฟังก์ชันคือ ช่วง [ 1; 3].

1. ที่ x = -3, x = - 1, x = 1.5, x = 4.5 ค่าของฟังก์ชันจะเป็นศูนย์

ค่าอาร์กิวเมนต์ที่ค่าฟังก์ชันเป็นศูนย์เรียกว่าฟังก์ชันศูนย์

//เหล่านั้น. สำหรับฟังก์ชันนี้ ตัวเลขคือ -3;-1;1.5; 4.5 เป็นศูนย์

2. ตามช่วงเวลา [ 4.5; 3) และ (1; 1.5) และ (4.5; 5.5] กราฟของฟังก์ชัน f ตั้งอยู่เหนือแกน abscissa และในช่วงเวลา (-3; -1) และ (1.5; 4.5) ใต้แกน abscissa สิ่งนี้ อธิบายได้ดังต่อไปนี้: ในช่วงเวลา [ 4.5; 3) และ (1; 1.5) และ (4.5; 5.5] ฟังก์ชันรับค่าบวก และในช่วงเวลา (-3; -1) และ ( 1.5; 4.5) เป็นลบ

แต่ละช่วงเวลาที่ระบุ (โดยที่ฟังก์ชันรับค่าของเครื่องหมายเดียวกัน) เรียกว่าช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชัน f.//เช่น ตัวอย่างเช่น หากเราใช้ช่วงเวลา (0; 3) ก็จะไม่ใช่ช่วงของเครื่องหมายคงที่สำหรับฟังก์ชันนี้

ในทางคณิตศาสตร์ เมื่อค้นหาช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชัน เป็นเรื่องปกติที่จะระบุช่วงความยาวสูงสุด //เหล่านั้น. ช่วงเวลา (2; 3) คือ ช่วงเวลาความสม่ำเสมอของสัญญาณฟังก์ชัน f แต่คำตอบควรรวมช่วงเวลา [ 4.5; 3) มีช่วงเวลา (2; 3)

3. หากคุณเคลื่อนที่ไปตามแกน x จาก 4.5 เป็น 2 คุณจะสังเกตเห็นว่ากราฟฟังก์ชันลดลง กล่าวคือ ค่าฟังก์ชันลดลง //ในทางคณิตศาสตร์ เป็นเรื่องปกติที่จะบอกว่าในช่วงเวลา [ 4.5; 2] ฟังก์ชั่นลดลง

เมื่อ x เพิ่มขึ้นจาก 2 เป็น 0 กราฟของฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น เช่น ค่าฟังก์ชันเพิ่มขึ้น //ในทางคณิตศาสตร์ เป็นเรื่องปกติที่จะบอกว่าในช่วงเวลา [ 2; 0] ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น

ฟังก์ชัน f ถูกเรียกถ้าสำหรับสองค่าใดๆ ของอาร์กิวเมนต์ x1 และ x2 จากช่วงเวลานี้ เช่น x2 > x1 ความไม่เท่าเทียมกัน f (x2) > f (x1) ยังคงอยู่ // หรือเรียกใช้ฟังก์ชัน เพิ่มขึ้นเป็นระยะๆถ้าสำหรับค่าใด ๆ ของอาร์กิวเมนต์จากช่วงเวลานี้ ค่าที่มากกว่าของอาร์กิวเมนต์จะสอดคล้องกับค่าที่ใหญ่กว่าของฟังก์ชัน//เช่น ยิ่ง x ยิ่งมี y มากขึ้น

ฟังก์ชัน f เรียกว่า ลดลงเป็นระยะๆถ้าสำหรับสองค่าใด ๆ ของอาร์กิวเมนต์ x1 และ x2 จากช่วงเวลานี้ เช่น x2 > x1 ความไม่เท่าเทียมกัน f(x2) จะลดลงในช่วงเวลาหนึ่ง หากค่าใด ๆ ของอาร์กิวเมนต์จากช่วงเวลานี้ ค่าที่มากขึ้น ของอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน //เหล่านั้น. ยิ่ง x มาก y ก็จะยิ่งน้อยลง

ถ้าฟังก์ชันเพิ่มขึ้นทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ ฟังก์ชันนั้นจะถูกเรียก เพิ่มขึ้น.

ถ้าฟังก์ชันลดลงทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ ฟังก์ชันนั้นจะถูกเรียก ลดลง.

ตัวอย่างที่ 1กราฟฟังก์ชันเพิ่มและลดตามลำดับ

ตัวอย่างที่ 2

กำหนดปรากฏการณ์ ฟังก์ชันเชิงเส้น f(x) = 3x + 5 เพิ่มขึ้นหรือลดลงหรือไม่

การพิสูจน์. ลองใช้คำจำกัดความกัน ให้ x1 และ x2 เป็นค่าที่กำหนดเองของอาร์กิวเมนต์และ x1< x2., например х1=1, х2=7

ส่วนนี้ประกอบด้วยเอกสารอ้างอิงเกี่ยวกับฟังก์ชันพื้นฐานหลักและคุณสมบัติต่างๆ มีการจำแนกประเภทของฟังก์ชันเบื้องต้น ด้านล่างนี้คือลิงก์ไปยังส่วนย่อยที่กล่าวถึงคุณสมบัติของฟังก์ชันเฉพาะ เช่น กราฟ สูตร อนุพันธ์ แอนติเดริเวทีฟ (ปริพันธ์) การขยายอนุกรม นิพจน์ผ่านตัวแปรที่ซับซ้อน

หน้าอ้างอิงสำหรับฟังก์ชันพื้นฐาน

การจำแนกฟังก์ชันเบื้องต้น

ฟังก์ชันพีชคณิตเป็นฟังก์ชันที่เป็นไปตามสมการ:
,
โดยที่พหุนามอยู่ในตัวแปรตาม y และตัวแปรอิสระ x สามารถเขียนได้เป็น:
,
พหุนามอยู่ที่ไหน

ฟังก์ชันพีชคณิตแบ่งออกเป็นพหุนาม (ฟังก์ชันตรรกยะทั้งหมด) ฟังก์ชันตรรกยะ และฟังก์ชันอตรรกยะ

ฟังก์ชันตรรกยะทั้งหมดซึ่งเรียกอีกอย่างว่า พหุนามหรือ พหุนาม, ได้มาจากตัวแปร x และจำนวนจำกัดของตัวเลขโดยใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของการบวก (การลบ) และการคูณ หลังจากเปิดวงเล็บแล้ว พหุนามจะลดลงเป็นรูปแบบมาตรฐาน:
.

ฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนหรือเพียงแค่ ฟังก์ชันตรรกยะ, ได้มาจากตัวแปร x และจำนวนจำกัดของตัวเลขโดยใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของการบวก (การลบ) การคูณ และการหาร ฟังก์ชันตรรกยะสามารถลดลงเป็นรูปแบบได้
,
ที่ไหน และ เป็นพหุนาม

ฟังก์ชั่นที่ไม่ลงตัวเป็นฟังก์ชันพีชคณิตที่ไม่เป็นตรรกยะ ตามกฎแล้วฟังก์ชันอตรรกยะจะเข้าใจว่าเป็นรากและองค์ประกอบด้วยฟังก์ชันตรรกยะ รากของดีกรี n ถูกกำหนดให้เป็นคำตอบของสมการ
.
มันถูกกำหนดไว้ดังนี้:
.

ฟังก์ชั่นเหนือธรรมชาติเรียกว่าฟังก์ชันที่ไม่ใช่พีชคณิต สิ่งเหล่านี้คือฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล ตรีโกณมิติ ไฮเปอร์โบลิก และฟังก์ชันผกผัน

ภาพรวมของฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น

ฟังก์ชันพื้นฐานทั้งหมดสามารถแสดงเป็นจำนวนจำกัดของการบวก ลบ การคูณและการหารที่ดำเนินการกับนิพจน์ของแบบฟอร์ม:
zt
ฟังก์ชันผกผันสามารถแสดงในรูปของลอการิทึมได้เช่นกัน ฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้นมีดังต่อไปนี้

ฟังก์ชั่นพลังงาน:
y(x) = xp,
โดยที่ p คือเลขชี้กำลัง ขึ้นอยู่กับฐานของดีกรี x
ค่าผกผันของฟังก์ชันกำลังก็เป็นฟังก์ชันกำลังเช่นกัน:
.
สำหรับค่าจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ค่าลบของเลขชี้กำลัง p มันจะเป็นพหุนาม สำหรับค่าจำนวนเต็ม p - ฟังก์ชันตรรกยะ ด้วยความหมายที่มีเหตุผล - ฟังก์ชั่นที่ไม่ลงตัว

ฟังก์ชั่นเหนือธรรมชาติ

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง :
y(x) = ก x ,
โดยที่ a คือฐานของปริญญา มันขึ้นอยู่กับเลขชี้กำลัง x
ฟังก์ชันผกผันคือลอการิทึมที่ใช้เป็นฐาน a:
x= เข้าสู่ระบบ y.

เลขยกกำลัง e กำลัง x:
y(x) = อี x ,
นี่คือฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งมีอนุพันธ์เท่ากับฟังก์ชันนั้นเอง:
.
ฐานของเลขชี้กำลังคือตัวเลข e:
≈ 2,718281828459045... .
ฟังก์ชันผกผันคือลอการิทึมธรรมชาติ - ลอการิทึมของฐานของตัวเลข e:
x= ln y ≡ บันทึก e y.

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ:
ไซน์: ;
โคไซน์: ;
แทนเจนต์: ;
โคแทนเจนต์: ;
โดยที่ i คือหน่วยจินตภาพ i 2 = -1

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน:
อาร์คไซน์: x = อาร์คซิน วาย, ;
โคไซน์ส่วนโค้ง: x = อาร์คคอส วาย, ;
อาร์กแทนเจนต์: x = อาร์คแทน วาย, ;
ส่วนโค้งแทนเจนต์: x = arcctg ย, .

ข้อจำกัดและความต่อเนื่อง

ชุด

ภายใต้ มากมายเข้าใจว่าเป็นกลุ่มของวัตถุที่เป็นเนื้อเดียวกัน วัตถุที่ประกอบเป็นเซตเรียกว่า องค์ประกอบหรือ จุดของฝูงชนจำนวนนี้ ชุดต่างๆ จะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่และส่วนประกอบต่างๆ จะแสดงด้วยอักษรตัวพิมพ์เล็ก ถ้า กเป็นองค์ประกอบของชุด กจากนั้นรายการจะถูกใช้ กÎ ก- ถ้า ขไม่ใช่องค์ประกอบของเซต กแล้วมันก็เขียนแบบนี้: ข Ï ก- ชุดที่ไม่มีองค์ประกอบเดียวเรียกว่าชุดว่างและแสดงดังนี้: Ø

ถ้าเป็นชุด บีประกอบด้วยส่วนหนึ่งขององค์ประกอบของชุด กหรือเกิดขึ้นพร้อมๆ กัน จากนั้นจึงกำหนด บีเรียกว่า เซตย่อยกำหนดและแสดงถึง บีÌ ก.

ทั้งสองชุดเรียกว่า เท่ากันหากประกอบด้วยองค์ประกอบเดียวกัน

สมาคมสองชุด กและ บีเรียกว่าชุด คประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ในชุดอย่างน้อยหนึ่งชุด: ค=กÈ บี.

โดยการข้ามสองชุด กและ บีเรียกว่าชุด คประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดที่เป็นของแต่ละชุดเหล่านี้: ค=กÇ บี.

โดยความแตกต่างชุด กและ บีเรียกว่าชุด อี กซึ่งไม่อยู่ในชุด บี: .

เสริมชุด กÌ บีเรียกว่าชุด คประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดของชุด บีไม่ใช่ของ ก.

เซตที่มีองค์ประกอบเป็นจำนวนจริงเรียกว่า ตัวเลข:

โดยที่ เอ็นÌ ซีÌ ถามÌ ร, ฉันÌ รและ ร=ฉันÈ ถาม.

พวงของ เอ็กซ์ซึ่งมีองค์ประกอบที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันเรียกว่า ส่วน(เซ็กเมนต์) และแสดงแทน [ ก; ข- ความไม่เท่าเทียมกัน ก<x<ข – ช่วงเวลาและเขียนแทนด้วย () ; ความไม่เท่าเทียมกันและ - ครึ่งช่วงและเขียนแทนด้วย และ ตามลำดับ คุณมักจะต้องจัดการกับช่วงเวลาที่ไม่สิ้นสุดและช่วงครึ่งเวลา: , , และ สะดวกในการโทรหาทั้งหมด เป็นระยะ .

ช่วงเวลาเช่น ชุดจุดที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน (โดยที่ ) เรียกว่า -ย่านใกล้เคียงของจุด ก.

แนวคิดเรื่องฟังก์ชัน คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชัน

หากแต่ละองค์ประกอบ xชุด เอ็กซ์มีการจับคู่องค์ประกอบเดียว ยชุด ยแล้วพวกเขาก็พูดอย่างนั้นในกองถ่าย เอ็กซ์ที่ให้ไว้ การทำงาน ย=ฉ(x- โดยที่ xเรียกว่า ตัวแปรอิสระหรือ การโต้แย้ง, ก ย – ตัวแปรตามหรือ การทำงาน, ก ฉหมายถึงกฎแห่งการติดต่อสื่อสาร พวงของ เอ็กซ์เรียกว่า ขอบเขตของคำจำกัดความฟังก์ชั่น และชุด ย – ช่วงของค่าฟังก์ชั่น.

มีหลายวิธีในการระบุฟังก์ชัน

1) วิธีการวิเคราะห์ - ฟังก์ชันกำหนดโดยสูตรของแบบฟอร์ม ย=ฉ(x).

2) วิธีการแบบตาราง - ฟังก์ชันถูกระบุโดยตารางที่มีค่าอาร์กิวเมนต์และค่าฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง ย=ฉ(x).

3) วิธีกราฟิก - แสดงกราฟของฟังก์ชันเช่น ชุดของจุด ( x; ย) ระนาบพิกัดซึ่ง Abscissas แสดงถึงค่าของอาร์กิวเมนต์และพิกัดแสดงถึงค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน ย=ฉ(x).

4) วิธีทางวาจา - ฟังก์ชั่นอธิบายตามกฎขององค์ประกอบ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน Dirichlet จะใช้ค่า 1 ถ้า xเป็นจำนวนตรรกยะและ 0 ถ้า x– จำนวนอตรรกยะ

คุณสมบัติหลักของฟังก์ชันดังต่อไปนี้มีความโดดเด่น

1 คู่และคี่การทำงาน ย=ฉ(x) ถูกเรียก สม่ำเสมอหากเป็นค่าใดๆ xจากขอบเขตของคำจำกัดความเป็นที่พอใจ ฉ(–x)=ฉ(x), และ แปลก, ถ้า ฉ(–x)=–ฉ(x- หากไม่มีความเท่าเทียมกันข้างต้นเป็นที่พอใจแล้ว ย=ฉ(x) ถูกเรียก ฟังก์ชั่นทั่วไป- กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรรอบแกน เฮ้ยและกราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด

2 ความน่าเบื่อการทำงาน ย=ฉ(x) ถูกเรียก เพิ่มขึ้น (ลดลง) ในช่วงเวลา เอ็กซ์ถ้าค่าอาร์กิวเมนต์ที่ใหญ่กว่าจากช่วงเวลานี้สอดคล้องกับค่าฟังก์ชันที่ใหญ่กว่า (น้อยกว่า) อนุญาต x 1 ,x 2 Î เอ็กซ์, x 2 >x 1. จากนั้นฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา เอ็กซ์, ถ้า ฉ(x 2)>ฉ(x 1) และลดลงหาก ฉ(x 2)<ฉ(x 1).

นอกจากฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นและลดลงแล้ว ยังมีการพิจารณาฟังก์ชันที่ไม่ลดลงและไม่เพิ่มขึ้นอีกด้วย ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ไม่ลดลง (ไม่เพิ่มขึ้น) ถ้าอยู่ที่ x 1 ,x 2 Î เอ็กซ์, x 2 >x 1 ความไม่เท่าเทียมกันถือ ฉ(x 2)≥ฉ(x 1) (ฉ(x 2)≤ฉ(x 1)).

ฟังก์ชันการเพิ่มและลดฟังก์ชัน รวมถึงฟังก์ชันที่ไม่เพิ่มขึ้นและไม่ลดลงเรียกว่าโมโนโทนิก

3 จำกัดการทำงาน ย=ฉ(x) เรียกว่ามีขอบเขตตามช่วงเวลา เอ็กซ์ถ้ามีเลขบวกขนาดนั้น ม>0 อะไร | ฉ(x)|≤มสำหรับใครก็ตาม xÎ เอ็กซ์- มิฉะนั้นฟังก์ชันจะกล่าวว่าไม่มีขอบเขต เอ็กซ์.

4 ความถี่การทำงาน ย=ฉ(x) เรียกว่า คาบ ด้วยระยะเวลา ต≠0 หากมี xจากโดเมนของฟังก์ชัน ฉ(x+ต)=ฉ(x- ต่อไปนี้ ตามคาบ เราหมายถึงคาบบวกที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ชัดเจนหากได้รับจากสูตรของแบบฟอร์ม ย=ฉ(x- ถ้าฟังก์ชันถูกกำหนดโดยสมการ เอฟ(x, ย)=0 ไม่อนุญาตให้สัมพันธ์กับตัวแปรตาม ยแล้วมันถูกเรียกว่า โดยปริยาย.

อนุญาต ย=ฉ(x) เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระที่กำหนดบนเซต เอ็กซ์มีช่วง ย- มาจับคู่กันทีละอัน ยÎ ยความหมายเดียว xÎ เอ็กซ์ซึ่ง ฉ(x)=ย. จากนั้นฟังก์ชันผลลัพธ์ x=φ (ย) ที่กำหนดไว้ในชุด ยมีช่วง เอ็กซ์, เรียกว่า ย้อนกลับและถูกกำหนดไว้ ย=ฉ –1 (x- กราฟของฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกันมีความสมมาตรโดยเทียบกับเส้นแบ่งครึ่งของควอเตอร์พิกัดที่หนึ่งและสาม

ให้ฟังก์ชัน ย=ฉ(ยู) เป็นฟังก์ชันของตัวแปร ยูกำหนดไว้บนชุด ยูมีช่วง ยและตัวแปร ยูในทางกลับกันก็คือฟังก์ชัน ยู=φ (x) ที่กำหนดไว้ในชุด เอ็กซ์มีช่วง ยู- แล้วมอบให้บนกองถ่าย เอ็กซ์การทำงาน ย=ฉ(φ (x)) ถูกเรียก ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน(องค์ประกอบของฟังก์ชัน, การซ้อนของฟังก์ชัน, ฟังก์ชันของฟังก์ชัน)

ฟังก์ชันเบื้องต้น

หน้าที่หลักเบื้องต้น ได้แก่ :

• ฟังก์ชั่นพลังงาน ย=เอ็กซ์เอ็น; ย=x-nและ ย=x 1/ n;
• ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ย=เอ็กซ์;
• ฟังก์ชันลอการิทึม ย=บันทึก เอ็กซ์;
• ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ย=บาป x, ย=คอส x, ย=tg xและ ย=กะทิ x;
• ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน ย= อาร์คซิน x, ย=อาร์คคอส x, ย=arctg xและ ย=arcctg x.

จากฟังก์ชันพื้นฐานขั้นพื้นฐาน สามารถรับฟังก์ชันใหม่ได้โดยใช้การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตและการซ้อนฟังก์ชัน

ฟังก์ชันที่สร้างจากฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐานโดยใช้การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตจำนวนจำกัดและการดำเนินการซ้อนทับจำนวนจำกัดเรียกว่า ระดับประถมศึกษา.

พีชคณิตเป็นฟังก์ชันซึ่งมีการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตจำนวนจำกัดกับอาร์กิวเมนต์ ฟังก์ชันพีชคณิตประกอบด้วย:

· ฟังก์ชันตรรกยะทั้งหมด (พหุนามหรือพหุนาม)

· ฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกศาสตร์ (อัตราส่วนของพหุนามสองตัว)

· ฟังก์ชันที่ไม่ลงตัว (หากการดำเนินการกับอาร์กิวเมนต์รวมถึงการแตกราก)

ฟังก์ชันใดๆ ที่ไม่ใช่พีชคณิตจะถูกเรียก เหนือธรรมชาติ- ฟังก์ชันอดิศัยประกอบด้วยฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล ลอการิทึม ตรีโกณมิติ และฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

โรงยิมรัสเซีย

เชิงนามธรรม

สมบูรณ์

นักเรียนคลาส 10 “F” Burmistrov Sergey

หัวหน้างาน

ครูคณิตศาสตร์

ยูลิน่า โอ.เอ.

นิจนี นอฟโกรอด

ฟังก์ชั่นและคุณสมบัติของมัน

การทำงาน-การพึ่งพาตัวแปร ที่จากตัวแปร x , ถ้าแต่ละค่า เอ็กซ์ตรงกับค่าเดียว ที่ .

ตัวแปร x-ตัวแปรอิสระหรืออาร์กิวเมนต์

ตัวแปร y-ตัวแปรตาม

ค่าฟังก์ชัน-ความหมาย ที่ซึ่งสอดคล้องกับค่าที่ระบุ เอ็กซ์ .

ขอบเขตฟังก์ชัน -ค่าทั้งหมดที่ตัวแปรอิสระใช้

ช่วงฟังก์ชัน (ชุดค่า) -ค่าทั้งหมดที่ฟังก์ชันยอมรับ

ฟังก์ชั่นเป็นคู่-ถ้าเพื่อใครก็ตาม เอ็กซ์ ฉ(x)=ฉ(-x)

ฟังก์ชั่นเป็นคี่ -ถ้าเพื่อใครก็ตาม เอ็กซ์จากขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือความเท่าเทียมกัน ฉ(-x)=-ฉ(x)

ฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้น-ถ้าเพื่ออะไรก็ตาม x1และ x2,ดังนั้น x1 < x2ความไม่เท่าเทียมกันยังคงอยู่ ฉ( x1 ) x2 )

ฟังก์ชั่นลดลง-ถ้าเพื่ออะไรก็ตาม x1และ x2,ดังนั้น x1 < x2ความไม่เท่าเทียมกันยังคงอยู่ ฉ( x1 )>ฉ( x2 )

วิธีการระบุฟังก์ชัน

¨ ในการกำหนดฟังก์ชัน คุณต้องระบุวิธีที่จะหาค่าฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องสำหรับแต่ละค่าอาร์กิวเมนต์ได้ วิธีทั่วไปในการระบุฟังก์ชันคือการใช้สูตร ที่ =ฉ(x), ที่ไหน ฉ(x)-การแสดงออกด้วยตัวแปร เอ็กซ์- ในกรณีนี้ พวกเขาบอกว่าฟังก์ชันถูกกำหนดโดยสูตรหรือฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ ในเชิงวิเคราะห์

¨ ในทางปฏิบัติมักใช้ แบบตารางวิธีการระบุฟังก์ชัน ด้วยวิธีนี้ ตารางจะถูกจัดเตรียมไว้เพื่อระบุค่าฟังก์ชันสำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ที่มีอยู่ในตาราง ตัวอย่างของฟังก์ชันตาราง ได้แก่ ตารางสี่เหลี่ยมและตารางลูกบาศก์

ประเภทของฟังก์ชันและคุณสมบัติ

1) ฟังก์ชั่นคงที่-ฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร ย= ข , ที่ไหน ข-หมายเลขบางอย่าง กราฟของฟังก์ชันคงที่ y=b เป็นเส้นตรงขนานกับแกนแอบซิสซาและผ่านจุด (0;b) บนแกนพิกัด

2) สัดส่วนโดยตรง -ฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร ย= เคเอ็กซ์ , โดยที่k¹0 ตัวเลข เคเรียกว่า ปัจจัยสัดส่วน .

คุณสมบัติของฟังก์ชัน y=kx :

1. โดเมนของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด

2. y=kx- ฟังก์ชั่นคี่

3. เมื่อ k>0 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น และเมื่อ k<0 убывает на всей числовой прямой

3)ฟังก์ชันเชิงเส้น-ฟังก์ชันซึ่งกำหนดโดยสูตร y=kx+ข, ที่ไหน เคและ ข - ตัวเลขจริง ถ้าโดยเฉพาะ เค=0แล้วเราจะได้ฟังก์ชันคงที่ ย=ข- ถ้า ข=0แล้วเราจะได้สัดส่วนโดยตรง y=kx .

คุณสมบัติของฟังก์ชัน y=kx+ข :

1. โดเมน - เซตของจำนวนจริงทั้งหมด

2. ฟังก์ชั่น y=kx+ขรูปแบบทั่วไปเช่น แม้แต่หรือคี่

3. เมื่อ k>0 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น และเมื่อ k<0 убывает на всей числовой прямой

กราฟของฟังก์ชันคือ ตรง .

4)สัดส่วนผกผัน-ฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร ย=เค /เอ็กซ์,โดยที่k¹0หมายเลข เคเรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนผกผัน

คุณสมบัติของฟังก์ชัน ย=เค / เอ็กซ์:

1. โดเมน - เซตของจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้นศูนย์

2. ย=เค / x - ฟังก์ชั่นคี่

3. ถ้า k>0 ฟังก์ชันจะลดลงในช่วงเวลา (0;+¥) และในช่วงเวลา (-¥;0) ถ้าเค<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).

กราฟของฟังก์ชันคือ ไฮเปอร์โบลา .

5)การทำงาน ย=x2

คุณสมบัติของฟังก์ชัน ย=x2:

2. ย=x2 - แม้กระทั่งฟังก์ชั่น

3. ในช่วงเวลาหนึ่ง ฟังก์ชันจะลดลง

กราฟของฟังก์ชันคือ พาราโบลา .

6)การทำงาน ย=x 3

คุณสมบัติของฟังก์ชัน ย=x 3:

1. โดเมนคำจำกัดความ - เส้นจำนวนทั้งหมด

2. ย=x 3 - ฟังก์ชั่นคี่

3. ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตามเส้นจำนวนทั้งหมด

กราฟของฟังก์ชันคือ ลูกบาศก์พาราโบลา

7)ฟังก์ชันยกกำลังพร้อมเลขชี้กำลังธรรมชาติ -ฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร y=xn, ที่ไหน n- จำนวนธรรมชาติ เมื่อ n=1 เราได้รับฟังก์ชัน y=x คุณสมบัติของฟังก์ชันจะถูกกล่าวถึงในย่อหน้าที่ 2 สำหรับ n=2;3 เราได้รับฟังก์ชัน y=x 2 ; ย=x 3 . คุณสมบัติของพวกเขาถูกกล่าวถึงข้างต้น

ให้ n เป็นจำนวนคู่ใดๆ ที่มากกว่าสอง: 4,6,8... ในกรณีนี้คือฟังก์ชัน y=xnมีคุณสมบัติเหมือนกับฟังก์ชัน y=x 2 กราฟของฟังก์ชันมีลักษณะคล้ายพาราโบลา y=x 2 มีเพียงกิ่งก้านของกราฟสำหรับ |x|>1 ที่มีความชันมากขึ้นตาม n ที่ใหญ่กว่า และสำหรับ |x|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

ให้ n เป็นเลขคี่ใดๆ ที่มากกว่า 3: 5,7,9... ในกรณีนี้คือฟังก์ชัน y=xnมีคุณสมบัติเหมือนกับฟังก์ชัน y=x 3 กราฟของฟังก์ชันมีลักษณะคล้ายลูกบาศก์พาราโบลา

8)ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบ -ฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร y=x -n , ที่ไหน n- จำนวนธรรมชาติ สำหรับ n=1 เราได้รับ y=1/x คุณสมบัติของฟังก์ชันนี้จะกล่าวถึงในย่อหน้าที่ 4

ให้ n เป็นเลขคี่ที่มากกว่า 1: 3,5,7... ในกรณีนี้คือฟังก์ชัน y=x -nโดยพื้นฐานแล้วมีคุณสมบัติเหมือนกับฟังก์ชัน y=1/x

ให้ n เป็นจำนวนคู่ เช่น n=2

คุณสมบัติของฟังก์ชัน y=x -2 :

1. ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้สำหรับ x¹0 ทั้งหมด

2. y=x -2 -แม้กระทั่งฟังก์ชั่น

3. ฟังก์ชันลดลง (0;+¥) และเพิ่มขึ้น (-¥;0)

ฟังก์ชันใด ๆ ที่มี n มากกว่าสองก็มีคุณสมบัติเหมือนกัน

9)การทำงาน ย= Ö เอ็กซ์

คุณสมบัติของฟังก์ชัน ย= Ö เอ็กซ์ :

1. โดเมนคำจำกัดความ - เรย์)