วิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส คำไม่กี่คำเกี่ยวกับแฝดพีทาโกรัส

การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสแบบเคลื่อนไหว - หนึ่งในนั้น พื้นฐานทฤษฎีบทของเรขาคณิตยุคลิดที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก เชื่อกันว่าได้รับการพิสูจน์โดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกชื่อพีทาโกรัส ซึ่งตามชื่อของมัน (มีเวอร์ชันอื่น ๆ โดยเฉพาะความคิดเห็นทางเลือกที่ว่าทฤษฎีบทนี้ในรูปแบบทั่วไปกำหนดโดยนักคณิตศาสตร์ชาวพีทาโกรัส ฮิปปาซุส)
ทฤษฎีบทกล่าวว่า:

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขา

การหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยม ค,และความยาวของขาก็ประมาณนั้น กและ ขเราได้รับสูตรต่อไปนี้:

ดังนั้น ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจึงสร้างความสัมพันธ์ที่ช่วยให้คุณสามารถกำหนดด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยรู้ความยาวของอีกสองรูปที่เหลือ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทโคไซน์ ซึ่งกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างด้านของรูปสามเหลี่ยมใดๆ ก็ตาม
ข้อความสนทนายังได้รับการพิสูจน์แล้ว (เรียกอีกอย่างว่าการสนทนาของทฤษฎีบทพีทาโกรัส):

สำหรับจำนวนบวกสามจำนวนใดๆ a, b และ c โดยที่ a ? + บี ? = c ? มีสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา a และ b และด้านตรงข้ามมุมฉาก c

หลักฐานการมองเห็นรูปสามเหลี่ยม (3, 4, 5) จากหนังสือ "ฉู่เป่ย" 500-200 ปีก่อนคริสตกาล ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีบทสามารถแบ่งออกเป็นสี่ส่วน ได้แก่ ความรู้เกี่ยวกับจำนวนพีทาโกรัส ความรู้เกี่ยวกับอัตราส่วนของด้านในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ความรู้เกี่ยวกับอัตราส่วนของมุมที่อยู่ติดกัน และการพิสูจน์ทฤษฎีบท
โครงสร้างหินใหญ่ประมาณ 2,500 ปีก่อนคริสตกาล ในอียิปต์และยุโรปเหนือ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านเป็นจำนวนเต็ม บาร์เทล ลีนเดอร์ต ฟาน เดอร์ แวร์เดนตั้งสมมติฐานว่าในขณะนั้นพบตัวเลขพีทาโกรัสในเชิงพีชคณิต
เขียนระหว่างปี 2000 ถึง 1876 ปีก่อนคริสตกาล กระดาษปาปิรัสจากอาณาจักรอียิปต์ตอนกลาง เบอร์ลิน 6619มีปัญหาซึ่งมีคำตอบเป็นตัวเลขพีทาโกรัส
ในสมัยของพระเจ้าฮัมมูราบีมหาราช แท็บเล็ตของชาวบาบิโลน พลิมป์ตัน 322,เขียนระหว่างปี 1790 ถึง 1750 ปีก่อนคริสตกาล มีรายการมากมายที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับตัวเลขพีทาโกรัส
ในพระสูตรพุทธยาณะซึ่งมีอยู่หลายสมัยตั้งแต่ศตวรรษที่ 8 หรือ 2 ก่อนคริสต์ศักราช ในอินเดีย ประกอบด้วยตัวเลขพีทาโกรัสที่ได้มาจากพีชคณิต คำแถลงของทฤษฎีบทพีทาโกรัส และการพิสูจน์ทางเรขาคณิตสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากด้านเท่า
Apastamba Sutras (ประมาณ 600 ปีก่อนคริสตกาล) มีการพิสูจน์เชิงตัวเลขของทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยใช้การคำนวณพื้นที่ Van der Waerden เชื่อว่ามีพื้นฐานมาจากประเพณีของรุ่นก่อน ตามที่ Albert Burco กล่าว นี่เป็นข้อพิสูจน์ดั้งเดิมของทฤษฎีบทนี้ และเขาแนะนำว่าปีทาโกรัสไปเยี่ยมอาราคอนและคัดลอกมันมา
พีทาโกรัส ซึ่งอายุขัยมักระบุเป็น 569 - 475 ปีก่อนคริสตกาล ใช้วิธีการพีชคณิตในการคำนวณตัวเลขพีทาโกรัสตามข้อคิดเห็นของ Proklov เกี่ยวกับ Euclid อย่างไรก็ตาม Proclus มีชีวิตอยู่ระหว่างปีคริสตศักราช 410 ถึง 485 ตามที่โธมัส กีสกล่าวไว้ ไม่มีข้อบ่งชี้ถึงการประพันธ์ทฤษฎีบทนี้จนกระทั่งห้าศตวรรษหลังจากปีทาโกรัส อย่างไรก็ตาม เมื่อผู้เขียนอย่างพลูทาร์กหรือซิเซโรถือว่าทฤษฎีบทนี้มาจากพีทาโกรัส พวกเขาทำเช่นนั้นราวกับว่าผลงานประพันธ์นั้นเป็นที่รู้จักและแน่นอนอย่างกว้างขวาง
ประมาณ 400 ปีก่อนคริสตกาล ตามคำกล่าวของ Proclus เพลโตได้ให้วิธีการคำนวณตัวเลขพีทาโกรัสที่รวมพีชคณิตและเรขาคณิตเข้าด้วยกัน ประมาณ 300 ปีก่อนคริสต์ศักราช ใน จุดเริ่มต้น Euclid เรามีหลักฐานเชิงสัจพจน์ที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังคงอยู่จนถึงทุกวันนี้
เขียนขึ้นระหว่าง 500 ปีก่อนคริสตกาล และ 200 ปีก่อนคริสตกาล หนังสือคณิตศาสตร์ของจีน ชูเป่ย (? ? ? ?) ให้ข้อพิสูจน์ด้วยภาพของทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่เรียกว่าทฤษฎีบทกูกู (????) ในประเทศจีน สำหรับรูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน (3, 4, 5) ). ในสมัยราชวงศ์ฮั่น ตั้งแต่ 202 ปีก่อนคริสตกาล ถึงคริสตศักราช 220 ตัวเลขพีทาโกรัสปรากฏในหนังสือ "Nine Branches of the Mathematical Art" พร้อมด้วยการกล่าวถึงสามเหลี่ยมมุมฉาก
การใช้ทฤษฎีบทนี้ถูกบันทึกไว้ครั้งแรกในประเทศจีน ซึ่งเรียกว่าทฤษฎีบทกูกู (????) และในอินเดีย ซึ่งเรียกว่าทฤษฎีบทของภัสการ์
มีการถกเถียงกันอย่างกว้างขวางว่าทฤษฎีบทของพีทาโกรัสถูกค้นพบเพียงครั้งเดียวหรือหลายครั้ง Boyer (1991) เชื่อว่าความรู้ที่พบใน Shulba Sutra อาจมีต้นกำเนิดจากเมโสโปเตเมีย
การพิสูจน์พีชคณิต
สี่เหลี่ยมจัตุรัสเกิดจากสามเหลี่ยมมุมฉากสี่อัน มีการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมากกว่าร้อยข้อ นี่คือข้อพิสูจน์ตามทฤษฎีบทการดำรงอยู่ของพื้นที่ของรูป:

ลองวางสามเหลี่ยมมุมฉากที่เหมือนกันสี่อันดังแสดงในรูป
สี่เหลี่ยมที่มีด้านข้าง คเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เนื่องจากผลรวมของมุมแหลมสองมุมคือ และมุมตรงคือ
ด้านหนึ่งมีพื้นที่ของรูปทั้งหมดเท่ากันกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน "a + b" และอีกด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมสี่รูปกับสี่เหลี่ยมด้านใน .

ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์
โดยความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม
โดยใช้รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน อนุญาต เอบีซี- สามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมีมุม คตรงตามที่แสดงในภาพ ลองวาดความสูงจากจุดกัน ค,แล้วมาโทรกัน ชมจุดตัดกับด้านข้าง เอบีสามเหลี่ยมเกิดขึ้น เอซีเอชคล้ายกับรูปสามเหลี่ยม เอบีซี,เนื่องจากทั้งสองเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ตามคำจำกัดความของความสูง) และมีมุมที่เหมือนกัน เอ,แน่นอนว่ามุมที่สามของสามเหลี่ยมเหล่านี้จะเหมือนกันเช่นกัน คล้ายกับสันติภาพสามเหลี่ยม ซีบีเอชคล้ายกับรูปสามเหลี่ยมด้วย เอบีซีมีความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม: ถ้า

สิ่งนี้สามารถเขียนได้เป็น

ถ้าเราบวกความเท่าเทียมกันทั้งสองนี้ เราจะได้

HB + c คูณ AH = c คูณ (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ข้อพิสูจน์ของยุคลิด
การพิสูจน์ของยุคลิดใน "องค์ประกอบ" แบบยุคลิด ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้รับการพิสูจน์โดยวิธีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน อนุญาต ก, บี, ซีจุดยอดของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมฉาก ก.ลองวางตั้งฉากจากจุดกัน กไปทางด้านตรงข้ามด้านตรงข้ามมุมฉากในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก เส้นแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นสองสี่เหลี่ยม แต่ละสี่เหลี่ยมมีพื้นที่เท่ากันกับสี่เหลี่ยมที่สร้างไว้ด้านข้าง แนวคิดหลักในการพิสูจน์คือ สี่เหลี่ยมด้านบนจะกลายเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานของพื้นที่เดียวกัน จากนั้นกลับคืนมาและกลายเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสในสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านล่างและอีกครั้งในพื้นที่เดียวกัน

มาวาดส่วนกัน ซีเอฟและ อ.เราได้สามเหลี่ยม บีซีเอฟและ บธ.บ.
มุม แท็กซี่และ ถุง- ตรง; คะแนนตามลำดับ ซี, เอและ ช– คอลลิเนียร์ อีกด้วย บี,เอและ ชม.
มุม ย่านศูนย์กลางธุรกิจและ เอฟบีเอ– ทั้งสองเป็นเส้นตรง ตามด้วยมุม เอบีดีเท่ากับมุม เอฟบีซี,เนื่องจากทั้งสองเป็นผลรวมของมุมฉากและมุม เอบีซี
สามเหลี่ยม เอบีดีและ เอฟบีซีระดับทั้งสองด้านและมุมระหว่างพวกเขา
ตั้งแต่จุด เอ, เคและ ล– เส้นตรง พื้นที่ของสี่เหลี่ยม BDLK เท่ากับสองพื้นที่ของสามเหลี่ยม เอบีดี (BDLK = แบ็กเอฟ = เอบี 2)
ในทำนองเดียวกันเราได้รับ ซีเคิล = เอซีไอเอช = เอซี 2
ด้านหนึ่งเป็นพื้นที่ สาร CBDEเท่ากับผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยม บีดีแอลเคและ ซีเคิลและอีกด้านหนึ่งเป็นพื้นที่ของจัตุรัส ก่อนคริสต์ศักราช 2หรือ เอบี 2 + เอซี 2 = ก่อนคริสต์ศักราช 2

การใช้ส่วนต่าง
การใช้ส่วนต่าง ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถหาได้จากการศึกษาว่าการเพิ่มด้านด้านข้างส่งผลต่อขนาดของด้านตรงข้ามมุมฉากดังแสดงในรูปด้านขวามืออย่างไร และใช้การคำนวณเล็กน้อย
เป็นผลจากการเพิ่มขึ้นของด้านข้าง ก,ของสามเหลี่ยมที่คล้ายกันเพื่อการเพิ่มขึ้นทีละน้อย

บูรณาการเราได้รับ

ถ้า ก= 0 แล้ว ค = ขดังนั้น "คงที่" ก็คือ ข 2.แล้ว

ดังที่เห็นได้ว่า กำลังสองนั้นเกิดจากสัดส่วนระหว่างส่วนที่เพิ่มขึ้นกับด้านข้าง ในขณะที่ผลรวมนั้นเป็นผลมาจากการมีส่วนร่วมอย่างอิสระของส่วนที่เพิ่มขึ้นของด้านข้าง ซึ่งไม่ชัดเจนจากหลักฐานทางเรขาคณิต ในสมการเหล่านี้ ดาและ กระแสตรง– การเพิ่มทีละน้อยของด้านข้างตามลำดับ กและ ค.แต่เราใช้อะไรแทนล่ะ? กและ? ค,ดังนั้นขีดจำกัดของอัตราส่วนหากมีแนวโน้มเป็นศูนย์ก็คือ ดา / กระแสตรง,อนุพันธ์ และก็เท่ากับ ค / ก,อัตราส่วนของความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม ส่งผลให้เราได้สมการเชิงอนุพันธ์
ในกรณีของระบบเวกเตอร์ตั้งฉาก ความเท่าเทียมกันจะคงอยู่ ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ถ้า – นี่คือเส้นโครงของเวกเตอร์บนแกนพิกัด สูตรนี้เกิดขึ้นพร้อมกับระยะทางแบบยุคลิดและหมายความว่าความยาวของเวกเตอร์เท่ากับรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของส่วนประกอบต่างๆ
ความคล้ายคลึงของความเท่าเทียมกันนี้ในกรณีของระบบเวกเตอร์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดเรียกว่าความเท่าเทียมกันของพาร์เซวัล

สิ่งหนึ่งที่คุณมั่นใจได้เต็มร้อยเปอร์เซ็นต์ก็คือ เมื่อถามว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากคืออะไร ผู้ใหญ่คนใดก็ตามจะตอบอย่างกล้าหาญว่า "ผลรวมของกำลังสองของขา" ทฤษฎีบทนี้ฝังแน่นอยู่ในจิตใจของผู้มีการศึกษาทุกคน แต่คุณเพียงแค่ต้องขอให้ใครสักคนพิสูจน์ และอาจเกิดปัญหาได้ ดังนั้น มาจำและพิจารณาวิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกันดีกว่า

ประวัติโดยย่อ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นที่คุ้นเคยของเกือบทุกคน แต่ด้วยเหตุผลบางประการชีวประวัติของบุคคลที่นำมันมาสู่โลกจึงไม่ได้รับความนิยมมากนัก สิ่งนี้สามารถแก้ไขได้ ดังนั้น ก่อนที่จะสำรวจวิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของพีทาโกรัส คุณต้องมาทำความรู้จักกับบุคลิกภาพของเขาโดยย่อ

พีทาโกรัส - นักปรัชญานักคณิตศาสตร์นักคิดที่มีพื้นเพมาจาก วันนี้ เป็นเรื่องยากมากที่จะแยกแยะชีวประวัติของเขาจากตำนานที่พัฒนาขึ้นในความทรงจำของชายผู้ยิ่งใหญ่คนนี้ แต่ดังต่อไปนี้จากผลงานของผู้ติดตามของเขา Pythagoras of Samos เกิดบนเกาะ Samos พ่อของเขาเป็นคนตัดหินธรรมดา แต่แม่ของเขามาจากตระกูลขุนนาง

เมื่อพิจารณาจากตำนานแล้ว การกำเนิดของพีธากอรัสนั้นถูกทำนายโดยผู้หญิงชื่อไพเธียซึ่งมีชื่อว่าเด็กชายเพื่อเป็นเกียรติแก่ ตามคำทำนายของเธอ เด็กชายที่เกิดควรจะนำผลประโยชน์และดีมาสู่มนุษยชาติมากมาย ซึ่งเป็นสิ่งที่เขาทำ

กำเนิดของทฤษฎีบท

ในวัยเด็ก พีทาโกรัสย้ายไปอียิปต์เพื่อพบกับปราชญ์ชาวอียิปต์ที่มีชื่อเสียงที่นั่น หลังจากพบกับพวกเขา เขาก็ได้รับอนุญาตให้ศึกษาซึ่งเขาได้เรียนรู้ความสำเร็จอันยิ่งใหญ่ทั้งหมดของปรัชญา คณิตศาสตร์ และการแพทย์ของอียิปต์

อาจเป็นที่อียิปต์ว่าพีทาโกรัสได้รับแรงบันดาลใจจากความสง่างามและความงามของปิรามิด และสร้างทฤษฎีอันยิ่งใหญ่ของเขาขึ้นมา สิ่งนี้อาจทำให้ผู้อ่านตกใจ แต่นักประวัติศาสตร์สมัยใหม่เชื่อว่าพีทาโกรัสไม่ได้พิสูจน์ทฤษฎีของเขา แต่เขาเพียงถ่ายทอดความรู้ของเขาให้กับผู้ติดตามของเขาเท่านั้น ซึ่งต่อมาได้เสร็จสิ้นการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นทั้งหมดแล้ว

อาจเป็นไปได้ว่าทุกวันนี้ไม่มีใครรู้จักวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เพียงวิธีเดียว แต่มีหลายวิธีในคราวเดียว วันนี้เราทำได้เพียงเดาได้ว่าชาวกรีกโบราณคำนวณอย่างไร ดังนั้นเราจะมาดูวิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ก่อนที่คุณจะเริ่มคำนวณ คุณต้องหาทฤษฎีที่คุณต้องการพิสูจน์เสียก่อน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นดังนี้: “ในรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีมุมหนึ่งเป็น 90° ผลรวมของกำลังสองของขาจะเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก”

มีทั้งหมด 15 วิธีในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส นี่เป็นจำนวนที่ค่อนข้างมากดังนั้นเราจะให้ความสนใจกับจำนวนที่ได้รับความนิยมมากที่สุด

วิธีที่หนึ่ง

ก่อนอื่น มากำหนดสิ่งที่เราได้รับมากันก่อน ข้อมูลเหล่านี้จะนำไปใช้กับวิธีอื่นๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้วย ดังนั้นจึงควรจดจำสัญลักษณ์ที่มีอยู่ทั้งหมดทันที

สมมติว่าเราได้รับสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา a, b และด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ c วิธีการพิสูจน์วิธีแรกนั้นขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าคุณต้องวาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในการทำเช่นนี้ คุณต้องเพิ่มส่วนที่เท่ากับขา b เข้ากับขาที่มีความยาว a และในทางกลับกัน นี่จะส่งผลให้มีด้านเท่ากันสองด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส สิ่งที่เหลืออยู่คือการวาดเส้นขนานสองเส้นแล้วสี่เหลี่ยมก็พร้อม

ภายในรูปที่ได้ออกมา คุณจะต้องวาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสอีกอันโดยมีด้านเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมเดิม ในการทำเช่นนี้ จากจุดยอด ас และ св คุณต้องวาดส่วนคู่ขนานสองส่วนเท่ากับ с ดังนั้นเราจึงได้ด้านทั้งสามของสี่เหลี่ยมจัตุรัส หนึ่งในนั้นคือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากดั้งเดิม สิ่งที่เหลืออยู่คือการวาดส่วนที่สี่

จากรูปที่ได้ เราสามารถสรุปได้ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านนอกคือ (a + b) 2 หากคุณมองเข้าไปในรูป คุณจะเห็นว่านอกจากสี่เหลี่ยมด้านในแล้ว ยังมีสามเหลี่ยมมุมฉากอีกสี่รูปอีกด้วย พื้นที่แต่ละแห่งคือ 0.5av.

ดังนั้น พื้นที่จึงเท่ากับ: 4 * 0.5ab + c 2 = 2av + c 2

ดังนั้น (a+c) 2 =2ab+c 2

ดังนั้น c 2 =a 2 +b 2

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

วิธีที่สอง: สามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

สูตรในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสนี้ได้มาจากข้อความในส่วนเรขาคณิตเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน โดยระบุว่าขาของสามเหลี่ยมมุมฉากคือสัดส่วนเฉลี่ยของด้านตรงข้ามมุมฉากและส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดของมุม 90°

ข้อมูลเริ่มต้นยังคงเหมือนเดิม ดังนั้นเรามาเริ่มด้วยการพิสูจน์กันดีกว่า ให้เราวาดส่วน CD ตั้งฉากกับด้าน AB จากข้อความข้างต้น ด้านของรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากัน:

เอซี=√AB*โฆษณา, SV=√AB*DV.

ในการตอบคำถามว่าจะพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้อย่างไร การพิสูจน์จะต้องเสร็จสิ้นโดยการยกกำลังสองของอสมการทั้งสอง

เอซี 2 = AB * AD และ CB 2 = AB * DV

ตอนนี้เราต้องบวกผลลัพธ์ความไม่เท่าเทียมกันเข้าด้วยกัน

เอซี 2 + CB 2 = AB * (AD * DV) โดยที่ AD + DV = AB

ปรากฎว่า:

เอซี 2 + CB 2 =AB*AB

และดังนั้นจึง:

เอซี 2 + CB 2 = เอบี 2

การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและวิธีการต่างๆ ในการแก้ปัญหาต้องใช้แนวทางที่หลากหลายในการแก้ไขปัญหานี้ อย่างไรก็ตาม ตัวเลือกนี้เป็นหนึ่งในวิธีที่ง่ายที่สุด

วิธีการคำนวณอื่น

คำอธิบายของวิธีการต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอาจไม่มีความหมายใดๆ จนกว่าคุณจะเริ่มฝึกด้วยตนเอง เทคนิคหลายอย่างไม่เพียงเกี่ยวข้องกับการคำนวณทางคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงการสร้างตัวเลขใหม่จากสามเหลี่ยมดั้งเดิมด้วย

ในกรณีนี้ จำเป็นต้องสร้าง VSD สามเหลี่ยมมุมฉากอีกอันจากด้าน BC ดังนั้น ตอนนี้จึงมีรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีขาร่วม BC

เมื่อรู้ว่าพื้นที่ของตัวเลขที่คล้ายกันมีอัตราส่วนเป็นกำลังสองของมิติเชิงเส้นที่เหมือนกัน ดังนั้น:

S avs * c 2 - S avd * ใน 2 = S avd * a 2 - S กับ * a 2

S avs *(จาก 2 - ถึง 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

จาก 2 - ถึง 2 = a 2

ค 2 =ก 2 +ข 2

เนื่องจากวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับเกรด 8 มีวิธีต่างๆ มากมาย ตัวเลือกนี้จึงไม่ค่อยเหมาะสม คุณสามารถใช้วิธีต่อไปนี้

วิธีที่ง่ายที่สุดในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส รีวิว

ตามที่นักประวัติศาสตร์กล่าวว่าวิธีนี้ถูกใช้ครั้งแรกเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทในสมัยกรีกโบราณ เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดเนื่องจากไม่จำเป็นต้องมีการคำนวณใดๆ เลย หากคุณวาดภาพอย่างถูกต้องก็จะมองเห็นหลักฐานของข้อความที่ว่า a 2 + b 2 = c 2 ได้ชัดเจน

เงื่อนไขสำหรับวิธีนี้จะแตกต่างจากวิธีก่อนหน้าเล็กน้อย เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท สมมติว่าสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC คือหน้าจั่ว

เราใช้ด้านตรงข้ามมุมฉาก AC เป็นด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแล้ววาดทั้งสามด้าน นอกจากนี้จำเป็นต้องวาดเส้นทแยงมุมสองเส้นในช่องสี่เหลี่ยมผลลัพธ์ ข้างในนั้นคุณจะได้สามเหลี่ยมหน้าจั่วสี่อัน

คุณต้องวาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ขา AB และ CB แล้ววาดเส้นตรงแนวทแยงหนึ่งเส้นในแต่ละอัน เราลากเส้นแรกจากจุดยอด A เส้นที่สองจาก C

ตอนนี้คุณต้องดูภาพวาดผลลัพธ์อย่างรอบคอบ เนื่องจากบนด้านตรงข้ามมุมฉาก AC มีสามเหลี่ยมสี่รูปเท่ากับสามเหลี่ยมดั้งเดิม และด้านข้างมีสองรูป ซึ่งบ่งบอกถึงความจริงของทฤษฎีบทนี้

อย่างไรก็ตาม ต้องขอบคุณวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสนี้ วลีที่มีชื่อเสียงจึงเกิดขึ้น: "กางเกงพีทาโกรัสมีความเท่าเทียมกันในทุกทิศทาง"

พิสูจน์โดยเจ. การ์ฟิลด์

เจมส์ การ์ฟิลด์เป็นประธานาธิบดีคนที่ 20 ของสหรัฐอเมริกา นอกเหนือจากการสร้างชื่อเสียงให้กับประวัติศาสตร์ในฐานะผู้ปกครองของสหรัฐอเมริกาแล้ว เขายังเป็นผู้ที่มีความสามารถพิเศษอีกด้วย

ในช่วงเริ่มต้นอาชีพของเขา เขาเป็นครูธรรมดาในโรงเรียนรัฐบาล แต่ไม่นานก็กลายเป็นผู้อำนวยการของสถาบันการศึกษาระดับสูงแห่งหนึ่ง ความปรารถนาที่จะพัฒนาตนเองทำให้เขาสามารถเสนอทฤษฎีใหม่เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ ทฤษฎีบทและตัวอย่างการแก้ปัญหามีดังนี้

ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองอันบนกระดาษแผ่นหนึ่งเพื่อให้ขาของหนึ่งในนั้นต่อจากอันที่สอง จุดยอดของสามเหลี่ยมเหล่านี้จำเป็นต้องเชื่อมต่อกันจนกลายเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูในที่สุด

ดังที่คุณทราบ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลคูณของผลรวมของฐานและความสูงของผลรวมครึ่งหนึ่ง

S=ก+ข/2 * (ก+ข)

หากเราพิจารณาสี่เหลี่ยมคางหมูที่เกิดขึ้นเป็นรูปที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมสามรูป ก็จะสามารถหาพื้นที่ได้ดังนี้:

S=av/2 *2 + วิ 2 /2

ตอนนี้เราต้องทำให้สำนวนดั้งเดิมทั้งสองเท่ากัน

2ab/2 + ค/2=(ก+ข) 2 /2

ค 2 =ก 2 +ข 2

สามารถเขียนหนังสือเรียนเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีได้มากกว่าหนึ่งเล่ม แต่มีประเด็นใดบ้างที่ความรู้นี้ไม่สามารถนำไปใช้ในทางปฏิบัติได้?

การประยุกต์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในทางปฏิบัติ

น่าเสียดายที่หลักสูตรของโรงเรียนสมัยใหม่กำหนดให้ใช้ทฤษฎีบทนี้เฉพาะในปัญหาทางเรขาคณิตเท่านั้น ผู้สำเร็จการศึกษาจะออกจากโรงเรียนในไม่ช้าโดยไม่รู้ว่าจะนำความรู้และทักษะไปใช้ในทางปฏิบัติได้อย่างไร

ที่จริงแล้ว ใครๆ ก็สามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในชีวิตประจำวันได้ และไม่เพียงแต่ในกิจกรรมทางวิชาชีพเท่านั้น แต่ยังรวมถึงงานบ้านทั่วไปด้วย ลองพิจารณาหลายกรณีที่ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและวิธีการพิสูจน์อาจมีความจำเป็นอย่างยิ่ง

ความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีบทกับดาราศาสตร์

ดูเหมือนว่าดาวและสามเหลี่ยมบนกระดาษจะเชื่อมโยงกันได้อย่างไร อันที่จริง ดาราศาสตร์เป็นสาขาวิทยาศาสตร์ที่ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกันอย่างแพร่หลาย

ตัวอย่างเช่น พิจารณาการเคลื่อนที่ของลำแสงในอวกาศ เป็นที่รู้กันว่าแสงเคลื่อนที่ทั้งสองทิศทางด้วยความเร็วเท่ากัน ลองเรียกวิถี AB ที่รังสีแสงเคลื่อนที่ไป ล. และลองเรียกครึ่งหนึ่งของเวลาที่ต้องใช้แสงเพื่อเดินทางจากจุด A ไปยังจุด B ที- และความเร็วของลำแสง - ค. ปรากฎว่า: ค*t=ล

หากคุณดูรังสีเดียวกันนี้จากระนาบอื่น เช่น จากเรือโดยสารอวกาศที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v ดังนั้นเมื่อสังเกตวัตถุในลักษณะนี้ ความเร็วของพวกมันจะเปลี่ยนไป ในกรณีนี้ แม้แต่องค์ประกอบที่อยู่นิ่งก็จะเริ่มเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v ในทิศทางตรงกันข้าม

สมมติว่าการ์ตูนไลเนอร์แล่นไปทางขวา จากนั้นจุด A และ B ซึ่งลำแสงวิ่งอยู่ระหว่างนั้นจะเริ่มเคลื่อนไปทางซ้าย ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อลำแสงเคลื่อนที่จากจุด A ไปยังจุด B จุด A จะมีเวลาเคลื่อนที่ ดังนั้นแสงก็จะมาถึงจุด C ใหม่แล้ว หากต้องการค้นหาระยะทางครึ่งหนึ่งที่จุด A เคลื่อนที่ คุณต้องคูณ ความเร็วของสายการบินเป็นครึ่งหนึ่งของเวลาการเดินทางของลำแสง (t ")

และเพื่อหาว่ารังสีแสงสามารถเดินทางได้ไกลแค่ไหนในช่วงเวลานี้ คุณต้องทำเครื่องหมายครึ่งหนึ่งของเส้นทางด้วยตัวอักษร s ใหม่ และรับนิพจน์ต่อไปนี้:

ถ้าเราจินตนาการว่าจุดของแสง C และ B รวมถึงเส้นในอวกาศคือจุดยอดของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จากนั้นส่วนที่จากจุด A ถึงเส้นในจะแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองอัน ดังนั้น ด้วยทฤษฎีบทพีทาโกรัส คุณจึงสามารถหาระยะทางที่รังสีแสงเดินทางได้

แน่นอนว่าตัวอย่างนี้ไม่ใช่ตัวอย่างที่ประสบความสำเร็จมากที่สุด เนื่องจากมีเพียงไม่กี่คนเท่านั้นที่โชคดีพอที่จะลองใช้ในทางปฏิบัติ ดังนั้น ลองพิจารณาการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทนี้แบบธรรมดาๆ กัน

ระยะการส่งสัญญาณมือถือ

ชีวิตสมัยใหม่ไม่สามารถจินตนาการได้อีกต่อไปหากไม่มีสมาร์ทโฟน แต่จะมีประโยชน์มากแค่ไหนหากไม่สามารถเชื่อมต่อสมาชิกผ่านการสื่อสารเคลื่อนที่ได้!

คุณภาพของการสื่อสารเคลื่อนที่โดยตรงขึ้นอยู่กับความสูงของเสาอากาศของผู้ให้บริการโทรศัพท์มือถือ ในการคำนวณว่าโทรศัพท์สามารถรับสัญญาณได้ไกลแค่ไหนจากเสาสัญญาณมือถือ คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้

สมมติว่าคุณต้องหาความสูงโดยประมาณของหอคอยที่อยู่นิ่งเพื่อที่จะสามารถกระจายสัญญาณภายในรัศมี 200 กิโลเมตร

AB (ความสูงของหอคอย) = x;

BC (รัศมีการส่งสัญญาณ) = 200 กม.;

OS (รัศมีของโลก) = 6380 กม.;

OB=OA+ABOB=r+x

จากการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราพบว่าความสูงขั้นต่ำของหอคอยควรอยู่ที่ 2.3 กิโลเมตร

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในชีวิตประจำวัน

น่าแปลกที่ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีประโยชน์แม้ในชีวิตประจำวัน เช่น การกำหนดความสูงของตู้เสื้อผ้า เป็นต้น เมื่อมองแวบแรกไม่จำเป็นต้องใช้การคำนวณที่ซับซ้อนเช่นนี้เพราะคุณสามารถทำการวัดโดยใช้สายวัดได้ แต่หลายคนสงสัยว่าเหตุใดปัญหาบางอย่างจึงเกิดขึ้นในระหว่างกระบวนการประกอบ หากการวัดทั้งหมดทำมากกว่าความแม่นยำ

ความจริงก็คือตู้เสื้อผ้าประกอบในแนวนอนแล้วยกและติดตั้งชิดผนังเท่านั้น ดังนั้นในระหว่างขั้นตอนการยกโครงสร้าง ด้านข้างของตู้จะต้องเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระทั้งตามความสูงและแนวทแยงของห้อง

สมมติว่ามีตู้เสื้อผ้าที่มีความลึก 800 มม. ระยะห่างจากพื้นถึงเพดาน - 2,600 มม. ผู้ผลิตเฟอร์นิเจอร์ที่มีประสบการณ์จะบอกว่าความสูงของตู้ควรน้อยกว่าความสูงของห้อง 126 มม. แต่ทำไมถึง 126 มม. ล่ะ? ลองดูตัวอย่าง

ด้วยขนาดตู้ที่เหมาะสมที่สุด เรามาตรวจสอบการทำงานของทฤษฎีบทพีทาโกรัสกัน:

เอซี =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 มม. - ทุกอย่างลงตัว

สมมติว่าความสูงของตู้ไม่ใช่ 2474 มม. แต่เป็น 2505 มม. แล้ว:

เอซี=√2505 2 +√800 2 =2629 มม.

ดังนั้นตู้นี้ไม่เหมาะกับการติดตั้งในห้องนี้ เนื่องจากการยกขึ้นในแนวตั้งอาจทำให้ร่างกายได้รับความเสียหายได้

บางที เมื่อพิจารณาวิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยนักวิทยาศาสตร์หลายๆ คนแล้ว เราก็สามารถสรุปได้ว่าทฤษฎีบทดังกล่าวเป็นมากกว่าความจริง ตอนนี้คุณสามารถใช้ข้อมูลที่ได้รับในชีวิตประจำวันของคุณและมั่นใจอย่างยิ่งว่าการคำนวณทั้งหมดจะไม่เพียงมีประโยชน์เท่านั้น แต่ยังถูกต้องอีกด้วย

เมื่อคุณเริ่มเรียนรู้เกี่ยวกับรากที่สองและวิธีการแก้สมการไร้เหตุผล (ความเท่าเทียมกันที่เกี่ยวข้องกับสิ่งที่ไม่ทราบใต้เครื่องหมายราก) คุณคงได้สัมผัสประสบการณ์การใช้งานจริงเป็นครั้งแรก ความสามารถในการหารากที่สองของตัวเลขก็จำเป็นเช่นกันในการแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทฤษฎีบทนี้เกี่ยวข้องกับความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ

ให้ความยาวของขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก (ด้านทั้งสองที่บรรจบกันเป็นมุมฉาก) ถูกกำหนดด้วยตัวอักษร และความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก (ด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมที่อยู่ตรงข้ามมุมขวา) จะถูกกำหนดโดย จดหมาย. จากนั้นความยาวที่สอดคล้องกันจะสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

สมการนี้ช่วยให้คุณหาความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากได้เมื่อทราบความยาวของด้านอีกสองด้าน นอกจากนี้ยังช่วยให้คุณระบุได้ว่าสามเหลี่ยมดังกล่าวเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ โดยต้องทราบความยาวของด้านทั้งสามไว้ล่วงหน้า

การแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

เพื่อรวมวัสดุเข้าด้วยกัน เราจะแก้ปัญหาต่อไปนี้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ดังนั้นให้:

1. ความยาวของขาข้างหนึ่งคือ 48 ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 80
2. ความยาวของขาคือ 84 ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 91

มาดูวิธีแก้ปัญหากันดีกว่า:

ก) การแทนที่ข้อมูลลงในสมการข้างต้นจะให้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

48 2 + ข 2 = 80 2

2304 + ข 2 = 6400

ข 2 = 4096

ข= 64 หรือ ข = -64

เนื่องจากความยาวของด้านของสามเหลี่ยมไม่สามารถแสดงเป็นจำนวนลบได้ ตัวเลือกที่สองจึงถูกปฏิเสธโดยอัตโนมัติ

ตอบรูปแรก: ข = 64.

b) ความยาวของขาของสามเหลี่ยมที่สองหาได้ในลักษณะเดียวกัน:

84 2 + ข 2 = 91 2

7056 + ข 2 = 8281

ข 2 = 1225

ข= 35 หรือ ข = -35

เช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้านี้ การตัดสินใจเชิงลบจะถูกยกเลิก

ตอบภาพที่สอง: ข = 35

เราได้รับ:

1. ความยาวของด้านเล็กของสามเหลี่ยมคือ 45 และ 55 ตามลำดับ และด้านที่ใหญ่กว่าคือ 75
2. ด้านที่เล็กกว่าของรูปสามเหลี่ยมมีความยาว 28 และ 45 ตามลำดับ และด้านที่ใหญ่กว่าคือ 53

มาแก้ปัญหากัน:

ก) จำเป็นต้องตรวจสอบว่าผลรวมของกำลังสองของความยาวของด้านที่สั้นกว่าของสามเหลี่ยมที่กำหนดนั้นเท่ากับกำลังสองของความยาวของด้านที่ใหญ่กว่าหรือไม่:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

ดังนั้น สามเหลี่ยมแรกจึงไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก

b) มีการดำเนินการเดียวกัน:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

ดังนั้น สามเหลี่ยมที่สองจึงเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

อันดับแรก เรามาค้นหาความยาวของส่วนที่ใหญ่ที่สุดที่เกิดจากจุดที่มีพิกัด (-2, -3) และ (5, -2) ในการทำเช่นนี้ เราใช้สูตรที่รู้จักกันดีในการค้นหาระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม:

ในทำนองเดียวกัน เราพบความยาวของส่วนที่อยู่ระหว่างจุดที่มีพิกัด (-2, -3) และ (2, 1):

สุดท้ายนี้ เรากำหนดความยาวของส่วนระหว่างจุดที่มีพิกัด (2, 1) และ (5, -2):

เนื่องจากความเท่าเทียมกันถือ:

จากนั้นสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกันจะเป็นมุมฉาก

ดังนั้นเราจึงสามารถกำหนดคำตอบของปัญหาได้ เนื่องจากผลรวมของกำลังสองของด้านที่มีความยาวสั้นที่สุดจะเท่ากับกำลังสองของด้านที่ยาวที่สุด จุดยอดจึงเป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ฐาน (อยู่ในแนวนอนอย่างเคร่งครัด) วงกบ (อยู่ในแนวตั้งอย่างเคร่งครัด) และสายเคเบิล (ยืดออกแนวทแยงมุม) ทำให้เกิดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตามลำดับ เพื่อหาความยาวของสายเคเบิลตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถใช้ได้:

ดังนั้นความยาวของสายเคเบิลจะอยู่ที่ประมาณ 3.6 เมตร

ให้ไว้: ระยะห่างจากจุด R ถึงจุด P (ขาของสามเหลี่ยม) คือ 24 จากจุด R ถึงจุด Q (ด้านตรงข้ามมุมฉาก) คือ 26

ดังนั้นเรามาช่วย Vita แก้ปัญหากันเถอะ เนื่องจากด้านข้างของสามเหลี่ยมที่แสดงในภาพควรจะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณจึงใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อหาความยาวของด้านที่สามได้:

ดังนั้นความกว้างของบ่อคือ 10 เมตร

เซอร์เกย์ วาเลรีวิช

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส- หนึ่งในทฤษฎีบทพื้นฐานของเรขาคณิตยุคลิดที่สร้างความสัมพันธ์

ระหว่างด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

เชื่อกันว่าได้รับการพิสูจน์โดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก พีทาโกรัส ซึ่งได้รับการตั้งชื่อตามนั้น

การกำหนดเรขาคณิตของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทถูกกำหนดไว้แต่เดิมดังนี้:

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส

สร้างขึ้นบนขา

สูตรพีชคณิตของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของขา

นั่นคือ แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมด้วย คและความยาวของขาทะลุ กและ ข:

ทั้งสองสูตร ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเทียบเท่ากัน แต่สูตรที่สองนั้นมีความพื้นฐานมากกว่าไม่ใช่เลย

ต้องใช้แนวคิดเรื่องพื้นที่ นั่นคือคำสั่งที่สองสามารถตรวจสอบได้โดยไม่ต้องรู้อะไรเกี่ยวกับพื้นที่และ

โดยการวัดเฉพาะความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ทฤษฎีบทคอนเวิร์สพีทาโกรัส

ถ้ากำลังสองของด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ

สามเหลี่ยมมุมฉาก.

หรืออีกนัยหนึ่ง:

สำหรับทุกๆ สามเท่าของจำนวนบวก ก, ขและ ค, ดังนั้น

มีสามเหลี่ยมมุมฉากมีขา กและ ขและด้านตรงข้ามมุมฉาก ค.

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับสามเหลี่ยมด้านเท่า

การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ปัจจุบันมีการบันทึกไว้ 367 ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทนี้ในวรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์ น่าจะเป็นทฤษฎีบท

พีทาโกรัสเป็นทฤษฎีบทเดียวที่มีการพิสูจน์จำนวนมากมายมหาศาล ความหลากหลายดังกล่าว

สามารถอธิบายได้ด้วยความสำคัญพื้นฐานของทฤษฎีบทสำหรับเรขาคณิตเท่านั้น

แน่นอนว่าตามแนวคิดแล้วทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นคลาสจำนวนน้อยได้ ที่มีชื่อเสียงที่สุดของพวกเขา:

การพิสูจน์ วิธีการพื้นที่, ความจริงและ หลักฐานที่แปลกใหม่(ตัวอย่างเช่น,

โดยใช้ สมการเชิงอนุพันธ์).

1. การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยใช้สามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

การพิสูจน์สูตรพีชคณิตต่อไปนี้เป็นข้อพิสูจน์ที่ง่ายที่สุดที่สร้างขึ้น

โดยตรงจากสัจพจน์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่ใช้แนวคิดเรื่องพื้นที่ของรูป

อนุญาต เอบีซีมีสามเหลี่ยมมุมฉากมีมุมฉาก ค- ลองวาดความสูงจาก คและแสดงถึง

รากฐานของมันผ่านทาง ชม.

สามเหลี่ยม เอซีเอชคล้ายกับรูปสามเหลี่ยม เอบี C ที่มุมทั้งสอง สามเหลี่ยมเช่นเดียวกัน ซีบีเอชคล้ายกัน เอบีซี.

โดยการแนะนำสัญกรณ์:

เราได้รับ:

,

ซึ่งสอดคล้องกับ -

พับ ก 2 และ ข 2 เราได้รับ:

หรือ ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

2. การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยใช้วิธีพื้นที่

ข้อพิสูจน์ด้านล่าง แม้จะดูเรียบง่าย แต่ก็ไม่ง่ายเลย ทั้งหมด

ใช้คุณสมบัติของพื้นที่ ซึ่งการพิสูจน์นั้นซับซ้อนกว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสนั่นเอง

• พิสูจน์ด้วยความเท่าเทียมกัน

ลองจัดเรียงสี่เหลี่ยมสี่อันที่เท่ากัน

สามเหลี่ยมดังแสดงในรูป

ด้านขวา.

สี่เหลี่ยมที่มีด้านข้าง ค- สี่เหลี่ยม,

เนื่องจากผลรวมของมุมแหลมสองมุมคือ 90° และ

มุมที่กางออก - 180°

พื้นที่ของร่างทั้งหมดเท่ากันในด้านหนึ่ง

พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน ( ก+ข) และในทางกลับกัน ผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมสี่รูป และ

Q.E.D.

3. การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยวิธีขั้นต่ำ

​

ดูภาพวาดที่แสดงในภาพและ

ดูการเปลี่ยนแปลงด้านข้างกเราทำได้

เขียนความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นอนันต์

เล็ก เพิ่มขึ้นด้านข้างกับและ ก(ใช้ความเหมือน.

สามเหลี่ยม):

เมื่อใช้วิธีการแยกตัวแปร เราจะพบว่า:

นิพจน์ทั่วไปสำหรับการเปลี่ยนแปลงด้านตรงข้ามมุมฉากในกรณีที่เพิ่มขึ้นทั้งสองด้าน:

เมื่อรวมสมการนี้และใช้เงื่อนไขเริ่มต้น เราได้รับ:

ดังนั้นเราจึงได้คำตอบที่ต้องการ:

ตามที่เห็นได้ง่าย การพึ่งพากำลังสองในสูตรสุดท้ายจะปรากฏขึ้นเนื่องจากเส้นตรง

สัดส่วนระหว่างด้านของสามเหลี่ยมกับการเพิ่มขึ้น ในขณะที่ผลรวมสัมพันธ์กับความเป็นอิสระ

มีส่วนช่วยในการเพิ่มขาต่างๆ

สามารถหาข้อพิสูจน์ที่ง่ายกว่านี้ได้หากเราถือว่าขาข้างใดข้างหนึ่งไม่มีการเพิ่มขึ้น

(ในกรณีนี้คือขา ข- จากนั้นสำหรับค่าคงที่การรวมเข้าที่เราได้รับ:

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: ผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมที่วางอยู่บนขา ( กและ ข) เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก ( ค).

สูตรทางเรขาคณิต:

ทฤษฎีบทถูกกำหนดไว้แต่เดิมดังนี้:

สูตรพีชคณิต:

นั่นคือ แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมด้วย คและความยาวของขาทะลุ กและ ข :

ก 2 + ข 2 = ค 2

สูตรทั้งสองของทฤษฎีบทนั้นเทียบเท่ากัน แต่สูตรที่สองนั้นเป็นสูตรพื้นฐานมากกว่า ไม่ต้องการแนวคิดเรื่องพื้นที่ กล่าวคือ ข้อความที่สองสามารถตรวจสอบได้โดยไม่ต้องรู้อะไรเลยเกี่ยวกับพื้นที่ และโดยการวัดเฉพาะความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น

ทฤษฎีบทคอนเวิร์สพีทาโกรัส:

การพิสูจน์

ในขณะนี้ มีการบันทึกข้อพิสูจน์ 367 ข้อเกี่ยวกับทฤษฎีบทนี้ในวรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์ อาจเป็นไปได้ว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสอาจเป็นทฤษฎีบทเดียวที่มีการพิสูจน์จำนวนที่น่าประทับใจเช่นนี้ ความหลากหลายดังกล่าวสามารถอธิบายได้ด้วยความสำคัญพื้นฐานของทฤษฎีบทสำหรับเรขาคณิตเท่านั้น

แน่นอนว่าตามแนวคิดแล้วทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นคลาสจำนวนเล็กน้อยได้ สิ่งที่มีชื่อเสียงที่สุด: การพิสูจน์โดยวิธีพื้นที่, การพิสูจน์ตามสัจพจน์และแปลกใหม่ (เช่น การใช้สมการเชิงอนุพันธ์)

ผ่านรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

การพิสูจน์สูตรพีชคณิตต่อไปนี้เป็นการพิสูจน์ที่ง่ายที่สุด ซึ่งสร้างขึ้นจากสัจพจน์โดยตรง โดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่ใช้แนวคิดเรื่องพื้นที่ของรูป

อนุญาต เอบีซีมีสามเหลี่ยมมุมฉากมีมุมฉาก ค- ลองวาดความสูงจาก คและแสดงฐานด้วย ชม- สามเหลี่ยม เอซีเอชคล้ายกับรูปสามเหลี่ยม เอบีซีตรงสองมุม สามเหลี่ยมเช่นเดียวกัน ซีบีเอชคล้ายกัน เอบีซี- โดยการแนะนำสัญกรณ์

เราได้รับ

สิ่งที่เทียบเท่ากัน

เมื่อบวกกันแล้วเราก็จะได้

การพิสูจน์โดยใช้วิธีพื้นที่

ข้อพิสูจน์ด้านล่าง แม้จะดูเรียบง่าย แต่ก็ไม่ง่ายเลย พวกมันทั้งหมดใช้คุณสมบัติของพื้นที่ ซึ่งการพิสูจน์นั้นซับซ้อนกว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเสียอีก

พิสูจน์ผ่านการเสริมสมมูล

1. ลองจัดเรียงสามเหลี่ยมมุมฉากสี่อันเท่ากันดังแสดงในรูปที่ 1
2. สี่เหลี่ยมที่มีด้านข้าง คเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เนื่องจากผลรวมของมุมแหลมสองมุมคือ 90° และมุมตรงคือ 180°
3. ด้านหนึ่งมีพื้นที่ของรูปทั้งหมดเท่ากันกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน (a + b) และอีกด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมสี่รูปและสองรูปภายใน สี่เหลี่ยม

Q.E.D.

การพิสูจน์ด้วยความเท่าเทียมกัน

หลักฐานที่หรูหราโดยใช้การเรียงสับเปลี่ยน

ตัวอย่างของข้อพิสูจน์ประการหนึ่งแสดงไว้ในภาพวาดด้านขวา โดยที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะถูกจัดเรียงใหม่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันที่สร้างอยู่บนขา

ข้อพิสูจน์ของยุคลิด

การวาดภาพเพื่อพิสูจน์ของ Euclid

ภาพประกอบหลักฐานของ Euclid

แนวคิดในการพิสูจน์ของ Euclid มีดังนี้ ลองพิสูจน์ว่าพื้นที่ครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของพื้นที่ครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนขา และจากนั้นพื้นที่ของ สี่เหลี่ยมใหญ่และสี่เหลี่ยมเล็กสองอันมีค่าเท่ากัน

ลองดูภาพวาดทางด้านซ้าย บนนั้นเราสร้างสี่เหลี่ยมที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากและดึงรังสี s จากจุดยอดของมุมฉาก C ซึ่งตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก AB มันตัดสี่เหลี่ยม ABIK ที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นสี่เหลี่ยมสองอัน - BHJI และ HAKJ ตามลำดับ ปรากฎว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมเหล่านี้เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขาที่สอดคล้องกันทุกประการ

ลองพิสูจน์ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยม DECA เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยม AHJK ในการทำเช่นนี้เราจะใช้การสังเกตเสริม: พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีความสูงและฐานเท่ากัน สี่เหลี่ยมที่กำหนดมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมที่กำหนด นี่เป็นผลมาจากการกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยมเป็นครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูง จากการสังเกตนี้ตามมาว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ACK เท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยม AHK (ไม่แสดงในรูป) ซึ่งจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยม AHJK

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ACK เท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ DECA สี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วย สิ่งเดียวที่ต้องทำเพื่อสิ่งนี้คือการพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ACK และ BDA (เนื่องจากพื้นที่ของสามเหลี่ยม BDA เท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมตามคุณสมบัติข้างต้น) ความเท่าเทียมกันนั้นชัดเจน สามเหลี่ยมทั้งสองข้างเท่ากันและมีมุมระหว่างสามเหลี่ยมเหล่านั้น กล่าวคือ - AB=AK,AD=AC - ความเท่าเทียมกันของมุม CAK และ BAD นั้นพิสูจน์ได้ง่ายโดยวิธีการเคลื่อนที่: เราหมุนสามเหลี่ยม CAK 90° ทวนเข็มนาฬิกา จากนั้นจะเห็นได้ชัดว่าด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมทั้งสองใน คำถามจะตรงกัน (เนื่องจากมุมที่จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 90°)

เหตุผลสำหรับความเท่าเทียมกันของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส BCFG และสี่เหลี่ยม BHJI นั้นคล้ายกันโดยสิ้นเชิง

ดังนั้นเราจึงพิสูจน์ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นประกอบด้วยพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขา แนวคิดเบื้องหลังข้อพิสูจน์นี้แสดงให้เห็นเพิ่มเติมจากภาพเคลื่อนไหวด้านบน

หลักฐานของเลโอนาร์โด ดา วินชี

หลักฐานของเลโอนาร์โด ดา วินชี

องค์ประกอบหลักของการพิสูจน์คือความสมมาตรและการเคลื่อนที่

ลองพิจารณาการวาดภาพตามที่เห็นได้จากความสมมาตรซึ่งเป็นส่วน คฉันตัดสี่เหลี่ยม กบีชมเจ เป็นสองส่วนที่เหมือนกัน (ตั้งแต่รูปสามเหลี่ยม กบีคและ เจชมฉันเท่ากันในการก่อสร้าง) เมื่อใช้การหมุนทวนเข็มนาฬิกา 90 องศา เราจะเห็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แรเงา คกเจฉัน และ ชดีกบี - ตอนนี้เห็นได้ชัดว่าพื้นที่ของร่างที่เราแรเงานั้นเท่ากับผลรวมของครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมที่สร้างบนขาและพื้นที่ของสามเหลี่ยมดั้งเดิม ในทางกลับกัน จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก บวกกับพื้นที่ของสามเหลี่ยมเดิม ขั้นตอนสุดท้ายในการพิสูจน์เป็นหน้าที่ของผู้อ่าน

พิสูจน์ด้วยวิธีขั้นต่ำสุด

การพิสูจน์โดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้มักมาจากนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษชื่อดัง Hardy ซึ่งอาศัยอยู่ในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20

ดูภาพวาดที่แสดงในภาพและสังเกตการเปลี่ยนแปลงด้านข้าง กเราสามารถเขียนความสัมพันธ์ต่อไปนี้สำหรับการเพิ่มขึ้นทีละน้อยได้ กับและ ก(ใช้ความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม):

พิสูจน์ด้วยวิธีขั้นต่ำสุด

เราพบว่าใช้วิธีการแยกตัวแปร

นิพจน์ทั่วไปสำหรับการเปลี่ยนแปลงด้านตรงข้ามมุมฉากในกรณีที่เพิ่มขึ้นทั้งสองด้าน

เราได้รับการรวมสมการนี้และการใช้เงื่อนไขเริ่มต้น

ค 2 = ก 2 + ข 2 + ค่าคงที่

เราจึงได้คำตอบที่ต้องการ

ค 2 = ก 2 + ข 2 .

ตามที่เห็นได้ง่าย การพึ่งพากำลังสองในสูตรสุดท้ายปรากฏขึ้นเนื่องจากสัดส่วนเชิงเส้นระหว่างด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมกับส่วนที่เพิ่มขึ้น ในขณะที่ผลรวมสัมพันธ์กับส่วนที่เพิ่มขึ้นอย่างอิสระจากการเพิ่มขึ้นของขาต่างๆ

สามารถหาข้อพิสูจน์ที่ง่ายกว่านี้ได้หากเราถือว่าขาข้างใดข้างหนึ่งไม่มีส่วนเพิ่มขึ้น (ในกรณีนี้ ขาข้างหนึ่ง ข- จากนั้นสำหรับค่าคงที่อินทิเกรตที่เราได้รับ

รูปแบบและลักษณะทั่วไป

• หากแทนที่จะสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เราสร้างรูปอื่นๆ ที่คล้ายคลึงกันที่ด้านข้าง ดังนั้นลักษณะทั่วไปของทฤษฎีบทพีทาโกรัสต่อไปนี้จะเป็นจริง: ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ผลรวมของพื้นที่ของรูปที่คล้ายกันซึ่งสร้างที่ด้านข้างจะเท่ากับพื้นที่ของรูปที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากโดยเฉพาะอย่างยิ่ง:
  • ผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติที่สร้างบนขาเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉาก
  • ผลรวมของพื้นที่ครึ่งวงกลมที่สร้างบนขา (ตามเส้นผ่านศูนย์กลาง) เท่ากับพื้นที่ของครึ่งวงกลมที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉาก ตัวอย่างนี้ใช้เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยส่วนโค้งของวงกลมสองวง และเรียกว่า ลูนูลาฮิปโปเครติก

เรื่องราว

ชูเป่ย 500–200 ปีก่อนคริสตกาล ด้านซ้ายเป็นคำจารึก: ผลรวมของกำลังสองของความยาวของความสูงและฐานคือกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

หนังสือจีนโบราณ Chu-pei พูดถึงสามเหลี่ยมพีทาโกรัสที่มีด้าน 3, 4 และ 5: หนังสือเล่มเดียวกันนี้มีภาพวาดที่ตรงกับหนึ่งในภาพวาดของเรขาคณิตฮินดูของ Bashara

คันทอร์ (นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ชาวเยอรมันผู้ยิ่งใหญ่ที่สุด) เชื่อว่าความเท่าเทียมกัน 3² + 4² = 5² ชาวอียิปต์ทราบอยู่แล้วเมื่อประมาณ 2300 ปีก่อนคริสตกาล e. ในสมัยกษัตริย์อาเมเนมเฮตที่ 1 (อ้างอิงจากปาปิรัส 6619 ของพิพิธภัณฑ์เบอร์ลิน) ตามคำกล่าวของคันทอร์ ฮาร์พีโดแนปต์หรือ "เครื่องดึงเชือก" ได้สร้างมุมฉากโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน 3, 4 และ 5

มันง่ายมากที่จะทำซ้ำวิธีการก่อสร้าง ลองใช้เชือกยาว 12 ม. แล้วผูกแถบสีไว้ที่ระยะ 3 ม. จากปลายด้านหนึ่งและ 4 เมตรจากอีกด้านหนึ่ง มุมฉากจะอยู่ระหว่างด้านยาว 3 ถึง 4 เมตร ชาวฮาร์เปโดเนปเชียนอาจแย้งว่าวิธีการก่อสร้างของพวกเขาจะฟุ่มเฟือยหากมีใครใช้ เช่น ไม้สี่เหลี่ยม ซึ่งช่างไม้ทุกคนใช้ แท้จริงแล้วภาพวาดของอียิปต์เป็นที่รู้จักกันดีซึ่งพบเครื่องมือดังกล่าวเช่นภาพวาดที่แสดงถึงการประชุมเชิงปฏิบัติการของช่างไม้

มีคนรู้มากกว่านี้เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสในหมู่ชาวบาบิโลน ในข้อความหนึ่งย้อนหลังไปถึงสมัยฮัมมูราบีนั่นคือถึง 2,000 ปีก่อนคริสตกาล e. ให้การคำนวณด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยประมาณ จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าในเมโสโปเตเมียพวกเขาสามารถคำนวณด้วยสามเหลี่ยมมุมฉากได้อย่างน้อยก็ในบางกรณี ในอีกด้านหนึ่ง จากระดับความรู้ในปัจจุบันเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของอียิปต์และบาบิโลน และในอีกด้านหนึ่ง จากการศึกษาเชิงวิพากษ์เกี่ยวกับแหล่งที่มาของกรีก Van der Waerden (นักคณิตศาสตร์ชาวดัตช์) ได้ข้อสรุปดังต่อไปนี้:

วรรณกรรม

ในภาษารัสเซีย

• สโกเปตส์ ซี.เอ.เพชรประดับทางเรขาคณิต ม., 1990
• เอเลนสกี้ ชช.ตามรอยพีทาโกรัส ม., 1961
• ฟาน เดอร์ แวร์เดน บี.แอล.วิทยาศาสตร์ตื่นตัว. คณิตศาสตร์ของอียิปต์โบราณ บาบิโลน และกรีซ ม., 1959
• เกลเซอร์ จี.ไอ.ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน ม., 1982
• W. Litzman “ทฤษฎีบทพีทาโกรัส” M. , 1960
  • เว็บไซต์เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่มีการพิสูจน์จำนวนมากเนื้อหาที่นำมาจากหนังสือของ V. Litzmann ภาพวาดจำนวนมากถูกนำเสนอในรูปแบบของไฟล์กราฟิกแยกต่างหาก
• ทฤษฎีบทของพีทาโกรัสและบทของพีทาโกรัสมีสามบทจากหนังสือของ D.V. Anosov “ดูคณิตศาสตร์และบางสิ่งบางอย่างจากมัน”
• เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและวิธีการพิสูจน์ G. Glaser นักวิชาการของ Russian Academy of Education, Moscow

เป็นภาษาอังกฤษ

• ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ WolframMathWorld
• Cut-The-Knot หัวข้อเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส ข้อพิสูจน์ประมาณ 70 ข้อและข้อมูลเพิ่มเติมที่ครอบคลุม (ภาษาอังกฤษ)

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2010.