ถึง จำนวนเต็มประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติ ศูนย์ และจำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ

จำนวนเต็มเป็นจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่างเช่น: 1, 3, 7, 19, 23 เป็นต้น เราใช้ตัวเลขดังกล่าวในการนับ (มีแอปเปิ้ล 5 ลูกอยู่บนโต๊ะ รถยนต์มี 4 ล้อ เป็นต้น)

ตัวอักษรละติน \mathbb(N) - แสดงแทน เซตของจำนวนธรรมชาติ.

ตัวเลขธรรมชาติไม่สามารถรวมจำนวนลบได้ (เก้าอี้ไม่สามารถมีจำนวนขาเป็นลบได้) และจำนวนเศษส่วน (อีวานไม่สามารถขายจักรยานได้ 3.5 คัน)

สิ่งที่ตรงกันข้ามกับจำนวนธรรมชาติคือจำนวนเต็มลบ: −8, −148, −981, ….

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับจำนวนเต็ม

คุณสามารถทำอะไรกับจำนวนเต็ม? พวกมันสามารถคูณ บวก และลบออกจากกันได้ ลองดูการดำเนินการแต่ละครั้งโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ

การบวกจำนวนเต็ม

จำนวนเต็มสองตัวด้วย สัญญาณที่เหมือนกันพับขึ้น ดังต่อไปนี้: โมดูลของตัวเลขเหล่านี้จะถูกเพิ่มเข้าไป และผลรวมที่ได้จะนำหน้าด้วยเครื่องหมายสุดท้าย:

(+11) + (+9) = +20

การลบจำนวนเต็ม

จำนวนเต็มสองตัวด้วย สัญญาณที่แตกต่างกันถูกรวมเข้าด้วยกันดังต่อไปนี้: โมดูลัสของอันที่เล็กกว่าจะถูกลบออกจากโมดูลัสของจำนวนที่มากกว่า และเครื่องหมายของโมดูโลที่ใหญ่กว่าของตัวเลขจะถูกวางไว้หน้าคำตอบที่ได้:

(-7) + (+8) = +1

การคูณจำนวนเต็ม

หากต้องการคูณจำนวนเต็มหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่ง คุณจะต้องคูณโมดูลัสของตัวเลขเหล่านี้และใส่เครื่องหมาย “+” หน้าคำตอบที่ได้หากตัวเลขเดิมมีเครื่องหมายเหมือนกัน และใส่เครื่องหมาย “-” หากตัวเลขเดิมมีความแตกต่างกัน สัญญาณ:

(-5)\cdot (+3) = -15

(-3)\cdot (-4) = +12

ควรจำสิ่งต่อไปนี้ กฎสำหรับการคูณจำนวนเต็ม:

+ \cdot + = +

+ \cdot - = -

- \cdot + = -

- \cdot - = +

มีกฎสำหรับการคูณจำนวนเต็มหลายตัว จำไว้ว่า:

เครื่องหมายของผลิตภัณฑ์จะเป็น “+” หากนับจำนวนปัจจัยด้วย เครื่องหมายลบคู่ และ “-” ถ้าจำนวนตัวประกอบที่มีเครื่องหมายลบเป็นเลขคี่

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

การหารจำนวนเต็ม

การหารจำนวนเต็มสองตัวจะดำเนินการดังนี้: โมดูลัสของตัวเลขหนึ่งถูกหารด้วยโมดูลัสของอีกจำนวนหนึ่งและหากเครื่องหมายของตัวเลขเหมือนกันเครื่องหมาย "+" จะถูกวางไว้ด้านหน้าผลหารผลลัพธ์ และถ้าเครื่องหมายของตัวเลขเดิมต่างกันก็ให้ใส่เครื่องหมาย “-”

(-25) : (+5) = -5

คุณสมบัติของการบวกและการคูณจำนวนเต็ม

มาดูคุณสมบัติพื้นฐานของการบวกและการคูณของจำนวนเต็ม a, b และ c:

1. a + b = b + a - สมบัติการสับเปลี่ยนของการบวก
2. (a + b) + c = a + (b + c) - สมบัติเชิงรวมของการบวก
3. a \cdot b = b \cdot a - สมบัติการสับเปลี่ยนของการคูณ;
4. (ก \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c) - คุณสมบัติเชื่อมโยงการคูณ;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c- สมบัติการกระจายของการคูณ

ระดับแรก

ตัวคูณร่วมมากและน้อยที่สุด ตัวหารร่วม- เกณฑ์การหารและวิธีการจัดกลุ่ม (2562)

เพื่อให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมากเมื่อคุณต้องการคำนวณบางสิ่งบางอย่าง เพื่อใช้เวลาอันมีค่าในการสอบ Unified State หรือการสอบ Unified State เพื่อลดข้อผิดพลาดโง่ ๆ - อ่านหัวข้อนี้!

นี่คือสิ่งที่คุณจะได้เรียนรู้:

• วิธีการนับอย่างรวดเร็ว ง่ายขึ้น และแม่นยำยิ่งขึ้นโดยใช้การจัดกลุ่มตัวเลขเมื่อบวกและลบ
• วิธีคูณและหารอย่างรวดเร็วโดยไม่มีข้อผิดพลาดโดยใช้ กฎของการคูณและเครื่องหมายของการหาร,
• วิธีเร่งความเร็วการคำนวณอย่างมากโดยใช้ ตัวคูณร่วมน้อย(NOK) และ ตัวหารร่วมมาก(พยักหน้า).

ความชำนาญในเทคนิคต่างๆ ในส่วนนี้สามารถเลื่อนระดับไปในทิศทางใดทิศทางหนึ่งได้...ไม่ว่าคุณจะเข้ามหาวิทยาลัยในฝันหรือไม่ก็ตาม คุณหรือผู้ปกครองจะต้องเสียเงินจำนวนมากเพื่อการศึกษา ไม่เช่นนั้นคุณจะลงทะเบียนเรียนด้วยงบประมาณที่จำกัด .

มาดำดิ่งลงไปเลย... (ไปกันเถอะ!)

โน๊ตสำคัญ!หากคุณเห็น gobbledygook แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคชของคุณ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้กด CTRL+F5 (บน Windows) หรือ Cmd+R (บน Mac)

พวงของ จำนวนเต็มประกอบด้วย 3 ส่วน:

1. จำนวนเต็ม(เราจะดูรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง)
2. ตัวเลขตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ(ทุกอย่างจะเข้าที่ทันทีที่คุณรู้ว่าจำนวนธรรมชาติคืออะไร)
3. ศูนย์ - " " (เราจะอยู่ที่ไหนถ้าไม่มีเขา?)

ตัวอักษร Z

จำนวนเต็ม

“พระเจ้าสร้างตัวเลขธรรมชาติ ที่เหลือเป็นผลงานของมือมนุษย์” (ค) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันโครเนกเกอร์.

ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่เราใช้ในการนับวัตถุและนี่คือประวัติความเป็นมาของมัน - ความจำเป็นในการนับลูกศร สกิน ฯลฯ

1, 2, 3, 4...น

ตัวอักษรเอ็น

ดังนั้น คำจำกัดความนี้ไม่รวมถึง (คุณไม่สามารถนับสิ่งที่ไม่มีอยู่ตรงนั้นได้ไหม) และยิ่งกว่านั้นยังไม่รวมถึง ค่าลบ(มีแอปเปิ้ลไหม?)

นอกจากนี้ยังไม่รวมทั้งหมดอีกด้วย ตัวเลขเศษส่วน(เราไม่สามารถพูดว่า “ฉันมีแล็ปท็อป” หรือ “ฉันขายรถยนต์”)

ใดๆ จำนวนธรรมชาติ สามารถเขียนได้โดยใช้ตัวเลข 10 หลัก:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

14 จึงไม่ใช่ตัวเลข. นี่คือหมายเลข ประกอบด้วยตัวเลขอะไรบ้าง? ถูกต้องจากตัวเลขและ...

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป. จัดกลุ่มเมื่อบวกให้นับเร็วขึ้นและผิดพลาดน้อยลง

คุณสามารถพูดอะไรที่น่าสนใจเกี่ยวกับขั้นตอนนี้ได้บ้าง? แน่นอน คุณจะตอบว่า “มูลค่าของผลรวมไม่เปลี่ยนแปลงโดยการจัดเรียงเงื่อนไขใหม่” ดูเหมือนว่ากฎดั้งเดิมที่คุ้นเคยตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 แต่เมื่อแก้ไข ตัวอย่างที่ดีมัน ลืมทันที!

อย่าลืมเขานะ--ใช้การจัดกลุ่มเพื่อให้กระบวนการนับง่ายขึ้นสำหรับตัวคุณเองและลดโอกาสที่จะเกิดข้อผิดพลาดเพราะว่า เครื่องคิดเลขสอบ Unified Stateคุณจะไม่มีมัน

ดูด้วยตัวคุณเองว่าสำนวนใดที่รวบรวมได้ง่ายกว่า?

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

​​แน่นอนว่าอันที่สอง! แม้ว่าผลลัพธ์จะเหมือนกันก็ตาม แต่! เมื่อพิจารณาวิธีที่สอง คุณจะมีโอกาสทำผิดพลาดน้อยลงและคุณจะทำทุกอย่างเร็วขึ้น!

ดังนั้น ในหัวของคุณ คุณคงคิดแบบนี้:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

การลบ จัดกลุ่มเมื่อลบให้นับเร็วขึ้นและผิดพลาดน้อยลง

เมื่อลบ เราก็สามารถจัดกลุ่มตัวเลขที่เรากำลังลบได้ เช่น

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าการลบสลับกับการบวกในตัวอย่าง? คุณยังสามารถจัดกลุ่ม ตอบได้ ซึ่งก็ถูกต้อง เพียงแต่อย่าลืมเกี่ยวกับป้ายที่อยู่หน้าตัวเลข เช่น: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

ข้อควรจำ: ป้ายที่วางไม่ถูกต้องจะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ผิดพลาด

การคูณ วิธีคูณในหัวของคุณ

แน่นอนว่าการเปลี่ยนตำแหน่งของปัจจัยจะไม่เปลี่ยนมูลค่าของผลิตภัณฑ์ด้วย:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

ฉันจะไม่บอกคุณว่า “ใช้สิ่งนี้เมื่อแก้ตัวอย่าง” (คุณคงพอเข้าใจได้ใช่ไหม) แต่ฉันจะบอกวิธีคูณตัวเลขในหัวของคุณอย่างรวดเร็ว ดังนั้นจงดูตารางให้ดี:

และอีกเล็กน้อยเกี่ยวกับการคูณ แน่นอนคุณจำสองคนได้ โอกาสพิเศษ...คุณเดาได้ไหมว่าฉันหมายถึงอะไร? นี่คือเกี่ยวกับมัน:

เออ มาดูอีกที สัญญาณของการแบ่งแยก- มีกฎทั้งหมด 7 ข้อตามเกณฑ์การหาร ซึ่งคุณรู้กฎ 3 ข้อแรกอยู่แล้ว!

แต่ที่เหลือก็จำไม่ยากเลย

7 สัญญาณหารเลขลงตัว ที่จะช่วยให้คุณนับเลขในหัวได้อย่างรวดเร็ว!

• แน่นอนคุณรู้กฎสามข้อแรก
• หลักที่สี่และห้านั้นง่ายต่อการจดจำ - เมื่อหารด้วยและเราดูว่าผลรวมของตัวเลขที่ประกอบเป็นตัวเลขนั้นหารด้วยสิ่งนี้ลงตัวหรือไม่
• เมื่อหารด้วย เราจะดูที่ตัวเลขสองหลักสุดท้ายของตัวเลข - ตัวเลขที่หารด้วยนั้นลงตัวหรือไม่?
• เมื่อหารด้วย ตัวเลขจะต้องหารด้วยและด้วยพร้อมๆ กัน นั่นคือปัญญาทั้งหมด

ตอนนี้คุณกำลังคิดว่า “ทำไมฉันถึงต้องการทั้งหมดนี้”?

ประการแรก การสอบ Unified State กำลังเกิดขึ้น โดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลขและกฎเหล่านี้จะช่วยคุณในการดูตัวอย่าง

และประการที่สอง คุณคงเคยได้ยินปัญหาเกี่ยวกับ จีซีดีและ NOC- คำย่อนี้คุ้นเคยหรือไม่? มาเริ่มจำและทำความเข้าใจกัน

ตัวหารร่วมมาก (GCD) - จำเป็นสำหรับการลดเศษส่วนและคำนวณอย่างรวดเร็ว

สมมติว่าคุณมีตัวเลขสองตัว: และ เพื่ออะไร จำนวนมากที่สุดตัวเลขทั้งสองหารลงตัวหรือไม่? คุณจะตอบโดยไม่ลังเลเพราะคุณรู้ว่า:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

ตัวเลขทั่วไปในส่วนขยายคืออะไร? ใช่แล้ว 2 * 2 = 4 นั่นคือคำตอบของคุณ เมื่อคำนึงถึงตัวอย่างง่ายๆ นี้ คุณจะไม่ลืมอัลกอริธึมในการค้นหา จีซีดี- พยายาม "สร้าง" มันไว้ในหัวของคุณ เกิดขึ้น?

หากต้องการค้นหา GCD คุณต้อง:

1. แบ่งตัวเลขออกเป็น ปัจจัยสำคัญ(จำนวนที่ไม่สามารถหารด้วยสิ่งอื่นนอกจากตัวมันเองหรือด้วย เช่น 3, 7, 11, 13 เป็นต้น)
2. คูณพวกมัน

คุณเข้าใจไหมว่าทำไมเราต้องการสัญญาณของการแบ่งแยก? เพื่อให้ดูตัวเลขแล้วเริ่มหารได้ไม่เหลือเศษ.

ตัวอย่างเช่น ลองหา GCD ของตัวเลข 290 และ 485

หมายเลขแรก - .

มองดูก็บอกได้ทันทีว่าหารด้วย ลองเขียนดู:

เป็นไปไม่ได้ที่จะแบ่งออกเป็นสิ่งอื่นใด แต่คุณทำได้ และเราได้รับ:

290 = 29 * 5 * 2

ลองอีกหมายเลขหนึ่ง - 485

ตามเกณฑ์การหารจะต้องหารด้วยเครื่องหมายหารลงตัวเนื่องจากลงท้ายด้วย แบ่ง:

มาวิเคราะห์เลขเดิมกัน

• หารด้วยไม่ได้ (เลขหลักสุดท้ายเป็นเลขคี่)
• - หารด้วยไม่ได้ หมายความว่า จำนวนนั้นหารด้วยไม่ได้เช่นกัน
• โดยและโดยหารด้วยและหารด้วยไม่ได้ (ผลรวมของตัวเลขที่รวมอยู่ในตัวเลขหารด้วยและด้วยไม่ได้)
• หารด้วยไม่ได้เช่นกัน เนื่องจากหารด้วย และ,
• หารด้วยและหารด้วยและไม่ลงตัวเช่นกัน
• ไม่สามารถแบ่งออกได้หมด

ซึ่งหมายความว่าตัวเลขสามารถแบ่งออกเป็นและเท่านั้น

ตอนนี้เรามาหากัน จีซีดีตัวเลขเหล่านี้ นี่คือเลขอะไรคะ? ขวา, .

เรามาฝึกกันไหม?

ภารกิจที่ 1 ค้นหา gcd ของตัวเลข 6240 และ 6800

1) ฉันหารด้วยทันที เนื่องจากทั้งสองตัวเลขหารด้วย 100% ด้วย:

2) ฉันจะหารด้วยจำนวนที่เหลือจำนวนมาก (และ) เนื่องจากพวกมันหารลงตัวด้วย (ในเวลาเดียวกันฉันจะไม่ขยาย - มันเป็นตัวหารร่วมอยู่แล้ว):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) ฉันจะออกไปคนเดียวแล้วเริ่มดูตัวเลขและ ตัวเลขทั้งสองหารด้วย (ลงท้ายด้วยเลขคู่ (ในกรณีนี้ ลองนึกดูว่าจะหารด้วยอย่างไร)):

4) เราทำงานกับตัวเลขและ พวกเขามีตัวหารร่วมกันหรือไม่? มันไม่ง่ายเหมือนในขั้นตอนก่อนหน้านี้ ดังนั้นเราจะแยกพวกมันออกเป็นปัจจัยง่ายๆ:

5) ตามที่เราเห็น เราพูดถูก และไม่มีตัวหารร่วม และตอนนี้ เราจำเป็นต้องคูณ
จีซีดี

ภารกิจที่ 2 ค้นหา gcd ของตัวเลข 345 และ 324

ฉันไม่สามารถหาตัวหารร่วมอย่างน้อยหนึ่งตัวได้ที่นี่ ฉันจึงแยกมันออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ (น้อยที่สุด):

เป๊ะเลย gcd แต่ตอนแรกฉันไม่ได้ตรวจสอบการทดสอบการหารลงตัวด้วย และบางทีฉันคงไม่ต้องทำอะไรมากมายขนาดนี้ แต่คุณตรวจสอบแล้วใช่ไหม? ทำได้ดี! อย่างที่คุณเห็นมันไม่ใช่เรื่องยากเลย

ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) - ประหยัดเวลา ช่วยแก้ปัญหาด้วยวิธีที่ไม่ได้มาตรฐาน

สมมติว่าคุณมีตัวเลขสองตัว - และ จำนวนที่น้อยที่สุดที่สามารถหารได้คือจำนวนเท่าใด ไร้ร่องรอย(นั่นคือสมบูรณ์)? ยากที่จะจินตนาการ? นี่คือคำใบ้ภาพสำหรับคุณ:

คุณจำได้ไหมว่าจดหมายย่อมาจากอะไร? ถูกต้องครับ แค่ จำนวนทั้งหมด.แล้วไง จำนวนที่น้อยที่สุดเข้าที่พอดี x? -

ในกรณีนี้.

มีกฎหลายข้อเกิดขึ้นจากตัวอย่างง่ายๆ นี้

กฎสำหรับการค้นหา NOC อย่างรวดเร็ว

กฎข้อที่ 1: ถ้าจำนวนธรรมชาติตัวใดตัวหนึ่งในสองตัวหารด้วยจำนวนอื่นลงตัว ค่าที่มากกว่าของจำนวนสองตัวนั้นก็คือตัวคูณร่วมน้อย

ค้นหาตัวเลขต่อไปนี้:

• คสช. (7;21)
• คสช. (6;12)
• คสช. (5;15)
• คสช. (3;33)

แน่นอนคุณรับมือกับงานนี้ได้โดยไม่ยากและคุณได้คำตอบ - และ

โปรดทราบว่าในกฎเรากำลังพูดถึงตัวเลขสองตัว หากมีตัวเลขมากกว่านั้น กฎจะไม่ทำงาน

ตัวอย่างเช่น LCM (7;14;21) ไม่เท่ากับ 21 เนื่องจากหารด้วยไม่ได้

กฎข้อที่ 2 ถ้าจำนวนสองตัว (หรือมากกว่าสองตัว) เป็นจำนวนเฉพาะ ตัวคูณร่วมน้อยจะเท่ากับผลคูณของจำนวนนั้น

หา NOCตัวเลขต่อไปนี้:

• เอ็นโอซี (1;3;7)
• คสช. (3;7;11)
• นอค (2;3;7)
• เอ็นโอซี (3;5;2)

คุณนับไหม? นี่คือคำตอบ - , ; -

ดังที่คุณเข้าใจ มันเป็นไปไม่ได้เสมอไปที่จะหยิบ x นี้ออกมาอย่างง่ายดาย ดังนั้นจ่ายเพิ่มอีกนิด จำนวนเชิงซ้อนมีอัลกอริทึมดังต่อไปนี้:

เรามาฝึกกันไหม?

มาหาตัวคูณร่วมน้อย - LCM (345; 234)

เรามาแจกแจงตัวเลขแต่ละตัวกัน:

ทำไมฉันถึงเขียนทันที? จำสัญญาณของการหารด้วย: หารด้วย (หลักสุดท้ายเป็นเลขคู่) และผลรวมของตัวเลขหารด้วย ดังนั้นเราสามารถหารได้ทันทีโดยเขียนเป็น

ตอนนี้เราเขียนการสลายตัวที่ยาวที่สุดในบรรทัด - อันที่สอง:

เรามาเพิ่มตัวเลขจากการขยายครั้งแรกซึ่งไม่ได้อยู่ในสิ่งที่เราเขียนไว้:

หมายเหตุ: เราเขียนทุกอย่างยกเว้นเพราะเรามีอยู่แล้ว

ตอนนี้เราต้องคูณตัวเลขเหล่านี้ทั้งหมด!

ค้นหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ด้วยตัวเอง

คุณได้รับคำตอบอะไรบ้าง?

นี่คือสิ่งที่ฉันได้รับ:

คุณใช้เวลาค้นหานานเท่าไร NOC- เวลาของฉันคือ 2 นาที ฉันรู้จริงๆ เคล็ดลับหนึ่งข้อซึ่งผมขอแนะนำให้คุณเปิดตอนนี้เลย!

หากคุณใส่ใจมากคุณอาจสังเกตเห็นว่าเราค้นหาตัวเลขที่ระบุแล้ว จีซีดีและคุณสามารถแยกตัวประกอบของตัวเลขเหล่านี้จากตัวอย่างนั้นได้ ซึ่งจะทำให้งานของคุณง่ายขึ้น แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด

ดูภาพบางทีอาจมีความคิดอื่น ๆ เกิดขึ้นกับคุณ:

ดี? ฉันจะให้คำแนะนำแก่คุณ: ลองคูณ NOCและ จีซีดีในหมู่พวกเขาเองและจดปัจจัยทั้งหมดที่จะเกิดขึ้นเมื่อทำการคูณ คุณจัดการหรือไม่? คุณควรจะได้โซ่แบบนี้:

ลองดูให้ละเอียดยิ่งขึ้น: เปรียบเทียบตัวคูณกับวิธีการและการจัดวาง

คุณสามารถสรุปอะไรได้จากสิ่งนี้? ขวา! ถ้าเราคูณค่าต่างๆ NOCและ จีซีดีระหว่างกัน เราก็จะได้ผลคูณของตัวเลขเหล่านี้

จึงมีตัวเลขและความหมาย จีซีดี(หรือ NOC) เราสามารถหาได้ NOC(หรือ จีซีดี) ตามโครงการนี้:

1. ค้นหาผลคูณของตัวเลข:

2. แบ่งผลิตภัณฑ์ผลลัพธ์ตามของเรา จีซีดี (6240; 6800) = 80:

นั่นคือทั้งหมดที่

มาเขียนกฎในรูปแบบทั่วไป:

ลองหาดูนะครับ จีซีดีถ้ารู้ว่า:

คุณจัดการหรือไม่? -

ตัวเลขติดลบคือ "ตัวเลขเท็จ" และเป็นที่ยอมรับของมนุษยชาติ

ดังที่คุณเข้าใจแล้ว ตัวเลขเหล่านี้อยู่ตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ นั่นคือ:

ตัวเลขติดลบคุณสามารถเพิ่ม ลบ คูณ และหารได้ เช่นเดียวกับในธรรมชาติ ดูเหมือนว่ามีอะไรพิเศษเกี่ยวกับพวกเขาบ้าง? แต่ความจริงก็คือจำนวนลบ "ชนะ" ตำแหน่งที่ถูกต้องในวิชาคณิตศาสตร์จนถึงศตวรรษที่ 19 (จนถึงขณะนั้นมีการถกเถียงกันมากมายว่าพวกเขามีอยู่จริงหรือไม่)

จำนวนลบนั้นเกิดขึ้นเนื่องจากการดำเนินการกับจำนวนธรรมชาติเป็น "การลบ" อันที่จริง ลบออกแล้วคุณจะได้จำนวนลบ นั่นคือสาเหตุที่เซตของจำนวนลบมักถูกเรียกว่า “ส่วนขยายของเซต” ตัวเลขธรรมชาติ».

ผู้คนไม่รู้จักตัวเลขติดลบมาเป็นเวลานาน ดังนั้น, อียิปต์โบราณ, บาบิโลน และ กรีกโบราณ- ผู้ทรงคุณวุฒิในยุคนั้น ไม่รู้จักตัวเลขติดลบ และในกรณีที่ได้รับ รากเชิงลบในสมการ (เช่นของเรา) รากถูกปฏิเสธจนเป็นไปไม่ได้

ตัวเลขติดลบได้รับสิทธิ์ในการดำรงอยู่ครั้งแรกในจีน และจากนั้นในศตวรรษที่ 7 ในอินเดีย คุณคิดว่าอะไรคือสาเหตุของการยอมรับนี้ ถูกต้อง ตัวเลขติดลบเริ่มแสดงถึงหนี้สิน (ไม่เช่นนั้นจะเป็นการขาดแคลน) เชื่อกันว่าตัวเลขติดลบเป็นมูลค่าชั่วคราว ซึ่งผลจะเปลี่ยนเป็นบวก (นั่นคือ เงินจะยังคงถูกส่งคืนให้กับผู้ให้กู้) อย่างไรก็ตาม พรหมคุปต์ นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียได้พิจารณาจำนวนลบบนพื้นฐานที่เท่ากันกับจำนวนบวกแล้ว

ในยุโรป ประโยชน์ของตัวเลขติดลบตลอดจนความจริงที่ว่าตัวเลขเหล่านี้สามารถแสดงถึงหนี้สินได้ถูกค้นพบในเวลาต่อมา บางทีอาจเป็นหนึ่งพันปี การกล่าวถึงครั้งแรกถูกสังเกตเห็นในปี 1202 ใน "Book of the Abacus" โดย Leonard of Pisa (ฉันจะบอกทันทีว่าผู้เขียนหนังสือเล่มนี้ไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับหอเอนเมืองปิซา แต่ตัวเลขฟีโบนักชีเป็นผลงานของเขา (ชื่อเล่นของเลโอนาร์โดแห่งปิซาคือฟีโบนัชชี)) นอกจากนี้ ชาวยุโรปยังสรุปว่าตัวเลขติดลบอาจไม่เพียงหมายถึงหนี้สินเท่านั้น แต่ยังหมายถึงการขาดแคลนสิ่งใดๆ ด้วย แม้ว่าไม่ใช่ทุกคนที่จะรับรู้เรื่องนี้ก็ตาม

ดังนั้น ในศตวรรษที่ 17 ปาสคาลจึงเชื่อเช่นนั้น คุณคิดว่าเขาให้เหตุผลเรื่องนี้อย่างไร? มันเป็นความจริง “ไม่มีอะไรจะน้อยกว่าไม่มีอะไร” เสียงสะท้อนในช่วงเวลานั้นยังคงเป็นความจริงที่ว่าจำนวนลบและการดำเนินการลบนั้นแสดงด้วยสัญลักษณ์เดียวกัน - ลบ "-" และความจริง: . ตัวเลข “ ” เป็นบวก ซึ่งลบออก หรือลบ แล้วรวมเข้าด้วยกัน... บางสิ่งจากซีรีส์ “อะไรเกิดก่อน ไก่หรือไข่?” นี่เป็นปรัชญาทางคณิตศาสตร์ที่แปลกประหลาดมาก

ตัวเลขติดลบรับประกันสิทธิ์ในการดำรงอยู่ด้วยการถือกำเนิดของ เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อนักคณิตศาสตร์แนะนำแนวคิดเช่นแกนจำนวน

ตั้งแต่วินาทีนี้เป็นต้นไปความเท่าเทียมกันก็มาถึง อย่างไรก็ตาม ยังคงมีคำถามมากกว่าคำตอบ เช่น

สัดส่วน

สัดส่วนนี้เรียกว่า “ความขัดแย้งของอาร์โนด์” ลองคิดดูสิ มีอะไรน่าสงสัยเกี่ยวกับเรื่องนี้?

มาเถียงกัน "" มากกว่า "" จริงมั้ย? ดังนั้น ตามตรรกะแล้ว ด้านซ้ายสัดส่วนควรมากกว่าสัดส่วนที่ถูกต้อง แต่ก็เท่ากัน... นี่คือความขัดแย้ง

เป็นผลให้นักคณิตศาสตร์เห็นพ้องต้องกันว่าคาร์ล เกาส์ (ใช่ ใช่ นี่คือคนเดียวกับที่คำนวณผลรวม (หรือ) ตัวเลข) ยุติมันลงในปี พ.ศ. 2374 เขากล่าวว่าจำนวนลบมีสิทธิเท่ากับจำนวนบวก และการที่มันใช้ไม่ได้กับทุกสิ่งก็ไม่ได้มีความหมายอะไร เนื่องจากเศษส่วนก็ใช้ไม่ได้กับหลายสิ่งหลายอย่าง (มันไม่เกิดขึ้นที่คนขุดหลุมคุณไม่สามารถซื้อตั๋วหนังได้ ฯลฯ .)

นักคณิตศาสตร์สงบลงเฉพาะในศตวรรษที่ 19 เมื่อวิลเลียม แฮมิลตัน และแฮร์มันน์ กราสมันน์ สร้างทฤษฎีจำนวนลบ

พวกมันขัดแย้งกันมาก ตัวเลขติดลบพวกนี้

การเกิดขึ้นของ “ความว่างเปล่า” หรือชีวประวัติของศูนย์

ในวิชาคณิตศาสตร์ - หมายเลขพิเศษ- เมื่อมองแวบแรกไม่มีอะไรเลย: เพิ่มหรือลบ - จะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง แต่คุณเพียงแค่ต้องเพิ่มไปทางขวาเป็น " " และจำนวนผลลัพธ์จะมากกว่าจำนวนเดิมหลายเท่า ด้วยการคูณด้วยศูนย์เราจะเปลี่ยนทุกสิ่งให้กลายเป็นความว่างเปล่า แต่เมื่อหารด้วย "ไม่มีอะไร" นั่นคือเราทำไม่ได้ พูดได้คำเดียวว่าเลขวิเศษ)

ประวัติศาสตร์ของศูนย์นั้นยาวนานและซับซ้อน พบร่องรอยของศูนย์ในงานเขียนของชาวจีนในสหัสวรรษที่ 2 และแม้กระทั่งก่อนหน้านี้ในหมู่ชาวมายันด้วยซ้ำ การใช้สัญลักษณ์ศูนย์เป็นครั้งแรกดังที่เป็นอยู่ในทุกวันนี้ มีให้เห็นในหมู่นักดาราศาสตร์ชาวกรีก

มีหลายเวอร์ชันว่าทำไมจึงเลือกการกำหนดนี้ว่า "ไม่มีอะไร" นักประวัติศาสตร์บางคนมีแนวโน้มที่จะเชื่อว่านี่คือโอไมครอนนั่นคือ จดหมายฉบับแรก คำภาษากรีกไม่มีอะไร - โอเดน ตามเวอร์ชันอื่นคำว่า "obol" (เหรียญที่แทบไม่มีค่า) ทำให้สัญลักษณ์ศูนย์มีชีวิตชีวา

ศูนย์ (หรือ null) เช่น สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ปรากฏครั้งแรกในหมู่ชาวอินเดีย (โปรดทราบว่าตัวเลขติดลบเริ่ม "พัฒนา" ที่นั่น) หลักฐานที่เชื่อถือได้หลักฐานแรกของการบันทึกวันที่เป็นศูนย์คือ 876 และในนั้น “ ” เป็นองค์ประกอบของตัวเลข

Zero ก็มายุโรปช้าเช่นกัน - เฉพาะในปี 1600 และเช่นเดียวกับตัวเลขติดลบ ก็พบกับการต่อต้าน (คุณจะทำอย่างไร พวกเขาก็เป็นแบบนั้น ชาวยุโรป)

“Zero มักถูกเกลียดชัง หวาดกลัวมานาน หรือแม้แต่ถูกแบน” Charles Safe นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน เขียน ดังนั้น, สุลต่านตุรกีอับดุล ฮามิดที่ 2 ปลายศตวรรษที่ 19- สั่งให้เซ็นเซอร์ของเขาลบสูตรของน้ำ H2O ออกจากตำราเคมีทุกเล่ม โดยเอาตัวอักษร "O" เป็นศูนย์และไม่ต้องการให้ชื่อย่อของเขาถูกทำให้เสื่อมเสียชื่อเสียงเนื่องจากใกล้กับศูนย์ที่ถูกดูหมิ่น"

บนอินเทอร์เน็ตคุณจะพบวลี: “Zero เป็นพลังที่ทรงพลังที่สุดในจักรวาล เขาสามารถทำอะไรก็ได้! Zero สร้างระเบียบในวิชาคณิตศาสตร์ และมันยังทำให้เกิดความสับสนวุ่นวายอีกด้วย” ตรงประเด็นครับ :)

สรุปส่วนและสูตรพื้นฐาน

เซตของจำนวนเต็มประกอบด้วย 3 ส่วน:

• จำนวนธรรมชาติ (เราจะดูรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง)
• ตัวเลขตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ
• ศูนย์ - " "

เซตของจำนวนเต็มจะแสดงแทน ตัวอักษร Z

1. จำนวนธรรมชาติ

ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่เราใช้ในการนับวัตถุ

เซตของจำนวนธรรมชาติจะแสดงแทน ตัวอักษรเอ็น

ในการดำเนินการกับจำนวนเต็ม คุณจะต้องสามารถค้นหา GCD และ LCM ได้

ตัวหารร่วมมาก (GCD)

หากต้องการค้นหา GCD คุณต้อง:

1. แยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ (จำนวนที่ไม่สามารถหารด้วยสิ่งอื่นใดได้นอกจากตัวมันเองหรือด้วย เป็นต้น)
2. เขียนตัวประกอบที่เป็นส่วนหนึ่งของตัวเลขทั้งสอง.
3. คูณพวกมัน

ตัวคูณร่วมน้อย (LCM)

ในการค้นหา NOC ที่คุณต้องการ:

1. แบ่งตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ (คุณรู้วิธีการทำเช่นนี้เป็นอย่างดีแล้ว)
2. เขียนปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายตัวเลขตัวใดตัวหนึ่ง (ควรใช้สายโซ่ที่ยาวที่สุด)
3. เพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไปจากการขยายตัวเลขที่เหลือลงไป
4. ค้นหาผลคูณของปัจจัยผลลัพธ์

2. จำนวนลบ

เหล่านี้เป็นตัวเลขที่ตรงข้ามกับธรรมชาติ กล่าวคือ:

ตอนนี้ฉันอยากได้ยินคุณ...

ฉันหวังว่าคุณจะชื่นชอบ "เทคนิค" ที่เป็นประโยชน์อย่างยิ่งในส่วนนี้ และเข้าใจว่าสิ่งเหล่านี้จะช่วยคุณในการสอบได้อย่างไร

และที่สำคัญกว่านั้นคือในชีวิต ฉันไม่ได้พูดถึงมัน แต่เชื่อฉันเถอะอันนี้เป็นเรื่องจริง ความสามารถในการนับอย่างรวดเร็วและไม่มีข้อผิดพลาดช่วยให้คุณประหยัดได้ในหลายสถานการณ์ในชีวิต

ตอนนี้ถึงตาคุณแล้ว!

เขียนว่า คุณจะใช้วิธีการจัดกลุ่ม การทดสอบการหาร GCD และ LCM ในการคำนวณหรือไม่

บางทีคุณอาจเคยใช้มันมาก่อน? ที่ไหนและอย่างไร?

บางทีคุณอาจมีคำถาม หรือข้อเสนอแนะ

เขียนความคิดเห็นว่าคุณชอบบทความอย่างไร

และขอให้โชคดีในการสอบ!

ในศตวรรษที่ห้าก่อนคริสต์ศักราช นักปรัชญาชาวกรีกโบราณ Zeno of Elea ได้คิดค้น aporia ที่มีชื่อเสียงของเขาขึ้นมา ซึ่งที่มีชื่อเสียงที่สุดก็คือ aporia "Achilles and the Tortoise" นี่คือสิ่งที่ดูเหมือน:

สมมติว่าจุดอ่อนวิ่งเร็วกว่าเต่าสิบเท่าและตามหลังเต่าไปหนึ่งพันก้าว ในช่วงเวลาที่จุดอ่อนต้องใช้เพื่อวิ่งระยะนี้ เต่าจะคลานไปร้อยขั้นในทิศทางเดียวกัน เมื่ออคิลลีสวิ่งร้อยก้าว เต่าจะคลานไปอีกสิบก้าว ไปเรื่อยๆ กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด อคิลลีสจะตามเต่าไม่ทัน

เหตุผลนี้สร้างความตกใจให้กับคนรุ่นต่อๆ ไป Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... พวกเขาทั้งหมดถือว่า Aporia ของ Zeno ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ช็อกหนักมากจน” ...การอภิปรายดำเนินมาจนถึงทุกวันนี้ เพื่อให้ได้ความเห็นร่วมกันเกี่ยวกับแก่นแท้ของความขัดแย้ง ชุมชนวิทยาศาสตร์จนถึงขณะนี้ยังเป็นไปไม่ได้...เรามีส่วนร่วมในการศึกษาประเด็นนี้ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์, ทฤษฎีเซต , ฟิสิกส์ใหม่ และ แนวทางปรัชญา- ไม่มีวิธีใดที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปในการแก้ปัญหา..."[วิกิพีเดีย "Aporia ของ Zeno" ทุกคนเข้าใจว่าพวกเขากำลังถูกหลอก แต่ไม่มีใครเข้าใจว่าการหลอกลวงประกอบด้วยอะไร

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ฉีโนใน Aporia ของเขาแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนจากปริมาณเป็น การเปลี่ยนแปลงนี้หมายถึงการใช้งานแทนที่จะเป็นแบบถาวร เท่าที่ฉันเข้าใจ, เครื่องมือทางคณิตศาสตร์การใช้หน่วยวัดแบบแปรผันยังไม่ได้รับการพัฒนา หรือไม่ได้นำไปใช้กับ aporia ของ Zeno การใช้ตรรกะตามปกติของเราจะนำเราเข้าสู่กับดัก เนื่องจากความเฉื่อยของการคิด เราใช้หน่วยเวลาคงที่กับค่าส่วนกลับ กับ จุดทางกายภาพจากมุมมอง ดูเหมือนว่าเวลาจะเดินช้าลงจนกระทั่งหยุดสนิทในจังหวะที่อคิลลีสไล่ตามเต่าทัน หากเวลาหยุดลง Achilles จะไม่สามารถวิ่งเร็วกว่าเต่าได้อีกต่อไป

ถ้าเราเปลี่ยนตรรกะตามปกติ ทุกอย่างก็เข้าที่ อคิลลีสวิ่งไปด้วย ความเร็วคงที่- แต่ละส่วนต่อมาของเส้นทางของเขาจะสั้นกว่าส่วนก่อนหน้าสิบเท่า ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการเอาชนะจึงน้อยกว่าครั้งก่อนถึงสิบเท่า หากเราใช้แนวคิดเรื่อง "อนันต์" ในสถานการณ์นี้ ก็คงจะถูกต้องที่จะพูดว่า "อคิลลีสจะไล่ตามเต่าอย่างรวดเร็วอย่างไม่สิ้นสุด"

จะหลีกเลี่ยงกับดักเชิงตรรกะนี้ได้อย่างไร? อยู่ข้างใน หน่วยคงที่การวัดเวลาและไม่ไปเป็นปริมาณซึ่งกันและกัน ในภาษาของ Zeno มีลักษณะดังนี้:

ในเวลาที่อคิลลีสต้องวิ่งพันก้าว เต่าจะคลานไปในทิศทางเดียวกันนับร้อยก้าว สำหรับช่วงเวลาต่อไป เท่ากับครั้งแรกอคิลลีสจะวิ่งอีกพันก้าว และเต่าจะคลานไปหนึ่งร้อยก้าว ตอนนี้อคิลลิสนำหน้าเต่าไปแปดร้อยก้าว

แนวทางนี้อธิบายความเป็นจริงได้อย่างเพียงพอโดยไม่มีความขัดแย้งทางตรรกะใดๆ แต่มันไม่ใช่ โซลูชั่นที่สมบูรณ์ปัญหา. คำกล่าวของไอน์สไตน์เกี่ยวกับความเร็วแสงที่ไม่อาจต้านทานได้นั้นคล้ายคลึงกับเรื่อง Aporia เรื่อง "Achilles and the Tortoise" ของ Zeno มาก เรายังต้องศึกษา คิดใหม่ และแก้ไขปัญหานี้ และต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาไม่ใช่ในจำนวนมากไม่สิ้นสุด แต่ต้องค้นหาในหน่วยการวัด

Aporia ที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งของ Zeno เล่าเกี่ยวกับลูกศรบิน:

ลูกธนูที่บินอยู่นั้นไม่เคลื่อนไหว เนื่องจากมันจะอยู่นิ่งทุกช่วงเวลา และเนื่องจากมันอยู่นิ่งอยู่ทุกช่วงเวลา มันจึงอยู่นิ่งอยู่เสมอ

ใน aporia นี้ ความขัดแย้งเชิงตรรกะจะเอาชนะได้ง่ายมาก - ก็เพียงพอที่จะชี้แจงว่าในแต่ละช่วงเวลาลูกศรที่บินอยู่จะหยุดนิ่ง ณ จุดต่าง ๆ ในอวกาศ ซึ่งในความเป็นจริงคือการเคลื่อนไหว อีกประเด็นหนึ่งที่ต้องสังเกตที่นี่ จากรูปถ่ายของรถยนต์คันหนึ่งบนท้องถนนไม่สามารถระบุความจริงของการเคลื่อนไหวหรือระยะทางได้ ในการพิจารณาว่ารถยนต์กำลังเคลื่อนที่อยู่หรือไม่ คุณต้องถ่ายรูปสองรูปจากจุดเดียวกัน ช่วงเวลาที่แตกต่างกันเวลาแต่ไม่สามารถกำหนดระยะทางได้ ในการกำหนดระยะทางถึงรถ คุณต้องถ่ายรูปสองรูป จุดที่แตกต่างกันพื้นที่ ณ จุดหนึ่ง แต่มันเป็นไปไม่ได้ที่จะระบุความจริงของการเคลื่อนไหวจากพวกเขา (โดยธรรมชาติแล้วยังจำเป็นต้องมีข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณตรีโกณมิติจะช่วยคุณ) สิ่งที่ฉันต้องการจะชี้ให้เห็น ความสนใจเป็นพิเศษคือจุดสองจุดในเวลาและสองจุดในอวกาศเป็นสิ่งที่ต่างกันซึ่งไม่ควรสับสนเนื่องจากให้โอกาสในการวิจัยที่แตกต่างกัน

วันพุธที่ 4 กรกฎาคม 2018

ความแตกต่างระหว่างชุดและชุดหลายชุดมีการอธิบายไว้เป็นอย่างดีในวิกิพีเดีย มาดูกัน.

ดังที่คุณเห็นว่า “ในเซตหนึ่งจะมีองค์ประกอบที่เหมือนกันไม่ได้” แต่หากมีองค์ประกอบที่เหมือนกันในชุดหนึ่ง เซตดังกล่าวจะเรียกว่า “มัลติเซต” สิ่งมีชีวิตที่มีเหตุผลจะไม่มีวันเข้าใจตรรกะที่ไร้สาระเช่นนี้ นี่คือระดับ นกแก้วพูดได้และฝึกลิงที่ไม่มีสติปัญญาจากคำว่า "สมบูรณ์" นักคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นผู้ฝึกสอนธรรมดาๆ โดยสั่งสอนแนวคิดที่ไร้สาระของพวกเขาให้เราฟัง

กาลครั้งหนึ่ง วิศวกรผู้สร้างสะพานอยู่ในเรือใต้สะพานขณะทดสอบสะพาน หากสะพานพัง วิศวกรธรรมดาๆ ก็เสียชีวิตภายใต้ซากปรักหักพังที่เขาสร้างขึ้น หากสะพานสามารถรับน้ำหนักได้ วิศวกรผู้มีความสามารถก็สร้างสะพานอื่นขึ้นมา

ไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะซ่อนอยู่เบื้องหลังวลีที่ว่า “ไอ้บ้า ฉันอยู่ในบ้าน” หรือค่อนข้างจะเป็น “คณิตศึกษา” แนวคิดที่เป็นนามธรรม"มีสายสะดือเส้นหนึ่งที่เชื่อมโยงพวกเขากับความเป็นจริงอย่างแยกไม่ออกสายสะดือนี้คือเงินสมัคร ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ให้กับนักคณิตศาสตร์เอง

เราเรียนคณิตศาสตร์ดีมาก และตอนนี้เรากำลังนั่งอยู่ที่เครื่องคิดเงิน แจกเงินเดือน นักคณิตศาสตร์มาหาเราเพื่อเงินของเขา เรานับจำนวนเงินทั้งหมดให้เขาและวางลงบนโต๊ะของเราเป็นกองต่างๆ โดยเราใส่ธนบัตรที่มีสกุลเงินเดียวกัน แล้วเราก็หยิบบิลหนึ่งใบจากแต่ละกองไปมอบให้นักคณิตศาสตร์" ชุดทางคณิตศาสตร์เงินเดือน" เราอธิบายให้นักคณิตศาสตร์ฟังว่าเขาจะได้รับบิลที่เหลือก็ต่อเมื่อเขาพิสูจน์ว่าเซตที่ไม่มีองค์ประกอบเหมือนกันนั้นไม่เท่ากับเซตที่มีองค์ประกอบเหมือนกัน นี่คือจุดเริ่มต้นของความสนุก

ก่อนอื่น ตรรกะของเจ้าหน้าที่จะได้ผล: “สิ่งนี้ใช้ได้กับผู้อื่น แต่ไม่ใช่กับฉัน!” จากนั้นพวกเขาจะเริ่มทำให้เรามั่นใจว่าตั๋วเงินประเภทเดียวกันมีหมายเลขบิลที่แตกต่างกัน ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถพิจารณาว่าเป็นองค์ประกอบเดียวกันได้ เอาล่ะ เรามานับเงินเดือนเป็นเหรียญกันดีกว่า - ไม่มีตัวเลขบนเหรียญ ที่นี่นักคณิตศาสตร์จะเริ่มจดจำฟิสิกส์อย่างเมามัน: มีเหรียญที่แตกต่างกัน ปริมาณที่แตกต่างกันโคลน, โครงสร้างคริสตัลและการจัดเรียงอะตอมในแต่ละเหรียญมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว...

และตอนนี้ฉันมีมากที่สุด สนใจสอบถาม: เส้นตรงที่องค์ประกอบของ multiset กลายเป็นองค์ประกอบของ set และในทางกลับกันอยู่ที่ไหน? ไม่มีบรรทัดดังกล่าว - ทุกอย่างถูกตัดสินโดยหมอผีวิทยาศาสตร์ไม่ได้ใกล้เคียงกับการโกหกที่นี่ด้วยซ้ำ

ดูนี่. เราคัดเลือกสนามฟุตบอลที่มีพื้นที่สนามเดียวกัน พื้นที่ในทุ่งเหมือนกัน - ซึ่งหมายความว่าเรามีชุดหลายชุด แต่ถ้าเราดูชื่อสนามเดียวกันนี้ เราจะได้หลายชื่อ เพราะชื่อต่างกัน อย่างที่คุณเห็น ชุดองค์ประกอบเดียวกันนั้นเป็นทั้งเซตและมัลติเซต ข้อไหนถูกต้อง? และที่นี่นักคณิตศาสตร์ - หมอผี - นักแม่นปืนดึงเอซออกมาจากแขนเสื้อของเขาและเริ่มบอกเราเกี่ยวกับชุดหรือชุดหลายชุด ไม่ว่าในกรณีใดเขาจะโน้มน้าวเราว่าเขาพูดถูก

เพื่อทำความเข้าใจว่าหมอผียุคใหม่ดำเนินการอย่างไรกับทฤษฎีเซตโดยเชื่อมโยงกับความเป็นจริงก็เพียงพอที่จะตอบคำถามหนึ่งข้อ: องค์ประกอบของชุดหนึ่งแตกต่างจากองค์ประกอบของชุดอื่นอย่างไร ฉันจะแสดงให้คุณเห็น โดยไม่มี "สิ่งที่เป็นไปได้ว่าไม่ใช่ทั้งหมดเดียว" หรือ "ไม่สามารถเป็นไปได้ในภาพรวมเดียว"

วันอาทิตย์ที่ 18 มีนาคม 2018

ผลรวมของตัวเลขคือการเต้นรำของหมอผีกับแทมบูรีนซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์เลย ใช่ ในบทเรียนคณิตศาสตร์ เราสอนให้ค้นหาผลรวมของตัวเลขแล้วนำไปใช้ แต่นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงเป็นหมอผี เพื่อสอนทักษะและสติปัญญาแก่ลูกหลานของพวกเขา ไม่เช่นนั้นหมอผีก็จะตายไป

คุณต้องการหลักฐานหรือไม่? เปิด Wikipedia แล้วลองค้นหาหน้า "ผลรวมของตัวเลข" เธอไม่มีอยู่จริง ไม่มีสูตรทางคณิตศาสตร์ที่สามารถใช้เพื่อค้นหาผลรวมของตัวเลขใดๆ ก็ได้ ท้ายที่สุดแล้วตัวเลขก็คือ สัญลักษณ์กราฟิกด้วยความช่วยเหลือที่เราเขียนตัวเลขและในภาษาคณิตศาสตร์งานจะมีลักษณะดังนี้: "ค้นหาผลรวมของสัญลักษณ์กราฟิกที่แสดงถึงตัวเลขใดๆ" นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถแก้ปัญหานี้ได้ แต่หมอผีสามารถทำได้ง่ายๆ

เรามาดูกันว่าเราทำอะไรและทำอย่างไรเพื่อหาผลรวมของตัวเลข หมายเลขที่กำหนด- เอาล่ะ เรามีเลข 12345 กัน จะต้องทำอย่างไรจึงจะหาผลรวมของเลขตัวนี้ได้? พิจารณาขั้นตอนทั้งหมดตามลำดับ

1. เขียนหมายเลขลงบนกระดาษ เราทำอะไรไปแล้วบ้าง? เราได้แปลงตัวเลขให้เป็นสัญลักษณ์ตัวเลขแบบกราฟิก นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

2. เราตัดรูปภาพผลลัพธ์หนึ่งรูปภาพออกเป็นหลายรูปภาพที่มีตัวเลขแต่ละตัว การตัดภาพไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

3. แปลงสัญลักษณ์กราฟิกแต่ละรายการเป็นตัวเลข นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

4. เพิ่มตัวเลขผลลัพธ์ ตอนนี้เป็นคณิตศาสตร์

ผลรวมของตัวเลข 12345 คือ 15 นี่คือ "หลักสูตรการตัดเย็บ" ที่สอนโดยหมอผีที่นักคณิตศาสตร์ใช้ แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ไม่สำคัญว่าเราจะเขียนตัวเลขในระบบตัวเลขใด ดังนั้นใน ระบบที่แตกต่างกันในแคลคูลัส ผลรวมของตัวเลขที่มีจำนวนเท่ากันจะต่างกัน ในทางคณิตศาสตร์ ระบบตัวเลขจะแสดงเป็นตัวห้อยทางด้านขวาของตัวเลข กับ จำนวนมาก 12345 ฉันไม่อยากหลอกหัว มาดูหมายเลข 26 จากบทความเกี่ยวกับ ลองเขียนตัวเลขนี้ในระบบเลขฐานสอง ฐานแปด ทศนิยม และเลขฐานสิบหก เราจะไม่มองทุกขั้นตอนด้วยกล้องจุลทรรศน์ เราได้ทำไปแล้ว มาดูผลลัพธ์กันดีกว่า

อย่างที่คุณเห็น ในระบบตัวเลขที่ต่างกัน ผลรวมของตัวเลขของตัวเลขเดียวกันจะแตกต่างกัน ผลลัพธ์นี้ไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ เหมือนกับว่าคุณกำหนดพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นเมตรและเซนติเมตร คุณจะได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

ศูนย์มีลักษณะเหมือนกันในทุกระบบตัวเลขและไม่มีผลรวมของตัวเลข นี่เป็นอีกข้อโต้แย้งที่สนับสนุนความจริงที่ว่า คำถามสำหรับนักคณิตศาสตร์: สิ่งที่ไม่ใช่ตัวเลขที่กำหนดในคณิตศาสตร์เป็นอย่างไร? อะไรนะสำหรับนักคณิตศาสตร์ไม่มีอะไรอยู่เลยนอกจากตัวเลข? ฉันสามารถอนุญาตให้หมอผีทำได้ แต่ไม่ใช่สำหรับนักวิทยาศาสตร์ ความจริงไม่ใช่แค่เกี่ยวกับตัวเลขเท่านั้น

ผลลัพธ์ที่ได้ควรถือเป็นข้อพิสูจน์ว่าระบบตัวเลขเป็นหน่วยวัดของตัวเลข ท้ายที่สุดเราไม่สามารถเปรียบเทียบตัวเลขด้วยได้ หน่วยที่แตกต่างกันการวัด หากการกระทำแบบเดียวกันโดยใช้หน่วยการวัดปริมาณเดียวกันต่างกันทำให้ได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันหลังจากเปรียบเทียบแล้ว ก็จะไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์เลย

คณิตศาสตร์ที่แท้จริงคืออะไร? นี่คือเมื่อผล การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับขนาดของตัวเลข หน่วยวัดที่ใช้ และผู้ดำเนินการ

ลงชื่อที่ประตู เขาเปิดประตูแล้วพูดว่า:

โอ้! นี่มันห้องน้ำหญิงไม่ใช่เหรอ?
- หญิงสาว! นี่คือห้องปฏิบัติการสำหรับศึกษาความบริสุทธิ์ของจิตวิญญาณที่ไม่สิ้นสุดระหว่างการขึ้นสู่สวรรค์! รัศมีอยู่ด้านบนและลูกศรขึ้น ห้องน้ำอะไรอีก?

หญิง... รัศมีบนและลูกศรล่างเป็นชาย

หากงานศิลปะการออกแบบดังกล่าวกะพริบต่อหน้าต่อตาคุณหลายครั้งต่อวัน

จึงไม่น่าแปลกใจที่คุณพบไอคอนแปลก ๆ ในรถของคุณ:

โดยส่วนตัวแล้วฉันพยายามเห็นลบสี่องศาในคนเซ่อ (ภาพเดียว) (องค์ประกอบของภาพหลายภาพ: เครื่องหมายลบ, หมายเลขสี่, การกำหนดองศา) และฉันไม่คิดว่าผู้หญิงคนนี้โง่เลย มีความรู้ในวิชาฟิสิกส์- เธอมีทัศนคติแบบเหมารวมที่โค้งงอ ภาพกราฟิก- และนักคณิตศาสตร์ก็สอนเราเรื่องนี้ตลอดเวลา นี่คือตัวอย่าง

1A ไม่ใช่ "ลบสี่องศา" หรือ "หนึ่ง a" นี่คือ "คนขี้" หรือเลข "ยี่สิบหก" ในรูปแบบเลขฐานสิบหก คนเหล่านั้นที่ทำงานในระบบตัวเลขนี้อย่างต่อเนื่องจะรับรู้ตัวเลขและตัวอักษรเป็นสัญลักษณ์กราฟิกเดียวโดยอัตโนมัติ

คุณสมบัติพีชคณิต

ลิงค์

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2010.

• จูบตำรวจ
• ทุกสิ่ง

ดูว่า "จำนวนเต็ม" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:

จำนวนเต็มเกาส์เซียน- (ตัวเลขเกาส์ จำนวนเต็ม จำนวนเชิงซ้อน) เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งทั้งส่วนจริงและส่วนจินตภาพเป็นจำนวนเต็ม เปิดตัวโดยเกาส์ในปี ค.ศ. 1825 สารบัญ 1 ความหมายและการดำเนินการ 2 ทฤษฎีการหารลงตัว ... Wikipedia

กรอกตัวเลข- วี กลศาสตร์ควอนตัมและสถิติควอนตัม ตัวเลขแสดงระดับความครอบครองของควอนตัม สถานะของกลไกควอนตัมของคน ระบบที่มีอนุภาคเหมือนกันจำนวนมาก สำหรับระบบ hc ที่มีการหมุนครึ่งจำนวนเต็ม (เฟอร์มิออน) hz มีความหมายเพียงสองความหมายเท่านั้น... สารานุกรมทางกายภาพ

เบอร์ซัคเกอร์แมน- ตัวเลขซัคเกอร์แมนเป็นตัวเลขธรรมชาติที่หารด้วยผลคูณของตัวเลข ตัวอย่าง 212 คือหมายเลขของซัคเกอร์แมน ตั้งแต่ และ ลำดับ จำนวนเต็มทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 9 เป็นตัวเลขของซัคเกอร์แมน ตัวเลขทั้งหมดรวมทั้งศูนย์จะไม่ใช่... ... Wikipedia

จำนวนเต็มพีชคณิต- จำนวนเต็มพีชคณิตเป็นรากที่ซับซ้อน (และโดยเฉพาะอย่างยิ่งจำนวนจริง) ของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มและมีค่าสัมประสิทธิ์นำหน้า เท่ากับหนึ่ง- เกี่ยวกับการบวกและการคูณจำนวนเชิงซ้อน จำนวนเต็มพีชคณิต ... ... Wikipedia

จำนวนเต็มเชิงซ้อน- ตัวเลขเกาส์เซียน ตัวเลขที่อยู่ในรูป a + bi โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็ม (เช่น 4 7i) แสดงทางเรขาคณิตด้วยจุดของระนาบเชิงซ้อนที่มีพิกัดจำนวนเต็ม C.C.H. ได้รับการแนะนำโดย K. Gauss ในปี พ.ศ. 2374 โดยเกี่ยวข้องกับการวิจัยทางทฤษฎี... ...

เบอร์คัลเลน- ในทางคณิตศาสตร์ ตัวเลขคัลเลนเป็นตัวเลขธรรมชาติที่อยู่ในรูปแบบ n 2n + 1 (เขียนเป็น Cn) เจมส์ คัลเลน ศึกษาตัวเลขคัลเลนครั้งแรกในปี พ.ศ. 2448 ตัวเลขคัลเลนคือ ชนิดพิเศษหมายเลขโปรตา คุณสมบัติ ในปี 1976 คริสโตเฟอร์ ฮูลีย์ (คริสโตเฟอร์... ... วิกิพีเดีย

หมายเลขจุดคงที่- หมายเลขจุดคงที่เป็นรูปแบบสำหรับแสดงจำนวนจริงในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์เป็นจำนวนเต็ม ในกรณีนี้ จำนวน x เองและการแทนจำนวนเต็ม x′ มีความสัมพันธ์กันโดยสูตร โดยที่ z คือราคาของหลักต่ำสุด ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดเลขคณิตด้วย... ... Wikipedia

กรอกตัวเลข- ในกลศาสตร์ควอนตัมและสถิติควอนตัม ตัวเลขบ่งชี้ระดับการเติมสถานะควอนตัมด้วยอนุภาคควอนตัม ระบบเครื่องกลอนุภาคที่เหมือนกันจำนวนมาก (ดูอนุภาคที่เหมือนกัน) สำหรับระบบอนุภาคที่มี Spin ครึ่งจำนวนเต็ม... ... สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต

เบอร์เลย์แลนด์- หมายเลขเลย์แลนด์เป็นจำนวนธรรมชาติ แทนได้เป็น xy + yx โดยที่ x และ y เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 หมายเลขเลย์แลนด์ 15 ตัวแรกคือ 8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, ลำดับ 368, 512, 593, 945, 1124, 1649 A076980 ใน OEIS.... ... Wikipedia

จำนวนเต็มพีชคณิต- ตัวเลขที่เป็นรากของสมการในรูป xn + a1xn ​​​​1 +... + an = 0 โดยที่ a1,..., an เป็นจำนวนเต็ม สรุปตัวเลข- ตัวอย่างเช่น x1 = 2 + C.a h. เนื่องจาก x12 4x1 + 1 = 0 ทฤษฎีของ C.a. h. เกิดขึ้นใน 30 40 x ปี. ศตวรรษที่ 19 ที่เกี่ยวข้องกับงานวิจัยของ K.… … สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต

หนังสือ

• เลขคณิต: จำนวนเต็ม เรื่องการหารเลขลงตัว การวัดปริมาณ ระบบการวัดแบบเมตริก สามัญ, Kiselev, Andrey Petrovich ขอเชิญชวนนักอ่านอ่านหนังสือดีเด่น ครูประจำบ้านและคณิตศาสตร์โดย A.P. Kiseleva (1852-1940) ซึ่งมีหลักสูตรเลขคณิตอย่างเป็นระบบ หนังสือเล่มนี้ประกอบด้วยหกส่วน...