దిక్సూచిని ఉపయోగించి విభాగాన్ని ఎలా విభజించాలి. గ్రాఫిక్ పనిని నిర్వహించడానికి విద్యా మరియు పద్దతి మాన్యువల్ “జ్యామితీయ నిర్మాణాలను నిర్వహించడానికి సాంకేతికతలు”

అన్ని చిత్రాల ఆకృతులు వివిధ పంక్తుల ద్వారా ఏర్పడతాయి. ప్రధాన పంక్తులు సరళ రేఖ, వృత్తం మరియు వక్రరేఖల శ్రేణి. చిత్రాల ఆకృతులను గీసేటప్పుడు, రేఖాగణిత నిర్మాణాలు మరియు సంయోగాలు ఉపయోగించబడతాయి.

క్రమశిక్షణ చదువుతున్నప్పుడు " వివరణాత్మక జ్యామితిమరియు ఇంజనీరింగ్ గ్రాఫిక్స్" విద్యార్థులు తప్పనిసరిగా రేఖాగణిత నిర్మాణాలు మరియు కనెక్షన్‌లను నిర్వహించే నియమాలు మరియు క్రమాన్ని నేర్చుకోవాలి.

ఈ విషయంలో ఉత్తమ మార్గంనిర్మాణ నైపుణ్యాల సముపార్జన సంక్లిష్ట భాగాల ఆకృతులను గీయడానికి సంబంధించిన పనులు.

మీరు ప్రారంభించడానికి ముందు నియంత్రణ పని, మీరు టెక్నిక్ నేర్చుకోవాలి రేఖాగణిత నిర్మాణాలుమరియు పద్దతి మాన్యువల్ ప్రకారం కనెక్షన్లు.

1. విభాగాలు మరియు కోణాల విభజన

1.1 ఒక విభాగాన్ని సగానికి విభజించడం

కోసం విభజించండి ఈ విభాగంసగంలో AB.

సెగ్మెంట్ AB చివరల నుండి, కేంద్రాల నుండి, మేము R వ్యాసార్థంతో సర్కిల్‌ల ఆర్క్‌లను గీస్తాము, దీని పరిమాణం AB సెగ్మెంట్‌లో సగం కంటే కొంచెం పెద్దదిగా ఉండాలి (Fig. 1). ఈ ఆర్క్‌లు M మరియు N పాయింట్ల వద్ద కలుస్తాయి, AB మరియు MN అనే సరళ రేఖలు కలిసే పాయింట్ Cని కనుగొనండి. పాయింట్ C AB విభాగాన్ని రెండు సమాన భాగాలుగా విభజిస్తుంది.

గమనిక. అవసరమైన అన్ని నిర్మాణాలు తప్పనిసరిగా మరియు దిక్సూచి మరియు పాలకుడు (విభజనలు లేకుండా) సహాయంతో మాత్రమే నిర్వహించబడతాయి.

1.2 ఒక విభాగాన్ని n సమాన భాగాలుగా విభజించడం

విభజించు ఇచ్చిన సెగ్మెంట్ n ద్వారా సమాన భాగాలు.

సెగ్మెంట్ ముగింపు నుండి - పాయింట్ A, మేము ఏకపక్ష కోణం α వద్ద సహాయక కిరణాన్ని గీస్తాము (Fig. 2 a) ఈ రేలో మేము ఏకపక్ష పొడవు యొక్క 4 సమాన విభాగాలను వేస్తాము (Fig. 2b). చివరి, నాల్గవ, సెగ్మెంట్ (పాయింట్ 4) ముగింపు పాయింట్ Bకి కనెక్ట్ చేయబడింది. తర్వాత, అన్ని మునుపటి పాయింట్లు 1...3 నుండి, సెగ్మెంట్ B4కి సమాంతరంగా సెగ్మెంట్లు 1 పాయింట్ల వద్ద ABతో కలుస్తుంది వరకు మేము గీస్తాము", 2 ", 3". ఈ విధంగా పొందిన పాయింట్లు సెగ్మెంట్‌ను సమాన నాలుగు విభాగాలుగా విభజించాయి

1.3 ఒక కోణాన్ని సగానికి విభజించడం

విభజించు పేర్కొన్న కోణంమీరు సగం.

కోణం A యొక్క శీర్షం నుండి ఏకపక్ష వ్యాసార్థంపాయింట్లు B మరియు C (Fig. 3 a) వద్ద కోణం యొక్క భుజాలతో కలుస్తుంది వరకు ఒక ఆర్క్ డ్రా. అప్పుడు బి మరియు సి పాయింట్ల నుండి మేము వ్యాసార్థంతో రెండు ఆర్క్‌లను గీస్తాము సగానికి పైగాదూరం BC, పాయింట్ D (Fig. 3 బి) వద్ద వారి ఖండనకు. A మరియు D పాయింట్లను సరళ రేఖతో కనెక్ట్ చేయడం ద్వారా, మేము కోణం యొక్క ద్విభాగాన్ని పొందుతాము, ఇది ఇచ్చిన కోణాన్ని సగానికి విభజిస్తుంది (Fig. 3 c)

ఎ) బి) సి)

2. ఒక వృత్తాన్ని సమాన భాగాలుగా విభజించడం మరియు సాధారణ బహుభుజాలను నిర్మించడం

2.1 వృత్తాన్ని మూడు సమాన భాగాలుగా విభజించడం

వ్యాసం ముగింపు నుండి, ఉదాహరణకు, పాయింట్ A (Fig. 4), వ్యాసార్థం R యొక్క ఆర్క్‌ను గీయండి, వ్యాసార్థానికి సమానంఇచ్చిన సర్కిల్. మొదటి మరియు రెండవ విభాగాలు పొందబడ్డాయి - పాయింట్లు 1 మరియు 2. మూడవ డివిజన్, పాయింట్ 3, అదే వ్యాసం యొక్క వ్యతిరేక ముగింపులో ఉంది. 1,2,3 పాయింట్లను తీగలతో కనెక్ట్ చేయడం ద్వారా, మీరు సాధారణ లిఖించిన త్రిభుజాన్ని పొందుతారు.

2.2 ఒక వృత్తాన్ని ఆరు సమాన భాగాలుగా విభజించడం

ఏదైనా వ్యాసం చివరల నుండి, ఉదాహరణకు AB (Fig. 5), వ్యాసార్థం R యొక్క ఆర్క్‌లు వివరించబడ్డాయి. A, 1,3,B,4,2 పాయింట్లు సర్కిల్‌ను ఆరు సమాన భాగాలుగా విభజిస్తాయి. వాటిని తీగలతో కనెక్ట్ చేయడం ద్వారా, సాధారణ లిఖిత షడ్భుజి పొందబడుతుంది.

గమనిక. సహాయక ఆర్క్‌లను పూర్తిగా గీయకూడదు; సర్కిల్‌పై నోచెస్ చేయడానికి ఇది సరిపోతుంది.

2.3 వృత్తాన్ని ఐదు సమాన భాగాలుగా విభజించడం

రెండు పరస్పరం లంబంగా వ్యాసాలు AB మరియు CD డ్రా (Fig. 6). పాయింట్ O 1 వద్ద OS వ్యాసార్థం సగానికి విభజించబడింది.
పాయింట్ O1 నుండి, కేంద్రం నుండి, వ్యాసార్థం O1A యొక్క ఆర్క్‌ను అది పాయింట్ E వద్ద వ్యాసం CDతో కలుస్తుంది.
సెగ్మెంట్ AE సాధారణ లిఖించిన పెంటగాన్ వైపుకు సమానం మరియు OE విభాగం సాధారణ లిఖించబడిన దశభుజి వైపుకు సమానంగా ఉంటుంది.
పాయింట్ Aని కేంద్రంగా తీసుకుంటే, వ్యాసార్థం R1 = AE యొక్క ఆర్క్ సర్కిల్‌పై 1 మరియు 4 పాయింట్లను సూచిస్తుంది. పాయింట్లు 1 మరియు 4 నుండి, కేంద్రాల నుండి అదే వ్యాసార్థం R1 మార్క్ పాయింట్లు 3 మరియు 2. పాయింట్లు A, 1, 2, 3, 4 వృత్తాన్ని ఐదు సమాన భాగాలుగా విభజించండి.

2.4 ఒక వృత్తాన్ని ఏడు సమాన భాగాలుగా విభజించడం

వ్యాసం ముగింపు నుండి, ఉదాహరణకు, పాయింట్ A వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థానికి సమానమైన R వ్యాసార్థం యొక్క ఆర్క్‌ను గీయండి (Fig. 7). తీగ CD సాధారణ లిఖించబడిన త్రిభుజం వైపుకు సమానంగా ఉంటుంది. తీగ CDలో సగం, తగినంత ఉజ్జాయింపుకు, సాధారణ లిఖిత హెప్టాగన్ వైపుకు సమానంగా ఉంటుంది, అనగా. వృత్తాన్ని ఏడు సమాన భాగాలుగా విభజిస్తుంది.

అన్నం. 7

సాహిత్యం

బోగోలియుబోవ్ S.K. ఇంజనీరింగ్ గ్రాఫిక్స్: సెకండరీ ప్రత్యేక విద్యా సంస్థలకు పాఠ్య పుస్తకం. – 3వ ఎడిషన్., రెవ. మరియు అదనపు - M.: మెకానికల్ ఇంజనీరింగ్, 2006. – p. 392: అనారోగ్యం.
కుప్రికోవ్ M.Yu. ఇంజనీరింగ్ గ్రాఫిక్స్: సెకండరీ విద్యాసంస్థల కోసం పాఠ్య పుస్తకం - M.: బస్టర్డ్, 2010 - 495 pp.: అనారోగ్యం.
ఫెడోరెంకో V.A., షోషిన్ A.I. హ్యాండ్‌బుక్ ఆఫ్ మెకానికల్ ఇంజనీరింగ్ డ్రాయింగ్ L.: మెకానికల్ ఇంజనీరింగ్. 1976. 336 పే.

తెలుసుకోవడం; త్రిభుజాలు రెండు వైపులా సమానంగా ఉంటాయి మరియు వాటి మధ్య కోణం, మేము ఈ విభాగాన్ని రెండు సమాన భాగాలుగా విభజించడానికి దిక్సూచి మరియు పాలకుడిని ఉపయోగించవచ్చు.

ఉదాహరణకు, మీరు ఒక విభాగాన్ని సగానికి విభజించాల్సిన అవసరం ఉంటే ఎ బి(Fig. 69), ఆపై పాయింట్ల వద్ద దిక్సూచి యొక్క కొనను ఉంచండి A I B మరియువారు వాటి చుట్టూ వివరిస్తారు, కేంద్రాలకు సమీపంలో ఉన్నట్లుగా, సమాన వ్యాసార్థం యొక్క రెండు ఖండన ఆర్క్‌లు (Fig. 70). వారి ఖండన పాయింట్లు తోమరియు డిసరళ రేఖతో అనుసంధానించబడింది, ఇది ABసగం లో: JSC= OB.

విభాగాలు అని నిర్ధారించుకోవడానికి JSCమరియు OBసమానంగా ఉండాలి, చుక్కలను కనెక్ట్ చేయండి సిమరియు డిచివరలతో ఎమరియు INసెగ్మెంట్ (Fig. 71). మీరు రెండు త్రిభుజాలను పొందుతారు ACDమరియు BCD, దీని మూడు భుజాలు వరుసగా సమానంగా ఉంటాయి: AC= సూర్యుడు; క్రీ.శ = BD; CD –సాధారణ, అనగా రెండు త్రిభుజాలకు చెందినది. ఇది పూర్తి సమానత్వాన్ని సూచిస్తుంది సూచించిన త్రిభుజాలు, అందువలన అన్ని కోణాల సమానత్వం. కాబట్టి, మార్గం ద్వారా, కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి ACDమరియు BCD. ఇప్పుడు త్రిభుజాలను పోల్చడం ASOమరియు VSO, వారికి ఒక వైపు ఉందని మనం చూస్తాము OS -సాధారణ, ఎ.సి. = CB, మరియు వాటి మధ్య కోణం ASO =ఉగ్. VSO. త్రిభుజాలు రెండు వైపులా సమానంగా ఉంటాయి మరియు వాటి మధ్య కోణం; కాబట్టి భుజాలు సమానంగా ఉంటాయి JSCమరియు OB, అంటే పాయింట్ గురించిమధ్య బిందువు ఉంది AB.

ఒక వైపు మరియు రెండు కోణాలను ఉపయోగించి త్రిభుజాన్ని ఎలా నిర్మించాలి

చివరగా, ఒక సమస్యను పరిగణించండి, దీని పరిష్కారం ఒక వైపు మరియు రెండు కోణాలను ఉపయోగించి త్రిభుజం నిర్మాణానికి దారి తీస్తుంది:

నదికి అవతలి వైపు (చిత్రం 72) ఒక మైలురాయి కనిపిస్తుంది ఎ. నదిని దాటకుండా, మైలురాయి నుండి దాని దూరాన్ని కనుగొనడం అవసరం INఈ ఒడ్డున.

ఈ విధంగా చేద్దాం. పాయింట్ నుండి కొలుద్దాం INసరళ రేఖలో ఏదైనా దూరం సూర్యుడుమరియు దాని చివర్లలో INమరియు తో 1 మరియు 2 కోణాలను కొలిద్దాము (Fig. 73). మేము ఇప్పుడు సౌకర్యవంతమైన ప్రదేశంలో దూరాన్ని కొలిస్తే DE,సమానం సూర్యుడు, మరియు దాని చివర్లలో కోణాలను నిర్మించండి ఎమరియు బి(డ్రాయింగ్ 74), కోణాలకు సమానం 1 మరియు 2, అప్పుడు వారి భుజాల ఖండన పాయింట్ వద్ద మేము మూడవ శీర్షాన్ని పొందుతాము ఎఫ్త్రిభుజం DEF.త్రిభుజం అని ధృవీకరించడం సులభం DEFత్రిభుజానికి సమానం ABC; నిజానికి, మేము త్రిభుజం అని ఊహించినట్లయితే DEFపై అమరిక ABCకాబట్టి ఆ వైపు DEదాని సమాన వైపుతో సమానంగా ఉంటుంది సూర్యుడు, అప్పుడు ug. ఎకోణం 1, కోణంతో సమానంగా ఉంటుంది b -కోణం 2 మరియు వైపు DFపక్కకు వెళ్తుంది VA, మరియు వైపు ఇ.ఎఫ్.వైపు SA.రెండు పంక్తులు ఒక బిందువు వద్ద మాత్రమే కలుస్తాయి కాబట్టి, ఆపై శీర్షం ఎఫ్పైభాగంతో ఏకీభవించాలి ఎ. కాబట్టి దూరం DFఅవసరమైన దూరానికి సమానం VA

సమస్య, మనం చూస్తున్నట్లుగా, ఒకే ఒక పరిష్కారం ఉంది. సాధారణంగా, ఈ వైపు ప్రక్కనే ఉన్న ఒక వైపు మరియు రెండు కోణాలను ఉపయోగించి, ఒక త్రిభుజాన్ని మాత్రమే నిర్మించవచ్చు; అదే ప్రదేశాలలో ఒకే వైపు మరియు అదే రెండు కోణాలు ప్రక్కనే ఉన్న ఇతర త్రిభుజాలు ఉండకూడదు. అన్ని త్రిభుజాలు ఒకేలా మరియు రెండు వైపులా ఉంటాయి అదే కోణం, అదే ప్రదేశాలలో దాని ప్రక్కనే, సూపర్పోజిషన్ ద్వారా పూర్తి యాదృచ్చికంగా తీసుకురావచ్చు. త్రిభుజాల యొక్క పూర్తి సమానత్వాన్ని స్థాపించడానికి ఇది ఒక సంకేతం అని దీని అర్థం.

త్రిభుజాల సమానత్వం యొక్క గతంలో స్థాపించబడిన సంకేతాలతో కలిపి, ఇప్పుడు మనకు ఈ క్రింది మూడు తెలుసు:

త్రిభుజాలు:

మూడు వైపులా;

రెండు వైపులా మరియు వాటి మధ్య మూలలో;

వైపు మరియు రెండు వైపులా.

సంక్షిప్తత కొరకు, మేము ఈ క్రింది విధంగా త్రిభుజాల సమానత్వం యొక్క ఈ మూడు సందర్భాలను మరింతగా సూచిస్తాము:

మూడు వైపులా: SSS;

రెండు వైపులా మరియు వాటి మధ్య కోణం: SUS;

వైపు మరియు రెండు మూలల వెంట: USU.

అప్లికేషన్లు

14. ఒక బిందువుకు దూరాన్ని తెలుసుకోవడానికి ఎపాయింట్ నుండి నదికి అవతలి వైపు INఈ ఒడ్డున (Fig. 5), సరళ రేఖలో కొంత పంక్తిని కొలవండి సూర్యుడు,అప్పుడు పాయింట్ వద్ద INసమానమైన కోణాన్ని నిర్మించండి ABC, మరోవైపు సూర్యుడు, మరియు పాయింట్ వద్ద తో- అదే విధంగా, ఒక కోణం సమానం DIAపాయింట్ దూరం డిబిందువుకు కోణాల యొక్క రెండు భుజాల భుజాల ఖండన INఅవసరమైన దూరానికి సమానం AB. ఎందుకు?

పరిష్కారం: త్రిభుజాలు ABCమరియు BDCఒక వైపు సమానంగా ( సూర్యుడు) మరియు రెండు కోణాలు (ang. DCB= ఉ. DIA; ఉగ్. DBC= ఉ. ABC.) అందుకే, AB= ВD,వైపులా పడుకున్నట్లు సమాన త్రిభుజాలుసమాన కోణాలకు వ్యతిరేకంగా.

సమాంతర చతుర్భుజాలు

త్రిభుజాల నుండి మనం చతుర్భుజాలకు, అంటే 4 వైపులా పరిమితం చేయబడిన బొమ్మలకు వెళ్తాము. చతుర్భుజానికి ఉదాహరణ చతురస్రం - అన్ని వైపులా సమానంగా మరియు అన్ని కోణాలు సరిగ్గా ఉండే చతుర్భుజం (Fig. 76). మరొక రకమైన చతుర్భుజం, తరచుగా కనుగొనబడుతుంది, ఇది దీర్ఘచతురస్రాకారంగా ఉంటుంది:

ఇది 4 లంబ కోణాలతో ఏదైనా చతుర్భుజం పేరు (Fig. 77 మరియు 78). ఒక చతురస్రం కూడా ఒక దీర్ఘ చతురస్రం, కానీ దానితో సమాన వైపులా.

దీర్ఘచతురస్రం (మరియు చతురస్రం) యొక్క ప్రత్యేకత ఏమిటంటే, దాని వ్యతిరేక భుజాల యొక్క రెండు జతల సమాంతరంగా ఉంటాయి. ఒక దీర్ఘ చతురస్రంలో ఎ బి సి డి,ఉదాహరణకు (Fig. 78), ABసమాంతరంగా DC,ఎ క్రీ.శసమాంతరంగా సూర్యుడు.ఈ రెండూ వాస్తవం నుండి అనుసరిస్తాయి వ్యతిరేక పక్షాలుఒకే రేఖకు లంబంగా, మరియు ఒక పంక్తికి రెండు లంబాలు ఒకదానికొకటి సమాంతరంగా ఉన్నాయని మాకు తెలుసు (§ 16).

ప్రతి దీర్ఘచతురస్రం యొక్క మరొక లక్షణం దాని వ్యతిరేక భుజాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి. కనెక్ట్ చేయడం ద్వారా దీన్ని ధృవీకరించవచ్చు వ్యతిరేక శీర్షాలుసరళ రేఖతో దీర్ఘచతురస్రం, అంటే దానిలో వికర్ణాన్ని గీయండి. కనెక్ట్ అవుతోంది ఎతో తో(డ్రా 79) మనకు రెండు త్రిభుజాలు లభిస్తాయి ABCమరియు ADC.ఈ త్రిభుజాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉన్నాయని చూపించడం సులభం: వైపు AC -మొత్తం, ug. 1 = కోణం 2, ఎందుకంటే ఇవి సమాంతరంగా క్రాస్ కోణాలు ABమరియు CDఅదే కారణంగా, కోణాలు 3 మరియు 4 సమానంగా ఉంటాయి. ఒకే వైపు మరియు రెండు కోణాలు, త్రిభుజాలు ABCమరియు ACDసమానం; అందుకే వైపు AB= వైపు DC,మరియు వైపు క్రీ.శ= వైపు సూర్యుడు.

అటువంటి చతుర్భుజాలు, దీర్ఘచతురస్రాల వలె, ఎదురుగాసమాంతరాలను సమాంతర చతుర్భుజాలు అంటారు. ఫక్ ఇట్. 80 సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ఉదాహరణను చూపుతుంది: ABసమాంతరంగా DC,ఎ క్రీ.శసమాంతరంగా క్రీ.పూ.తిట్టు.80

ఒక దీర్ఘ చతురస్రం అనేది సమాంతర చతుర్భుజాలలో ఒకటి, అంటే అన్ని కోణాలు సరిగ్గా ఉండేవి. ప్రతి సమాంతర చతుర్భుజం క్రింది లక్షణాలను కలిగి ఉందని ధృవీకరించడం సులభం:

వ్యతిరేక కోణాలు సమాంతర వ్యాకరణం సమానం; వ్యతిరేక వైపులా

P a rl l e l o g r a m a v y s.

దీన్ని ధృవీకరించడానికి, మనం సమాంతర చతుర్భుజంలో గీయండి ఎ బి సి డి(Fig. 81) నేరుగా ВD(వికర్ణం) మరియు త్రిభుజాలను సరిపోల్చండి ABDమరియు VDC.ఈ త్రిభుజాలు సమానంగా ఉంటాయి (కేసు USU): BD – సాధారణ వైపు; ఉగ్. 1 = కోణం 2, మూలలో 3 = కోణం 4 (ఎందుకు?). ముందుగా జాబితా చేయబడిన లక్షణాలు దీని నుండి అనుసరిస్తాయి.

నాలుగు సమాన భుజాలతో సమాంతర చతుర్భుజాన్ని రాంబస్ అంటారు.

పునరావృత ప్రశ్నలు

చతురస్రం అని ఏ ఆకారాన్ని పిలుస్తారు? దీర్ఘ చతురస్రం? – వికర్ణం అని దేనిని అంటారు? – ఏ బొమ్మను సమాంతర చతుర్భుజం అంటారు? డైమండ్? – ఏదైనా సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క కోణాలు మరియు భుజాల లక్షణాలను సూచించండి. – ఏ దీర్ఘ చతురస్రాన్ని చతురస్రం అంటారు? – ఏ సమాంతర చతుర్భుజాన్ని దీర్ఘ చతురస్రం అంటారు? – చతురస్రం మరియు రాంబస్ మధ్య సారూప్యతలు మరియు తేడాలు ఏమిటి.

అప్లికేషన్లు

15. ఒక చతురస్రం ఇలా గీస్తారు: ఒక వైపు పక్కన పెట్టి, చివర్లలో దానికి లంబాలను గీయండి, వాటిపై అదే పొడవులను ఉంచండి మరియు చివరలను సరళ రేఖతో కనెక్ట్ చేయండి (డ్రాయింగ్ 82). గీసిన చతుర్భుజం యొక్క నాల్గవ వైపు మిగిలిన మూడింటికి సమానంగా ఉందని మరియు దాని అన్ని కోణాలు లంబ కోణాలు అని మీరు ఎలా ఖచ్చితంగా చెప్పగలరు?

సొల్యూషన్.. పక్కకు ఆ విధంగా ఏర్పాటు జరిగితే ABపాయింట్ల వద్ద ఎమరియు INలంబంగా గీసారు, వాటిపై వేయబడ్డాయి: AC = ABమరియు DВ= AB, అప్పుడు అది కోణాలను నిరూపించడానికి మిగిలి ఉంది తోమరియు డినేరుగా మరియు ఏమి CDసమానం AB.దీన్ని చేయడానికి, ఒక వికర్ణాన్ని (Fig. 83) గీయండి క్రీ.శ.అయ్యో. CAD = ఎ.డి.బి.సంబంధితంగా (ఏవి సమాంతరంగా ఉంటాయి?); AC= డి.బి., అందువలన త్రిభుజాలు CADమరియు చెడుసమానం (ఆధారంగా SUS).దీని నుండి మేము దానిని అంచనా వేస్తాము CD = ABమరియు ug. సి =లంబ కోణం IN. నాల్గవ కోణం అని ఎలా నిరూపించాలి CDBఅది కూడా సూటిగా ఉందా?

16. దీర్ఘచతురస్రాన్ని ఎలా గీయాలి? గీసిన బొమ్మను దీర్ఘచతురస్రం అని ఎందుకు పిలుస్తారు? (గీసిన బొమ్మ యొక్క అన్ని కోణాలు సరిగ్గా ఉన్నాయని చూపించు).

పరిష్కారం మునుపటి సమస్యకు పరిష్కారం వలె ఉంటుంది.

17. దీర్ఘచతురస్రం యొక్క రెండు వికర్ణాలు సమానంగా ఉన్నాయని నిరూపించండి.

పరిష్కారం (Fig. 84) త్రిభుజాల సమానత్వం నుండి అనుసరిస్తుంది ABCమరియు ABD(ఆధారంగా SUS).

18. సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వికర్ణాలు ఒకదానికొకటి విభజిస్తాయని నిరూపించండి.

పరిష్కారం: పోల్చడం (Fig. 85) త్రిభుజాలు ABOమరియు DCO,అవి సమానంగా ఉన్నాయని మేము నిర్ధారించుకుంటాము (ఆధారంగా USU).ఇక్కడనుంచి JSC= OS, 0V= OD.

19. రెండు సమాంతర రేఖల మధ్య ఉండే సాధారణ లంబ పొడవును వాటి మధ్య దూరం అంటారు. సమాంతరాల మధ్య దూరం ప్రతిచోటా ఒకే విధంగా ఉంటుందని నిరూపించండి.

సూచన: ఏ విధమైన బొమ్మ ఏర్పడుతుంది? సమాంతర రేఖలువాటి మధ్య రెండు లంబాలు ఉన్నాయా?

IV. ప్రాంతం యొక్క కొలత

చదరపు కొలతలు. పాలెట్

బొమ్మలలో, రేఖల పొడవు మరియు వాటి మధ్య కోణాలను మాత్రమే కాకుండా, అవి కవర్ చేసే ప్రాంతం యొక్క పరిమాణాన్ని కూడా కొలవడం తరచుగా అవసరం - అంటే వాటి ప్రాంతం. వైశాల్యం ఏ యూనిట్లలో కొలుస్తారు? ఒక నిర్దిష్ట పొడవు (మీటర్, సెంటీమీటర్) పొడవు యొక్క కొలతగా తీసుకోబడుతుంది మరియు ఒక నిర్దిష్ట కోణం (1°) కోణాల కొలతగా తీసుకోబడుతుంది; ఒక నిర్దిష్ట ప్రాంతాన్ని వైశాల్యం యొక్క కొలతగా తీసుకుంటారు, అవి 1 మీటర్, 1 సెం.మీ., మొదలైనవి ఉన్న చతురస్ర వైశాల్యం. అటువంటి చతురస్రాన్ని "చదరపు మీటర్" అని పిలుస్తారు, " చదరపు సెంటీమీటర్", మొదలైనవి. ఒక ప్రాంతాన్ని కొలవడం అంటే దానిలో ఎన్ని చదరపు యూనిట్ల కొలతలు ఉన్నాయో తెలుసుకోవడం.

కొలవబడే ప్రాంతం పెద్దది కానట్లయితే (కాగితపు షీట్లో సరిపోతుంది), దానిని కొలవవచ్చు క్రింది విధంగా. పారదర్శక కాగితాన్ని సెంటీమీటర్ చతురస్రాకారంలో కట్ చేసి, కొలిచే బొమ్మపై ఉంచబడుతుంది. అప్పుడు ఎన్ని నేరుగా లెక్కించడం కష్టం కాదు చదరపు సెంటీమీటర్లుఫిగర్ యొక్క సరిహద్దులలో ఉంది. ఈ సందర్భంలో, సరిహద్దు దగ్గర అసంపూర్తిగా ఉన్న చతురస్రాలు (కంటి ద్వారా) సగం చతురస్రం, పావు చతురస్రం మొదలైన వాటికి తీసుకోబడతాయి లేదా మానసికంగా వాటిని మొత్తం చతురస్రాల్లోకి ఒకేసారి అనేకం కలుపుతాయి. అలా అలంకరించారు పారదర్శక కాగితంప్యాలెట్ అని పిలుస్తారు. ఈ పద్ధతి తరచుగా ఒక ప్రణాళికలో క్రమరహిత ప్రాంతాల ప్రాంతాలను కొలవడానికి ఉపయోగిస్తారు.

కానీ కొలిచిన బొమ్మపై చతురస్రాల నెట్‌వర్క్‌ను విధించడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదు లేదా అనుకూలమైనది కాదు. ఇది సాధ్యం కాదు, ఉదాహరణకు, ఫ్లోర్ ఏరియా కొలిచేందుకు లేదా భూమి ప్లాట్లు. అటువంటి సందర్భాలలో, బదులుగా ప్రత్యక్ష కొలతప్రాంతం, వారు అసహ్యకరమైన విషయాన్ని ఆశ్రయిస్తారు, ఇది కొన్ని సరళ బొమ్మల పొడవును మాత్రమే కొలవడం మరియు ఫలిత సంఖ్యలపై గణనలను కలిగి ఉంటుంది. కొన్ని చర్యలు. ఇది ఎలా జరుగుతుందో తరువాత మేము చూపుతాము.

పునరావృత ప్రశ్నలు

బొమ్మల ప్రాంతాన్ని నిర్ణయించడానికి ఏ చర్యలు ఉపయోగించబడతాయి? - ప్యాలెట్ అంటే ఏమిటి మరియు అది ఎలా ఉపయోగించబడుతుంది?

దీర్ఘ చతురస్రం యొక్క ప్రాంతం

మీరు కొన్ని దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యాన్ని గుర్తించాలని అనుకుందాం, ఉదాహరణకు, ABDC(డ్రాయింగ్ 86). సరళ యూనిట్‌తో కొలుస్తారు, ఉదా. మీటర్, ఈ విభాగం యొక్క పొడవు. మీటర్ పొడవు 5 సార్లు వేయబడిందని అనుకుందాం. అంజీర్‌లో చూపిన విధంగా ప్రాంతాన్ని ఒక మీటర్ వెడల్పుతో అడ్డంగా ఉండే స్ట్రిప్స్‌గా విభజిద్దాం. 87. సహజంగానే, అలాంటి 5 చారలు ఉంటాయి.తర్వాత, ఒక మీటర్‌తో ప్రాంతం యొక్క వెడల్పును కొలుద్దాం; అది 3 మీటర్లకు సమానంగా ఉండనివ్వండి. అంజీర్‌లో చూపిన విధంగా మేము ప్రాంతాన్ని 1 మీటర్ వెడల్పు రేఖాంశ స్ట్రిప్స్‌గా విభజిస్తాము. 88; వాస్తవానికి, వాటిలో 3 ఉంటాయి. ఐదు విలోమ స్ట్రిప్స్‌లో ప్రతి ఒక్కటి 3 చదరపు మీటర్లుగా కత్తిరించబడతాయి మరియు మొత్తం ప్లాట్‌ను 1 మీటర్ వైపుతో 5 x 3 = 15 చతురస్రాలుగా విభజించారు: ప్లాట్ అని మేము తెలుసుకున్నాము 15 చదరపు మీటర్లు కలిగి ఉంటుంది. మీటర్లు. కానీ మేము ప్రాంతాన్ని గ్రాఫింగ్ చేయకుండా అదే సంఖ్య 15 ను పొందగలము, కానీ దాని పొడవును దాని వెడల్పుతో గుణించడం ద్వారా మాత్రమే. కాబట్టి, ఎంత అని తెలుసుకోవడానికి చదరపు మీటర్లుదీర్ఘచతురస్రంలో, మీరు దాని పొడవు, వెడల్పును కొలవాలి మరియు రెండు సంఖ్యలను గుణించాలి.

పరిగణించబడిన సందర్భంలో, పొడవు యొక్క యూనిట్ - మీటర్ - దీర్ఘచతురస్రానికి రెండు వైపులా పూర్ణాంకాల సంఖ్యను ఉంచబడుతుంది. వివరణాత్మక గణిత పాఠ్యపుస్తకాలు దీర్ఘచతురస్రం యొక్క భుజాల పొడవు యూనిట్ల పూర్ణాంక సంఖ్యను కలిగి లేనప్పుడు ఇప్పుడు ఏర్పాటు చేసిన నియమం కూడా నిజమని రుజువు చేస్తుంది. అన్ని సందర్భాలలో:

దీర్ఘచతురస్రాకార ప్రాంతం యొక్క ప్రాంతం

వెడల్పు ద్వారా పొడవు యొక్క ఉత్పత్తి,

లేదా, వారు చెప్పినట్లు, జ్యామితిలో, - దాని

"ఎత్తు"పై "బేస్".

ఒక దీర్ఘ చతురస్రం యొక్క ఆధారం యొక్క పొడవు అక్షరం ద్వారా సూచించబడితే ఎ, మరియు ఎత్తు యొక్క పొడవు అక్షరం b,అప్పుడు దాని ప్రాంతం ఎస్సమానంగా

S = a? b,

లేదా కేవలం ఎస్ = ab, ఎందుకంటే గుణకారం గుర్తు అక్షరాల మధ్య ఉంచబడలేదు.

చతురస్రం యొక్క వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించడానికి, మీరు దాని వైపు పొడవును స్వయంగా గుణించాలి, అంటే "చదరపు ద్వారా పెంచండి" అని అర్థం చేసుకోవడం సులభం. వేరే పదాల్లో:

చతురస్రం యొక్క వైశాల్యం చతురస్రాకారానికి సమానం. ఒక చతురస్రం వైపు పొడవు ఉంటే A,అప్పుడు దాని ప్రాంతం ఎస్సమానంగా

S= ఒక? a = a 2.

ఇది తెలుసుకోవడం, వివిధ మధ్య సంబంధాన్ని ఏర్పరచడం సాధ్యమవుతుంది చదరపు యూనిట్లు. ఉదాహరణకు, ఒక చదరపు మీటరులో చదరపు డెసిమీటర్లు 10 X 10, అంటే 100, మరియు చదరపు సెంటీమీటర్లు 100 X 100, అంటే 10,000 ఉంటాయి, ఎందుకంటే లీనియర్ సెంటీమీటర్ పక్కకు ఉంచబడుతుంది. చదరపు డెసిమీటర్ 10 సార్లు, మరియు ఒక చదరపు మీటర్ 100 రెట్లు.

కొలిచే కోసం భూమి ప్లాట్లుఒక ప్రత్యేక కొలత ఉపయోగించబడుతుంది - హెక్టార్, 10,000 చదరపు మీటర్లు కలిగి ఉంటుంది. 100 మీటర్ల వైపు ఉన్న చదరపు ప్లాట్లు 1 హెక్టారు విస్తీర్ణం కలిగి ఉంటాయి; 200 మీటర్ల బేస్ మరియు 150 మీటర్ల ఎత్తు కలిగిన దీర్ఘచతురస్రాకార ప్లాట్లు 200 x 150, అంటే 30,000 చదరపు మీటర్ల విస్తీర్ణం కలిగి ఉంటాయి. మీ లేదా 3 హెక్టార్లు. పెద్ద ప్రాంతాలు - కౌంటీలు మరియు జిల్లాలు వంటివి - కొలుస్తారు

చదరపు కిలోమీటరులు.

చదరపు కొలతల కోసం సంక్షిప్త హోదా:

చతురస్రం మీటర్………………………………. చ. m లేదా m2

చతురస్రం డెసిమీటర్ ………………………………. చ. dm లేదా dm2

చతురస్రం సెంటీమీటర్ ……………………………… sq. cm లేదా cm2

చతురస్రం మిల్లీమీటర్ ………………………………. చదరపు. mm లేదా mm2

హెక్టారు ………………………………………….. హెక్టారు

పునరావృత ప్రశ్నలు

దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యం ఎలా లెక్కించబడుతుంది? చతురస్రాలా? - ఎన్ని చ. సెం.మీ నుండి చ.కి. m? ఎన్ని చ. చ.క.లో మి.మీ. m? - హెక్టారు అంటే ఏమిటి? - ఒక చతురస్రంలో ఎన్ని హెక్టార్లు? కిమీ? దేనికి సంక్షిప్తీకరణ చదరపు కొలతలు?

అప్లికేషన్లు

20. డ్రాయింగ్‌లో చూపిన గది లోపలి భాగాన్ని చిత్రించడానికి ఇది అవసరం. 6. కొలతలు మీటర్లలో సూచించబడతాయి. ఎన్ని పదార్థాలు మరియు పని శక్తి, ఒక చదరపు పెయింటింగ్ కోసం అని తెలిస్తే. గతంలో పెయింట్ చేసిన వాటిపై పగుళ్లు మరియు కొమ్మల పుట్టీతో చెక్క అంతస్తుల మీటర్లు, రెండు కోసం, అవసరం (అత్యవసర నిబంధనల ప్రకారం):

మాల్యరోవ్…………………………………… 0.044

ఆరబెట్టే నూనెలు, కిలోగ్రాములు……………………………… 0.18

లైట్ ఓచర్, kg……………………………… 0;099

పుట్టీలు, కేజీ ………………………………… 0.00225

ప్యూమిస్, కేజీ ………………………………… 0.0009.

పరిష్కారం: ఫ్లోర్ ఏరియా 8నా? 12 = 96 చ.మీ. m.

పదార్థాలు మరియు శ్రమ వినియోగం క్రింది విధంగా ఉంటుంది

మాల్యరోవ్........ 0.044? 96 = 4.2

ఆరబెట్టే నూనెలు......0.18? 96= 17 కిలోలు

ఓచర్......... 0.099? 96 - 9.9 కిలోలు

పుట్టీలు........ 0.00225? 96 = 0.22 కిలోలు

ప్యూమిస్.........0.0009? 96 = 0.09 కిలోలు.

21. మునుపటి గది వాల్‌పేపరింగ్ కోసం శ్రమ మరియు పదార్థాల వినియోగం యొక్క ప్రకటన చేయండి. పనులు. సరిహద్దులతో సాధారణ వాల్‌పేపర్‌తో గోడలను కవర్ చేయడానికి, ఇది చదరపు మీటరుకు (స్థానిక నిబంధనల ప్రకారం) అవసరం. మీటర్:

పెయింటర్లు లేదా అప్హోల్స్టర్లు ……………………………… 0.044

వాల్‌పేపర్ (44 సెం.మీ వెడల్పు) ముక్కలు ……………………………… 0.264

కాలిబాట (గణన ప్రకారం)

స్టార్చ్ గ్రాములు ………………………………. 90.

పరిష్కారం - లో పేర్కొన్న నమూనా ప్రకారం మునుపటి పని. మేము లెక్కించేటప్పుడు మాత్రమే గమనించండి అవసరమైన పరిమాణంఆచరణలో, గోడ ఓపెనింగ్‌లు వాటి వాల్‌పేపర్ ప్రాంతం నుండి తీసివేయబడవు (ప్రక్కనే ఉన్న ప్యానెల్‌లలో బొమ్మలను అమర్చినప్పుడు, వాల్‌పేపర్‌లో కొంత భాగం పోతుంది).

త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతం

ముందుగా లంబ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం ఎలా లెక్కించబడుతుందో పరిశీలిద్దాం. మనం త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని గుర్తించాల్సిన అవసరం ఉందని అనుకుందాం ABC(Fig. 89), దీనిలో కోణం IN- నేరుగా. మిమ్మల్ని శిఖరాల్లోకి తీసుకెళ్దాం ఎమరియు తోవ్యతిరేక భుజాలకు సమాంతరంగా సరళ రేఖలు. మేము (Fig. 90) ఒక దీర్ఘచతురస్రాన్ని పొందుతాము ఎ బి సి డి(ఈ బొమ్మ ఎందుకు దీర్ఘచతురస్రం?), ఇది వికర్ణంతో విభజించబడింది ACరెండు సమాన త్రిభుజాలు (ఎందుకు?). ఈ దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యం ఆహ్;మన త్రిభుజం వైశాల్యం దీర్ఘచతురస్రంలో సగం వైశాల్యం, అంటే 1/2కి సమానం ఆహ్.కాబట్టి, ప్రతి ప్రాంతం కుడి త్రిభుజంలంబ కోణాన్ని చుట్టుముట్టే దాని భుజాల సగం ఉత్పత్తికి సమానం.

ఇప్పుడు మీరు ఏటవాలు (అనగా, దీర్ఘచతురస్రాకార కాదు) త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని గుర్తించాలి - ఉదాహరణకు. ABC(డ్రాయింగ్ 91). మేము దాని శీర్షాలలో ఒకదాని ద్వారా ఎదురుగా లంబంగా గీస్తాము; అటువంటి లంబాన్ని ఈ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు అని పిలుస్తారు మరియు అది గీసిన వైపు త్రిభుజం యొక్క ఆధారం. దీని ద్వారా ఎత్తును సూచిస్తాము h, మరియు అది ఆధారాన్ని విభజించే విభాగాలు pమరియు q. లంబ త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతం ABD,మనకు ఇప్పటికే తెలిసినట్లుగా, 1/2కి సమానం ph; చతురస్రం VDC = 1/2 qh. చతురస్రం ఎస్త్రిభుజం ABCఈ ప్రాంతాల మొత్తానికి సమానం: S= 1/2 ph + 1/2 qh = 1/2 h (ఆర్+ q) కానీ ఆర్+ q = a; అందుకే ఎస్ = 1/2 ఆహ్.

ఈ తార్కికం నేరుగా త్రిభుజానికి వర్తించదు గురు కోణం(Fig. 92), ఎందుకంటే లంబ CD ఆధారానికి అనుగుణంగా లేదు AB, మరియు దాని కొనసాగింపు. ఈ విషయంలో మనం భిన్నంగా ఆలోచించాలి. మేము విభాగాన్ని సూచిస్తాము క్రీ.శద్వారా p, BD- ద్వారా, q, కాబట్టి ఆధారం ఎత్రిభుజం సమానం p – q. మా త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతం ABCరెండు త్రిభుజాల ప్రాంతాలలో వ్యత్యాసానికి సమానం ADC – BDC = 1/2 ph – 1/2 qh = 1/2 h (p – q) = 1/2 ఆహ్.

కాబట్టి, అన్ని సందర్భాల్లో, త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం దాని స్థావరాల యొక్క సగం ఉత్పత్తికి మరియు సంబంధిత ఎత్తుకు సమానం.

సమాన స్థావరాలు మరియు ఎత్తులతో ఉన్న త్రిభుజాలు సమాన ప్రాంతాలను కలిగి ఉంటాయి లేదా అవి చెప్పినట్లు,

సమానం.

సమాన-పరిమాణ బొమ్మలు సాధారణంగా కలిగి ఉంటాయి సమాన ప్రాంతాలు, కనీసం బొమ్మలు సమానంగా లేవు (అనగా, సూపర్మోస్ చేయబడినప్పుడు అవి ఏకీభవించలేదు).

పునరావృత ప్రశ్నలు

త్రిభుజం ఎత్తును ఏమంటారు? త్రిభుజం యొక్క ఆధారం? – ఒక త్రిభుజంలో ఎన్ని ఎత్తులు గీయవచ్చు? - ఒక త్రిభుజాన్ని ఒక మందమైన కోణంతో గీయండి మరియు దానిలోని అన్ని ఎత్తులను గీయండి. - త్రిభుజం వైశాల్యం ఎలా లెక్కించబడుతుంది? ఈ నియమాన్ని ఫార్ములాలో ఎలా వ్యక్తీకరించాలి? - ఏ బొమ్మలను పరిమాణంలో సమానంగా పిలుస్తారు?

అప్లికేషన్లు

22. కూరగాయల తోట 13.4 మీ పునాది మరియు 37.2 మీటర్ల ఎత్తుతో త్రిభుజం ఆకారాన్ని కలిగి ఉంటుంది... క్యాబేజీతో నాటడానికి ఎన్ని విత్తనాలు (బరువు ప్రకారం) అవసరమవుతాయి, అయితే చదరపు. m అంటే 0.5 గ్రాముల విత్తనాలు?

పరిష్కారం: కూరగాయల తోట విస్తీర్ణం 13.4? 37.2 = 498 చ. m.

మీకు 250 గ్రా విత్తనాలు అవసరం.

23. సమాంతర చతుర్భుజం వికర్ణాల ద్వారా 4 త్రిభుజాకార భాగాలుగా విభజించబడింది. ఏది ఎక్కువగా ఉంది పెద్ద ప్రాంతం?

పరిష్కారం. మొత్తం 4 త్రిభుజాలు పరిమాణంలో సమానంగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే అవి ఉన్నాయి సమాన మైదానాలుమరియు ఎత్తులు.

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ప్రాంతం

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించే నియమం మీరు దానిని వికర్ణంతో రెండు త్రిభుజాలుగా విభజించినట్లయితే చాలా సరళంగా ఏర్పాటు చేయబడుతుంది. ఉదాహరణకు, సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ప్రాంతం ఎ బి సి డి(Fig. 93) వికర్ణం ద్వారా విభజించబడిన రెండు సమాన త్రిభుజాల వైశాల్యానికి రెండు రెట్లు సమానం AC.త్రిభుజం యొక్క ఆధారాన్ని గుర్తించడం ADCద్వారా ఎ, మరియు ఎత్తు ద్వారా h, మేము ప్రాంతాన్ని పొందుతాము ఎస్సమాంతర చతుర్భుజం

లంబంగా h"సమాంతర చతుర్భుజం ఎత్తు" అని పిలుస్తారు, మరియు వైపు A,ఇది డ్రా చేయబడింది - "సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ఆధారం". కాబట్టి, ఇప్పుడు ఏర్పాటు చేయబడిన నియమాన్ని ఈ క్రింది విధంగా పేర్కొనవచ్చు:

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం ఏదైనా కొత్త ఎత్తు యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం.

పునరావృత ప్రశ్నలు

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ఆధారం మరియు ఎత్తు ఏమిటి? సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం ఎలా లెక్కించబడుతుంది? - ఈ నియమాన్ని ఫార్ములాలో వ్యక్తపరచండి. - సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యం ఒకే ఆధారం మరియు ఎత్తు ఉన్న త్రిభుజం వైశాల్యం కంటే ఎన్ని రెట్లు ఎక్కువగా ఉంటుంది? - వద్ద సమాన ఎత్తులుమరియు స్థావరాలు, ఏ ఫిగర్ అతిపెద్ద వైశాల్యాన్ని కలిగి ఉంది: దీర్ఘచతురస్రం లేదా సమాంతర చతుర్భుజం?

అప్లికేషన్

24. 12.4 సెం.మీ వైపు ఉన్న చతురస్రం 8.8 సెం.మీ ఎత్తుతో సమాంతర చతుర్భుజానికి సమానంగా ఉంటుంది. సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ఆధారాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం. ఈ చతురస్రం యొక్క వైశాల్యం, అందువలన సమాంతర చతుర్భుజం 12.42 = 154 చదరపు మీటర్లు. సెం.మీ. అవసరమైన బేస్ 154: 8.8 = 18 సెం.మీ.

ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క ప్రాంతం

సమాంతర చతుర్భుజాలతో పాటు, మరొక రకమైన చతుర్భుజాలను పరిశీలిద్దాం - అవి ఒకే ఒక జత సమాంతర భుజాలను కలిగి ఉంటాయి (Fig. 94). ఇటువంటి బొమ్మలను ట్రాపెజోయిడ్స్ అంటారు. సమాంతర భుజాలుట్రాపెజాయిడ్లను దాని స్థావరాలు అని పిలుస్తారు మరియు సమాంతరంగా లేని వాటిని భుజాలు అని పిలుస్తారు.

చెత్త. 94 తిట్టు. 95

ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి ఒక నియమాన్ని ఏర్పాటు చేద్దాం. మనం ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించాల్సిన అవసరం ఉందని అనుకుందాం ఎ బి సి డి(Fig. 95), వీటిలో స్థావరాల పొడవు aమరియు బి. ఒక వికర్ణాన్ని గీయండి AC,ఇది ట్రాపెజాయిడ్‌ను రెండు త్రిభుజాలుగా కట్ చేస్తుంది ACDమరియు ABC. అది మాకు తెలుసు

ప్రాంతం ACD = 1/2 ఆహ్

ప్రాంతం ABC = 1/2 bh.

ప్రాంతం ఎ బి సి డి= 1/2 ఆహ్+ 1/2 bh= 1/2 (a+ బి) h.

దూరం నుండి hట్రాపెజాయిడ్ యొక్క స్థావరాల మధ్య దాని ఎత్తు అని పిలుస్తారు, అప్పుడు ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించే నియమాన్ని ఈ క్రింది విధంగా పేర్కొనవచ్చు:

ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యం మీలో దాదాపు tతో గుణించబడిన మొత్తంలో సగం సమానం.

పునరావృత ప్రశ్నలు

ట్రాపెజాయిడ్ అని ఏ ఆకారాన్ని పిలుస్తారు? ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క స్థావరాలు, దాని భుజాలు మరియు దాని ఎత్తు ఏమిటి? - ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యం ఎలా లెక్కించబడుతుంది?

అప్లికేషన్లు

25. వీధిలోని ఒక విభాగం 180 మీ మరియు 170 మీటర్ల స్థావరాలు మరియు 8.5 మీటర్ల ఎత్తుతో ట్రాపెజాయిడ్ ఆకారాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఒక చదరపు మీటరుకు ఎన్ని చెక్క బ్లాక్‌లు వేయాలి. m అక్కడ 48 చెక్కర్లు ఉన్నాయా?

పరిష్కారం. ప్లాట్ యొక్క వైశాల్యం 8.5 H = (180 + 170)/ 2 = 1490 చ.మీ. m. చెక్కర్ల సంఖ్య = 72,000.

26. పైకప్పు వాలు ఒక ట్రాపెజాయిడ్ ఆకారాన్ని కలిగి ఉంటుంది, దీని స్థావరాలు 23.6 మీ మరియు 19.8 మీ, మరియు ఎత్తు 8.2 మీ. ఒక చదరపు మీటరుకు అయితే దానిని కవర్ చేయడానికి ఎంత పదార్థం మరియు శ్రమ అవసరం. m అవసరం:

ఇనుప పలకలు...... 1.23

రూఫింగ్ నెయిల్స్ కేజీ.... 0.032

ఎండబెట్టే నూనెలు కేజీ........0.036

పైకప్పులు...... 0.45.

పరిష్కారం: వాలు వైశాల్యం 8.2కి సమానంగా ఉందా? (23.6 + 19.8)/ 2 = 178 చ. m. టాబ్లెట్‌లోని అన్ని సంఖ్యలను 178తో గుణించడం మిగిలి ఉంది.

విభాగాలు అని నిర్ధారించుకోవడానికి JSCమరియు OBసమానంగా ఉండాలి, చుక్కలను కనెక్ట్ చేయండి సిమరియు డిచివరలతో ఎమరియు INసెగ్మెంట్ (Fig. 71). మీరు రెండు త్రిభుజాలను పొందుతారు ACDమరియు BCD, దీని మూడు భుజాలు వరుసగా సమానంగా ఉంటాయి: AC= సూర్యుడు; క్రీ.శ= BD; CD –సాధారణ, అనగా రెండు త్రిభుజాలకు చెందినది. ఇది ఈ త్రిభుజాల యొక్క పూర్తి సమానత్వాన్ని మరియు అందువల్ల అన్ని కోణాల సమానత్వాన్ని సూచిస్తుంది. కాబట్టి, మార్గం ద్వారా, కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి ACDమరియు BCD. ఇప్పుడు త్రిభుజాలను పోల్చడం ASOమరియు VSO, వారికి ఒక వైపు ఉందని మనం చూస్తాము OS -సాధారణ, ఎ.సి.= CB, మరియు వాటి మధ్య కోణం ASO =ఉగ్. VSO. త్రిభుజాలు రెండు వైపులా సమానంగా ఉంటాయి మరియు వాటి మధ్య కోణం; కాబట్టి భుజాలు సమానంగా ఉంటాయి JSCమరియు OB, అంటే పాయింట్ గురించిమధ్య బిందువు ఉంది AB.

§ 22. ఒక వైపు మరియు రెండు కోణాలను ఉపయోగించి త్రిభుజాన్ని ఎలా నిర్మించాలి

ఈ విధంగా చేద్దాం. పాయింట్ నుండి కొలుద్దాం INసరళ రేఖలో ఏదైనా దూరం సూర్యుడుమరియు దాని చివర్లలో INమరియు తో 1 మరియు 2 కోణాలను కొలిద్దాము (Fig. 73). మేము ఇప్పుడు సౌకర్యవంతమైన ప్రదేశంలో దూరాన్ని కొలిస్తే DE,సమానం సూర్యుడు, మరియు దాని చివర్లలో కోణాలను నిర్మించండి ఎమరియు బి(Fig. 74), 1 మరియు 2 కోణాలకు సమానం, అప్పుడు వాటి భుజాల ఖండన పాయింట్ వద్ద మేము మూడవ శీర్షాన్ని పొందుతాము ఎఫ్త్రిభుజం DEF.త్రిభుజం అని ధృవీకరించడం సులభం DEFత్రిభుజానికి సమానం ABC; నిజానికి, మేము త్రిభుజం అని ఊహించినట్లయితే DEFపై అమరిక ABCకాబట్టి ఆ వైపు DEదాని సమాన వైపుతో సమానంగా ఉంటుంది సూర్యుడు, అప్పుడు ug. ఎకోణం 1, కోణంతో సమానంగా ఉంటుంది b -కోణం 2 మరియు వైపు DFపక్కకు వెళ్తుంది VA, మరియు వైపు ఇ.ఎఫ్.వైపు SA.రెండు పంక్తులు ఒక బిందువు వద్ద మాత్రమే కలుస్తాయి కాబట్టి, ఆపై శీర్షం ఎఫ్పైభాగంతో ఏకీభవించాలి ఎ. కాబట్టి దూరం DFఅవసరమైన దూరానికి సమానం VA

సమస్య, మనం చూస్తున్నట్లుగా, ఒకే ఒక పరిష్కారం ఉంది. సాధారణంగా, ఈ వైపు ప్రక్కనే ఉన్న ఒక వైపు మరియు రెండు కోణాలను ఉపయోగించి, ఒక త్రిభుజాన్ని మాత్రమే నిర్మించవచ్చు; అదే ప్రదేశాలలో ఒకే వైపు మరియు అదే రెండు కోణాలు ప్రక్కనే ఉన్న ఇతర త్రిభుజాలు ఉండకూడదు. ఒకే చోట ఒకేలా ఉండే భుజం మరియు దానికి ప్రక్కనే ఉన్న రెండు ఒకే కోణాలు ఉన్న అన్ని త్రిభుజాలను సూపర్‌పొజిషన్ ద్వారా పూర్తి యాదృచ్చికంలోకి తీసుకురావచ్చు. త్రిభుజాల యొక్క పూర్తి సమానత్వాన్ని స్థాపించడానికి ఇది ఒక సంకేతం అని దీని అర్థం.

త్రిభుజాలు:

మూడు వైపులా;

రెండు వైపులా మరియు వాటి మధ్య మూలలో;

వైపు మరియు రెండు వైపులా.

మూడు వైపులా: SSS;

రెండు వైపులా మరియు వాటి మధ్య కోణం: SUS;

వైపు మరియు రెండు మూలల వెంట: USU.

అప్లికేషన్లు

పరిష్కారం: త్రిభుజాలు ABCమరియు BDCఒక వైపు సమానంగా ( సూర్యుడు) మరియు రెండు కోణాలు (ang. DCB= ఉ. DIA; ఉగ్. DBC= ఉ. ABC.) అందుకే, AB= ВD,సమాన కోణాలకు వ్యతిరేకంగా సమాన త్రిభుజాలలో ఉన్న వైపులా.

§ 23. సమాంతర చతుర్భుజాలు

ఇది 4 లంబ కోణాలతో ఏదైనా చతుర్భుజం పేరు (Fig. 77 మరియు 78). చతురస్రం కూడా ఒక దీర్ఘ చతురస్రం, కానీ సమాన భుజాలతో ఉంటుంది.

దీర్ఘచతురస్రం (మరియు చతురస్రం) యొక్క ప్రత్యేకత ఏమిటంటే, దాని వ్యతిరేక భుజాల యొక్క రెండు జతల సమాంతరంగా ఉంటాయి. ఒక దీర్ఘ చతురస్రంలో ఎ బి సి డి,ఉదాహరణకు (Fig. 78), ABసమాంతరంగా DC,ఎ క్రీ.శసమాంతరంగా సూర్యుడు.రెండు వ్యతిరేక భుజాలు ఒకే రేఖకు లంబంగా ఉంటాయి మరియు ఒక పంక్తికి రెండు లంబాలు ఒకదానికొకటి సమాంతరంగా ఉన్నాయని మాకు తెలుసు (§ 16).

ప్రతి దీర్ఘచతురస్రం యొక్క మరొక లక్షణం దాని వ్యతిరేక భుజాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి. మీరు దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వ్యతిరేక శీర్షాలను సరళ రేఖతో కనెక్ట్ చేస్తే, మీరు దీన్ని ధృవీకరించవచ్చు, అంటే దానిలో ఒక వికర్ణాన్ని గీయండి. కనెక్ట్ అవుతోంది ఎతో తో(డ్రా 79) మనకు రెండు త్రిభుజాలు లభిస్తాయి ABCమరియు ADC.ఈ త్రిభుజాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉన్నాయని చూపించడం సులభం: వైపు AC -మొత్తం, ug. 1 = కోణం 2, ఎందుకంటే ఇవి సమాంతరంగా క్రాస్ కోణాలు ABమరియు CDఅదే కారణంగా, కోణాలు 3 మరియు 4 సమానంగా ఉంటాయి. ఒకే వైపు మరియు రెండు కోణాలు, త్రిభుజాలు ABCమరియు ACDసమానం; అందుకే వైపు AB= వైపు DC,మరియు వైపు క్రీ.శ= వైపు సూర్యుడు.

అటువంటి చతుర్భుజాలు, దీర్ఘచతురస్రాల వలె, వ్యతిరేక భుజాలు సమాంతరంగా ఉంటాయి, వాటిని సమాంతర చతుర్భుజాలు అంటారు. ఫక్ ఇట్. 80 సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ఉదాహరణను చూపుతుంది: ABసమాంతరంగా DC,ఎ క్రీ.శసమాంతరంగా క్రీ.పూ.తిట్టు.80

వ్యతిరేక కోణాలు సమాంతర వ్యాకరణం సమానం; వ్యతిరేక వైపులా

P a rl l e l o g r a m a v y s.

దీన్ని ధృవీకరించడానికి, మనం సమాంతర చతుర్భుజంలో గీయండి ఎ బి సి డి(Fig. 81) నేరుగా ВD(వికర్ణం) మరియు త్రిభుజాలను సరిపోల్చండి ABDమరియు VDC.ఈ త్రిభుజాలు సమానంగా ఉంటాయి (కేసు USU): BD- సాధారణ వైపు; ఉగ్. 1 = కోణం 2, మూలలో 3 = కోణం 4 (ఎందుకు?). ముందుగా జాబితా చేయబడిన లక్షణాలు దీని నుండి అనుసరిస్తాయి.

నాలుగు సమాన భుజాలతో సమాంతర చతుర్భుజాన్ని రాంబస్ అంటారు.

పునరావృత ప్రశ్నలు

ప్రాథమిక రేఖాగణిత నిర్మాణాల పరిజ్ఞానం ప్రతి సందర్భంలోనూ అత్యంత హేతుబద్ధమైన పద్ధతులను ఎంచుకోవడం ద్వారా సరిగ్గా మరియు త్వరగా డ్రా చేయడం సాధ్యపడుతుంది.

2.1 ఒక విభాగాన్ని సమాన భాగాలుగా విభజించడం

మధ్యస్థ లంబంగా (Fig. 18, a) నిర్మించడం ద్వారా మీరు దిక్సూచిని ఉపయోగించి సెగ్మెంట్‌ను సగానికి విభజించవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, సెగ్మెంట్ యొక్క సగం కంటే ఎక్కువ పొడవును కొలిచే వ్యాసార్థాన్ని తీసుకోండి మరియు ఒకదానికొకటి కలిసే వరకు రెండు వైపులా దాని చివరల నుండి వృత్తాకార ఆర్క్‌లను గీయండి. మేము ఆర్క్‌ల ఖండన పాయింట్ల ద్వారా మధ్యస్థ లంబాన్ని గీస్తాము.

సమాన భాగాలుగా విభజించడానికి మేము ఫా-సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగిస్తాము

పరంజా: కోణం యొక్క ఒక వైపున సమాన విభాగాలు వేయబడి మరియు వాటి చివరల ద్వారా సమాంతర సరళ రేఖలు గీసినట్లయితే, అప్పుడు సమాన భాగాలు కోణం యొక్క మరొక వైపున కూడా వేయబడతాయి (Fig. 18, b). ప్రో కింద

AB విభాగానికి ఏకపక్ష కోణంలో సహాయక రే ACని గీయండి, దానిపై మేము ఈ విభాగాన్ని విభజించాల్సిన భాగాల సంఖ్యకు అనేక సార్లు ఏకపక్ష పొడవు యొక్క విభాగాన్ని తొలగిస్తాము. మేము చివరి సెగ్మెంట్ ముగింపును పాయింట్ B కి కనెక్ట్ చేస్తాము మరియు మిగిలిన విభాగాల చివరల ద్వారా BC కి సమాంతరంగా సరళ రేఖలను గీయండి.

2.2 ఒక వృత్తాన్ని విభజించడం ఏకపక్ష సంఖ్యసమాన భాగాలు

సాధారణ బహుభుజాలను నిర్మించడానికి వృత్తాన్ని సమాన భాగాలుగా విభజించే సామర్థ్యం అవసరం. ముందుగా వృత్తాన్ని విభజించే ప్రత్యేక పద్ధతులను పరిశీలిద్దాం.

మూడు భాగాలుగా విభజించండి (Fig. 19)

మేము వృత్తం యొక్క పరస్పర లంబ వ్యాసాల చివరలలో ఒకదానిలో దిక్సూచి యొక్క కాలును ఉంచుతాము. వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థానికి సమానమైన దిక్సూచి పరిష్కారాన్ని ఉపయోగించి, మేము వ్యాసం యొక్క ఈ చివర రెండు వైపులా దానిపై నోచెస్ చేస్తాము. మేము రెండు శీర్షాలను పొందుతాము సాధారణ త్రిభుజం. మూడవ శీర్షం వ్యాసం యొక్క వ్యతిరేక ముగింపు.

నాలుగు భాగాలుగా విభజించండి (Fig. 20)

రెండు పరస్పర లంబ వ్యాసాలు వృత్తాన్ని నాలుగు సమాన భాగాలుగా విభజిస్తాయి. అక్షాలకు 45ᵒ కోణంలో వృత్తం మధ్యలో సరళ రేఖలు గీసినట్లయితే, అవి కూడా వృత్తాన్ని నాలుగు సమాన భాగాలుగా విభజిస్తాయి. చెక్కబడిన చతురస్రం యొక్క భుజాలు వృత్తం యొక్క అక్షాలకు సమాంతరంగా ఉంటాయి. ఈ రెండు చతురస్రాలు కలిసి వృత్తాన్ని ఎనిమిది సమాన భాగాలుగా విభజించాయి.

ఐదు భాగాలుగా విభజించబడింది (Fig. 21)

● 1 ). వ్యాసార్థానికి సమానమైన దిక్సూచి ఓపెనింగ్ ఉపయోగించి, మేము సర్కిల్లో ఒక గీతను చేస్తాము. మనకు పాయింట్ 2 వస్తుంది.

● పాయింట్ 2 నుండి మేము గీతను తయారు చేసిన ముగింపు నుండి వ్యాసానికి లంబంగా తగ్గిస్తాము. మనకు పాయింట్ 3 వస్తుంది.

● మేము దిక్సూచి యొక్క కాలును పాయింట్ వద్ద ఉంచుతాము 3. వ్యాసార్థాన్ని తీసుకుందాం దూరానికి సమానంపాయింట్ 3 నుండి నిలువు వ్యాసం (పాయింట్ 4) చివరి వరకు, మరియు క్షితిజ సమాంతర వ్యాసంతో కలిసే వరకు ఒక ఆర్క్‌ని గీయండి. మనకు పాయింట్ 5 వస్తుంది.

● 4 మరియు 5 పాయింట్లను కనెక్ట్ చేయండి. తీగ 4–5 సర్కిల్‌లో 1/5 ఉంటుంది.

● మేము దిక్సూచితో తీగ యొక్క పొడవును కొలుస్తాము 4-5 మరియు వ్యాసం యొక్క చివర్లలో ఒకదాని నుండి దానిని తీసివేయడం ప్రారంభించండి (పెంటగాన్ అక్షాలకు సంబంధించి ఎలా ఉండాలి అనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది). మేము ఒక విభాగాన్ని వేయడం ప్రారంభించిన చివరి నుండి వ్యాసం ఫిగర్ యొక్క సమరూపత యొక్క అక్షం అవుతుంది.

ఒకేసారి రెండు వైపులా ముక్కలను వేయాలని సిఫార్సు చేయబడింది. మిగిలిన సెగ్మెంట్ ఉండాలి అక్షానికి లంబంగాసమరూపత. దాని పొడవు మిగిలిన విభాగాల పొడవుకు సమానంగా లేకుంటే, నిర్మాణం తప్పుగా నిర్వహించబడిందని లేదా 4-5 తీగను తప్పుగా కొలిచినట్లు అర్థం. మీరు సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవును సర్దుబాటు చేయాలి మరియు సర్కిల్‌ను మళ్లీ విభజించడాన్ని పునరావృతం చేయాలి.

ఆరు భాగాలుగా విభజించండి (Fig. 22)

సర్కిల్ యొక్క వ్యాసార్థానికి సమానమైన దిక్సూచి ఓపెనింగ్ ఉపయోగించి, మేము వాటి నుండి రెండు దిశలలో ఒకే వ్యాసం యొక్క రెండు చివరల నుండి నోచెస్ చేస్తాము. మనకు నాలుగు శీర్షాలు లభిస్తాయి సాధారణ షడ్భుజి. ఇతర రెండు శీర్షాలు వ్యాసం యొక్క చివరలు, వాటి నుండి సెరిఫ్‌లు తయారు చేయబడతాయి.

ఏడు భాగాలుగా విభజించండి (చిత్రం 23)

● మేము దిక్సూచి యొక్క కాలును వ్యాసం చివరలలో ఒకదానిలో ఉంచుతాము (పాయింట్ 1 ) సర్కిల్ యొక్క వ్యాసార్థానికి సమానమైన దిక్సూచి పరిష్కారాన్ని ఉపయోగించి, మేము దానిపై ఒక గీతను చేస్తాము. మనకు పాయింట్ 2 వస్తుంది.

● పాయింట్ 2 నుండి మేము గీతను తయారు చేసిన ముగింపు నుండి వ్యాసానికి లంబంగా తగ్గిస్తాము. మనకు పాయింట్ 3 వస్తుంది. సెగ్మెంట్ 2–3 అనేది సర్కిల్‌లో 1/7.

● మేము సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవును కాలిపర్‌తో కొలుస్తాము 2-3 మరియు వరుసగా రెండు వైపులా వ్యాసం యొక్క రెండు చివరలను ఒకేసారి పక్కన పెట్టండి. చివరి సెగ్మెంట్ వ్యాసానికి లంబంగా ఉండాలి, దాని చివర నుండి విభాగాలు వేయడం ప్రారంభించబడింది. ఈ వ్యాసం లిఖించబడిన హెప్టాగన్ యొక్క సమరూపత అవుతుంది.

పది భాగాలుగా విభజించండి (చిత్రం 24)

● అంజీర్‌లో చూపిన విధంగా సర్కిల్‌ను 5 భాగాలుగా విభజించండి. 21. మనకు సాధారణ పెంటగాన్ లభిస్తుంది.

● పెంటగాన్ యొక్క ప్రతి శీర్షం నుండి మేము వ్యతిరేక భుజాలకు లంబాలను తగ్గిస్తాము. అవన్నీ వృత్తం మధ్యలో గుండా వెళతాయి మరియు ప్రక్కను విభజిస్తాయి మరియు దానిని సగానికి ఉపసంహరించుకుంటాయి. మేము మరో 5 శీర్షాలను పొందుతాము.

పన్నెండు భాగాలుగా విభజించడం (Fig. 25)

సర్కిల్ యొక్క వ్యాసార్థానికి సమానమైన దిక్సూచి ఓపెనింగ్ ఉపయోగించి, వాటి రెండు వైపులా రెండు వ్యాసాల చివరల నుండి మేము నోచెస్ చేస్తాము.

వృత్తాన్ని ఎన్ని భాగాలుగా విభజించడానికి సాధారణ సాంకేతికత కూడా ఉంది. సాధారణ షడ్భుజిని (Fig. 27) నిర్మించే ఉదాహరణను ఉపయోగించి దీనిని పరిశీలిద్దాం.

● మేము రెండు పరస్పర లంబ వ్యాసాలను (క్షితిజ సమాంతర మరియు నిలువు) గీస్తాము.

● ఫిగర్ యొక్క సమరూపత యొక్క అక్షాన్ని మనం సర్కిల్‌ను విభజించాల్సినన్ని భాగాలుగా చేయాలనుకుంటున్న వ్యాసాన్ని మేము విభజిస్తాము. అంజీర్లో. 27 వ్యాసం AB 9 భాగాలుగా విభజించబడింది. మేము ఫలిత విభజన పాయింట్లను సంఖ్య చేస్తాము.

● మేము దిక్సూచి యొక్క కాలును పాయింట్ వద్ద ఉంచుతాము A మరియు వ్యాసార్థం, వ్యాసానికి సమానంసర్కిల్, నిలువు వ్యాసం యొక్క కొనసాగింపుతో కలుస్తుంది వరకు ఒక ఆర్క్ డ్రా. మనకు పాయింట్ సి వస్తుంది.

● మేము వ్యాసాన్ని విభజించే పాయింట్లతో పాయింట్ Cని ఒకదాని ద్వారా కనెక్ట్ చేస్తాము మరియు I, II, III, IV పాయింట్ల వద్ద సర్కిల్ యొక్క వ్యతిరేక ఆర్క్‌తో కలుస్తుంది వరకు కొనసాగుతుంది. నాన్గాన్ యొక్క శీర్షాలలో ఒకటి పాయింట్ A అయి ఉంటే, అప్పుడు వ్యాసంలోని అన్ని సమాన విభాగాల ద్వారా కిరణాలను గీయండి (Fig. 27, a). పాయింట్ B శీర్షాలలో ఒకటిగా మారినట్లయితే, అప్పుడు కిరణాలు వ్యాసంలోని అన్ని బేసి విభజనల ద్వారా డ్రా చేయాలి (Fig. 27, b).

● మేము క్షితిజ సమాంతర వ్యాసానికి సంబంధించి నిర్మించిన పాయింట్లను సుష్టంగా ప్రదర్శిస్తాము. మేము ఫిగర్ యొక్క మిగిలిన శీర్షాలను పొందుతాము.

2.2.1 పని సంఖ్య 4. ఒక వృత్తాన్ని విభజించడం

లక్ష్యం: వృత్తాన్ని సమాన భాగాలుగా విభజించే పద్ధతులను అధ్యయనం చేయడం.

మొదటి వరుస డ్రాలో A3 ఆకృతిలో సాధారణ బహుభుజాలు(మూడు-, నాలుగు-, ఐదు-, ఆరు-, ఏడు- మరియు తొమ్మిది-గోన్), 60 మిమీ వ్యాసంతో వృత్తాలలో చెక్కబడింది. సహాయక పంక్తులు వలె సర్కిల్‌లు సన్నగా ఉండాలి. మందపాటి గీతలతో బహుభుజాలను రూపుమాపండి.