Nyingine ya chaguo za kukokotoa katika mifano ya uhakika. Nyingi ya chaguo za kukokotoa

Tarehe: 11/20/2014

Derivative ni nini?

Jedwali la derivatives.

Derivative ni mojawapo ya dhana kuu hisabati ya juu. Katika somo hili tutatambulisha dhana hii. Wacha tufahamiane, bila uundaji mkali wa hesabu na uthibitisho.

Ujuzi huu utakuruhusu:

Kuelewa kiini cha kazi rahisi na derivatives;

Kusuluhisha shida hizi kwa mafanikio kazi ngumu;

Jitayarishe kwa masomo mazito zaidi juu ya derivatives.

Kwanza - mshangao mzuri.)

Ufafanuzi mkali wa derivative unategemea nadharia ya mipaka na jambo hilo ni ngumu sana. Hii inasikitisha. Lakini matumizi ya vitendo ya derivatives, kama sheria, hauhitaji kina na vile maarifa ya kina!

Kwa utekelezaji wenye mafanikio inatosha kujua kazi nyingi shuleni na chuo kikuu masharti machache tu- kuelewa kazi, na sheria chache tu- kutatua. Ni hayo tu. Hii inanifurahisha.

Wacha tuanze kufahamiana?)

Masharti na uteuzi.

Kuna shughuli nyingi tofauti za hisabati katika hisabati ya msingi. Kuongeza, kutoa, kuzidisha, ufafanuzi, logarithm, nk. Ukiongeza operesheni moja zaidi kwa shughuli hizi, hisabati ya msingi inakuwa ya juu zaidi. Operesheni hii mpya inaitwa utofautishaji. Ufafanuzi na maana ya operesheni hii itajadiliwa katika masomo tofauti.

Ni muhimu kuelewa hapa kwamba kutofautisha ni rahisi operesheni ya hisabati juu ya utendaji. Tunachukua kazi yoyote na, kulingana na sheria fulani, ibadilishe. Matokeo yake yatakuwa kazi mpya. Kazi hii mpya inaitwa: derivative.

Utofautishaji- hatua juu ya utendaji.

Derivative- matokeo ya hatua hii.

Kama tu, kwa mfano, jumla- matokeo ya kuongeza. Au Privat- matokeo ya mgawanyiko.

Kwa kujua masharti, unaweza angalau kuelewa majukumu.) Michanganyiko ni kama ifuatavyo: pata derivative ya kazi; kuchukua derivative; kutofautisha kazi; hesabu derivative Nakadhalika. Hii ndiyo yote sawa. Bila shaka, pia kuna kazi ngumu zaidi, ambapo kutafuta derivative (tofauti) itakuwa moja tu ya hatua katika kutatua tatizo.

Derivative inaonyeshwa kwa kistari kilicho kwenye sehemu ya juu ya kulia ya chaguo la kukokotoa. Kama hii: y" au f"(x) au S"(t) Nakadhalika.

Kusoma kiharusi cha igrek, ef kiharusi kutoka kwa x, kiharusi kutoka kwa te, vizuri, unaelewa ...)

Msingi pia inaweza kuonyesha derivative ya kazi fulani, kwa mfano: (2x+3)", (x 3 )" , (Sinx)" na kadhalika. Mara nyingi derivatives huonyeshwa kwa kutumia tofauti, lakini hatutazingatia nukuu kama hiyo katika somo hili.

Wacha tuchukue kwamba tumejifunza kuelewa kazi. Kilichobaki ni kujifunza jinsi ya kuyatatua.) Acha nikukumbushe tena: kutafuta derivative ni. mabadiliko ya kazi kulingana na sheria fulani. Kwa kushangaza, kuna wachache sana wa sheria hizi.

Ili kupata derivative ya kazi, unahitaji kujua mambo matatu tu. Nguzo tatu ambazo upambanuzi wote umesimama. Hizi ndizo nguzo tatu:

1. Jedwali la derivatives (formula za utofautishaji).

3. Derivative kazi ngumu.

Hebu tuanze kwa utaratibu. Katika somo hili tutaangalia jedwali la derivatives.

Jedwali la derivatives.

Katika dunia - seti isiyo na mwisho kazi. Miongoni mwa aina hii, kuna kazi ambazo ni muhimu zaidi kwa matumizi ya vitendo. Kazi hizi zinapatikana katika sheria zote za asili. Kutoka kwa kazi hizi, kama kutoka kwa matofali, unaweza kuunda zingine zote. Darasa hili la kazi linaitwa kazi za msingi. Ni kazi hizi ambazo husomwa shuleni - linear, quadratic, hyperbola, nk.

Tofauti ya kazi "kutoka mwanzo", i.e. Kulingana na ufafanuzi wa derivative na nadharia ya mipaka, hii ni jambo la kazi kubwa. Na wanahisabati ni watu pia, ndio, ndio!) Kwa hivyo wamerahisisha maisha yao (na sisi). Walihesabu derivatives ya kazi za msingi mbele yetu. Matokeo yake ni jedwali la derivatives, ambapo kila kitu kiko tayari.)

Hapa ni, sahani hii kwa kazi maarufu zaidi. Kushoto - kazi ya msingi, upande wa kulia ni derivative yake.

	Kazi y	Nyingi ya kitendakazi y y"
1	C ( mara kwa mara)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - nambari yoyote)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x


4	dhambi x	(dhambi x)" = cosx
	kwani x	(cos x)" = - dhambi x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	a x
4	e x
5	logi a x
5	ln x ( a = e)

Ninapendekeza kulipa kipaumbele kwa kundi la tatu la kazi katika jedwali hili la derivatives. Derivative kazi ya nguvu- moja ya kanuni za kawaida, ikiwa sio za kawaida! Unapata kidokezo?) Ndiyo, inashauriwa kujua meza ya derivatives kwa moyo. Kwa njia, hii sio ngumu kama inavyoweza kuonekana. Jaribu kuamua mifano zaidi, meza yenyewe itakumbukwa!)

Kupata thamani ya meza ya derivative, kama unavyoelewa, sio kazi ngumu zaidi. Kwa hivyo, mara nyingi sana ndani kazi zinazofanana Kuna chips za ziada. Aidha katika maneno ya kazi, au katika kazi asilia, ambayo haionekani kuwa kwenye jedwali...

Hebu tuangalie mifano michache:

1. Pata derivative ya kazi y = x 3

Hakuna kazi kama hiyo kwenye jedwali. Lakini kuna derivative ya kazi ya nguvu ndani mtazamo wa jumla(kikundi cha tatu). Kwa upande wetu n=3. Kwa hivyo tunabadilisha tatu badala ya n na kuandika kwa uangalifu matokeo:

(x 3) = 3 x 3-1 = 3x 2

Ni hayo tu.

Jibu: y" = 3x 2

2. Tafuta thamani ya derivative ya chaguo za kukokotoa y = sinx katika uhakika x = 0.

Jukumu hili linamaanisha kwamba lazima kwanza utafute derivative ya sine, na kisha ubadilishe thamani x = 0 kwenye derivative sana hii. Hasa kwa utaratibu huo! Vinginevyo, hutokea kwamba mara moja hubadilisha sifuri kwenye chaguo la kukokotoa asilia... Tunaulizwa kupata si thamani ya chaguo la kukokotoa asilia, lakini thamani. derivative yake. Derivative, wacha nikukumbushe, ni kazi mpya.

Kwa kutumia kibao tunapata sine na derivative inayolingana:

y" = (dhambi x)" = cosx

Tunabadilisha sifuri kwenye derivative:

y"(0) = cos 0 = 1

Hili litakuwa jibu.

3. Tofautisha utendaji:

Je, inahamasisha?) Hakuna kazi hiyo katika jedwali la derivatives.

Acha nikukumbushe kwamba kutofautisha kazi ni kupata tu derivative ya chaguo hili la kukokotoa. Ukisahau trigonometry ya msingi, kutafuta derivative ya kazi yetu ni shida sana. Jedwali haisaidii...

Lakini kama tunaona kwamba kazi yetu ni kosini pembe mbili , basi kila kitu kinakuwa bora mara moja!

Ndiyo ndiyo! Kumbuka kwamba kubadilisha kazi ya awali kabla ya kutofautisha kukubalika kabisa! Na hutokea kufanya maisha rahisi sana. Kutumia fomula ya cosine ya pembe mbili:

Wale. kazi yetu gumu ni kitu zaidi ya y = cosx. Na hii ni - kazi ya meza. Tunapata mara moja:

Jibu: y" = - dhambi x.

Mfano kwa wahitimu wa juu na wanafunzi:

4. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa:

Hakuna kazi kama hiyo kwenye jedwali la derivatives, kwa kweli. Lakini ikiwa unakumbuka hisabati ya msingi, vitendo na digrii ... Kisha inawezekana kabisa kurahisisha kazi hii. Kama hii:

Na x kwa nguvu ya moja ya kumi tayari ni kazi ya tabular! Kundi la tatu, n=1/10. Tunaandika moja kwa moja kulingana na formula:

Ni hayo tu. Hili litakuwa jibu.

Natumaini kwamba kila kitu ni wazi na nguzo ya kwanza ya kutofautisha - meza ya derivatives. Inabakia kukabiliana na nyangumi mbili zilizobaki. Katika somo linalofuata tutajifunza kanuni za utofautishaji.

Amua kazi za kimwili au mifano katika hisabati haiwezekani kabisa bila ujuzi wa derivative na mbinu za kuhesabu. Derivative ni mojawapo ya dhana muhimu zaidi uchambuzi wa hisabati. Hii mada ya msingi tuliamua kuweka wakfu makala ya leo. Je, derivative ni nini, maana yake ya kimwili na kijiometri ni nini, jinsi ya kuhesabu derivative ya kazi? Maswali haya yote yanaweza kuunganishwa kuwa moja: jinsi ya kuelewa derivative?

Maana ya kijiometri na kimwili ya derivative

Hebu kuwe na utendaji f(x) , iliyobainishwa katika muda fulani (a, b) . Alama x na x0 ni za kipindi hiki. Wakati x inabadilika, kazi yenyewe inabadilika. Kubadilisha hoja - tofauti katika maadili yake x-x0 . Tofauti hii imeandikwa kama delta x na inaitwa kuongeza hoja. Mabadiliko au nyongeza ya chaguo za kukokotoa ni tofauti kati ya thamani za chaguo za kukokotoa katika nukta mbili. Ufafanuzi wa derivative:

Nyingine ya chaguo za kukokotoa katika hatua ni kikomo cha uwiano wa nyongeza ya chaguo za kukokotoa katika sehemu fulani ya ongezeko la hoja wakati mwisho inaelekea sifuri.

Vinginevyo inaweza kuandikwa kama hii:

Ni nini maana ya kupata kikomo kama hicho? Na hii ndio ni:

derivative ya chaguo za kukokotoa katika hatua ni sawa na tanjiti ya pembe kati ya mhimili wa OX na tanje kwa grafu ya chaguo za kukokotoa katika hatua fulani.

Maana ya kimwili ya derivative: derivative ya njia kwa heshima na wakati ni sawa na kasi ya mwendo wa rectilinear.

Hakika, tangu siku za shule kila mtu anajua kwamba kasi ni njia fulani x=f(t) na wakati t . kasi ya wastani kwa muda fulani:

Ili kujua kasi ya harakati kwa wakati kwa wakati t0 unahitaji kuhesabu kikomo:

Kanuni ya kwanza: kuweka mara kwa mara

Mara kwa mara inaweza kuchukuliwa nje ya ishara derivative. Aidha, hii lazima ifanyike. Wakati wa kutatua mifano katika hisabati, ichukue kama sheria - Ikiwa unaweza kurahisisha usemi, hakikisha umerahisisha .

Mfano. Wacha tuhesabu derivative:

Kanuni ya pili: inayotokana na jumla ya kazi

Derivative ya jumla ya kazi mbili ni sawa na jumla ya derivatives ya kazi hizi. Vile vile ni kweli kwa derivative ya tofauti ya kazi.

Hatutatoa uthibitisho wa nadharia hii, lakini fikiria mfano wa vitendo.

Pata derivative ya chaguo za kukokotoa:

Kanuni ya tatu: derivative ya bidhaa ya kazi

Derivative ya bidhaa ya kazi mbili zinazoweza kutofautishwa huhesabiwa na formula:

Mfano: tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa:

Suluhisho:

Ni muhimu kuzungumza juu ya kuhesabu derivatives ya kazi ngumu hapa. Nyingine ya chaguo za kukokotoa changamani ni sawa na bidhaa ya kinyambulisho cha chaguo hili la kukokotoa kwa heshima na hoja ya kati na kinyago cha hoja ya kati kwa heshima na kigezo huru.

Katika mfano hapo juu tunakutana na usemi:

KATIKA kwa kesi hii hoja ya kati ni 8x kwa nguvu ya tano. Ili kuhesabu derivative ya usemi kama huo, kwanza tunahesabu derivative kazi ya nje kwa hoja ya kati, na kisha zidisha kwa derivative ya hoja ya kati yenyewe kwa heshima na tofauti huru.

Kanuni ya nne: derivative ya mgawo wa kazi mbili

Mfumo wa kuamua derivative ya mgawo wa kazi mbili:

Tulijaribu kuzungumza juu ya derivatives kwa dummies kutoka mwanzo. Mada hii sio rahisi kama inavyoonekana, kwa hivyo tahadhari: mara nyingi kuna mitego katika mifano, kwa hivyo kuwa mwangalifu wakati wa kuhesabu derivatives.

Ukiwa na maswali yoyote kuhusu mada hii na nyinginezo, unaweza kuwasiliana na huduma ya wanafunzi. Nyuma muda mfupi Tutakusaidia kutatua majaribio magumu zaidi na kutatua matatizo, hata kama hujawahi kufanya mahesabu ya derivative hapo awali.

Tatizo B9 hutoa grafu ya chaguo za kukokotoa au derivative ambayo unahitaji kuamua mojawapo ya idadi zifuatazo:

Thamani ya derivative wakati fulani x 0,
Alama za juu au za chini (alama za juu),
Vipindi vya kuongezeka na kupungua kwa kazi (vipindi vya monotonicity).

Kazi na derivatives iliyotolewa katika tatizo hili ni daima kuendelea, na kufanya ufumbuzi rahisi zaidi. Licha ya ukweli kwamba kazi hiyo ni ya sehemu ya uchambuzi wa hisabati, hata zaidi wanafunzi dhaifu, kwa sababu hakuna kina maarifa ya kinadharia haihitajiki hapa.

Ili kupata thamani ya derivative, pointi kali na vipindi vya monotonicity, kuna algorithms rahisi na ya ulimwengu - yote yatajadiliwa hapa chini.

Soma masharti ya shida B9 kwa uangalifu ili kuzuia kufanya makosa ya kijinga: wakati mwingine hukutana na maandishi marefu, lakini hali muhimu, ambayo huathiri mwendo wa uamuzi, kuna wachache.

Uhesabuji wa thamani ya derivative. Mbinu mbili za pointi

Ikiwa tatizo limepewa grafu ya chaguo za kukokotoa f(x), tangent kwa grafu hii wakati fulani x 0, na inahitajika kupata thamani ya derivative katika hatua hii, algoriti ifuatayo inatumika:

Tafuta alama mbili "zinazotosha" kwenye grafu ya tanjiti: viwianishi vyake lazima ziwe kamili. Hebu tuzingatie pointi hizi kama A (x 1 ; y 1) na B (x 2 ; y 2). Andika kuratibu kwa usahihi - hii ni wakati muhimu suluhisho, na kosa lolote hapa husababisha jibu lisilo sahihi.
Kujua kuratibu, ni rahisi kuhesabu ongezeko la hoja Δx = x 2 - x 1 na ongezeko la kazi Δy = y 2 - y 1.
Hatimaye, tunapata thamani ya derivative D = Δy/Δx. Kwa maneno mengine, unahitaji kugawanya ongezeko la kazi kwa kuongezeka kwa hoja - na hii itakuwa jibu.

Wacha tuangalie tena: alama A na B lazima zitazamwe kwa usahihi kwenye tanjent, na sio kwenye grafu ya chaguo la kukokotoa f(x), kama inavyotokea mara nyingi. Mstari wa tangent lazima uwe na angalau alama mbili kama hizo - vinginevyo shida haitaundwa kwa usahihi.

Zingatia nukta A (−3; 2) na B (−1; 6) na utafute nyongeza:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Hebu tutafute thamani ya derivative: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Kazi. Kielelezo kinaonyesha grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(x) na tanjenti kwake kwa uhakika na abscissa x 0. Pata thamani ya derivative ya chaguo za kukokotoa f(x) katika uhakika x 0 .

Zingatia nukta A (0; 3) na B (3; 0), pata nyongeza:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = -3.

Sasa tunapata thamani ya derivative: D = Δy/Δx = -3/3 = -1.

Kazi. Kielelezo kinaonyesha grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(x) na tanjenti kwake kwa uhakika na abscissa x 0. Pata thamani ya derivative ya chaguo za kukokotoa f(x) katika uhakika x 0 .

Fikiria pointi A (0; 2) na B (5; 2) na utafute nyongeza:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Inabakia kupata thamani ya derivative: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Kutoka mfano wa mwisho tunaweza kuunda sheria: ikiwa tangent ni sambamba na mhimili wa OX, derivative ya kazi katika hatua ya tangency ni sifuri. Katika kesi hii, hauitaji hata kuhesabu chochote - angalia tu grafu.

Uhesabuji wa alama za juu na za chini

Wakati mwingine, badala ya grafu ya chaguo za kukokotoa, Tatizo B9 hutoa grafu ya derivative na inahitaji kupata kiwango cha juu au cha chini zaidi cha chaguo la kukokotoa. Katika hali hii, njia ya pointi mbili haina maana, lakini kuna mwingine, hata algorithm rahisi zaidi. Kwanza, hebu tufafanue istilahi:

Pointi x 0 inaitwa upeo wa juu wa chaguo za kukokotoa f(x) ikiwa katika baadhi ya kitongoji cha hatua hii usawa ufuatao unashikilia: f(x 0) ≥ f(x).
Nukta x 0 inaitwa sehemu ya chini zaidi ya chaguo za kukokotoa f(x) ikiwa katika baadhi ya kitongoji cha hatua hii ukosefu wa usawa ufuatao unashikilia: f(x 0) ≤ f(x).

Ili kupata alama za juu na za chini kutoka kwa grafu ya derivative, fuata hatua hizi:

Chora upya grafu ya derivative, ukiondoa taarifa zote zisizo za lazima. Kama inavyoonyesha mazoezi, data isiyo ya lazima inaingilia tu uamuzi. Kwa hivyo, tunazingatia mhimili wa kuratibu zero za derivative - hiyo ndiyo yote.
Jua ishara za derivative kwenye vipindi kati ya sifuri. Ikiwa kwa hatua fulani x 0 inajulikana kuwa f'(x 0) ≠ 0, basi chaguzi mbili tu zinawezekana: f'(x 0) ≥ 0 au f'(x 0) ≤ 0. Ishara ya derivative ni. rahisi kubainishwa kutoka kwa mchoro asili: ikiwa grafu ya derivative iko juu ya mhimili wa OX, basi f'(x) ≥ 0. Na kinyume chake, ikiwa grafu ya derivative iko chini ya mhimili wa OX, basi f'(x) ≤0.
Tunaangalia zero na ishara za derivative tena. Ambapo ishara inabadilika kutoka minus hadi plus ndio kiwango cha chini zaidi. Kinyume chake, ikiwa ishara ya derivative inabadilika kutoka plus hadi minus, hii ndiyo hatua ya juu. Kuhesabu daima hufanywa kutoka kushoto kwenda kulia.

Mpango huu unafanya kazi tu kwa kazi zinazoendelea - hakuna wengine katika Tatizo B9.

Kazi. Kielelezo kinaonyesha grafu ya toleo la kukokotoa la chaguo za kukokotoa f(x) lililofafanuliwa kwenye muda [-5; 5]. Pata alama ya chini kabisa ya chaguo za kukokotoa f(x) kwenye sehemu hii.

Hebu tuondoe taarifa zisizo za lazima na kuacha tu mipaka [-5; 5] na sufuri za derivative x = -3 na x = 2.5. Pia tunazingatia ishara:

Ni wazi, katika hatua x = -3 ishara ya mabadiliko ya derivative kutoka minus hadi plus. Hii ni hatua ya chini.

Kazi. Kielelezo kinaonyesha grafu ya toleo la kukokotoa la chaguo za kukokotoa f(x) lililofafanuliwa kwenye muda [-3; 7]. Tafuta upeo wa juu wa chaguo za kukokotoa f(x) kwenye sehemu hii.

Hebu tuchore upya grafu, tukiacha tu mipaka [-3; 7] na sifuri ya derivative x = -1.7 na x = 5. Hebu tuangalie ishara za derivative kwenye grafu inayosababisha. Tuna:

Kwa wazi, katika hatua x = 5 ishara ya mabadiliko ya derivative kutoka plus hadi minus - hii ni hatua ya juu.

Kazi. Kielelezo kinaonyesha grafu ya derivative ya chaguo za kukokotoa f(x), iliyofafanuliwa kwenye muda [-6; 4]. Tafuta idadi ya alama za juu zaidi za chaguo za kukokotoa f(x) inayomilikiwa na sehemu [-4; 3].

Kutoka kwa hali ya tatizo inafuata kwamba inatosha kuzingatia tu sehemu ya grafu iliyopunguzwa na sehemu [-4; 3]. Kwa hivyo, tunaunda grafu mpya ambayo juu yake tunaweka alama kwenye mipaka [-4; 3] na sufuri za derivative ndani yake. Yaani, pointi x = -3.5 na x = 2. Tunapata:

Kwenye grafu hii kuna pointi moja tu ya juu x = 2. Ni katika hatua hii kwamba ishara ya derivative inabadilika kutoka kwa plus hadi minus.

Dokezo dogo kuhusu pointi zilizo na viwianishi visivyo na nambari kamili. Kwa mfano, katika tatizo la mwisho hatua x = -3.5 ilizingatiwa, lakini kwa mafanikio sawa tunaweza kuchukua x = -3.4. Ikiwa shida imeandikwa kwa usahihi, mabadiliko kama haya hayapaswi kuathiri jibu, kwani vidokezo "bila mahali maalum makazi" usishiriki moja kwa moja katika kutatua tatizo. Bila shaka, hila hii haitafanya kazi na pointi kamili.

Kutafuta vipindi vya kuongeza na kupunguza utendaji

Katika tatizo kama hilo, kama vile pointi za juu na za chini zaidi, inapendekezwa kutumia grafu ya derivative kutafuta maeneo ambayo kipengele cha kukokotoa chenyewe huongezeka au kupungua. Kwanza, hebu tufafanue ni nini kuongezeka na kupungua ni:

Chaguo za kukokotoa f(x) inasemekana kuongezeka kwenye sehemu ikiwa kwa nukta zozote mbili x 1 na x 2 kutoka sehemu hii taarifa ifuatayo ni kweli: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Kwa maneno mengine, kadri thamani ya hoja inavyokuwa kubwa, ndivyo thamani ya chaguo la kukokotoa inavyokuwa kubwa.
Chaguo za kukokotoa f(x) inasemekana kupungua kwa sehemu ikiwa kwa nukta zozote mbili x 1 na x 2 kutoka sehemu hii taarifa ifuatayo ni kweli: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Wale. thamani ya juu hoja inalingana na thamani ndogo ya chaguo za kukokotoa.

Hebu tutengeneze hali ya kutosha kupanda na kushuka:

Ili kazi inayoendelea f(x) huongezeka kwenye sehemu , inatosha kuwa derivative yake ndani ya sehemu ni chanya, i.e. f’(x) ≥0.
Ili kazi inayoendelea f(x) ipungue kwenye sehemu , inatosha kuwa derivative yake ndani ya sehemu iwe hasi, i.e. f’(x) ≤0.

Tukubali kauli hizi bila ushahidi. Kwa hivyo, tunapata mpango wa kutafuta vipindi vya kuongezeka na kupungua, ambayo kwa njia nyingi ni sawa na algorithm ya kuhesabu alama za juu:

Ondoa taarifa zote zisizo za lazima. Katika grafu ya asili ya derivative, tunavutiwa hasa na sufuri za chaguo la kukokotoa, kwa hivyo tutaziacha pekee.
Weka alama kwenye alama za derivative katika vipindi kati ya sufuri. Ambapo f’(x) ≥ 0, chaguo za kukokotoa huongezeka, na ambapo f’(x) ≤ 0, hupungua. Ikiwa tatizo litaweka vizuizi kwenye kigezo cha x, tunaziweka alama kwenye grafu mpya.
Sasa kwa kuwa tunajua tabia ya kazi na vikwazo, inabakia kuhesabu kiasi kinachohitajika katika tatizo.

Kazi. Kielelezo kinaonyesha grafu ya toleo la kukokotoa la chaguo za kukokotoa f(x) lililofafanuliwa kwenye muda [-3; 7.5]. Pata vipindi vya kupungua kwa chaguo za kukokotoa f(x). Katika jibu lako, onyesha jumla ya nambari kamili zilizojumuishwa katika vipindi hivi.

Kama kawaida, wacha tuchore upya grafu na tuweke alama kwenye mipaka [-3; 7.5], pamoja na sifuri za derivative x = -1.5 na x = 5.3. Kisha tunaona ishara za derivative. Tuna:

Kwa kuwa derivative ni hasi kwenye muda (- 1.5), hii ni muda wa kazi inayopungua. Inabakia kujumlisha nambari zote zilizo ndani ya muda huu:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Kazi. Kielelezo kinaonyesha grafu ya derivative ya chaguo za kukokotoa f(x), iliyofafanuliwa kwenye muda [-10; 4]. Pata vipindi vya ongezeko la chaguo za kukokotoa f(x). Katika jibu lako, onyesha urefu wa kubwa zaidi kati yao.

Tuachane na taarifa zisizo za lazima. Tuache mipaka tu [-10; 4] na sufuri za derivative, ambazo zilikuwa nne wakati huu: x = -8, x = -6, x = -3 na x = 2. Hebu tuweke alama za alama za derivative na kupata picha ifuatayo:

Tunavutiwa na vipindi vya kuongezeka kwa kazi, i.e. vile ambapo f’(x) ≥ 0. Kuna vipindi viwili kwenye grafu: (−8; −6) na (−3; 2). Wacha tuhesabu urefu wao:
l 1 = - 6 - (-8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Kwa kuwa tunahitaji kupata urefu wa kubwa zaidi ya vipindi, tunaandika thamani l 2 = 5 kama jibu.

Wakati wa kuamua kazi mbalimbali jiometri, mechanics, fizikia na matawi mengine ya maarifa yakawa muhimu kwa kutumia mchakato sawa wa uchanganuzi kutoka kwa kazi hii y=f(x) kupokea kipengele kipya ambayo inaitwa kazi ya derivative(au kwa urahisi derivative) ya chaguo za kukokotoa f(x) na huteuliwa na ishara

Mchakato ambao kutoka kwa kitendakazi ulichopewa f(x) pata kipengele kipya f" (x), kuitwa utofautishaji na lina hatua tatu zifuatazo: 1) toa hoja x ongezeko  x na kuamua nyongeza inayolingana ya chaguo za kukokotoa  y = f(x+ x) -f(x); 2) kuunda uhusiano

3) kuhesabu x mara kwa mara na  x0, tunapata
, ambayo tunaashiria nayo f" (x), kana kwamba inasisitiza kwamba kazi inayotokana inategemea tu thamani x, ambayo tunaenda hadi kikomo. Ufafanuzi: Nyingi y " =f" (x) kukokotoa y=f(x) kwa x iliyotolewa inaitwa kikomo cha uwiano wa ongezeko la kazi kwa ongezeko la hoja, isipokuwa kwamba ongezeko la hoja huwa na sifuri, ikiwa, bila shaka, kikomo hiki kipo, i.e. yenye mwisho. Hivyo,
, au

Kumbuka kwamba ikiwa kwa thamani fulani x, kwa mfano wakati x=a, mtazamo
katika  x0 haielekei kikomo cha mwisho, basi katika kesi hii wanasema kwamba kazi f(x) katika x=a(au kwa uhakika x=a) haina derivative au haiwezi kutofautishwa katika uhakika x=a.

2. Maana ya kijiometri ya derivative.

Fikiria grafu ya chaguo za kukokotoa y = f (x), inayoweza kutofautishwa katika eneo la nukta x 0

f(x)

Hebu tuchunguze mstari wa moja kwa moja wa kiholela unaopita kwenye nukta kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa - nukta A(x 0, f (x 0)) na kukatiza grafu wakati fulani B(x;f(x)). Mstari kama huo (AB) unaitwa secant. Kutoka ∆ABC: AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Tangu AC | Ng'ombe, kisha ALO = BAC = β (kama inavyolingana kwa sambamba). Lakini ALO ni pembe ya mwelekeo wa secant AB hadi mwelekeo chanya wa mhimili wa Ox. Hii ina maana tanβ = k - mteremko moja kwa moja AB.

Sasa tutapunguza ∆х, i.e. ∆х→ 0. Katika kesi hii, hatua B itakaribia hatua A kulingana na grafu, na secant AB itazunguka. Nafasi ya kuzuia ya sekanti AB katika ∆x→ 0 itakuwa mstari ulionyooka (a), unaoitwa tanjenti kwa grafu ya chaguo za kukokotoa y = f (x) katika hatua A.

Ikiwa tutaenda kwa kikomo kama ∆x → 0 katika usawa tgβ =∆y/∆x, tunapata
ortg =f "(x 0), tangu
-pembe ya mwelekeo wa tangent kwa mwelekeo chanya wa mhimili wa Ox
, kwa ufafanuzi wa derivative. Lakini tg = k ni mgawo wa angular wa tangent, ambayo ina maana k = tg = f "(x 0).

Kwa hivyo, maana ya kijiometri ya derivative ni kama ifuatavyo.

Nyingine ya chaguo za kukokotoa katika nukta x 0 sawa na mteremko wa tangent kwa grafu ya chaguo za kukokotoa iliyochorwa kwenye hatua na abscissa x 0 .

3. Maana ya kimwili ya derivative.

Fikiria harakati ya hatua kwenye mstari wa moja kwa moja. Acha uratibu wa nukta wakati wowote x(t) itolewe. Inajulikana (kutoka kwa kozi ya fizikia) kwamba kasi ya wastani katika kipindi cha muda ni sawa na uwiano wa umbali uliosafirishwa katika kipindi hiki cha muda hadi wakati, i.e.

Vav = ∆x/∆t. Wacha tufikie kikomo katika usawa wa mwisho kama ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - kasi ya papo hapo kwa wakati t 0, ∆t → 0.

na lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (kwa ufafanuzi wa derivative).

Kwa hivyo, (t) =x"(t).

Maana ya kimwili ya derivative ni kama ifuatavyo: derivative ya kaziy = f(x) kwa uhakikax 0 ni kiwango cha mabadiliko ya chaguo la kukokotoaf(x) kwa uhakikax 0

Derivative hutumiwa katika fizikia kupata kasi kutoka kwa kazi inayojulikana ya kuratibu dhidi ya wakati, kuongeza kasi kutoka kwa kazi inayojulikana ya kasi dhidi ya wakati.

(t) = x"(t) - kasi,

a(f) = "(t) - kuongeza kasi, au

Ikiwa sheria ya mwendo wa hatua ya nyenzo kwenye mduara inajulikana, basi mtu anaweza kupata kasi ya angular na kuongeza kasi ya angular wakati wa harakati za mzunguko:

φ = φ(t) - mabadiliko ya pembe kwa wakati,

ω = φ"(t) - kasi ya angular,

ε = φ"(t) - kuongeza kasi ya angular, au ε = φ"(t).

Ikiwa sheria ya usambazaji wa wingi wa fimbo ya inhomogeneous inajulikana, basi wiani wa mstari wa fimbo ya inhomogeneous inaweza kupatikana:

m = m(x) - wingi,

x  , l - urefu wa fimbo,

p = m"(x) - msongamano wa mstari.

Kutumia derivative, matatizo kutoka kwa nadharia ya elasticity na vibrations harmonic ni kutatuliwa. Kwa hivyo, kulingana na sheria ya Hooke

F = -kx, x - kuratibu kutofautiana, k - mgawo wa elasticity ya spring. Kuweka ω 2 = k/m, tunapata usawa wa tofauti wa pendulum ya spring x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

ambapo ω = √k/√m mzunguko wa oscillation (l/c), k - ugumu wa spring (H/m).

Equation ya fomu y" + ω 2 y = 0 inaitwa equation ya oscillations harmonic (mitambo, umeme, sumakuumeme). Suluhisho la milinganyo hiyo ni kazi.

y = Asin(ωt + φ 0) au y = Acos(ωt + φ 0), ambapo

A - amplitude ya oscillations, ω - mzunguko wa mzunguko,

φ 0 - awamu ya awali.

Nyingi ya kitendakazi cha kigezo kimoja.

Utangulizi.

Kweli maendeleo ya mbinu iliyokusudiwa kwa wanafunzi wa Kitivo cha Uhandisi wa Viwanda na Kiraia. Zilikusanywa kuhusiana na mpango wa kozi ya hisabati katika sehemu ya "Kokotoo tofauti la kazi za kigezo kimoja."

Maendeleo yanawakilisha mwongozo mmoja wa mbinu, ikiwa ni pamoja na: maelezo mafupi ya kinadharia; shida na mazoezi "ya kawaida" yenye suluhisho la kina na maelezo ya suluhisho hizi; chaguzi za mtihani.

Kuna mazoezi ya ziada mwishoni mwa kila aya. Muundo huu wa maendeleo unawafanya kufaa kwa ustadi wa kujitegemea wa sehemu na usaidizi mdogo kutoka kwa mwalimu.

§1. Ufafanuzi wa derivative.

Maana ya mitambo na kijiometri

derivative.

Dhana ya derivative ni mojawapo ya wengi dhana muhimu uchambuzi wa hisabati. Ilitokea katika karne ya 17. Uundaji wa dhana ya derivative kihistoria inahusishwa na matatizo mawili: tatizo la kasi ya mwendo wa kubadilishana na tatizo la tangent kwa curve.

Kazi hizi, licha ya kazi zao maudhui tofauti, kusababisha operesheni sawa ya hisabati ambayo lazima ifanyike kwenye kazi.Operesheni hii imepokea jina maalum katika hisabati. Inaitwa operesheni ya utofautishaji wa kazi. Matokeo ya operesheni ya kutofautisha inaitwa derivative.

Kwa hivyo, derivative ya chaguo la kukokotoa y=f(x) katika nukta x0 ni kikomo (ikiwa kipo) cha uwiano wa nyongeza ya chaguo la kukokotoa hadi nyongeza ya hoja.
katika
.

Derivative kawaida huonyeshwa kama ifuatavyo:
.

Kwa hivyo, kwa ufafanuzi

Alama pia hutumiwa kuashiria derivatives
.

Maana ya mitambo ya derivative.

Ikiwa s=s(t) ni sheria ya mwendo wa mstatili wa sehemu ya nyenzo, basi
ni kasi ya hatua hii kwa wakati t.

Maana ya kijiometri derivative.

Ikiwa chaguo la kukokotoa y=f(x) lina derivative katika uhakika , kisha mgawo wa angular wa tangent kwa grafu ya kazi kwenye hatua
sawa
.

Mfano.

Pata derivative ya chaguo za kukokotoa
kwa uhakika =2:

1) Hebu tutoe hoja = 2 nyongeza
. Angalia, hilo.

2) Pata ongezeko la chaguo la kukokotoa kwenye hatua =2:

3) Wacha tuunde uwiano wa nyongeza ya chaguo la kukokotoa na uongezaji wa hoja:

Wacha tupate kikomo cha uwiano
:

Hivyo,
.

§ 2. Derivatives ya baadhi

kazi rahisi zaidi.

Mwanafunzi anahitaji kujifunza jinsi ya kukokotoa viasili vya vitendakazi mahususi: y=x,y= na kwa ujumla= .

Hebu tutafute derivative ya chaguo za kukokotoa y=x.

hizo. (x)′=1.

Wacha tupate derivative ya chaguo la kukokotoa

Derivative

Hebu
Kisha

Ni rahisi kutambua mchoro katika misemo ya viambajengo vya utendaji kazi wa nguvu
na n=1,2,3.

Kwa hivyo,

. (1)

Njia hii ni halali kwa n yoyote halisi.

Hasa, kwa kutumia formula (1), tunayo:

;

Mfano.

Pata derivative ya chaguo za kukokotoa

Kazi hii ni kesi maalum ya kazi ya fomu

katika
.

Kwa kutumia fomula (1), tunayo

Viini vya chaguo za kukokotoa y=sin x na y=cos x.

Acha y=sinx.

Gawanya kwa ∆x, tunapata

Kupita hadi kikomo kwa ∆x→0, tunayo

Acha y=cosx.

Kupita hadi kikomo kwa ∆x→0, tunapata

;
. (2)

§3. Kanuni za msingi za kutofautisha.

Wacha tuzingatie sheria za kutofautisha.

Nadharia1 . Ikiwa kazi u=u(x) na v=v(x) zinaweza kutofautishwa katika hatua fulani x, basi jumla yao inaweza kutofautishwa katika hatua hii, na derivative ya jumla ni sawa na jumla ya derivatives ya masharti. : (u+v)"=u"+v".(3)

Uthibitisho: zingatia chaguo za kukokotoa y=f(x)=u(x)+v(x).

Nyongeza ∆x ya hoja x inalingana na nyongeza ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) ya chaguo za kukokotoa u na v. Kisha kazi y itaongezeka

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Kwa hivyo,

Kwa hivyo, (u+v)"=u"+v".

Nadharia2. Ikiwa vitendakazi u=u(x) na v=v(x) vinaweza kutofautishwa katika nukta fulani, basi bidhaa zao zinaweza kutofautishwa katika hatua sawa.Katika hali hii, kitokaji cha bidhaa kinapatikana kwa fomula ifuatayo: ( uv)"=u"v+uv". (4)

Uthibitisho: Acha y=uv, ambapo u na v ni baadhi ya kazi zinazoweza kutofautishwa za x. Wacha tutoe x nyongeza ya ∆x; kisha utapokea nyongeza ya ∆u, v utapokea nyongeza ya ∆v, na y utapata nyongeza ya ∆y.

Tuna y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), au

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Kwa hivyo, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Kutoka hapa

Kupita hadi kikomo kwa ∆x→0 na kwa kuzingatia kwamba wewe na v hazitegemei ∆x, tutakuwa na

Nadharia 3. Derivative ya mgawo wa kazi mbili ni sawa na sehemu, denominator ambayo ni sawa na mraba wa kigawanyiko, na nambari ni tofauti kati ya bidhaa ya derivative ya gawio na mgawanyiko na bidhaa ya mgawanyiko. gawio kwa derivative ya kigawanyiko, i.e.

Kama
Hiyo
(5)