Perpendicular imeshuka kutoka kwa uhakika fulani hadi kupewa ndege, inayoitwa sehemu ya kuunganisha hatua hii na uhakika katika ndege na amelala kwenye mstari, perpendicular kwa ndege. Mwisho wa sehemu hii iliyo kwenye ndege inaitwa msingi wa perpendicular. Umbali kutoka hatua hadi ndege ni urefu wa perpendicular inayotolewa kutoka hatua hii hadi ndege.

Mteremko unaotolewa kutoka kwa hatua fulani hadi kwa ndege fulani ni sehemu yoyote inayounganisha hatua fulani kwa uhakika kwenye ndege na sio perpendicular kwa ndege hii. Mwisho wa sehemu iliyo kwenye ndege inaitwa msingi uliowekwa. Sehemu inayounganisha misingi ya perpendicular na oblique inayotolewa kutoka kwa hatua sawa inaitwa makadirio ya oblique.

Katika Mchoro 136, kutoka kwa hatua A, AB ya perpendicular na AC iliyoelekezwa huchorwa kwenye ndege. Uhakika B ndio msingi wa kipenyo, hatua C ndio msingi wa ile iliyoelekezwa, BC ni makadirio ya AC iliyoelekezwa kwenye ndege a.

Kwa kuwa umbali kutoka kwa pointi za mstari hadi kwenye ndege inayofanana nayo ni sawa, umbali kutoka kwa mstari hadi kwenye ndege inayofanana nayo ni umbali kutoka kwa hatua yoyote hadi kwenye ndege hii.

Mstari wa moja kwa moja uliochorwa kwenye ndege kupitia msingi wa ndege iliyoelekezwa kwa makadirio yake pia ni ya kawaida kwa ile iliyoelekezwa yenyewe. Na kinyume chake: ikiwa mstari wa moja kwa moja katika ndege ni perpendicular kwa moja inayoelekea, basi pia ni perpendicular kwa makadirio ya moja iliyopendekezwa (nadharia ya perpendiculars tatu).

Katika Mchoro 137, AB perpendicular na AC iliyoinamishwa huchorwa kwenye ndege a. Mstari wa moja kwa moja o, ulio kwenye ndege a, ni sawa na BC - makadirio ya AC iliyoelekezwa kwenye ndege a. Kulingana na T. 2.12, mstari wa moja kwa moja a ni perpendicular kwa kutega AC. Ikiwa inajulikana kuwa mstari wa moja kwa moja a ni perpendicular kwa AC inayoelekea, basi kulingana na T. 2.12 itakuwa perpendicular kwa makadirio yake - BC.

Mfano. Miguu ya mstatili pembetatu ABC ni sawa na 16 na Kutoka juu pembe ya kulia C inatolewa perpendicular kwa ndege ya pembetatu hii CD = 35 m (Mchoro 138). Tafuta umbali kutoka kwa uhakika D hadi hypotenuse AB.

Suluhisho. Hebu tufanye. Kulingana na hali hiyo, DC ni ya kawaida kwa ndege, i.e. DE ina mwelekeo, CE ni makadirio yake, kwa hivyo, kwa nadharia kuhusu perpendiculars tatu, inafuata kutoka kwa hali hiyo.

Kutoka tunapata Kupata urefu wa CE ndani tunapata

Kwa upande mwingine, wapi

Kutoka kwa nadharia ya Pythagorean

46. ​​Perpendicularity ya ndege.

Ndege mbili zinazopishana huitwa perpendicular ikiwa ndege yoyote inayoelekea kwenye mstari wa makutano ya ndege hizi huwakatisha kwenye mistari ya pembeni.

Mchoro 139 unaonyesha ndege mbili zinazokatiza kwenye mstari ulionyooka a. Ndege y ni perpendicular kwa mstari a na inaingiliana Katika kesi hii, ndege y inaingiliana na ndege a pamoja na mstari wa moja kwa moja c, na ndege inapita kwenye mstari wa moja kwa moja d, na yaani, kwa ufafanuzi.

T. 2.13. Ikiwa ndege inapita kwenye mstari wa perpendicular kwa ndege nyingine, basi ndege hizi ni perpendicular (ishara ya perpendicularity ya ndege).

Katika Mchoro 140, ndege hupitia mstari wa moja kwa moja, yaani, ndege ni perpendicular.

Jiometri

Stereometry

Perpendicular na oblique

Perpendicular Imeshuka kutoka sehemu fulani hadi kwenye ndege fulani ni sehemu inayounganisha sehemu fulani na ncha kwenye ndege na iko kwenye mstari unaoelekea kwenye ndege. Mwisho wa sehemu hii iliyo kwenye ndege inaitwa msingi wa perpendicular. Umbali kutoka hatua hadi ndege ni urefu wa perpendicular iliyoshuka kutoka hatua hii hadi kwenye ndege.
Kwenye picha AB- perpendicular; A.C.- kutega; B.C.- makadirio.

Umbali kutoka kwa mstari wa moja kwa moja kwa ndege inayofanana nayo ni umbali kutoka sehemu yoyote ya mstari huu ulionyooka hadi kwenye ndege.
Umbali kati ya ndege sambamba ni umbali kutoka sehemu yoyote kwenye ndege moja hadi ndege nyingine.
Imeelekezwa inayotolewa kutoka sehemu fulani hadi ndege fulani ni sehemu yoyote inayounganisha sehemu fulani na ncha kwenye ndege na haiko sawa kwa ndege. Mwisho wa sehemu iliyolala kwenye ndege inaitwa msingi ulioelekezwa.
Sehemu inayounganisha misingi ya perpendicular na oblique inayotolewa kutoka kwa sehemu hiyo hiyo inaitwa. makadirio ya oblique.

Sifa za mistari iliyoelekezwa inayochorwa kutoka sehemu moja hadi ndege moja

1. Miteremko inayotolewa kwa ndege kutoka kwa sehemu moja (takwimu iliyo chini kushoto) ni sawa ikiwa na tu ikiwa ina makadirio sawa.
2. Ikiwa miteremko miwili ya mwelekeo hutolewa kutoka kwa uhakika hadi kwenye ndege, basi moja yenye makadirio makubwa ni kubwa, na kinyume chake, moja kubwa zaidi ina makadirio makubwa.
Tafadhali kumbuka kuwa mali hizi zimehifadhiwa kwa mistari iliyoelekezwa inayotolewa kwa ndege kutoka pointi tofauti, lakini kuwa urefu sawa perpendicular (picha upande wa kulia).

Ikiwa kupitia hatua fulani iliyochukuliwa nje ya mstari tunachora mstari ulio sawa kwake, basi kwa ufupi sehemu kutoka kwa hatua hii hadi mstari inaitwa kwa neno moja. perpendicular.

Sehemu ya CO ni ya kawaida kwa mstari wa AB. Point O inaitwa msingi wa perpendicular CO (mchele).

Ikiwa mstari uliochorwa kupitia sehemu fulani unaingiliana na mstari mwingine, lakini sio sawa kwake, basi sehemu yake kutoka kwa sehemu fulani hadi mahali pa makutano na mstari mwingine inaitwa. kutega kwa mstari huu.

Sehemu ya BC - inayoelekea kwenye mstari wa moja kwa moja AO. Point C inaitwa msingi kutega (mtini).

Ikiwa tutaangusha herufi kutoka miisho ya sehemu fulani kwenye mstari wa kiholela, basi sehemu ya mstari iliyofungwa kati ya misingi ya pembejeo inaitwa. makadirio ya sehemu kwa mstari huu ulionyooka.

Sehemu АВ - makadirio ya sehemu ya AB kwenye EC. Sehemu ya OM pia inaitwa makadirio ya sehemu ya OM kwenye EC.

Makadirio ya sehemu ya KP perpendicular kwa EC itakuwa hatua K (Mchoro.).

2. Mali ya perpendicular na oblique.

Nadharia 1. Perpendicular inayotolewa kutoka kwa uhakika hadi mstari wa moja kwa moja ni chini ya oblique yoyote inayotolewa kutoka hatua sawa hadi mstari huu wa moja kwa moja.

Sehemu ya AC (Mchoro) ni perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja wa OB, na AM ni mojawapo ya mistari iliyoelekezwa inayotolewa kutoka kwa uhakika A hadi mstari wa moja kwa moja wa OB. Inahitajika kuthibitisha kuwa AM > AC.

Katika ΔMAC, sehemu ya AM ni hypotenuse, na hypotenuse ni kubwa kuliko kila mguu wa pembetatu hii. Kwa hiyo, AM > AC. Kwa kuwa tulichukua AM iliyoelekezwa kiholela, tunaweza kusema kwamba mstari wowote ulioelekezwa kwa mstari wa moja kwa moja ni mkubwa kuliko perpendicular kwa mstari huu (na perpendicular ni fupi kuliko mstari wowote ulioelekezwa) ikiwa hutolewa kutoka kwa hatua sawa.

Taarifa ya mazungumzo pia ni kweli, yaani: ikiwa sehemu ya AC (Mtini.) ni chini ya sehemu nyingine yoyote inayounganisha uhakika wa AC na hatua yoyote kwenye mstari wa moja kwa moja wa OB, basi ni perpendicular kwa OB. Kwa kweli, sehemu ya AC haiwezi kuelekezwa kwa OB, kwani wakati huo haitakuwa fupi zaidi ya sehemu zinazounganisha hatua A na vidokezo vya mstari wa moja kwa moja wa OB. Hii ina maana kwamba inaweza tu kuwa perpendicular kwa OB.

Urefu wa perpendicular imeshuka kutoka kwa uhakika fulani hadi mstari wa moja kwa moja huchukuliwa kama umbali kutoka kwa hatua fulani hadi mstari huu wa moja kwa moja.

Nadharia 2. Ikiwa mistari miwili ya oblique inayotolewa kwenye mstari kutoka kwa hatua sawa ni sawa, basi makadirio yao ni sawa.

Hebu BA na BC ziwe mistari ya kutega kutoka kwa uhakika B hadi mstari wa moja kwa moja AC (Kielelezo), na AB = BC. Inahitajika kudhibitisha kuwa makadirio yao pia ni sawa.

Ili kuthibitisha hili, hebu tupunguze BO perpendicular kutoka kwa uhakika B hadi AC. Kisha AO na OS zitakuwa makadirio ya AB na BC iliyoelekezwa kwenye mstari wa moja kwa moja wa AC. Pembetatu ABC ni isosceles kulingana na nadharia. VO ni urefu wa pembetatu hii. Lakini urefu katika pembetatu ya isosceles inayotolewa kwa msingi ni wakati huo huo wastani wa pembetatu hii.

Kwa hivyo AO = OS.

Nadharia ya 3 (kuzungumza). Ikiwa mistari miwili ya oblique inayotolewa kwa mstari wa moja kwa moja kutoka kwa hatua moja ina makadirio sawa, basi ni sawa kwa kila mmoja.

Acha AC na CB zielekee kwenye mstari wa moja kwa moja AB (Mtini.). CO ⊥ AB na AO = OB.

Inahitajika kuthibitisha kuwa AC = BC.

Katika pembetatu za kulia AOC na BOC, miguu AO na OB ni sawa. CO ni mguu wa kawaida wa pembetatu hizi. Kwa hiyo, ΔAOC = ΔBOC. Kutoka kwa usawa wa pembetatu inafuata kwamba AC = BC.

Nadharia 4. Ikiwa mistari miwili iliyoelekezwa imechorwa kutoka sehemu moja hadi mstari wa moja kwa moja, basi ile iliyo na makadirio makubwa kwenye mstari huu ulionyooka ni kubwa zaidi.

Hebu AB na BC waelekee kwenye mstari wa moja kwa moja AO; VO ⊥ AO na AO>CO. Inahitajika kuthibitisha kuwa AB > BC.

1) Zilizowekwa ziko upande mmoja wa perpendicular.

Pembe ACE ni ya nje kwa heshima ya pembetatu ya kulia ya COB (Mtini.), na kwa hivyo ∠ACV > ∠COV, yaani, ni butu. Inafuata kwamba AB > CB.

2) Zilizowekwa ziko pande zote mbili za perpendicular. Ili kuthibitisha hili, hebu tupange sehemu ya OK = OS kwenye AO kutoka kwa uhakika O na kuunganisha uhakika K hadi kumweka B (Mchoro.). Kisha, kwa Nadharia 3, tunayo: VC = BC, lakini AB > VC, kwa hiyo, AB > BC, yaani nadharia ni halali katika kesi hii pia.

Nadharia ya 5 (kuzungumza). Ikiwa mistari miwili iliyoelekezwa imechorwa kutoka sehemu moja hadi mstari wa moja kwa moja, basi mstari mkubwa zaidi wa mwelekeo pia una makadirio makubwa kwenye mstari huu wa moja kwa moja.

Acha KS na BC zielekee kwenye mstari wa moja kwa moja wa CV (Mtini.), SO ⊥ CV na KS > BC. Inahitajika kuthibitisha kwamba KO > OB.

Kati ya sehemu za KO na OB kunaweza kuwa na uhusiano mmoja tu kati ya tatu:

1) KO< ОВ,

2) KO = OV,

3) KO > OV.

KO haiwezi kuwa chini ya OB, kwani wakati huo, kulingana na Theorem 4, KS iliyoelekezwa itakuwa chini ya BC iliyoelekezwa, na hii inapingana na masharti ya nadharia.

Kwa njia hiyo hiyo, KO haiwezi kuwa sawa na OB, kwa kuwa katika kesi hii, kulingana na Theorem 3, KS = BC, ambayo pia inapingana na masharti ya theorem.

Kwa hivyo, ni uhusiano wa mwisho pekee ndio unabaki kuwa kweli, yaani, ule KO > OB.

Sifa za mistari iliyoelekezwa inayojitokeza kutoka sehemu moja. 1. Perpendicular daima ni fupi kuliko ile iliyoelekezwa ikiwa hutolewa kutoka kwa hatua sawa. 2. Ikiwa wale wanaoelekea ni sawa, basi makadirio yao ni sawa, na kinyume chake. 3. Oblique kubwa inafanana na makadirio makubwa na kinyume chake.

Slaidi ya 10 kutoka kwa uwasilishaji "Perpendicular na inayoelekea kwenye ndege". Saizi ya kumbukumbu iliyo na wasilisho ni 327 KB.

Jiometri daraja la 10

muhtasari mawasilisho mengine

"Matatizo ya Parallelogram" - Jiometri. Dots. Urefu wa parallelogram. Mraba. Ushahidi. Tanji kwa mduara. Ishara za parallelogram. Mzunguko wa parallelogram. Mduara. Sehemu. Mstari wa kati. Vituo vya miduara. Pembe. Parallelogram. Pata eneo la parallelogram. Miduara miwili. Tabia za parallelogram. Kona kali. Eneo la parallelogram. Ulalo wa parallelogram. Ulalo. Quadrangle. Pembetatu.

"Njia za ujenzi wa sehemu" - Uundaji wa ujuzi katika ujenzi wa sehemu. Wacha tuchunguze kesi nne za kuunda sehemu za parallelepiped. Tengeneza sehemu za tetrahedron. Njia kubuni mambo ya ndani. Kufanya kazi na diski. Parallelepiped ina nyuso sita. Kukata ndege. Ujenzi wa sehemu za polihedra. Kufuatilia ni mstari wa moja kwa moja wa makutano ya ndege ya sehemu na ndege ya uso wowote wa polyhedron. Njia ya kufuatilia. Memo.

""Polihedra ya kawaida" daraja la 10" - Matokeo yaliyotabiriwa. Tetrahedron iliyoelezewa karibu na nyanja ya obiti ya Mirihi. Kituo cha O, mhimili a na ndege. Nyuso za polyhedron. Radiolaria. Maudhui. Polyhedra ya kawaida. Polyhedra ya kawaida katika picha ya falsafa ya Plato ya ulimwengu. Feodaria. Polyhedra ya kawaida hupatikana katika asili hai. Wakati wa madarasa. Hatua (mstari wa moja kwa moja, ndege) inaitwa kituo (mhimili, ndege). Ni ipi kati ya zifuatazo miili ya kijiometri sio polyhedron ya kawaida.

"Uamuzi wa pembe za dihedral" - Pointi K imeondolewa kutoka kila upande. Pointi M na K zipo nyuso tofauti. Kipimo cha shahada kona. Mali pembe tatu. Vidokezo juu ya utatuzi wa shida. Kwenye moja ya kingo angle ya dihedral sawa na 30, hatua ya M iko. Ujenzi wa angle ya mstari. Chora perpendicular. Mstari wa moja kwa moja unaotolewa katika ndege fulani. Pembe za dihedral katika piramidi. Kutatua tatizo. Pointi K. Piramidi hii. Hatua kwenye makali inaweza kuwa ya kiholela.

"Njia za kuunda sehemu za polihedra" - Ndege yoyote. Wasanii. Sheria za jiometri. Uchunguzi wa Blitz. Mpangilio wa pamoja ndege na polyhedron. Tengeneza sehemu ya polyhedron. Poligoni. Njia ya Axiomatic. Kazi. Meli. Kazi. Axioms. Ujenzi wa sehemu za polihedra. Sehemu kwa ndege tofauti. Kale methali ya Kichina. Kazi ya kujitegemea. Sehemu za diagonal. Ujumuishaji wa maarifa yaliyopatikana. Kukata ndege.

“Poligoni Equilateral” - Hexahedron (Mchemraba) Mchemraba huu una miraba sita. Octahedron Octahedron inaundwa na nane pembetatu za usawa. Tetrahedron ina nyuso 4, wima 4 na kingo 6. Kuna aina 5 polihedra ya kawaida. Polygons za Kawaida. Dodekahedron ina nyuso 12, wima 20 na kingo 30. Icosahedron ina nyuso 20, wima 12 na kingo 30. Kwa hivyo, mchemraba una nyuso 6, wima 8 na kingo 12. Tetrahedron Tetrahedron inaundwa na pembetatu nne za usawa.

Perpendicular na oblique

Nadharia. Ikiwa mistari ya pembeni na iliyoelekezwa imechorwa kutoka sehemu moja nje ya ndege, basi:

1) oblique zilizo na makadirio sawa ni sawa;

2) kati ya hizo mbili zinazoelekea, yule ambaye makadirio yake ni makubwa zaidi;

3) obliques sawa zina makadirio sawa;

4) ya makadirio mawili, moja ambayo inalingana na oblique kubwa ni kubwa zaidi.

Nadharia tatu za Perpendicular. Ili mstari wa moja kwa moja ulio kwenye ndege uwe perpendicular kwa mtu anayeelekea, ni muhimu na ya kutosha kwamba mstari huu wa moja kwa moja uwe perpendicular kwa makadirio ya mtu anayeelekea (Mchoro 3).

Nadharia ya eneo makadirio ya orthogonal poligoni kwenye ndege. Eneo la makadirio ya othogonal ya poligoni kwenye ndege ni sawa na bidhaa ya eneo la poligoni na cosine ya pembe kati ya ndege ya poligoni na ndege ya makadirio.

Ujenzi.

1. Kwenye ndege a tunafanya moja kwa moja A.

3. Katika ndege b kupitia uhakika A tufanye moja kwa moja b, sambamba na mstari A.

4. Mstari wa moja kwa moja umejengwa b sambamba na ndege a.

Ushahidi. Kulingana na usawa wa mstari wa moja kwa moja na ndege, mstari wa moja kwa moja b sambamba na ndege a, kwa kuwa ni sambamba na mstari A, mali ya ndege a.

Jifunze. Kazi ina seti isiyo na mwisho ufumbuzi, tangu mstari wa moja kwa moja A ndani ya ndege a huchaguliwa kwa nasibu.

Mfano 2. Kuamua kwa umbali gani kutoka kwa ndege hatua iko A, ikiwa ni sawa AB huingilia ndege kwa pembe ya 45º, umbali kutoka kwa uhakika A kwa uhakika KATIKA mali ya ndege ni sawa na cm?

Suluhisho. Wacha tufanye mchoro (Mchoro 5):

AC- perpendicular kwa ndege a, AB- mwelekeo, pembe ABC- pembe kati ya mstari wa moja kwa moja AB na ndege a. Pembetatu ABC- mstatili kwa sababu AC- perpendicular. Umbali unaohitajika kutoka kwa uhakika A kwa ndege - hii ni mguu AC pembetatu ya kulia. Kujua angle na hypotenuse cm, tutapata mguu AC:

Jibu: 3 cm.

Mfano 3. Amua kwa umbali gani kutoka kwa ndege pembetatu ya isosceles kuna uhakika wa sentimita 13 kutoka kwa kila wima ya pembetatu ikiwa msingi na urefu wa pembetatu ni sawa na sm 8?

Suluhisho. Hebu tufanye kuchora (Mchoro 6). Nukta S mbali na pointi A, KATIKA Na NA kwa umbali sawa. Hivyo, kutega S.A., S.B. Na S.C. sawa, HIVYO- perpendicular ya kawaida ya hizi zinazoelekea. Kwa nadharia ya obliques na makadirio AO = VO = CO.

Nukta KUHUSU- katikati ya duara iliyozungushiwa pembetatu ABC. Wacha tupate radius yake:

Wapi Jua- msingi;

AD- urefu wa pembetatu fulani ya isosceles.

Kutafuta pande za pembetatu ABC kutoka kwa pembetatu ya kulia ABD kulingana na nadharia ya Pythagorean:

Sasa tunapata OB:

Fikiria pembetatu SOB: S.B.= 13 cm, OB= = cm 5. Pata urefu wa perpendicular HIVYO kulingana na nadharia ya Pythagorean:

Jibu: 12 cm.

Mfano 4. Zinatolewa ndege sambamba a Na b. Kupitia hatua M, ambayo sio ya yeyote kati yao, mistari iliyonyooka huchorwa A Na b msalaba huo a kwa pointi A 1 na KATIKA 1 na ndege b- kwa pointi A 2 na KATIKA 2. Tafuta A 1 KATIKA 1 ikiwa inajulikana hivyo MA 1 = 8 cm, A 1 A 2 = 12 cm, A 2 KATIKA 2 = 25 cm.

Suluhisho. Kwa kuwa hali haisemi jinsi hatua hiyo iko kuhusiana na ndege zote mbili M, basi chaguzi mbili zinawezekana: (Mchoro 7, a) na (Mchoro 7, b). Hebu tuangalie kila mmoja wao. Mistari miwili inayokatiza A Na b kufafanua ndege. Ndege hii inakatiza ndege mbili zinazofanana a Na b pamoja na mistari sambamba A 1 KATIKA 1 na A 2 KATIKA 2 kulingana na Theorem 5 kuhusu mistari sambamba na ndege sambamba.

Pembetatu MA 1 KATIKA 1 na MA 2 KATIKA 2 zinafanana (pembe A 2 MV 2 na A 1 MV 1 - wima, pembe MA 1 KATIKA 1 na MA 2 KATIKA 2 - njia ya ndani ya kulala na mistari inayofanana A 1 KATIKA 1 na A 2 KATIKA 2 na secant A 1 A 2). Kutoka kwa kufanana kwa pembetatu hufuata uwiano wa pande:

Kutoka hapa

Chaguo a):

Chaguo b):

Jibu: 10 cm na 50 cm.

Mfano 5. Kupitia hatua A ndege g mstari wa moja kwa moja ulichorwa AB, kutengeneza pembe na ndege a. Kupitia moja kwa moja AB ndege inachorwa r, kutengeneza na ndege g kona b. Pata pembe kati ya makadirio ya mstari wa moja kwa moja AB kwa ndege g na ndege r.

Suluhisho. Hebu tufanye kuchora (Mchoro 8). Kutoka kwa uhakika KATIKA kuacha perpendicular kwa ndege g. Pembe ya mstari angle ya dihedral kati ya ndege g Na r- hii ni pembe ya kulia AD DC, kwa kuzingatia perpendicularity ya mstari na ndege, na pia Kulingana na perpendicularity ya ndege, ndege r perpendicular kwa ndege ya pembetatu DC, kwa kuwa inapita kwenye mstari AD. Tunajenga angle inayotaka kwa kuacha perpendicular kutoka kwa uhakika NA kwa ndege r, hebu tuionyeshe Tafuta sine ya pembe hii ya pembetatu ya kulia MIMI MWENYEWE. Wacha tuanzishe sehemu ya msaidizi a = KK. Kutoka kwa pembetatu ABC: Kutoka kwa pembetatu Navy tutapata