Na polynomials, kama na nyingine yoyote maneno ya algebra, inaweza kuzalishwa vitendo mbalimbali. Wacha tujue jinsi ya kuongeza na kuondoa polynomials.
Wacha polinomia mbili zipewe. Ili kuziongeza, ziandike kwenye mabano na uweke ishara ya kuongeza kati yao. Kisha tunafungua mabano na kuwasilisha maneno sawa. Wakati wa kutoa, tunaweka ishara ya minus kati ya mabano.
Tunawafungua kwa mabano na kuwasilisha masharti sawa. Ikiwa kuna ishara ya pamoja mbele ya bracket, basi kwa kufungua mabano tunahifadhi ishara ya kila monomial iliyojumuishwa kwenye polynomial iliyofungwa kwenye mabano. Ikiwa kuna ishara ya minus mbele ya mabano, basi, kufungua mabano, unapaswa kuchukua nafasi ya ishara za kila moja ya monomials iliyojumuishwa kwenye polynomial iliyofungwa kwenye mabano.
Ili kuleta maneno sawa, unahitaji kuongeza coefficients ya monomia sawa, na kisha kuzidisha nambari inayotokana na usemi wa barua.
Mifano
Hebu tuangalie mfano.
Kwa kuzingatia polima mbili x^3 +5*x^2 - 4*x + 5 na -x^3 + 3*x^2 - x + 2. Tafuta jumla na tofauti ya hizi polynomia.
(x^3 +5*x^2 - 4*x + 5) + (-x^3 + 3*x^2 - x + 2) =
x^3 +5*x^2 - 4*x + 5 - x^3 + 3*x^2 - x + 2 =
8*x^2 - 5*x + 7.
(x^3 +5*x^2 - 4*x + 5) - (-x^3 + 3*x^2 - x + 2) =
x^3 +5*x^2 - 4*x + 5 + x^3 - 3*x^2 + x - 2 =
2*x^3 + 2*x^2 -3*x +1.
Jumla ya aljebra ya polynomials
Ikumbukwe kwamba x^3 - x^3 = 0. Na kwa hiyo, wakati wa kuongeza, monomial x ^ 3 ilipotea. Katika hali hii, maneno x^3 na -x^3 yanasemekana kughairiana. Kama unaweza kuona, kuongeza na kutoa polynomials kufuata sheria hiyo hiyo. Katika kesi hii, hakuna haja ya kutumia maneno "nyongeza ya polynomials" au "tofauti ya polynomials." Inaweza kubadilishwa na usemi mmoja - "jumla ya aljebra ya polynomials."
Unaweza kuandika kanuni ya jumla kutafuta jumla ya aljebra ya polima kadhaa.
Ili kupata jumla ya algebraic ya polynomials kadhaa, iliyoandikwa kwa fomu ya kawaida, ni muhimu kufungua mabano na kuleta maneno sawa.
Wakati huo huo, ikiwa kuna ishara zaidi mbele ya bracket, basi wakati wa kufungua mabano, ishara mbele ya masharti lazima ziachwe bila kubadilika. Ikiwa kuna ishara ya minus mbele ya bracket, basi wakati wa kufungua mabano, ishara mbele ya masharti lazima kubadilishwa na kinyume chake. "Plus" hadi "minus", na "minus" hadi "plus".
Uendeshaji wa kuongeza na kutoa ni shughuli za msingi katika matukio mengi ya kutatua matatizo ya aljebra. Katika video hii tutaangalia kanuni za msingi za kufanya kazi na polynomials.
Kuanza, hebu tukumbuke kwamba polynomial ni usemi ambao unajumuisha monomia kadhaa tofauti, au monomia. Aidha, kila monomial vile inawakilisha ama thamani ya nambari, au kigeugeu. Wakati mwingine vigezo vinawekwa kwa kuzidisha au kugawanyika, na pia vinaweza kuwa na mgawo wao wa nambari.
Katika mihadhara ya awali ya video tuliangalia kupunguza maneno sawa - kurahisisha polynomial yoyote mtazamo wa kawaida. Inafaa kuingiza maoni mara moja kwamba vitendo kama hivyo vinahusiana moja kwa moja na shughuli za kuongeza na kutoa ndani ya polynomial moja. Lakini katika kesi hii shughuli za algebra na polynomia kadhaa, kurahisisha awali kunaweza kuwa sio lazima na kutatiza shida. Itakuwa sahihi zaidi kusawazisha polynomial ya mwisho. Baada ya yote, monomials zaidi katika polynomial, ni rahisi kupata maneno sawa. Kwa hiyo, ikiwa kazi ni kuongeza au kupunguza polynomials mbili, haipaswi kuzipunguza mara moja kwa fomu ya kawaida.
KATIKA algebra ya mstari Ni desturi kuandika polynomials katika mfululizo huo katika mabano tofauti. Hii husaidia kufunua ishara kwa usahihi. Kwa hiyo, ikiwa tuna polynomials mbili, basi tunaziandika kwa mfululizo na kuweka ishara muhimu kati ya mabano:
(a 2 + c 3 - 7) + (3a 2 - 2c 3 +3)
Kwa ufumbuzi kujieleza inatosha kutekeleza kawaida tu nyongeza ya algebra. Ili kufanya hivyo, fungua mabano, ukizingatia sheria za kuhifadhi ishara. Wakati wa kuongeza (wakati kuna plus), ishara zote zimehifadhiwa bila kubadilika; Tunaandika usemi huo kwa fomu mpya:
a 2 + c 3 - 7 + 3a 2 - 2c 3 +3 =
4a 2 - 1c 3 - 4 = 4a 2 - s 3 - 4
Tunasindika polynomial inayosababishwa kulingana na sheria za kupunguza masharti yanayofanana, pata vigezo vya kawaida, kupunguza kila kitu maana zinazofanana. Wakati mwingine tunatumia kuongeza au kutoa kwa hatua kwa monomia fulani. Matokeo yake, usemi wetu umepunguzwa kwa fomu ya kawaida, ambayo ni jibu kwa kupewa mfano. Inafaa kuelewa kwamba, rasmi, jumla ya polynomial, in kwa kesi hii, ni usemi:
a 2 + c 3 - 7 + 3a 2 - 2c 3 +3
Haitazingatiwa kosa ikiwa utaionyesha kwenye jibu. Lakini, kwa mujibu wa sheria za algorithms za hesabu za algebraic, jibu la mwisho la uendeshaji na polynomials linapaswa kurahisishwa iwezekanavyo, i.e. kupunguzwa kwa fomu ya kawaida.
Shughuli za kutoa hufanywa kwa njia ile ile, kwa kuzingatia tu ukweli kwamba ishara ya minus mbele ya mabano itabadilisha ishara ndani:
(a 2 + c 3 - 7) - (3a 2 - 2c 3 +3) =
A 2 + c 3 - 7 - 3a 2 + 2c 3 - 3=
2a 2 + 3c 3 - 10
Katika polynomial ya pili (iliyopunguzwa), kutokana na minus, ishara zimepinduliwa kabisa: juu maana kinyume. Baada ya hapo algorithm ya suluhisho ni sawa kabisa na muhtasari (ambayo, kwa kweli, ndio kupunguza polynomial kwa fomu ya kawaida).
Wakati mwingine katika baadhi ya kazi ni muhimu kufanya vitendo vya nyuma- fanya jumla fulani au tofauti kutoka kwa polynomial. Hii inaweza kuwa muhimu kwa suluhisho zaidi, na masharti ya kugawanya polynomial yanawekwa na hali halisi ya shida yenyewe. Kwa mfano, unahitaji kujieleza kama:
3a 2 - 2c 3 +3
Kazi katika kesi hii ni ifuatayo: wasilisha usemi kama jumla ya polynomials, moja ambayo ni 3a 2. Hii ni rahisi kufanya kwa kuangazia polima zilizobainishwa kwenye mabano. Wakati huo huo, sio lazima ubadilishe ishara, kwani pamoja hukuruhusu kufanya hivi:
3a 2 + (- 2s 3 +3)
Ikiwa unahitaji tofauti ya polynomials, moja ambayo ni 3a 2, basi ni muhimu si tu kutenganisha polynomials na mabano, lakini pia kuweka minus, ambayo inverts ishara katika polynomial pili:
3a 2 - (2c 3 -3)
Kwa hivyo, shida zinazojumuisha kuongeza au kutoa polynomials zinaweza kutatuliwa kwa urahisi ikiwa utatumia kwa ustadi sifa za kuongeza algebra.
Miongoni mwa misemo mbalimbali ambayo huzingatiwa katika algebra, jumla ya monomia huchukua nafasi muhimu. Hapa kuna mifano ya misemo kama hii:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Jumla ya monomia inaitwa polynomial. Masharti katika polynomial yanaitwa masharti ya polynomial. Monomia pia huainishwa kama polynomia, ikizingatiwa monomia kuwa polynomia inayojumuisha mshiriki mmoja.
Kwa mfano, polynomial
\(8b^5 - 2b \cdoti 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdoti (-12)b + 16 \)
inaweza kurahisishwa.
Wacha tuwakilishe maneno yote katika mfumo wa monomials ya fomu ya kawaida:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdoti (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Wacha tuwasilishe istilahi zinazofanana katika polynomial inayotokana:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Matokeo yake ni polynomial, masharti yote ambayo ni monomials ya fomu ya kawaida, na kati yao hakuna sawa. Polynomials vile huitwa polynomials ya fomu ya kawaida.
Nyuma shahada ya polynomial ya fomu ya kawaida huchukua mamlaka ya juu zaidi ya wanachama wake. Hivyo, binomial \(12a^2b - 7b\) ina shahada ya tatu, na trinomial \ (2b^2 -7b + 6\) ina pili.
Kwa kawaida, masharti ya polimanomia za fomu za kawaida zilizo na kigezo kimoja hupangwa kwa mpangilio wa kushuka wa vielelezo. Kwa mfano:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Jumla ya polima nyingi zinaweza kubadilishwa (kurahisishwa) kuwa polinomia ya umbo la kawaida.
Wakati mwingine masharti ya polynomial yanahitaji kugawanywa katika vikundi, kuifunga kila kikundi kwenye mabano. Kwa kuwa kufunga mabano ni mabadiliko ya kinyume ya kufungua mabano, ni rahisi kuunda sheria za kufungua mabano:
Ikiwa ishara "+" imewekwa mbele ya mabano, basi maneno yaliyofungwa kwenye mabano yameandikwa kwa ishara sawa.
Ikiwa ishara "-" imewekwa kabla ya mabano, basi maneno yaliyofungwa kwenye mabano yameandikwa kwa ishara tofauti.
Mabadiliko (kurahisisha) ya bidhaa ya monomial na polynomial
Kwa kutumia mali ya ugawaji kuzidisha kunaweza kubadilishwa (kurahisishwa) kuwa polynomial, bidhaa ya monomial na polynomial. Kwa mfano:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdoti (-5ab) + 9a^2b \cdoti (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Bidhaa ya monomial na polynomial ni sawa sawa na jumla ya bidhaa za monomia hii na kila moja ya masharti ya polynomial.
Matokeo haya kawaida hutengenezwa kama sheria.
Ili kuzidisha monomia kwa polynomial, lazima uzidishe monomia kwa kila masharti ya polynomial.
Tayari tumetumia sheria hii mara kadhaa kuzidisha kwa jumla.
Bidhaa za polynomials. Mabadiliko (kurahisisha) ya bidhaa ya polynomials mbili
Kwa ujumla, bidhaa ya polima mbili ni sawa sawa na jumla ya bidhaa ya kila neno la polynomia moja na kila neno la nyingine.
Kawaida sheria ifuatayo hutumiwa.
Ili kuzidisha polynomial kwa polynomial, unahitaji kuzidisha kila neno la polynomia moja kwa kila neno la nyingine na kuongeza bidhaa zinazotokana.
Fomula zilizofupishwa za kuzidisha. Jumla ya mraba, tofauti na tofauti za mraba
Na baadhi ya maneno katika mabadiliko ya algebra kuwa na kushughulika mara nyingi zaidi kuliko wengine. Labda maneno ya kawaida zaidi ni \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) na \(a^2 - b^2 \), yaani mraba wa jumla, mraba wa tofauti na tofauti ya mraba. Umegundua kuwa majina ya misemo haya yanaonekana kutokamilika, kwa mfano, \(a + b)^2 \) bila shaka, sio tu mraba wa jumla, lakini mraba wa jumla ya a na b. . Walakini, mraba wa jumla ya a na b haitokei mara nyingi sana, badala ya herufi a na b, ina misemo anuwai, wakati mwingine ngumu kabisa.
Maneno \(a + b)^2, \; (a - b)^2 \) yanaweza kubadilishwa kwa urahisi (kurahisishwa) kuwa polynomia za fomu ya kawaida, kwa kweli, tayari umekutana na kazi hii wakati wa kuzidisha polynomia:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Ni muhimu kukumbuka vitambulisho vinavyotokana na kuitumia bila mahesabu ya kati. Miundo fupi ya maneno husaidia hii.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - mraba wa jumla sawa na jumla mraba na bidhaa mara mbili.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - mraba wa tofauti ni sawa na jumla ya miraba bila bidhaa iliyoongezwa mara mbili.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - tofauti ya mraba ni sawa na bidhaa ya tofauti na jumla.
Vitambulisho hivi vitatu huruhusu mtu kuchukua nafasi ya sehemu zake za mkono wa kushoto na za mkono wa kulia katika mabadiliko na kinyume chake - sehemu za mkono wa kulia na za kushoto. Jambo gumu zaidi ni kuona misemo inayolingana na kuelewa jinsi anuwai a na b hubadilishwa ndani yao. Hebu tuangalie mifano kadhaa ya kutumia fomula zilizofupishwa za kuzidisha.
Tuseme tunahitaji kuongeza monomials:
Usemi unaotokana ni jumla ya aljebra. Kulingana na hali iliyoanzishwa (§ 16), tunaweza kuacha ishara ya kuongeza kila mahali na kuandika kwa ufupi:
Kuna maneno mawili yanayofanana katika usemi huu.
Wacha tuziwasilishe na wakati huo huo tupange polynomial katika kupungua kwa nguvu kwa heshima na x:
(Angalia kwa kubadilisha katika hizi monomia na katika jumla inayotokana ya maadili:
Kwa hivyo tunaweza kupata kanuni ifuatayo:
Ili kuongeza monomials, inatosha kuziandika (kama jumla ya algebra) moja baada ya nyingine na ishara zao.
Ikiwa usemi unaosababishwa una maneno sawa, basi lazima wapewe.
2. Ongezeko la polynomials.
Hebu tutatue tatizo. Kikapu kimoja kilikuwa na tufaha x, kingine kilikuwa na tufaha y zaidi kuliko cha kwanza, na cha tatu kilikuwa na tufaha 27 chache kuliko cha pili. Je, kulikuwa na tufaha mangapi katika vikapu vyote vitatu?
1) Kulikuwa na apples x kwenye kikapu cha kwanza.
2) Kulikuwa na maapulo kwenye kikapu cha pili.
3) Kulikuwa na maapulo kwenye kikapu cha tatu.
4) Kulikuwa na tufaha kwenye vikapu vitatu.
Jibu linalotokana ni jumla ya monomial na mbili polynomia.
Wacha turahisishe jibu hili. Tunajua kwamba kila moja ya maneno ni jumla ya aljebra. Kwa hivyo, kwa kutumia sheria ya kuongeza hesabu, tunaweza kuandika:
Baada ya kuleta masharti sawa hatimaye tunapata:
Amua ni apples ngapi zilikuwa kwenye vikapu ikiwa:
Hii inamaanisha tunaweza kupata sheria ifuatayo ya kuongeza polynomials:
Ili kuongeza polynomials, unahitaji kuhifadhi sequentially (kwa namna ya jumla ya algebraic) masharti yao yote na ishara zao.
Ikiwa usemi unaosababishwa una maneno sawa, lazima wapewe.
3. Kupanua mabano.
Wakati wa kuamua kazi ya awali Ilinibidi nifungue mabano, ambayo kila moja lilikuwa na ishara ya pluo mbele yake. Kwa hivyo tunaweza kuhitimisha:
Ili kufungua mabano yaliyotanguliwa na ishara ya kuongeza, unahitaji kuandika maneno yote kwenye mabano bila mabano, na ishara zao.
Kumbuka. Ikiwa usemi unaanza na mabano bila ishara yoyote mbele yake, ishara ya kuongeza inadokezwa, kwa mfano:
4. Kuweka mabano.
Wakati mwingine ni muhimu, kinyume chake, kuifunga polynomial au sehemu yake katika mabano. Hivi ndivyo tulivyofanya wakati wa kuweka istilahi sawa (tazama mfano katika aya iliyotangulia). Hebu tuchukue mfano huu. Tuseme tunahitaji kuhesabu usemi:
Kwa wazi, hapa ni faida zaidi kwanza kuondoa 238 kutoka 258 na kuongeza tofauti ya 20 hadi 136. Mahesabu yanafanywa kwa urahisi na haraka katika akili. Ili kuonyesha hili, hebu tuambatishe neno la pili na la tatu kwenye mabano:
Tuseme kwamba kwa ujumla unahitaji kuambatanisha polynomial au sehemu yake kwenye mabano na kuweka ishara zaidi mbele ya mabano. Tutaongozwa na kanuni ifuatayo:
Ili kuambatisha polynomial kwenye mabano na ishara ya kuongeza mbele yao, unahitaji kuandika masharti yote ya polynomial na ishara zao kwenye mabano:
Ni rahisi kuthibitisha usahihi wa usawa huu kwa kufungua mabano kulingana na sheria iliyowekwa katika aya ya 3.
5. Ongezeko la polynomials zilizopangwa.
Ikiwa polynomials zimepangwa kwa nguvu za herufi moja (zote zinapanda au zote zinashuka), basi ni rahisi zaidi kuziongeza. kwa njia ifuatayo: saini polynomial moja chini ya nyingine ili maneno sawa iko moja chini ya nyingine; baada ya hayo, mara moja hupunguza maneno sawa na kuandika matokeo ya mwisho.
Nyongeza ya polynomia zilizopangwa pia hufanywa wakati zina zaidi ya herufi moja.
