Konferencja naukowo-praktyczna
Miejska placówka oświatowa „Średnia” Szkoła ogólnokształcąca nr 23"
miasto Wołogdy
dział: nauki przyrodnicze
prace projektowe i badawcze
RODZAJE SYMETRII
Pracę wykonał uczeń klasy 8
Krenewa Margarita
Kierownik: wyższy nauczyciel matematyki
rok 2014
Struktura projektu:
1. Wstęp.
2. Cele i zadania projektu.
3. Rodzaje symetrii:
3.1. Centralna symetria;
3.2. Symetria osiowa;
3.3. Symetria lustrzana (symetria względem płaszczyzny);
3.4. Symetria obrotowa;
3.5. Przenośna symetria.
4. Konkluzje.
Symetria to idea, dzięki której człowiek od wieków próbuje pojąć i stworzyć porządek, piękno i doskonałość.
G. Weila
Wstęp.
Temat mojej pracy został wybrany po przestudiowaniu sekcji „Symetria osiowa i centralna” na kursie „Geometria klasy VIII”. Bardzo mnie ten temat zainteresował. Chciałem wiedzieć: jakie rodzaje symetrii istnieją, czym się od siebie różnią, jakie są zasady konstruowania figur symetrycznych w każdym typie.
Cel pracy : Wprowadzenie do różnych typów symetrii.
Zadania:
Zapoznaj się z literaturą dotyczącą tego zagadnienia.
Podsumuj i usystematyzuj przestudiowany materiał.
Przygotuj prezentację.
W starożytności słowo „SYMETRIA” oznaczało „harmonię”, „piękno”. W tłumaczeniu z języka greckiego słowo to oznacza „proporcjonalność, proporcjonalność, jednolitość w rozmieszczeniu części czegoś według przeciwne strony z punktu, linii lub płaszczyzny.
Istnieją dwie grupy symetrii.
Do pierwszej grupy zalicza się symetrię pozycji, kształtów, struktur. Jest to symetria, którą można bezpośrednio zobaczyć. Można to nazwać symetrią geometryczną.
Druga grupa charakteryzuje się symetrią zjawiska fizyczne i prawa natury. Ta symetria leży u podstaw obraz nauk przyrodniczychświat: można to nazwać symetrią fizyczną.
Przestanę się uczyćsymetria geometryczna .
Z kolei istnieje również kilka rodzajów symetrii geometrycznej: centralna, osiowa, lustrzana (symetria względem płaszczyzny), promieniowa (lub obrotowa), przenośna i inne. Dzisiaj przyjrzę się 5 rodzajom symetrii.
Centralna symetria
Dwa punkty A i A 1 nazywane są symetrycznymi względem punktu O, jeśli leżą na linii prostej przechodzącej przez punkt O i są położone wzdłuż różne strony w tej samej odległości od niego. Punkt O nazywany jest środkiem symetrii.
Mówi się, że figura jest symetryczna względem punktuO , jeśli dla każdego punktu figury istnieje punkt symetryczny względem tego punktuO również należy do tej postaci. KropkaO nazywany środkiem symetrii figury, mówi się, że figura ma symetrię centralną.
Przykładami figur o symetrii centralnej są okrąg i równoległobok.
Liczby pokazane na slajdzie są symetryczne względem pewnego punktu
2. Symetria osiowa
Dwa punktyX I Y nazywane są symetrycznymi względem linii prostejT , jeśli linia ta przechodzi przez środek odcinka XY i jest do niego prostopadła. Należy również powiedzieć, że każdy punkt jest linią prostąT jest uważany za symetryczny względem siebie.
ProstyT - oś symetrii.
Mówi się, że figura jest symetryczna względem linii prostejT, jeśli dla każdego punktu figury istnieje punkt symetryczny względem prostejT również należy do tej postaci.
ProstyTnazywana osią symetrii figury, mówi się, że figura ma symetrię osiową.
Kąt nierozwinięty, kąt równoramienny i kąt mają symetrię osiową. trójkąt równoboczny oraz prostokąt i romb,litery (patrz prezentacja).
Symetria lustrzana (symetria względem płaszczyzny)
Dwa punkty p 1 I Mówi się, że P są symetryczne względem płaszczyzny i jeśli leżą na linii prostej, prostopadle do płaszczyzny a i znajdują się w tej samej odległości od niego
Symetria lustrzana dobrze znane każdemu człowiekowi. Łączy dowolny obiekt i jego odbicie w płaskie lustro. Mówią, że jedna figura jest lustrzanie symetryczna względem drugiej.
Na płaszczyźnie figurą o niezliczonych osiach symetrii był okrąg. W przestrzeni kula ma niezliczoną ilość płaszczyzn symetrii.
Ale jeśli okrąg jest jedyny w swoim rodzaju, to w trójwymiarowym świecie istnieje cała linia ciała o nieskończonej liczbie płaszczyzn symetrii: prosty walec z okręgiem u podstawy, stożek o podstawie kołowej, kula.
Łatwo ustalić, że każdą symetryczną figurę płaską można wyrównać ze sobą za pomocą lustra. Zaskakujące jest, że takie złożone figury, jak pięcioramienna gwiazda lub pięciokąt równoboczny, są również symetryczne. Jak wynika z liczby osi, wyróżniają się one dużą symetrią. I odwrotnie: nie jest łatwo zrozumieć, dlaczego tak pozornie poprawna figura, podobnie jak ukośny równoległobok, jest asymetryczny.
4. s symetria obrotowa (lub symetria promieniowa)
Symetria obrotowa - to jest symetria, zachowanie kształtu obiektuprzy obrocie wokół określonej osi o kąt równy 360°/N(lub wielokrotność tej wartości), gdzieN= 2, 3, 4, … Wskazana oś nazywana jest osią obrotowąN-ta kolejność.
Nan=2 wszystkie punkty figury obrócone są o kąt 180 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) wokół osi, przy zachowaniu kształtu figury, tj. każdy punkt figury przechodzi do punktu tej samej figury (figura przekształca się w siebie). Oś nazywana jest osią drugiego rzędu.
Rysunek 2 przedstawia oś trzeciego rzędu, rysunek 3 - czwarty rząd, rysunek 4 - piąty rząd.
Obiekt może posiadać więcej niż jedną oś obrotu: rys. 1 – 3 osie obrotu, rys. 2 – 4 osie, rys. 3 – 5 osi, rys. 4 – tylko 1 oś
Dobrze znane litery „I” i „F” mają symetrię obrotową. Jeśli obrócisz literę „I” o 180° wokół osi prostopadłej do płaszczyzny litery i przechodzącej przez jej środek, litera zrówna się ze sobą. Inaczej mówiąc, litera „I” jest symetryczna względem obrotu o 180°, 180°= 360°: 2,N=2, co oznacza, że ma symetrię drugiego rzędu.
Należy zauważyć, że litera „F” ma również symetrię obrotową drugiego rzędu.
Ponadto litera ma środek symetrii, a litera F ma oś symetrii
Wróćmy do przykładów z życia: szklanka, funt lodów w kształcie rożka, kawałek drutu, fajka.
Jeśli przyjrzymy się bliżej tym ciałom, zauważymy, że wszystkie w taki czy inny sposób składają się z koła, poprzez nieskończony zbiór którego osie symetrii przechodzą przez niezliczone płaszczyzny symetrii. Większość tych ciał (nazywa się je ciałami obrotowymi) ma oczywiście również środek symetrii (środek koła), przez który przechodzi co najmniej jedna oś obrotu symetrii.
Na przykład wyraźnie widoczna jest oś rożka lodowego. Biegnie od środka okręgu (wystającego z lodów!) aż do ostrego końca stożka lejka. Całość elementów symetrii ciała postrzegamy jako swego rodzaju miarę symetrii. Piłka bez wątpienia pod względem symetrii jest niedoścignionym ucieleśnieniem doskonałości, ideału. Starożytni Grecy postrzegali je jako najdoskonalsze ciało, a okrąg, oczywiście, jako najdoskonalszą płaską figurę.
Aby opisać symetrię konkretnego obiektu, należy wskazać wszystkie osie obrotu i ich kolejność, a także wszystkie płaszczyzny symetrii.
Rozważmy na przykład bryłę geometryczną złożoną z dwóch identycznych regularnych czworokątnych piramid.
Posiada jedną oś obrotową IV rzędu (oś AB), cztery osie obrotowe II rzędu (osie CE,DF, poseł, NQ), pięć płaszczyzn symetrii (planesCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).
5 . Przenośna symetria
Innym rodzajem symetrii jestprzenośny Z symetria.
O takiej symetrii mówimy, gdy przesuwając figurę po linii prostej na pewną odległość „a” lub odległość będącą wielokrotnością tej wartości, pokrywa się ona sama ze sobą Linia prosta, wzdłuż której następuje przeniesienie, nazywana jest osią przenoszenia, a odległość „a” nazywana jest transferem elementarnym, okresem lub krokiem symetrii.
A
Okresowo powtarzający się wzór na długim pasku nazywa się obramowaniem. W praktyce obramowania przybierają różne formy (malarstwo ścienne, żeliwne, płaskorzeźby gipsowe czy ceramika). Granice są używane przez malarzy i artystów przy dekorowaniu pokoju. Aby wykonać te ozdoby, wykonuje się szablon. Przesuwamy szablon, obracając go lub nie, obrysowując kontur, powtarzając wzór i otrzymujemy ozdobę (pokaz wizualny).
Obramowanie można łatwo zbudować za pomocą szablonu (elementu startowego), przesuwając go lub obracając i powtarzając wzór. Na rysunku pokazano pięć rodzajów szablonów:A ) asymetryczny;pne ) posiadający jedną oś symetrii: poziomą lub pionową;G ) centralnie symetryczny;D ) posiadający dwie osie symetrii: pionową i poziomą.
Do konstruowania granic stosuje się następujące przekształcenia:
A
) transfer równoległy;B
) symetria względem osi pionowej;V
) symetria centralna;G
) symetria względem osi poziomej.
W ten sam sposób możesz zbudować gniazda. Aby to zrobić, okrąg jest podzielony naN jednakowych sektorów, w jednym z nich wykonuje się próbny wzór, który następnie powtarza się sekwencyjnie w pozostałych częściach koła, obracając każdorazowo wzór o kąt 360°/N .
Wyraźnym przykładem zastosowania symetrii osiowej i przenośnej jest pokazane na fotografii ogrodzenie.
Wniosek: zatem istnieją Różne rodzaje symetrie, punkty symetryczne w każdym z tych typów symetrii są zbudowane według pewnych praw. W życiu wszędzie spotykamy jeden rodzaj symetrii, a często w otaczających nas przedmiotach można zauważyć kilka rodzajów symetrii jednocześnie. To tworzy porządek, piękno i doskonałość w otaczającym nas świecie.
LITERATURA:
Przewodnik po elementarna matematyka. M.Ya. Wygodski. – Wydawnictwo „Nauka”. – Moskwa 1971 – 416 stron.
Nowoczesny słownik obcojęzyczne słowa. - M.: Język rosyjski, 1993.
Historia matematyki w szkoleIX - Xzajęcia. ŻOŁNIERZ AMERYKAŃSKI. Glasera. – Wydawnictwo „Prosveshcheniye”. – Moskwa 1983 – 351 stron.
Geometria wizualna klasy V – VI. JEŚLI. Sharygin, L.N. Erganzhieva. – Wydawnictwo „Drofa”, Moskwa 2005. – 189 stron
Encyklopedia dla dzieci. Biologia. S. Ismailova. – Wydawnictwo Avanta+. – Moskwa 1997 – 704 strony.
Urmantsev Yu.A. Symetria natury i natura symetrii - M.: Mysl Arxitekt / arhkomp2. htm, , ru.wikipedia.org/wiki/
Niech g będzie linią stałą (ryc. 191). Weźmy dowolny punkt X i opuśćmy prostopadłą AX na prostą g. Na kontynuacji prostopadłej poza punktem A odkładamy odcinek AX", równy segmentowi OH. Mówi się, że punkt X jest symetryczny względem punktu X względem prostej g.
Jeżeli punkt X leży na prostej g, to punkt symetryczny do niego jest samym punktem X. Oczywiście punkt symetryczny do punktu X” jest punktem X.
Przekształcenie figury F w figurę F”, w której każdy z jej punktów X przechodzi do punktu X”, symetrycznego względem danej prostej g, nazywa się transformacją symetrii względem prostej g. W tym przypadku liczby F i F” nazywane są symetrycznymi względem linii prostej g (ryc. 192).
Jeżeli transformacja symetrii względem prostej g bierze w siebie figurę F, to figurę tę nazywa się symetryczną względem prostej g, a prostą g nazywa się osią symetrii figury.
Na przykład linie proste przechodzące przez punkt przecięcia przekątnych prostokąta równoległych do jego boków są osiami symetrii prostokąta (ryc. 193). Linie proste, na których leżą przekątne rombu, są jego osiami symetrii (ryc. 194).
Twierdzenie 9.3. Przekształcenie symetrii względem linii prostej jest ruchem.
Dowód. Przyjmijmy tę linię prostą jako oś Y Układ kartezjański współrzędne (ryc. 195). Niech dowolny punkt A (x; y) figury F przechodzi do punktu A” (x”; y”) figury F”. Z definicji symetrii względem prostej wynika, że punkty A i A" mają równe rzędne, a odcięte różnią się jedynie znakiem:
x"= -x.
Weźmy dwa dowolne punkty A(x 1; y 1) i B (x 2; y 2) - Przejdą do punktów A" (- x 1, y 1) i B" (-x 2; y 2).
AB 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
A"B" 2 =(-x 2 + x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2.
Z tego jasno wynika, że AB = A „B”. A to oznacza, że przekształcenie symetrii względem linii prostej jest ruchem. Twierdzenie zostało udowodnione.
symetria architektoniczna elewacji budynku
Symetria to pojęcie odzwierciedlające porządek istniejący w przyrodzie, proporcjonalność i proporcjonalność pomiędzy elementami dowolnego systemu lub obiektu natury, porządek, równowagę systemu, stabilność, tj. jakiś element harmonii.
Minęły tysiąclecia, zanim ludzkość w toku swojej działalności społecznej i produkcyjnej uświadomiła sobie potrzebę wyrażenia w pewnych koncepcjach dwóch tendencji, które ustanowiła przede wszystkim w naturze: obecności ścisłego porządku, proporcjonalności, równowagi i ich naruszenia. Ludzie od dawna zwracali uwagę na prawidłowy kształt kryształów, rygor geometryczny struktury plastrów miodu, kolejność i powtarzalność ułożenia gałęzi i liści na drzewach, płatkach, kwiatach, nasionach roślin i odzwierciedlali tę uporządkowaność w swoich zajęcia praktyczne, myślenie i sztuka.
Obiekty i zjawiska żywej przyrody mają symetrię. Nie tylko cieszy oko i inspiruje poetów wszystkich czasów i narodów, ale pozwala żywym organizmom lepiej przystosować się do środowiska i po prostu przetrwać.
W przyrodzie żywej zdecydowana większość organizmów żywych wykazuje różnego rodzaju symetrie (kształt, podobieństwo, względne położenie). Co więcej, organizmy o różnych budowach anatomicznych mogą mieć ten sam typ symetrii zewnętrznej.
Zasada symetrii głosi, że jeśli przestrzeń jest jednorodna, to przeniesienie układu jako całości w przestrzeń nie powoduje zmiany właściwości układu. Jeśli wszystkie kierunki w przestrzeni są równoważne, wówczas zasada symetrii pozwala na obrót układu jako całości w przestrzeni. Zasada symetrii jest przestrzegana w przypadku zmiany pochodzenia czasu. Zgodnie z zasadą możliwe jest dokonanie przejścia do innego układu odniesienia poruszającego się względem tego układu stała prędkość. Świat nieożywiony jest bardzo symetryczny. Często naruszenia symetrii w Fizyka kwantowa cząstki elementarne– to przejaw jeszcze głębszej symetrii. Asymetria jest strukturotwórczą i twórczą zasadą życia. W żywych komórkach funkcjonalnie istotne biomolekuły są asymetryczne: białka składają się z aminokwasów lewoskrętnych (forma L) i kwasy nukleinowe Zawierają, oprócz zasad heterocyklicznych, prawoskrętne węglowodany - cukry (forma D), ponadto samo DNA - podstawą dziedziczności jest prawoskrętna podwójna helisa.
Zasady symetrii leżą u podstaw teorii względności, mechanika kwantowa, fizycy solidny, nuklearny i Fizyka nuklearna, Fizyka cząsteczek. Zasady te są najwyraźniej wyrażone we właściwościach niezmienności praw natury. Tu nie chodzi tylko o prawa fizyczne, ale także inne, na przykład biologiczne. Przykładem biologicznego prawa zachowania jest prawo dziedziczenia. Opiera się na niezmienności właściwości biologiczne w związku z przejściem z jednego pokolenia na drugie. Jest całkiem oczywiste, że bez praw ochronnych (fizycznych, biologicznych i innych) nasz świat po prostu nie mógłby istnieć.
Zatem symetria wyraża zachowanie czegoś pomimo pewnych zmian lub zachowanie czegoś pomimo zmiany. Symetria zakłada niezmienność nie tylko samego obiektu, ale także jakichkolwiek jego właściwości w stosunku do przekształceń dokonywanych na obiekcie. Niezmienność niektórych obiektów można zaobserwować w odniesieniu do różnych operacji - obrotów, translacji, wzajemnego zastępowania części, odbić itp.
Rozważmy rodzaje symetrii w matematyce:
- * centralny (względem punktu)
- * osiowy (stosunkowo prosty)
- * lustro (względem płaszczyzny)
- 1. Symetria centralna (załącznik 1)
Figurę nazywamy symetryczną względem punktu O, jeżeli dla każdego punktu tej figury do tej figury należy również punkt symetryczny względem punktu O. Punkt O nazywany jest środkiem symetrii figury.
Pojęcie środka symetrii pojawiło się po raz pierwszy w XVI wieku. W jednym z twierdzeń Claviusa, które głosi: „jeśli równoległościan zostanie przecięty płaszczyzną przechodzącą przez środek, to zostanie podzielony na pół i odwrotnie, jeśli równoległościan zostanie przecięty na pół, wówczas płaszczyzna przejdzie przez środek”. Legendre, który jako pierwszy przedstawił elementarna geometria pokazuje to elementy doktryny symetrii prawy równoległościan istnieją 3 płaszczyzny symetrii prostopadłe do krawędzi, a sześcian ma 9 płaszczyzn symetrii, z czego 3 są prostopadłe do krawędzi, a pozostałych 6 przechodzi przez przekątne ścian.
Przykładami figur mających symetrię centralną są okrąg i równoległobok.
W algebrze, badając funkcje parzyste i nieparzyste, bierze się pod uwagę ich wykresy. Po skonstruowaniu wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi rzędnych, a wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku, tj. punkt O. Więc nie nawet funkcjonować ma symetrię centralną, a funkcja parzysta jest osiowa.
2. Symetria osiowa (załącznik 2)
Figurę nazywamy symetryczną względem prostej a, jeżeli dla każdego punktu tej figury do tej figury należy również punkt symetryczny względem prostej a. Linia prosta a nazywana jest osią symetrii figury. Mówi się również, że figura ma symetrię osiową.
W więcej w wąskim znaczeniu oś symetrii nazywana jest osią symetrii drugiego rzędu i mówi o „symetrii osiowej”, którą można zdefiniować w następujący sposób: figura (lub bryła) ma symetrię osiową względem określonej osi, jeśli każdy z jej punktów E odpowiada punkt F należący do tej samej figury w taki sposób, że odcinek EF jest prostopadły do osi, przecina ją i w punkcie przecięcia dzieli się na pół.
Podam przykłady figur, które mają symetrię osiową. Kąt niezabudowany ma jedną oś symetrii – linię prostą, na której leży dwusieczna kąta. Trójkąt równoramienny (ale nie równoboczny) ma również jedną oś symetrii, a trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii. Prostokąt i romb, które nie są kwadratami, mają po dwie osie symetrii, a kwadrat ma cztery osie symetrii. W okręgu jest ich nieskończona liczba - każda prosta przechodząca przez jego środek jest osią symetrii.
Istnieją figury, które nie mają jednej osi symetrii. Do takich figur zalicza się równoległobok inny niż prostokąt i trójkąt skalenowy.
3. Symetria lustrzana (załącznik 3)
Symetria lustrzana (symetria względem płaszczyzny) to odwzorowanie przestrzeni na siebie, w którym dowolny punkt M przechodzi do punktu M1, który jest do niego symetryczny względem tej płaszczyzny.
Symetria lustrzana jest dobrze znana każdemu człowiekowi z codziennych obserwacji. Jak sama nazwa wskazuje, symetria lustrzana łączy dowolny obiekt i jego odbicie w zwierciadle płaskim. Mówi się, że jedna figura (lub ciało) jest lustrzanie symetryczna względem drugiej, jeśli razem tworzą lustrzanie symetryczną figurę (lub ciało).
Gracze w bilard od dawna znają działanie odbicia. Ich „lustrami” są boki boiska, a rolę promienia światła pełnią trajektorie piłek. Po uderzeniu w bok w pobliżu rogu piłka toczy się w stronę znajdującą się pod kątem prostym i po odbiciu od niej cofa się równolegle do kierunku pierwszego uderzenia.
Warto zaznaczyć, że dwa figury symetryczne lub dwie symetryczne części jednej figury ze wszystkimi ich podobieństwami, równością objętości i pól powierzchni, w przypadek ogólny, są nierówne, tj. nie można ich ze sobą łączyć. Są to różne figury, nie da się ich zastąpić np. odpowiednią rękawicą, butem itp. nie nadaje się na lewą rękę lub nogę. Przedmioty mogą mieć jeden, dwa, trzy itd. płaszczyzny symetrii. Na przykład prosta piramida, której podstawą jest trójkąt równoramienny, jest symetryczna względem jednej płaszczyzny P. Pryzmat o tej samej podstawie ma dwie płaszczyzny symetrii. Poprawny sześciokątny pryzmat jest ich siedem. Ciała wirujące: kula, torus, walec, stożek itp. Posiadać nieskończona liczba płaszczyzny symetrii.
Starożytni Grecy wierzyli, że wszechświat jest symetryczny po prostu dlatego, że symetria jest piękna. Opierając się na rozważaniach na temat symetrii, dokonali szeregu przypuszczeń. Tak więc Pitagoras (V wpne) uważał kulę za najbardziej symetryczną i doskonała forma, wyciągnął wniosek o kulistości Ziemi i jej ruchu po kuli. Jednocześnie wierzył, że Ziemia porusza się po sferze pewnego „centralnego ognia”. Według Pitagorasa sześć znanych wówczas planet, a także Księżyc, Słońce i gwiazdy miały krążyć wokół tego samego „ognia”.
Od czasów starożytnych człowiek rozwinął wyobrażenia na temat piękna. Wszystkie dzieła natury są piękne. Ludzie są piękni na swój sposób, zwierzęta i rośliny są niesamowite. Widok szlachetnego kamienia czy kryształu soli cieszy oko, trudno nie podziwiać płatka śniegu czy motyla. Ale dlaczego tak się dzieje? Wydaje nam się, że wygląd obiektów jest prawidłowy i pełny, których prawa i lewa połowa wyglądają tak samo, jak w odbiciu lustrzanym.
Podobno ludzie sztuki jako pierwsi pomyśleli o istocie piękna. Starożytni rzeźbiarze, którzy badali strukturę Ludzkie ciało, już w V wieku p.n.e. Zaczęto używać pojęcia „symetrii”. To słowo ma Pochodzenie greckie i oznacza harmonię, proporcjonalność i podobieństwo w ułożeniu części składowych. Platon twierdził, że piękne może być tylko to, co jest symetryczne i proporcjonalne.
W geometrii i matematyce rozważa się trzy rodzaje symetrii: symetrię osiową (w stosunku do linii prostej), centralną (w stosunku do punktu) i symetrię lustrzaną (w stosunku do płaszczyzny).
Jeśli każdy z punktów obiektu ma swoje własne dokładne odwzorowanie w stosunku do jego środka, mamy do czynienia z symetrią centralną. Przykładami tego są: ciała geometryczne jak cylinder, kula, prawidłowy pryzmat itp.
Osiowa symetria punktów względem prostej polega na tym, że ta prosta przecina środek odcinka łączącego punkty i jest do niego prostopadła. Przykłady dwusiecznej kąta nierozwiniętego Trójkąt równoramienny, dowolna linia prosta poprowadzona przez środek okręgu itp. Jeśli charakterystyczna jest symetria osiowa, definicję punktów lustrzanych można zwizualizować, po prostu zaginając ją wzdłuż osi i umieszczając równe połówki „twarzą w twarz”. Pożądane punkty będą się ze sobą stykać.
Na symetria lustrzana punkty obiektu leżą jednakowo względem płaszczyzny przechodzącej przez jego środek.
Natura jest mądra i racjonalna, dlatego prawie wszystkie jej twory mają harmonijną strukturę. Dotyczy to zarówno istot żywych, jak i obiektów nieożywionych. Strukturę większości form życia charakteryzuje jeden z trzech typów symetrii: dwustronna, promieniowa lub kulista.
Najczęściej osiowy można zaobserwować u roślin rozwijających się prostopadle do powierzchni gleby. W tym przypadku symetria wynika z obracania się wokół identycznych elementów wspólna oś, położony w centrum. Kąt i częstotliwość ich lokalizacji mogą być różne. Przykładami są drzewa: świerk, klon i inne. U niektórych zwierząt występuje również symetria osiowa, ale jest to mniej powszechne. Oczywiście przyrodę rzadko charakteryzuje matematyczna precyzja, ale podobieństwo elementów organizmu wciąż jest uderzające.
Biolodzy często nie biorą pod uwagę symetrii osiowej, ale symetrię dwustronną (dwustronną). Przykładem tego są skrzydła motyla lub ważki, liście roślin, płatki kwiatów itp. W każdym przypadku prawa i lewa część żywego obiektu są sobie równe i stanowią swoje lustrzane odbicie.
Symetria sferyczna jest charakterystyczna dla owoców wielu roślin, niektórych ryb, mięczaków i wirusów. Przykładami symetrii promieniowej są niektóre rodzaje robaków i szkarłupni.
W ludzkich oczach asymetria jest najczęściej kojarzona z nieregularnością lub niższością. Dlatego w większości dzieł ludzkich rąk można prześledzić symetrię i harmonię.
Definicja. Symetria (czyli „proporcjonalność”) to właściwość obiektów geometrycznych, które łączą się ze sobą pod wpływem pewnych przekształceń. Pod symetria zrozumieć każdą poprawność w Struktura wewnętrzna ciała lub postacie.
Symetria względem punktu- jest to symetria centralna (ryc. 23 poniżej) oraz symetria względem linii prostej- jest to symetria osiowa (ryc. 24 poniżej).
Symetria względem punktu zakłada, że po obu stronach punktu w równych odległościach znajduje się coś, na przykład inne punkty lub umiejscowienie punkty (linie proste, linie krzywe, kształty geometryczne).
Jeśli połączymy punkty symetryczne (punkty figury geometrycznej) z linią prostą przechodzącą przez punkt symetrii, wówczas punkty symetryczne będą leżeć na końcach linii prostej, a punktem symetrii będzie jej środek. Jeśli ustalisz punkt symetrii i obrócisz linię prostą, wówczas symetryczne punkty będą opisywać krzywe, z których każdy będzie również symetryczny do punktu drugiej krzywej.
Symetria względem linii prostej(oś symetrii) zakłada, że wzdłuż prostopadłej poprowadzonej przez każdy punkt osi symetrii, w tej samej odległości od niej znajdują się dwa symetryczne punkty. Te same figury geometryczne można lokalizować zarówno względem osi symetrii (prostej), jak i względem punktu symetrii.
Przykładem może być kartka notesu złożona na pół, jeśli wzdłuż linii zagięcia (oś symetrii) zostanie narysowana linia prosta. Każdy punkt na jednej połowie arkusza będzie miał symetryczny punkt na drugiej połowie arkusza, jeśli będą one zlokalizowane w tej samej odległości od linii zagięcia i prostopadle do osi.
Oś symetrii osiowej, jak na rysunku 24, jest pionowa, a poziome krawędzie blachy są do niej prostopadłe. Oznacza to, że oś symetrii służy jako prostopadła do punktów środkowych poziomych linii prostych ograniczających arkusz. Punkty symetryczne (R i F, C i D) znajdują się w tej samej odległości od linii osiowej - prostopadle do linii łączących te punkty. W konsekwencji wszystkie punkty prostopadłej (osi symetrii) poprowadzonej przez środek odcinka są w równej odległości od jego końców; lub dowolny punkt prostopadły (oś symetrii) do środka odcinka jest w równej odległości od końców tego odcinka.
6.7.3. Symetria osiowa
Zwrotnica A I 1 są symetryczne względem prostej m, gdyż prosta m jest prostopadła do odcinka AA 1 i przechodzi przez jego środek.
M- oś symetrii.
Prostokąt ABCD ma dwie osie symetrii: prostą M I l.
Jeśli rysunek jest wygięty w linii prostej M lub w linii prostej ja, wtedy obie części rysunku będą się pokrywać.
Kwadrat ABCD ma cztery osie symetrii: prostą M, l, k I S.
Jeśli kwadrat jest zagięty wzdłuż którejkolwiek z linii prostych: M, l, k Lub S, to obie strony kwadratu będą się pokrywać.
Okrąg o środku w punkcie O i promieniu OA ma nieskończoną liczbę osi symetrii. Są to linie proste: m, m 1, m 2, m 3 .
Ćwiczenia. Skonstruuj punkt A 1, punkt symetryczny A(-4; 2) względem osi Wołu.
Skonstruuj punkt A 2 symetryczny do punktu A(-4; 2) względem osi Oy.
Punkt A 1 (-4; -2) jest symetryczny do punktu A (-4; 2) względem osi Wół, ponieważ oś Wół jest prostopadła do odcinka AA 1 i przechodzi przez jego środek.
W przypadku punktów symetrycznych względem osi Wołu odcięte pokrywają się, a współrzędne są liczbami przeciwnymi.
Punkt A 2 (4; -2) jest symetryczny do punktu A (-4; 2) względem osi Oy, ponieważ oś Oy jest prostopadła do odcinka AA 2 i przechodzi przez jego środek.
W przypadku punktów symetrycznych względem osi Oy rzędne pokrywają się, a odcięte są liczbami przeciwnymi.
www.mathematics-repetition.com
wiki.eduVdom.com
Narzędzia użytkownika
Narzędzia witryny
Panel boczny
Geometria:
Łączność
Symetrie centralne i osiowe
Centralna symetria
Dwa punkty A i A 1 nazywane są symetrycznymi względem punktu O, jeśli O jest środkiem odcinka AA 1 (ryc. 1). Punkt O jest uważany za symetryczny względem siebie.
Przykład centralna symetria
Figurę nazywamy symetryczną względem punktu O, jeżeli dla każdego punktu tej figury do tej figury należy również punkt symetryczny względem punktu O. Punkt O nazywany jest środkiem symetrii figury. Mówi się również, że figura ma centralną symetrię.
Przykładami figur o symetrii centralnej są okrąg i równoległobok (ryc. 2).
Środek symetrii okręgu jest środkiem okręgu, a środek symetrii równoległoboku jest punktem przecięcia jego przekątnych. Linia prosta również ma symetrię środkową, ale w przeciwieństwie do okręgu i równoległoboku, które mają tylko jeden środek symetrii (punkt O na ryc. 2), linia prosta ma ich nieskończoną liczbę - jej dowolnym punktem na linii prostej jest środek symetrii.
Symetria osiowa
Dwa punkty A i A 1 nazywane są symetrycznymi względem linii a, jeśli linia ta przechodzi przez środek odcinka AA 1 i jest do niego prostopadła (ryc. 3). Każdy punkt linii a jest uważany za symetryczny względem siebie.
Figurę nazywamy symetryczną względem prostej a, jeżeli dla każdego punktu tej figury do tej figury należy również punkt symetryczny względem prostej a. Linia prosta a nazywana jest osią symetrii figury.
Przykłady takich figur i ich osie symetrii pokazano na rysunku 4.
Należy pamiętać, że w przypadku okręgu każda linia prosta przechodząca przez jego środek jest osią symetrii.
Porównanie symetrii
Symetrie centralne i osiowe
Ile osi symetrii ma figura przedstawiona na rysunku?
wiki.eduvdom.com
Lekcja „Symetria osiowa i centralna”
Krótki opis dokumentu:
Symetria wystarczy interesujący temat w geometrii, gdyż właśnie z tą koncepcją bardzo często spotykamy się nie tylko w procesie życia człowieka, ale także w przyrodzie.
Pierwsza część prezentacji wideo „Symetria osiowa i centralna” zawiera definicję symetrii dwóch punktów względem prostej na płaszczyźnie. Warunkiem ich symetrii jest możliwość przeciągnięcia przez nie odcinka, przez środek którego przejdzie dana prosta. Wymagany warunek Taka symetria to prostopadłość odcinka i prostej.
Dalsza część samouczka wideo zawiera jasny przykład definicja, która jest pokazana w formie rysunku, na którym kilka par punktów jest symetrycznych względem linii prostej, a każdy punkt na tej prostej jest symetryczny względem siebie.
Po otrzymaniu wstępnych koncepcji dotyczących symetrii zachęca się uczniów, aby to zrobili złożona definicja figura symetryczna względem linii prostej. Definicja jest oferowana w formie reguły tekstowej i towarzyszy jej również głos mówiącego. Część tę kończą przykłady figur symetrycznych i asymetrycznych względem linii prostej. Co ciekawe, istnieją figury geometryczne, które mają kilka osi symetrii – wszystkie są przejrzyście przedstawione w formie rysunków, gdzie osie są wyróżnione osobnym kolorem. Możesz ułatwić zrozumienie proponowanego materiału w ten sposób: obiekt lub figura jest symetryczna, jeśli dokładnie pokrywa się podczas składania dwóch połówek wokół własnej osi.
Oprócz symetrii osiowej istnieje symetria wokół jednego punktu. To właśnie ta koncepcja jest poświęcona następna część prezentacje wideo. Najpierw podana jest definicja symetrii dwóch punktów względem trzeciego, następnie podany jest przykład w postaci figury, która pokazuje symetryczną i asymetryczną parę punktów. Ta część lekcji kończy się przykładami. figury geometryczne, które mają lub nie mają środka symetrii.
Na koniec lekcji uczniowie proszeni są o zapoznanie się z najbardziej uderzające przykłady symetrie, które można znaleźć w otaczającym świecie. Zrozumienie i umiejętność budowania symetrycznych figur są po prostu niezbędne w życiu osób najbardziej zaangażowanych różne zawody. W swej istocie symetria jest podstawą wszystkiego ludzka cywilizacja, ponieważ 9 na 10 obiektów otaczających osobę ma taki lub inny rodzaj symetrii. Bez symetrii nie byłaby możliwa budowa wielu dużych obiektów architektonicznych, nie byłoby możliwe osiągnięcie imponujących możliwości przemysłowych i tak dalej. W naturze symetria jest również zjawiskiem bardzo powszechnym, a jeśli tak, to obiekty nieożywione Znalezienie go jest prawie niemożliwe, ale świat żywy jest dosłownie pełen - prawie cała flora i fauna, z nielicznymi wyjątkami, ma symetrię osiową lub centralną.
Regularny program szkolny jest opracowany w taki sposób, aby był zrozumiały dla każdego ucznia przyjętego na lekcję. Prezentacja wideo wielokrotnie ułatwia ten proces, ponieważ jednocześnie wpływa na kilka ośrodków opracowywania informacji, dostarcza materiału w kilku kolorach, zmuszając w ten sposób uczniów do skupienia uwagi na najważniejszej rzeczy podczas lekcji. W odróżnieniu od zwykłego nauczania w szkołach, gdzie nie każdy nauczyciel ma możliwość lub ochotę odpowiedzieć na doprecyzowujące pytania uczniów, lekcję wideo można łatwo przewinąć w wybrane miejsce, aby ponownie wysłuchać prelegenta i przeczytać niezbędne informacje jeszcze raz, aż do pełnego zrozumienia. Ze względu na prostotę prezentacji materiału, prezentację wideo można wykorzystać nie tylko w trakcie zajęcia szkolne, ale także w domu, jak niezależna metoda szkolenie.
urokimatematiki.ru
Prezentacja „Ruchy. Symetria osiowa”
Dokumenty w archiwum:
Nazwa dokumentu 8.
Opis prezentacji według poszczególnych slajdów:
Centralna symetria jest jednym z przykładów ruchu
Definicja: Symetria osiowa z osią a to odwzorowanie przestrzeni na siebie, w którym dowolny punkt K przechodzi w punkt K1 symetryczny do niego względem osi a
1) Oksyz - układ prostokątny współrzędne Oz - oś symetrii 2) M(x; y; z) i M1(x1; y1; z1), symetryczne względem osi Oz Wzory będą prawdziwe także wtedy, gdy punkt M ⊂ Oz Symetria osiowa to ruch Z X Y M( x; y; z) M1(x1; y1; z1) O
Udowodnić: Zadanie 1, przy symetrii osiowej, prosta tworząca kąt φ z osią symetrii jest odwzorowywana na linię prostą, która również tworzy kąt φ z osią symetrii. Rozwiązanie: przy symetrii osiowej, prosta tworząca kąt φ z osią symetrii odwzorowuje się na linię prostą, tworząc jednocześnie kąt z osią symetrii oś symetrii kąt φ A F E N m l a φ φ
Dane: 2) △ABD - prostokątny, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa: 1) DD1 ⏊ (A1C1D1), 3) △BDD2 - prostokątny, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa: Zadanie 2 Znajdź: BD2 Rozwiązanie:
Krótki opis dokumentu:
Prezentacja „Ruchy. Symetria osiowa” reprezentuje materiał wizualny wyjaśnić główne postanowienia tego tematu na szkolnej lekcji matematyki. W tej prezentacji symetria osiowa jest uważana za inny rodzaj ruchu. Podczas prezentacji przypomina się studentom badane pojęcie symetrii centralnej, podaje definicję symetrii osiowej, udowadnia twierdzenie, że symetria osiowa jest ruchem, oraz rozwiązanie dwóch problemów, w których konieczne jest operowanie koncepcją opisano symetrię osiową.
Symetria obrotowa jest ruchem, dlatego przedstawienie jej na tablicy stanowi wyzwanie. Za pomocą można tworzyć jaśniejsze i zrozumiałe konstrukcje środki elektroniczne. Dzięki temu konstrukcje są dobrze widoczne z każdego biurka w klasie. Na rysunkach można wyróżnić kolorem detale konstrukcyjne i skupić uwagę na cechach operacji. Efekty animacji służą temu samemu celowi. Przy pomocy narzędzi do prezentacji nauczycielowi łatwiej jest osiągnąć cele uczenia się, dlatego prezentacja służy zwiększeniu efektywności lekcji.
Demonstracja rozpoczyna się od przypomnienia uczniom rodzaju ruchu, którego się nauczyli – centralnej symetrii. Przykładem zastosowania operacji jest symetryczne przedstawienie narysowanej gruszki. Na płaszczyźnie zaznaczany jest punkt, względem którego każdy punkt obrazu staje się symetryczny. Wyświetlany obraz jest zatem odwrócony. W tym przypadku wszystkie odległości pomiędzy punktami obiektu zachowane są z symetrią centralną.
Drugi slajd wprowadza koncepcję symetrii osiowej. Rysunek przedstawia trójkąt, każdy jego wierzchołek przekształca się w symetryczny wierzchołek trójkąta względem określonej osi. Definicja symetrii osiowej jest podświetlona w ramce. Należy zauważyć, że dzięki niemu każdy punkt obiektu staje się symetryczny.
Następnie w prostokątnym układzie współrzędnych rozważana jest symetria osiowa, właściwości współrzędnych obiektu wyświetlane za pomocą symetrii osiowej, a także udowadnia się, że przy tym odwzorowaniu zachowane są odległości, co jest oznaką ruchu. Po prawej stronie slajdu znajduje się prostokątny układ współrzędnych Oxyz. Za oś symetrii przyjmuje się oś Oz. W przestrzeni zaznacza się punkt M, który po odpowiednim odwzorowaniu zamienia się w M 1. Rysunek pokazuje, że przy symetrii osiowej punkt zachowuje swoje zastosowanie.
Należy zauważyć, że średnia arytmetyczna odciętej i rzędnej tego odwzorowania z symetrią osiową jest równa zero, czyli (x+ x 1)/2=0; (y+ y1)/2=0. W przeciwnym razie oznacza to, że x=-x 1; y=-y 1 ; z=z 1 . Zasada obowiązuje także wtedy, gdy na samej osi Oz zaznaczony jest punkt M.
Aby sprawdzić, czy odległości między punktami są zachowane przy symetrii osiowej, opisano operację na punktach A i B. Wyświetlane względem osi Oz, opisane punkty przechodzą do A1 i B1. Aby określić odległość między punktami, używamy wzoru, w którym odległość jest obliczana za pomocą współrzędnych. Należy zauważyć, że AB=√(x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2), a dla wyświetlanych punktów A 1 B 1 =√(-x 2 +x 1) 2 +(-y 2 +y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2). Biorąc pod uwagę właściwości kwadratury, można zauważyć, że AB = A 1 B 1. Sugeruje to, że odległości między punktami są zachowane - główna cecha ruchy. Oznacza to, że symetria osiowa to ruch.
Slajd 5 omawia rozwiązanie zadania 1. Należy w nim udowodnić twierdzenie, że prosta przechodząca pod kątem φ do osi symetrii tworzy z nią ten sam kąt φ. Dla zadania podany jest obraz, na którym narysowana jest oś symetrii oraz linia prosta m, tworząca z osią symetrii kąt φ, której odwzorowaniem względem tej osi jest linia prosta l. Dowód twierdzenia rozpoczyna się od zbudowania dodatkowych punktów. Należy zauważyć, że prosta m przecina oś symetrii w punkcie A. Jeśli zaznaczymy na tej prostej punkt F≠A i wyrzucimy z niego prostopadłą na oś symetrii, otrzymamy przecięcie prostopadłej z osią symetrii w punkcie E. Przy symetrii osiowej odcinek FE przechodzi w odcinek NE. W wyniku tej konstrukcji otrzymano trójkąty prostokątne ΔAEF i ΔAEN. Trójkąty te są równe, ponieważ AE jest ich wspólnym bokiem, a FE = NE mają taką samą konstrukcję. Odpowiednio kąt ∠EAN=∠EAF. Wynika z tego, że wyświetlana prosta tworzy także kąt φ z osią symetrii. Problem jest rozwiązany.
Ostatni slajd omawia rozwiązanie Zadania 2, w którym dany jest sześcian ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 o boku a. Wiadomo, że po symetrii względem osi zawierającej krawędź B 1 D 1 punkt D przechodzi w D 1. Problem wymaga odnalezienia BD 2. Dla problemu tworzona jest konstrukcja. Rysunek przedstawia sześcian, z którego widać, że osią symetrii jest przekątna ściany sześcianu B 1 D 1. Odcinek utworzony przez ruch punktu D jest prostopadły do płaszczyzny ściany, do której należy oś symetrii. Ponieważ odległości między punktami są zachowywane podczas ruchu, wówczas DD 1 = D 1 D 2 =a, czyli odległość DD 2 =2a. Z trójkąt prostokątnyΔABD z twierdzenia Pitagorasa wynika, że BD=√(AB 2 +AD 2)=a√2. Z trójkąta prostokątnego ΔВDD 2 wynika twierdzenie Pitagorasa BD 2 =√(DD 2 2 +ВD 2) = а√6. Problem jest rozwiązany.
Prezentacja „Ruchy. Symetria osiowa” służy do zwiększenia wydajności lekcja szkolna matematyka. Ponadto ta metoda wizualizacji pomoże nauczycielowi we wdrażaniu nauka na odległość. Materiał może zostać zaproponowany do samodzielnego rozpatrzenia przez uczniów, którzy nie opanowali dostatecznie tematu lekcji.
Dlaczego żona odeszła i nie wnosi pozwu o rozwód Praktyczne forum o prawdziwej miłości Żona składa pozew o rozwód Pomocy! Moja żona składa pozew o rozwód. Pomocy! Wiadomość od MIRON4IK » 23 października 2009, 16:22 Wiadomość od raz » 23 października 2009, 19:17 Wiadomość od MIRON4IK » 23 października 2009, 22:21 Wiadomość od edona » […]