Twierdzenie. Dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta dzieli przeciwny bok na części proporcjonalne do sąsiednich boków.
Dowód. Rozważmy trójkąt ABC (ryc. 259) i dwusieczną jego kąta B. Narysuj przez wierzchołek C linię prostą CM, równoległą do dwusiecznej BC, aż przetnie się ona w punkcie M z kontynuacją boku AB. Ponieważ BK jest dwusieczną kąta ABC, to . Ponadto jako odpowiednie kąty dla linii równoległych i jako kąty poprzeczne dla linii równoległych. Stąd i dlatego - równoramienny, skąd . Z twierdzenia o prostych równoległych przecinających boki kąta mamy i w widoku otrzymujemy , co musieliśmy udowodnić.
Dwusieczna kąta zewnętrznego B trójkąta ABC (ryc. 260) ma podobną właściwość: odcinki AL i CL od wierzchołków A i C do punktu L przecięcia dwusiecznej z kontynuacją boku AC są proporcjonalne do boki trójkąta:
Właściwość tę udowadnia się w taki sam sposób jak poprzednią: na ryc. 260 poprowadzono pomocniczą prostą SM równolegle do dwusiecznej BL. Sam czytelnik przekona się o równości kątów VMS i VSM, a co za tym idzie boków VM i BC trójkąta VMS, po czym natychmiast uzyska się wymaganą proporcję.
Można powiedzieć, że dwusieczna kąta zewnętrznego dzieli przeciwny bok na części proporcjonalne do sąsiednich boków; wystarczy wyrazić zgodę na „zewnętrzny podział” segmentu.
Punkt L, leżący na zewnątrz odcinka AC (na jego kontynuacji), dzieli go zewnętrznie w zależności jeżeli Zatem dwusieczne kąta trójkąta (wewnętrznego i zewnętrznego) dzielą przeciwny bok (wewnętrzny i zewnętrzny) na części proporcjonalne do sąsiednie strony.
Zadanie 1. Boki trapezu są równe 12 i 15, podstawy są równe 24 i 16. Znajdź boki powstałego trójkąta duża baza trapez i jego wydłużone boki.
Rozwiązanie. W zapisie z rys. 261 mamy proporcję odcinka stanowiącego kontynuację boku bocznego, z której łatwo znajdujemy W podobny sposób wyznaczamy drugi bok trójkąta Trzeci bok pokrywa się z dużą podstawą: .
Zadanie 2. Podstawy trapezu to 6 i 15. Jaka jest długość odcinka równoległego do podstaw i dzielącego boki w stosunku 1:2, licząc od wierzchołków małej podstawy?
Rozwiązanie. Przejdźmy do rys. 262, przedstawiający trapez. Przez wierzchołek C małej podstawy rysujemy linię równoległą do boku AB, odcinając równoległobok od trapezu. Ponieważ , to stąd znajdujemy . Dlatego cały nieznany odcinek KL jest równy. Należy pamiętać, że aby rozwiązać ten problem, nie musimy znać bocznych boków trapezu.
Zadanie 3. Dwusieczna kąta wewnętrznego B trójkąta ABC przecina bok AC na odcinki, w jakiej odległości od wierzchołków A i C dwusieczna kąta zewnętrznego B przetnie przedłużenie AC?
Rozwiązanie. Każda z dwusiecznych kąta B dzieli AC w tym samym stosunku, ale jedna wewnętrznie, a druga zewnętrznie. Oznaczmy przez L punkt przecięcia kontynuacji AC i dwusiecznej kąta zewnętrznego B. Ponieważ AK Oznaczmy wtedy nieznaną odległość AL i otrzymamy proporcję, której rozwiązanie daje nam wymaganą odległość
Dokończ rysunek samodzielnie.
Ćwiczenia
1. Trapez o podstawach 8 i 18 jest podzielony liniami prostymi, równolegle do podstaw, na sześć pasków o jednakowej szerokości. Znajdź długości prostych odcinków dzielących trapez na paski.
2. Obwód trójkąta wynosi 32. Dwusieczna kąta A dzieli bok BC na części równe 5 i 3. Znajdź długości boków trójkąta.
3. Baza Trójkąt równoramienny równy a, bok b. Znajdź długość odcinka łączącego punkty przecięcia dwusiecznych narożników podstawy z bokami.
Instrukcje
Jeśli dany trójkąt równoramienny lub regularny, to znaczy ma
dwa lub trzy boki, a następnie jego dwusieczna, w zależności od właściwości trójkąt, będzie również medianą. I dlatego przeciwny zostanie podzielony na pół przez dwusieczną.
Zmierz drugą stronę linijką trójkąt, gdzie dwusieczna będzie zmierzać. Podziel tę stronę na pół i umieść kropkę na środku boku.
Narysuj linię prostą przechodzącą przez skonstruowany punkt i przeciwległy wierzchołek. To będzie dwusieczna trójkąt.
Źródła:
- Mediany, dwusieczne i wysokości trójkąta
Dzielenie kąta na pół i obliczanie długości linii poprowadzonej od jego wierzchołka do przeciwnej strony to czynność, którą muszą umieć wycinacze, geodeci, instalatorzy i osoby wykonujące inne zawody.
Będziesz potrzebować
- Narzędzia Ołówek Linijka Kątomierz Tabele sinusów i cosinusów Wzory matematyczne i pojęcia: Definicja dwusiecznej. Twierdzenia o sinusach i cosinusach. Twierdzenie o dwusiecznej
Instrukcje
Zbuduj trójkąt o wymaganym rozmiarze, w zależności od tego, co ci podano? dfe boki i kąt między nimi, trzy boki lub dwa kąty i bok znajdujący się pomiędzy nimi.
Oznacz wierzchołki rogów i boków tradycyjnymi łacińskimi literami A, B i C. Wierzchołki rogów oznaczono , a przeciwległe strony małymi literami. Oznacz rogi litery greckie?,? I?
Korzystając z twierdzeń o sinusach i cosinusach, oblicz kąty i boki trójkąt.
Pamiętaj o dwusiecznych. Dwusieczna - dzielenie kąta na pół. Dwusieczna kąta trójkąt dzieli przeciwieństwo na dwa odcinki, które są równe stosunkowi dwóch sąsiednich boków trójkąt.
Narysuj dwusieczne kątów. Oznacz powstałe odcinki zapisanymi nazwami kątów małe litery, z indeksem l. Strona c jest podzielona na odcinki a i b o indeksach l.
Oblicz długości powstałych odcinków, korzystając z twierdzenia sinusów.
Wideo na ten temat
notatka
Długość odcinka, który jest jednocześnie bokiem trójkąta utworzonego przez jeden z boków pierwotnego trójkąta, dwusieczną i sam odcinek, oblicza się z twierdzenia sinusów. Aby obliczyć długość kolejnego odcinka tego samego boku, wykorzystaj stosunek powstałych odcinków do sąsiednich boków pierwotnego trójkąta.
Aby uniknąć nieporozumień, narysuj dwusieczne różne kąty różne kolory.
Dwusieczna kąt zwany promieniem rozpoczynającym się w wierzchołku kąt i dzieli go na dwie równe części. Te. wydać dwusieczna, musisz znaleźć środek kąt. Najłatwiej to zrobić za pomocą kompasu. W takim przypadku nie trzeba wykonywać żadnych obliczeń, a wynik nie będzie zależał od tego, czy jest to ilość kąt Liczba całkowita.
Będziesz potrzebować
- kompas, ołówek, linijka.
Instrukcje
Pozostawiając szerokość otworu kompasu taką samą, umieść igłę na końcu segmentu po jednym z boków i narysuj część koła tak, aby znajdowała się wewnątrz kąt. Zrób to samo z drugim. Otrzymasz dwie części okręgów, które przetną się w środku kąt- mniej więcej pośrodku. Części okręgów mogą przecinać się w jednym lub dwóch punktach.
Wideo na ten temat
Pomocna rada
Aby skonstruować dwusieczną kąta, możesz użyć kątomierza, ale ta metoda wymaga większa dokładność. Co więcej, jeśli wartość kąta nie jest liczbą całkowitą, wzrasta prawdopodobieństwo błędów w konstruowaniu dwusiecznej.
Budując lub opracowując projekty projektów domów, często konieczne jest budowanie narożnik równy temu, co jest już dostępne. Z pomocą przychodzą szablony wiedza szkolna geometria.
Instrukcje
Kąt tworzą dwie linie proste wychodzące z jednego punktu. Punkt ten nazwiemy wierzchołkiem kąta, a linie będą bokami kąta.
Użyj trzech, aby wskazać narożniki: jeden u góry, dwa po bokach. Zwany narożnik, zaczynając od litery znajdującej się po jednej stronie, następnie nazywa się literę znajdującą się na górze, a następnie literę znajdującą się po drugiej stronie. Jeśli wolisz inaczej, użyj innych, aby wskazać kąty. Czasami nazwana jest tylko jedna litera, która znajduje się na górze. I możesz oznaczyć kąty greckimi literami, na przykład α, β, γ.
Są sytuacje, kiedy jest to konieczne narożnik, tak aby był węższy niż podany kąt. Jeśli podczas konstruowania nie można użyć kątomierza, można sobie poradzić jedynie za pomocą linijki i kompasu. Załóżmy, że na linii prostej oznaczonej literami MN musisz zbudować narożnik w punkcie K tak, aby był równy kątowi B. Oznacza to, że z punktu K należy poprowadzić linię prostą z linią MN narożnik, który będzie równy kątowi B.
Zacznij od zaznaczenia punktu po każdej stronie. dany kąt, na przykład punkty A i C, następnie połącz punkty C i A linią prostą. Zdobądź tre narożnik nic ABC.
Teraz zbuduj ten sam tre na prostej MN narożnik tak aby jego wierzchołek B znajdował się na prostej w punkcie K. Skorzystaj z reguły konstruowania trójkąta narożnik nnik w trójce. Odłóż odcinek KL od punktu K. Musi być równy segmentowi BC. Zdobądź punkt L.
Z punktu K narysuj okrąg o promieniu równym odcinku BA. Od L narysuj okrąg o promieniu CA. Połącz powstały punkt (P) przecięcia dwóch okręgów z K. Zdobądź trzy narożnik KPL, który będzie równy trzy narożnik Książka ABC. W ten sposób otrzymujesz narożnik K. Będzie równy kątowi B. Aby było to wygodniejsze i szybsze, odsuń się od wierzchołka B równe segmenty, korzystając z jednego otworu kompasu, nie poruszając nogami, opisz okrąg o tym samym promieniu od punktu K.
Wideo na ten temat
Wskazówka 5: Jak zbudować trójkąt, korzystając z dwóch boków i środkowej
Trójkąt jest najprostszy figura geometryczna, mający trzy wierzchołki połączone parami segmentami tworzącymi boki tego wielokąta. Odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwnej strony nazywa się medianą. Znając długości dwóch boków i środkową łączącą się w jednym z wierzchołków, można skonstruować trójkąt, nie mając informacji o długości trzeciego boku ani o wielkości kątów.
Instrukcje
Narysuj odcinek z punktu A, którego długość jest jednym ze znanych boków trójkąta (a). Oznacz punkt końcowy tego odcinka literą B. Następnie jeden z boków (AB) żądanego trójkąta można już uznać za skonstruowany.
Za pomocą kompasu narysuj okrąg o promieniu równym dwukrotności długości środkowej (2∗m) i ze środkiem w punkcie A.
Za pomocą kompasu narysuj drugi okrąg o promieniu równa długości znana partia(b), a środek w punkcie B. Odłóż kompas na chwilę, ale zostaw na nim zmierzony - będziesz go potrzebować ponownie nieco później.
Skonstruuj odcinek łączący punkt A z punktem przecięcia dwóch, które narysowałeś. Połową tego odcinka będzie ten, który budujesz - zmierz tę połowę i umieść punkt M. W tym momencie masz jeden bok żądanego trójkąta (AB) i jego środkową (AM).
Za pomocą kompasu narysuj okrąg o promieniu równym długości drugiego znanego boku (b) i środka w punkcie A.
Narysuj odcinek, który powinien zaczynać się w punkcie B, przechodzić przez punkt M i kończyć się w punkcie przecięcia prostej z okręgiem, który narysowałeś w poprzednim kroku. Wyznacz punkt przecięcia literą C. Teraz bok BC, nieznany zgodnie z warunkami zadania, został skonstruowany w pożądanym.
Umiejętność podzielenia dowolnego kąta przez dwusieczną jest potrzebna nie tylko do zdobycia piątki z matematyki. Wiedza ta będzie bardzo przydatna dla budowniczych, projektantów, geodetów i krawcowych. W życiu trzeba umieć dzielić wiele rzeczy na pół.
Wszyscy w szkole nauczyli się dowcipu o szczurze, który biega po kątach i dzieli róg na pół. Imię tego zwinnego i inteligentnego gryzonia brzmiało Dwusieczna. Nie wiadomo, jak szczur podzielił róg i matematycy podręcznik szkolny„Geometria” można zaproponować następujące metody.
Korzystanie z kątomierza
Najłatwiejszym sposobem przeprowadzenia dwusiecznej jest użycie urządzenia do. Należy przymocować kątomierz po jednej stronie kąta, wyrównując punkt odniesienia z jego wierzchołkiem O. Następnie zmierz kąt w stopniach lub radianach i podziel go przez dwa. Za pomocą tego samego kątomierza odłóż uzyskane stopnie z jednego z boków i narysuj linię prostą, która stanie się dwusieczną, do punktu początkowego kąta O.Korzystanie z kompasu
Musisz wziąć kompas i przesunąć go do dowolnego rozmiaru (w granicach rysunku). Po umieszczeniu końcówki w punkcie początkowym kąta O narysuj łuk przecinający promienie, zaznaczając na nich dwa punkty. Są one oznaczone jako A1 i A2. Następnie, umieszczając kompas naprzemiennie w tych punktach, należy narysować dwa okręgi o tej samej dowolnej średnicy (w skali rysunku). Ich punkty przecięcia są oznaczone C i B. Następnie musisz narysować linię prostą przez punkty O, C i B, która będzie pożądaną dwusieczną.Używanie linijki
Aby narysować dwusieczną kąta za pomocą linijki, należy wykreślić odcinki z punktu O na półprostych (bokach) ta sama długość i oznaczyć je jako punkty A i B. Następnie należy połączyć je linią prostą i za pomocą linijki podzielić powstały odcinek na pół, wyznaczając punkt C. Dwusieczną otrzymamy, jeśli poprowadzimy linię prostą przez punkty C i O.Żadnych narzędzi
Jeśli nie urządzenia pomiarowe, możesz użyć swojej pomysłowości. Wystarczy po prostu narysować kąt na kalce lub zwykłym cienkim papierze i ostrożnie złożyć kartkę tak, aby promienie kąta zrównały się. Linia zagięcia na rysunku będzie pożądaną dwusieczną.Kąt prosty
Kąt większy niż 180 stopni można podzielić przez dwusieczną, stosując te same metody. Tylko konieczne będzie podzielenie nie tego, ale przylegającego do niego kąta ostrego, pozostałego z koła. Kontynuacją znalezionej dwusiecznej stanie się pożądana linia prosta, dzieląca rozłożony kąt na pół.Kąty w trójkącie
Należy pamiętać, że w trójkącie równobocznym dwusieczna jest jednocześnie medianą i wysokością. Dlatego dwusieczną w nim można znaleźć, po prostu obniżając prostopadłą do strony przeciwnej do kąta (wysokości) lub dzieląc ten bok na pół i łącząc punkt środkowy z przeciwny kąt(mediana).Wideo na ten temat
Reguła mnemoniczna„dwusieczna to szczur, który biega po rogach i dzieli je na pół” opisuje istotę koncepcji, ale nie podaje zaleceń dotyczących konstruowania dwusiecznej. Aby to narysować, oprócz reguły, będziesz potrzebować kompasu i linijki.
Instrukcje
Powiedzmy, że musisz zbudować dwusieczna kąt A. Weź kompas, umieść jego końcówkę w punkcie A (kąt) i narysuj dowolny okrąg. W miejscu przecięcia boków narożnika umieść punkty B i C.
Zmierz promień pierwszego okręgu. Narysuj kolejny o tym samym promieniu, umieszczając kompas w punkcie B.
Narysuj kolejny okrąg (o takiej samej wielkości jak poprzednie) ze środkiem w punkcie C.
Wszystkie trzy okręgi muszą przecinać się w jednym punkcie - nazwijmy to F. Za pomocą linijki narysuj półprostą przechodzącą przez punkty A i F. Będzie to pożądana dwusieczna kąta A.
Istnieje kilka zasad, które pomogą Ci znaleźć. Na odwrót jest np. równy stosunkowi dwa sąsiednie boki. W równoramiennych
Dziś będzie bardzo łatwa lekcja. Rozważymy tylko jeden obiekt - dwusieczną kąta - i udowodnimy jego najważniejszą właściwość, która będzie nam bardzo przydatna w przyszłości.
Po prostu się nie relaksuj: czasami studenci, którzy chcą zdobyć wysoki wynik na tym samym egzaminie OGE lub Unified State Exam na pierwszej lekcji nie potrafią nawet dokładnie sformułować definicji dwusiecznej.
I zamiast naprawdę to robić ciekawe zadania, tracimy czas na takie proste rzeczy. Zatem czytajcie, oglądajcie i adoptujcie :)
Najpierw trochę dziwne pytanie: Co to jest kąt? Zgadza się: kąt to po prostu dwa promienie wychodzące z tego samego punktu. Na przykład:
Przykłady kątów: ostry, rozwarty i prosty Jak widać na zdjęciu, kąty mogą być ostre, rozwarte, proste - to teraz nie ma znaczenia. Często dla wygody na każdym promieniu zaznaczany jest dodatkowy punkt i mówi się, że przed nami jest kąt $AOB$ (zapisywany jako $\kąt AOB$).
Kapitan Oczywistość zdaje się sugerować, że oprócz promieni $OA$ i $OB$ zawsze można narysować kilka dodatkowych promieni z punktu $O$. Ale wśród nich będzie jeden wyjątkowy - nazywa się go dwusieczną.
Definicja. Dwusieczna kąta to promień wychodzący z wierzchołka tego kąta i przecinający ten kąt na pół.
Dla powyższych kątów dwusieczne będą wyglądać następująco:
Przykłady dwusiecznych kątów ostrych, rozwartych i prostych
Ponieważ na prawdziwych rysunkach nie zawsze jest oczywiste, że określony promień (w naszym przypadku jest to promień $OM$) dzieli pierwotny kąt na dwa równe, w geometrii zwyczajowo oznacza się równe kąty tą samą liczbą łuków ( na naszym rysunku jest to 1 łuk dla kąta ostrego, dwa dla kąta rozwartego i trzy dla kąta prostego).
OK, ustaliliśmy definicję. Teraz musisz zrozumieć, jakie właściwości ma dwusieczna.
Główna właściwość dwusiecznej kąta
W rzeczywistości dwusieczna ma wiele właściwości. I na pewno przyjrzymy się im na następnej lekcji. Ale jest jedna sztuczka, którą musisz teraz zrozumieć:
Twierdzenie. Dwusieczna kąta to zbiór punktów w jednakowej odległości od boków danego kąta.
W tłumaczeniu z matematyki na język rosyjski oznacza to dwa fakty na raz:
- Dowolny punkt leżący na dwusiecznej pewnego kąta znajduje się w tej samej odległości od boków tego kąta.
- I odwrotnie: jeśli punkt leży w tej samej odległości od boków danego kąta, to z pewnością leży na dwusiecznej tego kąta.
Zanim udowodnimy te twierdzenia, wyjaśnijmy jeden punkt: jak dokładnie nazywa się odległość od punktu do boku kąta? Tutaj pomoże nam stare, dobre określenie odległości punktu od linii:
Definicja. Odległość punktu od prostej to długość prostopadłej poprowadzonej z danego punktu do tej prostej.
Rozważmy na przykład prostą $l$ i punkt $A$, który nie leży na tej prostej. Narysujmy prostopadłą do $AH$, gdzie $H\in l$. Wtedy długość tej prostopadłej będzie odległością od punktu $A$ do prostej $l$.
Reprezentacja graficzna odległość punktu od linii Ponieważ kąt to po prostu dwa promienie, a każdy promień jest odcinkiem linii prostej, łatwo jest określić odległość od punktu do boków kąta. To tylko dwie prostopadłe:
Określ odległość punktu od boków kąta To wszystko! Teraz wiemy, czym jest odległość i czym jest dwusieczna. Dlatego możemy udowodnić główną własność.
Zgodnie z obietnicą podzielimy dowód na dwie części:
1. Odległości punktu na dwusiecznej od boków kąta są takie same
Rozważmy dowolny kąt z wierzchołkiem $O$ i dwusieczną $OM$:
Udowodnijmy, że ten właśnie punkt $M$ znajduje się w tej samej odległości od boków kąta.
Dowód. Narysujmy prostopadłe od punktu $M$ do boków kąta. Nazwijmy je $M((H)_(1))$ i $M((H)_(2))$:
Narysuj prostopadłe do boków kąta
Otrzymaliśmy dwa trójkąty prostokątne: $\vartriangle OM((H)_(1))$ i $\vartriangle OM((H)_(2))$. Mają wspólną przeciwprostokątną $OM$ i równe kąty:
- $\kąt MO((H)_(1))=\kąt MO((H)_(2))$ według warunku (ponieważ $OM$ jest dwusieczną);
- $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ według konstrukcji;
- $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$, ponieważ suma ostre rogi trójkąta prostokątnego wynosi zawsze 90 stopni.
W związku z tym trójkąty mają równe boki i dwa sąsiednie kąty (patrz znaki równości trójkątów). Dlatego w szczególności $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, tj. odległości od punktu $O$ do boków kąta są rzeczywiście równe. CO BYŁO DO OKAZANIA.:)
2. Jeżeli odległości są równe, to punkt leży na dwusiecznej
Teraz sytuacja odwrotna. Niech będzie dany kąt $O$ i punkt $M$ w równej odległości od boków tego kąta:
Udowodnijmy, że promień $OM$ jest dwusieczną, tj. $\kąt MO((H)_(1))=\kąt MO((H)_(2))$.
Dowód. Najpierw narysujmy ten właśnie promień $OM$, inaczej nie będzie czego udowadniać:
Przeprowadzono wiązkę $OM$ do narożnika
Ponownie otrzymujemy dwa trójkąty prostokątne: $\vartriangle OM((H)_(1))$ i $\vartriangle OM((H)_(2))$. Oczywiście są one równe, ponieważ:
- Przeciwprostokątna $OM$ - ogólne;
- Nogi $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ według warunku (w końcu punkt $M$ jest w równej odległości od boków kąta);
- Pozostałe nogi są również równe, ponieważ według twierdzenia Pitagorasa $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.
Dlatego trójkąty $\vartriangle OM((H)_(1))$ i $\vartriangle OM((H)_(2))$ mają trzy boki. W szczególności ich kąty są równe: $\kąt MO((H)_(1))=\kąt MO((H)_(2))$. A to oznacza po prostu, że $OM$ jest dwusieczną.
Na zakończenie dowodu zaznaczamy powstałe równe kąty czerwonymi łukami:
Dwusieczna dzieli kąt $\kąt ((H)_(1))O((H)_(2))$ na dwie równe części
Jak widać nic skomplikowanego. Udowodniliśmy, że dwusieczna kąta to zbiór punktów w jednakowej odległości od boków tego kąta :)
Skoro już mniej więcej ustaliliśmy terminologię, czas przejść do konkretów nowy poziom. W następnej lekcji przyjrzymy się więcej złożone właściwości dwusieczne i naucz się ich używać do rozwiązywania rzeczywistych problemów.
Średni poziom
Dwusieczna trójkąta. Szczegółowa teoria z przykładami (2019)
Dwusieczna trójkąta i jej własności
Czy wiesz, co to jest środek odcinka? Oczywiście, że tak. A co ze środkiem okręgu? To samo. Co to jest środek kąta? Można powiedzieć, że tak się nie dzieje. Ale dlaczego odcinek można podzielić na pół, a kąt nie? To całkiem możliwe – tylko nie kropka, ale…. linia.
Czy pamiętasz dowcip: dwusieczna to szczur, który biega po rogach i dzieli róg na pół. Zatem prawdziwa definicja dwusiecznej jest bardzo podobna do tego żartu:
Dwusieczna trójkąta- jest to dwusieczna część kąta trójkąta łącząca wierzchołek tego kąta z punktem po przeciwnej stronie.
Dawno, dawno temu starożytni astronomowie i matematycy wiele odkryli ciekawe właściwości dwusieczne. Ta wiedza znacznie uprościła życie ludzi. Łatwiej jest budować, liczyć odległości, a nawet regulować strzelanie z armat... Znajomość tych właściwości pomoże nam rozwiązać niektóre zadania GIA i Unified State Examination!
Pierwszą wiedzą, która w tym pomoże, jest dwusieczna trójkąta równoramiennego.
Swoją drogą, czy pamiętasz te wszystkie terminy? Czy pamiętasz, czym się od siebie różnią? NIE? Nie straszne. Rozwiążmy to teraz.
Więc, podstawa trójkąta równoramiennego- to jest strona, która nie jest równa żadnej innej. Spójrz na zdjęcie. Jak myślisz, która to strona? Zgadza się - to jest strona.
Mediana to linia poprowadzona od wierzchołka trójkąta i dzieląca przeciwna strona(to jeszcze raz) na pół.
Zauważ, że nie mówimy: „Środkowa trójkąta równoramiennego”. Wiesz dlaczego? Ponieważ środkowa narysowana z wierzchołka trójkąta przecina przeciwny bok KAŻDEGO trójkąta na pół.
Cóż, wysokość to linia narysowana od góry i prostopadła do podstawy. Zauważyłeś? Znowu mówimy o dowolnym trójkącie, a nie tylko o trójkącie równoramiennym. Wysokość KAŻDEGO trójkąta jest zawsze prostopadła do podstawy.
Więc, wpadłeś na to? Prawie. Aby jeszcze lepiej zrozumieć i na zawsze zapamiętać, czym jest dwusieczna, mediana i wysokość, musisz je porównać ze sobą i zrozumieć, w czym są podobne i czym się od siebie różnią. Jednocześnie, żeby lepiej zapamiętać, lepiej wszystko opisać” język ludzki" Wtedy bez problemu poradzisz sobie z językiem matematyki, jednak na początku nie rozumiesz tego języka i wszystko musisz rozumieć w swoim własnym języku.
Więc w czym są podobni? Dwusieczna, mediana i wysokość - wszystkie „wychodzą” z wierzchołka trójkąta i spoczywają po przeciwnej stronie i „robią coś” albo z kątem, z którego wychodzą, albo z Przeciwna strona. Myślę, że to proste, prawda?
Czym się różnią?
- Dwusieczna dzieli kąt, z którego wychodzi, na pół.
- Mediana dzieli przeciwną stronę na pół.
- Wysokość jest zawsze prostopadła do strony przeciwnej.
Otóż to. Łatwo to zrozumieć. A kiedy już zrozumiesz, będziesz mógł zapamiętać.
Teraz następne pytanie. Dlaczego w przypadku trójkąta równoramiennego dwusieczna jest zarówno medianą, jak i wysokością?
Możesz po prostu spojrzeć na rysunek i upewnić się, że mediana dzieli się całkowicie na dwie części równy trójkąt. To wszystko! Ale matematycy nie lubią wierzyć własnym oczom. Muszą wszystko udowodnić. Straszne słowo? Nic takiego - to proste! Spójrz: oba mają równe strony i, ogólnie rzecz biorąc, mają wspólną stronę i. (- dwusieczna!) I tak okazuje się, że dwa trójkąty mają dwa równe strony i kąt między nimi. Przypominamy sobie pierwszy znak równości trójkątów (jeśli nie pamiętasz, zajrzyj do tematu) i dochodzimy do wniosku, że, a zatem = i.
To już jest dobre - oznacza to, że okazała się medianą.
Ale co to jest?
Spójrzmy na zdjęcie - . I mamy to. Więc też! Wreszcie, hurra! I.
Czy ten dowód był dla Ciebie nieco ciężki? Spójrz na zdjęcie - dwa identyczne trójkąty mówią same za siebie.
W każdym razie pamiętaj mocno:
Teraz jest trudniej: policzymy kąt między dwusiecznymi w dowolnym trójkącie! Nie bój się, to nie jest takie trudne. Zobacz zdjęcie:
Policzmy to. Czy pamiętasz to suma kątów trójkąta wynosi?
Zastosujmy ten niesamowity fakt.
Z jednej strony od:
To jest.
Teraz spójrzmy na:
Ale dwusieczne, dwusieczne!
Pamiętajmy o:
Teraz przez listy
\angle AOC=90()^\circ +\frac(\angle B)(2)
Czy to nie zaskakujące? Okazało się że kąt między dwusiecznymi dwóch kątów zależy tylko od trzeciego kąta!
Cóż, przyjrzeliśmy się dwóm dwusiecznym. A co jeśli będzie ich trzech??!! Czy wszystkie przetną się w jednym punkcie?
A może tak będzie?
Jak myślisz? Matematycy myśleli, myśleli i udowadniali:
Czy to nie wspaniałe?
Chcesz wiedzieć dlaczego tak się dzieje?
Zatem...dwa trójkąty prostokątne: i. Oni mają:
- Ogólna przeciwprostokątna.
- (ponieważ jest to dwusieczna!)
Oznacza to - według kąta i przeciwprostokątnej. Dlatego odpowiednie nogi tych trójkątów są równe! To jest.
Udowodniliśmy, że punkt jest jednakowo (lub jednakowo) oddalony od boków kąta. Punkt 1 jest rozpatrzony. Przejdźmy teraz do punktu 2.
Dlaczego 2 jest prawdziwe?
Połączmy kropki i.
Oznacza to, że leży na dwusiecznej!
To wszystko!
Jak można to wszystko zastosować przy rozwiązywaniu problemów? Na przykład w zadaniach często pojawia się zdanie: „Okrąg styka się z bokami kąta…”. No cóż, trzeba coś znaleźć.
Wtedy szybko to sobie uświadomisz
I możesz użyć równości.
3. Trzy dwusieczne w trójkącie przecinają się w jednym punkcie
Z własności dwusiecznej być umiejscowienie punkty w równej odległości od boków kąta, następuje następujące stwierdzenie:
Jak dokładnie to wychodzi? Ale spójrz: dwie dwusieczne na pewno się przetną, prawda?
Trzecia dwusieczna mogłaby wyglądać następująco:
Ale w rzeczywistości wszystko jest znacznie lepsze!
Spójrzmy na punkt przecięcia dwóch dwusiecznych. nazwijmy to.
Czego użyliśmy tutaj za każdym razem? Tak akapit 1, Oczywiście! Jeżeli punkt leży na dwusiecznej, to jest jednakowo oddalony od boków kąta.
I tak się stało.
Ale przyjrzyj się uważnie tym dwóm równościom! Przecież wynika z nich, że i dlatego .
A teraz to wejdzie w grę punkt 2: jeśli odległości do boków kąta są równe, to punkt leży na dwusiecznej... jakiego kąta? Spójrz jeszcze raz na zdjęcie:
i są odległościami do boków kąta i są równe, co oznacza, że punkt leży na dwusiecznej kąta. Trzecia dwusieczna przechodzi przez ten sam punkt! Wszystkie trzy dwusieczne przecinają się w jednym punkcie! A jako dodatkowy prezent -
Promienie wpisany koła.
(Aby mieć pewność, spójrz na inny temat).
Cóż, teraz nigdy nie zapomnisz:
Punkt przecięcia dwusiecznych trójkąta jest środkiem okręgu w niego wpisanego.
Przejdźmy do następnej własności... Wow, dwusieczna ma wiele właściwości, prawda? I to jest świetne, ponieważ więcej właściwości, tym więcej narzędzi do rozwiązywania problemów dwusiecznych.
4. Dwusieczna i równoległość, dwusieczne kątów sąsiednich
Fakt, że dwusieczna dzieli kąt na pół, w niektórych przypadkach prowadzi do zupełnie nieoczekiwanych wyników. Na przykład,
Przypadek 1
Świetnie, prawda? Rozumiemy, dlaczego tak jest.
Z jednej strony rysujemy dwusieczną!
Ale z drugiej strony są kąty, które leżą poprzecznie (pamiętaj o temacie).
A teraz okazuje się, że; wyrzucić środek: ! - równoramienne!
Przypadek 2
Wyobraź sobie trójkąt (lub spójrz na zdjęcie)
Kontynuujmy bok poza punktem. Mamy teraz dwa kąty:
- - narożnik wewnętrzny
- - zewnętrzny narożnik jest na zewnątrz, prawda?
Więc teraz ktoś chciał narysować nie jedną, ale dwie dwusieczne na raz: zarówno dla, jak i dla. Co się stanie?
Czy to się sprawdzi? prostokątny!
Co zaskakujące, dokładnie tak jest.
Rozwiążmy to.
Jak myślisz, jaka to kwota?
Oczywiście - w końcu wszyscy razem tworzą taki kąt, że okazuje się, że jest to linia prosta.
Teraz pamiętaj o tym i są dwusieczne i zobacz, że wewnątrz kąta jest dokładnie połowa z sumy wszystkich czterech kątów: i - - to znaczy dokładnie. Można to też zapisać w postaci równania:
Niewiarygodne, ale prawdziwe:
Kąt między dwusiecznymi kąta wewnętrznego i zewnętrznego trójkąta jest równy.
Przypadek 3
Czy widzisz, że tutaj wszystko jest takie samo, jak w przypadku narożników wewnętrznych i zewnętrznych?
A może zastanówmy się jeszcze raz, dlaczego tak się dzieje?
Jeszcze raz, jeśli chodzi o sąsiadujące rogi,
(odpowiednio do podstaw równoległych).
I znowu się godzą dokładnie połowę od sumy
Wniosek: Jeśli problem zawiera dwusieczne przylegający kąty lub dwusieczne odpowiedni kąty równoległoboku lub trapezu, to w tym zadaniu z pewnością uczestniczy trójkąt prostokątny, a może nawet cały prostokąt.
5. Dwusieczna i przeciwna strona
Okazuje się, że dwusieczna kąta trójkąta dzieli przeciwny bok nie tylko w jakiś sposób, ale w szczególny i bardzo interesujący sposób:
To jest:
Niesamowity fakt, prawda?
Teraz udowodnimy ten fakt, ale przygotuj się: będzie to trochę trudniejsze niż wcześniej.
Ponownie - wyjście w „przestrzeń” - dodatkowa formacja!
Chodźmy prosto.
Po co? Zobaczymy teraz.
Kontynuujmy dwusieczną, aż przetnie się z prostą.
Czy to znajomy obraz? Tak, tak, tak, dokładnie tak jak w punkcie 4, przypadek 1 - okazuje się, że (- dwusieczna)
Leżąc w poprzek
Więc to też.
Teraz spójrzmy na trójkąty i.
Co możesz o nich powiedzieć?
Oni są podobni. No tak, ich kąty są równe kątom pionowym. A więc w dwóch rogach.
Teraz mamy prawo napisać relacje odpowiednich stron.
A teraz w skrócie:
Oh! Przypomina mi coś, prawda? Czy nie to właśnie chcieliśmy udowodnić? Tak, tak, dokładnie to!
Widzicie, jak wspaniałym okazał się „spacer kosmiczny” – zbudowanie dodatkowej linii prostej – bez niego nic by się nie wydarzyło! I tak, udowodniliśmy to
Teraz możesz bezpiecznie z niego korzystać! Przyjrzyjmy się jeszcze jednej właściwości dwusiecznych kątów trójkąta - nie przejmuj się, teraz najtrudniejsza część się skończyła - będzie łatwiej.
Rozumiemy to
Twierdzenie 1:
Twierdzenie 2:
Twierdzenie 3:
Twierdzenie 4:
Twierdzenie 5:
Twierdzenie 6:
Dwusieczna trójkąta to odcinek dzielący kąt trójkąta na dwie części równe kąty. Na przykład, jeśli kąt trójkąta wynosi 120 0, to rysując dwusieczną, skonstruujemy dwa kąty po 60 0 każdy.
A ponieważ w trójkącie są trzy kąty, można narysować trzy dwusieczne. Wszystkie mają jeden punkt odcięcia. Punkt ten jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt. Inaczej ten punkt przecięcia nazywany jest środkiem trójkąta.
Kiedy przecinają się dwie dwusieczne kąta wewnętrznego i zewnętrznego, uzyskuje się kąt 90 0. Narożnik zewnętrzny w trójkącie kąt przylegający do kącik wewnętrzny trójkąt.
Ryż. 1. Trójkąt zawierający 3 dwusieczne
Dwusieczna dzieli przeciwną stronę na dwa odcinki połączone bokami:
$$(CL\nad(LB)) = (AC\nad(AB))$$
Punkty dwusieczne są w jednakowej odległości od boków kąta, co oznacza, że znajdują się w tej samej odległości od boków kąta. Oznacza to, że jeśli z dowolnego punktu dwusiecznej upuścimy prostopadłe do każdego z boków kąta trójkąta, wówczas te prostopadłe będą równe.
Jeśli narysujesz medianę, dwusieczną i wysokość z jednego wierzchołka, wówczas mediana będzie najdłuższym odcinkiem, a wysokość będzie najkrótsza.
Niektóre własności dwusiecznej
W pewne rodzaje trójkąty, dwusieczna ma specjalne właściwości. Dotyczy to przede wszystkim trójkąta równoramiennego. Ta figura ma dwa identyczne boki, a trzeci nazywa się podstawą.
Jeśli narysujesz dwusieczną od wierzchołka kąta trójkąta równoramiennego do podstawy, wówczas będzie ona miała właściwości zarówno wysokości, jak i mediany. Odpowiednio długość dwusiecznej pokrywa się z długością środkowej i wysokości.
Definicje:
- Wysokość- prostopadła poprowadzona z wierzchołka trójkąta na przeciwną stronę.
- Mediana– odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.
Ryż. 2. Dwusieczna w trójkącie równoramiennym
To również ma zastosowanie trójkąt równoboczny, czyli trójkąt, w którym wszystkie trzy boki są równe.
Przykładowe zadanie
W trójkącie ABC: BR jest dwusieczną, gdzie AB = 6 cm, BC = 4 cm i RC = 2 cm. Odejmij długość trzeciego boku.
Ryż. 3. Dwusieczna w trójkącie
Rozwiązanie:
Dwusieczna dzieli bok trójkąta w określonej proporcji. Wykorzystajmy tę proporcję i wyraźmy AR. Następnie długość trzeciego boku obliczymy jako sumę odcinków, na które ten bok został podzielony przez dwusieczną.
- $(AB\nad(BC)) = (AR\nad(RC))$
- $RC=(6\nad(4))*2=3 cm$
Wtedy cały odcinek AC = RC+ AR
AC = 3+2=5 cm.
Łączna liczba otrzymanych ocen: 107.