Artykuł ten poświęcony jest szczegółowemu badaniu wzorów redukcji trygonometrycznej. Podano pełną listę wzorów redukcyjnych, pokazano przykłady ich użycia i podano dowód poprawności wzorów. W artykule podano także regułę mnemoniczną, która umożliwia wyprowadzanie wzorów redukcyjnych bez zapamiętywania poszczególnych wzorów.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Formuły redukcyjne. Lista
Wzory redukcyjne pozwalają na redukcję podstawowych funkcji trygonometrycznych kątów o dowolnej wielkości do funkcji kątów mieszczących się w zakresie od 0 do 90 stopni (od 0 do π 2 radianów). Operowanie kątami od 0 do 90 stopni jest znacznie wygodniejsze niż praca z dowolnie dużymi wartościami, dlatego też wzory redukcyjne są powszechnie stosowane przy rozwiązywaniu problemów trygonometrycznych.
Zanim zapiszemy same formuły, wyjaśnijmy kilka ważnych punktów dla zrozumienia.
- Argumentami funkcji trygonometrycznych we wzorach redukcyjnych są kąty postaci ± α + 2 π · z, π 2 ± α + 2 π · z, 3 π 2 ± α + 2 π · z. Tutaj z jest dowolną liczbą całkowitą, a α jest dowolnym kątem obrotu.
- Nie trzeba uczyć się wszystkich formuł redukcyjnych, których liczba jest imponująca. Istnieje zasada mnemoniczna, która ułatwia wyprowadzenie pożądanej formuły. O regule mnemonicznej porozmawiamy później.
Przejdźmy teraz bezpośrednio do wzorów redukcyjnych.
Formuły redukcyjne pozwalają przejść od pracy z dowolnymi i dowolnie dużymi kątami do pracy z kątami z zakresu od 0 do 90 stopni. Zapiszmy wszystkie formuły w formie tabeli.
Formuły redukcyjne
grzech α + 2 π z = grzech α , sałata α + 2 π z = cos α t sol α + 2 π z = t sol α , do t sol α + 2 π z = do t sol α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t sol - α + 2 π z = - t sol α , do t sol - α + 2 π z = - do t sol α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t sol π 2 + α + 2 π z = - do t sol α , do t sol π 2 + α + 2 π z = - t sol α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t sol π 2 - α + 2 π z = do t sol α , do t sol π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t sol π + α + 2 π z = t sol α , do t sol π + α + 2 π z = do t sol α grzech π - α + 2 π z = sin α , sałata π - α + 2 π z = - cos α t sol π - α + 2 π z = - t sol α , do t sol π - α + 2 π z = - do t sol α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = grzech α t sol 3 π 2 + α + 2 π z = - do t sol α , do t sol 3 π 2 + α + 2 π z = - t sol α grzech 3 π 2 - α + 2 π z = - sałata α , sałata 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t sol 3 π 2 - α + 2 π z = do t sol α , do t sol 3 π 2 - α + 2 π z = t sol α
W tym przypadku formuły są zapisywane w radianach. Można je jednak zapisać również za pomocą stopni. Wystarczy przeliczyć radiany na stopnie, zastępując π o 180 stopni.
Przykłady wykorzystania wzorów redukcyjnych
Pokażemy, jak korzystać ze wzorów redukcyjnych i jak te wzory są wykorzystywane do rozwiązywania praktycznych przykładów.
Kąt pod znakiem funkcji trygonometrycznej można przedstawić nie na jeden, ale na wiele sposobów. Na przykład argument funkcji trygonometrycznej można przedstawić w postaci ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z. Zademonstrujmy to.
Weźmy kąt α = 16 π 3. Kąt ten można zapisać w następujący sposób:
α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π
W zależności od przedstawienia kąta stosuje się odpowiedni wzór redukcyjny.
Weźmy ten sam kąt α = 16 π 3 i obliczmy jego tangens
Przykład 1: Korzystanie ze wzorów redukcyjnych
α = 16 π 3 , t sol α =?
Przedstawmy kąt α = 16 π 3 jako α = π + π 3 + 2 π 2
To przedstawienie kąta będzie odpowiadać wzorowi redukcyjnemu
t g (π + α + 2 π z) = t g α
t sol 16 π 3 = t sol π + π 3 + 2 π 2 = t sol π 3
Korzystając z tabeli, wskazujemy wartość tangensa
Teraz używamy innej reprezentacji kąta α = 16 π 3.
Przykład 2: Korzystanie ze wzorów redukcyjnych
α = 16 π 3 , t sol α =? α = - 2 π 3 + 2 π 3 t sol 16 π 3 = t sol - 2 π 3 + 2 π 3 = - t sol 2 π 3 = - (- 3) = 3
Wreszcie dla trzeciej reprezentacji kąta piszemy
Przykład 3. Stosowanie wzorów redukcyjnych
α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t sol 3 π 2 - α + 2 π z = do t sol α t sol α = t sol (3 π 2 - π 6 + 2 π) = do t sol π 6 = 3
Podajmy teraz przykład zastosowania bardziej złożonych formuł redukcyjnych
Przykład 4: Korzystanie ze wzorów redukcyjnych
Wyobraźmy sobie grzech 197° poprzez sinus i cosinus kąta ostrego.
Aby móc zastosować wzory redukcyjne należy przedstawić kąt α = 197° w jednej z postaci
± α + 360° z, 90° ± α + 360° z, 180° ± α + 360° z, 270° ± α + 360° z. Zgodnie z warunkami problemu kąt musi być ostry. W związku z tym mamy dwa sposoby przedstawienia tego:
197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°
Dostajemy
grzech 197° = grzech (180° + 17°) grzech 197° = grzech (270° - 73°)
Przyjrzyjmy się teraz wzorom redukcji sinusów i wybierzmy odpowiednie
grzech (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = grzech (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - grzech 17 ° grzech 197 ° = grzech (270° - 73° + 360° z) = - cos 73°
Reguła mnemoniczna
Formuł redukcyjnych jest wiele i na szczęście nie trzeba ich zapamiętywać. Istnieją prawidłowości, dzięki którym można wyprowadzić wzory redukcyjne dla różnych kątów i funkcji trygonometrycznych. Wzorce te nazywane są regułami mnemonicznymi. Mnemonika to sztuka zapamiętywania. Reguła mnemoniczna składa się z trzech części lub zawiera trzy etapy.
Reguła mnemoniczna
1. Argument pierwotnej funkcji jest reprezentowany w jednej z następujących postaci:
± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz
Kąt α musi mieścić się w przedziale od 0 do 90 stopni.
2. Wyznacza się znak pierwotnej funkcji trygonometrycznej. Funkcja zapisana po prawej stronie wzoru będzie miała ten sam znak.
3. Dla kątów ± α + 2 πz i π ± α + 2 πz nazwa pierwotnej funkcji pozostaje niezmieniona, a dla kątów odpowiednio π 2 ± α + 2 πz i 3 π 2 ± α + 2 πz zmienia się na „współfunkcja”. Sinus - cosinus. Tangens - kotangens.
Aby skorzystać z mnemonicznego przewodnika po wzorach redukcyjnych, musisz umieć wyznaczać znaki funkcji trygonometrycznych na podstawie ćwiartek koła jednostkowego. Spójrzmy na przykłady użycia reguły mnemonicznej.
Przykład 1: Użycie reguły mnemonicznej
Zapiszmy wzory redukcyjne dla cos π 2 - α + 2 πz i t g π - α + 2 πz. α jest logarytmem pierwszego kwartału.
1. Ponieważ według warunku α jest logarytmem pierwszego kwartału, pomijamy pierwszy punkt reguły.
2. Wyznacz znaki funkcji cos π 2 - α + 2 πz i t g π - α + 2 πz. Kąt π 2 - α + 2 πz jest jednocześnie kątem pierwszej ćwiartki, a kąt π - α + 2 πz należy do drugiej ćwiartki. W pierwszym kwartale funkcja cosinus jest dodatnia, a tangens w drugim kwartale ma znak minus. Zapiszmy jak na tym etapie będą wyglądać wymagane formuły.
cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -
3. Zgodnie z trzecim punktem, dla kąta π 2 - α + 2 π nazwa funkcji zmienia się na Konfucjusz, a dla kąta π - α + 2 πz pozostaje taka sama. Zapiszmy:
cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t sol π - α + 2 πz = - t sol α
Przyjrzyjmy się teraz podanym powyżej wzorom i upewnijmy się, że reguła mnemoniczna działa.
Spójrzmy na przykład z określonym kątem α = 777°. Sprowadźmy sinus alfa do funkcji trygonometrycznej kąta ostrego.
Przykład 2: Użycie reguły mnemonicznej
1. Wyobraź sobie kąt α = 777 ° w wymaganej formie
777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2
2. Kąt pierwotny to kąt pierwszej ćwiartki. Oznacza to, że sinus kąta ma znak dodatni. W rezultacie mamy:
3. grzech 777° = grzech (57° + 360° 2) = grzech 57° grzech 777° = grzech (90° - 33° + 360° 2) = cos 33°
Spójrzmy teraz na przykład, który pokazuje, jak ważne jest prawidłowe określenie znaku funkcji trygonometrycznej i prawidłowe przedstawienie kąta podczas korzystania z reguły mnemonicznej. Powtórzmy to jeszcze raz.
Ważny!
Kąt α musi być ostry!
Obliczmy tangens kąta 5 π 3. Z tabeli wartości głównych funkcji trygonometrycznych możesz od razu przyjąć wartość t g 5 π 3 = - 3, ale zastosujemy regułę mnemoniczną.
Przykład 3: Użycie reguły mnemonicznej
Wyobraźmy sobie kąt α = 5 π 3 w wymaganej postaci i skorzystajmy z reguły
t sol 5 π 3 = t sol 3 π 2 + π 6 = - do t sol π 6 = - 3 t sol 5 π 3 = t sol 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3
Jeśli kąt alfa przedstawimy w postaci 5 π 3 = π + 2 π 3, to wynik zastosowania reguły mnemonicznej będzie nieprawidłowy.
t sol 5 π 3 = t sol π + 2 π 3 = - t sol 2 π 3 = - (- 3) = 3
Nieprawidłowy wynik wynika z faktu, że kąt 2 π 3 nie jest ostry.
Dowód wzorów redukcyjnych opiera się na własnościach okresowości i symetrii funkcji trygonometrycznych, a także na własności przesunięcia o kąty π 2 i 3 π 2. Dowód słuszności wszystkich wzorów redukcyjnych można przeprowadzić bez uwzględnienia członu 2 πz, ponieważ oznacza on zmianę kąta o całkowitą liczbę pełnych obrotów i dokładnie odzwierciedla właściwość okresowości.
Pierwsze 16 wzorów wynika bezpośrednio z własności podstawowych funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens i cotangens.
Oto dowód wzorów na redukcje sinusów i cosinusów
grzech π 2 + α = cos α i cos π 2 + α = - sin α
Spójrzmy na okrąg jednostkowy, którego punkt początkowy po obrocie o kąt α przechodzi do punktu A 1 x, y, a po obrocie o kąt π 2 + α - do punktu A 2. Z obu punktów rysujemy prostopadłe do osi odciętych.
Dwa trójkąty prostokątne O A 1 H 1 i O A 2 H 2 są równe pod kątem przeciwprostokątnej i sąsiednich kątów. Z położenia punktów na okręgu i równości trójkątów możemy wywnioskować, że punkt A 2 ma współrzędne A 2 - y, x. Korzystając z definicji sinusa i cosinusa piszemy:
grzech α = y, cos α = x, sin π 2 + α = x, cos π 2 + α = y
grzech π 2 + α = cos α, cos π 2 + α = - sin α
Biorąc pod uwagę podstawowe tożsamości trygonometrii i to, co właśnie zostało udowodnione, możemy pisać
t sol π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - do t g α do t sol π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - sin α cos α = - t g α
Aby udowodnić wzory redukcyjne z argumentem π 2 - α, należy go przedstawić w postaci π 2 + (- α). Na przykład:
cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - grzech (- α) = grzech α
Dowód wykorzystuje właściwości funkcji trygonometrycznych z argumentami o przeciwnych znakach.
Wszystkie inne wzory redukcyjne można udowodnić w oparciu o te zapisane powyżej.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Lekcja i prezentacja na temat: „Zastosowanie wzorów redukcyjnych w rozwiązywaniu problemów”
Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń. Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.
Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 10
1C: Szkoła. Interaktywne zadania konstrukcyjne dla klas 7-10
1C: Szkoła. Rozwiązywanie problemów z geometrii. Interaktywne zadania dotyczące budowania w przestrzeni dla klas 10–11
Co będziemy studiować:
1. Powtórzmy trochę.
2. Zasady formuł redukcyjnych.
3. Tabela przeliczeniowa wzorów redukcyjnych.
4. Przykłady.
Przegląd funkcji trygonometrycznych
Chłopaki, spotkaliście się już z formułami duchów, ale jeszcze ich tak nie nazwaliście. Jak myślisz: gdzie?
Spójrz na nasze rysunki. Słusznie, gdy wprowadzono definicje funkcji trygonometrycznych.
Reguła wzorów redukcyjnych
Wprowadźmy podstawową zasadę: Jeżeli pod znakiem funkcji trygonometrycznej znajduje się liczba w postaci π×n/2 + t, gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą, to naszą funkcję trygonometryczną można sprowadzić do prostszej postaci, która będzie zawierać tylko argument t. Takie formuły nazywane są formułami duchami.
Przypomnijmy sobie pewne formuły:
- grzech(t + 2π*k) = grzech(t)
- cos(t + 2π*k) = cos(t)
- grzech(t + π) = -sin(t)
- cos(t + π) = -cos(t)
- grzech(t + π/2) = cos(t)
- cos(t + π/2) = -sin(t)
- tan(t + π*k) = tan(x)
- ctg(t + π*k) = ctg(x)
istnieje wiele wzorów duchów, zróbmy regułę, według której wyznaczymy nasze funkcje trygonometryczne przy użyciu formuły duchów:
- Jeżeli znak funkcji trygonometrycznej zawiera liczby w postaci: π + t, π - t, 2π + t i 2π - t, to funkcja nie ulegnie zmianie, czyli np. sinus pozostanie sinusem, kotangens pozostanie kotangentem.
- Jeżeli znak funkcji trygonometrycznej zawiera liczby postaci: π/2 + t, π/2 - t,
3π/2 + t i 3π/2 - t, wówczas funkcja zmieni się na pokrewną, czyli sinus stanie się cosinusem, cotangens stanie się styczną. - Przed funkcją wynikową należy postawić znak, jaki miałaby przekształcona funkcja pod warunkiem 0
Zasady te obowiązują również wtedy, gdy argument funkcji podany jest w stopniach!
Możemy także stworzyć tablicę przekształceń funkcji trygonometrycznych:
Przykłady wykorzystania wzorów redukcyjnych
1. Przekształć cos(π + t). Pozostaje nazwa funkcji, tj. otrzymujemy cos(t). Załóżmy dalej, że π/2 
2. Przekształć grzech(π/2 + t). Zmienia się nazwa funkcji, tj. otrzymujemy cos(t). Następnie załóżmy, że 0 sin(t + π/2) = cos(t)
3. Przekształć tg(π + t). Pozostaje nazwa funkcji, tj. opalamy się(t). Załóżmy dalej, że 0 
4. Przekształć ctg(270 0 + t). Zmienia się nazwa funkcji, czyli otrzymujemy tg(t). Załóżmy dalej, że 0 
Zagadnienia ze wzorami redukcyjnymi do samodzielnego rozwiązania
Chłopaki, przekonwertujcie to sami, korzystając z naszych zasad:
1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) łóżeczko(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) cotg(3π + t),
6) grzech(2π + t),
7) grzech(π/2 + 5t),
8) grzech(π/2 - t),
9) grzech(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).
I kolejne zadanie B11 na ten sam temat - z prawdziwego jednolitego egzaminu państwowego z matematyki.
Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:
W tym krótkim samouczku wideo dowiemy się, jak złożyć wniosek formuły redukcyjne za rozwiązywanie rzeczywistych problemów B11 z Unified State Examination z matematyki. Jak widać, mamy dwa wyrażenia trygonometryczne, każde zawierające sinusy i cosinusy, a także kilka dość brutalnych argumentów numerycznych.
Zanim rozwiążemy te problemy, przypomnijmy sobie, jakie są wzory redukcyjne. Jeśli więc mamy wyrażenia takie jak:
Wtedy możemy pozbyć się pierwszego wyrazu (w postaci k · π/2) według specjalnych zasad. Narysujmy okrąg trygonometryczny i zaznaczmy na nim główne punkty: 0, π/2; π; 3π/2 i 2π. Następnie patrzymy na pierwszy wyraz pod znakiem funkcji trygonometrycznej. Mamy:
- Jeżeli interesujący nas wyraz leży na osi pionowej okręgu trygonometrycznego (np. 3π/2; π/2 itd.), to pierwotną funkcję zastępujemy kofunkcją: sinus zastępujemy cosinusem, i cosinus, przeciwnie, przez sinus.
- Jeśli nasz wyraz leży na osi poziomej, to pierwotna funkcja się nie zmienia. Po prostu usuwamy pierwszy człon z wyrażenia i to wszystko.
W ten sposób otrzymujemy funkcję trygonometryczną, która nie zawiera wyrazów w postaci k · π/2. Na tym jednak praca ze wzorami redukcyjnymi się nie kończy. Faktem jest, że nasza nowa funkcja, otrzymana po „odrzuceniu” pierwszego członu, może mieć przed sobą znak plus lub minus. Jak rozpoznać ten znak? Teraz się dowiemy.
Wyobraźmy sobie, że kąt α pozostający wewnątrz funkcji trygonometrycznej po przekształceniach ma bardzo małą miarę stopnia. Ale co oznacza „mała miara”? Powiedzmy α ∈ (0; 30°) - to w zupełności wystarczy. Weźmy przykład funkcji:
Następnie, wychodząc z założenia, że α ∈ (0; 30°), dochodzimy do wniosku, że kąt 3π/2 − α leży w trzeciej ćwiartce współrzędnych, tj. 3π/2 - α ∈ (π; 3π/2). Zapamiętajmy znak funkcji pierwotnej, czyli tzw. y = grzech x w tym przedziale. Oczywiście sinus w trzeciej ćwiartce współrzędnych jest ujemny, ponieważ z definicji sinus jest rzędną końca ruchomego promienia (w skrócie sinus jest współrzędną y). Cóż, współrzędna y w dolnej połowie płaszczyzny zawsze przyjmuje wartości ujemne. Oznacza to, że w trzecim kwartale y jest również ujemne.
Na podstawie tych refleksji możemy zapisać końcowe wyrażenie:
Zadanie B11 – Opcja 1
Te same techniki są całkiem odpowiednie do rozwiązania problemu B11 z jednolitego egzaminu państwowego z matematyki. Jedyna różnica polega na tym, że w wielu rzeczywistych problemach B11 zamiast miary radianu (tj. liczb π, π/2, 2π itp.) używana jest miara stopnia (tj. 90°, 180°, 270° itd.). Spójrzmy na pierwsze zadanie:
Najpierw spójrzmy na licznik. cos 41° nie jest wartością tabelaryczną, więc nie możemy nic z nią zrobić. Zostawmy to tak na razie.
Teraz spójrzmy na mianownik:
grzech 131° = grzech (90° + 41°) = cos 41°
Oczywiście jest to wzór redukcyjny, więc sinus zastępuje się cosinusem. Dodatkowo kąt 41° leży na odcinku (0°; 90°), tj. w pierwszej ćwiartce współrzędnych - dokładnie tak, jak jest to wymagane do zastosowania wzorów redukcyjnych. Ale wtedy 90° + 41° to druga ćwiartka współrzędnych. Oryginalna funkcja y = sin x jest tam dodatnia, więc w ostatnim kroku stawiamy znak plus przed cosinusem (innymi słowy, nie wstawialiśmy niczego).
Pozostaje zająć się ostatnim elementem:
cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0,5
Widzimy tutaj, że 180° to oś pozioma. W konsekwencji sama funkcja się nie zmieni: był cosinus - i cosinus również pozostanie. Ale znowu pojawia się pytanie: czy przed otrzymanym wyrażeniem cos 60° pojawi się plus czy minus? Zauważ, że 180° to trzecia ćwiartka współrzędnych. Cosinus jest tam ujemny, dlatego cosinus ostatecznie będzie miał przed sobą znak minus. W sumie otrzymujemy konstrukcję −cos 60° = −0,5 – jest to wartość tabelaryczna, więc wszystko łatwo policzyć.
Teraz podstawiamy otrzymane liczby do pierwotnego wzoru i otrzymujemy:
Jak widać, liczbę cos 41° w liczniku i mianowniku ułamka można łatwo zmniejszyć i pozostaje zwykłe wyrażenie, które wynosi -10. W takim przypadku minus można wyjąć i umieścić przed znakiem ułamka lub „trzymać” obok drugiego współczynnika aż do ostatniego etapu obliczeń. W każdym razie odpowiedź będzie wynosić -10. To wszystko, problem B11 został rozwiązany!
Zadanie B14 – opcja 2
Przejdźmy do drugiego zadania. Znowu mamy przed sobą ułamek:
No cóż, 27° leży w pierwszej ćwiartce współrzędnych, więc niczego tutaj nie będziemy zmieniać. Ale grzech 117° trzeba zapisać (na razie bez kwadratu):
grzech 117° = grzech (90° + 27°) = cos 27°
Oczywiście znowu przed nami formuła redukcyjna: 90° to oś pionowa, dlatego sinus zmieni się na cosinus. Ponadto kąt α = 117° = 90° + 27° leży w drugiej ćwiartce współrzędnych. Pierwotna funkcja y = sin x jest tam dodatnia, dlatego po wszystkich przekształceniach przed cosinusem nadal znajduje się znak plus. Innymi słowy, nic tam nie jest dodawane - zostawiamy to tak: cos 27°.
Wracamy do pierwotnego wyrażenia, które należy obliczyć:
Jak widzimy, po przekształceniach w mianowniku powstała główna tożsamość trygonometryczna: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Razem -4: 1 = -4 - znaleźliśmy więc odpowiedź na drugie zadanie B11.
Jak widać, za pomocą formuł redukcyjnych takie problemy z jednolitego egzaminu państwowego z matematyki rozwiązuje się dosłownie w kilku wierszach. Brak sinusa sumy i cosinusa różnicy. Jedyne o czym musimy pamiętać to okrąg trygonometryczny.
Należą do sekcji trygonometrii matematyki. Ich istotą jest sprowadzenie funkcji trygonometrycznych kątów do „prostej” postaci. O tym, jak ważne jest ich poznanie, można napisać wiele. Takich formuł jest już 32!
Nie martw się, nie musisz się ich uczyć, jak wielu innych formuł na kursie matematyki. Nie ma co zapełniać głowy niepotrzebnymi informacjami, trzeba pamiętać o „kluczach” czy przepisach, a zapamiętanie lub wyprowadzenie wymaganej formuły nie będzie stanowiło problemu. Swoją drogą, kiedy piszę w artykułach „...trzeba się uczyć!!!” - to znaczy, że naprawdę trzeba się tego nauczyć.
Jeśli nie znasz wzorów redukcyjnych, prostota ich wyprowadzenia mile Cię zaskoczy - istnieje „prawo”, za pomocą którego można to łatwo zrobić. I możesz napisać dowolną z 32 formuł w 5 sekund.
Wymienię tylko niektóre problemy, które pojawią się na jednolitym egzaminie państwowym z matematyki, gdzie bez znajomości tych wzorów istnieje duże prawdopodobieństwo niepowodzenia w ich rozwiązaniu. Na przykład:
– problemy z rozwiązaniem trójkąta prostokątnego, gdzie mówimy o kącie zewnętrznym i problemy z kątami wewnętrznymi, niektóre z tych wzorów są również potrzebne.
– zadania dotyczące obliczania wartości wyrażeń trygonometrycznych; konwertowanie numerycznych wyrażeń trygonometrycznych; konwertowanie dosłownych wyrażeń trygonometrycznych.
– problemy dotyczące stycznej i geometrycznego znaczenia stycznej, potrzebny jest wzór redukcyjny na styczną, a także inne problemy.
– problemów stereometrycznych, w trakcie rozwiązywania często konieczne jest wyznaczenie sinusa lub cosinusa kąta mieszczącego się w przedziale od 90 do 180 stopni.
A to tylko te punkty, które dotyczą Unified State Exam. A na samym kursie algebry jest wiele problemów, których rozwiązania po prostu nie da się rozwiązać bez znajomości wzorów redukcyjnych.
Do czego więc to prowadzi i w jaki sposób podane formuły ułatwiają nam rozwiązywanie problemów?
Na przykład musisz określić sinus, cosinus, tangens lub cotangens dowolnego kąta od 0 do 450 stopni:
kąt alfa mieści się w zakresie od 0 do 90 stopni
* * *
Konieczne jest więc zrozumienie „prawa”, które tu działa:
1. Określ znak funkcji w odpowiedniej ćwiartce.
Pozwól, że ci przypomnę:
2. Pamiętaj o następujących kwestiach:
funkcja zmienia się na kofunkcję
funkcja nie zmienia się na kofunkcję
Co oznacza koncepcja - funkcja zmienia się w kofunkcję?
Odpowiedź: sinus zmienia się na cosinus lub odwrotnie, styczna do cotangens i odwrotnie.
To wszystko!
Teraz, zgodnie z przedstawionym prawem, sami napiszemy kilka wzorów redukcyjnych:
Kąt ten leży w trzeciej ćwiartce, cosinus w trzeciej ćwiartce jest ujemny. Nie zamieniamy funkcji na kofunkcję, ponieważ mamy 180 stopni, co oznacza:
Kąt leży w pierwszej ćwiartce, sinus w pierwszej ćwiartce jest dodatni. Nie zamieniamy funkcji na kofunkcję, ponieważ mamy 360 stopni, co oznacza:
Oto kolejne dodatkowe potwierdzenie, że sinusy sąsiednich kątów są równe:
Kąt leży w drugiej ćwiartce, sinus w drugiej ćwiartce jest dodatni. Nie zamieniamy funkcji na kofunkcję, ponieważ mamy 180 stopni, co oznacza:
W przyszłości, korzystając z właściwości okresowości, parzystości (dziwaczności), możesz łatwo określić wartość dowolnego kąta: 1050 0, -750 0, 2370 0 i dowolne inne. Na pewno w przyszłości pojawi się artykuł na ten temat, nie przegapcie go!
Kiedy będę korzystał ze wzorów redukcyjnych do rozwiązywania problemów, na pewno odniosę się do tego artykułu, abyś zawsze mógł odświeżyć sobie pamięć o przedstawionej powyżej teorii. To wszystko. Mam nadzieję, że materiał był dla Ciebie przydatny.
Pobierz materiał artykułu w formacie PDF
Z poważaniem, Aleksander.
P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś powiedział mi o tej stronie w sieciach społecznościowych.