Sifat ketaksamaan berangka dan rumusannya. Pelajaran video "Sifat ketaksamaan berangka"

Rujukan.

• Moro M. I.. Matematik. Buku teks untuk 1 kelas. permulaan sekolah Dalam 2 jam Bahagian 1. (Separuh pertama tahun) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova - ed ke-6. - M.: Pendidikan, 2006. - 112 p.: sakit.+Tambah. (2 l. sakit berasingan). - ISBN 5-09-014951-8.
• Matematik: buku teks untuk darjah 5. pendidikan am institusi / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - ed. ke-21, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: sakit. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: buku teks untuk darjah 8. pendidikan am institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; disunting oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. darjah 8. Dalam 2 jam Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan am / A. G. Mordkovich. - ed. ke-11, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.

Kami belajar tentang ketidaksamaan di sekolah, di mana kami menggunakan ketaksamaan berangka. Dalam artikel ini kita akan mempertimbangkan sifat-sifat ketaksamaan berangka, dari mana prinsip bekerja dengannya dibina.

Sifat ketaksamaan adalah serupa dengan sifat ketaksamaan berangka. Hartanah, justifikasinya akan dipertimbangkan, dan contoh akan diberikan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ketaksamaan berangka: definisi, contoh

Apabila memperkenalkan konsep ketaksamaan, kita mempunyai definisi mereka dibuat mengikut jenis rekod. Terdapat ungkapan algebra yang mempunyai tanda ≠,< , >, ≤ , ≥ . Mari kita berikan definisi.

Definisi 1

Ketaksamaan berangka dipanggil ketaksamaan di mana kedua-dua belah mempunyai nombor dan ungkapan berangka.

Kami menganggap ketaksamaan berangka di sekolah selepas mengkaji nombor asli. Operasi perbandingan tersebut dikaji langkah demi langkah. Yang awal kelihatan seperti 1< 5 , 5 + 7 >3. Selepas itu peraturan ditambah, dan ketaksamaan menjadi lebih rumit, maka kita memperoleh ketaksamaan bentuk 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0. 73 - 17 2< 0 .

Sifat ketaksamaan berangka

Untuk bekerja dengan ketaksamaan dengan betul, anda mesti menggunakan sifat ketaksamaan berangka. Mereka datang dari konsep ketidaksamaan. Konsep ini ditakrifkan menggunakan pernyataan, yang ditetapkan sebagai "lebih" atau "kurang."

Definisi 2

• nombor a lebih besar daripada b apabila perbezaan a - b ialah nombor positif;
• nombor a adalah kurang daripada b apabila perbezaan a - b ialah nombor negatif;
• nombor a adalah sama dengan b apabila beza a - b ialah sifar.

Takrifan digunakan apabila menyelesaikan ketaksamaan dengan hubungan "kurang daripada atau sama dengan," "lebih besar daripada atau sama dengan." Kami dapat itu

Definisi 3

• a lebih besar daripada atau sama dengan b apabila a - b ialah nombor bukan negatif;
• a adalah kurang daripada atau sama dengan b apabila a - b ialah nombor bukan positif.

Takrifan akan digunakan untuk membuktikan sifat ketaksamaan berangka.

Sifat asas

Mari kita lihat 3 ketaksamaan utama. Penggunaan tanda< и >ciri ciri berikut:

Definisi 4

• anti-refleksitiviti, yang mengatakan bahawa sebarang nombor a daripada ketaksamaan a< a и a >a dianggap tidak betul. Adalah diketahui bahawa bagi mana-mana a kesamaan a - a = 0 dipegang, oleh itu kita memperoleh bahawa a = a. Jadi a< a и a >a tidak betul. Contohnya, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 adalah salah.
• asimetri. Apabila nombor a dan b adalah sedemikian rupa sehingga a< b , то b >a, dan jika a > b, maka b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >a. Bahagian kedua dibuktikan dengan cara yang sama.

Contoh 1

Sebagai contoh, diberi ketaksamaan 5< 11 имеем, что 11 >5, yang bermaksud ketaksamaan berangkanya − 0, 27 > − 1, 3 akan ditulis semula sebagai − 1, 3< − 0 , 27 .

Sebelum beralih ke harta seterusnya, ambil perhatian bahawa dengan bantuan asimetri anda boleh membaca ketidaksamaan dari kanan ke kiri dan sebaliknya. Dengan cara ini, ketaksamaan berangka boleh diubah suai dan ditukar.

Definisi 5

• transitivity. Apabila nombor a, b, c memenuhi syarat a< b и b < c , тогда a < c , и если a >b dan b > c , kemudian a > c .

Bukti 1

Kenyataan pertama boleh dibuktikan. Keadaan a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Bahagian kedua dengan sifat transitiviti dibuktikan dengan cara yang sama.

Contoh 2

Kami menganggap harta yang dianalisis menggunakan contoh ketaksamaan − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 dan 1 8 > 1 32 berikutan bahawa 1 2 > 1 32.

Ketaksamaan berangka, yang ditulis menggunakan tanda ketaksamaan lemah, mempunyai sifat kelenturan, kerana a ≤ a dan a ≥ a boleh mempunyai kes kesamaan a = a. Mereka dicirikan oleh asimetri dan transitiviti.

Definisi 6

Ketaksamaan yang mempunyai tanda ≤ dan ≥ dalam tulisannya mempunyai sifat berikut:

• reflekstiviti a ≥ a dan a ≤ a dianggap ketaksamaan benar;
• antisimetri, apabila a ≤ b, maka b ≥ a, dan jika a ≥ b, maka b ≤ a.
• transitiviti, apabila a ≤ b dan b ≤ c, kemudian a ≤ c, dan juga, jika a ≥ b dan b ≥ c, maka a ≥ c.

Pembuktian dilakukan dengan cara yang sama.

Sifat penting lain bagi ketaksamaan berangka

Untuk menambah sifat asas ketaksamaan, keputusan yang mempunyai kepentingan praktikal digunakan. Prinsip kaedah digunakan untuk menganggarkan nilai ungkapan, di mana prinsip penyelesaian ketaksamaan didasarkan.

Perenggan ini mendedahkan sifat-sifat ketaksamaan untuk satu tanda ketidaksamaan yang ketat. Perkara yang sama dilakukan untuk yang tidak ketat. Mari kita lihat contoh, merumuskan ketaksamaan jika a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• jika a > b, maka a + c > b + c;
• jika a ≤ b, maka a + c ≤ b + c;
• jika a ≥ b, maka a + c ≥ b + c.

Untuk pembentangan yang mudah, kami memberikan pernyataan yang sepadan, yang ditulis dan bukti diberikan, contoh penggunaan ditunjukkan.

Definisi 7

Menambah atau mengira nombor pada kedua-dua belah. Dengan kata lain, apabila a dan b sepadan dengan ketaksamaan a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Bukti 2

Untuk membuktikan ini, persamaan mesti memenuhi syarat a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

Contoh 3

Sebagai contoh, jika kita menambah kedua-dua belah ketaksamaan 7 > 3 sebanyak 15, maka kita mendapat 7 + 15 > 3 + 15. Ini bersamaan dengan 22 > 18.

Definisi 8

Apabila kedua-dua belah ketaksamaan didarab atau dibahagikan dengan nombor c yang sama, kita memperoleh ketaksamaan sebenar. Jika anda mengambil nombor negatif, tanda itu akan bertukar kepada sebaliknya. Jika tidak, ia kelihatan seperti ini: untuk a dan b ketaksamaan berlaku apabila a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >b·c.

Bukti 3

Apabila terdapat kes c > 0, adalah perlu untuk membina perbezaan antara sisi kiri dan kanan ketaksamaan. Kemudian kita dapati bahawa a · c − b · c = (a − b) · c . Daripada syarat a< b , то a − b < 0 , а c >0, maka hasil darab (a − b) · c akan menjadi negatif. Ia berikutan bahawa a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

Apabila membuktikan, pembahagian dengan integer boleh digantikan dengan pendaraban dengan songsangan yang diberi, iaitu, 1 c. Mari kita lihat contoh sifat pada nombor tertentu.

Contoh 4

Kedua-dua belah ketaksamaan 4 dibenarkan< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Sekarang mari kita rumuskan dua keputusan berikut, yang digunakan dalam menyelesaikan ketaksamaan:

• Akibat 1. Apabila menukar tanda bahagian ketaksamaan berangka, tanda ketidaksamaan itu sendiri berubah kepada sebaliknya, sebagai< b , как − a >− b . Ini mengikut peraturan mendarab kedua-dua belah dengan - 1. Ia terpakai untuk peralihan. Sebagai contoh, − 6< − 2 , то 6 > 2 .
• Akibat 2. Apabila menggantikan bahagian ketaksamaan berangka dengan nombor salingan, tandanya juga berubah, dan ketaksamaan itu kekal benar. Oleh itu kita mempunyai bahawa a dan b ialah nombor positif, a< b , 1 a >1 b .

Apabila membahagikan kedua-dua belah ketaksamaan a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 kita ada 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 b mungkin salah.

Contoh 5

Sebagai contoh, − 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 ialah persamaan yang salah.

Semua mata disatukan oleh fakta bahawa tindakan pada bahagian ketidaksamaan memberikan ketidaksamaan yang betul pada output. Mari kita pertimbangkan sifat yang pada mulanya terdapat beberapa ketaksamaan berangka, dan hasilnya diperoleh dengan menambah atau mendarab bahagiannya.

Definisi 9

Apabila nombor a, b, c, d adalah sah untuk ketaksamaan a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Bukti 4

Mari kita buktikan bahawa (a + c) − (b + d) ialah nombor negatif, maka kita mendapat bahawa a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Harta ini digunakan untuk penambahan penggal demi penggal bagi tiga, empat atau lebih ketaksamaan berangka. Nombor a 1 , a 2 , … , a n dan b 1 , b 2 , … , b n memenuhi ketaksamaan a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

Contoh 6

Sebagai contoh, diberi tiga ketaksamaan berangka dengan tanda yang sama − 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Definisi 10

Pendaraban sebutan kedua-dua belah menghasilkan nombor positif. Apabila a< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Bukti 5

Untuk membuktikan ini, kita memerlukan kedua-dua belah ketaksamaan a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Sifat ini dianggap sah untuk bilangan nombor yang mana kedua-dua belah ketaksamaan mesti didarab. Kemudian a 1 , a 2 , … , a n Dan b 1, b 2, …, b n ialah nombor positif, di mana a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Ambil perhatian bahawa apabila menulis ketaksamaan terdapat nombor bukan positif, maka pendaraban sebutan demi sebutannya membawa kepada ketaksamaan yang salah.

Contoh 7

Contohnya, ketidaksamaan 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Akibat: Penggandaan sebutan bagi ketaksamaan a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Sifat ketaksamaan berangka

Mari kita pertimbangkan sifat ketaksamaan berangka berikut.

1. a< a , a >a - ketidaksamaan yang salah,
   a ≤ a, a ≥ a ialah ketaksamaan benar.
2. Jika a< b , то b >a - antisimetri.
3. Jika a< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. Jika a< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. Jika a< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   Jika a< b и c - отрицательное число, то a · c >b·c.

Akibat 1: jika a< b , то - a >-b.

Akibat 2: jika a dan b ialah nombor positif dan a< b , то 1 a >1 b .

1. Jika 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. Jika a 1 , a 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n ialah nombor positif dan a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Akibat 1: Jika a< b , a Dan b ialah nombor positif, kemudian a n< b n .

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

1) Konsep asas ketidaksamaan

2) Sifat asas ketaksamaan berangka. Ketaksamaan yang mengandungi pembolehubah.

3) Penyelesaian grafik ketaksamaan darjah kedua

4) Sistem ketidaksamaan. Ketaksamaan dan sistem ketaksamaan dengan dua pembolehubah.

5) Menyelesaikan ketaksamaan rasional menggunakan kaedah selang

6) Menyelesaikan ketaksamaan yang mengandungi pembolehubah di bawah tanda modulus

1. Konsep asas ketidaksamaan

Ketaksamaan ialah hubungan antara nombor (atau sebarang ungkapan matematik yang boleh mengambil nilai berangka) yang menunjukkan yang mana satu lebih besar atau kurang daripada yang lain. Tindakan berikut boleh dilakukan pada ungkapan ini mengikut peraturan tertentu: penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian (dan apabila mendarab atau membahagi N. dengan nombor negatif, maknanya berubah kepada sebaliknya). Salah satu konsep utama pengaturcaraan linear — ketaksamaan linear baik hati

a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n * b,

di mana a 1 ,..., a n, b- pemalar dan tanda * ialah salah satu tanda ketaksamaan, contohnya. ≥,

algebra

· transendental

Ketaksamaan algebra dibahagikan kepada ketaksamaan darjah pertama, kedua, dsb.

Ketaksamaan adalah algebra, darjah kedua.

Ketaksamaan adalah transendental.

2. Sifat asas ketaksamaan berangka. Ketaksamaan yang melibatkan pembolehubah

1) Graf bagi fungsi kuadratik y = ax 2 + bx + c ialah parabola dengan dahan mengarah ke atas jika a > 0, dan ke bawah jika a (kadang-kadang mereka mengatakan bahawa parabola dihalakan secara cembung ke bawah jika a > 0 dan cembung ke atas jika A). Dalam kes ini, tiga kes mungkin:

2) Parabola bersilang dengan paksi 0x (iaitu persamaan ax 2 + bx + c = 0 mempunyai dua akar yang berbeza). Iaitu, jika a

y = ax 2 + bx + ca>0 D>0 y = ax 2 + bx + ca D>0,

Parabola mempunyai bucu pada paksi 0x (iaitu, persamaan ax 2 + x + c = 0 mempunyai satu punca, yang dipanggil punca berganda) Iaitu, jika d = 0, maka untuk a>0 penyelesaian kepada ketaksamaan ialah keseluruhan garis nombor, dan untuk ax 2 + x + c

y = ax 2 + bx + ca>0 D= 0 y = ax 2 + bx + ca D=0,

3) Jika d0 dan di bawahnya pada a

y = ax 2 + bx + ca>0 D0 y = ax 2 + bx + ca D 0,

4) Selesaikan ketaksamaan secara grafik

1. Biarkan f(x) = 3x 2 -4x - 7 kemudian cari x yang mana f(x) ;

2. Mari cari sifar bagi fungsi tersebut.

f(x) pada x.

Jawapannya ialah f(x) pada x.

Biarkan f(x)=x 2 +4x +5 kemudian Mari kita cari x yang mana f(x)>0,

D=-4 Tiada sifar.

4. Sistem ketidaksamaan. Ketaksamaan dan sistem ketaksamaan dengan dua pembolehubah

1) Set penyelesaian kepada sistem ketaksamaan ialah persilangan set penyelesaian kepada ketaksamaan yang termasuk di dalamnya.

2) Set penyelesaian kepada ketaksamaan f(x;y)>0 boleh digambarkan secara grafik pada satah koordinat. Lazimnya, garis yang ditakrifkan oleh persamaan f(x;y) = 0 membahagikan satah kepada 2 bahagian, salah satunya ialah penyelesaian kepada ketaksamaan. Untuk menentukan bahagian mana, anda perlu menggantikan koordinat titik arbitrari M(x0;y0) yang tidak terletak pada garis f(x;y)=0 ke dalam ketaksamaan. Jika f(x0;y0) > 0, maka penyelesaian kepada ketaksamaan ialah bahagian satah yang mengandungi titik M0. jika f(x0;y0)

3) Set penyelesaian kepada sistem ketaksamaan ialah persilangan set penyelesaian kepada ketaksamaan yang termasuk di dalamnya. Mari, sebagai contoh, diberikan sistem ketaksamaan:

Untuk ketaksamaan pertama, set penyelesaian ialah bulatan jejari 2 dan berpusat pada asalan, dan untuk yang kedua, ia adalah separuh satah yang terletak di atas garis lurus 2x+3y=0. Set penyelesaian sistem ini ialah persilangan set ini, i.e. separuh bulatan.

4) Contoh. Selesaikan sistem ketaksamaan:

Penyelesaian kepada ketaksamaan pertama ialah set , yang kedua ialah set (2;7) dan yang ketiga ialah set .

Persilangan set ini ialah selang (2;3], iaitu set penyelesaian kepada sistem ketaksamaan.

5. Menyelesaikan ketaksamaan rasional menggunakan kaedah selang

Kaedah selang adalah berdasarkan sifat berikut bagi binomial ( Ha): titik x=α membahagikan garis nombor kepada dua bahagian - di sebelah kanan titik α binomial (x‑α)>0, dan di sebelah kiri titik α (x-α) .

Katakan kita perlu menyelesaikan ketidaksamaan (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, di mana α 1, α 2 ...α n-1, α n ialah nombor tetap, di antaranya tiada yang sama, dan sedemikian sehingga α 1 (x-α 1)(x-α 2)...(x ‑ α n)>0 menggunakan kaedah selang seperti berikut: nombor α 1, α 2 ...α n-1, α n diplot pada paksi nombor; dalam selang di sebelah kanan yang terbesar daripada mereka, i.e. nombor αn, letakkan tanda "tambah", dalam selang yang mengikutinya dari kanan ke kiri letakkan tanda "tolak", kemudian tanda "tambah", kemudian tanda "tolak", dsb. Kemudian set semua penyelesaian kepada ketaksamaan (x-α 1)(x‑α 2)...(x-α n)>0 akan menjadi gabungan semua selang di mana tanda tambah diletakkan, dan set penyelesaian kepada ketaksamaan (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n) akan menjadi gabungan semua selang di mana tanda tolak diletakkan.

1) Penyelesaian ketaksamaan rasional (iaitu ketaksamaan dalam bentuk P(x) Q(x) dengan polinomial) adalah berdasarkan sifat berikut bagi fungsi selanjar: jika fungsi berterusan lenyap pada titik x1 dan x2 (x1; x2) dan tidak mempunyai punca lain di antara titik-titik ini, kemudian dalam selang (x1; x2) fungsi itu mengekalkan tandanya.

Oleh itu, untuk mencari selang tanda malar bagi fungsi y=f(x) pada garis nombor, tandakan semua titik di mana fungsi f(x) hilang atau mengalami ketakselanjaran. Titik ini membahagikan garis nombor kepada beberapa selang, di dalamnya setiap satunya fungsi f(x) adalah berterusan dan tidak lenyap, i.e. menyimpan tanda itu. Untuk menentukan tanda ini, cukup untuk mencari tanda fungsi pada mana-mana titik selang garis nombor yang dipertimbangkan.

2) Untuk menentukan selang tanda malar fungsi rasional, iaitu Untuk menyelesaikan ketidaksamaan rasional, kita tandakan pada garis nombor akar pengangka dan punca penyebut, yang juga merupakan punca dan titik putus fungsi rasional.

Menyelesaikan ketaksamaan menggunakan kaedah selang

Penyelesaian. Wilayah nilai yang boleh diterima ditentukan oleh sistem ketaksamaan:

Untuk fungsi f(x)= - 20. Cari f(x):

di mana x= 29 dan x = 13.

f(30) = - 20 = 0,3 > 0,

f(5) = - 1 - 20 = - 10

Jawapan: }