Ketaksamaan berangka dan sifatnya. Contoh penyelesaian ketaksamaan

Kenyataan itu telah terbukti.

Sesungguhnya, sebagai contoh, 2< 3, но

Harta 4. Jika a > b dan c > d, maka a + c > b+ d.

Bukti. Oleh kerana a>b dan c>d, perbezaan a-b dan c-d ialah nombor positif. Maka jumlah nombor ini juga ialah nombor positif (a-b)+(c-d). Mari buka kurungan dan kumpulan (a-b)+(c-d) = a-b+ c-d= (a+c)-(b+ d). Memandangkan kesamaan ini, ungkapan yang terhasil (a+c)-(b+d) akan menjadi nombor positif. Oleh itu, a+ c> b+ d.

Ketaksamaan bentuk a>b, c >d atau a< b, c< d называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства a>b, c

Harta 5. Jika a > b, c > d, maka ac> bd, dengan a, b, c, d ialah nombor positif.

Bukti. Oleh kerana a>b dan c ialah nombor positif, maka, menggunakan sifat 3, kita mendapat ac > bc. Oleh kerana c >d dan b ialah nombor positif, maka bc > bd. Oleh itu, dengan sifat pertama ac > bd. Maksud harta terbukti adalah seperti berikut: "Jika kita mengalikan sebutan dengan sebutan ketaksamaan makna yang sama, yang sisi kiri dan kanannya adalah nombor positif, kita memperoleh ketaksamaan makna yang sama."

Contohnya, 6< a < 7, 4 < b< 5 тогда, 24 < ab < 35.

Harta 6. Jika a< b, a и b - положительные числа, то an< bn, где n- натуральное число.

Bukti. Jika kita darab n sebutan ketaksamaan diberi dengan sebutan a< b, то, согласно утверждению свойства 5, получим an< bn. Прочесть доказанное утверждение можно так: «Если обе части неравенства - положительные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства».

§ 3 Penggunaan hartanah

Mari kita pertimbangkan contoh aplikasi sifat yang telah kita pertimbangkan.

Biar 33< a < 34, 3 < b< 4. Оценить сумму a + b, разность a - b, произведение a ∙ b и частное a: b.

1) Mari kita anggarkan jumlah a + b. Menggunakan sifat 4, kita mendapat 33 + 3< a + b < 34 + 4 или

36 < a+ b <38.

2) Mari kita anggarkan perbezaan a - b. Oleh kerana tiada sifat tolak, kita gantikan perbezaan a - b dengan jumlah a + (-b). Mula-mula mari kita anggarkan (- b). Untuk melakukan ini, menggunakan sifat 3, kedua-dua belah ketaksamaan 3< b< 4 умножим на -1, при этом меняем знак неравенства на противоположный знак 3 ∙ (-1) >b∙ (-1) > 4 ∙ (-1). Kami mendapat -4< -b< -3. Теперь можно сложить два неравенства одного знака 33< a < 34 и -4< -b< -3. Имеем 2 9< a - b <31.

3) Mari kita anggarkan hasil darab a ∙ b. Dengan harta 5, kita mendarabkan ketaksamaan tanda yang sama

Kami belajar tentang ketidaksamaan di sekolah, di mana kami menggunakan ketaksamaan berangka. Dalam artikel ini kita akan mempertimbangkan sifat-sifat ketaksamaan berangka, dari mana prinsip bekerja dengannya dibina.

Sifat ketaksamaan adalah serupa dengan sifat ketaksamaan berangka. Hartanah, justifikasinya akan dipertimbangkan, dan contoh akan diberikan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ketaksamaan berangka: definisi, contoh

Apabila memperkenalkan konsep ketaksamaan, kita mempunyai definisi mereka dibuat mengikut jenis rekod. Terdapat ungkapan algebra yang mempunyai tanda ≠,< , >, ≤ , ≥ . Mari kita berikan definisi.

Definisi 1

Ketaksamaan berangka dipanggil ketaksamaan di mana kedua-dua belah mempunyai nombor dan ungkapan berangka.

Kami menganggap ketaksamaan berangka di sekolah selepas mengkaji nombor asli. Operasi perbandingan tersebut dikaji langkah demi langkah. Yang awal kelihatan seperti 1< 5 , 5 + 7 >3. Selepas itu peraturan ditambah, dan ketaksamaan menjadi lebih rumit, maka kita memperoleh ketaksamaan bentuk 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0. 73 - 17 2< 0 .

Sifat ketaksamaan berangka

Untuk bekerja dengan ketaksamaan dengan betul, anda mesti menggunakan sifat ketaksamaan berangka. Mereka datang dari konsep ketidaksamaan. Konsep ini ditakrifkan menggunakan pernyataan, yang ditetapkan sebagai "lebih" atau "kurang."

Definisi 2

• nombor a lebih besar daripada b apabila perbezaan a - b ialah nombor positif;
• nombor a adalah kurang daripada b apabila perbezaan a - b ialah nombor negatif;
• nombor a adalah sama dengan b apabila beza a - b ialah sifar.

Takrifan digunakan apabila menyelesaikan ketaksamaan dengan hubungan "kurang daripada atau sama dengan," "lebih besar daripada atau sama dengan." Kami dapat itu

Definisi 3

• a lebih besar daripada atau sama dengan b apabila a - b ialah nombor bukan negatif;
• a adalah kurang daripada atau sama dengan b apabila a - b ialah nombor bukan positif.

Takrifan akan digunakan untuk membuktikan sifat ketaksamaan berangka.

Sifat asas

Mari kita lihat 3 ketaksamaan utama. Penggunaan tanda< и >ciri ciri berikut:

Definisi 4

• anti-refleksitiviti, yang mengatakan bahawa sebarang nombor a daripada ketaksamaan a< a и a >a dianggap tidak betul. Adalah diketahui bahawa untuk mana-mana a kesamaan a - a = 0 dipegang, oleh itu kita memperoleh bahawa a = a. Jadi a< a и a >a tidak betul. Contohnya, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 adalah salah.
• asimetri. Apabila nombor a dan b adalah sedemikian rupa sehingga a< b , то b >a, dan jika a > b, maka b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >a. Bahagian kedua dibuktikan dengan cara yang sama.

Contoh 1

Sebagai contoh, diberi ketaksamaan 5< 11 имеем, что 11 >5, yang bermaksud ketaksamaan berangkanya − 0, 27 > − 1, 3 akan ditulis semula sebagai − 1, 3< − 0 , 27 .

Sebelum beralih ke harta seterusnya, ambil perhatian bahawa dengan bantuan asimetri anda boleh membaca ketidaksamaan dari kanan ke kiri dan sebaliknya. Dengan cara ini, ketaksamaan berangka boleh diubah suai dan ditukar.

Definisi 5

• transitivity. Apabila nombor a, b, c memenuhi syarat a< b и b < c , тогда a < c , и если a >b dan b > c , kemudian a > c .

Bukti 1

Kenyataan pertama boleh dibuktikan. Keadaan a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Bahagian kedua dengan sifat transitiviti dibuktikan dengan cara yang sama.

Contoh 2

Kami menganggap harta yang dianalisis menggunakan contoh ketaksamaan − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 dan 1 8 > 1 32 berikutan bahawa 1 2 > 1 32.

Ketaksamaan berangka, yang ditulis menggunakan tanda ketaksamaan lemah, mempunyai sifat kelenturan, kerana a ≤ a dan a ≥ a boleh mempunyai kes kesamaan a = a. Mereka dicirikan oleh asimetri dan transitiviti.

Definisi 6

Ketaksamaan yang mempunyai tanda ≤ dan ≥ dalam tulisannya mempunyai sifat berikut:

• reflekstiviti a ≥ a dan a ≤ a dianggap ketaksamaan benar;
• antisimetri, apabila a ≤ b, maka b ≥ a, dan jika a ≥ b, maka b ≤ a.
• transitiviti, apabila a ≤ b dan b ≤ c, kemudian a ≤ c, dan juga, jika a ≥ b dan b ≥ c, maka a ≥ c.

Pembuktian dilakukan dengan cara yang sama.

Sifat penting lain bagi ketaksamaan berangka

Untuk menambah sifat asas ketaksamaan, keputusan yang mempunyai kepentingan praktikal digunakan. Prinsip kaedah digunakan untuk menganggarkan nilai ungkapan, di mana prinsip penyelesaian ketaksamaan didasarkan.

Perenggan ini mendedahkan sifat-sifat ketaksamaan untuk satu tanda ketidaksamaan yang ketat. Perkara yang sama dilakukan untuk yang tidak ketat. Mari kita lihat contoh, merumuskan ketaksamaan jika a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• jika a > b, maka a + c > b + c;
• jika a ≤ b, maka a + c ≤ b + c;
• jika a ≥ b, maka a + c ≥ b + c.

Untuk pembentangan yang mudah, kami memberikan pernyataan yang sepadan, yang ditulis dan bukti diberikan, contoh penggunaan ditunjukkan.

Definisi 7

Menambah atau mengira nombor pada kedua-dua belah. Dengan kata lain, apabila a dan b sepadan dengan ketaksamaan a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Bukti 2

Untuk membuktikan ini, persamaan mesti memenuhi syarat a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

Contoh 3

Sebagai contoh, jika kita menambah kedua-dua belah ketaksamaan 7 > 3 sebanyak 15, maka kita mendapat 7 + 15 > 3 + 15. Ini bersamaan dengan 22 > 18.

Definisi 8

Apabila kedua-dua belah ketaksamaan didarab atau dibahagikan dengan nombor c yang sama, kita memperoleh ketaksamaan sebenar. Jika anda mengambil nombor negatif, tanda akan bertukar kepada sebaliknya. Jika tidak, ia kelihatan seperti ini: untuk a dan b ketaksamaan berlaku apabila a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >b·c.

Bukti 3

Apabila terdapat kes c > 0, adalah perlu untuk membina perbezaan antara sisi kiri dan kanan ketaksamaan. Kemudian kita dapati bahawa a · c − b · c = (a − b) · c . Daripada syarat a< b , то a − b < 0 , а c >0, maka hasil darab (a − b) c akan menjadi negatif. Ia berikutan bahawa a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

Apabila membuktikan, pembahagian dengan integer boleh digantikan dengan pendaraban dengan songsangan yang diberi, iaitu, 1 c. Mari kita lihat contoh sifat pada nombor tertentu.

Contoh 4

Kedua-dua belah ketaksamaan 4 dibenarkan< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Sekarang mari kita rumuskan dua keputusan berikut, yang digunakan dalam menyelesaikan ketaksamaan:

• Akibat 1. Apabila menukar tanda bahagian ketaksamaan berangka, tanda ketidaksamaan itu sendiri berubah kepada sebaliknya, sebagai< b , как − a >− b . Ini mengikut peraturan mendarab kedua-dua belah dengan - 1. Ia terpakai untuk peralihan. Sebagai contoh, − 6< − 2 , то 6 > 2 .
• Akibat 2. Apabila menggantikan bahagian ketaksamaan berangka dengan nombor bertentangan, tandanya juga berubah, dan ketaksamaan itu kekal benar. Daripada ini kita mempunyai bahawa a dan b ialah nombor positif, a< b , 1 a >1 b .

Apabila membahagikan kedua-dua belah ketaksamaan a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 kita ada 1 5 itu< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 b mungkin salah.

Contoh 5

Sebagai contoh, − 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 ialah persamaan yang salah.

Semua mata disatukan oleh fakta bahawa tindakan pada bahagian ketidaksamaan memberikan ketidaksamaan yang betul pada output. Mari kita pertimbangkan sifat yang pada mulanya terdapat beberapa ketaksamaan berangka, dan hasilnya diperoleh dengan menambah atau mendarab bahagiannya.

Definisi 9

Apabila nombor a, b, c, d adalah sah untuk ketaksamaan a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Bukti 4

Mari kita buktikan bahawa (a + c) − (b + d) ialah nombor negatif, maka kita mendapat bahawa a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Harta ini digunakan untuk penambahan penggal demi penggal bagi tiga, empat atau lebih ketaksamaan berangka. Nombor a 1 , a 2 , … , a n dan b 1 , b 2 , … , b n memenuhi ketaksamaan a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

Contoh 6

Sebagai contoh, diberi tiga ketaksamaan berangka dengan tanda yang sama − 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Definisi 10

Pendaraban sebutan kedua-dua belah menghasilkan nombor positif. Apabila a< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Bukti 5

Untuk membuktikan ini, kita memerlukan kedua-dua belah ketidaksamaan a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Sifat ini dianggap sah untuk bilangan nombor yang mana kedua-dua belah ketaksamaan mesti didarab. Kemudian a 1 , a 2 , … , a n Dan b 1, b 2, …, b n ialah nombor positif, di mana a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Ambil perhatian bahawa apabila menulis ketaksamaan terdapat nombor bukan positif, maka pendaraban sebutan demi sebutannya membawa kepada ketaksamaan yang salah.

Contoh 7

Contohnya, ketidaksamaan 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Akibat: Penggandaan sebutan bagi ketaksamaan a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Sifat ketaksamaan berangka

Mari kita pertimbangkan sifat ketaksamaan berangka berikut.

1. a< a , a >a - ketidaksamaan yang salah,
   a ≤ a, a ≥ a ialah ketaksamaan benar.
2. Sekiranya< b , то b >a - antisimetri.
3. Sekiranya< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. Sekiranya< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. Sekiranya< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   Sekiranya< b и c - отрицательное число, то a · c >b·c.

Akibat 1: sekiranya< b , то - a >-b.

Akibat 2: jika a dan b ialah nombor positif dan a< b , то 1 a >1 b .

1. Jika 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. Jika a 1 , a 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n ialah nombor positif dan a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Akibat 1: Jika a< b , a Dan b ialah nombor positif, kemudian a n< b n .

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Jenis-jenis ketidaksamaan utama dibentangkan, termasuk ketidaksamaan Bernoulli, Cauchy - Bunyakovsky, Minkowski, Chebyshev. Sifat ketidaksamaan dan tindakan ke atasnya dipertimbangkan. Kaedah asas untuk menyelesaikan ketaksamaan diberikan.

Formula untuk ketidaksamaan asas

Formula untuk ketidaksamaan sejagat

Ketaksamaan sejagat berpuas hati untuk sebarang nilai kuantiti yang termasuk di dalamnya. Jenis utama ketidaksamaan sejagat disenaraikan di bawah.

1) | a b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |a| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |a| - |b| |

3)
Kesaksamaan berlaku hanya apabila a 1 = a 2 = ... = a n.

4) Ketaksamaan Cauchy-Bunyakovsky

Kesaksamaan berlaku jika dan hanya jika α a k = β b k untuk semua k = 1, 2, ..., n dan beberapa α, β, |α| + |β| > 0 .

5) ketidaksamaan Minkowski, untuk p ≥ 1

Formula ketidaksamaan yang memuaskan

Ketaksamaan yang boleh dipuaskan dipenuhi untuk nilai tertentu kuantiti yang termasuk di dalamnya.

1) Ketaksamaan Bernoulli:
.
Secara umumnya:
,
di mana , nombor tanda yang sama dan lebih besar daripada -1 : .
Lemma Bernoulli:
.
Lihat "Bukti ketidaksamaan dan lemma Bernoulli".

2)
untuk a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) Ketaksamaan Chebyshev
di 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Dan 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
Pada 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Dan b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Ketaksamaan umum Chebyshev
di 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Dan 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n dan k semula jadi
.
Pada 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Dan b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Sifat ketaksamaan

Sifat ketaksamaan ialah satu set peraturan yang berpuas hati apabila mengubahnya. Di bawah adalah sifat-sifat ketaksamaan. Difahamkan bahawa ketaksamaan asal dipenuhi untuk nilai x i (i = 1, 2, 3, 4) kepunyaan beberapa selang yang telah ditetapkan.

1) Apabila susunan sisi berubah, tanda ketidaksamaan berubah kepada sebaliknya.
Jika x 1< x 2 , то x 2 >x 1 .
Jika x 1 ≤ x 2, maka x 2 ≥ x 1.
Jika x 1 ≥ x 2, maka x 2 ≤ x 1.
Jika x 1 > x 2 maka x 2< x 1 .

2) Satu kesamaan adalah bersamaan dengan dua ketaksamaan tidak ketat tanda yang berbeza.
Jika x 1 = x 2, maka x 1 ≤ x 2 dan x 1 ≥ x 2.
Jika x 1 ≤ x 2 dan x 1 ≥ x 2, maka x 1 = x 2.

3) Harta transitiviti
Jika x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Jika x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Jika x 1 ≤ x 2 dan x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Jika x 1 ≤ x 2 dan x 2 ≤ x 3, maka x 1 ≤ x 3.

4) Nombor yang sama boleh ditambah (ditolak) kepada kedua-dua belah ketaksamaan.
Jika x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Jika x 1 ≤ x 2, maka x 1 + A ≤ x 2 + A.
Jika x 1 ≥ x 2, maka x 1 + A ≥ x 2 + A.
Jika x 1 > x 2, maka x 1 + A > x 2 + A.

5) Jika terdapat dua atau lebih ketaksamaan dengan tanda arah yang sama, maka sisi kiri dan kanannya boleh ditambah.
Jika x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Jika x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Jika x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Jika x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, maka x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Ungkapan yang serupa digunakan pada tanda ≥, >.
Jika ketaksamaan asal mengandungi tanda-tanda ketaksamaan tidak ketat dan sekurang-kurangnya satu ketaksamaan ketat (tetapi semua tanda mempunyai arah yang sama), maka penambahan tersebut menghasilkan ketaksamaan yang ketat.

6) Kedua-dua belah ketaksamaan boleh didarab (dibahagi) dengan nombor positif.
Jika x 1< x 2 и A >0, kemudian A x 1< A · x 2 .
Jika x 1 ≤ x 2 dan A > 0, maka A x 1 ≤ A x 2.
Jika x 1 ≥ x 2 dan A > 0, maka A x 1 ≥ A x 2.
Jika x 1 > x 2 dan A > 0, maka A · x 1 > A · x 2.

7) Kedua-dua belah ketaksamaan boleh didarab (dibahagi) dengan nombor negatif. Dalam kes ini, tanda ketidaksamaan akan berubah kepada sebaliknya.
Jika x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A x 2.
Jika x 1 ≤ x 2 dan A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Jika x 1 ≥ x 2 dan A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Jika x 1 > x 2 dan A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Jika terdapat dua atau lebih ketaksamaan dengan sebutan positif, dengan tanda arah yang sama, maka sisi kiri dan kanannya boleh didarabkan antara satu sama lain.
Jika x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 kemudian x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Jika x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 kemudian x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Jika x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 kemudian x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Jika x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0 maka x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Ungkapan yang serupa digunakan pada tanda ≥, >.
Jika ketaksamaan asal mengandungi tanda ketaksamaan tidak ketat dan sekurang-kurangnya satu ketaksamaan ketat (tetapi semua tanda mempunyai arah yang sama), maka pendaraban menghasilkan ketaksamaan yang ketat.

9) Biarkan f(x) menjadi fungsi meningkat secara monoton. Iaitu, untuk sebarang x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2). Kemudian fungsi ini boleh digunakan pada kedua-dua belah ketidaksamaan, yang tidak akan mengubah tanda ketidaksamaan.
Jika x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Jika x 1 ≤ x 2 maka f(x 1) ≤ f(x 2) .
Jika x 1 ≥ x 2 maka f(x 1) ≥ f(x 2) .
Jika x 1 > x 2, maka f(x 1) > f(x 2).

10) Biarkan f(x) menjadi fungsi menurun secara monoton, Iaitu, untuk sebarang x 1 > x 2, f(x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Jika x 1< x 2 , то f(x 1) >f(x 2) .
Jika x 1 ≤ x 2 maka f(x 1) ≥ f(x 2) .
Jika x 1 ≥ x 2 maka f(x 1) ≤ f(x 2) .
Jika x 1 > x 2 maka f(x 1)< f(x 2) .

Kaedah untuk menyelesaikan ketaksamaan

Menyelesaikan ketaksamaan menggunakan kaedah selang

Kaedah selang boleh digunakan jika ketaksamaan termasuk satu pembolehubah, yang kita nyatakan sebagai x, dan ia mempunyai bentuk:
f(x) > 0
dengan f(x) ialah fungsi selanjar dengan bilangan titik ketakselanjaran terhingga. Tanda ketidaksamaan boleh berupa apa saja: >, ≥,<, ≤ .

Kaedah selang adalah seperti berikut.

1) Cari domain takrifan bagi fungsi f(x) dan tandakannya dengan selang pada paksi nombor.

2) Cari titik ketakselanjaran bagi fungsi f(x). Sebagai contoh, jika ini adalah pecahan, maka kita dapati titik di mana penyebutnya menjadi sifar. Kami menandakan titik ini pada paksi nombor.

3) Selesaikan persamaan
f(x) = 0 .
Kami menandakan punca-punca persamaan ini pada paksi nombor.

4) Akibatnya, paksi nombor akan dibahagikan kepada selang (segmen) mengikut mata. Dalam setiap selang yang termasuk dalam domain definisi, kami memilih mana-mana titik dan pada ketika ini kami mengira nilai fungsi. Jika nilai ini lebih besar daripada sifar, kemudian letakkan tanda "+" di atas segmen (selang). Jika nilai ini kurang daripada sifar, maka kami meletakkan tanda "-" di atas segmen (selang).

5) Jika ketaksamaan mempunyai bentuk: f(x) > 0, kemudian pilih selang dengan tanda “+”. Penyelesaian kepada ketidaksamaan adalah dengan menggabungkan selang ini, yang tidak termasuk sempadannya.
Jika ketaksamaan mempunyai bentuk: f(x) ≥ 0, maka pada penyelesaian kita tambahkan titik di mana f(x) = 0. Iaitu, beberapa selang mungkin mempunyai sempadan tertutup (sempadan kepunyaan selang). bahagian yang lain mungkin mempunyai sempadan terbuka (sempadan itu bukan milik selang).
Begitu juga, jika ketaksamaan mempunyai bentuk: f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Jika ketaksamaan mempunyai bentuk: f(x) ≤ 0, maka pada penyelesaian kita tambahkan titik di mana f(x) = 0.

Menyelesaikan ketaksamaan menggunakan sifatnya

Kaedah ini boleh digunakan untuk ketidaksamaan sebarang kerumitan. Ia terdiri daripada menggunakan sifat (yang dibentangkan di atas) untuk mengurangkan ketaksamaan kepada bentuk yang lebih mudah dan mendapatkan penyelesaian. Ada kemungkinan bahawa ini akan mengakibatkan bukan hanya satu, tetapi sistem ketidaksamaan. Ini adalah kaedah universal. Ia terpakai kepada sebarang ketidaksamaan.

Rujukan:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Panduan matematik untuk jurutera dan pelajar kolej, "Lan", 2009.