Kadang-kadang dalam masalah B15 terdapat fungsi "buruk" yang sukar untuk mencari derivatif. Sebelum ini, ini hanya berlaku semasa ujian sampel, tetapi kini tugasan ini sangat biasa sehingga tidak boleh diabaikan lagi semasa membuat persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu yang sebenar.
Dalam kes ini, teknik lain berfungsi, salah satunya adalah monoton.
Fungsi f (x) dikatakan meningkat secara monoton pada segmen jika bagi mana-mana titik x 1 dan x 2 segmen ini yang berikut memegang:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).
Fungsi f (x) dikatakan menurun secara monoton pada segmen jika bagi mana-mana titik x 1 dan x 2 segmen ini yang berikut memegang:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).
Dengan kata lain, untuk fungsi yang semakin meningkat, semakin besar x, semakin besar f(x). Untuk fungsi menurun, sebaliknya adalah benar: x lebih besar, kurang f(x).
Sebagai contoh, logaritma meningkat secara monoton jika asas a > 1, dan menurun secara monoton jika 0< a < 1. Не забывайте про область nilai yang boleh diterima logaritma: x > 0.
f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)
Punca kuasa dua aritmetik (dan bukan sahaja kuasa dua) meningkat secara monoton ke atas keseluruhan domain definisi:
Fungsi eksponen berkelakuan serupa dengan logaritma: ia meningkat untuk > 1 dan menurun untuk 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, fungsi eksponen ditakrifkan untuk semua nombor, bukan hanya x > 0:
f (x) = a x (a > 0)
Akhirnya, ijazah dengan penunjuk negatif. Anda boleh menulisnya sebagai pecahan. Mereka mempunyai titik rehat di mana monotoni dipecahkan.
Semua fungsi ini tidak pernah ditemui dalam bentuk tulen. Mereka menambah polinomial, pecahan dan karut lain, yang menjadikannya sukar untuk mengira terbitan. Mari kita lihat apa yang berlaku dalam kes ini.
Koordinat puncak parabola
Selalunya hujah fungsi digantikan dengan trinomial kuadratik daripada bentuk y = ax 2 + bx + c. Grafnya ialah parabola standard yang kami minati:
- Cabang-cabang parabola boleh naik (untuk > 0) atau turun (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
- Puncak parabola ialah titik ekstrem bagi fungsi kuadratik di mana fungsi ini mengambil masa minimum (untuk > 0) atau maksimum (a< 0) значение.
Yang paling menarik ialah puncak parabola, absis yang dikira dengan formula:
Jadi, kita telah menemui titik ekstrem bagi fungsi kuadratik. Tetapi jika fungsi asal adalah monotonik, untuk itu titik x 0 juga akan menjadi titik ekstrem. Oleh itu, mari kita rumuskan peraturan utama:
Titik ekstrem bagi trinomial kuadratik dan fungsi kompleks, yang mana ia termasuk dalam, bertepatan. Oleh itu, anda boleh mencari x 0 untuk trinomial kuadratik, dan melupakan fungsinya.
Daripada alasan di atas, masih tidak jelas titik mana yang kita dapat: maksimum atau minimum. Walau bagaimanapun, tugas itu direka khusus supaya ini tidak menjadi masalah. Nilailah sendiri:
- Tiada segmen dalam pernyataan masalah. Oleh itu, tidak perlu mengira f(a) dan f(b). Ia kekal untuk mempertimbangkan hanya titik ekstrem;
- Tetapi hanya terdapat satu titik sedemikian - ini ialah puncak parabola x 0, koordinatnya dikira secara literal secara lisan dan tanpa sebarang derivatif.
Oleh itu, menyelesaikan masalah adalah sangat dipermudahkan dan hanya terdiri daripada dua langkah:
- Tuliskan persamaan parabola y = ax 2 + bx + c dan cari bucunya menggunakan formula: x 0 = −b /2a ;
- Cari nilai fungsi asal pada titik ini: f (x 0). Jika tidak syarat-syarat tambahan tidak, itu akan menjadi jawapannya.
Pada pandangan pertama, algoritma ini dan rasionalnya mungkin kelihatan rumit. Saya sengaja tidak menyiarkan gambarajah penyelesaian "telanjang", kerana penerapan peraturan sedemikian yang tidak bertimbang rasa penuh dengan kesilapan.
Mari kita lihat masalah sebenar dari percubaan Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik - betul-betul di sana teknik ini paling kerap berlaku. Pada masa yang sama, kami akan memastikan bahawa dengan cara ini banyak masalah B15 menjadi hampir lisan.
Di bawah tegakan akar fungsi kuadratik y = x 2 + 6x + 13. Graf fungsi ini ialah parabola dengan cabang ke atas, kerana pekali a = 1 > 0.
Puncak parabola:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3
Oleh kerana cabang parabola diarahkan ke atas, pada titik x 0 = −3 fungsi y = x 2 + 6x + 13 mengambil nilai minimumnya.
Akar meningkat secara monoton, yang bermaksud x 0 ialah titik minimum bagi keseluruhan fungsi. Kami ada:
Tugasan. Cari nilai terkecil bagi fungsi tersebut:
y = log 2 (x 2 + 2x + 9)
Di bawah logaritma terdapat lagi fungsi kuadratik: y = x 2 + 2x + 9. Graf ialah parabola dengan cabang ke atas, kerana a = 1 > 0.
Puncak parabola:
x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1
Jadi, pada titik x 0 = −1 fungsi kuadratik mengambil nilai minimumnya. Tetapi fungsi y = log 2 x adalah monotonik, jadi:
y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3
Eksponen mengandungi fungsi kuadratik y = 1 − 4x − x 2 . Mari kita tulis semula dalam bentuk biasa: y = −x 2 − 4x + 1.
Jelas sekali, graf fungsi ini ialah parabola, bercabang ke bawah (a = -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:
x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2
Fungsi asal adalah eksponen, ia adalah monotonik, jadi nilai terbesar adalah pada titik yang ditemui x 0 = -2:
Pembaca yang penuh perhatian mungkin akan menyedari bahawa kami tidak menulis julat nilai akar dan logaritma yang dibenarkan. Tetapi ini tidak diperlukan: di dalamnya terdapat fungsi yang nilainya sentiasa positif.
Akibat daripada domain fungsi
Kadang-kadang hanya mencari bucu parabola tidak mencukupi untuk menyelesaikan Masalah B15. Nilai yang anda cari mungkin berbohong di penghujung segmen, dan tidak sama sekali pada titik ekstrem. Jika masalah tidak menunjukkan segmen sama sekali, lihat julat nilai yang boleh diterima fungsi asal. Iaitu:
Sila ambil perhatian sekali lagi: sifar mungkin berada di bawah punca, tetapi tidak sekali-kali dalam logaritma atau penyebut pecahan. Mari lihat cara ini berfungsi dengan contoh khusus:
Tugasan. Cari nilai terbesar bagi fungsi tersebut:
Di bawah punca sekali lagi terdapat fungsi kuadratik: y = 3 − 2x − x 2 . Grafnya ialah parabola, tetapi bercabang ke bawah kerana a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Punca kuasa dua daripada nombor negatif tidak wujud.
Kami menulis julat nilai yang dibenarkan (APV):
3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]
Sekarang mari kita cari puncak parabola:
x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1
Titik x 0 = −1 tergolong dalam segmen ODZ - dan ini bagus. Sekarang kita mengira nilai fungsi pada titik x 0, serta pada hujung ODZ:
y(−3) = y(1) = 0
Jadi, kami mendapat nombor 2 dan 0. Kami diminta untuk mencari yang terbesar - ini adalah nombor 2.
Tugasan. Cari nilai terkecil bagi fungsi tersebut:
y = log 0.5 (6x − x 2 − 5)
Di dalam logaritma terdapat fungsi kuadratik y = 6x − x 2 − 5. Ini adalah parabola dengan cabang ke bawah, tetapi dalam logaritma tidak boleh nombor negatif, jadi kami menulis ODZ:
6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)
Sila ambil perhatian: ketidaksamaan adalah ketat, jadi hujungnya bukan milik ODZ. Ini membezakan logaritma daripada akar, di mana hujung segmen sesuai dengan kita dengan baik.
Kami sedang mencari puncak parabola:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3
Puncak parabola sesuai mengikut ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Tetapi kerana kami tidak berminat dengan hujung segmen, kami mengira nilai fungsi hanya pada titik x 0:
y min = y (3) = log 0.5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0.5 (18 − 9 − 5) = log 0.5 4 = −2
Dari sudut pandangan praktikal, minat yang paling besar ialah menggunakan derivatif untuk mencari nilai terbesar dan terkecil sesuatu fungsi. Apakah kaitan ini? Memaksimumkan keuntungan, meminimumkan kos, menentukan beban optimum peralatan... Dalam erti kata lain, dalam banyak bidang kehidupan kita perlu menyelesaikan masalah mengoptimumkan beberapa parameter. Dan ini adalah tugas mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi.
Perlu diingatkan bahawa nilai terbesar dan terkecil sesuatu fungsi biasanya dicari pada selang X tertentu, iaitu sama ada keseluruhan domain fungsi atau sebahagian daripada domain definisi. Selang X itu sendiri boleh menjadi segmen, selang terbuka 
, selang tak terhingga.
Dalam artikel ini kita akan bercakap tentang mencari nilai terbesar dan terkecil secara eksplisit fungsi yang diberikan satu pembolehubah y=f(x) .
Navigasi halaman.
Nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi - definisi, ilustrasi.
Mari kita lihat secara ringkas definisi utama.
Nilai terbesar bagi fungsi tersebut 
itu untuk sesiapa sahaja 
ketidaksamaan adalah benar.
Nilai terkecil bagi fungsi tersebut y=f(x) pada selang X dipanggil nilai sedemikian 
itu untuk sesiapa sahaja ketidaksamaan adalah benar.
Takrifan ini adalah intuitif: nilai terbesar (paling kecil) bagi sesuatu fungsi ialah nilai terbesar (paling kecil) diterima pada selang yang dipertimbangkan di abscissa.
Titik pegun– ini adalah nilai hujah di mana terbitan fungsi menjadi sifar.
Mengapakah kita memerlukan titik pegun apabila mencari nilai terbesar dan terkecil? Jawapan kepada soalan ini diberikan oleh teorem Fermat. Daripada teorem ini, jika fungsi boleh dibezakan mempunyai ekstrem (minimum tempatan atau maksimum tempatan) pada satu titik, maka titik ini adalah pegun. Oleh itu, fungsi sering mengambil nilai terbesar (terkecil) pada selang X pada salah satu titik pegun dari selang ini.
Juga, fungsi selalunya boleh mengambil nilai terbesar dan terkecil pada titik di mana terbitan pertama fungsi ini tidak wujud, dan fungsi itu sendiri ditakrifkan.
Mari jawab dengan segera salah satu soalan yang paling biasa mengenai topik ini: "Adakah sentiasa mungkin untuk menentukan nilai terbesar (terkecil) fungsi"? Tidak tidak selalu. Kadangkala sempadan selang X bertepatan dengan sempadan domain takrifan fungsi, atau selang X adalah tak terhingga. Dan beberapa fungsi pada infiniti dan di sempadan domain definisi boleh mengambil kedua-dua nilai infiniti besar dan infiniti kecil. Dalam kes ini, tiada apa yang boleh dikatakan tentang nilai terbesar dan terkecil fungsi tersebut.
Untuk kejelasan, kami akan memberikan ilustrasi grafik. Lihat gambar dan banyak lagi akan menjadi lebih jelas.
Pada segmen
Dalam rajah pertama, fungsi mengambil nilai terbesar (maks y) dan terkecil (min y) pada titik pegun yang terletak di dalam segmen [-6;6].
Pertimbangkan kes yang digambarkan dalam rajah kedua. Jom tukar segmen kepada . Dalam contoh ini, nilai terkecil fungsi dicapai pada titik pegun, dan yang terbesar pada titik dengan absis sepadan dengan sempadan kanan selang.
Dalam Rajah 3, titik sempadan segmen [-3;2] ialah absis bagi titik yang sepadan dengan nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi.
Pada selang waktu terbuka
Dalam rajah keempat, fungsi mengambil nilai terbesar (maks y) dan terkecil (min y) pada titik pegun yang terletak di dalam. selang terbuka (-6;6) .
Pada selang , tiada kesimpulan boleh dibuat tentang nilai terbesar.
Pada infiniti
Dalam contoh yang dibentangkan dalam rajah ketujuh, fungsi mengambil nilai terbesar (maks y) pada titik pegun dengan abscissa x=1, dan nilai terkecil (min y) dicapai pada sempadan kanan selang. Pada infiniti tolak, nilai fungsi secara asimtotik menghampiri y=3.
Sepanjang selang itu, fungsi tidak mencapai nilai terkecil mahupun terbesar. Apabila x=2 menghampiri dari kanan, nilai fungsi cenderung tolak infiniti (garis lurus x=2 ialah asimtot menegak), dan kerana absis cenderung kepada tambah infiniti, nilai fungsi secara asymptotically menghampiri y=3. Ilustrasi grafik contoh ini ditunjukkan dalam Rajah 8.
Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi berterusan pada segmen.
Mari kita tulis algoritma yang membolehkan kita mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen.
- Kami mencari domain takrifan fungsi dan menyemak sama ada ia mengandungi keseluruhan segmen.
- Kami mendapati semua titik di mana terbitan pertama tidak wujud dan yang terkandung dalam segmen (biasanya titik tersebut ditemui dalam fungsi dengan hujah di bawah tanda modulus dan dalam fungsi kuasa dengan eksponen pecahan-rasional). Jika tiada mata seperti itu, maka teruskan ke titik seterusnya.
- Kami menentukan semua titik pegun yang termasuk dalam segmen. Untuk melakukan ini, kami menyamakannya dengan sifar, menyelesaikan persamaan yang terhasil dan pilih punca yang sesuai. Jika tiada titik pegun atau tiada satu pun daripadanya jatuh ke dalam segmen, kemudian teruskan ke titik seterusnya.
- Kami mengira nilai fungsi pada titik pegun terpilih (jika ada), pada titik di mana terbitan pertama tidak wujud (jika ada), serta pada x=a dan x=b.
- Daripada nilai fungsi yang diperoleh, kami memilih yang terbesar dan terkecil - masing-masing akan menjadi nilai terbesar dan terkecil fungsi yang diperlukan.
Mari analisa algoritma untuk menyelesaikan contoh untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen.
Contoh.
Cari nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi
- pada segmen;
- pada segmen [-4;-1] .
Penyelesaian.
Domain definisi fungsi ialah keseluruhan set nombor nyata, kecuali sifar, iaitu. Kedua-dua segmen termasuk dalam domain definisi.
Cari terbitan bagi fungsi berkenaan dengan: 
Jelas sekali, terbitan fungsi wujud di semua titik segmen dan [-4;-1].
Kami menentukan titik pegun daripada persamaan. Hanya satu akar sebenar ialah x=2 . Titik pegun ini jatuh ke dalam segmen pertama.
Untuk kes pertama, kami mengira nilai fungsi pada hujung segmen dan pada titik pegun, iaitu, untuk x=1, x=2 dan x=4: 
Oleh itu, nilai terbesar fungsi 
dicapai pada x=1, dan nilai terkecil 
– pada x=2.
Untuk kes kedua, kami mengira nilai fungsi hanya pada hujung segmen [-4;-1] (kerana ia tidak mengandungi satu titik pegun): 
Trinomial segi empat sama dipanggil trinomial dalam bentuk a*x 2 +b*x+c, dengan a,b,c ialah beberapa nombor nyata arbitrari, dan x ialah pembolehubah. Selain itu, nombor a tidak boleh sama dengan sifar.
Nombor a,b,c dipanggil pekali. Nombor a dipanggil pekali pendahulu, nombor b ialah pekali x, dan nombor c dipanggil sebutan bebas.
Akar bagi trinomial segi empat sama a*x 2 +b*x+c ialah sebarang nilai pembolehubah x supaya trinomial segi empat sama a*x 2 +b*x+c hilang.
Untuk mencari punca bagi trinomial kuadratik adalah perlu untuk menyelesaikannya persamaan kuadratik daripada bentuk a*x 2 +b*x+c=0.
Bagaimana untuk mencari punca trinomial kuadratik
Untuk menyelesaikannya, anda boleh menggunakan salah satu kaedah yang diketahui.
- 1 cara.
Mencari punca bagi trinomial segi empat sama menggunakan rumus.
1. Cari nilai diskriminasi menggunakan formula D =b 2 -4*a*c.
2. Bergantung pada nilai diskriminasi, hitung punca menggunakan formula:
Jika D > 0, maka trinomial kuasa dua mempunyai dua punca.
x = -b±√D / 2*a
Jika D< 0, maka trinomial kuasa dua mempunyai satu punca.
Jika diskriminasi negatif, maka trinomial kuadratik tidak mempunyai punca.
- Kaedah 2.
Mencari punca bagi trinomial kuadratik dengan mengasingkan persegi penuh. Mari kita lihat contoh trinomial kuadratik yang diberikan. Persamaan kuadratik terkurang yang pekali pendahulunya adalah sama dengan satu.
Mari kita cari punca bagi trinomial kuadratik x 2 +2*x-3. Untuk melakukan ini, kami menyelesaikan persamaan kuadratik berikut: x 2 +2*x-3=0;
Mari kita ubah persamaan ini:
Di sebelah kiri persamaan terdapat polinomial x 2 +2*x, untuk mewakilinya sebagai kuasa dua jumlah yang kita perlukan untuk ada satu lagi pekali bersamaan dengan 1. Tambah dan tolak 1 daripada ungkapan ini, kita dapat :
(x 2 +2*x+1) -1=3
Apakah yang boleh diwakili dalam kurungan sebagai kuasa dua binomial
Persamaan ini terbahagi kepada dua kes: sama ada x+1=2 atau x+1=-2.
Dalam kes pertama, kita mendapat jawapan x=1, dan dalam kes kedua, x=-3.
Jawapan: x=1, x=-3.
Hasil daripada penjelmaan, kita perlu mendapatkan segi empat sama binomial di sebelah kiri, dan nombor tertentu di sebelah kanan. Bahagian kanan tidak boleh mengandungi pembolehubah.
Dan untuk menyelesaikannya, anda memerlukan pengetahuan minimum tentang topik tersebut. Yang seterusnya berakhir tahun akademik, semua orang mahu pergi bercuti, dan untuk mendekatkan masa ini, saya akan terus kepada intinya:
Mari kita mulakan dengan kawasan. Kawasan yang dimaksudkan dalam keadaan tersebut ialah terhad tertutup set titik pada satah. Sebagai contoh, set titik yang dibatasi oleh segi tiga, termasuk seluruh segi tiga (jika dari sempadan"cucuk keluar" sekurang-kurangnya satu titik, maka wilayah itu tidak akan ditutup lagi). Dalam praktiknya, terdapat juga kawasan yang berbentuk segi empat tepat, bulat, dan lebih besar sedikit. bentuk kompleks. Perlu diingatkan bahawa secara teori analisis matematik definisi yang ketat diberikan batasan, pengasingan, sempadan, dll., tetapi saya fikir semua orang mengetahui konsep ini pada tahap intuitif, dan kini tiada lagi yang diperlukan.
Kawasan rata secara piawai dilambangkan dengan huruf , dan, sebagai peraturan, ditentukan secara analitikal - oleh beberapa persamaan (tidak semestinya linear); kurang kerap ketidaksamaan. Kata kerja biasa: "kawasan tertutup yang dibatasi oleh garisan."
Bahagian integral Tugas yang dimaksudkan ialah membina kawasan dalam lukisan. Bagaimana hendak melakukannya? Anda perlu melukis semua garisan yang disenaraikan (dalam dalam kes ini 3 lurus) dan menganalisis apa yang berlaku. Kawasan yang dicari biasanya berlorek ringan, dan sempadannya ditandai dengan garis tebal: 
Kawasan yang sama juga boleh ditetapkan ketaksamaan linear: , yang atas sebab tertentu sering ditulis sebagai senarai terhitung dan bukannya sistem.
Oleh kerana sempadan itu adalah milik wilayah, maka semua ketidaksamaan, tentu saja, longgar.
Dan kini intipati tugas itu. Bayangkan bahawa paksi keluar terus ke arah anda dari asal. Pertimbangkan fungsi yang berterusan dalam setiap titik kawasan. Graf fungsi ini mewakili beberapa permukaan, dan kebahagiaan kecil ialah untuk menyelesaikan masalah hari ini kita tidak perlu tahu rupa permukaan ini. Ia boleh terletak lebih tinggi, lebih rendah, bersilang dengan pesawat - semua ini tidak penting. Dan yang berikut adalah penting: mengikut Teorem Weierstrass, berterusan V terhad ditutup kawasan fungsi mencapai nilai terbesarnya (tertinggi") dan paling kurang ("paling rendah") nilai yang perlu dicari. Nilai sedemikian dicapai atau V titik pegun, kepunyaan rantau iniD , atau pada titik-titik yang terletak di sempadan kawasan ini. Ini membawa kepada algoritma penyelesaian yang mudah dan telus:
Contoh 1
Dalam terhad kawasan tertutup
Penyelesaian: Pertama sekali, anda perlu menggambarkan kawasan dalam lukisan. Malangnya, secara teknikalnya sukar bagi saya untuk membuat model interaktif bagi masalah tersebut, dan oleh itu saya akan segera membentangkan ilustrasi terakhir, yang menunjukkan semua perkara "mencurigakan" yang ditemui semasa penyelidikan. Mereka biasanya disenaraikan satu demi satu apabila ia ditemui: 
Berdasarkan mukadimah, keputusan boleh dibahagikan kepada dua perkara:
I) Cari titik pegun. Ini adalah tindakan standard yang kami lakukan berulang kali dalam kelas. tentang ekstrem beberapa pembolehubah:
Mendapati titik pegun kepunyaan kawasan-kawasan: (tanda pada lukisan), yang bermaksud kita harus mengira nilai fungsi pada titik tertentu:
- seperti dalam artikel Nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen, keputusan penting Saya akan highlight dalam huruf tebal. Adalah mudah untuk mengesannya dalam buku nota dengan pensel.
Perhatikan kebahagiaan kedua kita - tidak ada gunanya menyemak keadaan yang mencukupi untuk ekstrem. kenapa? Walaupun pada satu ketika fungsi itu mencapai, sebagai contoh, minimum tempatan, maka ini TIDAK BERMAKSUD bahawa nilai yang terhasil akan yang minimum di seluruh rantau ini (lihat permulaan pelajaran tentang keterlaluan tanpa syarat) .
Apa yang perlu dilakukan jika titik pegun TIDAK tergolong dalam rantau ini? Hampir tiada! Perlu diingatkan itu dan teruskan ke perkara seterusnya.
II) Kami meneroka sempadan rantau ini.
Memandangkan sempadan terdiri daripada sisi segi tiga, adalah mudah untuk membahagikan kajian kepada 3 subseksyen. Tetapi lebih baik untuk tidak melakukannya bagaimanapun. Dari sudut pandangan saya, adalah lebih berfaedah untuk terlebih dahulu mempertimbangkan segmen selari paksi koordinat, dan pertama sekali, mereka yang berbaring di atas kapak itu sendiri. Untuk memahami keseluruhan urutan dan logik tindakan, cuba kaji pengakhiran "dalam satu nafas":
1) Mari kita berurusan dengan bahagian bawah segitiga. Untuk melakukan ini, gantikan terus ke dalam fungsi:
Sebagai alternatif, anda boleh melakukannya seperti ini: 
Secara geometri ini bermakna satah koordinat (yang juga diberikan oleh persamaan)"mengukir" daripada permukaan parabola "ruang", yang bahagian atasnya serta-merta disyaki. Mari kita ketahui di mana dia berada:
– nilai yang terhasil "jatuh" ke dalam kawasan itu, dan ia mungkin berubah pada ketika itu (ditanda pada lukisan) fungsi mencapai nilai terbesar atau terkecil di seluruh rantau. Satu cara atau yang lain, mari kita lakukan pengiraan:
"Calon" yang lain, sudah tentu, penghujung segmen. Mari kita hitung nilai fungsi pada titik 
(ditanda pada lukisan):
Di sini, secara kebetulan, anda boleh melakukan semakan mini lisan menggunakan versi "dilucutkan": 
2) Untuk penyelidikan sebelah kanan kami menggantikan segi tiga ke dalam fungsi dan "menyesuaikan perkara":
Di sini kami akan segera melakukan semakan kasar, "membunyikan" hujung segmen yang telah diproses:
, Hebat.
Situasi geometri adalah berkaitan titik sebelumnya:
– nilai yang terhasil juga "masuk ke dalam bidang minat kita," yang bermaksud kita perlu mengira apakah fungsi pada titik yang muncul adalah sama dengan:
Mari kita periksa hujung kedua segmen:
Menggunakan fungsi 
, jom buat pemeriksaan kawalan:
3) Mungkin semua orang boleh meneka bagaimana untuk meneroka bahagian yang tinggal. Kami menggantikannya ke dalam fungsi dan menjalankan penyederhanaan:
Hujung segmen 
telah pun dikaji, tetapi dalam draf kami masih menyemak sama ada kami telah menemui fungsi dengan betul 
:
– bertepatan dengan keputusan subperenggan pertama;
– bertepatan dengan keputusan subperenggan ke-2.
Ia kekal untuk mengetahui sama ada terdapat sesuatu yang menarik di dalam segmen:
- Terdapat! Menggantikan garis lurus ke dalam persamaan, kita mendapat ordinat "menarik" ini:
Kami menandakan titik pada lukisan dan mencari nilai fungsi yang sepadan:
Mari semak pengiraan menggunakan versi "belanjawan". 
:
, pesanan.
Dan langkah terakhir: Kami melihat dengan teliti semua nombor "berani", saya mengesyorkan bahawa pemula juga membuat satu senarai: 
daripada mana kami memilih yang terbesar dan nilai terkecil. Jawab Mari kita menulis dalam gaya masalah mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen:
Sekiranya berlaku, saya akan mengulas lagi makna geometri keputusan:
- inilah yang paling banyak titik tinggi permukaan di kawasan itu;
- inilah yang paling banyak titik rendah permukaan di kawasan tersebut.
Dalam tugasan yang dianalisis, kami mengenal pasti 7 titik "mencurigakan", tetapi bilangannya berbeza-beza mengikut tugasan. Untuk kawasan segi tiga, "set penyelidikan" minimum terdiri daripada tiga mata. Ini berlaku apabila fungsi, sebagai contoh, menentukan kapal terbang– ia benar-benar jelas bahawa tiada titik pegun, dan fungsi boleh mencapai nilai maksimum/paling kecil hanya pada bucu segi tiga. Tetapi terdapat hanya satu atau dua contoh yang serupa - biasanya anda perlu berurusan dengan beberapa jenis permukaan urutan ke-2.
Jika anda cuba menyelesaikan tugas sedemikian sedikit, maka segitiga boleh membuat kepala anda berputar, dan itulah sebabnya saya bersedia untuk anda contoh luar biasa supaya menjadi segi empat sama :))
Contoh 2
Cari nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi 
di kawasan tertutup, terhad oleh garisan
Contoh 3
Cari nilai terbesar dan terkecil fungsi dalam kawasan tertutup terhad.
Perhatian istimewa Beri perhatian kepada susunan rasional dan teknik mengkaji sempadan wilayah, serta rantaian pemeriksaan perantaraan, yang hampir akan mengelakkan kesilapan pengiraan sepenuhnya. Secara umumnya, anda boleh menyelesaikannya dengan cara yang anda suka, tetapi dalam beberapa masalah, contohnya, dalam Contoh 2, terdapat setiap peluang untuk menjadikan hidup anda lebih sukar. Sampel anggaran menyelesaikan tugasan di akhir pelajaran.
Mari kita sistematikkan algoritma penyelesaian, jika tidak dengan ketekunan saya sebagai labah-labah, ia entah bagaimana tersesat dalam benang panjang komen contoh pertama:
– Pada langkah pertama, kami membina kawasan, adalah dinasihatkan untuk menaunginya dan menyerlahkan sempadan dengan garis tebal. Semasa penyelesaian, mata akan muncul yang perlu ditanda pada lukisan.
– Cari titik pegun dan hitung nilai fungsi hanya pada mereka yang tergolong dalam wilayah tersebut. Kami menyerlahkan nilai yang terhasil dalam teks (contohnya, bulatkan dengan pensel). Jika titik pegun BUKAN milik rantau ini, maka kami menandakan fakta ini dengan ikon atau secara lisan. Sekiranya tiada titik pegun sama sekali, maka kami membuat kesimpulan bertulis bahawa ia tidak hadir. Walau apa pun, perkara ini tidak boleh dilangkau!
– Kami sedang meneroka sempadan rantau ini. Pertama, adalah berfaedah untuk memahami garis lurus yang selari dengan paksi koordinat (kalau ada pun). Kami juga menyerlahkan nilai fungsi yang dikira pada titik "mencurigakan". Banyak yang telah diperkatakan di atas tentang teknik penyelesaian dan sesuatu yang lain akan dikatakan di bawah - baca, baca semula, mendalaminya!
– Daripada nombor yang dipilih, pilih nilai terbesar dan terkecil dan berikan jawapannya. Kadang-kadang ia berlaku bahawa fungsi mencapai nilai sedemikian pada beberapa titik sekaligus - dalam kes ini, semua titik ini harus ditunjukkan dalam jawapan. Biarkan, sebagai contoh, 
dan ternyata ini adalah nilai terkecil. Kemudian kita tuliskan itu
Contoh akhir berdedikasi kepada orang lain idea yang berguna yang akan berguna dalam amalan:
Contoh 4
Cari nilai terbesar dan terkecil fungsi dalam kawasan tertutup 
.
Saya telah mengekalkan rumusan pengarang, di mana rantau ini diberikan dalam bentuk ketaksamaan berganda. Keadaan ini boleh ditulis oleh sistem yang setara atau dalam bentuk yang lebih tradisional untuk masalah ini: 
Saya mengingatkan anda bahawa dengan tak linear kami mengalami ketidaksamaan pada, dan jika anda tidak memahami makna geometri tatatanda, maka sila jangan berlengah dan jelaskan keadaan sekarang;-)
Penyelesaian, seperti biasa, bermula dengan membina kawasan yang mewakili sejenis "sole": 
Hmm, kadang-kadang anda perlu mengunyah bukan sahaja granit sains ...
I) Cari titik pegun: 
Sistem ini adalah impian orang bodoh :) 
Titik pegun kepunyaan rantau ini, iaitu, terletak di sempadannya.
Jadi, tidak mengapa... pelajaran berjalan lancar - inilah yang dimaksudkan dengan minum teh yang betul =)
II) Kami meneroka sempadan rantau ini. Tanpa berlengah lagi, mari kita mulakan dengan paksi-x:
1) Jika , maka
Mari kita cari di mana puncak parabola itu:
– hargai detik sebegitu – anda “tekan” sehingga ke tahap yang semuanya sudah jelas. Tetapi kami masih tidak lupa tentang menyemak: 
Mari kita hitung nilai fungsi di hujung segmen: 
2) C bawah Mari kita fikirkan "bahagian bawah" "dalam sekali duduk" - kami menggantikannya ke dalam fungsi tanpa sebarang kompleks, dan kami hanya akan berminat dalam segmen:
Kawalan:
Ini sudah membawa sedikit keterujaan kepada pemanduan membosankan di sepanjang trek berliku. Jom cari titik kritikal:
Mari buat keputusan persamaan kuadratik, adakah anda masih ingat apa-apa lagi tentang ini? ...Namun, ingat, sudah tentu, jika tidak, anda tidak akan membaca baris ini =) Jika dalam dua contoh sebelumnya pengiraan dalam perpuluhan(yang, by the way, jarang), maka yang biasa menanti kami di sini pecahan sepunya. Kami mencari punca "X" dan menggunakan persamaan untuk menentukan koordinat "permainan" yang sepadan bagi mata "calon": 
Mari kita hitung nilai fungsi pada titik yang ditemui: 
Semak sendiri fungsinya.
Sekarang kami mengkaji dengan teliti trofi yang dimenangi dan menuliskannya jawab:
Ini adalah "calon", ini adalah "calon"!
Untuk keputusan bebas:
Contoh 5
Cari yang terkecil dan nilai tertinggi fungsi 
di kawasan tertutup 
Entri dengan pendakap kerinting berbunyi seperti ini: "satu set mata sedemikian."
Kadang-kadang dalam contoh yang serupa guna Kaedah pengganda Lagrange, tetapi tidak mungkin terdapat keperluan sebenar untuk menggunakannya. Jadi, sebagai contoh, jika fungsi dengan kawasan yang sama "de" diberikan, maka selepas penggantian ke dalamnya - dengan terbitan daripada tiada kesukaran; Lebih-lebih lagi, semuanya disediakan dalam "satu baris" (dengan tanda) tanpa perlu mempertimbangkan separuh bulatan atas dan bawah secara berasingan. Tetapi, sudah tentu, terdapat lebih banyak lagi kes kompleks, di mana tanpa fungsi Lagrange (di mana, sebagai contoh, ialah persamaan bulatan yang sama) Sukar untuk bertahan – sama seperti sukar untuk bertahan tanpa rehat yang baik!
Selamat berseronok semua dan jumpa lagi musim hadapan!
Penyelesaian dan jawapan:
Contoh 2: Penyelesaian: Mari kita gambarkan kawasan dalam lukisan: