Kerja penyelidikan pelajar mengenai topik:
"Permohonan fungsi linear dalam penyelesaian masalah"
"Menggunakan graf fungsi linear untuk menyelesaikan masalah"
MKOU "Bogucharskaya menengah sekolah menengah No. 1"
Kerja penyelidikan dalam matematik.
Topik: "Aplikasi graf fungsi linear untuk menyelesaikan masalah"
7 kelas "B".
Ketua: Olga Mikhailovna Fomenko
bandar Boguchar
1.Pengenalan…………………………………………………………………………………… 2
2. Bahagian utama……………………………………………………………………3-11
2.1 Metodologi untuk menyelesaikan masalah perkataan menggunakan graf fungsi linear
2.2 Menyelesaikan masalah perkataan pada pergerakan menggunakan graf
3. Kesimpulan……………………………………………………………………………………11
4. Kesusasteraan……………………………………………………………….12
PENGENALAN
"Algebra.7 gred" membincangkan masalah di mana jadual yang diberikan beberapa soalan perlu dijawab.
Contohnya:
No. 332 Penduduk musim panas itu pergi dari rumah dengan kereta ke kampung. Mula-mula dia memandu di sepanjang lebuh raya, dan kemudian di sepanjang jalan desa, perlahan. Jadual pergerakan penduduk musim panas ditunjukkan dalam rajah. Jawab soalan:
a) berapa lama pemastautin musim panas memandu di lebuh raya dan berapa kilometer yang dia tempuh; berapakah kelajuan kereta di bahagian laluan ini;
b) berapa lama pemastautin musim panas memandu di sepanjang jalan desa dan berapa kilometer perjalanannya; berapakah kelajuan kereta di bahagian ini;
c) berapa lamakah masa yang diambil oleh penduduk musim panas itu untuk mengembara dari rumahnya ke kampung?
Semasa mencari bahan mengenai topik ini dalam kesusasteraan dan Internet, saya mendapati bahawa di dunia pergantungan linear terdapat banyak fizikal, dan juga awam dan fenomena ekonomi dan proses, tetapi saya memberi tumpuan kepada pergerakan itu, kerana ia adalah yang paling biasa dan popular di kalangan kita semua. Dalam projek itu, saya menerangkan masalah perkataan dan cara menyelesaikannya menggunakan graf fungsi linear.
Hipotesis: Dengan bantuan graf anda bukan sahaja boleh mendapatkan perwakilan visual tentang sifat-sifat fungsi, berkenalan dengan sifat-sifat fungsi linear dan bentuk tertentu, perkadaran langsung, tetapi juga menyelesaikan masalah perkataan.
Tujuan kajian saya ialah kajian tentang penggunaan graf fungsi linear dalam menyelesaikan masalah perkataan pada gerakan. Sehubungan dengan pelaksanaan matlamat tersebut, perkara-perkara berikut dikemukakan: tugasan:
Mengkaji teknik menyelesaikan masalah perkataan pada pergerakan menggunakan graf fungsi linear;
Belajar untuk menyelesaikan masalah pergerakan menggunakan kaedah ini;
Membuat kesimpulan perbandingan tentang kebaikan dan keburukan menyelesaikan masalah menggunakan graf fungsi linear.
Objek kajian: graf fungsi linear.
Kaedah penyelidikan:
Teori (kajian dan analisis), carian sistem, praktikal.
Bahagian utama.
Dalam penyelidikan saya, saya memutuskan untuk cuba memberikan tafsiran grafik tentang masalah pergerakan yang dikemukakan dalam buku teks kami, kemudian menjawab soalan yang dikemukakan dalam masalah mengikut graf. Untuk kaedah penyelesaian ini, saya mengambil masalah dengan rectilinear pergerakan seragam pada satu bahagian laluan. Ternyata banyak masalah diselesaikan dengan cara ini lebih mudah berbanding dengan cara biasa menggunakan persamaan. Satu-satunya kelemahan teknik ini: untuk mendapatkan jawapan dengan tepat kepada persoalan masalah, anda mesti dapat memilih skala unit pengukuran dengan betul pada paksi koordinat. Peranan besar V membuat pilihan yang tepat Pengalaman menyelesaikan bermain pada skala sedemikian. Oleh itu, untuk menguasai seni menyelesaikan masalah menggunakan graf, saya terpaksa melihatnya kuantiti yang banyak.
takrifkan sistem koordinat sOt dengan paksi absis Ot dan paksi ordinat Os. Untuk melakukan ini, mengikut syarat masalah, anda perlu memilih titik rujukan: permulaan pergerakan objek atau, dari beberapa objek, pilih yang mula bergerak lebih awal atau berlalu. jarak yang lebih jauh. Pada paksi absis, tandakan selang masa dalam unit ukurannya, dan pada paksi ordinat, tandakan jarak dalam skala yang dipilih bagi unit pengukurannya.
Mata dihidupkan satah koordinat hendaklah ditanda mengikut skala masalah, dan garisan hendaklah dilukis dengan teliti. Ketepatan menyelesaikan masalah bergantung pada ini. Oleh itu, adalah sangat penting untuk berjaya memilih skala bahagian pada paksi koordinat: ia mesti dipilih sedemikian rupa sehingga koordinat titik ditentukan dengan lebih tepat dan, jika boleh, terletak di titik nod, i.e. di persimpangan pembahagian paksi koordinat. Kadangkala adalah berguna untuk mengambil sebagai segmen unit pada paksi-x bilangan sel yang merupakan gandaan keadaan masalah berkenaan dengan masa, dan pada paksi ordinat - bilangan sel yang merupakan gandaan daripada keadaan masalah berkenaan dengan jarak. Sebagai contoh, 12 minit dalam masa memerlukan memilih bilangan sel yang merupakan gandaan 5, kerana 12 minit ialah satu perlima daripada satu jam.
Menyelesaikan masalah perkataan pada pergerakan menggunakan graf
Jawapan: 9 km.
Penyelesaian menggunakan persamaan:
x/12j. – masa dari A ke B
x/18j. – masa kembali
Jawapan: 9 km
Masalah 2. (No. 156 dalam buku teks oleh Yu.N. Makarychev “Algebra 7.”)
Dua buah kereta bergerak di sepanjang lebuh raya pada kelajuan yang sama. Jika yang pertama meningkatkan kelajuan sebanyak 10 km/j, dan yang kedua berkurangan sebanyak 10 km/j, maka yang pertama akan menempuh jarak yang sama dalam 2 jam dengan yang kedua dalam 3 jam. Berapa laju kereta berjalan?
Penyelesaian menggunakan persamaan:
Biarkan x km/j kelajuan kereta;
(x+10) dan (x-10) masing-masing, kelajuan selepas meningkat dan menurun;
2(x+10)=3(x-10)
Jawapan: 50km/j
Menyelesaikan menggunakan graf fungsi linear:
1. Mari kita tetapkan satah koordinat sOt dengan paksi absis Ot, di mana kita menandakan selang masa pergerakan, dan paksi koordinat Os, di mana kita menandakan jarak yang dilalui oleh kenderaan.
2. Mari kita plot pembahagian pada skala sepanjang paksi-x - satu jam dalam 5 sel (dalam 1 sel - 12 minit); Kami menggunakan pembahagian sepanjang paksi ordinat, tetapi tidak menunjukkan skala.
3. Mari kita bina garisan pergerakan kereta pertama I: permulaan pergerakan di titik c
4. Bina garisan pergerakan kereta kedua II: permulaan pergerakan pada titik dengan koordinat (0;0). Seterusnya kita perhatikan titik sewenang-wenangnya(3;s 1) di dalam kapal terbang, kerana kereta dengan kelajuan baru Saya berada di jalan selama 3 jam.
4. Tentukan kelajuan kereta v sebelum ia berubah. Mari kita nyatakan perbezaan dalam ordinat titik yang terletak pada garis lurus dengan absis 1 dengan simbol ∆s. Mengikut keadaan, segmen ini sepadan dengan panjang (10+10) km, kerana untuk salah seorang daripada mereka kelajuan menurun, dan untuk yang lain kelajuan meningkat sebanyak 10 km/j. Ini bermakna bahawa garisan pergerakan kereta sebelum menukar kelajuan mestilah sama jarak dari garis I dan II dan terletak pada satah koordinat di antara mereka Menurut graf, Δs = 2kl. sepadan dengan 20 km, v = 5 sel, yang bermaksud kita menyelesaikan bahagian v = 50 km/j.
Jawapan: 50 km/j.
Masalah 3
Menyelesaikan menggunakan graf fungsi linear:
titik rujukan ialah jeti M
Mari tandakan titik N (0; 162).
Jawapan: 2 jam 20 minit.
Penyelesaian menggunakan persamaan:
162 -45(x +0.75)-36x =0
162-45x – 33.75 -36x =0
81x =128.25
2) 
Jawapan: 2 jam 20 minit.
Tugasan 4.
Seorang penunggang basikal meninggalkan titik A. Pada masa sama, mengekorinya dari titik B, yang terletak pada jarak 20 km dari A, seorang penunggang motosikal beredar dengan kelajuan 16 km/j. Penunggang basikal itu memandu pada kelajuan 12 km/j. Pada jarak berapakah dari titik A penunggang motosikal akan mengejar penunggang basikal itu?
Menyelesaikan menggunakan graf fungsi linear:
1. Mari kita tetapkan satah koordinat sOt dengan paksi absis Ot, di mana kita akan menandakan selang masa pergerakan, dan paksi ordinat Os, di mana kita akan menandakan jarak yang dilalui oleh penunggang motosikal dan penunggang basikal.
2. Mari kita lukis pembahagian pada skala: sepanjang paksi ordinat - 8 km dalam 2 sel; sepanjang paksi absis – dalam 2 sel – 1 jam.
3. Mari bina garisan pergerakan penunggang motosikal II: tandakan permulaan pergerakannya pada asal koordinat B(0;0). Penunggang motosikal itu bergerak pada kelajuan 16 km/j, bermakna garis lurus II mesti melalui titik dengan koordinat (1; 16).
4. Mari kita bina satu garisan pergerakan untuk penunggang basikal I: permulaannya adalah pada titik A(0;20), kerana titik B terletak 20 km dari titik A, dan dia pergi pada masa yang sama dengan penunggang motosikal. Penunggang basikal itu bergerak pada kelajuan 12 km/j, yang bermaksud bahawa garis lurus saya mesti melalui titik dengan koordinat (1;32).
5. Mari cari P (5; 80) – titik persilangan garisan I dan II, mencerminkan pergerakan penunggang motosikal dan penunggang basikal: ordinatnya akan menunjukkan jarak dari titik B, di mana penunggang motosikal akan mengejar penunggang basikal.
Р(5; 80) |=s = 80, |=80 – 20 = 60(km) – jarak dari titik A di mana penunggang motosikal akan mengejar penunggang basikal..
Jawapan: 60 km.
Penyelesaian menggunakan persamaan:
Biarkan x km ialah jarak dari titik A ke tempat pertemuan
x /12 masa penunggang basikal
(x +20)/16 masa penunggang motosikal
x /12=(x +20)/16
16x =12x +240
4x =240
x =60
Jawapan: 60 km
Tugasan 5.
Penunggang motosikal menempuh jarak antara bandar dalam masa 2 jam, dan penunggang basikal dalam 5 jam Kelajuan penunggang basikal adalah 18 km/j kurang daripada kelajuan penunggang motosikal. Cari kelajuan penunggang basikal dan penunggang motosikal dan jarak antara bandar.
Menyelesaikan menggunakan graf fungsi linear:
1. Mari kita takrifkan satah koordinat sOt dengan paksi absis Ot, di mana kita menandakan selang masa pergerakan, dan paksi ordinat Os, di mana kita menandakan jarak.
2. Mari kita tandakan pembahagian sepanjang paksi absis dalam 2 sel 1 jam di sepanjang paksi ordinat kita akan meninggalkan jarak tanpa pembahagian.
3. Mari kita lukis garisan pergerakan penunggang basikal I dalam masa 5 jam dan garisan pergerakan penunggang motosikal II dalam masa 2 jam. Hujung kedua-dua baris mesti mempunyai ordinat yang sama.
4. Mari kita lukis segmen dengan abscissa 1 antara garisan I dan II. Panjang segmen ini mencerminkan jarak 18 km. Daripada lukisan kita dapati bahawa 3 sel adalah sama dengan 18 km, yang bermaksud terdapat 6 km dalam 1 sel.
5. Kemudian, mengikut graf, kita tentukan kelajuan penunggang basikal ialah 12 km/j, kelajuan penunggang motosikal ialah 30 km/j, jarak antara bandar ialah 60 km.
Penyelesaian menggunakan persamaan:
Biarkan x km/j kelajuan penunggang basikal, kemudian (x +18) km/j kelajuan penunggang motosikal
2(x +18)=5x
2x +36=5x
x =12
2) 12+18=30(km/j) kelajuan penunggang motosikal
3) (km) jarak antara bandar
Jawapan: 12 km/j; 30 km/j; 60 km
Jawapan: 60 km.
Tugasan 6.
Di sepanjang aliran sungai, sebuah bot menempuh jarak 30 km dalam 3 jam 20 minit, dan melawan arus dalam 4 jam, jarak 28 km. Sejauh manakah bot itu akan merentasi tasik dalam masa 1.5 jam?
Menyelesaikan menggunakan graf fungsi linear:
1. Mari kita tetapkan satah koordinat sOt dengan paksi absis Ot, di mana kita menandakan selang masa pergerakan, dan paksi koordinat Os, di mana kita menandakan jarak yang dilalui oleh bot
2. Mari kita lukiskan pembahagian pada skala: sepanjang paksi ordinat - dalam dua sel 4 km; sepanjang paksi absis – dalam 6 sel – 1 jam (dalam 1 sel – 10 minit), kerana Mengikut keadaan masalah, masa dalam minit diberikan.
3. Mari kita bina garisan pergerakan bot di sepanjang sungai I: permulaan garisan akan berada di titik dengan koordinat (0;0). Bot itu terapung 30 km dalam masa 3 jam 20 minit, bermakna garisan mesti melalui titik dengan koordinat (;30), kerana 3j 20min = h.
4. Mari kita bina garisan pergerakan bot melawan aliran sungai II: mari kita ambil permulaan pergerakan pada titik dengan koordinat (0;0). Bot itu terapung 28 km dalam masa 4 jam, yang bermaksud bahawa garis lurus pergerakan mesti melalui titik dengan koordinat (4;28).
5. Mari kita bina garisan pergerakan bot di tasik: mari kita ambil permulaan pergerakan pada titik dengan koordinat (0; 0). Garisan pergerakan bot itu sendiri perlu terletak pada jarak yang sama antara garisan pergerakan bot di sepanjang sungai. Ini bermakna kita mesti membahagikan segmen yang terdiri daripada semua titik dengan absis 1 di antara garisan pergerakan di sepanjang sungai pada separuh dan menandakan tengahnya. Dari (0; 0) melalui titik bertanda ini kita melukis sinar, yang akan menjadi garis pergerakan di sepanjang tasik.
6. Mengikut keadaan masalah, kita perlu mencari jarak yang ditempuh oleh bot di tasik dalam 1.5 jam, yang bermaksud kita mesti menentukan pada garis ini ordinat titik dengan abscissa t = 1.5, |=s = 12, |= 12 km bot akan bergerak di sepanjang tasik dalam masa 1.5 jam.
Jawapan: 12 km.
Penyelesaian menggunakan sistem persamaan:
Biarkan x km/j ialah kelajuan tasik, dan y km/j ialah kelajuan sungai
Jawapan: 12 km.
Tugasan 7.
Sebuah bot bergerak sejauh 34 km ke hilir sungai dalam masa yang sama seperti ia bergerak sejauh 26 km ke hulu. Kelajuan bot itu sendiri ialah 15 km/j. Cari kelajuan aliran sungai.
Menyelesaikan menggunakan graf fungsi linear:
1. Mari kita tetapkan satah koordinat sOt dengan paksi absis Ot, di mana kita menandakan selang masa pergerakan, dan paksi koordinat Os, di mana kita menandakan jarak yang dilalui oleh bot.
2. Mari kita lukiskan pembahagian pada skala: sepanjang paksi ordinat - 1 km dalam 1 sel; Pada paksi abscissa kita akan meninggalkan masa tanpa pembahagian.
3. Mari kita bina garisan I pergerakan bot di sepanjang sungai dari 0 km ke titik pada 34 km: permulaan garisan akan berada di titik dengan koordinat (0; 0). ).
4. Mari kita bina garisan II pergerakan bot melawan aliran sungai dari 0 km ke titik pada 26 km: permulaan garisan akan berada di titik dengan koordinat (0; 0). x; 26).
5. Mari kita lukis sinar III dari asalan (0; 0) melalui tengah segmen sembarangan yang terdiri daripada semua titik dengan absis yang sama antara dua garis gerakan I dan II. Rasuk ini akan memantul pergerakan sendiri bot, kerana Kelajuan bot itu sendiri ialah purata aritmetik 2 kelajuan sepanjang arus dan melawan arus sungai. Pada sinar yang terhasil kita akan mencari titik dengan ordinat 15, kerana Kelajuan bot itu sendiri ialah 15 km/j. Absis titik yang ditemui akan sepadan dengan pembahagian 1 jam.
6. Untuk mencari kelajuan aliran sungai, cukup untuk mencari panjang ruas dengan absis 1 dari baris III ke garisan II. Kelajuan sungai ialah 2 km/j.
Jawapan: 2 km/j.
Penyelesaian menggunakan persamaan:
Kelajuan aliran sungai x km/j
34/(15+x)=26/(15-x) Menyelesaikan perkadaran, kita dapat:
Jawapan: 2 km/j.
Kesimpulan.
Kelebihan:
Anda boleh menulis tugasan secara ringkas;
Kelemahan:
SASTERA.
1. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B., Algebra: Buku Teks untuk gred 7 institusi pendidikan, "Pencerahan", M., 2000.
2. Bulynin V., Aplikasi kaedah grafik dalam menyelesaikan masalah teks, akhbar pendidikan dan metodologi "Matematik", No. 14, 2005.
3. Zvavich L.I. Bahan didaktik tentang algebra untuk gred 7.
Lihat kandungan dokumen
"perkataan"
Dalam pelajaran algebra dalam gred 7, saya belajar tentang topik “Fungsi linear. Susunan bersama graf fungsi linear.” Saya belajar cara membina graf fungsi linear, mempelajari sifatnya, belajar bagaimana untuk formula yang diberikan tentukan kedudukan relatif graf. Saya perhatikan bahawa dalam buku teks oleh Yu.N
"Algebra.7 gred" mengkaji masalah di mana, mengikut jadual yang diberikan, adalah perlu untuk menjawab beberapa soalan. Contoh tugas sedemikian dibentangkan pada slaid.
Berdasarkan jadual yang diberikan, dapat ditentukan bahawa
Dan saya mempunyai soalan: adakah mungkin untuk menyelesaikan masalah pergerakan bukan dengan tindakan atau menggunakan persamaan, tetapi dengan menggunakan graf fungsi linear untuk ini?
Hipotesis, matlamat dan objektif dibentangkan pada slaid
Dalam penyelidikan saya, saya memutuskan untuk cuba memberikan tafsiran grafik tentang masalah pergerakan yang dikemukakan dalam buku teks kami, kemudian menjawab soalan yang dikemukakan dalam masalah mengikut graf. Untuk kaedah penyelesaian ini, saya mengambil masalah dengan gerakan seragam rectilinear pada satu bahagian laluan.
Ternyata banyak masalah diselesaikan dengan cara ini. Satu-satunya kelemahan teknik ini: untuk mendapatkan jawapan dengan tepat kepada persoalan masalah, anda mesti dapat memilih skala unit pengukuran dengan betul pada paksi koordinat. Pengalaman membuat keputusan memainkan peranan yang besar dalam membuat pilihan yang tepat bagi skala ini. Oleh itu, untuk menguasai seni menyelesaikan masalah menggunakan graf, saya terpaksa melihat banyak daripada mereka.
Kaedah untuk menyelesaikan masalah perkataan menggunakan graf fungsi linear.
Untuk membuat keputusan masalah perkataan menggunakan graf fungsi linear, anda perlu:
tetapkan sistem koordinat Untuk melakukan ini, mengikut syarat masalah, anda perlu memilih asal: permulaan pergerakan objek atau, dari beberapa objek, pilih yang mula bergerak lebih awal atau telah mengembara lebih besar. jarak. Pada paksi absis, tandakan selang masa dalam unit ukurannya, dan pada paksi ordinat, tandakan jarak dalam skala yang dipilih bagi unit pengukurannya.
Lukiskan garisan pergerakan setiap objek yang dinyatakan dalam pernyataan masalah melalui koordinat sekurang-kurangnya dua titik lurus. Lazimnya, kelajuan sesuatu objek memberikan maklumat tentang jarak yang dilalui dalam satu unit masa dari permulaan pergerakannya. Jika objek mula bergerak kemudian, maka titik di mana ia mula bergerak dianjakkan oleh nombor yang diberi unit ke kanan dari asal sepanjang paksi absis. Jika objek mula bergerak dari tempat yang jauh dari asal dengan jarak tertentu, maka titik asal pergerakannya dianjak ke atas sepanjang paksi ordinat.
Tempat pertemuan beberapa objek pada satah koordinat ditunjukkan oleh titik persilangan garis yang menggambarkan pergerakan mereka, yang bermaksud bahawa koordinat titik ini memberikan maklumat tentang masa pertemuan dan jarak tempat pertemuan dari asal. .
Perbezaan dalam kelajuan pergerakan dua objek ditentukan oleh panjang segmen yang terdiri daripada semua titik dengan absis 1 terletak di antara garis pergerakan objek ini.
Titik pada satah koordinat mesti ditanda mengikut skala mengikut keadaan masalah, dan garisan mesti dilukis dengan teliti. Ketepatan menyelesaikan masalah bergantung pada ini.
Masalah 1. (No. 673 dalam buku teks oleh Yu.N. Makarychev “Algebra 7.”)
Seorang penunggang basikal bergerak di sepanjang laluan AB dengan kelajuan 12 km/j. Semasa pulang, dia mencapai kelajuan 18 km/j dan menghabiskan 15 minit kurang dalam perjalanan pulang berbanding dalam perjalanan dari A ke B. Berapa kilometer dari A ke B.
Penyelesaian menggunakan persamaan:
Biarkan x km ialah jarak dari A ke B.
x/12j. – masa dari A ke B
x/18j. – masa kembali
Memandangkan dia menghabiskan 15 minit kurang dalam perjalanan pulang, kami akan mencipta persamaan
Jawapan: 9 km
Menyelesaikan menggunakan graf fungsi linear:
1. Mari kita takrifkan satah koordinat sOtc dengan paksi absis Ot, di mana kita akan menandakan selang masa pergerakan, dan dengan paksi ordinat Os, di mana kita akan menandakan jarak.
2. Mari kita lukis pembahagian pada skala: sepanjang paksi ordinat - 3 km dalam satu sel; pada abscissa - satu jam dalam 4 sel (dalam 1 sel - 15 minit).
3. Mari kita bina garis pergerakan di sana: tandakan permulaan pergerakan dengan titik (0;0). Penunggang basikal itu bergerak pada kelajuan 12 km/j, yang bermaksud garis lurus mesti melalui titik (1;12).
4. Mari kita bina garisan pergerakan ke belakang: tandakan hujung garisan dengan titik (; 0), kerana Penunggang basikal itu menghabiskan masa kurang 15 minit dalam perjalanan pulang. Dia memandu pada kelajuan 18 km/j, yang bermaksud bahawa titik seterusnya pada garis lurus mempunyai koordinat (;18).
5. Nota (; 9) - titik persilangan garis: ordinatnya akan menunjukkan jarak: s = 9
Jawapan: 9 km.
Masalah 2 (No. 757 dalam buku teks oleh Yu.N. Makarychev “Algebra 7”)
Jarak antara jeti M dan N ialah 162 km. Kapal motor itu berlepas dari jeti M dengan kelajuan 45 km/j. Selepas 45 minit, sebuah lagi kapal bermotor bertolak dari jeti N untuk menemuinya, dengan kelajuan 36 km/j. Berapa jam selepas berlepas kapal pertama mereka akan bertemu?
Penyelesaian menggunakan persamaan:
Biar ada mesyuarat dalam masa x jam
162 -45(x +0.75)-36x =0
162-45x – 33.75 -36x =0
81x =128.25
2) 
Jawapan: 2 jam 20 minit.
Menyelesaikan menggunakan graf fungsi linear:
1. Mari kita takrifkan satah koordinat sOt dengan paksi absis Ot, di mana kita menandakan selang masa pergerakan, dan paksi ordinat Os, yang mana
Mari kita perhatikan jarak dari jeti M ke jeti N, bersamaan dengan 162 km. Permulaan
titik rujukan ialah jeti M
2. Mari kita lukis pembahagian pada skala: sepanjang paksi ordinat - dalam dua sel 18 km; Abscissa adalah satu jam dalam 6 sel (1 sel ialah 10 minit), kerana Keadaan tugas menunjukkan masa dalam minit.
Mari tandakan titik N (0; 162).
3. Mari kita bina garisan pergerakan kapal motor pertama I: permulaan pergerakannya akan berada pada titik dengan koordinat (0;0). Kapal motor pertama sedang belayar pada kelajuan 45 km/j, yang bermaksud garis lurus mesti melalui titik dengan koordinat (1;45).
4. Mari kita bina garisan pergerakan kapal motor kedua II: permulaan pergerakan akan berada di titik c
koordinat (; 162), sejak dia meninggalkan titik N, 162 km dari M, selama 45 minit. lewat daripada yang pertama, dan 45 min. = h. Kapal motor kedua belayar pada kelajuan 36 km/j, yang bermaksud bahawa garis lurus mesti melalui titik (; 126), kerana kapal motor kedua pergi ke arah titik M: 162 – 36 = 126 (km).
5. Titik persilangan garis I dan II ialah titik A (;108). Abscissa titik menunjukkan masa selepas mereka bertemu selepas berlepas kapal pertama: t =, |=h = 2h20min. – masa pertemuan dua kapal selepas berlepas kapal pertama.
Jawapan: 2 jam 20 minit.
Kesimpulan.
Di akhir kajian, saya dapat mengenal pasti kebaikan dan keburukan menyelesaikan masalah secara grafik.
Kelebihan:
Anda boleh menulis tugasan secara ringkas;
Ia agak mudah untuk bekerja dengan nombor kecil.
Kelemahan:
Sukar untuk bekerja dengan bilangan yang besar.
Lihat kandungan pembentangan
"projek"
Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan adalah secara grafik. Ia berdasarkan kepada membina graf fungsi dan menentukan titik persilangannya. Mari kita pertimbangkan kaedah grafik untuk menyelesaikan persamaan kuadratik a*x^2+b*x+c=0.
Penyelesaian pertama
Mari tukarkan persamaan a*x^2+b*x+c=0 kepada bentuk a*x^2 =-b*x-c. Kami membina graf dua fungsi y= a*x^2 (parabola) dan y=-b*x-c (garis lurus). Kami sedang mencari titik persimpangan. Abscissas titik persilangan akan menjadi penyelesaian kepada persamaan.
Mari tunjukkan dengan contoh: selesaikan persamaan x^2-2*x-3=0.
Mari kita tukarkan kepada x^2 =2*x+3. Kami membina graf bagi fungsi y= x^2 dan y=2*x+3 dalam satu sistem koordinat.
Graf bersilang pada dua titik. Abscissas mereka akan menjadi punca persamaan kita.
Penyelesaian mengikut formula
Untuk kepastian, mari semak penyelesaian ini secara analitikal. Mari kita selesaikan persamaan kuadratik menggunakan formula:
D = 4-4*1*(-3) = 16.
X1= (2+4)/2*1 = 3.
X2 = (2-4)/2*1 = -1.
Bermaksud, penyelesaiannya adalah sama.
Kaedah grafik untuk menyelesaikan persamaan juga mempunyai kelemahannya; dengan bantuannya tidak selalu mungkin untuk mendapatkan penyelesaian yang tepat kepada persamaan. Mari cuba selesaikan persamaan x^2=3+x.
Mari bina parabola y=x^2 dan garis lurus y=3+x dalam satu sistem koordinat.
Kami mendapat lukisan yang serupa sekali lagi. Garis lurus dan parabola bersilang pada dua titik. Tetapi nilai yang tepat Kita tidak boleh mengatakan absis mata ini, hanya anggaran: x≈-1.3 x≈2.3.
Jika kita berpuas hati dengan jawapan dengan ketepatan sedemikian, maka kita boleh menggunakan kaedah ini, tetapi ini jarang berlaku. Biasanya diperlukan penyelesaian yang tepat. Oleh itu, kaedah grafik jarang digunakan, dan terutamanya untuk menyemak penyelesaian sedia ada.
Perlukan bantuan dengan pelajaran anda?
Topik sebelumnya:
OSR. "Menyelesaikan Persamaan Menggunakan Graf."
Senaman:
1) Ringkasan asas.
Graf ialah satu set titik pada satah koordinat yang mempunyai nilai x dan y.
disambungkan oleh beberapa pergantungan dan setiap nilai x sepadan dengan satu nilai y.
Kaedah grafik adalah salah satu yang paling mudah dan cara visual pembentangan dan analisis
maklumat.
Dalam amalan, kaedah grafik untuk menyelesaikan persamaan sering ternyata berguna. Dia
adalah seperti berikut: untuk menyelesaikan persamaan f(x)=0, plotkan fungsi y=f(x) dan cari
abscissas bagi titik persilangan graf dengan paksi Lembu: absis ini ialah punca-punca persamaan.
Algoritma untuk menyelesaikan persamaan secara grafik
Untuk menyelesaikan secara grafik persamaan bentuk f(x) = g(x), anda perlukan:
1. Bina graf fungsi dalam satu satah koordinat:
y = f(x) dan y = g(x).
2. Cari titik persilangan graf ini.
3. Nyatakan absis bagi setiap persimpangan ini.
4. Tulis jawapan.
Ia agak mudah untuk menyelesaikan sistem persamaan secara grafik, kerana setiap satu
persamaan sistem pada satah koordinat mewakili beberapa jenis
barisan.
Dengan membina graf persamaan ini dan mencari koordinat titiknya
persimpangan (jika wujud), kami memperoleh penyelesaian yang diingini.
Penyelesaian grafik ketidaksamaan, datang untuk mencari titik x,
di mana satu graf terletak di atas atau di bawah yang lain.
Contoh:
#1: Selesaikan persamaan
x
4
5
x
mata
salib
saya
graf
fungsi
№
2.
buat keputusan
ialah
lukisan
abscissa
1
.
persamaan
5
cm.
:
X
X
4
Dengan keputusan
di
ui
Peperiksaan
1
4
15
4
4
betul
Jawab
.1:
persamaan
x
3
3
x
Dengan keputusan
persamaan
ialah
di
3
X
ui
3
X
cm.
lukisan
abscissa
.
2
mata
salib
saya
graf
fungsi
No 3. Re
1
3
Peperiksaan
:
3
1
betul
1:
33
Jawab
.
menjahit persamaan
Penyelesaian: Mari bina graf fungsi
dan y = x
Graf fungsi tidak bersilang, dan, oleh itu, persamaan tidak mempunyai punca (lihat rajah).
Jawapan: tiada akar.
No. 4. Cari nilai ungkapan x + y, jika (x
;y
adalah penyelesaian kepada sistem persamaan.
Penyelesaian:
ke kiri.
pemindahan selari dengan 1 unit
terjemahan selari 2 unit ke kiri.
= 1, y
=1
+ y
=0.
X
X
Jawapan: 0.
No 5. Selesaikan ketidaksamaan
Jawapan: x>2.
>12 1.5x. No 6. Selesaikan ketidaksamaan
. Jawapan: x>0.
No 7. Selesaikan persamaan sinx + cosx=1. Mari kita plotkan fungsi y=sinx u y=1cosx (Rajah 5) Daripada
Graf menunjukkan bahawa persamaan mempunyai 2 penyelesaian: x = 2 n, di mana nЄZ dan x = /2+2 k, di mana kЄZ.
π
π
π
2
dosa x(
1
cos x(
6
4
2
1
2
2
1
1
0
x
2
4
6
2
No. 8. Selesaikan persamaan: 3x = (x1) 2 + 3
Penyelesaian: memohon kaedah berfungsi penyelesaian kepada persamaan:
kerana sistem ini mempunyai satu-satunya penyelesaian, kemudian menggunakan kaedah pemilihan kita dapati x=1
Jawapan: 1.
No. 9. Selesaikan ketaksamaan: cos x 1 + 3x
Penyelesaian:
Jawapan: (
;
).
No 10. Selesaikan persamaan
Dalam kes kami, fungsi
bertambah apabila x>0, dan fungsi y = 3 – x berkurang apabila
semua nilai x, termasuk untuk x>0, yang bermaksud
persamaan
akar Perhatikan bahawa untuk x = 2 persamaan menjadi
V persamaan sebenar, kerana
mempunyai paling banyak satu
.
Jawapan: 2.
2) Selesaikan tugasan:
1) Adakah persamaan mempunyai punca dan jika ya, adakah ia positif atau negatif?
A)
; b)
, c) 6x =1/6, d)
.
2) Selesaikan kaedah grafik persamaan
.
1
3
X
3
X
3) Selesaikan persamaan secara grafik:
A)
b)
.
3
х
3
X
5
1
2
X
4) Rajah menunjukkan graf bagi fungsi y=f(x).
1) 1 2) 6 3) 7 4) 8
5) Antara rajah yang manakah menunjukkan graf bagi fungsi tersebut
?
di
log
x
1
2
1) pada 2) pada 3) pada 4)
di
1 1 1
6) Graf fungsi yang manakah ditunjukkan dalam rajah?
1) y = 2x1.5; 2) y = 2x – 2;
3) y = 2x – 3; 4) y = 2x – 2.
7) Fungsi yang manakah digraf dalam rajah?
1) y = sinx; 2)
di
dosa
x
6
; 3)
di
dosa
x
3
; 4)
.
di
dosa
x
6
8) Rajah menunjukkan graf fungsi
y = f (x) dan y = g (x), diberi pada selang
[5;6]. Nyatakan nilai x yang mana
ketaksamaan g(x) dipegang
y
y
)(xg
f(x)1
1) [5; 0] 2) [5; 2]
0 1 x
3) [2; 2] 4)
9) Rajah menunjukkan graf bagi fungsi y=f(x).
Cari bilangan punca integer bagi persamaan f(x)= 0.
1) 3 2) 4 3) 2 4) 1
)(xf
y
10) Rajah menunjukkan graf bagi fungsi y=f(x).
Cari bilangan punca integer bagi persamaan f(x)+2= 0.
1) 3 2) 5 3) 4 4) 1
Penyelesaian grafik persamaan
Hari kegemilangan, 2009
pengenalan
Keperluan untuk membuat keputusan persamaan kuadratik malah pada zaman dahulu ia disebabkan oleh keperluan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan mencari kawasan plot tanah dan dengan kerja tanah yang bersifat ketenteraan, serta dengan perkembangan astronomi dan matematik itu sendiri. Orang Babylon dapat menyelesaikan persamaan kuadratik sekitar 2000 SM. Peraturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang dinyatakan dalam teks Babylonia, pada dasarnya bertepatan dengan yang moden, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babylon sampai pada peraturan ini.
Formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik di Eropah mula-mula dinyatakan dalam Book of Abacus, yang ditulis pada tahun 1202 oleh ahli matematik Itali Leonardo Fibonacci. Bukunya menyumbang kepada penyebaran pengetahuan algebra bukan sahaja di Itali, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropah yang lain.
Tetapi peraturan am penyelesaian kepada persamaan kuadratik untuk semua kemungkinan kombinasi pekali b dan c telah dirumuskan di Eropah hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.
Pada tahun 1591 Francois Viet memperkenalkan formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.
DALAM Babylon purba boleh menyelesaikan beberapa jenis persamaan kuadratik.
Diophantus dari Alexandria Dan Euclid, Al-Khawarizmi Dan Omar Khayyam menyelesaikan persamaan menggunakan kaedah geometri dan grafik.
Dalam darjah 7 kami belajar fungsi y = C, y =kx, y =kx+ m, y =x 2,y = –x 2, dalam darjah 8 - y = √x, y =|x|, y =kapak2 + bx+ c, y =k/ x. Dalam buku teks algebra gred 9, saya melihat fungsi yang belum saya ketahui: y =x 3, y =x 4,y =x 2n, y =x- 2n, y = 3√x, (x– a) 2 + (y –b) 2 = r 2 dan lain-lain. Terdapat peraturan untuk membina graf bagi fungsi ini. Saya tertanya-tanya jika ada fungsi lain yang mematuhi peraturan ini.
Tugas saya ialah mengkaji graf fungsi dan menyelesaikan persamaan secara grafik.
1. Apakah fungsinya?
Graf fungsi ialah set semua titik satah koordinat, abscissas yang sama dengan nilai argumen, dan ordinat adalah sama dengan nilai fungsi yang sepadan.
Fungsi linear diberikan oleh persamaan y =kx+ b, Di mana k Dan b- beberapa nombor. Graf fungsi ini ialah garis lurus.
Fungsi perkadaran songsang y =k/ x, di mana k ¹ 0. Graf fungsi ini dipanggil hiperbola.
Fungsi (x– a) 2 + (y –b) 2 = r2 , Di mana A, b Dan r- beberapa nombor. Graf fungsi ini ialah bulatan berjejari r dengan pusat di titik A ( A, b).
Fungsi kuadratik y= kapak2 + bx+ c di mana A,b, Dengan– beberapa nombor dan A¹ 0. Graf bagi fungsi ini ialah parabola.
Persamaan di2 (a– x) = x2 (a+ x) . Graf persamaan ini akan menjadi lengkung yang dipanggil strofoid.
/>Persamaan (x2 + y2 ) 2 = a(x2 – y2 ) . Graf persamaan ini dipanggil lemniskat Bernoulli.
Persamaan. Graf persamaan ini dipanggil astroid.
Lengkung (x2 y2 – 2 kapak)2 =4 a2 (x2 + y2 ) . Lengkung ini dipanggil kardioid.
Fungsi: y =x 3 - parabola padu, y =x 4, y = 1/x 2.
2. Konsep persamaan dan penyelesaian grafiknya
Persamaan– ungkapan yang mengandungi pembolehubah.
Selesaikan persamaan- ini bermakna mencari semua akarnya, atau membuktikan bahawa ia tidak wujud.
Punca persamaan ialah nombor yang, apabila digantikan ke dalam persamaan, memberikan jawapan yang betul kesamarataan berangka.
Menyelesaikan persamaan secara grafik membolehkan anda mencari nilai tepat atau anggaran punca, membolehkan anda mencari bilangan punca persamaan.
Apabila membina graf dan menyelesaikan persamaan, sifat-sifat fungsi digunakan, itulah sebabnya kaedah itu sering dipanggil fungsi-grafik.
Untuk menyelesaikan persamaan, kami "membahagikan" kepada dua bahagian, memperkenalkan dua fungsi, membina graf mereka, dan mencari koordinat titik persilangan graf. Absis titik-titik ini ialah punca-punca persamaan.
3. Algoritma untuk memplot graf fungsi
Mengetahui graf fungsi y =f(x) , anda boleh membina graf fungsi y =f(x+ m) ,y =f(x)+ l Dan y =f(x+ m)+ l. Kesemua graf ini diperoleh daripada graf fungsi tersebut y =f(x) menggunakan transformasi pemindahan selari: pada │ m│ unit skala ke kanan atau kiri sepanjang paksi-x dan seterusnya │ l│ unit skala atas atau bawah sepanjang paksi y.
4. Penyelesaian grafik bagi persamaan kuadratik
Menggunakan contoh fungsi kuadratik Kita akan melihat penyelesaian grafik bagi persamaan kuadratik. Graf bagi fungsi kuadratik ialah parabola.
Apakah yang diketahui oleh orang Yunani kuno tentang parabola?
moden perlambangan matematik bermula pada abad ke-16.
Ahli matematik Yunani kuno tidak kaedah koordinat, tiada konsep fungsi. Namun begitu, sifat-sifat parabola telah dikaji secara terperinci oleh mereka. Kebijaksanaan ahli matematik purba sememangnya menakjubkan - lagipun, mereka hanya boleh menggunakan lukisan dan penerangan secara lisan tanggungan.
Kebanyakan meneroka parabola, hiperbola dan elips sepenuhnya Apollonius dari Perga, yang hidup pada abad ke-3 SM. Dia memberikan nama lengkung ini dan menunjukkan syarat yang dipenuhi oleh mata yang terletak pada lengkung ini atau itu (lagipun, tiada formula!).
Terdapat algoritma untuk membina parabola:
Cari koordinat bagi bucu parabola A (x0; y0): X=- b/2 a;
y0=axo2+in0+s;
Cari paksi simetri parabola (garis lurus x=x0);
PAGE_BREAK--
Kami menyusun jadual nilai untuk membina titik kawalan;
Kami membina titik yang terhasil dan membina titik yang simetri kepada mereka berbanding dengan paksi simetri.
1. Menggunakan algoritma, kita akan membina parabola y= x2 – 2 x– 3 . Abscissas titik persilangan dengan paksi x dan terdapat punca-punca persamaan kuadratik x2 – 2 x– 3 = 0.
Terdapat lima cara untuk menyelesaikan persamaan ini secara grafik.
2. Mari bahagikan persamaan kepada dua fungsi: y= x2 Dan y= 2 x+ 3
3. Mari bahagikan persamaan kepada dua fungsi: y= x2 –3 Dan y=2 x. Punca-punca persamaan ialah absis bagi titik-titik persilangan parabola dan garis.
4. Ubah persamaan x2 – 2 x– 3 = 0 menggunakan pemilihan persegi penuh kepada fungsi: y= (x–1) 2 Dan y=4. Punca-punca persamaan ialah absis bagi titik-titik persilangan parabola dan garis.
5. Bahagikan kedua-dua belah sebutan persamaan dengan sebutan x2 – 2 x– 3 = 0 pada x, kita dapat x– 2 – 3/ x= 0 , mari bahagikan persamaan ini kepada dua fungsi: y= x– 2, y= 3/ x. Punca-punca persamaan ialah absis bagi titik-titik persilangan garis dan hiperbola.
5. Penyelesaian grafik bagi persamaan darjahn
Contoh 1. Selesaikan persamaan x5 = 3 – 2 x.
y= x5 , y= 3 – 2 x.
Jawapan: x = 1.
Contoh 2. Selesaikan persamaan 3 √ x= 10 – x.
Akar persamaan yang diberikan ialah absis bagi titik persilangan graf dua fungsi: y= 3 √ x, y= 10 – x.
Jawapan: x = 8.
Kesimpulan
Setelah melihat graf fungsi: y =kapak2 + bx+ c, y =k/ x, у = √x, y =|x|, y =x 3, y =x 4,y = 3√x, Saya perhatikan bahawa semua graf ini dibina mengikut peraturan terjemahan selari berbanding dengan paksi x Dan y.
Dengan menggunakan contoh penyelesaian persamaan kuadratik, kita boleh membuat kesimpulan bahawa kaedah grafik juga boleh digunakan untuk persamaan darjah n.
Kaedah grafik penyelesaian kepada persamaan adalah cantik dan boleh difahami, tetapi tidak memberikan jaminan 100% untuk menyelesaikan sebarang persamaan. Absis bagi titik persilangan graf boleh menjadi anggaran.
Di tingkatan 9 dan di sekolah menengah, saya akan terus berkenalan dengan fungsi lain. Saya berminat untuk mengetahui sama ada fungsi tersebut mematuhi peraturan pemindahan selari semasa membina grafnya.
hidup tahun depan Saya juga ingin mempertimbangkan isu penyelesaian grafik sistem persamaan dan ketaksamaan.
kesusasteraan
1. Algebra. darjah 7. Bahagian 1. Buku teks untuk institusi pendidikan / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.
2. Algebra. darjah 8. Bahagian 1. Buku teks untuk institusi pendidikan / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.
3. Algebra. darjah 9. Bahagian 1. Buku teks untuk institusi pendidikan / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.
4. Glazer G.I. Sejarah matematik di sekolah. gred VII–VIII. – M.: Pendidikan, 1982.
5. Jurnal Matematik Bil 5 2009; No 8 2007; No. 23 2008.
6. Penyelesaian grafik laman web persamaan di Internet: Tol VIKI; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3–6.htm.