Tanda-tanda matematik. Jawatan dan perlambangan

Balagin Victor

Dengan penemuan peraturan dan teorem matematik, saintis menghasilkan tatatanda dan tanda matematik baharu. Tanda matematik ialah simbol yang direka untuk merekodkan konsep, ayat dan pengiraan matematik. Dalam matematik, simbol khas digunakan untuk memendekkan notasi dan menyatakan pernyataan dengan lebih tepat. Selain nombor dan huruf pelbagai abjad (Latin, Yunani, Ibrani), bahasa matematik menggunakan banyak simbol khas yang dicipta sejak beberapa abad yang lalu.

Muat turun:

Pratonton:

SIMBOL MATEMATIK.

Selesai kerja

pelajar darjah 7

Sekolah menengah GBOU No. 574

Balagin Victor

tahun akademik 2012-2013

SIMBOL MATEMATIK.

pengenalan

Perkataan matematik datang kepada kita dari bahasa Yunani kuno, di mana μάθημα bermaksud "untuk belajar", "untuk memperoleh pengetahuan". Dan orang yang berkata: "Saya tidak memerlukan matematik, saya tidak akan menjadi ahli matematik" adalah salah. Setiap orang memerlukan matematik. Mendedahkan dunia nombor indah yang mengelilingi kita, ia mengajar kita untuk berfikir dengan lebih jelas dan konsisten, mengembangkan pemikiran, perhatian, dan memupuk ketabahan dan kemahuan. M.V. Lomonosov berkata: "Matematik menyusun fikiran." Secara ringkasnya, matematik mengajar kita untuk belajar menimba ilmu.

Matematik adalah sains pertama yang boleh dikuasai manusia. Aktiviti tertua ialah mengira. Sesetengah puak primitif mengira bilangan objek menggunakan jari tangan dan kaki mereka. Lukisan batu yang bertahan hingga ke hari ini dari Zaman Batu menggambarkan angka 35 dalam bentuk 35 batang yang dilukis berturut-turut. Kita boleh mengatakan bahawa 1 batang adalah simbol matematik pertama.

"Penulisan" matematik yang kini kita gunakan - daripada menetapkan yang tidak diketahui dengan huruf x, y, z kepada tanda kamiran - dikembangkan secara beransur-ansur. Perkembangan simbolisme memudahkan kerja dengan operasi matematik dan menyumbang kepada perkembangan matematik itu sendiri.

Daripada "simbol" Yunani kuno (Greek. symbolon - tanda, petanda, kata laluan, lambang) - tanda yang dikaitkan dengan objektiviti yang ditunjukkannya sedemikian rupa sehingga makna tanda dan objeknya hanya diwakili oleh tanda itu sendiri dan hanya didedahkan melalui tafsirannya.

2. Tanda tambah dan tolak

Sejarah tatatanda matematik bermula dengan Paleolitik. Batu dan tulang dengan takuk digunakan untuk mengira tarikh kembali ke masa ini. Contoh yang paling terkenal ialahtulang Ishango. Tulang terkenal dari Ishango (Congo), sejak kira-kira 20 ribu tahun SM, membuktikan bahawa pada masa itu manusia sedang melakukan operasi matematik yang agak kompleks. Takik pada tulang digunakan untuk penambahan dan digunakan dalam kumpulan, melambangkan penambahan nombor.

Mesir Purba sudah mempunyai sistem notasi yang jauh lebih maju. Contohnya, dalamAhmes papirusSimbol penambahan menggunakan imej dua kaki berjalan ke hadapan melintasi teks, dan simbol tolak menggunakan dua kaki berjalan ke belakang.Orang Yunani purba menunjukkan penambahan dengan menulis sebelah menyebelah, tetapi kadangkala menggunakan simbol sengkang “/” dan lengkung separa elips untuk penolakan.

Simbol untuk operasi aritmetik penambahan (tambah "+'') dan tolak (tolak "-'') adalah sangat biasa sehingga kita hampir tidak pernah memikirkan hakikat bahawa ia tidak selalu wujud. Asal usul simbol ini tidak jelas. Satu versi ialah mereka sebelum ini digunakan dalam perdagangan sebagai tanda untung dan rugi.

Ia juga dipercayai bahawa tanda kamiberasal dari satu bentuk perkataan "et", yang bermaksud "dan" dalam bahasa Latin. Ungkapan a+b ia ditulis dalam bahasa Latin seperti ini: a dan b . Secara beransur-ansur, disebabkan penggunaan yang kerap, dari tanda " et "hanya tinggal" t "yang, lama kelamaan, bertukar menjadi"+ ". Orang pertama yang mungkin menggunakan tanda itusebagai singkatan untuk et, ialah ahli astronomi Nicole d'Oresme (pengarang The Book of the Sky and the World) pada pertengahan abad keempat belas.

Pada akhir abad kelima belas, ahli matematik Perancis Chiquet (1484) dan Pacioli Itali (1494) menggunakan "'' atau " ’’ (menyatakan “tambah”) untuk penambahan dan “'' atau " '' (menandakan "tolak") untuk penolakan.

Notasi penolakan lebih mengelirukan kerana bukannya "” dalam buku Jerman, Switzerland dan Belanda kadangkala mereka menggunakan simbol “÷’’, yang kini kita gunakan untuk menandakan pembahagian. Beberapa buku abad ketujuh belas (seperti Descartes dan Mersenne) menggunakan dua titik “∙ ∙’’ atau tiga titik “∙ ∙ ∙’’ untuk menunjukkan penolakan.

Penggunaan pertama simbol algebra moden "” merujuk kepada manuskrip algebra Jerman dari 1481 yang ditemui di perpustakaan Dresden. Dalam manuskrip Latin dari masa yang sama (juga dari perpustakaan Dresden), terdapat kedua-dua aksara: "" Dan " - " . Penggunaan tanda yang sistematik "" dan " - " untuk penambahan dan penolakan terdapat dalamJohann Widmann. Ahli matematik Jerman Johann Widmann (1462-1498) adalah orang pertama yang menggunakan kedua-dua tanda untuk menandakan kehadiran dan ketiadaan pelajar dalam kuliahnya. Benar, terdapat maklumat bahawa dia "meminjam" tanda-tanda ini dari seorang profesor yang kurang dikenali di Universiti Leipzig. Pada tahun 1489, beliau menerbitkan buku cetakan pertama di Leipzig (Aritmetik Mercantile - "Aritmetik Komersial"), di mana kedua-dua tanda hadir. Dan , dalam karya "Perkiraan cepat dan menyenangkan untuk semua pedagang" (c. 1490)

Sebagai rasa ingin tahu sejarah, perlu diperhatikan bahawa walaupun selepas penggunaan tanda itutidak semua orang menggunakan simbol ini. Widmann sendiri memperkenalkannya sebagai salib Yunani(tanda yang kita gunakan hari ini), di mana lejang mendatar kadang-kadang lebih panjang sedikit daripada yang menegak. Beberapa ahli matematik, seperti Record, Harriot dan Descartes, menggunakan tanda yang sama. Lain-lain (seperti Hume, Huygens, dan Fermat) menggunakan salib Latin "†", kadangkala diletakkan secara mendatar, dengan palang pada satu hujung atau yang lain. Akhirnya, beberapa (seperti Halley) menggunakan rupa yang lebih hiasan " ».

3.Tanda sama

Tanda sama dalam matematik dan sains tepat lain ditulis di antara dua ungkapan yang sama saiznya. Diophantus adalah yang pertama menggunakan tanda sama. Dia menetapkan persamaan dengan huruf i (dari bahasa Yunani isos - sama). DALAMmatematik purba dan zaman pertengahankesamaan ditunjukkan secara lisan, sebagai contoh, est egale, atau mereka menggunakan singkatan "ae" dari bahasa Latin aequalis - "sama". Bahasa lain juga menggunakan huruf pertama perkataan "sama", tetapi ini tidak diterima umum. Tanda sama dengan "=" diperkenalkan pada tahun 1557 oleh seorang doktor dan ahli matematik WalesRobert Record(Rekod R., 1510-1558). Dalam beberapa kes, simbol matematik untuk menandakan kesamaan ialah simbol II. Rekod memperkenalkan simbol "='' dengan dua garis selari mendatar yang sama, lebih panjang daripada yang digunakan hari ini. Ahli matematik Inggeris Robert Record adalah yang pertama menggunakan simbol kesamaan, berhujah dengan kata-kata: "tiada dua objek boleh lebih sama antara satu sama lain daripada dua segmen selari." Tetapi masih dalamabad XVIIRene Descartesmenggunakan singkatan “ae’’.Francois VietTanda yang sama menunjukkan penolakan. Untuk beberapa lama, penyebaran simbol Rekod telah dihalang oleh fakta bahawa simbol yang sama digunakan untuk menunjukkan keselarian garis lurus; Pada akhirnya, ia telah memutuskan untuk menjadikan simbol selari menegak. Tanda itu tersebar luas hanya selepas karya Leibniz pada pergantian abad ke-17-18, iaitu, lebih daripada 100 tahun selepas kematian orang yang pertama kali menggunakannya untuk tujuan ini.Robert Record. Tiada perkataan pada batu nisannya - hanya satu tanda yang sama terukir di dalamnya.

Simbol yang berkaitan untuk menandakan kesamaan anggaran "≈" dan identiti "≡" adalah sangat muda - yang pertama diperkenalkan pada tahun 1885 oleh Günther, yang kedua pada tahun 1857Riemann

4. Tanda darab dan bahagi

Tanda darab dalam bentuk salib ("x") diperkenalkan oleh seorang paderi-ahli matematik AnglikanWilliam Oughtred V 1631. Sebelumnya, huruf M digunakan untuk tanda pendaraban, walaupun notasi lain juga dicadangkan: simbol segi empat tepat (Erigon, ), asterisk ( Johann Rahn, ).

Nanti Leibnizmenggantikan salib dengan titik (akhirabad ke-17), supaya tidak mengelirukan dengan huruf x ; sebelum beliau, perlambangan seperti itu ditemui di kalanganRegiomontana (abad ke-15) dan saintis InggerisThomas Herriot (1560-1621).

Untuk menunjukkan tindakan pembahagianSuntinggaris miring pilihan. Kolon mula menandakan pembahagianLeibniz. Sebelum mereka, huruf D juga sering digunakanFibonacci, garis pecahan, yang digunakan dalam tulisan Arab, juga digunakan. Pembahagian dalam bentuk obelus ("÷") diperkenalkan oleh ahli matematik SwitzerlandJohann Rahn(c. 1660)

5. Tanda peratus.

Seperseratus daripada keseluruhan, diambil sebagai satu unit. Perkataan "peratus" itu sendiri berasal dari bahasa Latin "pro centum", yang bermaksud "seratus". Pada tahun 1685, buku "Manual Aritmetik Komersial" oleh Mathieu de la Porte (1685) telah diterbitkan di Paris. Di satu tempat mereka bercakap tentang peratusan, yang kemudiannya dinamakan "cto" (singkatan daripada cento). Walau bagaimanapun, pembuat taip mengira "cto" ini sebagai pecahan dan mencetak "%". Jadi, disebabkan kesilapan menaip, tanda ini mula digunakan.

6. Tanda infiniti

Simbol infiniti semasa "∞" mula digunakanJohn Wallis pada tahun 1655. John Wallismenerbitkan risalah besar "Aritmetik Infinite" (lat.Arithmetica Infinitorum sive Nova Methodus Inquirendi dalam Curvilineorum Quadraturam, aliaque Difficiliora Matheseos Problemata), di mana dia memasukkan simbol yang dia ciptainfiniti. Ia masih tidak diketahui mengapa dia memilih tanda khusus ini. Salah satu hipotesis yang paling berwibawa menghubungkan asal simbol ini dengan huruf Latin "M", yang digunakan oleh orang Rom untuk mewakili nombor 1000.Simbol infiniti dinamakan "lemniscus" (reben Latin) oleh ahli matematik Bernoulli kira-kira empat puluh tahun kemudian.

Versi lain mengatakan bahawa angka angka lapan menyampaikan sifat utama konsep "infiniti": pergerakan tanpa henti . Sepanjang garisan nombor 8 anda boleh bergerak tanpa henti, seperti di trek basikal. Untuk tidak mengelirukan tanda yang dimasukkan dengan nombor 8, ahli matematik memutuskan untuk meletakkannya secara mendatar. Ia berjaya. Notasi ini telah menjadi standard untuk semua matematik, bukan hanya algebra. Mengapakah infiniti tidak diwakili oleh sifar? Jawapannya jelas: tidak kira bagaimana anda menukar nombor 0, ia tidak akan berubah. Oleh itu, pilihan jatuh pada 8.

Pilihan lain ialah ular yang memakan ekornya sendiri, yang satu setengah ribu tahun SM di Mesir melambangkan pelbagai proses yang tidak mempunyai permulaan atau penghujung.

Ramai yang percaya bahawa jalur Möbius adalah nenek moyang simbol ituinfiniti, kerana simbol infiniti telah dipatenkan selepas penciptaan peranti jalur Mobius (dinamakan sempena ahli matematik abad kesembilan belas Moebius). Jalur Möbius ialah jalur kertas yang melengkung dan bersambung pada hujungnya, membentuk dua permukaan ruang. Walau bagaimanapun, menurut maklumat sejarah yang ada, simbol infiniti mula digunakan untuk mewakili infiniti dua abad sebelum penemuan jalur Möbius

7. Tanda-tanda sudut a dan berserenjang sti

Simbol" sudut"Dan" berserenjang"dicipta dalam 1634ahli matematik PerancisPierre Erigon. Simbol perpendicularitynya disongsangkan, menyerupai huruf T. Simbol sudut menyerupai ikon, memberikannya bentuk modenWilliam Oughtred ().

8. Tanda keselarian Dan

simbol" keselarian» dikenali sejak zaman purba, ia digunakanBangau Dan Pappus dari Iskandariah. Pada mulanya simbol itu serupa dengan tanda sama semasa, tetapi dengan kemunculan yang terakhir, untuk mengelakkan kekeliruan, simbol itu dipusing secara menegak (Sunting(1677), Kersey (John Kersey ) dan ahli matematik lain abad ke-17)

9. Pi

Penetapan nombor yang diterima umum sama dengan nisbah lilitan bulatan kepada diameternya (3.1415926535...) pertama kali dibentukWilliam Jones V 1706, mengambil huruf pertama perkataan Yunani περιφέρεια -bulatan dan περίμετρος - perimeter, iaitu lilitan. Saya suka singkatan ini.Euler, yang kerja-kerjanya kukuh dengan sebutan itu.

10. Sinus dan kosinus

Penampilan sinus dan kosinus adalah menarik.

Sinus dari bahasa Latin - sinus, rongga. Tetapi nama ini mempunyai sejarah yang panjang. Ahli matematik India mencapai kemajuan besar dalam trigonometri sekitar abad ke-5. Perkataan "trigonometri" itu sendiri tidak wujud; ia diperkenalkan oleh Georg Klügel pada tahun 1770.) Apa yang sekarang kita panggil sinus secara kasarnya sepadan dengan apa yang orang Hindu panggil ardha-jiya, diterjemahkan sebagai separuh rentetan (iaitu separuh kord). Untuk ringkasnya, mereka hanya memanggilnya jiya (tali). Apabila orang Arab menterjemah karya orang Hindu dari bahasa Sanskrit, mereka tidak menterjemahkan "rentetan" ke dalam bahasa Arab, tetapi hanya menyalin perkataan itu dalam huruf Arab. Hasilnya adalah jiba. Tetapi oleh kerana dalam tulisan Arab suku kata, vokal pendek tidak ditunjukkan, apa yang sebenarnya kekal ialah j-b, yang serupa dengan perkataan Arab lain - jaib (kosong, dada). Apabila Gerard of Cremona menterjemahkan orang Arab ke dalam bahasa Latin pada abad ke-12, dia menterjemah perkataan itu sebagai sinus, yang dalam bahasa Latin juga bermaksud sinus, kemurungan.

Kosinus muncul secara automatik, kerana orang Hindu memanggilnya koti-jiya, atau singkatannya ko-jiya. Koti ialah hujung melengkung busur dalam bahasa Sanskrit.Notasi trengkas moden dan diperkenalkan William Oughtreddan termaktub dalam karya Euler.

Penamaan tangen/kotangen mempunyai asal usul yang lebih lama (perkataan bahasa Inggeris tangen berasal dari bahasa Latin tangere - untuk menyentuh). Dan walaupun sekarang tidak ada sebutan bersatu - di sesetengah negara sebutan tan lebih kerap digunakan, di negara lain - tg

11. Singkatan "Apa yang diperlukan untuk dibuktikan" (dsb.)

« Quod erat demonstrandum "(quol erat lamonstranlum).
Frasa Yunani bermaksud "apa yang perlu dibuktikan," dan bahasa Latin bermaksud "apa yang perlu ditunjukkan." Formula ini menamatkan setiap penaakulan matematik ahli matematik Yunani yang hebat dari Greece Purba, Euclid (abad ke-3 SM). Diterjemah dari bahasa Latin - itulah yang perlu dibuktikan. Dalam risalah saintifik zaman pertengahan formula ini sering ditulis dalam bentuk singkatan: QED.

12. Tatatanda matematik.

Simbol	Sejarah simbol
	Tanda tambah dan tolak nampaknya dicipta dalam sekolah matematik Jerman "Kossists" (iaitu, ahli algebra). Ia digunakan dalam Aritmetik Johann Widmann yang diterbitkan pada tahun 1489. Sebelum ini, penambahan dilambangkan dengan huruf p (tambah) atau perkataan Latin et (kata hubung “dan”), dan penolakan dengan huruf m (tolak). Bagi Widmann, simbol tambah menggantikan bukan sahaja penambahan, tetapi juga kata hubung "dan." Asal usul simbol ini tidak jelas, tetapi kemungkinan besar ia sebelum ini digunakan dalam perdagangan sebagai penunjuk untung dan rugi. Kedua-dua simbol hampir serta-merta menjadi biasa di Eropah - kecuali Itali.
× ∙	Tanda darab diperkenalkan pada tahun 1631 oleh William Oughtred (England) dalam bentuk salib serong. Sebelumnya, huruf M digunakan Kemudian, Leibniz menggantikan salib dengan titik (akhir abad ke-17) supaya tidak mengelirukan dengan huruf x; sebelum beliau, perlambangan seperti itu ditemui di Regiomontanus (abad ke-15) dan saintis Inggeris Thomas Harriot (1560-1621).
/ : ÷	Oughtred lebih suka garis miring. Leibniz mula menandakan pembahagian dengan kolon. Sebelum mereka, huruf D juga sering digunakan Bermula dengan Fibonacci, garis pecahan, yang digunakan dalam tulisan Arab, juga digunakan. Di England dan Amerika Syarikat, simbol ÷ (obelus), yang dicadangkan oleh Johann Rahn dan John Pell pada pertengahan abad ke-17, telah tersebar luas.
=	Tanda yang sama telah dicadangkan oleh Robert Record (1510-1558) pada tahun 1557. Dia menjelaskan bahawa tidak ada yang lebih sama di dunia daripada dua segmen selari dengan panjang yang sama. Di benua Eropah, tanda sama telah diperkenalkan oleh Leibniz.
	Tanda-tanda perbandingan telah diperkenalkan oleh Thomas Herriot dalam karyanya, diterbitkan secara anumerta pada tahun 1631. Di hadapannya mereka menulis dengan kata-kata: lebih, kurang.
%	Simbol peratusan muncul pada pertengahan abad ke-17 dalam beberapa sumber, asalnya tidak jelas. Terdapat hipotesis bahawa ia timbul daripada kesilapan jurutaip, yang menaip singkatan cto (cento, hundredth) sebagai 0/0. Kemungkinan besar ini ialah ikon komersial kursif yang muncul kira-kira 100 tahun lebih awal.
√	Tanda akar pertama kali digunakan oleh ahli matematik Jerman Christoph Rudolf, dari sekolah Cossist, pada tahun 1525. Simbol ini berasal daripada huruf pertama perkataan radix (akar) yang digayakan. Pada mulanya tidak ada garis di atas ungkapan radikal; ia kemudiannya diperkenalkan oleh Descartes untuk tujuan yang berbeza (bukan kurungan), dan ciri ini tidak lama kemudian bergabung dengan tanda akar.
a n	Eksponensiasi. Notasi moden untuk eksponen telah diperkenalkan oleh Descartes dalam "Geometri" (1637), namun, hanya untuk kuasa semula jadi yang lebih besar daripada 2. Kemudian, Newton memperluaskan bentuk tatatanda ini kepada eksponen negatif dan pecahan (1676).
()	Tanda kurung muncul dalam Tartaglia (1556) untuk ungkapan radikal, tetapi kebanyakan ahli matematik lebih suka menggariskan ungkapan yang diserlahkan dan bukannya kurungan. Leibniz memperkenalkan kurungan ke dalam kegunaan umum.
	Tanda jumlah diperkenalkan oleh Euler pada tahun 1755
	Simbol produk diperkenalkan oleh Gauss pada tahun 1812
i	Huruf i sebagai kod unit khayalan:dicadangkan oleh Euler (1777), yang mengambil untuk ini huruf pertama perkataan imaginarius (khayal).
π	Penamaan yang diterima umum untuk nombor 3.14159... telah dibentuk oleh William Jones pada tahun 1706, mengambil huruf pertama perkataan Yunani περιφέρεια - bulatan dan περίμετρος - perimeter, iaitu lilitan.
	Leibniz memperoleh tatatandanya untuk kamiran daripada huruf pertama perkataan "Summa".
y"	Notasi pendek terbitan oleh perdana kembali kepada Lagrange.
	Simbol had muncul pada tahun 1787 oleh Simon Lhuillier (1750-1840).
	Simbol infiniti telah dicipta oleh Wallis dan diterbitkan pada tahun 1655.

13. Kesimpulan

Sains matematik adalah penting untuk masyarakat bertamadun. Matematik terkandung dalam semua sains. Bahasa matematik bercampur dengan bahasa kimia dan fizik. Tetapi kami masih memahaminya. Kita boleh mengatakan bahawa kita mula mempelajari bahasa matematik bersama-sama dengan pertuturan ibunda kita. Ini adalah bagaimana matematik telah memasuki kehidupan kita. Terima kasih kepada penemuan matematik masa lalu, saintis mencipta teknologi baharu. Penemuan yang masih hidup memungkinkan untuk menyelesaikan masalah matematik yang kompleks. Dan bahasa matematik purba jelas kepada kami, dan penemuan menarik kepada kami. Terima kasih kepada matematik, Archimedes, Plato, dan Newton menemui undang-undang fizik. Kami belajar mereka di sekolah. Dalam fizik juga terdapat simbol dan istilah yang wujud dalam sains fizik. Tetapi bahasa matematik tidak hilang di kalangan formula fizikal. Sebaliknya, formula ini tidak boleh ditulis tanpa pengetahuan matematik. Sejarah mengekalkan pengetahuan dan fakta untuk generasi akan datang. Kajian lanjut tentang matematik adalah perlu untuk penemuan baru. Untuk menggunakan pratonton pembentangan, buat akaun Google dan log masuk kepadanya: https://accounts.google.com

Kapsyen slaid:

Simbol matematik Kerja telah disiapkan oleh pelajar darjah 7 di sekolah No. 574 Balagin Victor

Simbol (Greek symbolon - tanda, petanda, kata laluan, lambang) adalah tanda yang dikaitkan dengan objektiviti yang ditunjukkannya sedemikian rupa sehingga makna tanda dan objeknya hanya diwakili oleh tanda itu sendiri dan hanya didedahkan melaluinya. tafsiran. Tanda ialah simbol matematik yang direka untuk merekodkan konsep, ayat dan pengiraan matematik.

Tulang Ishango Sebahagian daripada Papirus Ahmes

+ − Tanda tambah dan tolak. Penambahan ditunjukkan oleh huruf p (tambah) atau perkataan Latin et (kata hubung “dan”), dan penolakan dengan huruf m (tolak). Ungkapan a + b ditulis dalam bahasa Latin seperti ini: a et b.

Tatatanda penolakan. ÷ ∙ ∙ atau ∙ ∙ ∙ René Descartes Maren Mersenne

Satu halaman daripada buku oleh Johann Widmann. Pada tahun 1489, Johann Widmann menerbitkan buku cetakan pertama di Leipzig (Aritmetik Mercantile - "Aritmetik Komersial"), di mana kedua-dua tanda + dan - hadir.

Notasi tambahan. Christiaan Huygens David Hume Pierre de Fermat Edmund (Edmond) Halley

Tanda sama Diophantus adalah yang pertama menggunakan tanda sama. Dia menetapkan persamaan dengan huruf i (daripada isos Yunani - sama).

Tanda sama dicadangkan pada tahun 1557 oleh ahli matematik Inggeris Robert Record: "Tiada dua objek boleh lebih sama antara satu sama lain daripada dua segmen selari di benua Eropah, tanda sama diperkenalkan oleh Leibniz

× ∙ Tanda darab diperkenalkan pada tahun 1631 oleh William Oughtred (England) dalam bentuk salib serong. Leibniz menggantikan salib dengan titik (akhir abad ke-17) supaya tidak mengelirukan dengan huruf x. William Oughtred Gottfried Wilhelm Leibniz

Peratus. Mathieu de la Porte (1685). Seperseratus daripada keseluruhan, diambil sebagai satu unit. "peratus" - "pro centum", yang bermaksud "seratus". "cto" (singkatan untuk cento). Jurutaip tersalah anggap "cto" sebagai pecahan dan menaip "%".

Infiniti. John Wallis John Wallis memperkenalkan simbol yang diciptanya pada tahun 1655. Ular yang memakan ekornya melambangkan pelbagai proses yang tidak mempunyai permulaan atau penghujung.

Simbol infiniti mula digunakan untuk mewakili infiniti dua abad sebelum penemuan jalur Möbius Jalur Möbius ialah jalur kertas yang melengkung dan bersambung di hujungnya, membentuk dua permukaan ruang. Ogos Ferdinand Mobius

Sudut dan serenjang. Simbol-simbol itu dicipta pada tahun 1634 oleh ahli matematik Perancis Pierre Erigon. Simbol sudut Erigon menyerupai ikon. Simbol perpendicularity telah disongsangkan, menyerupai huruf T. Tanda-tanda ini diberikan bentuk modennya oleh William Oughtred (1657).

Paralelisme. Simbol itu digunakan oleh Heron dari Alexandria dan Pappus dari Alexandria. Pada mulanya simbol itu serupa dengan tanda sama semasa, tetapi dengan kemunculan yang terakhir, untuk mengelakkan kekeliruan, simbol itu dipusing secara menegak. Bangau dari Iskandariah

Nombor pi. π ≈ 3.1415926535... William Jones pada tahun 1706 π εριφέρεια ialah bulatan dan π ερίμετρος ialah perimeter, iaitu lilitan. Euler menyukai singkatan ini, yang karyanya akhirnya menyatukan sebutan itu. William Jones

sin Sinus dan kosinus cos Sinus (dari bahasa Latin) – sinus, rongga. Kochi-jiya, atau singkatannya ko-jiya. Coty - hujung melengkung busur Notasi trengkas moden telah diperkenalkan oleh William Oughtred dan ditubuhkan dalam karya Euler. "Arha-jiva" - dalam kalangan orang India - "half-string" Leonard Euler William Oughtred

Apa yang perlu dibuktikan (dsb.) "Quod erat demonstrandum" QED. Formula ini menamatkan setiap hujah matematik ahli matematik agung Yunani Purba, Euclid (abad ke-3 SM).

Bahasa matematik kuno adalah jelas kepada kita. Dalam fizik juga terdapat simbol dan istilah yang wujud dalam sains fizik. Tetapi bahasa matematik tidak hilang di kalangan formula fizikal. Sebaliknya, formula ini tidak boleh ditulis tanpa pengetahuan matematik.

Infiniti.J. Wallis (1655).

Pertama kali ditemui dalam risalah ahli matematik Inggeris John Valis "On Conic Sections".

Asas logaritma semula jadi. L. Euler (1736).

Pemalar matematik, nombor transendental. Nombor ini kadangkala dipanggil tidak berbulu sebagai penghormatan kepada orang Scotland saintis Napier, pengarang karya "Penerangan Jadual Logaritma Menakjubkan" (1614). Pemalar pertama kali muncul secara diam-diam dalam lampiran kepada terjemahan bahasa Inggeris karya Napier yang disebutkan di atas, yang diterbitkan pada tahun 1618. Pemalar itu sendiri pertama kali dikira oleh ahli matematik Switzerland Jacob Bernoulli semasa menyelesaikan masalah nilai mengehadkan pendapatan faedah.

2,71828182845904523...

Penggunaan pertama yang diketahui pemalar ini, di mana ia dilambangkan dengan huruf b, ditemui dalam surat Leibniz kepada Huygens, 1690-1691. surat e Euler mula menggunakannya pada tahun 1727, dan penerbitan pertama dengan surat ini ialah karyanya "Mechanics, or the Science of Motion, Explained Analytically" pada tahun 1736. Masing-masing, e biasa dipanggil Nombor Euler. Mengapa surat ini dipilih? e, betul-betul tidak diketahui. Mungkin ini disebabkan oleh fakta bahawa perkataan itu bermula dengannya eksponen(“indikatif”, “eksponen”). Andaian lain ialah huruf a, b, c Dan d telah digunakan secara meluas untuk tujuan lain, dan e ialah surat "percuma" pertama.

Nisbah lilitan kepada diameter. W. Jones (1706), L. Euler (1736).

Pemalar matematik, nombor tak rasional. Nombor "pi", nama lama ialah nombor Ludolph. Seperti mana-mana nombor tak rasional, π diwakili sebagai pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga:

π =3.141592653589793...

Untuk pertama kalinya, penunjukan nombor ini dengan huruf Yunani π digunakan oleh ahli matematik British William Jones dalam buku "Pengenalan Baru kepada Matematik", dan ia diterima umum selepas karya Leonhard Euler. Penamaan ini berasal dari huruf awal perkataan Yunani περιφερεια - bulatan, pinggir dan περιμετρος - perimeter. Johann Heinrich Lambert membuktikan ketidakrasionalan π pada tahun 1761, dan Adrienne Marie Legendre membuktikan ketidakrasionalan π 2 pada tahun 1774. Legendre dan Euler menganggap bahawa π boleh menjadi transendental, i.e. tidak dapat memenuhi sebarang persamaan algebra dengan pekali integer, yang akhirnya dibuktikan pada tahun 1882 oleh Ferdinand von Lindemann.

Unit khayalan. L. Euler (1777, dalam cetakan - 1794).

Adalah diketahui bahawa persamaan x 2 =1 mempunyai dua akar: 1 Dan -1 . Unit khayalan ialah salah satu daripada dua punca persamaan x 2 = -1, dilambangkan dengan huruf Latin i, akar lain: -i. Penamaan ini dicadangkan oleh Leonhard Euler, yang mengambil huruf pertama perkataan Latin untuk tujuan ini khayalan(khayal). Beliau juga meluaskan semua fungsi standard kepada domain kompleks, i.e. set nombor boleh diwakili sebagai a+ib, Di mana a Dan b- nombor nyata. Istilah "nombor kompleks" telah diperkenalkan secara meluas oleh ahli matematik Jerman Carl Gauss pada tahun 1831, walaupun istilah itu sebelum ini telah digunakan dalam pengertian yang sama oleh ahli matematik Perancis Lazare Carnot pada tahun 1803.

Vektor unit. W. Hamilton (1853).

Vektor unit sering dikaitkan dengan paksi koordinat sistem koordinat (khususnya, paksi sistem koordinat Cartesan). Vektor unit diarahkan sepanjang paksi X, dilambangkan i, vektor unit diarahkan sepanjang paksi Y, dilambangkan j, dan vektor unit yang diarahkan sepanjang paksi Z, dilambangkan k. vektor i, j, k dipanggil vektor unit, mereka mempunyai modul unit. Istilah "ort" diperkenalkan oleh ahli matematik dan jurutera Inggeris Oliver Heaviside (1892), dan notasi i, j, k- Ahli matematik Ireland William Hamilton.

Bahagian integer nombor, antie. K.Gauss (1808).

Bahagian integer nombor [x] nombor x ialah integer terbesar tidak melebihi x. Jadi, =5, [-3,6]=-4. Fungsi [x] juga dipanggil "antier of x". Simbol fungsi keseluruhan bahagian diperkenalkan oleh Carl Gauss pada tahun 1808. Sesetengah ahli matematik lebih suka menggunakan notasi E(x), yang dicadangkan pada tahun 1798 oleh Legendre.

Sudut selari. N.I. Lobachevsky (1835).

Pada satah Lobachevsky - sudut antara garis lurusb, melalui titik ituTENTANGselari dengan garisana, tidak mengandungi titikTENTANG, dan berserenjang dariTENTANG pada a. α - panjang serenjang ini. Apabila titik itu semakin menjauhTENTANG daripada garis lurus asudut selari berkurangan daripada 90° kepada 0°. Lobachevsky memberikan formula untuk sudut selariP( α )=2arctg e - α /q , di mana q— beberapa pemalar yang dikaitkan dengan kelengkungan ruang Lobachevsky.

Kuantiti tidak diketahui atau berubah-ubah. R. Descartes (1637).

Dalam matematik, pembolehubah ialah kuantiti yang dicirikan oleh set nilai yang boleh diambilnya. Ini mungkin bermakna kedua-dua kuantiti fizik sebenar, sementara dipertimbangkan secara berasingan daripada konteks fizikalnya, dan beberapa kuantiti abstrak yang tidak mempunyai analog dalam dunia nyata. Konsep pembolehubah timbul pada abad ke-17. pada mulanya di bawah pengaruh tuntutan sains semula jadi, yang membawa ke hadapan kajian pergerakan, proses, dan bukan hanya negeri. Konsep ini memerlukan bentuk baru untuk ekspresinya. Bentuk baharu tersebut ialah algebra huruf dan geometri analitik Rene Descartes. Buat pertama kalinya, sistem koordinat segi empat tepat dan tatatanda x, y telah diperkenalkan oleh Rene Descartes dalam karyanya "Discourse on Method" pada tahun 1637. Pierre Fermat juga menyumbang kepada pembangunan kaedah koordinat, tetapi karyanya pertama kali diterbitkan selepas kematiannya. Descartes dan Fermat menggunakan kaedah koordinat hanya pada satah. Kaedah koordinat untuk ruang tiga dimensi pertama kali digunakan oleh Leonhard Euler pada abad ke-18.

vektor. O. Cauchy (1853).

Sejak awal lagi, vektor difahami sebagai objek yang mempunyai magnitud, arah dan (sebagai pilihan) titik aplikasi. Permulaan kalkulus vektor muncul bersama dengan model geometri nombor kompleks dalam Gauss (1831). Hamilton menerbitkan operasi yang dibangunkan dengan vektor sebagai sebahagian daripada kalkulus kuaternionnya (vektor dibentuk oleh komponen khayalan kuaternion). Hamilton mencadangkan istilah itu vektor(dari perkataan Latin vektor, pembawa) dan menerangkan beberapa operasi analisis vektor. Maxwell menggunakan formalisme ini dalam karyanya tentang elektromagnetisme, dengan itu menarik perhatian saintis kepada kalkulus baru. Tidak lama kemudian Gibbs Elemen Analisis Vektor keluar (1880-an), dan kemudian Heaviside (1903) memberikan analisis vektor rupa modennya. Tanda vektor itu sendiri telah diperkenalkan untuk digunakan oleh ahli matematik Perancis Augustin Louis Cauchy pada tahun 1853.

Penambahan, penolakan. J. Widman (1489).

Tanda tambah dan tolak nampaknya dicipta dalam sekolah matematik Jerman "Kossists" (iaitu, ahli algebra). Ia digunakan dalam buku teks Jan (Johannes) Widmann A Quick and Pleasant Account for All Merchants, diterbitkan pada 1489. Sebelum ini, penambahan dilambangkan dengan surat itu hlm(dari bahasa Latin tambah lagi"lebih") atau perkataan Latin et(kata hubung “dan”), dan penolakan - huruf m(dari bahasa Latin tolak"kurang, kurang") Bagi Widmann, simbol tambah menggantikan bukan sahaja penambahan, tetapi juga kata hubung "dan." Asal usul simbol ini tidak jelas, tetapi kemungkinan besar ia sebelum ini digunakan dalam perdagangan sebagai penunjuk untung dan rugi. Kedua-dua simbol tidak lama kemudian menjadi biasa di Eropah - kecuali Itali, yang terus menggunakan sebutan lama selama kira-kira satu abad.

Pendaraban. W. Outred (1631), G. Leibniz (1698).

Tanda pendaraban dalam bentuk salib serong diperkenalkan pada tahun 1631 oleh orang Inggeris William Oughtred. Sebelumnya, surat itu paling kerap digunakan M, walaupun tatatanda lain turut dicadangkan: simbol segi empat tepat (ahli matematik Perancis Erigon, 1634), asterisk (ahli matematik Switzerland Johann Rahn, 1659). Kemudian, Gottfried Wilhelm Leibniz menggantikan salib dengan titik (akhir abad ke-17) supaya tidak mengelirukan dengan huruf x; sebelum beliau, perlambangan seperti itu ditemui di kalangan ahli astronomi dan matematik Jerman Regiomontanus (abad ke-15) dan saintis Inggeris Thomas Herriot (1560 -1621).

Bahagian. I.Ran (1659), G.Leibniz (1684).

William Oughtred menggunakan garis miring / sebagai tanda pembahagian. Gottfried Leibniz mula menandakan pembahagian dengan kolon. Sebelum mereka, surat itu juga sering digunakan D. Bermula dengan Fibonacci, garis mendatar pecahan juga digunakan, yang digunakan oleh Heron, Diophantus dan dalam karya Arab. Di England dan Amerika Syarikat, simbol ÷ (obelus), yang dicadangkan oleh Johann Rahn (mungkin dengan penyertaan John Pell) pada tahun 1659, menjadi meluas. Satu percubaan oleh Jawatankuasa Kebangsaan Amerika mengenai Piawaian Matematik ( Jawatankuasa Kebangsaan Keperluan Matematik) untuk mengeluarkan obelus daripada amalan (1923) tidak berjaya.

Peratus. M. de la Porte (1685).

Seperseratus daripada keseluruhan, diambil sebagai satu unit. Perkataan "peratus" itu sendiri berasal dari bahasa Latin "pro centum", yang bermaksud "seratus". Pada tahun 1685, buku "Manual Aritmetik Komersial" oleh Mathieu de la Porte diterbitkan di Paris. Di satu tempat mereka bercakap tentang peratusan, yang kemudiannya dinamakan "cto" (singkatan daripada cento). Walau bagaimanapun, pembuat taip mengira "cto" ini sebagai pecahan dan mencetak "%". Jadi, disebabkan kesilapan menaip, tanda ini mula digunakan.

Ijazah. R. Descartes (1637), I. Newton (1676).

Notasi moden untuk eksponen telah diperkenalkan oleh Rene Descartes dalam " Geometri"(1637), walau bagaimanapun, hanya untuk kuasa semula jadi dengan eksponen lebih besar daripada 2. Kemudian, Isaac Newton memperluaskan bentuk tatatanda ini kepada eksponen negatif dan pecahan (1676), tafsiran yang telah dicadangkan pada masa ini: ahli matematik Flemish dan jurutera Simon Stevin, ahli matematik Inggeris John Wallis dan ahli matematik Perancis Albert Girard.

Akar aritmetik n-kuasa ke- bagi nombor nyata A≥0, - nombor bukan negatif n-darjah ke- yang sama dengan A. Punca aritmetik darjah ke-2 dipanggil punca kuasa dua dan boleh ditulis tanpa menunjukkan darjah: √. Punca aritmetik darjah 3 dipanggil punca kubus. Ahli matematik zaman pertengahan (contohnya, Cardano) menandakan punca kuasa dua dengan simbol R x (daripada bahasa Latin Radix, akar). Notasi moden pertama kali digunakan oleh ahli matematik Jerman Christoph Rudolf, dari sekolah Cossist, pada tahun 1525. Simbol ini berasal daripada huruf pertama yang digayakan bagi perkataan yang sama radix. Pada mulanya tidak ada garis di atas ungkapan radikal; ia kemudiannya diperkenalkan oleh Descartes (1637) untuk tujuan yang berbeza (bukan kurungan), dan ciri ini tidak lama kemudian bergabung dengan tanda akar. Pada abad ke-16, akar kubus dilambangkan seperti berikut: R x .u.cu (dari lat. Radix universalis cubica). Albert Girard (1629) mula menggunakan tatatanda biasa untuk akar darjah sewenang-wenangnya. Format ini ditubuhkan terima kasih kepada Isaac Newton dan Gottfried Leibniz.

Logaritma, logaritma perpuluhan, logaritma asli. I. Kepler (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheim (1893).

Istilah "logaritma" dimiliki oleh ahli matematik Scotland John Napier ( "Penerangan tentang jadual logaritma yang menakjubkan", 1614); ia timbul daripada gabungan perkataan Yunani λογος (perkataan, hubungan) dan αριθμος (nombor). Logaritma J. Napier ialah nombor tambahan untuk mengukur nisbah dua nombor. Takrifan moden logaritma pertama kali diberikan oleh ahli matematik Inggeris William Gardiner (1742). Mengikut definisi, logaritma nombor b berdasarkan a (a ≠ 1, a > 0) - eksponen m, yang jumlahnya harus dinaikkan a(dipanggil asas logaritma) untuk mendapatkan b. Ditetapkan log a b. Jadi, m = log a b, Jika a m = b.

Jadual pertama logaritma perpuluhan diterbitkan pada tahun 1617 oleh profesor matematik Oxford Henry Briggs. Oleh itu, di luar negara, logaritma perpuluhan sering dipanggil logaritma Briggs. Istilah "logaritma semulajadi" diperkenalkan oleh Pietro Mengoli (1659) dan Nicholas Mercator (1668), walaupun guru matematik London John Spidell menyusun jadual logaritma semula jadi pada tahun 1619.

Sehingga akhir abad ke-19, tiada tatatanda yang diterima umum untuk logaritma, asas a ditunjukkan di sebelah kiri dan di atas simbol log, kemudian di atasnya. Akhirnya, ahli matematik membuat kesimpulan bahawa tempat yang paling sesuai untuk pangkalan adalah di bawah garis, selepas simbol log. Tanda logaritma - hasil singkatan perkataan "logaritma" - muncul dalam pelbagai bentuk hampir serentak dengan kemunculan jadual pertama logaritma, mis. Log- oleh I. Kepler (1624) dan G. Briggs (1631), log- oleh B. Cavalieri (1632). Jawatan ln kerana logaritma asli telah diperkenalkan oleh ahli matematik Jerman Alfred Pringsheim (1893).

Sinus, kosinus, tangen, kotangen. W. Outred (pertengahan abad ke-17), I. Bernoulli (abad ke-18), L. Euler (1748, 1753).

Singkatan untuk sinus dan kosinus telah diperkenalkan oleh William Oughtred pada pertengahan abad ke-17. Singkatan untuk tangen dan kotangen: tg, ctg diperkenalkan oleh Johann Bernoulli pada abad ke-18, mereka menjadi meluas di Jerman dan Rusia. Di negara lain nama fungsi ini digunakan sawo matang, katil bayi dicadangkan oleh Albert Girard lebih awal lagi, pada awal abad ke-17. Leonhard Euler (1748, 1753) membawa teori fungsi trigonometri ke dalam bentuk modennya, dan kami berhutang kepadanya untuk penyatuan simbolisme sebenar.Istilah "fungsi trigonometri" diperkenalkan oleh ahli matematik dan fizik Jerman Georg Simon Klügel pada tahun 1770.

Ahli matematik India pada asalnya memanggil garis sinus "arha-jiva"("separuh rentetan", iaitu separuh kord), kemudian perkataan "archa" telah dibuang dan garis sinus mula dipanggil ringkas "jiva". Penterjemah bahasa Arab tidak menterjemah perkataan tersebut "jiva" perkataan Arab "vatar", menandakan rentetan dan kord, dan ditranskripsikan dalam huruf Arab dan mula memanggil garis sinus "jiba". Oleh kerana dalam bahasa Arab vokal pendek tidak ditanda, tetapi panjang "i" dalam perkataan "jiba" dilambangkan dengan cara yang sama seperti semivokal "th", orang Arab mula menyebut nama baris sinus "jibe", yang bermaksud "berongga", "resdung". Apabila menterjemah karya Arab ke dalam bahasa Latin, penterjemah Eropah menterjemah perkataan tersebut "jibe" perkataan Latin resdung, mempunyai makna yang sama.Istilah "tangen" (dari lat.tangen- menyentuh) telah diperkenalkan oleh ahli matematik Denmark Thomas Fincke dalam bukunya The Geometry of the Round (1583).

Arcsine. K. Scherfer (1772), J. Lagrange (1772).

Fungsi trigonometri songsang ialah fungsi matematik yang merupakan songsang bagi fungsi trigonometri. Nama fungsi trigonometri songsang dibentuk daripada nama fungsi trigonometri yang sepadan dengan menambahkan awalan "arka" (dari Lat. arka- arka).Fungsi trigonometri songsang biasanya merangkumi enam fungsi: arcsine (arcsin), arccosine (arccos), arctangent (arctg), arccotangent (arcctg), arcsecant (arcsec) dan arccosecant (arccosec). Simbol khas untuk fungsi trigonometri songsang pertama kali digunakan oleh Daniel Bernoulli (1729, 1736).Cara menandakan fungsi trigonometri songsang menggunakan awalan arka(dari lat. arcus, arc) muncul bersama ahli matematik Austria Karl Scherfer dan disatukan terima kasih kepada ahli matematik, astronomi dan mekanik Perancis Joseph Louis Lagrange. Ia bermaksud, sebagai contoh, sinus biasa membolehkan seseorang mencari kord yang menyarikanya sepanjang lengkok bulatan, dan fungsi songsang menyelesaikan masalah yang bertentangan. Sehingga akhir abad ke-19, sekolah matematik Inggeris dan Jerman mencadangkan tatatanda lain: sin -1 dan 1/sin, tetapi ia tidak digunakan secara meluas.

Sinus hiperbolik, kosinus hiperbolik. V. Riccati (1757).

Ahli sejarah menemui penampilan pertama fungsi hiperbola dalam karya ahli matematik Inggeris Abraham de Moivre (1707, 1722). Definisi moden dan kajian terperinci mengenainya telah dijalankan oleh Vincenzo Riccati Itali pada tahun 1757 dalam karyanya "Opusculorum", dia juga mencadangkan sebutan mereka: sh,ch. Riccati bermula daripada mempertimbangkan hiperbola unit. Penemuan bebas dan kajian lanjut tentang sifat-sifat fungsi hiperbolik telah dijalankan oleh ahli matematik, ahli fizik dan ahli falsafah Jerman Johann Lambert (1768), yang mewujudkan keselarian yang luas bagi rumus trigonometri biasa dan hiperbolik. N.I. Lobachevsky kemudiannya menggunakan paralelisme ini dalam percubaan untuk membuktikan ketekalan geometri bukan Euclidean, di mana trigonometri biasa digantikan dengan yang hiperbolik.

Sama seperti sinus trigonometri dan kosinus ialah koordinat titik pada bulatan koordinat, sinus hiperbolik dan kosinus ialah koordinat titik pada hiperbola. Fungsi hiperbolik dinyatakan dalam bentuk eksponen dan berkait rapat dengan fungsi trigonometri: sh(x)=0.5(e x -e -x) , ch(x)=0.5(e x +e -x). Dengan analogi dengan fungsi trigonometri, tangen hiperbolik dan kotangen ditakrifkan sebagai nisbah sinus hiperbolik dan kosinus, kosinus dan sinus, masing-masing.

Berbeza. G. Leibniz (1675, diterbitkan 1684).

Bahagian utama, linear kenaikan fungsi.Jika fungsi y=f(x) satu pembolehubah x mempunyai pada x=x 0derivatif, dan kenaikanΔy=f(x 0 +?x)-f(x 0)fungsi f(x) boleh diwakili dalam bentukΔy=f"(x 0 )Δx+R(Δx) , mana ahlinya R sangat kecil berbanding denganΔx. Ahli pertamady=f"(x 0 )Δxdalam pengembangan ini dan dipanggil pembezaan fungsi f(x) pada titikx 0. DALAM karya Gottfried Leibniz, Jacob dan Johann Bernoulli perkataan itu"perbezaan"digunakan dalam erti kata "kenaikan", ia dilambangkan oleh I. Bernoulli melalui Δ. G. Leibniz (1675, diterbitkan 1684) menggunakan tatatanda untuk "perbezaan sangat kecil"d- huruf pertama perkataan"perbezaan", dibentuk olehnya daripada"perbezaan".

Kamiran tak tentu. G. Leibniz (1675, diterbitkan 1686).

Perkataan "integral" pertama kali digunakan dalam cetakan oleh Jacob Bernoulli (1690). Mungkin istilah itu berasal dari bahasa Latin integer- keseluruhan. Menurut andaian lain, asasnya ialah perkataan Latin integro- bawa ke keadaan sebelumnya, pulihkan. Tanda ∫ digunakan untuk mewakili kamiran dalam matematik dan merupakan perwakilan bergaya bagi huruf pertama perkataan Latin summa - jumlah. Ia pertama kali digunakan oleh ahli matematik Jerman dan pengasas kalkulus pembezaan dan kamiran, Gottfried Leibniz, pada akhir abad ke-17. Seorang lagi pengasas kalkulus pembezaan dan kamiran, Isaac Newton, tidak mencadangkan simbolisme alternatif untuk kamiran dalam karyanya, walaupun dia mencuba pelbagai pilihan: bar menegak di atas fungsi atau simbol segi empat sama yang berdiri di hadapan fungsi atau bersempadan dengannya. Kamiran tak tentu bagi suatu fungsi y=f(x) ialah set semua antiderivatif bagi fungsi tertentu.

Kamiran pasti. J. Fourier (1819-1822).

Kamiran pasti bagi suatu fungsi f(x) dengan had yang lebih rendah a dan had atas b boleh ditakrifkan sebagai perbezaan F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , Di mana F(x)- beberapa antiterbitan fungsi f(x) . Kamiran pasti a ∫ b f(x)dx secara berangka sama dengan luas rajah yang dibatasi oleh paksi-x dan garis lurus x=a Dan x=b dan graf bagi fungsi tersebut f(x). Reka bentuk kamiran pasti dalam bentuk yang kita kenali telah dicadangkan oleh ahli matematik dan fizik Perancis Jean Baptiste Joseph Fourier pada awal abad ke-19.

Derivatif. G. Leibniz (1675), J. Lagrange (1770, 1779).

Derivatif ialah konsep asas kalkulus pembezaan, mencirikan kadar perubahan fungsi f(x) apabila hujah berubah x . Ia ditakrifkan sebagai had nisbah kenaikan fungsi kepada kenaikan hujahnya kerana kenaikan hujah cenderung kepada sifar, jika had sedemikian wujud. Fungsi yang mempunyai terbitan terhingga pada satu titik dipanggil boleh dibezakan pada titik itu. Proses pengiraan derivatif dipanggil pembezaan. Proses sebaliknya ialah integrasi. Dalam kalkulus pembezaan klasik, terbitan paling kerap ditakrifkan melalui konsep teori had, tetapi dari segi sejarah teori had muncul kemudian daripada kalkulus pembezaan.

Istilah "derivatif" telah diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange pada tahun 1797, denotasi derivatif menggunakan perdana juga diperkenalkan oleh beliau (1770, 1779), dan dy/dx- Gottfried Leibniz pada tahun 1675. Cara menandakan terbitan masa dengan titik di atas huruf berasal dari Newton (1691).Istilah Rusia "derivatif fungsi" pertama kali digunakan oleh seorang ahli matematik RusiaVasily Ivanovich Viskovatov (1779-1812).

Derivatif separa. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).

Untuk fungsi banyak pembolehubah, derivatif separa ditakrifkan - derivatif berkenaan dengan salah satu hujah, dikira di bawah andaian bahawa hujah yang tinggal adalah malar. Jawatan ∂f/ ∂ x, ∂ z/ ∂ y diperkenalkan oleh ahli matematik Perancis Adrien Marie Legendre pada tahun 1786; fx",z x"- Joseph Louis Lagrange (1797, 1801); ∂ 2 z/ ∂ x 2, ∂ 2 z/ ∂ x ∂ y- terbitan separa urutan kedua - ahli matematik Jerman Carl Gustav Jacob Jacobi (1837).

Perbezaan, kenaikan. I. Bernoulli (akhir abad ke-17 - separuh pertama abad ke-18), L. Euler (1755).

Penamaan kenaikan dengan huruf Δ pertama kali digunakan oleh ahli matematik Switzerland Johann Bernoulli. Simbol delta mula digunakan secara umum selepas karya Leonhard Euler pada tahun 1755.

Jumlah. L. Euler (1755).

Jumlah ialah hasil penambahan kuantiti (nombor, fungsi, vektor, matriks, dll.). Untuk menyatakan jumlah n nombor a 1, a 2, ..., a n, huruf Yunani “sigma” Σ digunakan: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a i. Tanda Σ untuk jumlah itu diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1755.

Kerja. K.Gauss (1812).

Hasil darab ialah hasil darab. Untuk menyatakan hasil darab n nombor a 1, a 2, ..., a n, huruf Yunani pi Π digunakan: a 1 · a 2 · ... · a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Contohnya, 1 · 3 · 5 · ... · 97 · 99 = ? 50 1 (2i-1). Tanda Π untuk produk diperkenalkan oleh ahli matematik Jerman Carl Gauss pada tahun 1812. Dalam kesusasteraan matematik Rusia, istilah "produk" pertama kali ditemui oleh Leonty Filippovich Magnitsky pada tahun 1703.

Faktorial. K. Crump (1808).

Faktorial bagi nombor n (ditandakan n!, disebut "en faktorial") ialah hasil darab semua nombor asli hingga n termasuk: n! = 1·2·3·...·n. Sebagai contoh, 5! = 1·2·3·4·5 = 120. Mengikut takrifan, 0 diandaikan! = 1. Faktorial ditakrifkan hanya untuk integer bukan negatif. Faktorial bagi n adalah sama dengan bilangan pilih atur bagi n unsur. Sebagai contoh, 3! = 6, sesungguhnya,

♣ ♦

♦ ♣

Semua enam dan hanya enam pilih atur bagi tiga elemen.

Istilah "faktorial" diperkenalkan oleh ahli matematik dan ahli politik Perancis Louis Francois Antoine Arbogast (1800), sebutan n! - Ahli matematik Perancis Christian Crump (1808).

Modul, nilai mutlak. K. Weierstrass (1841).

Nilai mutlak nombor nyata x ialah nombor bukan negatif yang ditakrifkan seperti berikut: |x| = x untuk x ≥ 0 dan |x| = -x untuk x ≤ 0. Contohnya, |7| = 7, |- 0.23| = -(-0.23) = 0.23. Modulus bagi nombor kompleks z = a + ib ialah nombor nyata bersamaan dengan √(a 2 + b 2).

Adalah dipercayai bahawa istilah "modul" telah dicadangkan oleh ahli matematik dan ahli falsafah Inggeris, pelajar Newton, Roger Cotes. Gottfried Leibniz juga menggunakan fungsi ini, yang dipanggilnya "modulus" dan dilambangkan: mol x. Notasi yang diterima umum untuk nilai mutlak telah diperkenalkan pada tahun 1841 oleh ahli matematik Jerman Karl Weierstrass. Untuk nombor kompleks, konsep ini telah diperkenalkan oleh ahli matematik Perancis Augustin Cauchy dan Jean Robert Argan pada awal abad ke-19. Pada tahun 1903, saintis Austria Konrad Lorenz menggunakan simbolisme yang sama untuk panjang vektor.

norma. E. Schmidt (1908).

Norma ialah fungsi yang ditakrifkan pada ruang vektor dan menggeneralisasikan konsep panjang vektor atau modulus nombor. Tanda "norma" (dari perkataan Latin "norma" - "peraturan", "corak") diperkenalkan oleh ahli matematik Jerman Erhard Schmidt pada tahun 1908.

had. S. Lhuillier (1786), W. Hamilton (1853), ramai ahli matematik (sehingga awal abad kedua puluh)

Had adalah salah satu konsep asas analisis matematik, yang bermaksud bahawa nilai pembolehubah tertentu dalam proses perubahannya yang dipertimbangkan selama-lamanya menghampiri nilai tetap tertentu. Konsep had digunakan secara intuitif pada separuh kedua abad ke-17 oleh Isaac Newton, serta oleh ahli matematik abad ke-18 seperti Leonhard Euler dan Joseph Louis Lagrange. Takrifan ketat pertama bagi had jujukan telah diberikan oleh Bernard Bolzano pada tahun 1816 dan Augustin Cauchy pada tahun 1821. Simbol lim (3 huruf pertama dari perkataan Latin limes - border) muncul pada tahun 1787 oleh ahli matematik Switzerland Simon Antoine Jean Lhuillier, tetapi penggunaannya belum lagi menyerupai yang moden. Ungkapan lim dalam bentuk yang lebih dikenali pertama kali digunakan oleh ahli matematik Ireland William Hamilton pada tahun 1853.Weierstrass memperkenalkan sebutan yang hampir dengan yang moden, tetapi bukannya anak panah yang biasa, dia menggunakan tanda yang sama. Anak panah itu muncul pada awal abad ke-20 di kalangan beberapa ahli matematik sekaligus - contohnya, ahli matematik Inggeris Godfried Hardy pada tahun 1908.

Fungsi Zeta, d Fungsi Riemann zeta. B. Riemann (1857).

Fungsi analisis pembolehubah kompleks s = σ + ia, untuk σ > 1, ditentukan secara mutlak dan seragam oleh siri Dirichlet yang menumpu:

ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .

Untuk σ > 1, perwakilan dalam bentuk produk Euler adalah sah:

ζ(s) = Π hlm (1-p -s) -s ,

di mana produk diambil alih semua p perdana. Fungsi zeta memainkan peranan yang besar dalam teori nombor.Sebagai fungsi pembolehubah sebenar, fungsi zeta telah diperkenalkan pada tahun 1737 (diterbitkan pada tahun 1744) oleh L. Euler, yang menunjukkan pengembangannya kepada produk. Fungsi ini kemudiannya dipertimbangkan oleh ahli matematik Jerman L. Dirichlet dan, terutamanya berjaya, oleh ahli matematik dan mekanik Rusia P.L. Chebyshev apabila mengkaji hukum taburan nombor perdana. Walau bagaimanapun, sifat paling mendalam bagi fungsi zeta ditemui kemudian, selepas kerja ahli matematik Jerman Georg Friedrich Bernhard Riemann (1859), di mana fungsi zeta dianggap sebagai fungsi pembolehubah kompleks; Beliau juga memperkenalkan nama "fungsi zeta" dan sebutan ζ(s) pada tahun 1857.

Fungsi gamma, fungsi Euler Γ. A. Legendre (1814).

Fungsi Gamma ialah fungsi matematik yang memanjangkan konsep faktorial kepada bidang nombor kompleks. Biasanya dilambangkan dengan Γ(z). Fungsi G mula diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1729; ia ditentukan oleh formula:

Γ(z) = limn→∞ n!·n z /z(z+1)...(z+n).

Sebilangan besar kamiran, hasil tak terhingga dan hasil tambah siri dinyatakan melalui fungsi G. Digunakan secara meluas dalam teori nombor analisis. Nama "Fungsi Gamma" dan notasi Γ(z) telah dicadangkan oleh ahli matematik Perancis Adrien Marie Legendre pada tahun 1814.

Fungsi beta, fungsi B, fungsi Euler B. J. Binet (1839).

Fungsi dua pembolehubah p dan q, ditakrifkan untuk p>0, q>0 oleh kesamaan:

B(p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.

Fungsi beta boleh dinyatakan melalui fungsi Γ: B(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q).Sama seperti fungsi gamma untuk integer ialah generalisasi faktorial, fungsi beta, dalam erti kata lain, generalisasi pekali binomial.

Fungsi beta menerangkan banyak sifatzarah asas mengambil bahagian dalam interaksi yang kuat. Ciri ini diperhatikan oleh ahli fizik teori ItaliGabriele Veneziano pada tahun 1968. Ini menandakan permulaan teori rentetan.

Nama "fungsi beta" dan sebutan B(p, q) telah diperkenalkan pada tahun 1839 oleh ahli matematik, mekanik dan astronomi Perancis Jacques Philippe Marie Binet.

Pengendali Laplace, Laplacian. R. Murphy (1833).

Operator pembezaan linear Δ, yang memberikan fungsi φ(x 1, x 2, ..., x n) daripada n pembolehubah x 1, x 2, ..., x n:

Δφ = ∂ 2 φ/∂х 1 2 + ∂ 2 φ/∂х 2 2 + ... + ∂ 2 φ/∂х n 2.

Khususnya, untuk fungsi φ(x) satu pembolehubah, pengendali Laplace bertepatan dengan pengendali terbitan ke-2: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Persamaan Δφ = 0 biasanya dipanggil persamaan Laplace; Di sinilah nama "operator Laplace" atau "Laplacian" berasal. Penamaan Δ diperkenalkan oleh ahli fizik dan matematik Inggeris Robert Murphy pada tahun 1833.

Pengendali Hamilton, pengendali nabla, Hamiltonian. O. Heaviside (1892).

Pengendali pembezaan vektor bagi bentuk

∇ = ∂/∂x i+ ∂/∂y · j+ ∂/∂z · k,

di mana i, j, Dan k- vektor unit koordinat. Operasi asas analisis vektor, serta pengendali Laplace, dinyatakan secara semula jadi melalui pengendali Nabla.

Pada tahun 1853, ahli matematik Ireland William Rowan Hamilton memperkenalkan pengendali ini dan mencipta simbol ∇ untuknya sebagai huruf Yunani terbalik Δ (delta). Di Hamilton, hujung simbol menunjuk ke kiri kemudian, dalam karya ahli matematik dan fizik Scotland Peter Guthrie Tate, simbol itu memperoleh bentuk modennya. Hamilton memanggil simbol ini "atled" (perkataan "delta" dibaca ke belakang). Kemudian, sarjana Inggeris, termasuk Oliver Heaviside, mula memanggil simbol ini "nabla", selepas nama huruf ∇ dalam abjad Phoenicia, di mana ia berlaku. Asal usul surat itu dikaitkan dengan alat muzik seperti kecapi, ναβλα (nabla) dalam bahasa Yunani kuno yang bermaksud "kecapi". Pengendali itu dipanggil pengendali Hamilton, atau pengendali nabla.

Fungsi. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).

Konsep matematik yang menggambarkan hubungan antara unsur-unsur set. Kita boleh mengatakan bahawa fungsi ialah "undang-undang", "peraturan" mengikut mana setiap elemen satu set (dipanggil domain definisi) dikaitkan dengan beberapa elemen set lain (dipanggil domain nilai). Konsep matematik fungsi menyatakan idea intuitif tentang bagaimana satu kuantiti sepenuhnya menentukan nilai kuantiti lain. Selalunya istilah "fungsi" merujuk kepada fungsi berangka; iaitu fungsi yang meletakkan beberapa nombor dalam surat-menyurat dengan yang lain. Untuk masa yang lama, ahli matematik menyatakan hujah tanpa tanda kurung, sebagai contoh, seperti ini - φх.Notasi ini pertama kali digunakan oleh ahli matematik Switzerland Johann Bernoulli pada tahun 1718.Tanda kurung hanya digunakan dalam kes berbilang hujah atau jika hujah itu merupakan ungkapan yang kompleks. Gema pada masa itu adalah rakaman yang masih digunakan hari inidosa x, log x

dll. Tetapi secara beransur-ansur penggunaan kurungan, f(x) , menjadi peraturan umum. Dan kredit utama untuk ini adalah milik Leonard Euler.

Kesaksamaan. R. Rekod (1557). Tanda sama telah dicadangkan oleh doktor Wales dan ahli matematik Robert Record pada tahun 1557; garis besar simbol adalah lebih panjang daripada yang semasa, kerana ia meniru imej dua segmen selari. Penulis menjelaskan bahawa tidak ada yang lebih sama di dunia daripada dua segmen selari dengan panjang yang sama. Sebelum ini, dalam matematik kuno dan zaman pertengahan kesamaan dilambangkan secara lisan (contohnya egale ). Pada abad ke-17, Rene Descartes mula menggunakan æ (dari lat.), dan dia menggunakan tanda sama moden untuk menunjukkan bahawa pekali boleh menjadi negatif. François Viète menggunakan tanda sama untuk menunjukkan penolakan. Simbol Rekod tidak tersebar luas serta-merta. Penyebaran simbol Rekod telah dihalang oleh fakta bahawa sejak zaman purba simbol yang sama digunakan untuk menunjukkan keselarian garis lurus; Pada akhirnya, ia telah memutuskan untuk menjadikan simbol selari menegak. Di benua Eropah, tanda "=" diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz hanya pada pergantian abad ke-17-18, iaitu, lebih daripada 100 tahun selepas kematian Robert Record, yang pertama kali menggunakannya untuk tujuan ini.

Lebih kurang sama, lebih kurang sama. A.Gunther (1882).

tandatangan " ≈ " telah diperkenalkan untuk digunakan sebagai simbol untuk hubungan "lebih kurang sama" oleh ahli matematik dan fizik Jerman Adam Wilhelm Sigmund Günther pada tahun 1882.

Lebih, kurang. T. Harriot (1631).

Kedua-dua tanda ini diperkenalkan untuk digunakan oleh ahli astronomi, ahli matematik, ahli etnografi dan penterjemah Inggeris Thomas Harriot pada tahun 1631 sebelum itu, perkataan "lebih" dan "kurang" digunakan.

Kebolehbandingan. K.Gauss (1801).

Perbandingan ialah hubungan antara dua integer n dan m, bermakna perbezaan n-m nombor ini dibahagikan dengan integer a, dipanggil modulus perbandingan; ia ditulis: n≡m(mod а) dan berbunyi “nombor n dan m ialah modulo a setanding”. Contohnya, 3≡11(mod 4), kerana 3-11 boleh dibahagi dengan 4; nombor 3 dan 11 adalah modulo sebanding 4. Kongruen mempunyai banyak sifat yang serupa dengan kesamaan. Oleh itu, istilah yang terletak di satu bahagian perbandingan boleh dipindahkan dengan tanda bertentangan ke bahagian lain, dan perbandingan dengan modul yang sama boleh ditambah, ditolak, didarab, kedua-dua bahagian perbandingan boleh didarab dengan nombor yang sama, dsb. .

3≡9+2(mod 4) dan 3-2≡9(mod 4)

Pada masa yang sama perbandingan yang benar. Dan daripada sepasang perbandingan yang betul 3≡11(mod 4) dan 1≡5(mod 4) perkara berikut:

3+1≡11+5(mod 4)

3-1≡11-5(mod 4)

3·1≡11·5(mod 4)

3 2 ≡11 2 (mod 4)

3·23≡11·23(mod 4)

Teori nombor memperkatakan kaedah untuk menyelesaikan pelbagai perbandingan, i.e. kaedah untuk mencari integer yang memenuhi perbandingan satu jenis atau yang lain. Perbandingan modulo pertama kali digunakan oleh ahli matematik Jerman Carl Gauss dalam buku 1801 Arithmetic Studies. Beliau juga mencadangkan simbolisme untuk perbandingan yang ditubuhkan dalam matematik.

identiti. B. Riemann (1857).

Identiti ialah kesamaan dua ungkapan analitikal, sah untuk sebarang nilai yang dibenarkan bagi huruf yang disertakan di dalamnya. Kesamaan a+b = b+a adalah sah untuk semua nilai berangka a dan b, dan oleh itu adalah identiti. Untuk merekodkan identiti, dalam beberapa kes, sejak 1857, tanda “≡” (dibaca “identically equal”) telah digunakan, yang pengarangnya dalam penggunaan ini ialah ahli matematik Jerman Georg Friedrich Bernhard Riemann. Anda boleh menulis a+b ≡ b+a.

Perpendicularity. P. Erigon (1634).

Perpendicularity ialah kedudukan relatif dua garis lurus, satah, atau garis lurus dan satah, di mana angka yang ditunjukkan membentuk sudut tepat. Tanda ⊥ untuk menandakan perpendicularity telah diperkenalkan pada tahun 1634 oleh ahli matematik dan astronomi Perancis Pierre Erigon. Konsep perpendicularity mempunyai beberapa generalisasi, tetapi semuanya, sebagai peraturan, disertai dengan tanda ⊥.

Paralelisme. W. Outred (edisi anumerta 1677).

Paralelisme ialah hubungan antara angka geometri tertentu; contohnya, lurus. Ditakrifkan secara berbeza bergantung pada geometri yang berbeza; contohnya, dalam geometri Euclid dan dalam geometri Lobachevsky. Tanda paralelisme telah diketahui sejak zaman dahulu, ia digunakan oleh Heron dan Pappus dari Alexandria. Pada mulanya, simbol adalah serupa dengan tanda sama semasa (hanya lebih lanjutan), tetapi dengan kemunculan yang terakhir, untuk mengelakkan kekeliruan, simbol itu dipusing secara menegak ||. Ia muncul dalam bentuk ini buat kali pertama dalam edisi anumerta karya ahli matematik Inggeris William Oughtred pada tahun 1677.

Persimpangan, kesatuan. J. Peano (1888).

Persilangan set ialah set yang mengandungi unsur-unsur itu dan hanya unsur-unsur yang secara serentak dimiliki oleh semua set yang diberikan. Kesatuan set ialah set yang mengandungi semua elemen set asal. Persilangan dan kesatuan juga dipanggil operasi pada set yang menetapkan set baharu kepada set tertentu mengikut peraturan yang dinyatakan di atas. Ditandakan dengan ∩ dan ∪, masing-masing. Contohnya, jika

A= (♠ ♣ ) Dan B= (♣ ♦),

Itu

A∩B= {♣ }

A∪B= {♠ ♣ ♦ } .

Mengandungi, mengandungi. E. Schroeder (1890).

Jika A dan B ialah dua set dan tiada unsur dalam A yang bukan milik B, maka mereka mengatakan bahawa A terkandung dalam B. Mereka menulis A⊂B atau B⊃A (B mengandungi A). Sebagai contoh,

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }

{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }

Simbol "mengandungi" dan "mengandungi" muncul pada tahun 1890 oleh ahli matematik dan logik Jerman Ernst Schroeder.

Gabungan. J. Peano (1895).

Jika a ialah unsur set A, maka tulis a∈A dan baca “a kepunyaan A.” Jika a bukan unsur set A, tulis a∉A dan baca “a bukan milik A.” Pada mulanya, hubungan "terkandung" dan "kepunyaan" ("adalah unsur") tidak dibezakan, tetapi dari masa ke masa konsep ini memerlukan pembezaan. Simbol ∈ pertama kali digunakan oleh ahli matematik Itali Giuseppe Peano pada tahun 1895. Simbol ∈ berasal daripada huruf pertama perkataan Yunani εστι - menjadi.

Pengkuantiti kesejagatan, pengkuantiti kewujudan. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).

Pengkuantiti ialah nama umum untuk operasi logik yang menunjukkan domain kebenaran predikat (pernyataan matematik). Ahli falsafah telah lama memberi perhatian kepada operasi logik yang mengehadkan domain kebenaran predikat, tetapi tidak mengenal pasti mereka sebagai kelas operasi yang berasingan. Walaupun pembinaan pengkuantiti-logik digunakan secara meluas dalam ucapan saintifik dan harian, pemformalannya hanya berlaku pada tahun 1879, dalam buku ahli logik, ahli matematik dan ahli falsafah Jerman Friedrich Ludwig Gottlob Frege "The Calculus of Concepts". Notasi Frege kelihatan seperti pembinaan grafik yang menyusahkan dan tidak diterima. Selepas itu, banyak lagi simbol yang berjaya dicadangkan, tetapi notasi yang diterima umum ialah ∃ untuk pengkuantiti wujud (baca "wujud", "ada"), yang dicadangkan oleh ahli falsafah, ahli logik dan ahli matematik Amerika Charles Peirce pada tahun 1885, dan ∀ untuk pengkuantiti universal (baca "mana-mana", "setiap", "semua orang"), yang dibentuk oleh ahli matematik dan logik Jerman Gerhard Karl Erich Gentzen pada tahun 1935 dengan analogi dengan simbol pengkuantiti kewujudan (huruf pertama terbalik perkataan Inggeris Kewujudan (kewujudan) dan Mana-mana (mana-mana)). Sebagai contoh, rekod

(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)

berbunyi seperti ini: “untuk mana-mana ε>0 terdapat δ>0 supaya untuk semua x tidak sama dengan x 0 dan memuaskan ketaksamaan |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".

Set kosong. N. Bourbaki (1939).

Satu set yang tidak mengandungi satu elemen. Tanda set kosong telah diperkenalkan dalam buku Nicolas Bourbaki pada tahun 1939. Bourbaki ialah nama samaran kolektif sekumpulan ahli matematik Perancis yang dicipta pada tahun 1935. Salah seorang ahli kumpulan Bourbaki ialah Andre Weil, pengarang simbol Ø.

Q.E.D. D. Knuth (1978).

Dalam matematik, pembuktian difahami sebagai urutan penaakulan yang dibina berdasarkan peraturan tertentu, menunjukkan bahawa pernyataan tertentu adalah benar. Sejak Renaissance, penghujung bukti telah dilambangkan oleh ahli matematik dengan singkatan "Q.E.D.", daripada ungkapan Latin "Quod Erat Demonstrandum" - "Apa yang diperlukan untuk dibuktikan." Semasa mencipta sistem susun atur komputer ΤΕΧ pada tahun 1978, profesor sains komputer Amerika Donald Edwin Knuth menggunakan simbol: persegi yang diisi, yang dipanggil "simbol Halmos", dinamakan sempena ahli matematik Amerika kelahiran Hungary, Paul Richard Halmos. Hari ini, penyiapan bukti biasanya ditunjukkan oleh Simbol Halmos. Sebagai alternatif, tanda-tanda lain digunakan: segi empat sama kosong, segi tiga tepat, // (dua garis miring ke hadapan), serta singkatan Rusia "ch.t.d."

tatatanda matematik(“bahasa matematik”) ialah sistem tatatanda grafik kompleks yang digunakan untuk mempersembahkan idea dan pertimbangan matematik abstrak dalam bentuk yang boleh dibaca manusia. Ia membentuk (dalam kerumitan dan kepelbagaiannya) sebahagian besar sistem tanda bukan pertuturan yang digunakan oleh manusia. Artikel ini menghuraikan sistem tatatanda antarabangsa yang diterima umum, walaupun pelbagai budaya pada masa lampau mempunyai budayanya sendiri, malah sesetengah daripadanya mempunyai penggunaan terhad sehingga hari ini.

Ambil perhatian bahawa notasi matematik, sebagai peraturan, digunakan bersama-sama dengan bentuk bertulis beberapa bahasa semula jadi.

Selain matematik asas dan gunaan, tatatanda matematik digunakan secara meluas dalam fizik, serta (setakat yang terhad) dalam kejuruteraan, sains komputer, ekonomi, dan secara amnya dalam semua bidang aktiviti manusia di mana model matematik digunakan. Perbezaan antara gaya tatatanda matematik dan gunaan yang betul akan dibincangkan di seluruh teks.

YouTube ensiklopedia

1 / 5

✪ Log masuk / masuk matematik

✪ Matematik darjah 3. Jadual digit nombor berbilang digit

✪ Set dalam matematik

✪ Matematik 19. Keseronokan matematik - sekolah Shishkina

Sari kata

hello! Video ini bukan tentang matematik, tetapi lebih kepada etimologi dan semiotik. Tetapi saya pasti anda akan menyukainya. jom pergi! Adakah anda sedar bahawa pencarian penyelesaian kepada persamaan padu dalam bentuk umum mengambil masa beberapa abad oleh ahli matematik? Ini sebahagiannya mengapa? Kerana tidak ada simbol yang jelas untuk pemikiran yang jelas, mungkin sudah tiba masanya kita. Terdapat begitu banyak simbol yang anda boleh keliru. Tetapi anda dan saya tidak boleh tertipu, mari kita fikirkan. Ini ialah huruf besar terbalik A. Ini sebenarnya adalah huruf Inggeris, disenaraikan pertama dalam perkataan "semua" dan "sebarang". Dalam bahasa Rusia, simbol ini, bergantung pada konteks, boleh dibaca seperti ini: untuk sesiapa sahaja, semua orang, semua orang, segala-galanya dan sebagainya. Kami akan memanggil hieroglif sedemikian sebagai pengkuantiti sejagat. Dan inilah pengkuantiti lain, tetapi sudah wujud. Huruf Inggeris e dicerminkan dalam Paint dari kiri ke kanan, dengan itu membayangkan kata kerja luar negara "wujud", dengan cara kita kita akan membaca: ada, ada, ada, dan dengan cara lain yang serupa. Tanda seru kepada pengkuantiti kewujudan sedemikian akan menambah keunikan. Ya, saya tahu bahawa anda bukan lagi kecil, tetapi tetap tepuk tangan saya untuk mereka yang menyelesaikan latihan ini. Baiklah, sudah cukup, mari kita ingat set berangka. Nombor asli digunakan semasa mengira: 1, 2, 3, 4 dan seterusnya.<Ɛ (эпсилон), то тогда предел числовой последовательности xₙ , при n, стремящемся к бесконечности, равен числу a. Такие вот дела, ребята. Не беда, если вам не удалось прочесть это определение, главное в свое время его понять. Напоследок отмечу: множество тех, кто посмотрел этот ролик, но до сих пор не подписан на канал, не является пустым. Это меня очень печалит, так что во время финальной музыки покажу, как это исправить. Ну а остальным желаю мыслить критически, заниматься математикой! Счастливо! [Музыка / аплодиминнты]

Maklumat am

Sistem ini berkembang, seperti bahasa semula jadi, dari segi sejarah (lihat sejarah tatatanda matematik), dan disusun seperti penulisan bahasa semula jadi, meminjam dari sana juga banyak simbol (terutamanya daripada abjad Latin dan Yunani). Simbol, seperti dalam tulisan biasa, digambarkan dengan garis kontras pada latar belakang seragam (hitam di atas kertas putih, cahaya pada papan gelap, kontras pada monitor, dll.), dan maknanya ditentukan terutamanya oleh bentuk dan kedudukan relatifnya. Warna tidak diambil kira dan biasanya tidak digunakan, tetapi apabila menggunakan huruf, ciri-cirinya seperti gaya dan juga muka taip, yang tidak menjejaskan makna dalam penulisan biasa, boleh memainkan peranan yang bermakna dalam tatatanda matematik.

Struktur

Notasi matematik biasa (khususnya, apa yang dipanggil formula matematik) biasanya ditulis dalam baris dari kiri ke kanan, tetapi tidak semestinya membentuk rentetan aksara yang berurutan. Bongkah aksara individu boleh muncul di bahagian atas atau bawah separuh baris, walaupun aksara tidak bertindih menegak. Selain itu, beberapa bahagian terletak sepenuhnya di atas atau di bawah garisan. Dari sudut tatabahasa, hampir mana-mana "formula" boleh dianggap sebagai struktur jenis pokok yang teratur secara hierarki.

Penyeragaman

Notasi matematik mewakili sistem dalam erti kata keterkaitan komponennya, tetapi, secara umum, tidak membentuk sistem formal (dalam pemahaman matematik itu sendiri). Dalam mana-mana kes yang rumit, mereka tidak boleh dihuraikan secara pemrograman. Seperti mana-mana bahasa semula jadi, "bahasa matematik" penuh dengan notasi yang tidak konsisten, homograf, tafsiran yang berbeza (di kalangan penuturnya) tentang apa yang dianggap betul, dsb. Tidak terdapat sebarang abjad simbol matematik yang kelihatan, dan khususnya kerana The persoalan sama ada untuk mempertimbangkan dua sebutan sebagai simbol yang berbeza atau ejaan yang berbeza bagi simbol yang sama tidak selalu diselesaikan dengan jelas.

Sesetengah tatatanda matematik (kebanyakannya berkaitan dengan pengukuran) diseragamkan dalam ISO 31-11, tetapi penyeragaman notasi keseluruhan agak kurang.

Elemen tatatanda matematik

Nombor

Jika perlu menggunakan sistem nombor dengan asas kurang daripada sepuluh, asas ditulis dalam subskrip: 20003 8. Sistem nombor dengan asas lebih besar daripada sepuluh tidak digunakan dalam tatatanda matematik yang diterima umum (walaupun, sudah tentu, ia dikaji oleh sains sendiri), kerana tidak ada nombor yang mencukupi untuk mereka. Sehubungan dengan perkembangan sains komputer, sistem nombor heksadesimal telah menjadi relevan, di mana nombor dari 10 hingga 15 dilambangkan dengan enam huruf Latin pertama dari A hingga F. Untuk menetapkan nombor tersebut, beberapa pendekatan berbeza digunakan dalam komputer. sains, tetapi mereka belum dipindahkan ke matematik.

Superskrip dan aksara subskrip

Tanda kurung, simbol berkaitan dan pembatas

Tanda kurung "()" digunakan:

Tanda kurung persegi "" sering digunakan dalam mengumpulkan makna apabila banyak pasangan kurungan mesti digunakan. Dalam kes ini, ia diletakkan di bahagian luar dan (dengan tipografi yang teliti) mempunyai ketinggian yang lebih tinggi daripada kurungan di bahagian dalam.

Segi empat sama "" dan kurungan "()" digunakan untuk menunjukkan ruang tertutup dan terbuka, masing-masing.

Pendakap kerinting "()" biasanya digunakan untuk , walaupun kaveat yang sama digunakan untuknya seperti untuk kurungan segi empat sama. Tanda kurung kiri "(" dan kanan ")" boleh digunakan secara berasingan; tujuan mereka diterangkan.

aksara kurungan sudut " ⟨ ⟩ (\displaystyle \langle \;\rangle ) Dengan tipografi yang kemas, mereka harus mempunyai sudut yang tidak jelas dan dengan itu berbeza daripada yang serupa yang mempunyai sudut kanan atau akut. Dalam amalan, seseorang tidak sepatutnya mengharapkan ini (terutamanya apabila menulis formula secara manual) dan seseorang perlu membezakan antara mereka menggunakan gerak hati.

Pasangan simbol simetri (berbanding dengan paksi menegak), termasuk yang berbeza daripada yang disenaraikan, sering digunakan untuk menyerlahkan sekeping formula. Tujuan kurungan berpasangan diterangkan.

Indeks

Bergantung pada lokasi, indeks atas dan bawah dibezakan. Superskrip mungkin (tetapi tidak semestinya bermaksud) eksponen, tentang kegunaan lain.

Pembolehubah

Dalam sains terdapat set kuantiti, dan mana-mana daripada mereka boleh mengambil sama ada satu set nilai dan dipanggil pembolehubah nilai (varian), atau hanya satu nilai dan dipanggil pemalar. Dalam matematik, kuantiti sering diabstrak daripada makna fizikal, dan kemudian kuantiti berubah menjadi abstrak(atau angka) pembolehubah, dilambangkan dengan beberapa simbol yang tidak diduduki oleh tatatanda khas yang disebutkan di atas.

Pembolehubah X dianggap diberikan jika set nilai yang diterimanya ditentukan (x). Adalah mudah untuk mempertimbangkan kuantiti malar sebagai pembolehubah yang set sepadannya (x) terdiri daripada satu unsur.

Fungsi dan Operator

Dalam matematik tidak terdapat perbezaan yang signifikan antara pengendali(unari), paparan Dan fungsi.

Walau bagaimanapun, difahamkan bahawa jika untuk menulis nilai pemetaan daripada argumen yang diberikan adalah perlu untuk menentukan , maka simbol pemetaan ini menandakan fungsi dalam kes lain, mereka lebih suka bercakap tentang pengendali. Simbol untuk beberapa fungsi satu hujah digunakan dengan atau tanpa kurungan. Banyak fungsi asas, contohnya sin ⁡ x (\displaystyle \sin x) atau dosa ⁡ (x) (\displaystyle \sin(x)), tetapi fungsi asas sentiasa dipanggil fungsi.

Pengendali dan hubungan (unari dan binari)

Fungsi

Fungsi boleh disebut dalam dua pengertian: sebagai ungkapan nilainya diberikan hujah yang diberikan (ditulis f (x) , f (x , y) (\displaystyle f(x),\ f(x,y)) dll.) atau sebagai fungsi itu sendiri. Dalam kes kedua, hanya simbol fungsi yang dimasukkan, tanpa kurungan (walaupun ia sering ditulis secara sembarangan).

Terdapat banyak tatatanda untuk fungsi biasa yang digunakan dalam kerja matematik tanpa penjelasan lanjut. Jika tidak, fungsi itu mesti diterangkan entah bagaimana, dan dalam matematik asas ia tidak berbeza secara asas dan juga dilambangkan dengan huruf sewenang-wenangnya. Huruf yang paling popular untuk menunjukkan fungsi pembolehubah ialah f, g dan kebanyakan huruf Yunani juga sering digunakan.

Penamaan pratakrif (terpelihara).

Walau bagaimanapun, sebutan satu huruf boleh, jika dikehendaki, diberi makna yang berbeza. Sebagai contoh, huruf i sering digunakan sebagai notasi indeks dalam konteks di mana nombor kompleks tidak digunakan, dan huruf itu boleh digunakan sebagai pembolehubah dalam beberapa kombinatorik. Juga, tetapkan simbol teori (seperti " ⊂ (\displaystyle \subset )"Dan" ⊃ (\displaystyle \supset )") dan kalkulus proposisi (seperti " ∧ (\displaystyle \wedge)"Dan" ∨ (\displaystyle \vee)") boleh digunakan dalam erti kata lain, biasanya sebagai hubungan tertib dan operasi binari, masing-masing.

Pengindeksan

Pengindeksan diwakili secara grafik (biasanya oleh bahagian bawah, kadangkala oleh bahagian atas) dan, dalam erti kata lain, cara untuk mengembangkan kandungan maklumat pembolehubah. Walau bagaimanapun, ia digunakan dalam tiga deria yang sedikit berbeza (walaupun bertindih).

Nombor sebenar

Adalah mungkin untuk mempunyai beberapa pembolehubah berbeza dengan menandakannya dengan huruf yang sama, sama seperti menggunakan . Contohnya: x 1 , x 2 , x 3 … (\displaystyle x_(1),\x_(2),\x_(3)\ldots ). Biasanya mereka disambungkan oleh beberapa jenis persamaan, tetapi secara umum ini tidak perlu.

Selain itu, bukan sahaja nombor, tetapi juga sebarang simbol boleh digunakan sebagai "indeks". Walau bagaimanapun, apabila pembolehubah dan ungkapan lain ditulis sebagai indeks, entri ini ditafsirkan sebagai "pembolehubah dengan nombor yang ditentukan oleh nilai ungkapan indeks."

Dalam analisis tensor

Dalam algebra linear, analisis tensor, geometri pembezaan dengan indeks (dalam bentuk pembolehubah) ditulis

“Simbol bukan sahaja rakaman pemikiran,
cara untuk menggambarkan dan menyatukannya, -
tidak, mereka mempengaruhi pemikiran itu sendiri,
mereka... bimbing dia, dan itu sudah cukup
gerakkan mereka di atas kertas... untuk
untuk mencapai kebenaran baru tanpa salah."

L.Carnot

Tanda-tanda matematik berfungsi terutamanya untuk perekodan konsep dan ayat matematik yang tepat (tidak jelas) Keseluruhan mereka dalam keadaan sebenar aplikasi mereka oleh ahli matematik membentuk apa yang dipanggil bahasa matematik.

Simbol matematik memungkinkan untuk menulis dalam bentuk padat ayat yang sukar untuk dinyatakan dalam bahasa biasa. Ini menjadikan mereka lebih mudah diingati.

Sebelum menggunakan tanda-tanda tertentu dalam penaakulan, ahli matematik cuba menyatakan maksud setiap tanda tersebut. Jika tidak, mereka mungkin tidak memahaminya.
Tetapi ahli matematik tidak boleh selalu mengatakan dengan segera apa simbol ini atau itu yang mereka perkenalkan untuk mana-mana teori matematik mencerminkan. Sebagai contoh, selama beratus-ratus tahun ahli matematik beroperasi dengan nombor negatif dan kompleks, tetapi makna objektif nombor ini dan operasi dengan mereka hanya ditemui pada akhir abad ke-18 dan permulaan abad ke-19.

1. Simbolisme pengkuantiti matematik

Seperti bahasa biasa, bahasa tanda matematik membenarkan pertukaran kebenaran matematik yang telah ditetapkan, tetapi hanya sebagai alat bantu yang melekat pada bahasa biasa dan tidak boleh wujud tanpanya.

Definisi matematik:

Dalam bahasa biasa:

Had fungsi F (x) pada satu titik X0 ialah nombor malar A supaya bagi nombor arbitrari E>0 wujud d(E) positif supaya daripada keadaan |X - X 0 |

Menulis dalam pengkuantiti (dalam bahasa matematik)

2. Simbolisme tanda matematik dan angka geometri.

1) Infiniti adalah konsep yang digunakan dalam matematik, falsafah dan sains. Ketakterhinggaan konsep atau atribut objek tertentu bermakna mustahil untuk menunjukkan sempadan atau ukuran kuantitatif untuknya. Istilah infiniti sepadan dengan beberapa konsep yang berbeza, bergantung pada bidang aplikasi, sama ada matematik, fizik, falsafah, teologi atau kehidupan seharian. Dalam matematik tidak ada konsep infiniti tunggal; ia dikurniakan sifat istimewa dalam setiap bahagian. Selain itu, "infiniti" yang berbeza ini tidak boleh ditukar ganti. Sebagai contoh, teori set membayangkan infiniti yang berbeza, dan satu mungkin lebih besar daripada yang lain. Katakan bilangan integer adalah tidak terhingga besar (ia dipanggil boleh dikira). Untuk menyamaratakan konsep bilangan unsur bagi set tak terhingga, konsep kardinaliti suatu set diperkenalkan dalam matematik. Walau bagaimanapun, tidak ada satu kuasa "tak terhingga". Sebagai contoh, kuasa set nombor nyata adalah lebih besar daripada kuasa integer, kerana padanan satu dengan satu tidak boleh dibina antara set ini, dan integer dimasukkan dalam nombor nyata. Oleh itu, dalam kes ini, satu nombor kardinal (sama dengan kuasa set) adalah "tak terhingga" daripada yang lain. Pengasas konsep ini ialah ahli matematik Jerman Georg Cantor. Dalam kalkulus, dua simbol ditambah pada set nombor nyata, tambah dan tolak infiniti, digunakan untuk menentukan nilai sempadan dan penumpuan. Perlu diingatkan bahawa dalam kes ini kita tidak bercakap tentang infiniti "ketara", kerana sebarang pernyataan yang mengandungi simbol ini boleh ditulis hanya menggunakan nombor dan pengkuantiti terhingga. Simbol ini (dan banyak lagi) diperkenalkan untuk memendekkan ungkapan yang lebih panjang. Infiniti juga berkait rapat dengan sebutan yang sangat kecil, sebagai contoh, Aristotle berkata:
“... ia sentiasa mungkin untuk menghasilkan bilangan yang lebih besar, kerana bilangan bahagian di mana segmen boleh dibahagikan tidak mempunyai had; oleh itu, infiniti adalah berpotensi, tidak pernah nyata, dan tidak kira berapa banyak bahagian yang diberikan, ia sentiasa berpotensi untuk membahagikan segmen ini kepada nombor yang lebih besar lagi.” Perhatikan bahawa Aristotle memberi sumbangan besar kepada kesedaran tentang infiniti, membahagikannya kepada potensi dan sebenar, dan dari sisi ini datang rapat kepada asas analisis matematik, juga menunjuk kepada lima sumber idea mengenainya:

masa,
pembahagian kuantiti,
sifat kreatif yang tidak habis-habisnya,
konsep sempadan, menolak melebihi hadnya,
pemikiran yang tidak dapat dihalang.

Infiniti dalam kebanyakan budaya muncul sebagai sebutan kuantitatif abstrak untuk sesuatu yang tidak dapat difahami besar, digunakan untuk entiti tanpa sempadan ruang atau temporal.
Selanjutnya, infiniti telah dibangunkan dalam falsafah dan teologi bersama-sama dengan sains tepat. Sebagai contoh, dalam teologi, infiniti Tuhan tidak begitu banyak memberikan definisi kuantitatif kerana ia bermaksud tidak terhad dan tidak dapat difahami. Dalam falsafah, ini adalah sifat ruang dan masa.
Fizik moden mendekati kaitan infiniti yang dinafikan oleh Aristotle - iaitu, kebolehcapaian dalam dunia nyata, dan bukan hanya dalam abstrak. Sebagai contoh, terdapat konsep singulariti, berkait rapat dengan lubang hitam dan teori letupan besar: ia adalah titik dalam ruang masa di mana jisim dalam isipadu tak terhingga tertumpu dengan ketumpatan tak terhingga. Sudah ada bukti tidak langsung yang kukuh untuk kewujudan lubang hitam, walaupun teori big bang masih dalam pembangunan.

2) Bulatan ialah lokus geometri titik pada satah, jarak darinya ke titik tertentu, dipanggil pusat bulatan, tidak melebihi nombor bukan negatif yang diberikan, dipanggil jejari bulatan ini. Jika jejari sifar, maka bulatan merosot menjadi titik. Bulatan ialah lokus geometri titik pada satah yang sama jarak dari titik tertentu, dipanggil pusat, pada jarak bukan sifar tertentu, dipanggil jejarinya.
Bulatan adalah simbol Matahari, Bulan. Salah satu simbol yang paling biasa. Ia juga merupakan simbol infiniti, keabadian, dan kesempurnaan.

3) Segi empat (rombus) - merupakan simbol gabungan dan susunan empat unsur yang berbeza, contohnya empat unsur utama atau empat musim. Simbol nombor 4, persamaan, kesederhanaan, integriti, kebenaran, keadilan, kebijaksanaan, kehormatan. Simetri adalah idea di mana seseorang cuba memahami keharmonian dan telah dianggap sebagai simbol kecantikan sejak zaman purba. Ayat-ayat yang dipanggil "bergambar", teks yang mempunyai garis besar rombus, mempunyai simetri.
Puisi itu adalah ketupat.

kami -
Di antara kegelapan.
Mata sedang berehat.
Kegelapan malam masih hidup.
Hati mengeluh rakus,
Bisikan bintang kadang sampai kepada kita.
Dan perasaan biru itu sesak.
Segala-galanya dilupakan dalam kecemerlangan embun.
Mari berikan anda ciuman wangi!
Cepat bersinar!
Bisik lagi
Bagaimana kemudian:
"Ya!"

(E.Martov, 1894)

4) Segi empat tepat. Daripada semua bentuk geometri, ini adalah angka yang paling rasional, paling boleh dipercayai dan betul; secara empirik ini dijelaskan oleh fakta bahawa segi empat tepat sentiasa dan di mana-mana menjadi bentuk kegemaran. Dengan bantuannya, seseorang menyesuaikan ruang atau sebarang objek untuk kegunaan langsung dalam kehidupan sehariannya, contohnya: rumah, bilik, meja, katil, dll.

5) Pentagon ialah pentagon biasa dalam bentuk bintang, simbol keabadian, kesempurnaan, dan alam semesta. Pentagon - azimat kesihatan, tanda di pintu untuk menangkis ahli sihir, lambang Thoth, Mercury, Celtic Gawain, dll., simbol lima luka Yesus Kristus, kemakmuran, nasib baik di kalangan orang Yahudi, legenda. kunci Sulaiman; tanda status yang tinggi dalam masyarakat Jepun.

6) Heksagon biasa, heksagon - simbol kelimpahan, kecantikan, keharmonian, kebebasan, perkahwinan, simbol nombor 6, imej seseorang (dua tangan, dua kaki, kepala dan batang tubuh).

7) Salib adalah lambang nilai keramat tertinggi. Salib memodelkan aspek rohani, kenaikan roh, aspirasi kepada Tuhan, hingga keabadian. Salib adalah simbol universal kesatuan hidup dan mati.
Sudah tentu, anda mungkin tidak bersetuju dengan kenyataan ini.
Walau bagaimanapun, tiada siapa yang akan menafikan bahawa sebarang imej menimbulkan pergaulan dalam diri seseorang. Tetapi masalahnya ialah sesetengah objek, plot atau elemen grafik menimbulkan perkaitan yang sama pada semua orang (atau lebih tepatnya, ramai), manakala yang lain menimbulkan perkaitan yang sama sekali berbeza.

8) Segitiga ialah rajah geometri yang terdiri daripada tiga titik yang tidak terletak pada garis yang sama, dan tiga ruas yang menghubungkan tiga titik ini.
Sifat segi tiga sebagai angka: kekuatan, kebolehubah.
Aksiom A1 stereometri berkata: "Melalui 3 titik ruang yang tidak terletak pada garis lurus yang sama, satah melepasi, dan hanya satu!"
Untuk memeriksa kedalaman pemahaman pernyataan ini, tugasan biasanya ditanya: “Ada tiga lalat duduk di atas meja, di tiga hujung meja. Pada masa tertentu, mereka terbang berasingan dalam tiga arah yang saling berserenjang pada kelajuan yang sama. Bilakah mereka akan berada di pesawat yang sama lagi?” Jawapannya ialah hakikat bahawa tiga mata sentiasa, pada bila-bila masa, menentukan satah tunggal. Dan tepat 3 mata yang menentukan segitiga, jadi angka dalam geometri ini dianggap paling stabil dan tahan lama.
Segitiga biasanya dirujuk sebagai sosok yang tajam, "menyerang" yang dikaitkan dengan prinsip maskulin. Segitiga sama sisi ialah tanda maskulin dan suria yang mewakili ketuhanan, api, kehidupan, hati, gunung dan kenaikan, kesejahteraan, keharmonian dan diraja. Segitiga terbalik ialah simbol feminin dan bulan, mewakili air, kesuburan, hujan, dan rahmat ilahi.

9) Bintang Bucu Enam (Star of David) - terdiri daripada dua segi tiga sama sisi yang bertindih antara satu sama lain. Satu versi asal tanda itu menghubungkan bentuknya dengan bentuk bunga Lily Putih, yang mempunyai enam kelopak. Bunga itu secara tradisinya diletakkan di bawah lampu kuil, sedemikian rupa sehingga imam menyalakan api, seolah-olah, di tengah-tengah Magen David. Dalam Kabbalah, dua segi tiga melambangkan dualitas yang wujud dalam diri manusia: baik lawan jahat, rohani lawan fizikal, dan seterusnya. Segitiga yang mengarah ke atas melambangkan perbuatan baik kita, yang naik ke syurga dan menyebabkan aliran rahmat turun kembali ke dunia ini (yang dilambangkan dengan segi tiga yang mengarah ke bawah). Kadangkala Bintang Daud dipanggil Bintang Pencipta dan setiap enam hujungnya dikaitkan dengan salah satu hari dalam seminggu, dan pusatnya dengan hari Sabtu.
Simbol negara Amerika Syarikat juga mengandungi Bintang Berujung Enam dalam bentuk yang berbeza, khususnya pada Mohor Besar Amerika Syarikat dan pada wang kertas. Bintang David digambarkan pada lambang kota Cher dan Gerbstedt di Jerman, serta Ternopil dan Konotop Ukraine. Tiga bintang berbucu enam digambarkan pada bendera Burundi dan mewakili moto kebangsaan: “Perpaduan. Kerja. Kemajuan".
Dalam agama Kristian, bintang berbucu enam adalah simbol Kristus, iaitu penyatuan sifat ilahi dan manusia dalam Kristus. Itulah sebabnya tanda ini ditulis dalam Salib Ortodoks.

10) Bintang Bucu Lima - Lambang tersendiri utama kaum Bolshevik ialah bintang berbucu lima merah, dipasang secara rasmi pada musim bunga tahun 1918. Pada mulanya, propaganda Bolshevik memanggilnya "Bintang Marikh" (kononnya milik tuhan perang purba - Marikh), dan kemudian mula mengisytiharkan bahawa "Lima sinar bintang bermaksud kesatuan orang-orang yang bekerja di semua lima benua di perjuangan menentang kapitalisme.” Pada hakikatnya, bintang berbucu lima itu tidak ada kaitan sama ada dengan dewa militan Marikh atau proletariat antarabangsa, ia adalah tanda ghaib purba (nampaknya berasal dari Timur Tengah) yang dipanggil "pentagram" atau "Bintang Sulaiman".
Kerajaan”, yang berada di bawah kawalan sepenuhnya Freemasonry.
Selalunya, penganut Satanis melukis pentagram dengan kedua-dua hujungnya supaya mudah untuk memuatkan kepala syaitan "Pentagram of Baphomet" di sana. Potret "Revolusi Berapi-api" diletakkan di dalam "Pentagram of Baphomet," yang merupakan bahagian tengah komposisi pesanan Chekist khas "Felix Dzerzhinsky" yang direka pada tahun 1932 (projek itu kemudiannya ditolak oleh Stalin, yang sangat membencinya. "Feliks Besi").

Mari kita ambil perhatian bahawa pentagram sering diletakkan oleh Bolshevik pada pakaian seragam Tentera Merah, peralatan ketenteraan, pelbagai tanda dan semua jenis sifat propaganda visual dengan cara syaitan semata-mata: dengan dua "tanduk" ke atas.
Rancangan Marxis untuk "revolusi proletariat dunia" jelas berasal dari golongan Masonik; L. Trotsky adalah salah seorang daripada mereka, dan dialah yang mencadangkan menjadikan pentagram Masonik sebagai lambang pengenalan Bolshevisme.
Rumah persinggahan Masonik Antarabangsa secara rahsia memberikan sokongan penuh kepada Bolshevik, terutamanya kewangan.

3. Tanda-tanda Masonik

Mason

Moto:"Kebebasan. Kesaksamaan. Persaudaraan".

Pergerakan sosial orang bebas yang, atas dasar pilihan bebas, memungkinkan untuk menjadi lebih baik, menjadi lebih dekat kepada Tuhan, dan oleh itu, mereka diiktiraf sebagai memperbaiki dunia.
Freemason adalah kawan kepada Pencipta, penyokong kemajuan sosial, menentang inersia, inersia dan kejahilan. Wakil-wakil cemerlang Freemasonry ialah Nikolai Mikhailovich Karamzin, Alexander Vasilievich Suvorov, Mikhail Illarionovich Kutuzov, Alexander Sergeevich Pushkin, Joseph Goebbels.

Tanda-tanda

Mata bercahaya (delta) adalah tanda agama kuno. Dia mengatakan bahawa Tuhan mengawasi ciptaan-Nya. Dengan imej tanda ini, Freemason meminta Tuhan untuk memberkati sebarang tindakan besar atau kerja mereka. The Radiant Eye terletak di pedimen Katedral Kazan di St. Petersburg.

Gabungan kompas dan segi empat sama dalam tanda Masonik.

Bagi yang belum tahu, ini adalah alat kerja (mason), dan bagi yang dimulakan, ini adalah cara untuk memahami dunia dan hubungan antara kebijaksanaan ilahi dan akal manusia.
Dataran, sebagai peraturan, dari bawah adalah pengetahuan manusia tentang dunia. Dari sudut pandangan Freemasonry, seseorang datang ke dunia untuk memahami rancangan ilahi. Dan untuk pengetahuan anda memerlukan alat. Sains yang paling berkesan dalam memahami dunia ialah matematik.
Petak ialah alat matematik tertua, dikenali sejak zaman berzaman. Pengijazahan persegi sudah menjadi satu langkah besar ke hadapan dalam alat matematik kognisi. Seseorang memahami dunia dengan bantuan sains adalah yang pertama, tetapi bukan satu-satunya.
Walau bagaimanapun, dataran itu adalah kayu, dan ia memegang apa yang boleh dipegangnya. Ia tidak boleh dipisahkan. Jika anda cuba mengembangkannya untuk menampung lebih banyak, anda akan memecahkannya.
Jadi orang yang cuba memahami keseluruhan infiniti rancangan ilahi sama ada mati atau menjadi gila. "Ketahui sempadan anda!" - ini adalah apa yang tanda ini memberitahu Dunia. Walaupun anda adalah Einstein, Newton, Sakharov - minda terhebat umat manusia! - fahami bahawa anda terhad pada masa anda dilahirkan; dalam memahami dunia, bahasa, kapasiti otak, pelbagai batasan manusia, kehidupan badan anda. Oleh itu, ya, belajar, tetapi faham bahawa anda tidak akan faham sepenuhnya!
Bagaimana dengan kompas? Kompas adalah kebijaksanaan ilahi. Anda boleh menggunakan kompas untuk menggambarkan bulatan, tetapi jika anda membentangkan kakinya, ia akan menjadi garis lurus. Dan dalam sistem simbolik, bulatan dan garis lurus adalah dua bertentangan. Garis lurus menandakan seseorang, permulaan dan penghujungnya (seperti sempang antara dua tarikh - kelahiran dan kematian). Bulatan adalah simbol dewa kerana ia adalah figura yang sempurna. Mereka menentang satu sama lain - tokoh ilahi dan manusia. Manusia tidak sempurna. Allah maha sempurna dalam segala hal.

Untuk kebijaksanaan ilahi tidak ada yang mustahil; ia boleh mengambil kedua-dua bentuk manusia (-) dan bentuk ilahi (0), ia boleh mengandungi segala-galanya. Oleh itu, fikiran manusia memahami kebijaksanaan ilahi dan menerimanya. Dalam falsafah, pernyataan ini adalah postulat tentang kebenaran mutlak dan relatif.
Orang sentiasa tahu kebenaran, tetapi sentiasa kebenaran relatif. Dan kebenaran mutlak hanya diketahui oleh Tuhan.
Ketahui lebih banyak lagi, menyedari bahawa anda tidak akan dapat memahami kebenaran sepenuhnya - betapa dalam yang kita dapati dalam kompas biasa dengan segi empat sama! Siapa sangka!
Inilah keindahan dan daya tarikan simbolisme Masonik, kedalaman inteleknya yang sangat besar.
Sejak Zaman Pertengahan, kompas, sebagai alat untuk melukis bulatan sempurna, telah menjadi simbol geometri, susunan kosmik dan tindakan yang dirancang. Pada masa ini, Tuhan Semesta Alam sering digambarkan dalam imej pencipta dan arkitek Alam Semesta dengan kompas di tangannya (William Blake "The Great Architect", 1794).

Bintang Heksagon (Bethlehem)

Huruf G adalah sebutan Tuhan (Jerman - Got), geometer besar Alam Semesta.
Bintang Heksagonal bermaksud Perpaduan dan Perjuangan Lawan, perjuangan Lelaki dan Wanita, Baik dan Jahat, Terang dan Kegelapan. Satu tidak boleh wujud tanpa yang lain. Ketegangan yang timbul antara yang bertentangan ini mewujudkan dunia seperti yang kita ketahui.
Segitiga ke atas bermaksud "Manusia berusaha untuk Tuhan." Segitiga ke bawah - "Ketuhanan turun kepada Manusia." Dalam hubungan mereka dunia kita wujud, iaitu kesatuan Manusia dan Ilahi. Huruf G di sini bermaksud Tuhan tinggal di dunia kita. Dia benar-benar hadir dalam segala yang dia ciptakan.

Kesimpulan

Simbol matematik berfungsi terutamanya untuk merekodkan konsep dan ayat matematik dengan tepat. Keseluruhan mereka membentuk apa yang dipanggil bahasa matematik.
Daya penentu dalam pembangunan simbolisme matematik bukanlah "kehendak bebas" ahli matematik, tetapi keperluan amalan dan penyelidikan matematik. Penyelidikan matematik sebenar yang membantu untuk mengetahui sistem tanda yang paling menggambarkan struktur hubungan kuantitatif dan kualitatif, itulah sebabnya ia boleh menjadi alat yang berkesan untuk kegunaan selanjutnya dalam simbol dan lambang.