Menentukan kecembungan poligon.

Algoritma Kirus-Back mengandaikan kehadiran poligon cembung yang digunakan sebagai tetingkap.

Walau bagaimanapun, dalam amalan, tugas memotong poligon sangat kerap timbul, dan maklumat tentang sama ada ia cembung atau tidak pada mulanya tidak diberikan. Dalam kes ini, sebelum memulakan prosedur pemotongan, adalah perlu untuk menentukan poligon mana yang diberikan - cembung atau tidak.

Mari kita berikan beberapa definisi tentang kecembungan poligon

Poligon dianggap cembung jika salah satu daripada syarat berikut dipenuhi:

1) dalam poligon cembung, semua bucu terletak pada satu sisi garisan yang membawa sebarang tepi (sepanjang sebelah dalam relatif kepada kelebihan tertentu);

2) semua sudut pedalaman poligon adalah kurang daripada 180°;

3) semua pepenjuru yang menghubungkan bucu poligon terletak di dalam poligon ini;

4) semua sudut poligon dilalui dalam arah yang sama (Rajah 3.3-1).

Untuk membangunkan perwakilan analitik bagi kriteria kecembungan terakhir, kami menggunakan produk vektor.

Karya seni vektor W dua vektor a Dan b (Gamb. 3.3‑2 a) ditakrifkan sebagai:

A x ,a y ,a z dan b x ,b y ,b z ialah unjuran pada paksi koordinat X ,Y ,Z , masing-masing, bagi vektor faktor a Dan b,

- i, j, k– vektor unit di sepanjang paksi koordinat X, Y, Z.

nasi.3.3 ‑ 1

nasi.3.3 ‑ 2

Jika kita menganggap perwakilan dua dimensi poligon sebagai perwakilannya dalam satah koordinat XY sistem koordinat tiga dimensi X,Y,Z (Rajah 3.3‑2 b), kemudian ungkapan untuk pembentukan produk vektor vektor U Dan V, di mana vektor U Dan V ialah tepi bersebelahan membentuk sudut poligon, boleh ditulis sebagai penentu:

Vektor hasil silang adalah berserenjang dengan satah di mana vektor faktor terletak. Arah vektor produk ditentukan oleh peraturan gimlet atau peraturan skru sebelah kanan.

Untuk kes yang dibentangkan dalam Rajah. 3.3‑2 b ), vektor W, sepadan dengan hasil vektor vektor V, U, akan mempunyai arah yang sama dengan arah paksi koordinat Z.

Memandangkan unjuran vektor faktor pada paksi Z dalam kes ini adalah sama dengan sifar, produk vektor boleh diwakili sebagai:

(3.3-1)

Vektor unit k sentiasa positif, oleh itu tanda vektor w produk vektor hanya akan ditentukan oleh tanda penentu D dalam ungkapan di atas. Ambil perhatian bahawa berdasarkan sifat produk vektor, apabila menukar vektor faktor U Dan V tanda vektor w akan berubah menjadi sebaliknya.

Ia berikutan bahawa jika sebagai vektor V Dan U pertimbangkan dua tepi bersebelahan poligon, maka susunan penyenaraian vektor dalam hasil vektor boleh diletakkan mengikut traversal sudut poligon yang sedang dipertimbangkan atau tepi yang membentuk sudut ini. Ini membolehkan anda menggunakan peraturan berikut sebagai kriteria untuk menentukan kecembungan poligon:

jika bagi semua pasangan tepi poligon syarat berikut dipenuhi:

Jika tanda-tanda produk vektor untuk sudut individu tidak bertepatan, maka poligon itu tidak cembung.

Memandangkan tepi poligon ditentukan dalam bentuk koordinat titik akhir mereka, adalah lebih mudah untuk menggunakan penentu untuk menentukan tanda produk vektor.

Bentuk geometri ini mengelilingi kita di mana-mana. Poligon cembung boleh menjadi semula jadi, seperti sarang lebah, atau buatan (buatan manusia). Angka-angka ini digunakan dalam pengeluaran pelbagai jenis salutan, dalam lukisan, seni bina, hiasan, dll. Poligon cembung mempunyai sifat bahawa semua titiknya terletak pada satu sisi garis lurus yang melalui sepasang bucu bersebelahan rajah geometri ini. Terdapat definisi lain. Poligon cembung ialah poligon yang terletak dalam satu setengah satah berbanding mana-mana garis lurus yang mengandungi salah satu sisinya.

saya tahu geometri asas Hanya poligon mudah sentiasa dipertimbangkan. Untuk memahami semua sifat sedemikian, perlu memahami sifat mereka. Pertama, anda harus faham bahawa mana-mana garisan yang hujungnya bertepatan dipanggil tertutup. Selain itu, angka yang dibentuk olehnya boleh mempunyai pelbagai konfigurasi. Poligon ialah tertutup mudah garis putus, di mana pautan jiran tidak terletak pada garis lurus yang sama. Pautan dan bucunya adalah, masing-masing, sisi dan bucu rajah geometri ini. Garis poli ringkas tidak seharusnya mempunyai persimpangan sendiri.

Bucu poligon dipanggil bersebelahan jika ia mewakili hujung salah satu sisinya. Rajah geometri yang mempunyai nombor ke-n puncak, dan oleh itu kuantiti ke- sisi dipanggil n-gon. Garis putus itu sendiri dipanggil sempadan atau kontur rajah geometri ini. Satah poligon atau poligon rata ialah bahagian terhingga mana-mana satah yang dibatasi olehnya. Sisi bersebelahan rajah geometri ini ialah segmen garis putus yang terpancar dari satu bucu. Mereka tidak akan bersebelahan jika ia datang dari bucu poligon yang berbeza.

Takrif lain bagi poligon cembung

Dalam geometri asas, terdapat beberapa lagi definisi yang setara dalam makna, menunjukkan poligon yang dipanggil cembung. Selain itu, semua formulasi ini dalam pada tahap yang sama adalah benar. Poligon dianggap cembung jika ia:

Setiap segmen yang menghubungkan mana-mana dua titik di dalamnya terletak sepenuhnya di dalamnya;

Semua pepenjurunya terletak di dalamnya;

Mana-mana sudut dalaman tidak melebihi 180°.

Poligon sentiasa membelah satah kepada 2 bahagian. Salah satu daripadanya adalah terhad (ia boleh disertakan dalam bulatan), dan satu lagi tidak terhad. Yang pertama dipanggil kawasan dalaman, dan yang kedua ialah kawasan luaran angka geometri ini. Poligon ini ialah persilangan (dengan kata lain, komponen sepunya) bagi beberapa satah separuh. Selain itu, setiap segmen yang mempunyai hujung pada titik yang tergolong dalam poligon sepenuhnya adalah kepunyaannya.

Varieti poligon cembung

Definisi poligon cembung tidak menunjukkan bahawa terdapat banyak jenis. Lebih-lebih lagi, setiap daripada mereka mempunyai kriteria tertentu. Oleh itu, poligon cembung yang mempunyai sudut dalam bersamaan 180° dipanggil cembung lemah. Rajah geometri cembung yang mempunyai tiga bucu dipanggil segi tiga, empat - segiempat, lima - pentagon, dsb. Setiap n-gon cembung memenuhi keperluan paling penting berikut: n mestilah sama dengan atau lebih besar daripada 3. Setiap daripada segi tiga itu adalah cembung. Rajah geometri jenis ini, semua bucunya terletak pada bulatan yang sama dipanggil tersurat dalam bulatan. Poligon cembung dipanggil berhad jika semua sisinya berhampiran bulatan menyentuhnya. Dua poligon dikatakan kongruen hanya jika ia boleh disatukan dengan superposisi. Poligon satah ialah satah poligon (sebahagian daripada satah) yang dihadkan oleh rajah geometri ini.

Poligon cembung sekata

Poligon sekata ialah angka geometri dengan sudut yang sama dan pihak-pihak. Di dalamnya terdapat titik 0, yang terletak pada jarak yang sama dari setiap bucunya. Ia dipanggil pusat angka geometri ini. Segmen yang menghubungkan pusat dengan bucu rajah geometri ini dipanggil apotema, dan bahagian yang menghubungkan titik 0 dengan sisi ialah jejari.

Segiempat sekata ialah segi empat sama. Segitiga biasa dipanggil sama sisi. Untuk rajah sedemikian, terdapat peraturan berikut: setiap sudut poligon cembung adalah sama dengan 180° * (n-2)/n,

di mana n ialah bilangan bucu bagi rajah geometri cembung ini.

Kawasan mana-mana poligon sekata ditentukan oleh formula:

di mana p adalah sama dengan separuh hasil tambah semua sisi poligon yang diberi, dan h adalah sama dengan panjang apotema.

Sifat poligon cembung

Poligon cembung mempunyai sifat-sifat tertentu. Oleh itu, segmen yang menghubungkan mana-mana 2 titik rajah geometri sedemikian semestinya terletak di dalamnya. Bukti:

Mari kita andaikan bahawa P diberikan poligon cembung. ambil 2 mata sewenang-wenangnya, sebagai contoh, A, B, kepunyaan R. Po definisi sedia ada bagi poligon cembung, titik-titik ini terletak pada satu sisi garisan, yang mengandungi mana-mana sisi P. Akibatnya, AB juga mempunyai sifat ini dan terkandung dalam P. Poligon cembung sentiasa boleh dibahagikan kepada beberapa segi tiga dengan benar-benar semua pepenjuru yang diambil dari salah satu bucunya.

Sudut bagi bentuk geometri cembung

Sudut poligon cembung ialah sudut yang dibentuk oleh sisinya. Sudut dalaman terletak di kawasan pedalaman bagi rajah geometri tertentu. Sudut yang dibentuk oleh sisinya yang bertemu pada satu bucu dipanggil sudut poligon cembung. dengan sudut dalam bagi rajah geometri tertentu dipanggil luaran. Setiap sudut poligon cembung yang terletak di dalamnya adalah sama dengan:

di mana x ialah saiz sudut luar. ini formula mudah terpakai kepada mana-mana bentuk geometri daripada jenis sedemikian.

DALAM kes am, Untuk sudut luar wujud mengikut peraturan: Setiap sudut poligon cembung adalah sama dengan perbezaan antara 180° dan saiz sudut pedalaman. Ia boleh mempunyai nilai antara -180° hingga 180°. Oleh itu, apabila sudut dalam ialah 120°, sudut luaran akan menjadi 60°.

Jumlah sudut poligon cembung

Jumlah sudut dalaman poligon cembung ditentukan oleh formula:

di mana n ialah bilangan bucu bagi n-gon.

Jumlah sudut poligon cembung dikira dengan agak mudah. Pertimbangkan mana-mana rajah geometri sedemikian. Untuk menentukan jumlah sudut di dalam poligon cembung, anda perlu menyambungkan salah satu bucunya ke bucu lain. Hasil daripada tindakan ini, (n-2) segi tiga diperolehi. Adalah diketahui bahawa jumlah sudut mana-mana segi tiga sentiasa sama dengan 180°. Oleh kerana nombor mereka dalam mana-mana poligon ialah (n-2), jumlah sudut dalam bagi rajah tersebut adalah sama dengan 180° x (n-2).

Jumlah sudut poligon cembung, iaitu mana-mana dua sudut luar dalam dan bersebelahan, untuk rajah geometri cembung tertentu akan sentiasa sama dengan 180°. Berdasarkan ini, kita boleh menentukan jumlah semua sudutnya:

Jumlah sudut pedalaman ialah 180° * (n-2). Berdasarkan ini, jumlah semua sudut luar bagi rajah tertentu ditentukan oleh formula:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

Jumlah sudut luar mana-mana poligon cembung akan sentiasa 360° (tanpa mengira bilangan sisi).

Sudut luar poligon cembung biasanya diwakili oleh perbezaan antara 180° dan nilai sudut pedalaman.

Sifat lain poligon cembung

Sebagai tambahan kepada sifat asas bentuk geometri ini, ia juga mempunyai ciri lain yang timbul apabila memanipulasinya. Oleh itu, mana-mana poligon boleh dibahagikan kepada beberapa n-gon cembung. Untuk melakukan ini, anda perlu meneruskan setiap sisinya dan memotong angka geometri ini di sepanjang garis lurus ini. Ia juga mungkin untuk membahagikan mana-mana poligon kepada beberapa bahagian cembung dengan cara yang bucu setiap bahagian bertepatan dengan semua bucunya. Daripada rajah geometri sedemikian, anda boleh membuat segitiga dengan menarik semua pepenjuru dari satu bucu. Oleh itu, mana-mana poligon akhirnya boleh dibahagikan kepada beberapa segi tiga tertentu, yang ternyata sangat berguna dalam menyelesaikan pelbagai tugas dikaitkan dengan angka geometri tersebut.

Perimeter poligon cembung

Segmen garis putus, dipanggil sisi poligon, paling kerap dilambangkan dengan huruf berikut: ab, bc, cd, de, ea. Ini ialah sisi rajah geometri dengan bucu a, b, c, d, e. Jumlah panjang semua sisi poligon cembung ini dipanggil perimeternya.

Bulatan poligon

Poligon cembung boleh ditulis atau dihadkan. Bulatan yang menyentuh semua sisi rajah geometri ini dipanggil tertulis di dalamnya. Poligon sedemikian dipanggil berhad. Pusat bulatan yang ditulis dalam poligon ialah titik persilangan pembahagi dua semua sudut dalam rajah geometri tertentu. Luas poligon tersebut adalah sama dengan:

dengan r ialah jejari bulatan tersurat, dan p ialah separuh perimeter poligon yang diberi.

Bulatan yang mengandungi bucu poligon dipanggil terhad mengenainya. Dalam kes ini, angka geometri cembung ini dipanggil bertulis. Pusat bulatan, yang diterangkan di sekeliling poligon sedemikian, ialah titik persilangan bagi apa yang dipanggil pembahagi dua serenjang bagi semua sisi.

Diagonal bagi bentuk geometri cembung

Diagonal poligon cembung ialah segmen yang bersambung puncak jiran. Setiap daripada mereka terletak di dalam rajah geometri ini. Bilangan pepenjuru bagi n-gon tersebut ditentukan oleh formula:

N = n (n - 3)/ 2.

Bilangan pepenjuru poligon cembung dimainkan peranan penting dalam geometri asas. Bilangan segi tiga (K) di mana setiap poligon cembung boleh dibahagikan dikira menggunakan formula berikut:

Bilangan pepenjuru poligon cembung sentiasa bergantung pada bilangan bucunya.

Membahagikan poligon cembung

Dalam beberapa kes, untuk menyelesaikan masalah geometri adalah perlu untuk membahagikan poligon cembung kepada beberapa segi tiga dengan pepenjuru bercapah. Masalah ini boleh diselesaikan dengan mendapatkan formula tertentu.

Definisi masalah: mari kita panggil partition tertentu betul cembung n-gon menjadi beberapa segi tiga dengan pepenjuru yang bersilang hanya pada bucu rajah geometri ini.

Penyelesaian: Katakan P1, P2, P3..., Pn ialah bucu n-gon ini. Nombor Xn ialah bilangan partitionnya. Mari kita mempertimbangkan dengan teliti pepenjuru yang terhasil bagi rajah geometri Pi Pn. Dalam mana-mana sekatan yang betulР1 Pn tergolong dalam segi tiga tertentu Р1 Pi Pn, yang mempunyai 1

Biarkan i = 2 ialah satu kumpulan partition sekata, sentiasa mengandungi pepenjuru P2 Pn. Bilangan partition yang disertakan di dalamnya bertepatan dengan bilangan partition (n-1)-gon P2 P3 P4... Pn. Dalam erti kata lain, ia sama dengan Xn-1.

Jika i = 3, maka kumpulan partition yang lain ini akan sentiasa mengandungi pepenjuru P3 P1 dan P3 Pn. Dalam kes ini, bilangan partition biasa yang terkandung dalam kumpulan ini akan bertepatan dengan bilangan partition (n-2)-gon P3 P4... Pn. Dalam erti kata lain, ia akan sama dengan Xn-2.

Biarkan i = 4, maka di antara segi tiga sekatan yang betul pasti akan mengandungi segi tiga P1 P4 Pn, yang akan bersebelahan dengan segi empat P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5... Pn. Bilangan sekatan sekata bagi segiempat tersebut ialah X4, dan bilangan sekatan bagi suatu (n-3)-gon ialah Xn-3. Berdasarkan semua perkara di atas, kita boleh mengatakan bahawa jumlah bilangan partition biasa yang terkandung dalam kumpulan ini adalah sama dengan Xn-3 X4. Kumpulan lain yang mana i = 4, 5, 6, 7... akan mengandungi Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7... sekatan biasa.

Biarkan i = n-2, maka bilangan partition yang betul dalam kumpulan ini akan bertepatan dengan bilangan partition dalam kumpulan yang i=2 (dengan kata lain, sama dengan Xn-1).

Oleh kerana X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2..., maka bilangan semua partition poligon cembung adalah sama dengan:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Bilangan partition biasa yang bersilang satu pepenjuru di dalam

Apabila memeriksa kes-kes khas, seseorang boleh membuat andaian bahawa bilangan pepenjuru n-gon cembung adalah sama dengan hasil darab semua sekatan rajah ini ke dalam (n-3).

Bukti andaian ini: bayangkan bahawa P1n = Xn * (n-3), maka mana-mana n-gon boleh dibahagikan kepada (n-2)-segitiga. Selain itu, satu (n-3)-segi empat boleh dibentuk daripada mereka. Bersama-sama dengan ini, setiap segi empat akan mempunyai pepenjuru. Oleh kerana dua pepenjuru boleh dilukis dalam rajah geometri cembung ini, ini bermakna pepenjuru tambahan (n-3) boleh dilukis dalam mana-mana (n-3)-empat segi empat. Berdasarkan ini, kita boleh membuat kesimpulan bahawa dalam mana-mana partition biasa adalah mungkin untuk menarik (n-3)-pepenjuru yang memenuhi syarat masalah ini.

Kawasan poligon cembung

Selalunya, apabila menyelesaikan pelbagai masalah geometri asas, ia menjadi perlu untuk menentukan luas poligon cembung. Katakan (Xi. Yi), i = 1,2,3... n ialah jujukan koordinat bagi semua bucu jiran poligon yang tidak mempunyai persilangan sendiri. Dalam kes ini, kawasannya dikira menggunakan formula berikut:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

di mana (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1).

Satu set titik cembung pada satah.

Satu set titik pada satah atau dalam ruang tiga dimensi dipanggil cembung, jika mana-mana dua titik set ini boleh disambungkan dengan segmen garisan yang terletak sepenuhnya dalam set ini.

Teorem 1. Persilangan bagi bilangan terhingga set cembung ialah set cembung.

Akibat. Persilangan bagi bilangan terhingga set cembung ialah set cembung.

Mata sudut.

Titik sempadan set cembung dipanggil bersudut, jika ada kemungkinan untuk melukis segmen melaluinya, semua mata yang tidak tergolong dalam set yang diberikan.

Set bentuk yang berbeza boleh mempunyai bilangan titik sudut terhingga atau tidak terhingga.

Poligon cembung.

Poligon dipanggil cembung, jika ia terletak pada satu sisi setiap baris yang melalui dua bucu jirannya.

Teorem: Jumlah sudut bagi n-gon cembung ialah 180˚ *(n-2)

6) Menyelesaikan sistem ketaksamaan linear m dengan dua pembolehubah

Diberi sistem ketaksamaan linear dengan dua pembolehubah

Tanda-tanda beberapa atau semua ketidaksamaan mungkin ≥.

Mari kita pertimbangkan ketaksamaan pertama dalam sistem koordinat X1OX2. Mari kita bina garis lurus

iaitu garis sempadan.

Garis lurus ini membahagikan satah kepada dua separuh satah 1 dan 2 (Rajah 19.4).

Separuh satah 1 mengandungi asalan, separuh satah 2 tidak mengandungi asalan.

Untuk menentukan sisi garisan sempadan yang terletak pada separuh satah tertentu, anda perlu mengambil titik sewenang-wenangnya pada satah (sebaik-baiknya asalan) dan menggantikan koordinat titik ini kepada ketaksamaan. Jika ketaksamaan adalah benar, maka separuh satah menghadap ke arah titik ini;

Arah separuh satah ditunjukkan dalam rajah dengan anak panah.

Definisi 15. Penyelesaian bagi setiap ketaksamaan sistem ialah satah separuh yang mengandungi garis sempadan dan terletak di sebelahnya.

Definisi 16. Persilangan separuh satah, setiap satunya ditentukan oleh ketaksamaan sistem yang sepadan, dipanggil domain penyelesaian sistem (SO).

Definisi 17. Luas penyelesaian sistem yang memenuhi syarat bukan negatif (xj ≥ 0, j =) dipanggil kawasan penyelesaian bukan negatif, atau boleh diterima (ADS).

Jika sistem ketaksamaan adalah tekal, maka OR dan ODR boleh menjadi polihedron, kawasan polihedral tidak terikat, atau satu titik.

Jika sistem ketaksamaan tidak konsisten, maka OR dan ODR adalah set kosong.

Contoh 1. Cari OR dan ODE sistem ketaksamaan dan tentukan koordinat titik sudut ODE

Penyelesaian. Mari kita cari OR bagi ketaksamaan pertama: x1 + 3x2 ≥ 3. Mari kita bina garis sempadan x1 + 3x2 – 3 = 0 (Rajah 19.5). Mari kita gantikan koordinat titik (0,0) ke dalam ketaksamaan: 1∙0 + 3∙0 > 3; oleh kerana koordinat titik (0,0) tidak memenuhinya, maka penyelesaian kepada ketaksamaan (19.1) ialah separuh satah yang tidak mengandungi titik (0,0).

Marilah kita sama-sama mencari penyelesaian kepada baki ketidaksamaan sistem. Kami memperoleh bahawa OR dan ODE sistem ketaksamaan ialah polihedron cembung ABCD.

Mari kita cari titik sudut polihedron. Kami mentakrifkan titik A sebagai titik persilangan garis

Menyelesaikan sistem, kita memperoleh A(3/7, 6/7).

Kita dapati titik B sebagai titik persilangan garis

Daripada sistem kita memperoleh B(5/3, 10/3). Begitu juga, kita dapati koordinat titik C dan D: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

Contoh 2. Cari OR dan ODE bagi sistem ketaksamaan

Penyelesaian. Mari kita bina garis lurus dan tentukan penyelesaian kepada ketaksamaan (19.5)-(19.7). OR dan ODR masing-masing adalah kawasan polihedral tanpa sempadan ACFM dan ABDEKM (Rajah 19.6).

Contoh 3. Cari OR dan ODE bagi sistem ketaksamaan

Penyelesaian. Mari cari penyelesaian kepada ketaksamaan (19.8)-(19.10) (Rajah 19.7). ATAU mewakili rantau polyhedral tanpa had ABC; ODR - titik B.

Contoh 4. Cari OP dan ODP bagi sistem ketaksamaan

Penyelesaian. Dengan membina garis lurus, kita akan mencari penyelesaian kepada ketaksamaan sistem. OR dan ODR tidak serasi (Rajah 19.8).

SENAMAN

Cari OR dan ODE bagi sistem ketaksamaan

Teorem. Jika xn ® a, maka .

Bukti. Daripada xn ® a ia berikutan bahawa . Dalam masa yang sama:

, iaitu , iaitu . Teorem terbukti.

Teorem. Jika xn ® a, maka jujukan (xn) adalah terikat.

Perlu diingatkan bahawa pernyataan sebaliknya adalah tidak benar, i.e. sempadan suatu jujukan tidak membayangkan penumpuannya.

Sebagai contoh, urutan tiada had sekalipun

Peluasan fungsi kepada siri kuasa.

Peluasan fungsi kepada siri kuasa adalah sangat penting untuk menyelesaikan pelbagai masalah mengkaji fungsi, pembezaan, pengamiran, menyelesaikan persamaan pembezaan, mengira had, mengira nilai anggaran fungsi.

Konsep poligon

Definisi 1

Poligon ialah rajah geometri dalam satah yang terdiri daripada segmen yang disambungkan secara berpasangan, yang bersebelahan tidak terletak pada garis lurus yang sama.

Dalam kes ini, segmen dipanggil sisi poligon, dan kesudahannya - bucu poligon.

Definisi 2

$n$-gon ialah poligon dengan bucu $n$.

Jenis poligon

Definisi 3

Jika poligon sentiasa terletak pada sisi yang sama bagi mana-mana garisan yang melalui sisinya, maka poligon itu dipanggil cembung(Rajah 1).

Rajah 1. Poligon cembung

Definisi 4

Jika poligon terletak pada sisi bertentangan sekurang-kurangnya satu garis lurus yang melalui sisinya, maka poligon itu dipanggil bukan cembung (Rajah 2).

Rajah 2. Poligon bukan cembung

Jumlah sudut poligon

Mari kita perkenalkan satu teorem tentang jumlah sudut segitiga.

Teorem 1

Jumlah sudut bagi segi tiga cembung ditentukan seperti berikut

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Bukti.

Marilah kita diberikan poligon cembung $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Mari sambungkan bucunya $A_1$ dengan semua bucu lain poligon ini (Rajah 3).

Rajah 3.

Dengan sambungan ini kita mendapat $n-2$ segitiga. Dengan menjumlahkan sudutnya, kita mendapat jumlah sudut bagi -gon yang diberikan. Oleh kerana jumlah sudut segitiga adalah sama dengan $(180)^0,$ kita memperoleh bahawa jumlah sudut segitiga cembung ditentukan oleh formula

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Teorem terbukti.

Konsep segi empat

Menggunakan definisi $2$, adalah mudah untuk memperkenalkan definisi segi empat.

Definisi 5

Sisi empat ialah poligon dengan bucu $4$ (Rajah 4).

Rajah 4. Segiempat

Bagi segiempat, konsep segiempat cembung dan segiempat tidak cembung ditakrifkan secara serupa. Contoh klasik segi empat cembung ialah segi empat sama, segi empat tepat, trapezoid, rombus, selari (Rajah 5).

Rajah 5. Segi empat cembung

Teorem 2

Jumlah sudut bagi segi empat cembung ialah $(360)^0$

Bukti.

Dengan Teorem $1$, kita tahu bahawa jumlah sudut cembung -gon ditentukan oleh formula

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Oleh itu, jumlah sudut bagi segi empat cembung adalah sama dengan

\[\kiri(4-2\kanan)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Teorem terbukti.

Patah

Definisi

garis putus, atau ringkasnya, garis putus, ialah jujukan segmen terhingga supaya salah satu hujung segmen pertama berfungsi sebagai hujung segmen kedua, hujung segmen kedua yang satu lagi berfungsi sebagai hujung segmen ketiga, dsb. Dalam kes ini, segmen bersebelahan tidak terletak pada garis lurus yang sama. Segmen ini dipanggil pautan garis putus.

Jenis polyline

Garis putus dipanggil tertutup, jika permulaan segmen pertama bertepatan dengan penghujung segmen terakhir.

Garis yang putus boleh melintasi dirinya sendiri, menyentuh dirinya sendiri atau bertindih dengan dirinya sendiri. Sekiranya tidak ada singulariti sedemikian, maka garis putus itu dipanggil ringkas.

Poligon

Definisi

Garis putus tertutup yang ringkas bersama-sama dengan bahagian satah yang dibatasi olehnya dipanggil poligon.

Komen

Pada setiap bucu poligon, sisinya menentukan sudut tertentu poligon. Ia boleh sama ada kurang berkembang atau lebih berkembang.

Harta benda

Setiap poligon mempunyai sudut kurang daripada $180^\circ$.

Bukti

Biarkan poligon $P$ diberikan.

Mari kita lukis beberapa garis lurus yang tidak bersilang. Kami akan mengalihkannya selari dengan poligon. Pada satu ketika, buat pertama kalinya kita akan memperoleh garis lurus $a$ yang mempunyai sekurang-kurangnya satu titik sepunya dengan poligon $P$. Poligon terletak pada satu sisi garis ini (beberapa titiknya terletak pada garis $a$).

Garis $a$ mengandungi sekurang-kurangnya satu bucu poligon. Dua sisinya, terletak pada satu sisi garisan $a$, menumpu di dalamnya (termasuk kes apabila salah satu daripadanya terletak pada garisan ini). Ini bermakna bahawa pada bucu ini sudutnya kurang daripada yang terbentang.

Definisi

Poligon itu dipanggil cembung, jika ia terletak pada satu sisi setiap baris yang mengandungi sisinya. Jika poligon bukan cembung, ia dipanggil tidak cembung.

Komen

Poligon cembung ialah persilangan separuh satah yang dibatasi oleh garisan yang mengandungi sisi poligon.

Sifat poligon cembung

Poligon cembung mempunyai semua sudut kurang daripada $180^\circ$.

Segmen garis yang menghubungkan mana-mana dua titik poligon cembung (khususnya, mana-mana pepenjurunya) terkandung dalam poligon ini.

Bukti

Jom buktikan harta pertama

Ambil mana-mana sudut $A$ poligon cembung $P$ dan sisinya $a$ datang daripada bucu $A$. Biarkan $l$ ialah garisan yang mengandungi sisi $a$. Oleh kerana poligon $P$ ialah cembung, ia terletak pada satu sisi garisan $l$. Akibatnya, sudut $A$ juga terletak pada satu sisi garisan ini. Ini bermakna sudut $A$ adalah kurang daripada sudut yang dibangunkan, iaitu kurang daripada $180^\circ$.

Mari kita buktikan harta kedua

Ambil mana-mana dua titik $A$ dan $B$ bagi poligon cembung $P$. Poligon $P$ ialah persilangan beberapa satah separuh. Segmen $AB$ terkandung dalam setiap separuh satah ini. Oleh itu, ia juga terkandung dalam poligon $P$.

Definisi

Diagonal poligon dipanggil segmen yang menghubungkan bucu bukan bersebelahan.

Teorem (tentang bilangan pepenjuru n-gon)

Bilangan pepenjuru bagi cembung $n$-gon dikira dengan formula $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Bukti

Daripada setiap bucu n-gon adalah mungkin untuk melukis pepenjuru $n-3$ (anda tidak boleh melukis pepenjuru ke bucu jiran atau ke bucu ini sendiri). Jika kita mengira semua segmen yang mungkin sedemikian, maka akan ada $n\cdot(n-3)$ daripadanya, kerana terdapat $n$ bucu. Tetapi setiap pepenjuru akan dikira dua kali. Oleh itu, bilangan pepenjuru n-gon adalah sama dengan $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Teorem (tentang jumlah sudut n-gon)

Jumlah sudut cembung $n$-gon ialah $180^\circ(n-2)$.

Bukti

Pertimbangkan $n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Mari kita ambil titik $O$ sembarangan di dalam poligon ini.

Jumlah sudut semua segi tiga $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ adalah bersamaan dengan $180^\circ\cdot n$.

Sebaliknya, jumlah ini ialah hasil tambah semua sudut dalaman poligon dan jumlah sudut $\sudut O=\sudut 1+\sudut 2+\sudut 3+\ldots=30^\circ$.

Maka jumlah sudut $n$-gon yang sedang dipertimbangkan adalah sama dengan $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Akibat

Jumlah sudut bagi $n$-gon bukan cembung ialah $180^\circ(n-2)$.

Bukti

Pertimbangkan poligon $A_1A_2\ldots A_n$, yang satu-satunya sudut $\sudut A_2$ ialah bukan cembung, iaitu $\sudut A_2>180^\circ$.

Mari kita nyatakan jumlah tangkapannya sebagai $S$.

Mari kita sambungkan titik $A_1A_3$ dan pertimbangkan poligon $A_1A_3\ldots A_n$.

Jumlah sudut poligon ini ialah:

$180^\circum\cdot(n-1-2)=S-\sudut A_2+\sudut 1+\sudut 2=S-\sudut A_2+180^\circ-\sudut A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \sudut A_1A_2A_3+\sudut A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Oleh itu, $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Jika poligon asal mempunyai lebih daripada satu sudut bukan cembung, maka operasi yang diterangkan di atas boleh dilakukan dengan setiap sudut tersebut, yang akan membawa kepada pernyataan dibuktikan.

Teorem (pada jumlah sudut luar bagi n-gon cembung)

Jumlah sudut luar bagi cembung $n$-gon ialah $360^\circ$.

Bukti

Sudut luar pada bucu $A_1$ bersamaan dengan $180^\circ-\angle A_1$.

Jumlah semua sudut luar adalah sama dengan:

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\sudut A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2)=360^\circ$.