Definisi poligon cembung dan unsur-unsurnya. Membahagikan poligon cembung

Menentukan kecembungan poligon.

Algoritma Kirus-Back mengandaikan kehadiran poligon cembung yang digunakan sebagai tetingkap.

Walau bagaimanapun, dalam amalan, tugas memotong poligon sangat kerap timbul, dan maklumat tentang sama ada ia cembung atau tidak pada mulanya tidak diberikan. Dalam kes ini, sebelum memulakan prosedur pemotongan, adalah perlu untuk menentukan poligon mana yang diberikan - cembung atau tidak.

Mari kita berikan beberapa definisi tentang kecembungan poligon

Poligon dianggap cembung jika salah satu daripada syarat berikut dipenuhi:

1) dalam poligon cembung, semua bucu terletak pada satu sisi garisan yang membawa sebarang tepi (sepanjang sebelah dalam relatif kepada kelebihan tertentu);

2) semua sudut dalaman poligon adalah kurang daripada 180°;

3) semua pepenjuru yang menghubungkan bucu poligon terletak di dalam poligon ini;

4) semua penjuru poligon dilalui dalam arah yang sama (Rajah 3.3-1).

Untuk membangunkan perwakilan analitik bagi kriteria kecembungan terakhir, kami menggunakan produk vektor.

Karya seni vektor W dua vektor a Dan b (Gamb. 3.3‑2 a) ditakrifkan sebagai:

A x ,a y ,a z dan b x ,b y ,b z ialah unjuran pada paksi koordinat X ,Y ,Z , masing-masing, bagi vektor faktor a Dan b,

- i, j, k– vektor unit di sepanjang paksi koordinat X, Y, Z.

nasi.3.3 ‑ 1

nasi.3.3 ‑ 2

Jika kita menganggap perwakilan dua dimensi poligon sebagai perwakilannya dalam satah koordinat XY sistem koordinat tiga dimensi X,Y,Z (Rajah 3.3‑2 b), kemudian ungkapan untuk pembentukan produk vektor vektor U Dan V, di mana vektor U Dan V ialah tepi bersebelahan membentuk sudut poligon, boleh ditulis sebagai penentu:

Vektor hasil silang adalah berserenjang dengan satah di mana vektor faktor terletak. Arah vektor produk ditentukan oleh peraturan gimlet atau peraturan skru sebelah kanan.

Untuk kes yang dibentangkan dalam Rajah. 3.3‑2 b ), vektor W, sepadan dengan hasil vektor vektor V, U, akan mempunyai arah yang sama dengan arah paksi koordinat Z.

Memandangkan unjuran pada paksi Z bagi vektor faktor dalam kes ini adalah sama dengan sifar, produk vektor boleh diwakili sebagai:

(3.3-1)

Vektor unit k sentiasa positif, oleh itu tanda vektor w hasil vektor hanya akan ditentukan oleh tanda penentu D dalam ungkapan di atas. Ambil perhatian bahawa berdasarkan sifat produk vektor, apabila menukar vektor faktor U Dan V tanda vektor w akan berubah menjadi sebaliknya.

Ia berikutan bahawa jika sebagai vektor V Dan U pertimbangkan dua tepi bersebelahan poligon, maka susunan penyenaraian vektor dalam hasil vektor boleh diletakkan mengikut traversal sudut poligon yang sedang dipertimbangkan atau tepi yang membentuk sudut ini. Ini membolehkan anda menggunakan peraturan berikut sebagai kriteria untuk menentukan kecembungan poligon:

jika bagi semua pasangan tepi poligon syarat berikut dipenuhi:

Jika tanda-tanda produk vektor untuk sudut individu tidak bertepatan, maka poligon itu tidak cembung.

Memandangkan tepi poligon ditentukan dalam bentuk koordinat titik akhir mereka, adalah lebih mudah untuk menggunakan penentu untuk menentukan tanda produk vektor.

Dalam pelajaran ini kita akan mula topik baru dan memperkenalkan konsep baharu untuk kami: "poligon". Kita akan melihat konsep asas yang dikaitkan dengan poligon: sisi, sudut bucu, kecembungan dan tidak cembung. Kemudian kita akan buktikan fakta yang paling penting seperti teorem hasil tambah sudut dalaman poligon, teorem jumlah sudut luar poligon. Akibatnya, kita akan hampir mengkaji kes-kes khas poligon, yang akan dipertimbangkan dalam pelajaran selanjutnya.

Topik: Segiempat

Pelajaran: Poligon

Dalam kursus geometri, kami mengkaji sifat-sifat angka geometri dan telah memeriksa yang paling mudah: segi tiga dan bulatan. Pada masa yang sama, kami juga membincangkan kes-kes khas khusus bagi angka-angka ini, seperti kanan, isosceles dan segi tiga sekata. Kini tiba masanya untuk bercakap tentang lebih umum dan angka kompleks - poligon.

Dengan kes khas poligon kita sudah biasa - ini adalah segi tiga (lihat Rajah 1).

nasi. 1. Segi tiga

Nama itu sendiri sudah menekankan bahawa ini adalah angka dengan tiga sudut. Oleh itu, dalam poligon boleh ada banyak daripada mereka, i.e. lebih daripada tiga. Sebagai contoh, mari kita lukis pentagon (lihat Rajah 2), i.e. rajah dengan lima penjuru.

nasi. 2. Pentagon. Poligon cembung

Definisi.Poligon- angka yang terdiri daripada beberapa titik (lebih daripada dua) dan bilangan segmen yang sepadan yang menghubungkannya secara berurutan. Titik-titik ini dipanggil puncak poligon, dan segmennya ialah pihak. Dalam kes ini, tiada dua sisi bersebelahan terletak pada garis lurus yang sama dan tiada dua sisi bukan bersebelahan bersilang.

Definisi.Poligon biasa- Ini poligon cembung, di mana semua sisi dan sudut adalah sama.

mana-mana poligon membahagikan pesawat kepada dua kawasan: dalaman dan luaran. Kawasan dalaman juga disebut sebagai poligon.

Dalam erti kata lain, sebagai contoh, apabila mereka bercakap tentang pentagon, mereka bermaksud kedua-dua kawasan dalamannya dan sempadannya. Dan kawasan dalaman termasuk semua titik yang terletak di dalam poligon, i.e. titik itu juga merujuk kepada pentagon (lihat Rajah 2).

Poligon juga kadangkala dipanggil n-gon untuk menekankan bahawa kes umum kehadiran beberapa bilangan sudut yang tidak diketahui (n keping) dipertimbangkan.

Definisi. Perimeter poligon- hasil tambah panjang sisi poligon itu.

Sekarang kita perlu membiasakan diri dengan jenis poligon. Mereka dibahagikan kepada cembung Dan tidak cembung. Sebagai contoh, poligon yang ditunjukkan dalam Rajah. 2 ialah cembung, dan dalam Rajah. 3 tidak cembung.

nasi. 3. Poligon bukan cembung

Definisi 1. Poligon dipanggil cembung, jika apabila melukis garis lurus melalui mana-mana sisinya, keseluruhannya poligon hanya terletak pada satu sisi garis lurus ini. Tidak cembung adalah orang lain poligon.

Adalah mudah untuk membayangkan bahawa apabila memanjangkan mana-mana sisi pentagon dalam Rajah. 2 semuanya akan berada di satu sisi garis lurus ini, i.e. ia adalah cembung. Tetapi apabila melukis garis lurus melalui segiempat dalam Rajah. 3 kita sudah melihat bahawa ia membahagikannya kepada dua bahagian, i.e. ia tidak cembung.

Tetapi terdapat definisi lain tentang kecembungan poligon.

Definisi 2. Poligon dipanggil cembung, jika apabila memilih mana-mana dua titik dalamannya dan menyambungkannya dengan segmen, semua titik segmen itu juga merupakan titik dalam poligon.

Demonstrasi penggunaan definisi ini boleh dilihat dalam contoh membina segmen dalam Rajah. 2 dan 3.

Definisi. pepenjuru poligon ialah sebarang segmen yang menghubungkan dua bucu bukan bersebelahan.

Untuk menerangkan sifat poligon, terdapat dua teorem terpenting tentang sudut mereka: teorem hasil tambah sudut pedalaman poligon cembung Dan teorem hasil tambah sudut luar poligon cembung. Mari lihat mereka.

Teorem. Pada hasil tambah sudut pedalaman poligon cembung (n-gon).

Di manakah bilangan sudutnya (sisi).

Bukti 1. Mari kita gambarkan dalam Rajah. 4 cembung n-gon.

nasi. 4. Cembung n-gon

Dari puncak kita melukis semua pepenjuru yang mungkin. Mereka membahagikan n-gon kepada segi tiga, kerana setiap sisi poligon membentuk segi tiga, kecuali sisi yang bersebelahan dengan bucu. Adalah mudah untuk melihat dari rajah bahawa jumlah sudut semua segi tiga ini akan sama dengan jumlah sudut dalaman n-gon. Oleh kerana jumlah sudut mana-mana segi tiga ialah , maka hasil tambah sudut dalam bagi n-gon ialah:

Q.E.D.

Bukti 2. Satu lagi bukti teorem ini mungkin. Mari kita lukis n-gon yang serupa dalam Rajah. 5 dan sambungkan mana-mana titik dalamannya dengan semua bucu.

nasi. 5.

Kami telah memperoleh pembahagian n-gon kepada n segi tiga (sebanyak sisi yang terdapat segi tiga). Jumlah semua sudutnya adalah sama dengan jumlah sudut pedalaman poligon dan jumlah sudut di titik dalaman, dan ini adalah sudutnya. Kami ada:

Q.E.D.

Terbukti.

Menurut teorem terbukti, adalah jelas bahawa jumlah sudut n-gon bergantung kepada bilangan sisinya (pada n). Sebagai contoh, dalam segi tiga, dan jumlah sudut ialah . Dalam segi empat, dan jumlah sudut ialah, dsb.

Teorem. Pada hasil tambah sudut luar poligon cembung (n-gon).

Di manakah bilangan sudutnya (sisi), dan , ..., ialah sudut luar.

Bukti. Mari kita gambarkan n-gon cembung dalam Rajah. 6 dan tentukan sudut dalam dan luarnya.

nasi. 6. N-gon cembung dengan sudut luar yang ditetapkan

Kerana Sudut luaran disambungkan kepada sudut dalaman sebagai bersebelahan, kemudian dan begitu juga untuk sudut luar yang tinggal. Kemudian:

Semasa penjelmaan, kami menggunakan teorem yang telah terbukti tentang jumlah sudut dalaman n-gon.

Terbukti.

Daripada teorem terbukti ia berikut fakta menarik, bahawa jumlah sudut luar cembung n-gon sama dengan pada bilangan sudutnya (sisi). By the way, berbeza dengan jumlah sudut dalaman.

Bibliografi

1. Alexandrov A.D. dan lain-lain Geometri, darjah 8. - M.: Pendidikan, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri, darjah 8. - M.: Pendidikan, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri, darjah 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Kerja rumah

Bentuk geometri ini mengelilingi kita di mana-mana. Poligon cembung boleh menjadi semula jadi, seperti sarang lebah, atau buatan (buatan manusia). Angka-angka ini digunakan dalam pengeluaran pelbagai jenis salutan, dalam lukisan, seni bina, hiasan, dll. Poligon cembung mempunyai sifat bahawa semua titiknya terletak pada satu sisi garis yang melalui sepasang bucu bersebelahan ini. angka geometri. Terdapat definisi lain. Poligon cembung ialah poligon yang terletak dalam separuh satah tunggal berbanding mana-mana garis lurus yang mengandungi salah satu sisinya.

saya tahu geometri asas Hanya poligon mudah sentiasa dipertimbangkan. Untuk memahami semua sifat sedemikian, perlu memahami sifat mereka. Pertama, anda harus faham bahawa mana-mana garisan yang hujungnya bertepatan dipanggil tertutup. Selain itu, angka yang dibentuk olehnya boleh mempunyai pelbagai konfigurasi. Poligon ialah tertutup mudah garis putus, di mana pautan jiran tidak terletak pada garis lurus yang sama. Pautan dan bucunya adalah, masing-masing, sisi dan bucu rajah geometri ini. Garis poli ringkas tidak seharusnya mempunyai persimpangan sendiri.

Bucu poligon dipanggil bersebelahan jika ia mewakili hujung salah satu sisinya. Rajah geometri yang mempunyai nombor ke-n puncak, dan oleh itu kuantiti ke- sisi dipanggil n-gon. Garis putus itu sendiri dipanggil sempadan atau kontur rajah geometri ini. Satah poligon atau poligon rata ialah bahagian terhingga mana-mana satah yang dibatasi olehnya. Sisi bersebelahan rajah geometri ini ialah segmen garis putus yang terpancar dari satu bucu. Mereka tidak akan bersebelahan jika ia datang dari bucu poligon yang berbeza.

Takrif lain bagi poligon cembung

Dalam geometri asas, terdapat beberapa lagi definisi yang setara dalam makna, menunjukkan poligon yang dipanggil cembung. Lebih-lebih lagi, semua formulasi ini dalam pada tahap yang sama adalah benar. Poligon dianggap cembung jika ia:

Setiap segmen yang menghubungkan mana-mana dua titik di dalamnya terletak sepenuhnya di dalamnya;

Semua pepenjurunya terletak di dalamnya;

Mana-mana sudut dalaman tidak melebihi 180°.

Poligon sentiasa membelah satah kepada 2 bahagian. Salah satu daripadanya adalah terhad (ia boleh disertakan dalam bulatan), dan satu lagi tidak terhad. Yang pertama dipanggil kawasan dalaman, dan yang kedua ialah kawasan luaran angka geometri ini. Poligon ini ialah persilangan (dengan kata lain, komponen sepunya) bagi beberapa satah separuh. Selain itu, setiap segmen yang mempunyai hujung pada titik yang tergolong dalam poligon sepenuhnya adalah kepunyaannya.

Varieti poligon cembung

Definisi poligon cembung tidak menunjukkan bahawa terdapat banyak jenis. Lebih-lebih lagi, setiap daripada mereka mempunyai kriteria tertentu. Oleh itu, poligon cembung yang mempunyai sudut dalam bersamaan 180° dipanggil cembung lemah. Rajah geometri cembung yang mempunyai tiga bucu dipanggil segi tiga, empat - segiempat, lima - pentagon, dsb. Setiap n-gon cembung memenuhi keperluan paling penting berikut: n mestilah sama dengan atau lebih besar daripada 3. Setiap daripada segi tiga itu adalah cembung. Rajah geometri jenis ini, semua bucunya terletak pada bulatan yang sama dipanggil tersurat dalam bulatan. Poligon cembung dipanggil berhad jika semua sisinya berhampiran bulatan menyentuhnya. Dua poligon dikatakan kongruen hanya jika ia boleh disatukan dengan superposisi. Poligon satah ialah satah poligon (sebahagian daripada satah) yang dihadkan oleh rajah geometri ini.

Poligon cembung sekata

Poligon sekata ialah angka geometri dengan sudut yang sama dan pihak-pihak. Di dalamnya terdapat titik 0, yang terletak pada jarak yang sama dari setiap bucunya. Ia dipanggil pusat angka geometri ini. Segmen yang menghubungkan pusat dengan bucu rajah geometri ini dipanggil apotema, dan titik yang menghubungkan 0 dengan sisi dipanggil jejari.

Segiempat sekata ialah segi empat sama. Segitiga biasa dipanggil sama sisi. Untuk rajah sedemikian, terdapat peraturan berikut: setiap sudut poligon cembung adalah sama dengan 180° * (n-2)/n,

di mana n ialah bilangan bucu bagi rajah geometri cembung ini.

Kawasan mana-mana poligon sekata ditentukan oleh formula:

di mana p adalah sama dengan separuh hasil tambah semua sisi poligon yang diberi, dan h adalah sama dengan panjang apotema.

Sifat poligon cembung

Poligon cembung mempunyai sifat-sifat tertentu. Oleh itu, segmen yang menghubungkan mana-mana 2 titik rajah geometri sedemikian semestinya terletak di dalamnya. Bukti:

Mari kita andaikan bahawa P ialah poligon cembung yang diberi. ambil 2 mata sewenang-wenangnya, sebagai contoh, A, B, kepunyaan R. Po definisi sedia ada bagi poligon cembung, titik-titik ini terletak pada satu sisi garisan, yang mengandungi mana-mana sisi P. Akibatnya, AB juga mempunyai sifat ini dan terkandung dalam P. Poligon cembung sentiasa boleh dibahagikan kepada beberapa segi tiga dengan benar-benar semua pepenjuru yang diambil dari salah satu bucunya.

Sudut bagi bentuk geometri cembung

Sudut poligon cembung ialah sudut yang dibentuk oleh sisinya. Sudut dalaman terletak di kawasan pedalaman bagi rajah geometri tertentu. Sudut yang dibentuk oleh sisinya yang bertemu pada satu bucu dipanggil sudut poligon cembung. dengan sudut dalam bagi rajah geometri tertentu dipanggil luaran. Setiap sudut poligon cembung yang terletak di dalamnya adalah sama dengan:

di mana x ialah saiz sudut luar. ini formula mudah terpakai kepada mana-mana angka geometri jenis ini.

DALAM kes am, untuk sudut luar ada mengikut peraturan: Setiap sudut poligon cembung adalah sama dengan perbezaan antara 180° dan saiz sudut pedalaman. Ia boleh mempunyai nilai antara -180° hingga 180°. Oleh itu, apabila sudut dalam ialah 120°, sudut luaran akan menjadi 60°.

Jumlah sudut poligon cembung

Jumlah sudut dalam poligon cembung ditentukan oleh formula:

di mana n ialah bilangan bucu bagi n-gon.

Jumlah sudut poligon cembung dikira dengan agak mudah. Pertimbangkan mana-mana rajah geometri sedemikian. Untuk menentukan jumlah sudut di dalam poligon cembung, anda perlu menyambungkan salah satu bucunya ke bucu lain. Hasil daripada tindakan ini, segitiga (n-2) diperolehi. Adalah diketahui bahawa jumlah sudut mana-mana segi tiga sentiasa sama dengan 180°. Oleh kerana nombor mereka dalam mana-mana poligon ialah (n-2), jumlah sudut dalam bagi rajah tersebut adalah sama dengan 180° x (n-2).

Jumlah sudut poligon cembung, iaitu mana-mana dua sudut luar dalam dan bersebelahan, untuk rajah geometri cembung tertentu akan sentiasa sama dengan 180°. Berdasarkan ini, kita boleh menentukan jumlah semua sudutnya:

Jumlah sudut pedalaman ialah 180° * (n-2). Berdasarkan ini, jumlah semua sudut luar bagi rajah tertentu ditentukan oleh formula:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

Jumlah sudut luar mana-mana poligon cembung akan sentiasa 360° (tanpa mengira bilangan sisi).

Sudut luar poligon cembung biasanya diwakili oleh perbezaan antara 180° dan nilai sudut pedalaman.

Sifat lain poligon cembung

Sebagai tambahan kepada sifat asas bentuk geometri ini, ia juga mempunyai ciri lain yang timbul apabila memanipulasinya. Oleh itu, mana-mana poligon boleh dibahagikan kepada beberapa n-gon cembung. Untuk melakukan ini, anda perlu meneruskan setiap sisinya dan memotong angka geometri ini di sepanjang garis lurus ini. Ia juga mungkin untuk membahagikan mana-mana poligon kepada beberapa bahagian cembung dengan cara yang bucu setiap bahagian bertepatan dengan semua bucunya. Daripada rajah geometri sedemikian, anda boleh membuat segitiga dengan menarik semua pepenjuru dari satu bucu. Oleh itu, mana-mana poligon akhirnya boleh dibahagikan kepada beberapa segi tiga tertentu, yang ternyata sangat berguna dalam menyelesaikan pelbagai tugas dikaitkan dengan angka geometri tersebut.

Perimeter poligon cembung

Segmen garis putus, dipanggil sisi poligon, paling kerap dilambangkan dengan huruf berikut: ab, bc, cd, de, ea. Ini ialah sisi rajah geometri dengan bucu a, b, c, d, e. Jumlah panjang semua sisi poligon cembung ini dipanggil perimeternya.

Bulatan poligon

Poligon cembung boleh ditulis atau dihadkan. Bulatan yang menyentuh semua sisi rajah geometri ini dipanggil tertulis di dalamnya. Poligon sedemikian dipanggil berhad. Pusat bulatan yang ditulis dalam poligon ialah titik persilangan pembahagi dua semua sudut dalam rajah geometri tertentu. Luas poligon tersebut adalah sama dengan:

dengan r ialah jejari bulatan tersurat, dan p ialah separuh perimeter poligon yang diberi.

Bulatan yang mengandungi bucu poligon dipanggil terhad mengenainya. Dalam kes ini, angka geometri cembung ini dipanggil bertulis. Pusat bulatan yang diterangkan di sekeliling poligon tersebut ialah titik persilangan bagi apa yang dipanggil pembahagi dua serenjang bagi semua sisi.

Diagonal bagi bentuk geometri cembung

Diagonal poligon cembung ialah segmen yang bersambung puncak jiran. Setiap daripada mereka terletak di dalam rajah geometri ini. Bilangan pepenjuru bagi n-gon tersebut ditentukan oleh formula:

N = n (n - 3)/ 2.

Bilangan pepenjuru poligon cembung dimainkan peranan penting dalam geometri asas. Bilangan segi tiga (K) di mana setiap poligon cembung boleh dibahagikan dikira menggunakan formula berikut:

Bilangan pepenjuru poligon cembung sentiasa bergantung pada bilangan bucunya.

Membahagikan poligon cembung

Dalam beberapa kes, untuk menyelesaikan masalah geometri adalah perlu untuk membahagikan poligon cembung kepada beberapa segi tiga dengan pepenjuru bercapah. Masalah ini boleh diselesaikan dengan mendapatkan formula tertentu.

Definisi masalah: mari kita panggil pembetulan partition tertentu bagi n-gon cembung kepada beberapa segi tiga dengan pepenjuru bersilang hanya pada bucu rajah geometri ini.

Penyelesaian: Katakan P1, P2, P3..., Pn ialah bucu n-gon ini. Nombor Xn ialah bilangan partitionnya. Mari kita mempertimbangkan dengan teliti pepenjuru yang terhasil bagi rajah geometri Pi Pn. Dalam mana-mana sekatan yang betulР1 Pn tergolong dalam segi tiga tertentu Р1 Pi Pn, yang mempunyai 1

Biarkan i = 2 ialah satu kumpulan partition sekata, sentiasa mengandungi pepenjuru P2 Pn. Bilangan partition yang disertakan di dalamnya bertepatan dengan bilangan partition (n-1)-gon P2 P3 P4... Pn. Dalam erti kata lain, ia sama dengan Xn-1.

Jika i = 3, maka kumpulan partition yang lain ini akan sentiasa mengandungi pepenjuru P3 P1 dan P3 Pn. Dalam kes ini, bilangan partition biasa yang terkandung dalam kumpulan ini akan bertepatan dengan bilangan partition (n-2)-gon P3 P4... Pn. Dalam erti kata lain, ia akan sama dengan Xn-2.

Biarkan i = 4, maka di antara segi tiga sekatan yang betul pasti akan mengandungi segi tiga P1 P4 Pn, yang akan bersebelahan dengan segi empat P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5... Pn. Bilangan sekatan sekata bagi segiempat tersebut ialah X4, dan bilangan sekatan bagi suatu (n-3)-gon ialah Xn-3. Berdasarkan semua perkara di atas, kita boleh mengatakan bahawa jumlah bilangan partition biasa yang terkandung dalam kumpulan ini adalah sama dengan Xn-3 X4. Kumpulan lain dengan i = 4, 5, 6, 7... akan mengandungi Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7... sekatan biasa.

Biarkan i = n-2, maka bilangan partition yang betul dalam kumpulan ini akan bertepatan dengan bilangan partition dalam kumpulan yang i=2 (dengan kata lain, sama dengan Xn-1).

Oleh kerana X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2..., maka bilangan semua partition poligon cembung adalah sama dengan:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Bilangan sekatan biasa yang bersilang satu pepenjuru di dalam

Apabila menyemak kes-kes tertentu, seseorang boleh membuat andaian bahawa bilangan pepenjuru n-gon cembung adalah sama dengan hasil darab semua partition rajah ini ke dalam (n-3).

Bukti andaian ini: bayangkan bahawa P1n = Xn * (n-3), maka mana-mana n-gon boleh dibahagikan kepada (n-2)-segitiga. Selain itu, satu (n-3)-segi empat boleh dibentuk daripada mereka. Bersama-sama dengan ini, setiap segi empat akan mempunyai pepenjuru. Oleh kerana dua pepenjuru boleh dilukis dalam rajah geometri cembung ini, ini bermakna pepenjuru tambahan (n-3) boleh dilukis dalam mana-mana (n-3)-empat segi empat. Berdasarkan ini, kita boleh membuat kesimpulan bahawa dalam mana-mana partition biasa adalah mungkin untuk menarik (n-3)-pepenjuru yang memenuhi syarat masalah ini.

Kawasan poligon cembung

Selalunya, apabila menyelesaikan pelbagai masalah geometri asas, ia menjadi perlu untuk menentukan luas poligon cembung. Katakan (Xi. Yi), i = 1,2,3... n ialah jujukan koordinat bagi semua bucu jiran poligon yang tidak mempunyai persilangan sendiri. Dalam kes ini, kawasannya dikira menggunakan formula berikut:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

di mana (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1).

Definisi 1. Garis putus-putus ialah jujukan segmen terhingga yang mana satu hujung segmen pertama berfungsi sebagai hujung kedua, hujung satu lagi segmen kedua berfungsi sebagai hujung segmen ketiga, dsb.

Segmen yang membentuk garis putus dipanggil pautan. Segmen bersebelahan tidak terletak pada garis lurus yang sama. Jika hujung garis putus bertepatan, maka ia dipanggil tertutup. Garis poli boleh bersilang dengan dirinya sendiri, menyentuh dirinya sendiri dan terletak pada dirinya sendiri. Sekiranya garis putus tidak mempunyai ciri sedemikian, maka ia dipanggil ringkas.

Definisi 2. Garis putus tertutup ringkas bersama-sama bahagian satah yang dibatasi olehnya dipanggil poligon.

Garis putus itu sendiri dipanggil sempadan poligon, pautan garis putus dipanggil pihak poligon, hujung pautan ialah bucu poligon. Dua sisi yang bersebelahan poligon membentuk sudut. Bilangan sudut dalam poligon adalah sama dengan bilangan sisi. Setiap poligon mempunyai sudut kurang daripada 180°. Sisi dan sudut poligon dipanggil elemen poligon.

Segmen garis yang menghubungkan dua bucu bukan bersebelahan poligon dipanggil pepenjuru. Mana-mana n-gon boleh mempunyai n-2 pepenjuru.

Definisi 3. Poligon itu dipanggil cembung, jika ia terletak pada satu sisi setiap baris yang mengandungi sisinya. Poligon yang tidak memenuhi syarat ini dipanggil bukan cembung.

Sifat poligon cembung.

Harta 1. Poligon cembung mempunyai semua sudut kurang daripada 180°.

Bukti: Ambil mana-mana sudut A poligon cembung P dan sisinya a datang dari bucu A. Biarkan l ialah garis lurus yang mengandungi sisi a. Oleh kerana poligon P ialah cembung, ia terletak pada satu sisi garis l. Oleh itu, sudut A terletak pada satu sisi garis lurus l. Akibatnya, sudut A adalah kurang daripada sudut terbentang, iaitu ÐA< 180°.

Harta 2. Segmen garis yang menghubungkan mana-mana dua titik poligon cembung terkandung dalam poligon itu.

Bukti: Ambil mana-mana dua titik M dan N bagi poligon cembung P. Poligon P ialah persilangan beberapa satah separuh. Segmen MN terletak pada setiap separuh satah ini. Oleh itu, ia juga terkandung dalam poligon R.

Harta 3. Jumlah sudut poligon cembung ialah (n – 2)∙180°.

Bukti: Ambil titik O sembarangan di dalam poligon cembung P dan sambungkannya ke semua bucu poligon. N segitiga terbentuk, jumlah sudut setiap satunya ialah 180°. Sudut pada bucu O ditambah sehingga 360° = 2∙180°. Oleh itu, jumlah sudut poligon ialah n∙180° - 2∙180° = (n – 2)∙180°.

Konsep segi empat selari. Sifat segi empat selari.

Definisi 1. Segi empat yang sisi bertentangannya selari berpasangan dipanggil selari.

Setiap segi empat selari mempunyai empat bucu, empat sisi dan empat bucu. Dua sisi yang mempunyai hujung yang sama dipanggil bersebelahan. Setiap segi empat selari mempunyai dua pepenjuru - segmen yang menghubungkan bucu bertentangan selari. Jumlah sudut segi empat selari ialah 360°.

Sifat segi empat selari.

Harta 1. Jajaran selari mempunyai sisi bertentangan sama dan sudut bertentangan sama berpasangan.

Bukti: Mari lukis AC pepenjuru. AC – am;

РВАС = РАСD (dalaman bersilang pada AB II BC dan sekan AC);

РВСА = РСАD (baring bersilang dalam pada AD II BC dan sekan AC);

Þ DABC = DADC (berdasarkan 2 ciri).

AB = CD; BC = AD; РВ = РD.

RA = РВАС + РСAD; РС = РАСB + РАСD; Þ РА = РС.

Harta 2. Dalam segi empat selari, sudut bersebelahan dengan satu sisi ditambah sehingga 180°.

Bukti:

РВ + РА =180° (dalaman satu sisi dengan BC II AD dan sekan AB).

ÐB + ÐС =180° (dalaman satu sisi dengan AB II CD dan sekan BC).

ÐD + ÐC =180° (dalaman satu sisi dengan BC II AD dan CD secant).

ÐA + ÐD =180° (dalaman satu sisi dengan AB II CD dan sekan AD).

Harta 3. Diagonal bagi segi empat selari dibahagikan kepada separuh dengan titik persilangan.

Bukti: Mari kita lukis pepenjuru AC dan BD yang bersilang pada titik O.

AB = CD (mengikut segiempat selari pertama);

ÐABO = ÐODC (dalaman bersilang pada CD AB II dan BD sekan);

РБАО = РОСD (dalaman bersilang pada CD AB II dan AC sekan);

Þ DABO = DODC (berdasarkan 2 ciri).

BO = OD; AO = OC.

Tanda-tanda segi empat selari.

Tanda 1. Jika dua sisi segiempat sama dan selari, maka segiempat itu ialah segiempat selari.

Diberi: ABCD – segi empat; AD II SM,