Satu set titik cembung pada satah.
Banyak mata pada kapal terbang atau dalam ruang tiga dimensi dipanggil cembung, jika mana-mana dua titik set ini boleh disambungkan oleh segmen garisan yang terletak sepenuhnya dalam set ini.
Teorem 1. persimpangan nombor terhingga set cembung ialah set cembung.
Akibat. Persilangan bagi bilangan terhingga set cembung ialah set cembung.
Mata sudut.
Titik sempadan set cembung dipanggil bersudut, jika mungkin untuk melukis segmen melaluinya, semua mata yang tidak tergolong dalam set yang diberikan.
Set bentuk yang berbeza boleh mempunyai terhingga atau nombor tak terhingga titik sudut.
Poligon cembung.
Poligon dipanggil cembung, jika ia terletak pada satu sisi setiap baris yang melalui dua bucu jirannya.
Teorem: Jumlah sudut bagi n-gon cembung ialah 180˚ *(n-2)
6) Penyelesaian sistem m ketaksamaan linear dengan dua pembolehubah
Diberi sistem ketaksamaan linear dengan dua pembolehubah
Tanda-tanda beberapa atau semua ketidaksamaan mungkin ≥.
Mari kita pertimbangkan ketaksamaan pertama dalam sistem koordinat X1OX2. Mari kita bina garis lurus
iaitu garis sempadan.
Garis lurus ini membahagikan satah kepada dua separuh satah 1 dan 2 (Rajah 19.4).
Separuh satah 1 mengandungi asalan, separuh satah 2 tidak mengandungi asalan.
Untuk menentukan sisi garisan sempadan yang terletak pada separuh satah tertentu, anda perlu ambil titik sewenang-wenangnya pada satah (sebaik-baiknya asalan) dan gantikan koordinat titik ini ke dalam ketaksamaan. Jika ketaksamaan adalah benar, maka separuh satah menghadap ke arah titik ini;
Arah separuh satah ditunjukkan dalam rajah dengan anak panah.
Definisi 15. Penyelesaian bagi setiap ketaksamaan sistem ialah satah separuh yang mengandungi garis sempadan dan terletak di sebelahnya.
Definisi 16. Persilangan separuh satah, setiap satunya ditentukan oleh ketaksamaan sistem yang sepadan, dipanggil domain penyelesaian sistem (SO).
Definisi 17. Luas penyelesaian sistem yang memenuhi syarat bukan negatif (xj ≥ 0, j =) dipanggil kawasan penyelesaian bukan negatif, atau boleh diterima (ADS).
Jika sistem ketaksamaan adalah tekal, maka OR dan ODR boleh menjadi polihedron, kawasan polihedral tidak terikat, atau satu titik.
Jika sistem ketaksamaan tidak konsisten, maka OR dan ODR adalah set kosong.
Contoh 1. Cari OR dan ODE sistem ketaksamaan dan tentukan koordinat titik sudut ODE
Penyelesaian. Mari kita cari OR bagi ketaksamaan pertama: x1 + 3x2 ≥ 3. Mari kita bina garis sempadan x1 + 3x2 – 3 = 0 (Rajah 19.5). Mari kita gantikan koordinat titik (0,0) ke dalam ketaksamaan: 1∙0 + 3∙0 > 3; oleh kerana koordinat titik (0,0) tidak memenuhinya, maka penyelesaian kepada ketaksamaan (19.1) ialah separuh satah yang tidak mengandungi titik (0,0).
Marilah kita sama-sama mencari penyelesaian kepada baki ketidaksamaan sistem. Kami memperoleh bahawa OR dan ODE sistem ketaksamaan ialah polihedron cembung ABCD.
Kami akan mencari titik sudut polihedron. Kami mentakrifkan titik A sebagai titik persilangan garis
Menyelesaikan sistem, kita mendapat A(3/7, 6/7).
Kita dapati titik B sebagai titik persilangan garis
Daripada sistem kita memperoleh B(5/3, 10/3). Begitu juga, kita dapati koordinat titik C dan D: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).
Contoh 2. Cari OR dan ODE bagi sistem ketaksamaan
Penyelesaian. Mari kita bina garis lurus dan tentukan penyelesaian kepada ketaksamaan (19.5)-(19.7). OR dan ODR ialah kawasan polihedral tanpa sempadan ACFM dan ABDEKM, masing-masing (Rajah 19.6).
Contoh 3. Cari OR dan ODE bagi sistem ketaksamaan
Penyelesaian. Mari kita cari penyelesaian kepada ketaksamaan (19.8)-(19.10) (Rajah 19.7). ATAU mewakili rantau polyhedral tanpa had ABC; ODR - titik B.
Contoh 4. Cari OP dan ODP bagi sistem ketaksamaan
Penyelesaian. Dengan membina garis lurus, kita akan mencari penyelesaian kepada ketaksamaan sistem. OR dan ODR tidak serasi (Rajah 19.8).
SENAMAN
Cari OR dan ODE bagi sistem ketaksamaan
Teorem. Jika xn ® a, maka .
Bukti. Daripada xn ® a ia berikutan bahawa . Dalam masa yang sama:
, iaitu , iaitu . Teorem telah terbukti.
Teorem. Jika xn ® a, maka jujukan (xn) adalah terikat.
Perlu diingatkan bahawa pernyataan sebaliknya adalah tidak benar, i.e. sempadan suatu jujukan tidak membayangkan penumpuannya.
Sebagai contoh, urutan 
tiada had sekalipun
Peluasan fungsi kepada siri kuasa.
Peluasan fungsi dalam siri kuasa Ia ada sangat penting untuk penyelesaian pelbagai tugas penyelidikan fungsi, pembezaan, penyepaduan, penyelesaian persamaan pembezaan, pengiraan had, pengiraan nilai anggaran fungsi.
Dalam pelajaran ini kita akan mulakan topik baru dan memperkenalkan konsep baharu untuk kami: "poligon". Kita akan melihat konsep asas yang berkaitan dengan poligon: sisi, sudut bucu, kecembungan dan tidak kecembungan. Kemudian kita akan buktikan fakta yang paling penting seperti teorem hasil tambah sudut dalaman poligon, teorem jumlah sudut luar poligon. Akibatnya, kita akan hampir mengkaji kes-kes khas poligon, yang akan dipertimbangkan dalam pelajaran selanjutnya.
Topik: Segiempat
Pelajaran: Poligon
Dalam kursus geometri kita mengkaji sifat bentuk geometri dan telah mempertimbangkan yang paling mudah daripada mereka: segitiga dan bulatan. Pada masa yang sama, kami juga membincangkan kes-kes khas khusus bagi angka-angka ini, seperti segi empat tepat, sama kaki dan segi tiga sekata. Kini tiba masanya untuk bercakap tentang lebih umum dan angka kompleks - poligon.
Dengan kes khas poligon kita sudah biasa - ini adalah segi tiga (lihat Rajah 1).
nasi. 1. Segi tiga
Nama itu sendiri sudah menekankan bahawa ini adalah angka dengan tiga sudut. Oleh itu, dalam poligon boleh ada banyak daripada mereka, i.e. lebih daripada tiga. Sebagai contoh, mari kita lukis pentagon (lihat Rajah 2), i.e. rajah dengan lima penjuru.
nasi. 2. Pentagon. Poligon cembung
Definisi.Poligon- angka yang terdiri daripada beberapa titik (lebih daripada dua) dan bilangan segmen yang sepadan yang menghubungkannya secara berurutan. Titik-titik ini dipanggil puncak poligon, dan segmennya ialah pihak. Dalam kes ini, tiada dua sisi bersebelahan terletak pada garis lurus yang sama dan tiada dua sisi bukan bersebelahan bersilang.
Definisi.Poligon biasa ialah poligon cembung di mana semua sisi dan sudut adalah sama.
mana-mana poligon membahagikan pesawat kepada dua kawasan: dalaman dan luaran. Kawasan dalaman juga disebut sebagai poligon.
Dalam erti kata lain, sebagai contoh, apabila mereka bercakap tentang pentagon, mereka bermaksud kedua-dua kawasan dalamannya dan sempadannya. Dan kawasan dalaman termasuk semua titik yang terletak di dalam poligon, i.e. titik itu juga merujuk kepada pentagon (lihat Rajah 2).
Poligon juga kadangkala dipanggil n-gon untuk menekankan perkara yang sedang dipertimbangkan kes am kehadiran beberapa bilangan sudut yang tidak diketahui (n keping).
Definisi. Perimeter poligon- hasil tambah panjang sisi poligon itu.
Sekarang kita perlu membiasakan diri dengan jenis poligon. Mereka dibahagikan kepada cembung Dan tidak cembung. Sebagai contoh, poligon yang ditunjukkan dalam Rajah. 2 ialah cembung, dan dalam Rajah. 3 tidak cembung.
nasi. 3. Poligon bukan cembung
Definisi 1. Poligon dipanggil cembung, jika apabila melukis garis lurus melalui mana-mana sisinya, keseluruhannya poligon hanya terletak pada satu sisi garis lurus ini. Tidak cembung adalah orang lain poligon.
Adalah mudah untuk membayangkan bahawa apabila memanjangkan mana-mana sisi pentagon dalam Rajah. 2 semuanya akan berada pada satu sisi garis lurus ini, i.e. ia adalah cembung. Tetapi apabila melukis garis lurus melalui segiempat dalam Rajah. 3 kita sudah melihat bahawa ia membahagikannya kepada dua bahagian, i.e. ia tidak cembung.
Tetapi terdapat definisi lain tentang kecembungan poligon.
Definisi 2. Poligon dipanggil cembung, jika apabila memilih mana-mana dua titik dalamannya dan menyambungkannya dengan segmen, semua titik segmen itu juga merupakan titik dalam poligon.
Demonstrasi penggunaan definisi ini boleh dilihat dalam contoh membina segmen dalam Rajah. 2 dan 3.
Definisi. pepenjuru poligon ialah sebarang segmen yang menghubungkan dua bucu bukan bersebelahan.
Untuk menerangkan sifat poligon, terdapat dua teorem terpenting tentang sudut mereka: teorem jumlah sudut pedalaman poligon cembung Dan teorem hasil tambah sudut luar poligon cembung. Mari lihat mereka.
Teorem. Pada hasil tambah sudut pedalaman poligon cembung (n-gon).
Di manakah bilangan sudutnya (sisi).
Bukti 1. Mari kita gambarkan dalam Rajah. 4 cembung n-gon.
nasi. 4. Cembung n-gon
Dari puncak kita melukis semua pepenjuru yang mungkin. Mereka membahagikan n-gon kepada segi tiga, kerana setiap sisi poligon membentuk segi tiga, kecuali sisi yang bersebelahan dengan bucu. Adalah mudah untuk melihat dari rajah bahawa jumlah sudut semua segi tiga ini akan sama dengan jumlah sudut dalam n-gon. Oleh kerana jumlah sudut mana-mana segi tiga ialah , maka hasil tambah sudut dalam bagi n-gon ialah:
Q.E.D.
Bukti 2. Satu lagi bukti teorem ini mungkin. Mari kita lukis n-gon yang serupa dalam Rajah. 5 dan sambungkan mana-mana titik dalamannya dengan semua bucu.
nasi. 5.
Kami telah memperoleh pembahagian n-gon kepada n segi tiga (sebanyak sisi yang terdapat segi tiga). Jumlah semua sudutnya adalah sama dengan jumlah sudut pedalaman poligon dan jumlah sudut di titik dalaman, dan ini adalah sudutnya. Kami ada:
Q.E.D.
Terbukti.
Menurut teorem terbukti, adalah jelas bahawa jumlah sudut n-gon bergantung kepada bilangan sisinya (pada n). Sebagai contoh, dalam segi tiga, dan jumlah sudut ialah . Dalam segi empat, dan jumlah sudut ialah, dsb.
Teorem. Pada hasil tambah sudut luar poligon cembung (n-gon).
Di manakah bilangan sudutnya (sisi), dan , ..., ialah sudut luar.
Bukti. Mari kita gambarkan n-gon cembung dalam Rajah. 6 dan tentukan sudut dalam dan luarnya.
nasi. 6. N-gon cembung dengan sudut luar yang ditetapkan
Kerana Sudut luar disambungkan dengan bahagian dalam sebagai bersebelahan, kemudian 
dan begitu juga untuk sudut luar yang tinggal. Kemudian:
Semasa penjelmaan, kami menggunakan teorem yang telah terbukti tentang jumlah sudut dalaman n-gon.
Terbukti.
Daripada teorem terbukti ia berikut fakta menarik, bahawa jumlah sudut luar bagi n-gon cembung adalah sama dengan 
pada bilangan sudutnya (sisi). By the way, berbeza dengan jumlah sudut dalaman.
Bibliografi
- Alexandrov A.D. dan lain-lain Geometri, darjah 8. - M.: Pendidikan, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri, darjah 8. - M.: Pendidikan, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri, darjah 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com ().
Kerja rumah
Konsep poligon
Definisi 1
Poligon ialah angka geometri dalam satah, yang terdiri daripada segmen yang disambungkan secara berpasangan, yang bersebelahan tidak terletak pada garis lurus yang sama.
Dalam kes ini, segmen dipanggil sisi poligon, dan kesudahannya - bucu poligon.
Definisi 2
$n$-gon ialah poligon dengan bucu $n$.
Jenis poligon
Definisi 3
Jika poligon sentiasa terletak pada sisi yang sama bagi mana-mana garisan yang melalui sisinya, maka poligon itu dipanggil cembung(Rajah 1).
Rajah 1. Poligon cembung
Definisi 4
Jika poligon terletak bersama sisi yang berbeza sekurang-kurangnya satu garis lurus yang melalui sisinya, maka poligon itu dipanggil bukan cembung (Rajah 2).
Rajah 2. Poligon bukan cembung
Jumlah sudut poligon
Mari kita perkenalkan satu teorem tentang jumlah sudut segitiga.
Teorem 1
Jumlah sudut bagi segi tiga cembung ditentukan seperti berikut
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
Bukti.
Marilah kita diberikan poligon cembung $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Mari sambungkan bucunya $A_1$ dengan semua bucu lain poligon yang diberi(Gamb. 3).
Rajah 3.
Dengan sambungan ini kita mendapat $n-2$ segitiga. Dengan menjumlahkan sudutnya, kita mendapat jumlah sudut bagi -gon yang diberikan. Oleh kerana jumlah sudut segitiga adalah sama dengan $(180)^0,$ kita memperoleh bahawa jumlah sudut segitiga cembung ditentukan oleh formula
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
Teorem telah terbukti.
Konsep segi empat
Menggunakan definisi $2$, adalah mudah untuk memperkenalkan definisi segi empat.
Definisi 5
Sisi empat ialah poligon dengan bucu $4$ (Rajah 4).
Rajah 4. Segiempat
Untuk segi empat, konsep segi empat cembung dan segiempat tidak cembung. Contoh klasik segi empat cembung ialah segi empat sama, segi empat tepat, trapezoid, rombus, selari (Rajah 5).
Rajah 5. Segi empat cembung
Teorem 2
Jumlah sudut bagi segi empat cembung ialah $(360)^0$
Bukti.
Dengan Teorem $1$, kita tahu bahawa jumlah sudut cembung -gon ditentukan oleh formula
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
Oleh itu, jumlah sudut bagi segi empat cembung adalah sama dengan
\[\kiri(4-2\kanan)\cdot (180)^0=(360)^0\]
Teorem telah terbukti.
Konsep poligon
Definisi 1
Poligon ialah angka geometri dalam satah, yang terdiri daripada segmen yang disambungkan secara berpasangan, yang bersebelahan tidak terletak pada garis lurus yang sama.
Dalam kes ini, segmen dipanggil sisi poligon, dan kesudahannya - bucu poligon.
Definisi 2
$n$-gon ialah poligon dengan bucu $n$.
Jenis poligon
Definisi 3
Jika poligon sentiasa terletak pada sisi yang sama bagi mana-mana garisan yang melalui sisinya, maka poligon itu dipanggil cembung(Rajah 1).
Rajah 1. Poligon cembung
Definisi 4
Jika poligon terletak pada sisi bertentangan sekurang-kurangnya satu garis lurus yang melalui sisinya, maka poligon itu dipanggil bukan cembung (Rajah 2).
Rajah 2. Poligon bukan cembung
Jumlah sudut poligon
Mari kita perkenalkan satu teorem tentang jumlah sudut segitiga.
Teorem 1
Jumlah sudut bagi segi tiga cembung ditentukan seperti berikut
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
Bukti.
Marilah kita diberikan poligon cembung $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Mari sambungkan bucunya $A_1$ dengan semua bucu lain poligon ini (Gamb. 3).
Rajah 3.
Dengan sambungan ini kita mendapat $n-2$ segitiga. Dengan menjumlahkan sudutnya, kita mendapat jumlah sudut bagi -gon yang diberikan. Oleh kerana jumlah sudut segitiga adalah sama dengan $(180)^0,$ kita memperoleh bahawa jumlah sudut segitiga cembung ditentukan oleh formula
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
Teorem telah terbukti.
Konsep segi empat
Menggunakan definisi $2$, adalah mudah untuk memperkenalkan definisi segi empat.
Definisi 5
Sisi empat ialah poligon dengan bucu $4$ (Rajah 4).
Rajah 4. Segiempat
Bagi segiempat, konsep segiempat cembung dan segiempat tidak cembung ditakrifkan secara serupa. Contoh klasik segi empat cembung ialah segi empat sama, segi empat tepat, trapezoid, rombus, selari (Rajah 5).
Rajah 5. Segi empat cembung
Teorem 2
Jumlah sudut bagi segi empat cembung ialah $(360)^0$
Bukti.
Dengan Teorem $1$, kita tahu bahawa jumlah sudut cembung -gon ditentukan oleh formula
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
Oleh itu, jumlah sudut bagi segi empat cembung adalah sama dengan
\[\kiri(4-2\kanan)\cdot (180)^0=(360)^0\]
Teorem telah terbukti.
Definisi 1. Garis putus dipanggil urutan akhir segmen, sedemikian rupa sehingga salah satu hujung segmen pertama berfungsi sebagai hujung kedua, hujung satu lagi segmen kedua berfungsi sebagai hujung segmen ketiga, dsb.
Segmen yang membentuk garis putus, dipanggil pautan. Segmen bersebelahan tidak terletak pada garis lurus yang sama. Jika hujung garis putus bertepatan, maka ia dipanggil tertutup. Garis poli boleh bersilang dengan dirinya sendiri, menyentuh dirinya sendiri dan terletak pada dirinya sendiri. Sekiranya garis putus tidak mempunyai ciri sedemikian, maka ia dipanggil ringkas.
Definisi 2. Garis putus tertutup ringkas bersama-sama bahagian satah yang dibatasi olehnya dipanggil poligon.
Garis putus itu sendiri dipanggil sempadan poligon, pautan garis putus dipanggil pihak poligon, hujung pautan ialah bucu poligon. Dua sisi yang bersebelahan poligon membentuk sudut. Bilangan sudut dalam poligon adalah sama dengan bilangan sisi. Setiap poligon mempunyai sudut kurang daripada 180°. Sisi dan sudut poligon dipanggil elemen poligon.
Segmen garis yang menghubungkan dua bucu bukan bersebelahan poligon dipanggil pepenjuru. Mana-mana n-gon boleh mempunyai n-2 pepenjuru.
Definisi 3. Poligon itu dipanggil cembung, jika ia terletak pada satu sisi setiap baris yang mengandungi sisinya. Poligon yang tidak memenuhi syarat ini dipanggil bukan cembung.
Sifat poligon cembung.
Harta 1. Poligon cembung mempunyai semua sudut kurang daripada 180°.
Bukti: Ambil mana-mana sudut A poligon cembung P dan sisinya a datang dari bucu A. Biarkan l ialah garis lurus yang mengandungi sisi a. Oleh kerana poligon P ialah cembung, ia terletak pada satu sisi garis l. Oleh itu, sudut A terletak pada satu sisi garis lurus l. Akibatnya, sudut A adalah kurang daripada sudut terbentang, iaitu ÐA< 180°.
Harta 2. Segmen garis yang menghubungkan mana-mana dua titik poligon cembung terkandung dalam poligon itu.
Bukti: Ambil mana-mana dua titik M dan N bagi poligon cembung P. Poligon P ialah persilangan beberapa satah separuh. Segmen MN terletak pada setiap separuh satah ini. Oleh itu, ia juga terkandung dalam poligon R.
Harta benda 3. Jumlah sudut poligon cembung ialah (n – 2)∙180°.
Bukti: Ambil titik O sembarangan di dalam poligon cembung P dan sambungkannya ke semua bucu poligon. n segitiga terbentuk, jumlah sudut setiap satunya ialah 180°. Sudut pada bucu O ditambah sehingga 360° = 2∙180°. Oleh itu, jumlah sudut poligon ialah n∙180° - 2∙180° = (n – 2)∙180°.
Konsep segi empat selari. Sifat segi empat selari.
Definisi 1. segi empat, sisi bertentangan yang selari berpasangan dipanggil selari.
Setiap segi empat selari mempunyai empat bucu, empat sisi dan empat bucu. Dua pihak mempunyai hujung biasa, dipanggil bersebelahan. Setiap segi empat selari mempunyai dua pepenjuru - segmen yang bersambung bucu bertentangan segi empat selari. Jumlah sudut segi empat selari ialah 360°.
Sifat segi empat selari.
Harta 1. Sebuah segi empat selari mempunyai sisi bertentangan sama dan sudut bertentangan berpasangan sama.
Bukti: Mari lukis AC pepenjuru. AC – am;
РВАС = РАСD (dalaman bersilang pada AB II BC dan sekan AC);
РВСА = РСАD (baring bersilang dalam pada AD II BC dan sekan AC);
Þ DABC = DADC (berdasarkan 2 ciri).
AB = CD; BC = AD; РВ = РD.
RA = РВАС + РСAD; РС = РАСB + РАСD; Þ РА = РС.
Harta 2. Dalam segi empat selari, sudut bersebelahan dengan satu sisi ditambah sehingga 180°.
Bukti:
РВ + РА =180° (dalaman satu sisi dengan BC II AD dan sekan AB).
ÐB + ÐС =180° (dalaman satu sisi dengan AB II CD dan sekan BC).
ÐD + ÐC =180° (dalaman satu sisi dengan BC II AD dan CD secant).
ÐA + ÐD =180° (dalaman satu sisi dengan AB II CD dan sekan AD).
Harta benda 3. Diagonal bagi segi empat selari dibahagikan kepada separuh dengan titik persilangan.
Bukti: Mari kita lukis pepenjuru AC dan BD yang bersilang pada titik O.
AB = CD (mengikut segiempat selari pertama);
ÐABO = ÐODC (dalaman bersilang pada CD AB II dan BD sekan);
РБАО = РОСD (dalaman bersilang pada CD AB II dan AC sekan);
Þ DABO = DODC (berdasarkan 2 ciri).
BO = OD; AO = OC.
Tanda-tanda segi empat selari.
Tanda 1. Jika dua sisi segiempat sama dan selari, maka segiempat itu ialah segiempat selari.
Diberi: ABCD – segi empat; AD II SM,