ಹಿಂದೆ ಮುಂದೆ

ಗಮನ! ಸ್ಲೈಡ್ ಪೂರ್ವವೀಕ್ಷಣೆಗಳು ಮಾಹಿತಿ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ನಿಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿ ಇದ್ದರೆ ಈ ಕೆಲಸ, ದಯವಿಟ್ಟು ಪೂರ್ಣ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ.

ಪಾಠದ ಪ್ರಕಾರ: ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸುವ ಪಾಠ.

ಪಾಠದ ಉದ್ದೇಶ:

• ಬಹುಪದದ ಬೇರುಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ಕಲಿಸಿ. ಅಧಿಕಾರಗಳ ಮೂಲಕ ಬಹುಪದವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಮತ್ತು ದ್ವಿಪದದಿಂದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ವಿಭಜಿಸಲು ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವಲ್ಲಿ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಿ.
• ಹಾರ್ನರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಲಿಯಿರಿ.
• ಅಮೂರ್ತ ಚಿಂತನೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿ.
• ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಸಂಸ್ಕೃತಿಯನ್ನು ಬೆಳೆಸಿಕೊಳ್ಳಿ.
• ಅಂತರಶಿಸ್ತೀಯ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ.

ತರಗತಿಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ

1. ಸಾಂಸ್ಥಿಕ ಕ್ಷಣ.

ಪಾಠದ ವಿಷಯವನ್ನು ತಿಳಿಸಿ, ಗುರಿಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿ.

2. ಮನೆಕೆಲಸವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ.

3. ಹೊಸ ವಸ್ತುವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು.

Fn(x) ಅನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - ಡಿಗ್ರಿ n ನ x ಗಾಗಿ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ, ಅಲ್ಲಿ a 0 , a 1 ,..., a n ಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 0 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಬಹುಪದೀಯ F n (x) ಅನ್ನು ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ದ್ವಿಪದ x-a, ನಂತರ ಅಂಶವು (ಅಪೂರ್ಣ ಅಂಶ) n-1 ಡಿಗ್ರಿಯ ಬಹುಪದೀಯ Q n-1 (x) ಆಗಿದೆ, ಉಳಿದ R ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R.ಬಹುಪದೀಯ F n (x) ಅನ್ನು R=0 ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ದ್ವಿಪದದಿಂದ (x-a) ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

ಬೆಝೌಟ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯ: ಬಹುಪದೀಯ F n (x) ಅನ್ನು ದ್ವಿಪದದಿಂದ (x-a) ಭಾಗಿಸುವುದರಿಂದ ಉಳಿದ R x=a ನಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದದ F n (x) ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. R=Pn(a).

ಸ್ವಲ್ಪ ಇತಿಹಾಸ. ಬೆಝೌಟ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸರಳತೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟತೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ ಒಂದಾಗಿದೆ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳುಬಹುಪದೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ, ಬಹುಪದಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು (ಇದು ನಮಗೆ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ) ಅವುಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು(ಇದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ). ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬಹುಪದವನ್ನು ಅಪವರ್ತನ ಮಾಡುವುದು. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಎಂಬ ಕೋಷ್ಟಕದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹಾರ್ನರ್ಸ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂಶವು ದ್ವಿಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ x–a.

ಹಾರ್ನರ್ ವಿಲಿಯಂ ಜಾರ್ಜ್ (1786 - 1837), ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಗಣಿತಜ್ಞ. ಮೂಲಭೂತ ಸಂಶೋಧನೆಯು ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಯಾವುದೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. 1819 ರಲ್ಲಿ ಅವರು ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಬಹುಪದವನ್ನು ದ್ವಿಪದ x - a (ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆ) ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಪ್ರಮುಖ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು.

ತೀರ್ಮಾನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆಗಾಗಿ.

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ f(x) ಅನ್ನು ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ದ್ವಿಪದದಿಂದ (x-c) ಭಾಗಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ q(x) ಮತ್ತು r ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಂದರೆ f(x)=(x-c)q(x)+r

ನಾವು ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಬರೆಯೋಣ:

f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r

ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಿಸೋಣ:

xn:	f 0 = q 0	=> q 0 = f 0
xn-1:	f 1 = q 1 - c q 0	=> q 1 = f 1 + c q 0
xn-2:	f 2 = q 2 - c q 1	=> q 2 = f 2 + c q 1
...		...
x0:	f n = q n - c q n-1	=> q n = f n + c q n-1.

ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಾರ್ನರ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ನ ಪ್ರದರ್ಶನ.

ವ್ಯಾಯಾಮ 1.ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಬಹುಪದದ f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 ಅನ್ನು ದ್ವಿಪದ x-2 ನಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ.

	1	-5	0	8
2	1	2*1+(-5)=-3	2*(-3)+0=-6	2*(-6)+8=-4

f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, ಅಲ್ಲಿ g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 ಶೇಷ.

ದ್ವಿಪದದ ಅಧಿಕಾರದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದದ ವಿಸ್ತರಣೆ.

ಹಾರ್ನರ್ಸ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ದ್ವಿಪದದ (x+2) ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೀಯ f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1 )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12

ಮೂರನೇ, ನಾಲ್ಕನೇ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಬಹುಪದವನ್ನು ದ್ವಿಪದ x-a ಆಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾದಾಗ ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಎಎಂದು ಕರೆದರು ಬಹುಪದದ ಮೂಲ F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, ವೇಳೆ x=aಬಹುಪದೀಯ F n (x) ನ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: F n (a)=0, ಅಂದರೆ. ಬಹುಪದವನ್ನು ದ್ವಿಪದ x-a ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಬಹುಪದದ F 3 (x)=3x 3 -2x-20 ನ ಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ F 3 (2)=0. ಎಂದರೆ. ಈ ಬಹುಪದದ ಅಪವರ್ತನವು x-2 ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).

ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದೀಯ F n (x) ಪದವಿ ಎನ್ 1 ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಾರದು ಎನ್ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳು.

ಯಾವುದಾದರು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೂಲಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಮೀಕರಣವು ಅದರ ಮುಕ್ತ ಪದದ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ.

ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕ 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಬೇರುಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.

ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ವಸ್ತುವಿನ ಬಲವರ್ಧನೆ.

ಹೊಸ ವಸ್ತುವನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು, ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ 2.41 ಮತ್ತು 2.42 (ಪು. 65) ನಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಆಹ್ವಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

(2 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಬೋರ್ಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಮತ್ತು ಉಳಿದವರು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ನಂತರ, ಬೋರ್ಡ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಉತ್ತರಗಳೊಂದಿಗೆ ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ).

ಸಾರಾಂಶ.

ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್‌ನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ರಚನೆ ಮತ್ತು ತತ್ವವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡ ನಂತರ, ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಬೈನರಿ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ ಅದನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಬಳಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲು ಆಧಾರವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ

ಪ್ರಮೇಯ.ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಲು Apನಿಂದ ಪ-ary ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಡಿಅಗತ್ಯ Apಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಭಾಗಿಸಿ ಡಿ, ಅದೇ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಪಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗುವವರೆಗೆ -ary ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ವಿಭಾಗದಿಂದ ಉಳಿದವು ಇರುತ್ತದೆ ಡಿ- ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಂಕೆಗಳು ಜಾಹೀರಾತು, ಕಿರಿಯ ವರ್ಗದಿಂದ ಹಿಡಿದು ಅತ್ಯಂತ ಹಿರಿಯರವರೆಗೆ. ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬೇಕು ಪ-ಅರಿ ಸಂಖ್ಯೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ, ಈ ನಿಯಮವು ಯಾವಾಗ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಪ= 10, ಅಂದರೆ. ಅನುವಾದಿಸುವಾಗ ನಿಂದದಶಮಾಂಶ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಇದು "ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ" ಬೈನರಿ ಸಿಸ್ಟಮ್. ಆದ್ದರಿಂದ, "2 ರಿಂದ 10" ಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು, ಬೈನರಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಹತ್ತರಿಂದ ಅನುಕ್ರಮ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು "10 ರಿಂದ 2" ಹತ್ತು ಶಕ್ತಿಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗಿದೆ. "10 ರಲ್ಲಿ 2" ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿಸಲು, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಹಾರ್ನರ್ನ ಆರ್ಥಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.

ಮನೆಕೆಲಸ. ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ.

1 ನೇ. ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, ಬಹುಪದವನ್ನು f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 ಅನ್ನು ದ್ವಿಪದದಿಂದ (x-3) ಭಾಗಿಸಿ.

2 ನೇ. ಬಹುಪದದ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 (ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣದ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೂಲವು ಅದರ ಮುಕ್ತ ಪದದ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ)

ಸಾಹಿತ್ಯ.

1. ಕುರೋಶ್ ಎ.ಜಿ. "ಉನ್ನತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್."
2. ನಿಕೋಲ್ಸ್ಕಿ ಎಸ್.ಎಂ., ಪೊಟಾಪೋವ್ ಎಂ.ಕೆ. ಮತ್ತು ಇತರರು ಗ್ರೇಡ್ 10 "ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆರಂಭಗಳು."
3. http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.

ಸ್ಲೈಡ್ 3

ಹಾರ್ನರ್ ವಿಲಿಯಮ್ಸ್ ಜಾರ್ಜ್ (1786-22.9.1837) - ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಗಣಿತಜ್ಞ. ಬ್ರಿಸ್ಟಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಜನಿಸಿದರು. ಅವರು ಅಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು ಮತ್ತು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದರು, ನಂತರ ಬಾತ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಶಾಲೆಗಳಲ್ಲಿ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲ ಕೃತಿಗಳು. 1819 ರಲ್ಲಿ ಬಹುಪದದ ನೈಜ ಬೇರುಗಳ ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದೆ, ಇದನ್ನು ಈಗ ರುಫಿನಿ-ಹಾರ್ನರ್ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಈ ವಿಧಾನವು 13 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಚೀನಿಯರಿಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು) ದ್ವಿಪದ x-a ನಿಂದ ಬಹುಪದವನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ ಹಾರ್ನರ್ ನಂತರ.

ಸ್ಲೈಡ್ 4

ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆ

n ನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವನ್ನು ರೇಖೀಯ ದ್ವಿಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ವಿಧಾನ - a, ಅಪೂರ್ಣ ಅಂಶದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಉಳಿದವುಗಳು ವಿಭಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಬಹುಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ:

ಸ್ಲೈಡ್ 5

ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಭಾಗಿಸಿ ಆಂಶಿಕ ಅಂಶವು x3-x2+3x - 13 ಮತ್ತು ಶೇಷವು 42=f(-3).

ಸ್ಲೈಡ್ 6

ಈ ವಿಧಾನದ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಸಾಂದ್ರತೆ ವೇಗದ ವಿಭಜನೆಬಹುಪದದಿಂದ ದ್ವಿಪದಕ್ಕೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಗುಂಪು ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಮತ್ತೊಂದು ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ದೃಶ್ಯವಲ್ಲ. ಉತ್ತರವನ್ನು (ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್) ಇಲ್ಲಿ ಸ್ವತಃ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಾವು ನೋಡುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆಯ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಸಮರ್ಥನೆಯಲ್ಲಿ ತೊಡಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸ್ಲೈಡ್ 7

ಉದಾಹರಣೆ 2.

P(x)=x4-6x3+7x-392 ಬಹುಪದವನ್ನು x-7 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯ ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಪರಿಹಾರ. ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು P(7) ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು P(7)=0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಬಹುಪದವನ್ನು x-7 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಶೇಷ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಹುಪದೀಯ P(x) ಎಂಬುದು (x-7) ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಕೋಷ್ಟಕದ ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (x-7) ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾದ P(x) ಅಂಶದ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ P(x) = (x-7) (x3+x2+7x+56).

ಸ್ಲೈಡ್ 8

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ x3 – 5x2 – 2x + 16 ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿ.

ಈ ಬಹುಪದವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ಈ ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು 16 ರ ಭಾಜಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, y ವೇಳೆ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆಸಂಪೂರ್ಣ ಬೇರುಗಳಿವೆ, ನಂತರ ಇವು ಕೇವಲ ± 1 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು; ± 2; ± 4; ± 8; ±16. ನೇರ ಪರಿಶೀಲನೆಯ ಮೂಲಕ, ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಈ ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಮನವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), ಇಲ್ಲಿ Q(x) ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ.

ಸ್ಲೈಡ್ 9

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 1, -3, -8 ಬಹುಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಇದು ಮೂಲ ಬಹುಪದವನ್ನು x – 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ವಿಭಜನೆಯ ಫಲಿತಾಂಶ: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಪದವಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಮೂಲ ಪದವಿಗಿಂತ 1 ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).

ಪಾಠದ ಉದ್ದೇಶಗಳು:

• ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉನ್ನತ ಪದವಿಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಕಲಿಸಿ;
• ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿ;
• ಕೋರ್ಸ್‌ನ ಮುಖ್ಯ ವಿಭಾಗಗಳ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ಆಧಾರವನ್ನು ರಚಿಸಿ;
• ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ತನ್ನ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು, ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಬೆಳೆಸಲು, ಆಲೋಚಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಮತ್ತು ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡಿ.

ಉಪಕರಣ:ಗುಂಪು ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು, ಹಾರ್ನರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಪೋಸ್ಟರ್.

ಬೋಧನಾ ವಿಧಾನ:ಉಪನ್ಯಾಸ, ಕಥೆ, ವಿವರಣೆ, ತರಬೇತಿ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು.

ನಿಯಂತ್ರಣದ ರೂಪ:ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ಧಾರ, ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸ.

ತರಗತಿಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ

1. ಸಾಂಸ್ಥಿಕ ಕ್ಷಣ

2. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ನವೀಕರಿಸುವುದು

ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೂಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಯಾವ ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಮಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ? ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ(ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸಿ)?

ಬೆಝೌಟ್ ಪ್ರಮೇಯ. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ P(x) ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಶೇಷ ದ್ವಿಪದ x-c P(c) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, P(c)=0 ವೇಳೆ c ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಹುಪದದ P(x) ಮೂಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಪ್ರಮೇಯವು ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಮಾಡದೆಯೇ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ನೀಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಬಹುಪದದ ಮೂಲ.

ಯಾವ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಸುಲಭವಾಗಿಸುತ್ತದೆ?

a) ಬಹುಪದದ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನ, ನಂತರ ಬಹುಪದದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಮುಕ್ತ ಪದದ ಭಾಜಕಗಳಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಬೇಕು.

ಬೌ) ಬಹುಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವು 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಒಂದು ಮೂಲವು 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಿ) ಸಮ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಬೆಸ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಒಂದು ಮೂಲವು -1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

d) ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಬಹುಪದದ ಬೇರುಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಇ) ಬೆಸ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ನೈಜ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

3. ಹೊಸ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಕಲಿಯುವುದು

ಸಂಪೂರ್ಣ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಬಹುಪದಗಳ ಬೇರುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಎಂಬ ವಿಶೇಷ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಡೆಸಿದರೆ ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಈ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗೆ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ ವಿಲಿಯಂ ಜಾರ್ಜ್ ಹಾರ್ನರ್ ಹೆಸರಿಡಲಾಗಿದೆ. ಹಾರ್ನರ್ಸ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ P(x) ಅನ್ನು x-c ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಶೇಷವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಹುಪದೀಯ P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n ಅನ್ನು ನೀಡಲಿ. ಈ ಬಹುಪದವನ್ನು x-c ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು P(x)=(x-c)g(x) + r(x) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅದರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಭಾಗಶಃ g(x)=in 0 x n-1 + in n x n-2 +...+in n-2 x + in n-1, ಅಲ್ಲಿ 0 =a 0, n =st n-1 +a n ನಲ್ಲಿ , n=1,2,3,…n-1. ಶೇಷ r(x)= st n-1 +a n. ಈ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ "ಸ್ಕೀಮ್" ಎಂಬ ಪದವು ಅದರ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ. ಮೊದಲು, ಟೇಬಲ್ 2 (n+2) ಅನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಕೆಳಗಿನ ಎಡ ಕೋಶದಲ್ಲಿ c ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬಹುಪದ P(x) ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನ ಎಡ ಕೋಶವನ್ನು ಖಾಲಿ ಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

	0 =a 0 ರಲ್ಲಿ	1 ರಲ್ಲಿ =st 1 +a 1	2 ರಲ್ಲಿ = sv 1 + ಎ 2		n-1 =st n-2 +a n-1 ರಲ್ಲಿ	r(x)=f(c)=st n-1 +a n

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ, ಕೆಳಗಿನ ಬಲ ಕೋಶದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ P(x) ಅನ್ನು x-c ಯಿಂದ ವಿಭಜಿಸುವ ಉಳಿದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. 0 ರಲ್ಲಿನ ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, 1 ರಲ್ಲಿ, 2 ರಲ್ಲಿ,... ಬಾಟಮ್ ಲೈನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶದ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ಬಹುಪದವನ್ನು P(x)= x 3 -2x+3 ಅನ್ನು x-2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ನಾವು x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

4. ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ವಸ್ತುಗಳ ಬಲವರ್ಧನೆ

ಉದಾಹರಣೆ 1:ಬಹುಪದೀಯ P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತಿಸಿ.

ಉಚಿತ ಪದದ ವಿಭಾಜಕಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ -1: 1; -1. ಟೇಬಲ್ ತಯಾರಿಸೋಣ:

X = -1 - ಮೂಲ

P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)

1/2 ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

					X=1/2 - ಮೂಲ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಹುಪದೀಯ P(x) ಅನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

ಉದಾಹರಣೆ 2: 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ ಒಂದು ಮೂಲವು 1 ಆಗಿದೆ. ನಾವು ಹಾರ್ನರ್ನ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ:

						X=1 - ಮೂಲ

ನಾವು P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಉಚಿತ ಪದ 2 ರ ವಿಭಾಜಕಗಳ ನಡುವೆ ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ.

ಯಾವುದೇ ಅಖಂಡ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. 1/2 ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ; -1/2.

					X= -1/2 - ಮೂಲ

ಉತ್ತರ: 1; -1/2.

ಉದಾಹರಣೆ 3: 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

5: 1;-1;5;-5 ಎಂಬ ಮುಕ್ತ ಪದದ ವಿಭಾಜಕಗಳ ನಡುವೆ ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ. ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ x=1 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸೋಣ:

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮೂರು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ 5x 2 -7x+5=0, ನಮಗೆ D=49-100=-51 ಸಿಕ್ಕಿತು, ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.

ಕಾರ್ಡ್ 1

1. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಅಂಶ: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

ಕಾರ್ಡ್ 2

1. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಅಂಶ: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

ಕಾರ್ಡ್ 3

1. ಇದಕ್ಕೆ ಅಂಶ: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: x 3 -2x 2 +4x-8=0

ಕಾರ್ಡ್ 4

1. ಇದಕ್ಕೆ ಅಂಶ: 5x 3 -46x 2 +79x-14
2. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. ಸಾರೀಕರಿಸುವುದು

ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದು ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಉತ್ತರದ ಹೆಸರನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಮೂಲಕ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮನೆಕೆಲಸ:

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

ಸಿ) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

d) x 4 +2x 3 -x-2=0

ಸಾಹಿತ್ಯ

1. ಎನ್.ಯಾ. ವಿಲೆಂಕಿನ್ ಮತ್ತು ಇತರರು, ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆರಂಭಗಳು, ಗ್ರೇಡ್ 10 ( ಆಳವಾದ ಅಧ್ಯಯನಗಣಿತ): ಜ್ಞಾನೋದಯ, 2005.
2. ಯು.ಐ. ಸಖರ್ಚುಕ್, ಎಲ್.ಎಸ್. ಸಗಟೆಲೋವಾ, ಉನ್ನತ ಪದವಿಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರ: ವೋಲ್ಗೊಗ್ರಾಡ್, 2007.
3. ಎಸ್.ಬಿ. ಗಶ್ಕೋವ್, ಸಂಖ್ಯೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್.

"ಪ್ರೊಫೆಷನಲ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಟ್ಯೂಟರ್" ವೆಬ್‌ಸೈಟ್ ಬೋಧನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಲೇಖನಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಿದೆ. ನನ್ನ ಕೆಲಸದ ವಿಧಾನಗಳ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನಾನು ಅತ್ಯಂತ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಮತ್ತು ಪ್ರಕಟಿಸುತ್ತೇನೆ ಸಮಸ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಷಯಗಳುಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮ. ಈ ವಸ್ತು 8-11 ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಶಿಕ್ಷಕರು ಮತ್ತು ಬೋಧಕರಿಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ನಿಯಮಿತ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮ, ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ತರಗತಿಗಳ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದ ಪ್ರಕಾರ.

ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಕಳಪೆಯಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ವಿಷಯವನ್ನು ಗಣಿತ ಬೋಧಕ ಯಾವಾಗಲೂ ವಿವರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಅಂತಹ ವಿಷಯಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಆಗುತ್ತಿವೆ ಮತ್ತು ಕೈಪಿಡಿಗಳ ಲೇಖಕರನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಪ್ರಸ್ತುತಿ ದೋಷಗಳನ್ನು ಸಾಮೂಹಿಕವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಇದು ಪ್ರಾರಂಭಿಕ ಗಣಿತ ಬೋಧಕರು ಮತ್ತು ಅರೆಕಾಲಿಕ ಬೋಧಕರಿಗೆ (ಬೋಧಕರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮತ್ತು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಬೋಧಕರು) ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಅನುಭವಿ ಶಿಕ್ಷಕರು, ವೃತ್ತಿಪರ ಶಿಕ್ಷಕರು, ಅನುಭವ ಮತ್ತು ಅರ್ಹತೆ ಹೊಂದಿರುವ ಬೋಧಕರಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮರ್ಥ ಒರಟುತನ ಸರಿಪಡಿಸುವವರ ಪ್ರತಿಭೆ ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳುಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತ ಬೋಧಕರು ಇದನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಈ ತಿದ್ದುಪಡಿಗಳು (ಅಥವಾ ಸೇರ್ಪಡೆಗಳು) ಅಗತ್ಯವೆಂದು ಎಲ್ಲರೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಮಕ್ಕಳಿಂದ ಅದರ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಗ್ರಹಿಕೆಗಾಗಿ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಮಕ್ಕಳು ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕರು, ವಿಧಾನಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಪ್ರಕಟಣೆಗಳ ಲೇಖಕರು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಸಾಮೂಹಿಕವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸುವ ಸಮಯ ಕಳೆದಿದೆ. ಹಿಂದೆ, ಶಾಲೆಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಬಿಡುಗಡೆ ಮಾಡುವ ಮೊದಲು, ಗಂಭೀರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಕಲಿಕೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಅಧ್ಯಯನಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಯಿತು. ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿಸಲು ಶ್ರಮಿಸುವ ಹವ್ಯಾಸಿಗಳಿಗೆ ಸಮಯ ಬಂದಿದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಬಲವಾದ ಗಣಿತ ತರಗತಿಗಳ ಮಾನದಂಡಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ.

ಮಾಹಿತಿಯ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಓಟವು ಅದರ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಗುಣಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಇಳಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಇಳಿಕೆ ನಿಜವಾದ ಜ್ಞಾನಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ. ಆದರೆ ಈ ಬಗ್ಗೆ ಯಾರೂ ಗಮನ ಹರಿಸುತ್ತಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಮಕ್ಕಳು ಈಗಾಗಲೇ 8 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ನಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಒತ್ತಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಉನ್ನತ ಪದವಿಗಳುಮತ್ತು ಬೇರೆ ಏನಾದರೂ. ಮಗುವಿನ ಪೂರ್ಣ ಗ್ರಹಿಕೆಗಾಗಿ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುಗಳ ರೂಪಾಂತರವು ಅಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿರುವುದನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಬೋಧಕನು ಇದನ್ನು ಹೇಗಾದರೂ ನಿಭಾಯಿಸಲು ಒತ್ತಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಯಸ್ಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ "ಬೆಝೌಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಹಾರ್ನರ್ಸ್ ಸ್ಕೀಮ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ "ಬಹುಪದವನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಿಂದ ಬಹುಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು" ಅಂತಹ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಷಯವನ್ನು ಕಲಿಸುವ ವಿಧಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡೋಣ. ಕೇವಲ ಒಂದೆರಡು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ, ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಅಷ್ಟೊಂದು ಒತ್ತುವಿರಲಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಮುಖ್ಯ ಭಾಗವಾಗಿರಲಿಲ್ಲ ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮ. ಈಗ ಟೆಲ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಸಂಪಾದಿಸಿದ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಗೌರವಾನ್ವಿತ ಲೇಖಕರು, ನನ್ನ ಅಭಿಪ್ರಾಯದಲ್ಲಿ, ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಇತ್ತೀಚಿನ ಆವೃತ್ತಿಗೆ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹಾಳು ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಬೋಧಕರಿಗೆ ಅನಗತ್ಯ ಚಿಂತೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸೇರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಗಣಿತದ ಸ್ಥಾನಮಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಶಾಲೆಗಳು ಮತ್ತು ತರಗತಿಗಳ ಶಿಕ್ಷಕರು, ಲೇಖಕರ ನಾವೀನ್ಯತೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿ, ತಮ್ಮ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪ್ಯಾರಾಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸೇರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಜಿಜ್ಞಾಸೆಯ ಮಕ್ಕಳು ತಮ್ಮ ಗಣಿತ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಸುಂದರವಾದ ಪುಟಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತಾ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕೇಳುತ್ತಾರೆ. ಬೋಧಕ: "ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ಈ ವಿಭಾಗ ಏನು? ನಾವು ಈ ಮೂಲಕ ಹೋಗಲಿದ್ದೇವೆಯೇ? ಮೂಲೆಯನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಹೇಗೆ? ಇನ್ನು ಇಂತಹ ನೇರ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಂದ ಮರೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಬೋಧಕನು ಮಗುವಿಗೆ ಏನನ್ನಾದರೂ ಹೇಳಬೇಕು.

ಆದರೆ ಹಾಗೆ? ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಸಮರ್ಥವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ್ದರೆ ವಿಷಯದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಾನು ಬಹುಶಃ ವಿವರಿಸುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲವೂ ನಮ್ಮೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ನಡೆಯುತ್ತಿದೆ? ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಮುದ್ರಿಸಿ ಮಾರಾಟ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅವರು ನಿಯಮಿತವಾಗಿ ನವೀಕರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಶಿಕ್ಷಕರು ಮಕ್ಕಳು ತಮ್ಮ ಬಳಿಗೆ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಕೌಶಲ್ಯವಿಲ್ಲದೆ ಬರುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ದೂರುತ್ತಾರೆಯೇ? ಗೆ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳು ಗಣಿತ ಜ್ಞಾನಬೆಳೆಯುತ್ತಿದೆಯೇ? ಗ್ರೇಟ್! ಕೆಲವು ವ್ಯಾಯಾಮಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕೋಣ ಮತ್ತು ಬದಲಿಗೆ ಇತರ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ. ನಮ್ಮ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಏಕೆ ಕೆಟ್ಟದಾಗಿದೆ? ಕೆಲವನ್ನು ಆನ್ ಮಾಡೋಣ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಧ್ಯಾಯಗಳು. ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಮೂಲೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ನಿಯಮ ತಿಳಿದಿಲ್ಲವೇ? ಅದೇ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತ. ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು "ಹೆಚ್ಚು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುವವರಿಗೆ" ಎಂಬ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಐಚ್ಛಿಕವಾಗಿರಬೇಕು. ಶಿಕ್ಷಕರು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವೇ? ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಶಿಕ್ಷಕರ ಬಗ್ಗೆ ಏಕೆ ಕಾಳಜಿ ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ? ವಿಧಾನಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಶಾಲಾ ಶಿಕ್ಷಕರೂ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವೇ? ನಾವು ವಸ್ತುವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದರ ಸರಳವಾದ ಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮತ್ತು ಇದು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಷಯದ ಸರಳತೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಗುಣಮಟ್ಟವು ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅದರ ತರ್ಕವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಲೇಖಕರ ಸೂಚನೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಪರಸ್ಪರ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ. . ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಮಂಜು ಇರುತ್ತದೆ. ಲೇಖಕರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಆಧರಿಸಿದ್ದರೆ ಬಲವಾದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು(ಆದರೆ ನಿಯಮಿತ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು), ನಂತರ ನೀವು ಕಮಾಂಡ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿಷಯವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಾರದು. ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ನಾವು ಏನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ? ಮಕ್ಕಳೇ, ನಾವು ಈ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ವಿಭಜಿಸಬೇಕು. ಕೋನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬಹುಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಮೂಲ ಬಹುಪದವನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೂಲೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಏಕೆ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ, ಅವುಗಳನ್ನು ಮೂಲೆಯ ಮೇಲಿರುವ ಬಹುಪದದಿಂದ ಏಕೆ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಪ್ರಸ್ತುತ ಶೇಷದಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕು. ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ, ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಏಕಪದಗಳನ್ನು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಏಕೆ ಸೇರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳು ಮೂಲ ಬಹುಪದದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿರುವುದು ಏಕೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಸಮರ್ಥ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಹಾಕುತ್ತಾರೆ ದಪ್ಪ ಚಿಹ್ನೆಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಿರುವ ವಿವರಣೆಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಶ್ನೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ನನ್ನ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಾನು ಬೋಧಕರು ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕರ ಗಮನಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇನೆ, ಇದು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಹೇಳಲಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಬೆಝೌಟ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ: ಸಂಖ್ಯೆ a ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಬಹುಪದವನ್ನು ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು x-a, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಮೂಲದಿಂದ ಮೂರು ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ ರೇಖೀಯ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆಯಿಂದ. ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಗಣಿತ ಬೋಧಕರಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಬೋಧನಾ ವಿಧಾನ ಎಂದರೇನು? ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಗಣಿತದ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಯಾವ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿವರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಷಯಒಂದು ವಿನಾಯಿತಿ ಅಲ್ಲ. ಗಣಿತದ ಬೋಧಕನು ಮಗುವನ್ನು ಬೆಝೌಟ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪರಿಚಯಿಸುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೊದಲು. ಇದು ಅತೀ ಮುಖ್ಯವಾದುದು! ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಉತ್ತಮ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆ. ಆಯ್ದ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು 7 ನೇ ತರಗತಿಯಿಂದ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ. ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳು. ಗಣಿತದ ಬೋಧಕರಿಂದ ಸೂಕ್ತವಾದ ವಿವರಣೆಗಳು, ಒತ್ತು ಮತ್ತು ಸಲಹೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಲ್ಲದೆ ವಿಷಯವನ್ನು ತಿಳಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಪ್ರಮುಖ ಸಲಹೆ- ಮೊದಲಿನಿಂದ ಕೊನೆಯವರೆಗೆ ಸೂಚನೆಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಮತ್ತು ಈ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬೇಡಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಬಹುಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಾವು ಅದರ X ಬದಲಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಬಹುಪದದ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ x=1 ಅದರ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಪದಗಳಾಗಿ ಕೊಳೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ ಇದರಿಂದ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ರೇಖೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಮತ್ತು ಕೆಲವು ಏಕಪದೀಯ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಪದವಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ

ನಾವು ಕೆಂಪು ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಏಕಪದವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಮುಖ ಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಅದು ಮೂಲ ಬಹುಪದದ ಪ್ರಮುಖ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ದುರ್ಬಲನಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವನು ಗಣಿತ ಬೋಧಕರಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೇಳಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮರ್ಥನಾಗಿರುತ್ತಾನೆ: . ಅದನ್ನು ಕೆಂಪು ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ತೆರೆದಾಗ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಬೋಧಕರನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಕೇಳಬೇಕು. ಈ ವರ್ಚುವಲ್ ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಬಹುಪದವನ್ನು ಬಾಣಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ (ಸ್ವಲ್ಪ ಫೋಟೋ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ) ಸಹಿ ಮಾಡುವುದು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ಕೆಲವು ಬಣ್ಣದಿಂದ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀಲಿ. ಕೆಂಪು ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಪದವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಇದು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಆಯ್ಕೆಯ ಉಳಿದ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಶೇಷವನ್ನು ವ್ಯವಕಲನದ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂದು ಇಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲು ನಾನು ಬೋಧಕರಿಗೆ ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸಮಾನತೆಗೆ ಒಂದನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಅದರ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ (1 ಮೂಲ ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿರುವುದರಿಂದ) ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನಾವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಗಣಿತ ಬೋಧಕರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಗಮನವನ್ನು ಸೆಳೆಯಬೇಕು. ಮೊದಲ ಅವಧಿಯನ್ನು ಸಹ ಶೂನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ಪರಿಶೀಲನೆಯಿಲ್ಲದೆ ನಾವು "ಹಸಿರು ಶೇಷ" ದ ಮೂಲ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

ಮೂಲ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಮಾಡಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಅದನ್ನು ವ್ಯವಹರಿಸೋಣ, ಅದರಿಂದ ಅದೇ ರೇಖೀಯ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ. ಗಣಿತ ಬೋಧಕನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಮುಂದೆ ಎರಡು ಚೌಕಟ್ಟುಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ತುಂಬಲು ಕೇಳುತ್ತಾನೆ.

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಬೋಧಕರಿಗೆ ಕೆಂಪು ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಏಕಪದವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುತ್ತಾನೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ರೇಖೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಪ್ರಮುಖ ಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಅದು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಬಹುಪದದ ಪ್ರಮುಖ ಪದವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಫ್ರೇಮ್‌ಗೆ ಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ, ತಕ್ಷಣವೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮಡಿಸುವ ಒಂದರಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಕೊನೆಯ ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡಿ

ನಾವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಈಗ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಬಹುಪದದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನಾವು ಅಂಶಗಳಾಗಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು "x ಮೈನಸ್ ಆಯ್ಕೆ ಮೂಲ".

ಕೊನೆಯ "ಹಸಿರು ಶೇಷ" ಆಕಸ್ಮಿಕವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಯೋಚಿಸುವುದನ್ನು ತಡೆಯಲು, ಗಣಿತ ಬೋಧಕನು ಸೂಚಿಸಬೇಕು ಪ್ರಮುಖ ಆಸ್ತಿಎಲ್ಲಾ ಹಸಿರು ಶೇಷಗಳಲ್ಲಿ - ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಮೂಲ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಶೇಷಗಳ ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದರಿಂದ, ಆರಂಭಿಕ ಬಹುಪದದ ಯಾವುದೇ ಪದವಿಯನ್ನು ನಮಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದ್ದರೂ, ಬೇಗ ಅಥವಾ ನಂತರ, ನಾವು ರೂಟ್ 1 ನೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ "ಹಸಿರು ಶೇಷ" ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಕೊಳೆಯುತ್ತದೆ.

ಇದರ ನಂತರ ಪೂರ್ವಸಿದ್ಧತಾ ಕೆಲಸಮೂಲೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ವಿವರಿಸಲು ಗಣಿತ ಬೋಧಕರಿಗೆ ಕಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಒಂದೇ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ, ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂದ್ರವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾದ ಪದಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯದೆ. ರೇಖೀಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಬಹುಪದವನ್ನು ಮೂಲೆಯ ಎಡಕ್ಕೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆಯ್ದ ಕೆಂಪು ಮೊನೊಮಿಯಲ್‌ಗಳನ್ನು ಒಂದು ಕೋನದಲ್ಲಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಈಗ ಅವರು ಏಕೆ ಸೇರಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ), “ನೀಲಿ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು” ಪಡೆಯಲು, “ಕೆಂಪು "ಅವುಗಳನ್ನು x-1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಇದನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದಾಗ ಹೇಗೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಗಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಹಿಂದೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ "ಹಸಿರು ಉಳಿಕೆಗಳು" ಹೊಸ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆ ಮತ್ತು "ಕೆಂಪು ಮಾನೋಮಿಯಲ್ಸ್" ಆಯ್ಕೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ. ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ನೀವು ಶೂನ್ಯ "ಹಸಿರು ಸಮತೋಲನ" ಪಡೆಯುವವರೆಗೆ. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತಷ್ಟು ಅದೃಷ್ಟಕೋನದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಇವುಗಳು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೂಲ ಬಹುಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ಬೋಧಕನ ಕೆಲಸದ ಮುಂದಿನ ಹಂತವು ಬೆಝೌಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಬೋಧಕರ ಈ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ: ಸಂಖ್ಯೆ a ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಅಪವರ್ತನೀಯಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು , ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಮೂಲದಿಂದ ಮೂರು ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. :

• ನೇರ ವಿಭಜನೆ (ಗುಂಪು ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಸದೃಶವಾಗಿ)
• ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು (ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ)
• ಹಾರ್ನರ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಮೂಲಕ

ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತ ಬೋಧಕರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಹಾರ್ನರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ತೋರಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರೂ ಅಲ್ಲ ಶಾಲೆಯ ಶಿಕ್ಷಕರು(ಅದೃಷ್ಟವಶಾತ್ ಬೋಧಕರಿಗೆ) ಅವರು ಪಾಠದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ತುಂಬಾ ಆಳವಾಗಿ ಹೋಗುತ್ತಾರೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಗಣಿತ ತರಗತಿದೀರ್ಘ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸಲು ನನಗೆ ಯಾವುದೇ ಕಾರಣವಿಲ್ಲ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅತ್ಯಂತ ಅನುಕೂಲಕರ ಮತ್ತು ವೇಗವಾಗಿಕೊಳೆಯುವ ತಂತ್ರವು ನಿಖರವಾಗಿ ಹಾರ್ನರ್ನ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಅದು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮಗುವಿಗೆ ವಿವರಿಸಲು, ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ವಿಭಜನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಹಸಿರು ಅವಶೇಷಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳ ನೋಟವನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಲು ಸಾಕು. ಆರಂಭಿಕ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಮೊದಲ "ಕೆಂಪು ಏಕಪದ" ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತ ಮೇಲಿನ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಕೊಂಡೊಯ್ಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಕಡಿತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ"ಕೆಂಪು ಮೊನೊಮಿಯಲ್" ನ ಪ್ರಸ್ತುತ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸಾಧ್ಯ ಸೇರಿಸಿಮೂಲಕ ಗುಣಾಕಾರದ ಫಲಿತಾಂಶ. ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ನಿಶ್ಚಿತಗಳ ಮೇಲೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಗಮನವನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿದ ನಂತರ, ಗಣಿತದ ಬೋಧಕನು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡದೆಯೇ ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಆದ್ಯತೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಬಹುಪದದ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ:

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪದವಿ ಕಾಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಶೂನ್ಯ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಟೇಬಲ್‌ಗೆ ಬಲವಂತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. "ಕೆಂಪು ಬಹುಪದಗಳ" ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು "ಕೊಕ್ಕೆ" ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

ಮೂಲವನ್ನು ಕೊನೆಯ ಕೆಂಪು ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲಿಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊನೆಯ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕೊನೆಯ "ಹಸಿರು ಶೇಷ" ದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ ಶೂನ್ಯ. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ನಂತರ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಶೇಷದ ನಡುವೆ ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆಎರಡನೇ (ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ) ಅಂಶದ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತವೆ.

a ಮೂಲವು ಬಾಟಮ್ ಲೈನ್‌ನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ನೀಡುವುದರಿಂದ, ಬಹುಪದದ ಮೂಲದ ಶೀರ್ಷಿಕೆಗಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಹಾರ್ನರ್‌ನ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ವಿಶೇಷ ಆಯ್ಕೆ ಪ್ರಮೇಯ ವೇಳೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮೂಲ. ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಪಡೆದ ಈ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಹಾರ್ನರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಎಡದಿಂದ ಸರಳವಾಗಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದ ತಕ್ಷಣ, ಪರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದರ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಬಹುಪದದ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ತುಂಬಾ ಆರಾಮದಾಯಕ.

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಲು ಮತ್ತು ವಿಷಯವನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು, ಗಣಿತದ ಬೋಧಕನು ತನ್ನ ಇತ್ಯರ್ಥಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಗಂಟೆಗಳಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ. "ವಾರಕ್ಕೊಮ್ಮೆ" ಆಡಳಿತದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಬೋಧಕನು ಮೂಲೆಯ ವಿಭಜನೆಯಲ್ಲಿ ತೊಡಗಬಾರದು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ರಾಜ್ಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಕಾಡೆಮಿಯಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೀವು ಅಂತಹ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಮೂರನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎದುರಿಸುವುದು ಅಸಂಭವವಾಗಿದೆ. ಮಾಸ್ಕೋ ಸ್ಟೇಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿಯಲ್ಲಿ ಬೋಧಕನು ಗಣಿತ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಮಗುವನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಕಡ್ಡಾಯವಾಗಿದೆ. ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಶಿಕ್ಷಕರು, ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಂಕಲನಕಾರರಂತಲ್ಲದೆ, ಅರ್ಜಿದಾರರ ಜ್ಞಾನದ ಆಳವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ.

ಕೋಲ್ಪಕೋವ್ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ನಿಕೋಲೇವಿಚ್, ಗಣಿತ ಬೋಧಕ ಮಾಸ್ಕೋ, ಸ್ಟ್ರೋಗಿನೊ

ಇದನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಗಣಿತ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮನೀವು ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಕಾಲಮ್ ಮೂಲಕ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.
ಬಹುಪದವನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಿಂದ ವಿಭಜಿಸುವ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ, ಅದು ನೀಡುತ್ತದೆ ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರವಿವರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ಅಂದರೆ. ಗಣಿತ ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮವು ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆಗಳುತಯಾರಿಯಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳುಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು, ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಮೊದಲು ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವಾಗ, ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸಲು ಪೋಷಕರಿಗೆ. ಅಥವಾ ನೀವು ಬೋಧಕರನ್ನು ನೇಮಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಅಥವಾ ಹೊಸ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ಇದು ತುಂಬಾ ದುಬಾರಿಯಾಗಿದೆಯೇ? ಅಥವಾ ನೀವು ಅದನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಬೇಗ ಮಾಡಲು ಬಯಸುವಿರಾ? ಮನೆಕೆಲಸಗಣಿತ ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ? ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳನ್ನು ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಬಹುದು.

ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತ ತರಬೇತಿ ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ನಿಮ್ಮ ತರಬೇತಿಯನ್ನು ನಡೆಸಬಹುದು. ಕಿರಿಯ ಸಹೋದರರುಅಥವಾ ಸಹೋದರಿಯರು, ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಶಿಕ್ಷಣದ ಮಟ್ಟವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಬಹುಪದವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿಅಥವಾ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ, ನಂತರ ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಬಹುಪದಿಯ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಸರಳೀಕರಣ (ಗುಣಾಕಾರ) ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಮೊದಲ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ (ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ - ನಾವು ಏನು ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ):

ಎರಡನೇ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ (ಭಾಜಕ - ನಾವು ಯಾವುದರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ):

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸಿ

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಕೆಲವು ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ಲೋಡ್ ಮಾಡಲಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸದೇ ಇರಬಹುದು ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು.
ನೀವು AdBlock ಅನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿರಬಹುದು.
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ನಿಷ್ಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿ ಮತ್ತು ಪುಟವನ್ನು ರಿಫ್ರೆಶ್ ಮಾಡಿ.

ನಿಮ್ಮ ಬ್ರೌಸರ್‌ನಲ್ಲಿ JavaScript ಅನ್ನು ನಿಷ್ಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಪರಿಹಾರವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ನೀವು JavaScript ಅನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಬೇಕು.
ನಿಮ್ಮ ಬ್ರೌಸರ್‌ನಲ್ಲಿ ಜಾವಾಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವುದು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಸೂಚನೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ.

ಏಕೆಂದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಜನರು ಸಿದ್ಧರಿದ್ದಾರೆ, ನಿಮ್ಮ ವಿನಂತಿಯನ್ನು ಸರದಿಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಕೆಲವು ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವು ಕೆಳಗೆ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ.
ದಯಮಾಡಿ ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿ ಸೆಕೆಂಡ್...

ನೀನೇನಾದರೂ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ದೋಷ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ, ನಂತರ ನೀವು ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.
ಮರೆಯಬೇಡ ಯಾವ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿನೀವು ಏನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೀರಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಿ.

ನಮ್ಮ ಆಟಗಳು, ಒಗಟುಗಳು, ಎಮ್ಯುಲೇಟರ್‌ಗಳು:

ಸ್ವಲ್ಪ ಸಿದ್ಧಾಂತ.

ಕಾಲಮ್ (ಮೂಲೆ) ಮೂಲಕ ಬಹುಪದವನ್ನು ಬಹುಪದಕ್ಕೆ (ದ್ವಿಪದ) ಭಾಗಿಸುವುದು

ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಾಲಮ್‌ನೊಂದಿಗೆ ವಿಭಜಿಸುವುದು (ಮೂಲೆ)- ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ f(x) ಅನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ (ದ್ವಿಪದ) g(x) ನಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್, ಅದರ ಪದವಿಯು ಬಹುಪದದ f(x) ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ-ಮೂಲಕ-ಬಹುಪದೀಯ ವಿಭಾಗ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾಲಮ್ ವಿಭಜನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವಾಗಿದ್ದು ಅದನ್ನು ಕೈಯಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದು.

ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ \(f(x) \) ಮತ್ತು \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \), ಅನನ್ಯ ಬಹುಪದಗಳು \(q(x) \) ಮತ್ತು \(r( x ) \), ಅಂತಹ
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
ಮತ್ತು \(r(x)\) \(g(x)\) ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಪದವಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಾಲಮ್ (ಮೂಲೆ) ಆಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಗುರಿಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಲಾಭಾಂಶಕ್ಕಾಗಿ \(q(x) \) ಮತ್ತು ಉಳಿದ \(r(x) \) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಭಾಜಕ \(g(x) \)

ಉದಾಹರಣೆ

ಕಾಲಮ್ (ಮೂಲೆ) ಬಳಸಿ ಒಂದು ಬಹುಪದವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಬಹುಪದದಿಂದ (ದ್ವಿಪದ) ಭಾಗಿಸೋಣ:
\(\ದೊಡ್ಡ \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)

ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಬಹುಪದಗಳ ಭಾಗ ಮತ್ತು ಉಳಿದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:
1. ಡಿವಿಡೆಂಡ್‌ನ ಮೊದಲ ಅಂಶವನ್ನು ಭಾಜಕದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಅಂಶದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ರೇಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ \((x^3/x = x^2)\)

\(X\) \(-3 \) \(x^2\)

3. ಲಾಭಾಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ನಂತರ ಪಡೆದ ಬಹುಪದವನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ, ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ 42) \)

\(x^3\) \(-12x^2\) \(+0x\) \(-42 \) \(x^3\) \(-3x^2\) \(-9x^2\) \(+0x\) \(-42 \)

\(X\) \(-3 \) \(x^2\)

4. ಹಿಂದಿನ 3 ಹಂತಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ, ರೇಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆದ ಬಹುಪದವನ್ನು ಲಾಭಾಂಶವಾಗಿ ಬಳಸಿ.

\(x^3\) \(-12x^2\) \(+0x\) \(-42 \) \(x^3\) \(-3x^2\) \(-9x^2\) \(+0x\) \(-42 \) \(-9x^2\) \(+27x\) \(-27x\) \(-42 \)

\(X\) \(-3 \) \(x^2\) \(-9x\)

5. ಹಂತ 4 ಅನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ.

\(x^3\) \(-12x^2\) \(+0x\) \(-42 \) \(x^3\) \(-3x^2\) \(-9x^2\) \(+0x\) \(-42 \) \(-9x^2\) \(+27x\) \(-27x\) \(-42 \) \(-27x\) \(+81 \) \(-123 \)

\(X\) \(-3 \) \(x^2\) \(-9x\) \(-27 \)

6. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಅಂತ್ಯ.
ಹೀಗಾಗಿ, ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ \(q(x)=x^2-9x-27\) ಬಹುಪದಗಳ ವಿಭಜನೆಯ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು \(r(x)=-123\) ಬಹುಪದಗಳ ವಿಭಜನೆಯ ಶೇಷವಾಗಿದೆ.

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಎರಡು ಸಮಾನತೆಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123\)
ಅಥವಾ
\(\ದೊಡ್ಡದು(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \large(\frac(-123)(x-3)) \)