Keeruliste geomeetriliste kujundite ala. Kuidas leida ristküliku pindala

Geomeetrilise kujundi pindala - numbriline tunnus geomeetriline kujund, mis näitab selle kujundi suurust (osa pinnast, mida piirab selle kujundi suletud kontuur). Ala suurust väljendatakse selles sisalduvate piirkondade arvuga ruutühikud.

Kolmnurga pindala valemid

Kolmnurga pindala valem külje ja kõrguse järgi
Kolmnurga pindala võrdne poolega kolmnurga külje pikkuse ja sellele küljele tõmmatud kõrguse pikkusest
Kolmnurga pindala valem, mis põhineb kolmel küljel ja ümbermõõdu raadiusel
Kolmnurga pindala valem, mis põhineb sisse kirjutatud ringi kolmel küljel ja raadiusel
Kolmnurga pindala on võrdne kolmnurga poolperimeetri ja sisse kirjutatud ringi raadiuse korrutisega.

Ruutpinna valemid

Ruudu pindala valem küljepikkuse järgi
Ruudukujuline ala võrdne selle külje pikkuse ruuduga.
Valem ruudu pindala jaoks piki diagonaali pikkust
Ruudukujuline ala võrdne poolega selle diagonaali pikkuse ruudust.
S= 1 2
2

Ristküliku pindala valem

Ristküliku pindala

Parallelogrammi pindala valemid

Rööpküliku pindala valem, mis põhineb külje pikkusel ja kõrgusel
Rööpküliku pindala
Rööpküliku pindala valem, mis põhineb kahel küljel ja nendevahelisel nurgal
Rööpküliku pindala võrdub selle külgede pikkuste korrutisega nendevahelise nurga siinusega.
a b sin α

Rombi pindala valemid

Rombi pindala valem, mis põhineb külje pikkusel ja kõrgusel
Rombi pindala võrdne selle külje pikkuse ja sellele küljele langetatud kõrguse korrutisega.
Rombi pindala valem, mis põhineb külje pikkusel ja nurgal
Rombi pindala on võrdne tema külje pikkuse ruudu ja rombi külgede vahelise nurga siinuse korrutisega.
Rombi pindala valem, mis põhineb selle diagonaalide pikkustel
Rombi pindala võrdne poolega selle diagonaalide pikkuste korrutisest.

Trapetsi pindala valemid

Heroni valem trapetsi jaoks
kus S on trapetsi pindala,
- trapetsi aluste pikkused,
- trapetsi külgede pikkused,

Selles artiklis selgitame välja, kuidas arvutada ruut arvud.

Ülekattemeetodil saate võrrelda erinevate kujundite pindalasid. Vaata pilti. Näeme kahte kujundit: kolmnurka ja ristkülikut. Nende võrdlemiseks võime väiksema kujundi asetada suuremale. Kolmnurk mahub täielikult ristküliku sisse, mis tähendab, et kolmnurk on ristkülikust väiksem.

Kuid alati ei saa niimoodi jooniste pindalasid võrrelda. Seejärel saate figuuri jagada võrdsed ruudud ja loendage sellel joonisel olevate ruutude arv.

Pildil on kaks kujundit. Neid arve on võimatu superpositsiooni abil võrrelda. Jagasime need arvud sama pindalaga ruutudeks. Nüüd saate lugeda nendel arvudel sisalduvate ruutude arvu. Esimene kujund sobib 6 ruuduga ja teine 8. See tähendab esimese kujundi pindala vähem ala teiseks.

Arv on võrdne selle arvu moodustavate ühikuliste ruutude arvuga.

Kui ruudu külg on 1 cm, siis on sellise ruudu pindala 1 ruutsentimeeter (cm 2).

Ruudu pindala, mille külg on 1 detsimeeter, on 1 ruutdetsimeeter (dm 2) või 100 ruutsentimeetrit (cm 2).

Figuuri pindala on tähistatud suurtähega Ladina täht S.

Oletame, et peame leidma ristküliku pindala, mille küljed on 6 ja 4 cm pikad, jagage ristkülik ruutsentimeetriteks ja arvutage selle pindala.

Niisiis, korrutage ristküliku pikkus selle laiusega ja saate pindala:

S = 6 × 4 = 24 cm 2

Arvutamiseks peate mõõtma selle pikkust ja laiust samades mõõtühikutes ning leidma nende toote.

Kui ristküliku pindala ja laius on teada, on pikkuse leidmine lihtne;

D = S ÷ W

või

W = S ÷ D

Näiteks ristküliku pindala on 15 cm 2. Ristküliku pikkus on 5 cm. Leidke selle laius:

W = 15 ÷ 5 = 3 cm

Kui joonis on keeruline, näiteks nagu joonisel, siis saate selle pindala arvutada, jagades joonise ristkülikuteks, arvutades nende pindala ja seejärel liites saadud alad.

Seega saame oma joonise jagada kaheks ristkülikuks: esimene pindalaga 2 cm 2 ja teine pindalaga 8 cm 2:

S = 2 × 1 + 4 × 2 = 10 cm 2

Kuidas seda leida? Selleks peate täitma kolmnurga ristkülikuks, nagu on näidatud joonisel.

Nüüd leiame saadud ristküliku pindala ja jagame selle pooleks:

S = (3 × 6) ÷ 2 = 9 cm 2

Kõik tundub lihtne, kui kolmnurk on täisnurkne. Kui kolmnurgal pole täisnurk, siis saab selle pindala arvutada järgmiselt:

Järgmisel joonisel näeme kolmnurka, mille pindala peame arvutama, see on esile tõstetud kollane. Paigaldame selle ristkülikuks, nagu on näidatud joonisel. Saadud ristküliku pikkus on 5 cm Laius on 4 cm. Kolmnurga tipp jagab ristküliku pikkuse osadeks 3 ja 2 cm.

Nüüd, et leida meie kolmnurga pindala, peame arvutama saadud kahe pindala täisnurksed kolmnurgad ja liita need kokku:

S1 = (3 × 4) ÷ 2 = 6 cm 2

S2 = (2 × 4) ÷ 2 = 4 cm 2

S = S1 + S2 = 6 + 4 = 10 cm 2

Juhised

Mugav on tegutseda, kui su figuur on hulknurk. Saate selle alati jaotada lõplikuks arvuks ja peate meeles pidama ainult ühte valemit - kolmnurga pindala. Niisiis, kolmnurk on pool selle külje pikkuse ja sellele küljele tõmmatud kõrguse pikkuse korrutisest. Summeerides üksikute kolmnurkade pindalad, milleks keerukam kolmnurk on sinu tahtel muudetud, saad teada soovitud tulemuse.

Suvalise kujundi pindala määramise probleemi on keerulisem lahendada. Sellisel figuuril võivad olla mitte ainult, vaid ka kõverad piirid. Ligikaudse arvutuse tegemiseks on viise. Lihtne.

Esiteks võite kasutada paletti. See on läbipaistvast materjalist instrument, mille pinnale on kantud ruutudest või kolmnurkadest koosnev võrk. tuntud piirkond. Asetades paleti kujundi peale, mida otsite, arvutate ümber oma mõõtühikute arvu, mis kujutisega kattuvad. Kombineerige omavahel mittetäielikult suletud mõõtühikuid, täites neid mõtetes täielikuks. Järgmiseks, korrutades ühe paleti kuju pindala arvutatud arvuga, saate teada oma suvalise kuju ligikaudse pindala. On selge, et mida tihedam on ruudustik teie paletile, seda täpsem on teie tulemus.

Teiseks saate suvalise kujundi piires, mille pindala määrate, kontuuri maksimaalne arv kolmnurgad. Määrake iga pindala ja lisage nende alad. Sellest saab väga karm tulemus. Soovi korral saate eraldi määrata ka kaaredega piiratud segmentide pindala. Selleks kujutage ette, et segment on osa . Koostage see ring ja tõmmake selle keskpunktist raadiused kaare servadele. Segmendid moodustavad omavahel nurga α. Kõige pindala määrab π*R^2*α/360. Iga väiksema figuuri osa jaoks määrate piirkonna ja saate üldine tulemus, lisades saadud väärtused.

Kolmas meetod on keerulisem, kuid täpsem ja mõne jaoks lihtsam. Mis tahes figuuri pindala saab määrata integraali abil. Spetsiifilised funktsioonid näitab ala funktsiooni graafikust abstsissideni. Kahe graafiku vahele jääva ala saab määrata, lahutades integraalist teatud väiksema väärtusega integraali samades piirides, kuid suur väärtus. Selle meetodi kasutamiseks on mugav oma suvaline kujund üle kanda koordinaatsüsteemi ning seejärel määrata nende funktsioonid ja tegutseda kõrgema matemaatika meetoditega, millesse me siin ja praegu ei süvene.

Teadmised Maa mõõtmise kohta tekkisid iidsetel aegadel ja kujunesid järk-järgult geomeetriateaduses. KOOS kreeka keel See sõna on tõlgitud kui "maamõõtmine".

Maa tasase lõigu pikkuse ja laiuse ulatuse mõõt on pindala. Matemaatikas tähistatakse seda tavaliselt ladina tähega S (inglise keelest "ruut" - "ala", "ruut") või Kreeka kiriσ (sigma). S tähistab kujundi pindala tasapinnal või keha pindala ja σ on pindala ristlõige juhtmed füüsikas. Need on peamised sümbolid, kuigi võib olla ka teisi, näiteks materjalide tugevuse valdkonnas on A profiili ristlõikepindala.

Arvutusvalemid

Piirkonna tundmine lihtsad kujundid, leiate keerukamaid parameetreid. Muistsed matemaatikud töötasid välja valemid, mida saab nende hõlpsaks arvutamiseks kasutada. Sellised kujundid on kolmnurk, nelinurk, hulknurk, ring.

Keerulise ala leidmiseks lame figuur, on see jagatud paljudeks lihtsateks kujunditeks, nagu kolmnurgad, trapets või ristkülikud. Siis matemaatilised meetodid tuletage selle joonise pindala valem. Sarnast meetodit kasutatakse mitte ainult geomeetrias, vaid ka matemaatiline analüüs kõveratega piiratud kujundite pindalade arvutamiseks.

Kolmnurk

Alustame kõige lihtsamast kujundist – kolmnurgast. Need on ristkülikukujulised, võrdhaarsed ja võrdkülgsed. Võtame ükskõik millise kolmnurk ABC külgedega AB=a, BC=b ja AC=c (∆ ABC). Selle piirkonna leidmiseks tuletage meelde tuntud koolikursus siinuste ja koosinuste matemaatika teoreemid. Kui kõik arvutused lahti lasta, jõuame selleni järgmised valemid:

S=√ - kõigile tuntud Heroni valem, kus p=(a+b+c)/2 on kolmnurga poolperimeeter;
S=a h/2, kus h on küljele a langetatud kõrgus;
S=a b (sin γ)/2, kus γ on külgede a ja b vaheline nurk;
S=a b/2, kui ∆ ABC on ristkülikukujuline (siin a ja b on jalad);
S=b² (sin (2 β))/2, kui ∆ ABC on võrdhaarne (siin b on üks “puusadest”, β on kolmnurga “puusade” vaheline nurk);
S=a² √¾, kui ∆ ABC on võrdkülgne (siin a on kolmnurga külg).

Nelinurk

Olgu nelinurk ABCD, mille AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Suvalise 4-nurga pindala S leidmiseks tuleb see jagada diagonaalselt kaheks kolmnurgaks, mille pindalad on S1 ja S2 üldine juhtum pole võrdne.

Seejärel kasutage nende arvutamiseks ja liitmiseks valemeid, st S=S1+S2. Kui aga 4-nurkne kuulub teatud klassi, saab selle pindala leida varem tuntud valemite abil:

S=(a+c) h/2=e h, kui tetragoon on trapets (siin a ja c on alused, e on keskmine joon trapets, h - kõrgus langetatud trapetsi ühele alusele;
S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, kui ABCD on rööpkülik (siin φ on nurk külgede a ja b vahel, h on küljele a langenud kõrgus, d1 ja d2 on diagonaalid);
S=a b=d²/2, kui ABCD on ristkülik (d on diagonaal);
S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, kui ABCD on romb (a on rombi külg, φ on üks selle nurkadest, P on ümbermõõt);
S=a²=P²/16=d²/2, kui ABCD on ruut.

Hulknurk

N-nurga pindala leidmiseks jagavad matemaatikud selle kõige lihtsamaks võrdsed arvud-kolmnurgad, leidke nende pindala ja lisage need. Kuid kui hulknurk kuulub tavaklassi, kasutage valemit:

S=a n h/2=a² n/=P²/, kus n on hulknurga tippude (või külgede) arv, a on n-nurga külg, P on selle ümbermõõt, h on apoteem, st a segment, mis on tõmmatud hulknurga keskpunktist selle ühele küljele 90° nurga all.

Ring

Ring on täiuslik hulknurk koos lõpmatu arv peod. Peame arvutama parempoolse avaldise piiri hulknurga pindala valemis, mille külgede arv n kaldub lõpmatuseni. Sel juhul muutub hulknurga ümbermõõt raadiusega R ringi pikkuseks, mis on meie ringi piiriks, ja võrdub P=2 π R. Asendage see avaldis ülaltoodud valemiga. Me saame:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Leiame selle avaldise piiriks n→∞. Selleks võtame arvesse lim (cos (180°/n)) n→∞ võrdne cos-iga 0°=1 (lim on piirmärk) ja lim = lim n→∞ korral on võrdne 1/π (me tõlkisime kraadi mõõt radiaaniks, kasutades seost π rad=180°, ja rakendas esimest tähelepanuväärset piir lim(sin x)/x=1 juures x→∞). Asendamine sisse viimane väljend Saadud väärtuste S puhul jõuame hästi tuntud valemini:

S = π² R² 1 (1/π) = π R².

Ühikud

Kasutatakse süsteemseid ja mittesüsteemseid mõõtühikuid. Süsteemiüksused kuuluvad SI-sse (System International). See on ruutmeeter (ruutmeeter, m²) ja sellest tuletatud ühikud: mm², cm², km².

Ruutmillimeetrites (mm²) mõõdetakse näiteks elektrotehnikas juhtmete ristlõikepindala, ruutsentimeetrit(cm²) - tala sektsioonid ehitusmehaanikas, sisse ruutmeetrit(m²) - korterid või majad, in ruutkilomeetrid(km²) - territooriumid geograafias.

Mõnikord kasutatakse aga mittesüsteemseid mõõtühikuid, näiteks: kudumine, ar (a), hektar (ha) ja aaker (ac). Toome välja järgmised seosed:

100 ruutmeetrit = 1 a = 100 m² = 0,01 hektarit;
1 ha = 100 a = 100 aakrit = 10000 m² = 0,01 km² = 2,471 aakrit;
1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 aakrit = 0,405 hektarit.

Kindel integraal. Kuidas arvutada figuuri pindala

Liigume edasi rakenduste juurde integraalarvutus. Selles õppetükis analüüsime tüüpilist ja levinumat ülesannet – kuidas kasutada tasapinnalise kujundi pindala arvutamiseks kindlat integraali. Lõpuks tähenduse otsimine V kõrgem matemaatika- kas nad leiavad ta üles. Ei või iial teada. Peame selle elus lähemale tooma maamajade piirkond elementaarfunktsioonid ja leida selle pindala kindla integraali abil.

Materjali edukaks valdamiseks peate:

1) Saage aru määramatu integraal vähemalt keskmisel tasemel. Seega peaksid mannekeenid esmalt õppetunni läbi lugema Mitte.

2) Oskab rakendada Newtoni-Leibnizi valemit ja arvutada kindlat integraali. Seadistage soojalt sõbralikud suhted kindlate integraalidega leiab lehelt Kindel integraal. Näited lahendustest.

Tegelikult pole figuuri pindala leidmiseks vaja nii palju teadmisi määramata ja kindla integraali kohta. Ülesanne “arvuta pindala kindla integraali abil” hõlmab alati joonise koostamist, nii palju veel aktuaalne teema on teie teadmised ja oskused joonistamisel. Sellega seoses on kasulik värskendada oma mälu põhigraafikute kohta elementaarsed funktsioonid, ja vähemalt suutma konstrueerida sirge, parabooli ja hüperbooli. Seda saab teha (paljude jaoks on see vajalik) kasutades metoodiline materjal ja artikleid graafikute geomeetriliste teisenduste kohta.

Tegelikult on ala leidmise ülesanne kindla integraali abil kõigile tuttav juba kooliajast ja me ei lähe sellest palju kaugemale. kooli õppekava. Seda artiklit poleks võib-olla üldse olemas olnud, kuid tõsiasi on see, et probleem esineb 99 juhul 100-st, kui õpilane kannatab vihatud kooli all ja õpib entusiastlikult kõrgema matemaatika kursust.

Selle töötoa materjalid on esitatud lihtsalt, üksikasjalikult ja minimaalse teooriaga.

Alustame sellest kumer trapets.

Kurviline trapets on lame kujund, mis on piiratud telje, sirgjoonte ja intervallil pideva funktsiooni graafikuga, mis sellel intervallil märki ei muuda. Olgu see kujund asukoht mitte vähem x-telg:

Siis kõverjoonelise trapetsi pindala on arvuliselt võrdne kindla integraaliga. Igal kindlal integraalil (mis eksisteerib) on väga hea geomeetriline tähendus. Õppetunnis Kindel integraal. Näited lahendustestÜtlesin, et kindel integraal on arv. Ja nüüd on aeg öelda veel üks kasulik fakt. Geomeetria seisukohalt on kindel integraal ALA.

See on, kindel integraal (kui see on olemas) vastab geomeetriliselt teatud joonise pindalale. Vaatleme näiteks kindlat integraali. Integrand määrab kõvera telje kohal paikneval tasapinnal (soovija saab joonistada) ja kindel integraal ise on arvuliselt võrdne pindalaga vastav kõver trapets.

Näide 1

See on tüüpiline määramisavaldus. Esiteks ja kõige tähtsam hetk lahendused – joonistamine. Veelgi enam, joonis tuleb konstrueerida ÕIGE.

Joonise koostamisel soovitan järgmist järjekorda: Esiteks parem on konstrueerida kõik sirged (kui need on olemas) ja ainult Siis– paraboolid, hüperboolid, muude funktsioonide graafikud. Kasumlikum on koostada funktsioonide graafikuid punkt punkti haaval, punkt-punkti ehitustehnika leiate artiklist võrdlusmaterjal Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused. Sealt leiate ka väga kasulikku materjali meie tunni jaoks - kuidas kiiresti parabooli ehitada.

Selle probleemi puhul võib lahendus välja näha selline.
Joonistame joonise (pange tähele, et võrrand määrab telje):

Kumerat trapetsi ma hauduma ei hakka, siin on näha, mis alaga on tegemist me räägime. Lahendus jätkub järgmiselt:

Segmendil asub funktsiooni graafik telje kohal, Sellepärast:

Vastus:

Kellel on raskusi kindla integraali arvutamise ja Newtoni-Leibnizi valemi rakendamisega , viidata loengule Kindel integraal. Näited lahendustest.

Pärast ülesande täitmist on alati kasulik vaadata joonist ja aru saada, kas vastus vastab tõele. IN sel juhul“Silma järgi” loendame joonisel olevate lahtrite arvu - noh, neid on umbes 9, see tundub olevat tõsi. On täiesti selge, et kui saime, ütleme, vastuseks: 20 ruutühikut, siis on ilmselge, et kuskil tehti viga - 20 lahtrit ilmselgelt ei mahu kõnealusele joonisele, kõige rohkem kümmekond. Kui vastus on eitav, siis oli ka ülesanne valesti lahendatud.

Näide 2

Arvutage joonise pindala, joontega piiratud, , ja telg

See on näide sõltumatu otsus. Täielik lahendus ja vastus tunni lõpus.

Mida teha, kui kõver trapets asub telje all?

Näide 3

Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joonte ja koordinaattelgedega.

Lahendus: Teeme joonise:

Kui asub kõver trapets telje all(või vähemalt mitte kõrgem antud telg), siis selle pindala saab leida järgmise valemi abil:
Sel juhul:

Tähelepanu! Neid kahte tüüpi ülesandeid ei tohiks segi ajada:

1) Kui teil palutakse lahendada lihtsalt kindel integraal ilma ühegita geomeetriline tähendus, siis võib see olla negatiivne.

2) Kui teil palutakse leida figuuri pindala kindla integraali abil, siis on pindala alati positiivne! Seetõttu ilmub äsja arutatud valemis miinus.

Praktikas paikneb joonis enamasti nii ülemisel kui alumisel pooltasandil ja seetõttu liigume lihtsamate kooliülesannete juurest edasi sisukamate näidete juurde.

Näide 4

Leidke tasapinnalise kujundi pindala, mis on piiratud joontega , .

Lahendus: Kõigepealt peate joonise lõpetama. Üldiselt huvitab meid pindalaülesannetes joonise konstrueerimisel enim joonte lõikepunktid. Leiame parabooli ja sirge lõikepunktid. Seda saab teha kahel viisil. Esimene meetod on analüütiline. Lahendame võrrandi:

See tähendab, et integratsiooni alumine piir on ülempiir integratsiooni
Võimaluse korral on parem seda meetodit mitte kasutada..

Punkthaaval on sirgeid palju tulusam ja kiirem ehitada ning integratsiooni piirid saavad selgeks "iseenesest". Erinevate graafikute punkt-punkti ehitustehnikat käsitletakse üksikasjalikult abis Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused. Sellegipoolest analüütiline meetod Piiride leidmine tuleb vahel ikka ära kasutada, kui näiteks graafik on üsna suur või detailne konstruktsioon ei toonud esile integreerimise piire (võivad olla murdosalised või irratsionaalsed). Ja me kaalume ka sellist näidet.

Tuleme tagasi oma ülesande juurde: ratsionaalsem on kõigepealt konstrueerida sirge ja alles siis parabool. Teeme joonise:

Kordan, et punktipõhiselt konstrueerides selgitatakse integratsiooni piirid kõige sagedamini välja “automaatselt”.

Ja nüüd töövalem: Kui segmendil on pidev funktsioon suurem või võrdne mõned pidev funktsioon, siis joonise pindala, ajakavadega piiratud antud funktsioonid ja sirged , , leiate valemiga:

Siin ei pea te enam mõtlema, kus joonis asub - telje kohal või telje all ja jämedalt öeldes loeb, milline graafik on KÕRGEM(teise graafiku suhtes), ja milline neist on ALL.

Vaadeldavas näites on ilmne, et lõigul asub parabool sirgest kõrgemal ja seetõttu tuleb sellest lahutada

Valmis lahendus võib välja näha selline:

Soovitud figuuri piirab ülaltoodud parabool ja allpool sirgjoon.
Segmendil vastavalt vastavale valemile:

Vastus:

Tegelikult kooli valem kõverjoonelise trapetsi pindala jaoks alumises pooltasandis (vt lihtnäide nr 3) – erijuhtum valemid . Kuna telg on määratud võrrandiga ja funktsiooni graafik asub mitte kõrgem kirved siis

Ja nüüd paar näidet teie enda lahenduseks

Näide 5

Näide 6

Leidke joonise pindala, mis on piiratud joontega , .

Pindala arvutamise ülesannete lahendamisel kindla integraali abil juhtub mõnikord naljakas juhtum. Joonistus tehti õigesti, arvutused olid õiged, kuid ettevaatamatusest... leiti vale figuuri pindala, täpselt nii ajas su alandlik sulane mitu korda sassi. Siin tõeline juhtum elust:

Näide 7

Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joontega , , , .

Lahendus: Kõigepealt teeme joonise:

...Eh, joonis tuli jama, aga kõik tundub loetav olevat.

Kuju, mille ala peame leidma, on sinise varjundiga(vaadake hoolikalt seisukorda - kuidas figuur on piiratud!). Kuid praktikas tekib tähelepanematuse tõttu sageli "tõrge", et peate leidma varjutatud figuuri ala roheline!

See näide on kasulik ka seetõttu, et see arvutab kujundi pindala kahe abil kindlad integraalid. Tõesti:

1) Lõigul telje kohal on sirge graafik;

2) Lõigul telje kohal on hüperbooli graafik.

On üsna ilmne, et piirkondi saab (ja tuleks) lisada, seega:

Vastus:

Liigume edasi teise sisuka ülesande juurde.

Näide 8

Arvutage joontega piiratud kujundi pindala,
Esitame võrrandid “kooli” kujul ja teeme punkt-punkti joonise:

Jooniselt on selgelt näha, et meie ülempiir on “hea”: .
Aga mis on alumine piir?! On selge, et see pole täisarv, aga mis see on? Võib olla ? Aga kus on garantii, et joonis on tehtud perfektse täpsusega, võib hästi selguda, et... Või juur. Mis siis, kui me koostame graafiku valesti?

Sellistel juhtudel peate kulutama Lisaaeg ja selgitada integratsiooni piire analüütiliselt.

Leiame sirge ja parabooli lõikepunktid.
Selleks lahendame võrrandi:

,

Tõesti,.

Edasine lahendus on triviaalne, peaasi, et asendustes ja märkides segi ei läheks, siin pole arvutused just kõige lihtsamad.

Segmendil , vastavalt vastavale valemile:

Vastus:

Noh, õppetunni lõpetuseks vaatame kahte raskemat ülesannet.

Näide 9

Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joontega , ,

Lahendus: Kujutame see kujund joonisel.

Kurat, ma unustasin graafikule alla kirjutada ja vabandust, ma ei tahtnud pilti uuesti teha. Pole joonistamispäev, ühesõnaga täna on see päev =)

Punkt-punkti ehitamiseks peate teadma välimus sinusoidid (ja üldiselt kasulik teada kõigi elementaarfunktsioonide graafikud), samuti mõned siinusväärtused, need leiate trigonomeetriline tabel. Mõnel juhul (nagu antud juhul) on võimalik koostada skemaatiline joonis, millel peaksid olema põhimõtteliselt korrektselt kuvatud integratsiooni graafikud ja piirid.

Integratsiooni piiridega siin probleeme pole, need tulenevad otseselt tingimusest: “x” muutub nullist “pi-ks”. Teeme järgmise otsuse:

Segmendil asub funktsiooni graafik telje kohal, seega: