>>Matemaatika: lineaarfunktsioon ja selle graafik
Lineaarfunktsioon ja selle graafik
Algoritm võrrandi ax + x + c = 0 graafiku koostamiseks, mille sõnastasime §-s 28, matemaatikutele kogu oma selguse ja kindluse juures ei meeldi. Tavaliselt esitavad nad väiteid algoritmi kahe esimese etapi kohta. Miks nad ütlevad, et lahendage võrrand muutuja y jaoks kaks korda: kõigepealt ax1 + + c = O, seejärel ax1 + + c = O võrra? Kas pole parem väljendada y kohe võrrandist ax + võrra + c = 0, siis on arvutusi lihtsam teha (ja mis kõige tähtsam, kiiremini)? Kontrollime. Esmalt kaalume võrrand 3x - 2a + 6 = 0 (vt näide 2 §-st 28).
Annan x konkreetsed väärtused, on y vastavaid väärtusi lihtne arvutada. Näiteks x = 0 korral saame y = 3; x = -2 korral on meil y = 0; x = 2 korral on meil y = 6; kui x = 4 saame: y = 9.
Näete, kui lihtsalt ja kiiresti leiti punktid (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) ja (4; 9), mis olid toodud näites 2 §-st 28.
Samamoodi saaks võrrandi bx - 2y = 0 (vt näide 4 §-st 28) teisendada kujule 2y = 16 -3x. edasi y = 2,5x; seda võrrandit rahuldavaid punkte (0; 0) ja (2; 5) pole raske leida.
Lõpuks saab samast näitest pärit võrrandi 3x + 2y - 16 = 0 teisendada kujule 2y = 16 -3x ja siis pole keeruline leida punkte (0; 0) ja (2; 5), mis seda rahuldavad.
Vaatleme nüüd neid teisendusi üldises vormis.
Seega saab lineaarvõrrandi (1) kahe muutujaga x ja y alati teisendada kujule
y = kx + m,(2) kus k,m on arvud (koefitsiendid) ja .
See privaatne vaade lineaarvõrrandit nimetatakse lineaarfunktsiooniks.
Võrdsust (2) kasutades on lihtne määrata konkreetne x väärtus ja arvutada vastav y väärtus. Olgu näiteks
y = 2x + 3. Seejärel:
kui x = 0, siis y = 3;
kui x = 1, siis y = 5;
kui x = -1, siis y = 1;
kui x = 3, siis y = 9 jne.
Tavaliselt esitatakse need tulemused kujul tabelid:
Tabeli teise rea y väärtusi nimetatakse vastavalt lineaarfunktsiooni y = 2x + 3 väärtusteks punktides x = 0, x = 1, x = -1, x = - 3.
Võrrandis (1) on muutujad hnu võrdsed, kuid võrrandis (2) mitte: ühele neist - muutujale x - omistame konkreetsed väärtused, muutuja y väärtus aga sõltub muutuja x valitud väärtusest. Seetõttu ütleme tavaliselt, et x on sõltumatu muutuja (või argument), y on sõltuv muutuja.
Märge: lineaarne funktsioon- See eritüüp kahe muutujaga lineaarvõrrand. Võrrandigraafik y - kx + m, nagu iga kahe muutujaga lineaarvõrrand, on sirgjoon - seda nimetatakse ka lineaarfunktsiooni y = kx + m graafikuks. Seega kehtib järgmine teoreem.
Näide 1. Koostage lineaarfunktsiooni y = 2x + 3 graafik.
Lahendus. Teeme tabeli:
Teises olukorras saab sõltumatu muutuja x, mis, nagu ka esimeses olukorras, tähistab päevade arvu, võtta ainult väärtused 1, 2, 3, ..., 16. Tõepoolest, kui x = 16, siis valemiga y = 500 - 30x leiame: y = 500 - 30 16 = 20. See tähendab, et juba 17. päeval ei ole võimalik laost välja viia 30 tonni kivisütt, kuna selleks päevaks on ainult 20 tonni jääb lattu ja kivisöe äraveo protsess tuleb peatada. Seetõttu näeb teise olukorra rafineeritud matemaatiline mudel välja selline:
y = 500 – ZOD:, kus x = 1, 2, 3, .... 16.
Kolmandas olukorras iseseisev muutuv x võib teoreetiliselt võtta mis tahes mittenegatiivse väärtuse (näiteks x väärtus = 0, x väärtus = 2, x väärtus = 3,5 jne), kuid praktikas ei saa turist temaga kõndida. püsikiirus ilma magamata või puhkamata nii kaua kui soovitakse. Seega pidime x-ile kehtestama mõistlikud piirangud, näiteks 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).
Tuletame meelde, et mitterange topeltvõrratuse geomeetriline mudel 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .
Leppigem kokku, et kirjutame fraasi “x kuulub hulka X” asemele (loe: “element x kuulub hulka X”, e on kuuluvuse märk). Nagu näha, käib meie matemaatilise keelega tutvumine pidevalt.
Kui lineaarfunktsiooni y = kx + m tuleks arvesse võtta mitte kõigi x väärtuste puhul, vaid ainult x väärtuste puhul teatud kindlast numbriline intervall X, siis nad kirjutavad:
Näide 2. Joonistage lineaarne funktsioon:
Lahendus, a) Koostame tabeli lineaarfunktsiooni y = 2x + 1 jaoks
Lähtume koordinaadist xOy lennuk punktid (-3; 7) ja (2; -3) ning tõmmake nende kaudu sirgjoon. See on võrrandi y = -2x graafik: + 1. Järgmiseks valige konstrueeritud punkte ühendav segment (joonis 38). See segment on lineaarfunktsiooni y = -2x+1 graafik, kusxe [-3, 2].
Tavaliselt öeldakse nii: lõigule [- 3, 2] on joonistatud lineaarne funktsioon y = - 2x + 1.
b) Mille poolest see näide eelmisest erineb? Lineaarfunktsioon on sama (y = -2x + 1), mis tähendab, et selle graafikuna toimib sama sirge. Aga ole ettevaatlik! - seekord x e (-3, 2), st väärtusi x = -3 ja x = 2 ei võeta arvesse, need ei kuulu intervalli (- 3, 2). Kuidas märkisime koordinaatjoonel intervalli otsad? Heledad ringid (joon. 39), rääkisime sellest § 26. Samamoodi punktid (- 3; 7) ja B; - 3) tuleb joonisele heledate ringidega tähistada. See tuletab meile meelde, et joonelt y = - 2x + 1 võetakse ainult need punktid, mis asuvad ringidega tähistatud punktide vahel (joonis 40). Kuid mõnikord kasutavad nad sellistel juhtudel pigem nooli kui heledaid ringe (joonis 41). See pole põhimõtteline, peamine on aru saada, millest räägitakse.
Näide 3. Leidke segmendi lineaarfunktsiooni suurim ja väikseim väärtus.
Lahendus. Teeme tabeli lineaarfunktsiooni jaoks
Ehitame edasi koordinaattasand xОу punktid (0; 4) ja (6; 7) ning tõmmake nende kaudu sirgjoon - lineaarse x funktsiooni graafik (joonis 42).
Peame seda lineaarset funktsiooni käsitlema mitte tervikuna, vaid lõiguna, st x e jaoks.
Graafiku vastav segment on joonisel esile tõstetud. Märkame, et valitud osasse kuuluvate punktide suurim ordinaat on 7 - see on kõrgeim väärtus lineaarfunktsioon segmendil. Tavaliselt kasutatakse järgmist tähistust: y max =7.
Märgime, et joonisel 42 esiletõstetud sirge osasse kuuluvate punktide väikseim ordinaat on võrdne 4-ga – see on lõigu lineaarfunktsiooni väikseim väärtus.
Tavaliselt kasutatakse järgmist tähistust: y nimi. = 4.
Näide 4. Leia y naib ja y naim. lineaarfunktsiooni y = -1,5x + 3,5 korral
a) segmendil; b) intervallil (1,5);
c) poole intervalliga.
Lahendus. Teeme tabeli lineaarfunktsiooni y = -l.5x + 3.5 jaoks:
Konstrueerime xOy koordinaattasandile punktid (1; 2) ja (5; - 4) ning joonestame nende kaudu sirge (joon. 43-47). Valime konstrueeritud sirgel x väärtustele vastav osa lõigust (joonis 43), intervallist A, 5) (joonis 44), poolintervallist (joonis 47).
a) Joonist 43 kasutades on lihtne järeldada, et y max = 2 (lineaarfunktsioon saavutab selle väärtuse x = 1 juures) ja y min. = - 4 (lineaarfunktsioon saavutab selle väärtuse x = 5 korral).
b) Joonist 44 kasutades järeldame: sellel lineaarsel funktsioonil ei ole antud intervalli suurimaid ega väikseimaid väärtusi. Miks? Fakt on see, et erinevalt eelmisest juhtumist on segmendi mõlemad otsad, kus saavutati suurim ja väikseim väärtus, arvesse võtmata.
c) Joonist 45 kasutades järeldame, et y max. = 2 (nagu esimesel juhul) ja madalaim väärtus lineaarfunktsioon mitte (nagu teisel juhul).
d) Joonist 46 kasutades järeldame: y max = 3,5 (lineaarfunktsioon saavutab selle väärtuse x = 0 juures) ja y max. ei eksisteeri.
e) Kasutades joonist 47, järeldame: y max = -1 (lineaarfunktsioon saavutab selle väärtuse x = 3) ja y max ei eksisteeri.
Näide 5. Lineaarfunktsiooni graafik
y = 2x - 6. Kasutage graafikut, et vastata järgmistele küsimustele:
a) Millise x väärtuse korral on y = 0?
b) milliste x väärtuste korral on y > 0?
c) milliste x väärtuste juures on y< 0?
Lahendus Koostame lineaarfunktsiooni y = 2x-6 tabeli:
Läbi punktide (0; - 6) ja (3; 0) tõmbame sirge - funktsiooni y = 2x - 6 graafiku (joon. 48).
a) y = 0 punktis x = 3. Graafik lõikab x-telge punktis x = 3, see on punkt, mille ordinaat y = 0.
b) y > 0, kui x > 3. Tegelikult, kui x > 3, siis sirgjoon asub x-telje kohal, mis tähendab ordinaate vastavad punktid otsesed on positiivsed.
c) kell< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A
Pange tähele, et selles näites kasutasime lahendamiseks graafikut:
a) võrrand 2x - 6 = 0 (saime x = 3);
b) võrratus 2x - 6 > 0 (saime x > 3);
c) ebavõrdsus 2x - 6< 0 (получили х < 3).
kommenteerida. Vene keeles nimetatakse sama objekti sageli erinevalt, näiteks: "maja", "hoone", "struktuur", "suvila", "mõis", "barakk", "onn", "onn". Matemaatilises keeles on olukord ligikaudu sama. Ütleme, et võrdsust kahe muutujaga y = kx + m, kus k, m on konkreetsed arvud, võib nimetada lineaarfunktsiooniks, võib nimetada lineaarvõrrand kahe muutujaga x ja y (või kahe tundmatuga x ja y), võib nimetada valemiks, võib nimetada seost, mis ühendab x ja y, võib lõpuks nimetada sõltuvuseks x ja y vahel. Vahet pole, peamine on sellest igal juhul aru saada me räägime O matemaatiline mudel y = kx + m
.
Vaatleme joonisel 49 näidatud lineaarfunktsiooni graafikut, a. Kui liigume mööda seda graafikut vasakult paremale, siis graafikul olevate punktide ordinaadid kasvavad kogu aeg, justkui "ronime mäest üles". Sellistel juhtudel kasutavad matemaatikud mõistet suurendamine ja ütlevad nii: kui k>0, siis lineaarfunktsioon y = kx + m suureneb.
Vaatleme joonisel 49 näidatud lineaarfunktsiooni graafikut, b. Kui liigume mööda seda graafikut vasakult paremale, siis graafikul olevate punktide ordinaadid vähenevad kogu aeg, justkui "läheksime mäest alla". Sellistel juhtudel kasutavad matemaatikud mõistet kahanemine ja ütlevad nii: kui k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.
Lineaarne funktsioon elus
Nüüd võtame selle teema kokku. Oleme juba tutvunud sellise mõistega kui lineaarfunktsioon, teame selle omadusi ja õppisime graafikuid koostama. Vaatasite ka lineaarse funktsiooni erijuhtumeid ja leidsite, millest see sõltub vastastikune kokkulepe lineaarfunktsioonide graafikud. Kuid selgub, et meie Igapäevane elu ka me ristume pidevalt selle matemaatilise mudeliga.
Mõelgem, milliseid tegelikke olukordi seostatakse sellise mõistega nagu lineaarsed funktsioonid? Ja ka, milliste koguste vahel või elusituatsioonid võib-olla luua lineaarne suhe?
Paljud teist ilmselt ei saa päris täpselt aru, miks nad peavad lineaarfunktsioone uurima, sest sellest pole tõenäoliselt kasu peale elu. Kuid siin eksite sügavalt, sest funktsioone kohtame kogu aeg ja igal pool. Sest isegi tavaline kuuüür on samuti paljudest muutujatest sõltuv funktsioon. Ja need muutujad hõlmavad ruutjalga, elanike arvu, tariife, elektritarbimist jne.
Muidugi kõige levinumad funktsioonide näited lineaarne sõltuvus, millega oleme kokku puutunud, on matemaatikatunnid.
Sina ja mina lahendasime probleeme, kus leidsime autode, rongide või jalakäijate teatud kiirusega läbitud vahemaad. Need on liikumisaja lineaarsed funktsioonid. Kuid need näited pole rakendatavad mitte ainult matemaatikas, vaid ka meie igapäevaelus.
Piimatoodete kalorisisaldus sõltub rasvasisaldusest ja selline sõltuvus on tavaliselt lineaarne funktsioon. Näiteks kui rasvaprotsent hapukoores suureneb, suureneb ka toote kalorisisaldus.
Nüüd teeme arvutused ja leiame võrrandisüsteemi lahendades k ja b väärtused:
Tuletame nüüd sõltuvuse valemi:
Selle tulemusena saime lineaarse seose.
Temperatuurist sõltuva heli levimise kiiruse teadasaamiseks on võimalik seda teha valemiga: v = 331 +0,6t, kus v on kiirus (m/s), t on temperatuur. Kui joonistame selle seose graafiku, näeme, et see on lineaarne, see tähendab, et see kujutab endast sirgjoont.
Ja selline praktilisi kasutusviise teadmised lineaarse rakendamisest funktsionaalne sõltuvus Nimekiri võib võtta kaua aega. Alustades telefonitasudest, juuste pikkusest ja kasvust ning isegi vanasõnadest kirjanduses. Ja see nimekiri jätkub ja jätkub.
Kalendri-temaatiline planeerimine matemaatikas, video matemaatikas võrgus, Matemaatika koolis allalaadimine
A. V. Pogorelov, Geomeetria 7.-11. klassile, Õpik haridusasutustele
Lineaarfunktsiooni definitsioon
Tutvustame lineaarfunktsiooni definitsiooni
Definitsioon
Funktsiooni kujul $y=kx+b$, kus $k$ ei ole null, nimetatakse lineaarfunktsiooniks.
Lineaarfunktsiooni graafik on sirgjoon. Arvu $k$ nimetatakse sirge kaldeks.
Kui $b=0$ nimetatakse lineaarfunktsiooni otsese proportsionaalsuse funktsiooniks $y=kx$.
Mõelge joonisele 1.
Riis. 1. Joone kalde geomeetriline tähendus
Mõelgem kolmnurk ABC. Näeme, et $ВС=kx_0+b$. Leiame sirge $y=kx+b$ lõikepunkti teljega $Ox$:
\ \
Seega $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Leiame nende külgede suhte:
\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]
Teisest küljest $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.
Seega võime teha järgmise järelduse:
Järeldus
Geomeetriline tähendus koefitsient $k$. Kaldetegur otsene $k$ võrdne puutujaga selle sirge kaldenurk $Ox$ telje suhtes.
Lineaarfunktsiooni $f\left(x\right)=kx+b$ ja selle graafiku uurimine
Esiteks kaaluge funktsiooni $f\left(x\right)=kx+b$, kus $k > 0$.
- $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Seega seda funktsiooni suureneb kogu määratlusvaldkonna ulatuses. Ekstreemseid punkte pole.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
- Graafik (joonis 2).
Riis. 2. Funktsiooni $y=kx+b$ graafikud, kui $k > 0$.
Nüüd kaaluge funktsiooni $f\left(x\right)=kx$, kus $k
- Määratluspiirkond on kõik numbrid.
- Väärtuste vahemik on kõik numbrid.
- $f\left(-x\right)=-kx+b$. Funktsioon pole paaris ega paaritu.
- Kui $x=0,f\left(0\right)=b$. Kui $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.
Koordinaattelgedega lõikepunktid: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ ja $\left(0,\b\right)$
- $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
- $f^("")\left(x\right)=k"=0$ Seetõttu pole funktsioonil käändepunkte.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
- Graafik (joonis 3).
Juhised
Lineaarfunktsioonide lahendamiseks on mitu võimalust. Loetleme neist kõige rohkem. Kõige sagedamini kasutatav samm-sammult meetod asendused. Ühes võrrandis on vaja väljendada üht muutujat teise võrrandiga ja asendada see teise võrrandiga. Ja nii edasi, kuni ühte võrrandisse jääb ainult üks muutuja. Selle lahendamiseks peate jätma võrdusmärgi ühele küljele muutuja (see võib olla koefitsiendiga) ja võrdusmärgi teisele küljele kõik arvandmed, unustamata muuta numbri märki üleviimisel vastupidine. Pärast ühe muutuja arvutamist asendage see teiste avaldistega ja jätkake arvutusi sama algoritmi abil.
Näiteks võtame lineaarse süsteemi funktsioonid, mis koosneb kahest võrrandist:
2x+y-7=0;
x-y-2 = 0.
Teisest võrrandist on mugav väljendada x:
x=y+2.
Nagu näete, muutus y ja muutujate märk y ja muutujate ühest osast teise ülekandmisel, nagu eespool kirjeldatud.
Asendame saadud avaldise esimese võrrandiga, välistades sellega muutuja x:
2*(y+2)+y-7=0.
Sulgude laiendamine:
2a+4+y-7=0.
Panime kokku muutujad ja arvud ning liidame need kokku:
3-3 = 0.
Liikuge võrrandi paremale poole ja muutke märki:
3a = 3.
Jagades kogukoefitsiendiga saame:
y=1.
Asendame saadud väärtuse esimese avaldisega:
x=y+2.
Saame x=3.
Teine võimalus sarnaste lahendamiseks on liita kaks võrrandit termini haaval, et saada uus ühe muutujaga võrrand. Võrrandit saab korrutada teatud koefitsiendiga, peaasi, et korrutada iga võrrandi liige ja mitte unustada, ja seejärel lisada või lahutada üks võrrand. See meetod on lineaarse leidmisel väga ökonoomne funktsioonid.
Võtame juba tuttava kahe muutujaga võrrandisüsteemi:
2x+y-7=0;
x-y-2 = 0.
Lihtne on märgata, et muutuja y koefitsient on esimeses ja teises võrrandis identne ning erineb ainult märgi poolest. See tähendab, et kui liidame need kaks võrrandit termini haaval, saame uue, kuid ühe muutujaga.
2x+x+y-y-7-2=0;
3x-9=0.
Me edastame numbrilised andmed parem pool võrrandid, märki muutes:
3x=9.
Leiame ühine kordaja, võrdne koefitsiendiga, seistes punktis x ja jagage võrrandi mõlemad pooled sellega:
x=3.
Tulemuse saab y arvutamiseks asendada süsteemi mis tahes võrrandiga:
x-y-2 = 0;
3-у-2=0;
-y+1=0;
-y=-1;
y=1.
Samuti saate andmeid arvutada, luues täpse graafiku. Selleks peate leidma nullid funktsioonid. Kui üks muutujatest on võrdne nulliga, nimetatakse sellist funktsiooni homogeenseks. Olles lahendanud sellised võrrandid, saate kaks sirge konstrueerimiseks vajalikku ja piisavat punkti - üks neist asub x-teljel, teine y-teljel.
Võtame süsteemi mis tahes võrrandi ja asendame seal väärtuse x=0:
2*0+y-7=0;
Saame y=7. Seega on esimesel punktil, nimetagem seda A-ks, koordinaadid A(0;7).
X-teljel asuva punkti arvutamiseks on mugav asendada väärtus y=0 süsteemi teise võrrandiga:
x-0-2=0;
x=2.
Teisel punktil (B) on koordinaadid B (2;0).
Peal koordinaatide võrk Märgistame saadud punktid ja tõmbame nende kaudu sirge. Kui joonistate selle üsna täpselt, saab sellest otse arvutada muud x ja y väärtused.
Juhised
Kui graafik on sirge, mis läbib koordinaatide alguspunkti ja moodustab nurga α OX-teljega (sirge kaldenurk positiivse pooltelje OX suhtes). Seda rida kirjeldav funktsioon on kujul y = kx. Proportsionaalsuskoefitsient k on võrdne tan α. Kui sirge läbib 2. ja 4. koordinaatveerandit, siis k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 ja funktsioon kasvab. Olgu see sirge asukohaga erinevatel viisidel koordinaattelgede suhtes. See on lineaarne funktsioon ja selle kuju on y = kx + b, kus muutujad x ja y on esimeses astmes ning k ja b võivad olla kas positiivsed või negatiivsed. negatiivsed väärtused või võrdne nulliga. Sirg on paralleelne sirgega y = kx ja lõikab ära teljel |b| ühikut. Kui joon on paralleelne abstsissteljega, siis k = 0, kui ordinaattelg, siis on võrrand kujul x = const.
Kõver, mis koosneb kahest harust, mis paiknevad erinevates kvartalites ja on sümmeetrilised koordinaatide alguspunkti suhtes, on hüperbool. See diagramm pöördvõrdeline seos muutuja y x-st ja seda kirjeldab võrrand y = k/x. Siin k ≠ 0 on proportsionaalsuskoefitsient. Veelgi enam, kui k > 0, siis funktsioon väheneb; kui k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.
Ruutfunktsiooni kuju on y = ax2 + bx + c, kus a, b ja c on konstantsed suurused ja a 0. Kui tingimus b = c = 0 on täidetud, näeb funktsiooni võrrand välja kujul y = ax2 ( kõige lihtsam juhtum) ja selle graafik on alguspunkti läbiv parabool. Funktsiooni y = ax2 + bx + c graafik on sama kujuga kui funktsiooni lihtsaim juhtum, kuid selle tipp (lõikepunkt OY-teljega) ei asu algpunktis.
Graafik on ka parabool toitefunktsioon, väljendatakse võrrandiga y = xⁿ, kui n on suvaline paarisarv. Kui n on mis tahes paaritu number, näeb sellise võimsusfunktsiooni graafik välja nagu kuupparabool.
Kui n on suvaline , võtab funktsiooni võrrand kuju. Funktsiooni graafik paaritu n korral on hüperbool ja paaris n korral on nende harud op-telje suhtes sümmeetrilised.
Samuti sisse kooliaastaid Funktsioone uuritakse üksikasjalikult ja koostatakse nende graafikud. Kuid kahjuks ei õpeta nad praktiliselt lugema funktsiooni graafikut ja leidma esitatud jooniselt selle tüüpi. See on tegelikult üsna lihtne, kui mäletate funktsioonide põhitüüpe.
Juhised
Kui esitatud graafik on , mis on läbi koordinaatide alguspunkti ja OX-teljega nurk α (mis on sirge kaldenurk positiivse pooltelje suhtes), siis on sellist sirget kirjeldav funktsioon esitatud kujul y = kx. Sel juhul võrdub proportsionaalsustegur k nurga α puutujaga.
Kui antud sirge läbib teist ja neljandat koordinaatveerandit, siis on k võrdne 0-ga ja funktsioon suureneb. Olgu esitatud graafik sirge, mis paikneb mis tahes viisil koordinaattelgede suhtes. Siis funktsioon sellise graafika on lineaarne, mis on esitatud kujul y = kx + b, kus muutujad y ja x on esimeses ning b ja k võivad olla nii negatiivsed kui ka positiivsed väärtused või .
Kui joon on paralleelne joonega, millel on graafik y = kx ja lõikab ordinaatteljel maha b ühikut, siis on võrrand kujul x = const, kui graafik on paralleelne abstsissteljega, siis k = 0.
Kaarjas joon, mis koosneb kahest harust, mis on sümmeetrilised lähtekoha suhtes ja paiknevad erinevates kvartalites, on hüperbool. Selline graafik näitab muutuja y pöördvõrdelist sõltuvust muutujast x ja seda kirjeldab võrrand kujul y = k/x, kus k ei peaks olema võrdne nulliga, kuna see on koefitsient pöördvõrdelisus. Veelgi enam, kui k väärtus on suurem kui null, funktsioon väheneb; kui k on väiksem kui null, siis see suureneb.
Kui pakutav graaf on alguspunkti läbiv parabool, on selle funktsioonil tingimusel, et b = c = 0, kuju y = ax2. See on kõige lihtsam juhtum ruutfunktsioon. Funktsiooni graafik kujuga y = ax2 + bx + c on sama kujuga kui kõige lihtsamal juhul, kuid tipp (punkt, kus graafik lõikub ordinaatteljega) ei asu algpunktis. Ruutfunktsioonis, mis on esitatud kujul y = ax2 + bx + c, on a, b ja c väärtused konstantsed, samas kui a ei ole võrdne nulliga.
Parabool võib olla ka astmefunktsiooni graafik, mis on väljendatud võrrandiga kujul y = xⁿ ainult siis, kui n on paarisarv. Kui n väärtus on paaritu arv, esitatakse selline astmefunktsiooni graafik kuupparaboolina. Juhul, kui muutuja n on suvaline negatiivne arv, võtab funktsiooni võrrand kuju .
Video teemal
Tasapinna absoluutselt iga punkti koordinaat määratakse selle kahe suuruse järgi: piki abstsisstellge ja ordinaattelge. Paljude selliste punktide kogum kujutab funktsiooni graafikut. Sealt on näha, kuidas Y väärtus muutub sõltuvalt X väärtuse muutusest. Samuti saab määrata, millises osas (intervallil) funktsioon suureneb ja millises väheneb.
Juhised
Mida saab öelda funktsiooni kohta, kui selle graafik on sirgjoon? Vaadake, kas see joon läbib koordinaatide lähtepunkti (st seda, kus X ja Y väärtused on võrdsed 0-ga). Kui see läbib, siis kirjeldatakse sellist funktsiooni võrrandiga y = kx. On lihtne mõista, et mida suurem on k väärtus, seda lähemal ordinaatteljele see sirge paikneb. Ja Y-telg ise vastab tegelikult lõputult suure tähtsusega k.
Vaatleme funktsiooni y=k/y. Selle funktsiooni graafik on sirge, mida matemaatikas nimetatakse hüperbooliks. Üldine vorm hüperboolid on näidatud alloleval joonisel. (Graafik näitab funktsiooni y võrdub k jagatuna x-ga, mille puhul k on üks.)
On näha, et graafik koosneb kahest osast. Neid osi nimetatakse hüperbooli harudeks. Samuti väärib märkimist, et iga hüperbooli haru läheneb ühes suunas, mis on koordinaatide telgedele lähemal. Koordinaatide telgi nimetatakse sel juhul asümptootideks.
Üldiselt nimetatakse asümptootideks kõiki sirgeid, millele funktsiooni graafik lõpmatult läheneb, kuid ei jõua nendeni. Hüperboolil, nagu paraboolil, on sümmeetriateljed. Ülaltoodud joonisel kujutatud hüperbooli jaoks on see sirge y=x.
Nüüd tegeleme kahega üldised juhtumid hüperbool. Funktsiooni y = k/x graafik k ≠0 korral on hüperbool, mille harud asuvad kas esimeses ja kolmandas koordinaatnurgas, kui k>0, või teises ja neljandas koordinaatnurgas, jaoks k<0.
Funktsiooni y = k/x põhiomadused, kui k>0
Funktsiooni y = k/x graafik, kui k>0
5. y>0 x>0 juures; y6. Funktsioon väheneb nii intervallil (-∞;0) kui ka intervallil (0;+∞).
10. Funktsiooni väärtuste vahemik on kaks avatud intervalli (-∞;0) ja (0;+∞).
Funktsiooni y = k/x põhiomadused k jaoks<0
Funktsiooni y = k/x graafik k juures<0
1. Punkt (0;0) on hüperbooli sümmeetriakese.
2. Koordinaatide teljed – hüperbooli asümptoodid.
4. Funktsiooni määratluspiirkond on kõik x, välja arvatud x=0.
5. y>0 x0 juures.
6. Funktsioon suureneb nii intervallil (-∞;0) kui ka intervallil (0;+∞).
7. Funktsioon ei ole piiratud ei alt ega ülevalt.
8. Funktsioonil ei ole ei maksimum- ega miinimumväärtust.
9. Funktsioon on pidev intervallil (-∞;0) ja intervallil (0;+∞). Kui x=0 on tühimik.