7. ja 8. klassis õpitakse otsese proportsionaalsuse graafikut.
Kuidas koostada otsese proportsionaalsuse graafikut?
Vaatame näidete abil otsese proportsionaalsuse graafikut.
Otsese proportsionaalsuse graafiku valem
Otsese proportsionaalsuse graafik esindab funktsiooni.
Üldiselt on otsesel proportsionaalsusel valem
Otsese proportsionaalsuse graafiku kaldenurk x-telje suhtes sõltub otsese proportsionaalsuse koefitsiendi suurusest ja märgist.
Otsese proportsionaalsuse graafik läheb läbi
Otsese proportsionaalsuse graafik läbib alguspunkti.
Otsese proportsionaalsuse graafik on sirgjoon. Sirge on määratletud kahe punktiga.
Seega piisab otsese proportsionaalsuse graafiku koostamisel kahe punkti asukoha määramisest.
Kuid me teame alati üht neist – see on koordinaatide päritolu.
Jääb üle vaid leida teine. Vaatame otseproportsionaalsuse graafiku koostamise näidet.
Graafika otsene proportsionaalsus y = 2x
Ülesanne .
Joonistage valemiga antud otsese proportsionaalsuse graafik
Lahendus.
Kõik numbrid on olemas.
Võtke suvaline arv otsese proportsionaalsuse valdkonnast, olgu see 1.
Leidke funktsiooni väärtus, kui x on võrdne 1-ga
Y=2x=
2 * 1 = 2
see tähendab, et x = 1 korral saame y = 2. Nende koordinaatidega punkt kuulub funktsiooni y = 2x graafikule.
Teame, et otsese proportsionaalsuse graafik on sirgjoon ja sirge on määratletud kahe punktiga.
Lineaarne funktsioon
Lineaarne funktsioon on funktsioon, mida saab määrata valemiga y = kx + b,
kus x on sõltumatu muutuja, k ja b on mõned arvud.
Lineaarfunktsiooni graafik on sirgjoon.
Kutsutakse numbrit k sirgjoone kalle– funktsiooni y = kx + b graafik.
Kui k > 0, siis sirge y = kx + b kaldenurk telje suhtes X vürtsikas; kui k< 0, то этот угол тупой.
Kui sirgete kalded, mis on kahe lineaarfunktsiooni graafikud, on erinevad, siis need sirged lõikuvad. Ja kui nurkkoefitsiendid on samad, siis on jooned paralleelsed.
Funktsiooni graafik y =kx +b, kus k ≠ 0, on sirge y = kx paralleelne sirge.
Otsene proportsionaalsus.
Otsene proportsionaalsus on funktsioon, mida saab määrata valemiga y = kx, kus x on sõltumatu muutuja, k on nullist erinev arv. Kutsutakse numbrit k otsese proportsionaalsuse koefitsient.
Otsese proportsionaalsuse graafik on koordinaatide alguspunkti läbiv sirgjoon (vt joonis).
Otsene proportsionaalsus on lineaarfunktsiooni erijuhtum.
Funktsiooni omadusedy =kx:
Pöördvõrdelisus
Pöördvõrdelisus nimetatakse funktsiooniks, mida saab määrata valemiga:
k
y = -
x
Kus x on sõltumatu muutuja ja k– nullist erinev arv.
Pöördproportsionaalsuse graafik on kõver, mida nimetatakse hüperbool(vt pilti).
Kõvera puhul, mis on selle funktsiooni graafik, telg x Ja y toimida asümptootidena. Asümptoot- see on sirgjoon, millele kõvera punktid lähenevad, kui nad liiguvad lõpmatusse.
k
Funktsiooni omadusedy = -:
x
Neid kahte suurust nimetatakse võrdeline, kui kui üks neist suureneb mitu korda, suureneb teine sama palju. Seega, kui üks neist väheneb mitu korda, väheneb teine sama palju.
Selliste suuruste vaheline seos on otsene proportsionaalne seos. Otsese proportsionaalse sõltuvuse näited:
1) konstantsel kiirusel on läbitud vahemaa ajaga võrdeline;
2) ruudu ümbermõõt ja selle külg on otseselt võrdelised suurused;
3) ühe hinnaga ostetud toote maksumus on otseselt võrdeline selle kogusega.
Otsese proportsionaalse seose eristamiseks pöördvõrdelisest võib kasutada vanasõna: "Mida kaugemale metsa, seda rohkem küttepuid."
Otseselt proportsionaalseid suurusi puudutavaid ülesandeid on mugav lahendada proportsioonide abil.
1) 10 detaili valmistamiseks vajate 3,5 kg metalli. Kui palju metalli kulub 12 sellise osa valmistamiseks?
(Me mõtleme järgmiselt:
1. Täidetud veerus asetage nool suurimast arvust väikseima suunas.
2. Mida rohkem osi, seda rohkem on nende valmistamiseks vaja metalli. See tähendab, et see on otseselt proportsionaalne suhe.
12 detaili valmistamiseks olgu vaja x kg metalli. Koostame proportsiooni (suunas noole algusest kuni selle lõpuni):
12:10=x:3,5
Leidmiseks peate jagama äärmuslike terminite korrutise teadaoleva keskterminiga:
See tähendab, et vaja läheb 4,2 kg metalli.
Vastus: 4,2 kg.
2) 15 meetri kanga eest maksti 1680 rubla. Kui palju maksab 12 meetrit sellist kangast?
(1. Asetage täidetud veergu nool suurimast arvust väikseima suunas.
2. Mida vähem kangast ostad, seda vähem pead selle eest maksma. See tähendab, et see on otseselt proportsionaalne suhe.
3. Seetõttu on teine nool esimesega samas suunas).
Las x rubla maksab 12 meetrit kangast. Teeme proportsiooni (noole algusest selle lõpuni):
15:12=1680:x
Proportsiooni tundmatu äärmusliikme leidmiseks jagage keskmiste liikmete korrutis proportsiooni teadaoleva äärmusliikmega:
See tähendab, et 12 meetrit maksis 1344 rubla.
Vastus: 1344 rubla.
Sõltuvuste tüübid
Vaatame aku laadimist. Esimese kogusena võtame laadimiseks kuluva aja. Teine väärtus on aeg, mil see pärast laadimist töötab. Mida kauem akut laadite, seda kauem see kestab. Protsess jätkub, kuni aku on täielikult laetud.
Aku tööaja sõltuvus laadimisajast
Märkus 1
Seda sõltuvust nimetatakse sirge:
Kui üks väärtus suureneb, suureneb ka teine. Kui üks väärtus väheneb, väheneb ka teine väärtus.
Vaatame teist näidet.
Mida rohkem raamatuid õpilane loeb, seda vähem vigu ta dikteerimisel teeb. Või mida kõrgemale mägedes tõused, seda madalam on atmosfäärirõhk.
Märkus 2
Seda sõltuvust nimetatakse tagurpidi:
Kui üks väärtus suureneb, siis teine väheneb. Kui üks väärtus väheneb, siis teine väärtus suureneb.
Seega juhul otsene sõltuvus mõlemad suurused muutuvad võrdselt (mõlemad kas suurenevad või vähenevad) ning juhul pöördvõrdeline seos– vastupidine (üks suureneb ja teine väheneb või vastupidi).
Suuruste vaheliste sõltuvuste määramine
Näide 1
Sõbra külastamiseks kuluv aeg on $20 $ minutit. Kui kiirus (esimene väärtus) suureneb $2$ korda, siis leiame, kuidas muutub aeg (teine väärtus), mis kulub teel sõbra juurde.
Ilmselt väheneb aeg $2$ korda.
Märkus 3
Seda sõltuvust nimetatakse proportsionaalne:
Mitu korda muutub üks suurus, mitu korda muutub teine suurus.
Näide 2
Poes $2$ leivapätsi eest tuleb maksta 80 rubla. Kui teil on vaja ostma 4 dollarit leiba (leiva kogus suureneb 2 dollarit korda), siis mitu korda rohkem peate maksma?
Ilmselgelt suurenevad kulud ka $2 $ korda. Meil on näide proportsionaalsest sõltuvusest.
Mõlemas näites võeti arvesse proportsionaalseid sõltuvusi. Kuid leivapätside näites muutuvad kogused ühes suunas, seega sõltuvus on sirge. Ja sõbra majja mineku näitel on kiiruse ja aja suhe tagurpidi. Seega on olemas otseselt proportsionaalne suhe Ja pöördvõrdeline suhe.
Otsene proportsionaalsus
Vaatleme $2$ proportsionaalseid koguseid: leivapätside arv ja nende maksumus. Maksku $2$ leivapäts 80$ rubla. Kui kuklite arv suureneb $4$ korda ($8$ kuklid), on nende kogumaksumus $320$ rubla.
Kuklite arvu suhe: $\frac(8)(2)=4$.
Kuklite maksumuse suhe: $\frac(320)(80)=4 $.
Nagu näete, on need suhted üksteisega võrdsed:
$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.
Definitsioon 1
Kahe suhte võrdsust nimetatakse proportsioon.
Otseselt proportsionaalse sõltuvusega saadakse seos, kui esimese ja teise suuruse muutus langeb kokku:
$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.
2. definitsioon
Neid kahte suurust nimetatakse võrdeline, kui ühe muutumisel (suurenemisel või vähenemisel) muutub (vastavalt suureneb või väheneb) ka teine väärtus sama palju.
Näide 3
Auto läbis $2$ tunniga 180$ km. Leidke aeg, mille jooksul ta läbib sama kiirusega $2$-kordse vahemaa.
Lahendus.
Aeg on otseselt võrdeline vahemaaga:
$t=\frac(S)(v)$.
Mitu korda pikeneb vahemaa konstantsel kiirusel sama palju, kui aeg pikeneb:
$\frac(2S)(v)=2t$;
$\frac(3S)(v)=3t$.
Auto läbis $2$ tunniga 180$ km
Auto läbib $180 \cdot 2=360 $ km – $x$ tunniga
Mida kaugemale auto sõidab, seda kauem see aega võtab. Järelikult on koguste vaheline seos otseselt võrdeline.
Teeme proportsiooni:
$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;
$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;
Vastus: Auto vajab 4 $ tundi.
Pöördvõrdelisus
3. määratlus
Lahendus.
Aeg on kiirusega pöördvõrdeline:
$t=\frac(S)(v)$.
Mitu korda suureneb kiirus sama tee juures, aeg väheneb sama palju:
$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;
$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.
Kirjutame probleemitingimuse tabeli kujul:
Auto läbis $60$ km – $6$ tunniga
Auto läbib $120 $ km – $x$ tunniga
Mida kiiremini auto sõidab, seda vähem aega kulub. Järelikult on suuruste suhe pöördvõrdeline.
Teeme proportsiooni.
Sest proportsionaalsus on pöördvõrdeline, proportsiooni teine seos on vastupidine:
$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;
$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;
Vastus: Auto vajab 3 $ tundi.
Täna vaatame, milliseid suurusi nimetatakse pöördvõrdelisteks, kuidas näeb välja pöördproportsionaalsuse graafik ja kuidas see kõik võib teile kasulik olla mitte ainult matemaatikatundides, vaid ka väljaspool kooli.
Sellised erinevad proportsioonid
Proportsionaalsus nimeta kaks suurust, mis on üksteisest vastastikku sõltuvad.
Sõltuvus võib olla otsene ja pöördvõrdeline. Sellest tulenevalt kirjeldatakse suuruste vahelisi seoseid otsese ja pöördvõrdelisusega.
Otsene proportsionaalsus– see on selline seos kahe suuruse vahel, milles ühe suurenemine või vähenemine toob kaasa teise suurenemise või vähenemise. Need. nende suhtumine ei muutu.
Näiteks mida rohkem pingutate, et eksamiteks õppida, seda kõrgemad on teie hinded. Või mida rohkem asju matkale kaasa võtad, seda raskem on seljakott kaasas kanda. Need. Eksamiteks valmistumiseks kulutatud pingutuste hulk on otseselt võrdeline saadud hinnetega. Ja seljakotti pakitud asjade arv on otseselt võrdeline selle kaaluga.
Pöördvõrdelisus- see on funktsionaalne sõltuvus, mille korral sõltumatu väärtuse mitmekordne vähenemine või suurenemine (seda nimetatakse argumendiks) põhjustab sõltuva väärtuse proportsionaalse (st sama arvu kordi) suurenemise või vähenemise (seda nimetatakse funktsioon).
Illustreerime lihtsa näitega. Tahad turult õunu osta. Õunad letil ja raha hulk rahakotis on pöördvõrdelises seoses. Need. Mida rohkem õunu ostate, seda vähem raha jääb.
Funktsioon ja selle graafik
Pöördproportsionaalsuse funktsiooni saab kirjeldada kui y = k/x. Milles x≠ 0 ja k≠ 0.
Sellel funktsioonil on järgmised omadused:
- Selle määratluspiirkond on kõigi reaalarvude hulk, välja arvatud x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Vahemik on kõik reaalarvud, välja arvatud y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
- Sellel pole maksimaalseid ega minimaalseid väärtusi.
- See on paaritu ja selle graafik on päritolu suhtes sümmeetriline.
- Mitteperioodiline.
- Selle graafik ei lõiku koordinaatide telgedega.
- Nulle pole.
- Kui k> 0 (st argument suureneb), väheneb funktsioon proportsionaalselt igal selle intervallil. Kui k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- Argumendi suurenedes ( k> 0) funktsiooni negatiivsed väärtused on vahemikus (-∞; 0) ja positiivsed väärtused on vahemikus (0; +∞). Kui argument väheneb ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Pöördvõrdelisuse funktsiooni graafikut nimetatakse hüperbooliks. Näidatud järgmiselt:
Pöördproportsionaalsuse probleemid
Et see oleks selgem, vaatame mitut ülesannet. Need ei ole liiga keerulised ja nende lahendamine aitab teil visualiseerida, mis on pöördproportsionaalsus ja kuidas need teadmised teie igapäevaelus kasulikud võivad olla.
Ülesanne nr 1. Auto liigub kiirusega 60 km/h. Tal kulus sihtkohta jõudmiseks 6 tundi. Kui kaua kulub tal sama vahemaa läbimiseks, kui ta liigub kaks korda kiiremini?
Alustuseks võime üles kirjutada valemi, mis kirjeldab aja, vahemaa ja kiiruse seost: t = S/V. Nõus, see meenutab meile väga pöördproportsionaalsuse funktsiooni. Ja see näitab, et aeg, mille auto teel veedab, ja kiirus, millega ta liigub, on pöördvõrdelised.
Selle kontrollimiseks leiame V 2, mis vastavalt tingimusele on 2 korda suurem: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Seejärel arvutame kauguse valemiga S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Nüüd pole keeruline teada saada aega t 2, mis meilt vastavalt ülesande tingimustele nõutakse: t 2 = 360/120 = 3 tundi.
Nagu näete, on sõiduaeg ja kiirus tõepoolest pöördvõrdelised: algsest kiirusest 2 korda suurema kiirusega veedab auto teel 2 korda vähem aega.
Selle ülesande lahenduse võib kirjutada ka proportsioonina. Loome kõigepealt selle diagrammi:
↓ 60 km/h – 6 h
↓120 km/h – x h
Nooled näitavad pöördvõrdelist seost. Samuti soovitavad nad proportsiooni koostamisel pöörata kirje paremat külge: 60/120 = x/6. Kust saame x = 60 * 6/120 = 3 tundi.
Ülesanne nr 2. Töökojas töötab 6 töötajat, kes suudavad etteantud tööhulga teha 4 tunniga. Kui töötajate arvu vähendatakse poole võrra, siis kui kaua kulub ülejäänud töötajatel sama palju tööd?
Kirjutame ülesande tingimused visuaalse diagrammi kujul:
↓ 6 töötajat – 4 tundi
↓ 3 töötajat – x h
Kirjutame selle proportsioonina: 6/3 = x/4. Ja saame x = 6 * 4/3 = 8 tundi Kui töötajaid on 2 korda vähem, kulutavad ülejäänud 2 korda rohkem aega kogu töö tegemiseks.
Ülesanne nr 3. Basseini viib kaks toru. Läbi ühe toru voolab vesi kiirusega 2 l/s ja täidab basseini 45 minutiga. Teise toru kaudu täitub bassein 75 minutiga. Millise kiirusega vesi selle toru kaudu basseini siseneb?
Alustuseks taandagem kõik meile antud suurused vastavalt ülesande tingimustele samadele mõõtühikutele. Selleks väljendame basseini täitmise kiirust liitrites minutis: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.
Kuna tingimusest, et bassein täitub teise toru kaudu aeglasemalt, tuleneb see, et vee voolukiirus on väiksem. Proportsionaalsus on pöördvõrdeline. Avaldame tundmatut kiirust läbi x ja koostame järgmise diagrammi:
↓ 120 l/min – 45 min
↓ x l/min – 75 min
Ja siis moodustame proportsiooni: 120/x = 75/45, kust x = 120 * 45/75 = 72 l/min.
Ülesandes on basseini täituvus väljendatud liitrites sekundis, taandame saadud vastuse samale kujule: 72/60 = 1,2 l/s.
Ülesanne nr 4. Väike eratrükikoda prindib visiitkaarte. Trükikoja töötaja töötab kiirusega 42 visiitkaarti tunnis ja töötab täispäeva - 8 tundi. Kui ta töötaks kiiremini ja trükiks tunnis 48 visiitkaarti, siis kui palju varem saaks ta koju minna?
Järgime tõestatud teed ja koostame vastavalt probleemi tingimustele diagrammi, määrates soovitud väärtuse x:
↓ 42 visiitkaarti/tund – 8 tundi
↓ 48 visiitkaarti/h – x h
Meil on pöördvõrdeline seos: mitu korda rohkem visiitkaarte trükikoja töötaja tunnis prindib, sama mitu korda vähem aega kulub tal sama töö tegemiseks. Seda teades loome proportsiooni:
42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 tundi.
Seega, olles töö 7 tunniga valmis saanud, sai trükikoja töötaja tund aega varem koju minna.
Järeldus
Meile tundub, et need pöördproportsionaalsuse probleemid on tõesti lihtsad. Loodame, et nüüd ka teie mõtlete neile nii. Ja peamine on see, et teadmised suuruste pöördvõrdelisest sõltuvusest võivad teile tõesti kasulikud olla rohkem kui üks kord.
Mitte ainult matemaatikatundides ja eksamites. Kuid isegi siis, kui valmistute reisile, poodlema, otsustate pühade ajal veidi lisaraha teenida jne.
Räägi meile kommentaarides, milliseid pöörd- ja otseproportsionaalsete seoste näiteid enda ümber märkad. Las see olla selline mäng. Näete, kui põnev see on. Ärge unustage seda artiklit sotsiaalvõrgustikes jagada, et ka teie sõbrad ja klassikaaslased saaksid mängida.
veebisaidil, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.